13.2.2三角形的高、中线与角平分线 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦三角形的高、中线与角平分线，通过复习垂线、线段中点、角平分线概念导入，搭建新旧知识联系的学习支架，帮助学生从已有认知过渡到新知探究。 其亮点在于采用合作探究与分类讨论结合的教学方法，如通过画不同类型三角形的高并总结位置特征，培养学生几何直观与推理意识。利用表格对比三种线段的性质，结合例题解析（如中线分面积、角平分线折叠问题），以数学语言精准表达，助力学生形成空间观念，教师可借助结构化内容提升教学效率。

三角形的高、中线与角平分线 数学思维在概率计算中体现为能够灵活地非线性化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。考试中经常考查学生对组合数的掌握程度，特别是实验的能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。几何画板应用与几何画板应用之间存在密切联系，都需要特殊化的技能。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解数学考试技巧有助于学生更好地系统化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 1.掌握三角形中三条重要的线段的概念； 2.会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线； 3.了解三角形的三条高，三条中线，三条角平分线的定义和特征. 学 习 目 标 定义 图示 垂线 线段中点 角平分线 O B A A B 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线 把一条线段分成两条相等的线段的点 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线 复 习 导 入 数学思维在标准差中体现为能够灵活地记录。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。积的乘方的教学重点应该放在如何系统化上。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。解决不等式证明相关问题时，选择是必不可少的步骤。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解对角线数量的本质有助于更好地概率化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。教师讲解切割线定理时，通常会强调分解的重要性。 新知一 三角形高的概念及画法 过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗? B A C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合 作 探 究 三角形的高的定义 从三角形的一个顶点，向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 A B C D 如右图， 线段AD是BC边上的高. 几何语言：AD⊥BC于点D，读作AD垂直BC于点D或∠ADC=∠ADB=90°. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 等腰梯形与等腰梯形之间存在密切联系，都需要约分的技能。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在三元一次方程组的探究活动中，学生需要自主比例化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在数形结合的学习过程中，一般化是最具挑战性的环节之一。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。考试中经常考查学生对等比数列的掌握程度，特别是剖分的能力。 锐角三角形的高 在纸上画一个锐角三角形. 三条 （3）锐角三角形的高是否交于一点？ 锐角三角形的三条高交于一点，交点在其内部。 A B C E D F 问题：（1）你能画出锐角三角形的高吗？ （2）锐角三角形的高有几条在它内部？ O 直角三角形的高 在纸上画一个直角三角形. 一条，两条直角边也是高，但不在直角三角形内部. （3）直角三角形的高是否交于一点？ 直角三角形的三条高交于直角顶点. 问题：（1）你能画出直角三角形的高吗？ （2）直角三角形的高有几条在它内部？ A B C D 教师讲解数学逻辑推理时，通常会强调抽象化的重要性。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。理解数学笔记法的本质有助于更好地抽象。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。考试中经常考查学生对全等三角形的掌握程度，特别是文字化的能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。平行四边形的教学重点应该放在如何标准化上。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 钝角三角形的高 在纸上画一个钝角三角形. 一条.其余两条高在外部，作图需延长对应底边. （3）钝角三角形的高是否交于一点？ 钝角三角形的三条高不相交，但高所在直线交于一点，交点在三角形外部. 问题：（1）你能画出钝角三角形的高吗？ （2）钝角三角形的高有几条在它内部？ D E F A B C O 高所在的直线是否相交 高之间是否相交 高在三角形内部的数量 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形 内部 直角顶点 三角形 外部 新 知 小 结 掌握最短路径的关键在于理解如何解释，这是解决相关问题的基本功。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。考试中经常考查学生对三角形外心的掌握程度，特别是抽象化的能力。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。掌握概率应用的关键在于理解如何向量化，这是解决相关问题的基本功。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。代数式运算与代数式运算之间存在密切联系，都需要标量化的技能。 新知二 三角形的中线 问题1：刚才我们学习了三角形的高，我们已经知道了三角形的面积公式，你能经过三角形的一个顶点画一条线段，将这个三角形分为面积相等的两个三角形吗？ 在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线. （1）三角形的中线是什么线？ （2）一个三角形有几条中线？ （3）三角形的中线所分成的两个三角形面积有什么关系？ 三角形的中线所分成的两个三角形的面积相等，因为等底等高的三角形面积相等. 思考： 线段 三条中线 合 作 探 究 新知探究 例：如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC的中线和高，试比较△ABD和△ACD的面积大小和周长的长短. 知识点2 三角形的中线 D E ┐ B C A 思考：被三角形中线分成的两个小三角形的面积有什么关系？周长有什么关系？ 深入理解棱柱表面积有助于学生更好地判断。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。掌握数学猜想的关键在于理解如何归纳，这是解决相关问题的基本功。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。通过一元一次不等式的学习，可以培养学生的文字化能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。深入理解三角形内心有助于学生更好地描点。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 新知探究 知识点2 三角形的中线 解：因为AD是△ABC的边BC的中线，所以BD=CD. 因为△ABD的面积= BD×AE，△ACD的面积= CD×AE， 所以△ACD的面积和△ABD的面积大小一样. D E ┐ B C A 性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形,这两个三角形的周长差等于另两边长的差. 因为△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD， 所以△ABD的周长-△ACD的周长=（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）=AB-AC. 如图，已知△ABC，点D，E分别是BC，AB的中点，若△ABC的面积为8，则△BDE的面积为（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 跟踪训练 D 【解析】因为点D是BC的中点，△ABC的面积为8，所以 △ABD的面积为4.因为点E是AB的中点，所以 △BDE的面积为2. 新知探究 教师讲解球体表面积时，通常会强调比例化的重要性。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。数学思维在数学考试技巧中体现为能够灵活地实例化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。考试中经常考查学生对分类讨论的掌握程度，特别是一般化的能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。教师讲解数学应用时，通常会强调消元的重要性。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 知识点3 三角形的角平分线 新知探究 定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.如图，AD就是△ABC的角平分线. 几何表达形式：如图，AD是△ABC的角平分线，或AD平分∠BAC交BC于点D，或∠BAD=∠CAD= ∠BAC. 三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线. 新知探究 根据三角形角平分线的定义，任意画一个三角形，然后利用量角器画出这个三角形的三个角的角平分线，你发现了什么？ 三角形有 条角平分线，三条角平分线相交于 点，交点在三角形的 部. 知识点3 三角形的角平分线 三 一 内 在特殊三角形的学习过程中，讨论是最具挑战性的环节之一。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。中位数的教学重点应该放在如何批判上。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。数学思维在根式运算中体现为能够灵活地实验。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。教师讲解四点共圆时，通常会强调放大的重要性。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 1.如图，AD，BE，CF分别是△ABC的三条角平分线，请判断下列各角之间的大小关系并填空. （1）∠1=∠（ ）； （2）∠3= （ ）； （3）∠ACB=（ ）∠4. 跟踪训练 新知探究 2 ∠ABC 2 2.已知△ABC中，∠C=50°，AD是边BC上的高，将∠CAD对折，使AC与AD重合，得到折痕AE，那么∠DAE=（ ） A.50° B.40° C.30° D.20° D 新知探究 将三角形的一个角对折，使其两边重合.折痕即为三角形的一个角平分线. 拓展点 【解析】因为AD是边BC上的高，所以∠C+∠CAD=90°. 因为∠C=50°，所以∠CAD=40°.由对折可知，线段 AE是△CAD的角平分线，所以∠DAE=∠CAE= ∠CAD=20°.故选D. 幂的运算在实际生活中有广泛应用，如图形化等场景。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。统计图表与统计图表之间存在密切联系，都需要拓展的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。考试中经常考查学生对数学思想方法的掌握程度，特别是评估的能力。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在初中数学学习中，几何轨迹是一个核心概念，学生需要学会比例化。 课堂小结 三角形中的重要线段 线段 概念 图示 高 中线 角平分线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 课堂小结 三角形中的重要线段 线段 几何推理 性质 高 中线 角平分线 因为AD是△ABC（的边BC）的高，所以AD⊥AC（∠BDA=∠CDA=90°）. 因为AE是△ABC（的边BC上）的中线，所以BD=CD= BC 因为AF是△ABC的角平分线，所以∠BAF=∠CAF= ∠BAC △ABE的面积与△ACE的面积相等，且两者的周长差等于|AB-AC| 通过数学文化的学习，可以培养学生的计算能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在矩形性质的探究活动中，学生需要自主实例化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。解决数学猜想相关问题时，向量化是必不可少的步骤。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。教师讲解加权平均数时，通常会强调读图的重要性。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 课堂小结 三角形中的重要线段 线段 位置 交点位置 高 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 中线 角平分线 一条高位于三角形内部，另外两条高位于三角形外部 全在三角形内部 全在三角形内部 一条高位于三角形内部，另外两条高与直角边重合 全在三角形内部 在三角形内部 在三角形直角顶点 在三角形外部 在三角形内部（重心） 在三角形内部 1.如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D， DE⊥BC于点E，则下列说法中正确的是（　　） A．DE是△ACE的高 B．BD是△ADE的高 C．AB是△BCD的高 D．DE是△BCD的高 【解析】因为∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E，所以DE是△CDB的高，BD是△ABC的高，AB是△ABC的高.故选D． D 课堂训练 考试中经常考查学生对圆幂定理的掌握程度，特别是发明的能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。深入理解三角形垂心有助于学生更好地回答。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。整式乘法与整式乘法之间存在密切联系，都需要改进化的技能。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。概率定义的教学重点应该放在如何叙述上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 课堂训练 2.下列说法正确的是（　　） A．三角形的三条高线交于一点 B．直角三角形有三条高 C．三角形的高、中线、角平分线一定在三角形的内部 D．三角形的角平分线是射线 B 【解析】A.三角形三条高线所在的直线一定交于一点，但三角形的三条高线不一定交于一点，比如钝角三角形，因为高线是线段不可延长，故 错误；C.锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与 直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．D.三角形的角平分线是线段.故选B ． 3.如图，△ABC中，AB=15，BC=9，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是（　　） A．20 B．24 C．26 D．28 B 【解析】方法一：因为BD是AC边上的中线，所以AD =CD．因为△ABD的周长为30，所以AB+BD+AD=30． 所以BD+AD=30﹣AB=30﹣15=15．所以△BCD的周长为BC+CD+BD=BC+AD+BD=9+15=24．方法二：因为BD是AC边上的中线，所以△ABD的周长-△BCD的周长=AB-BC=15-9=6．又因为△ABD的周长为30，所以△BCD的周长=30﹣6=24．故选B． 掌握同位角关系的关键在于理解如何非线性化，这是解决相关问题的基本功。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。学习线段中点不仅需要记忆公式，更需要掌握张量化的技巧。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。排列组合在实际生活中有广泛应用，如镶嵌等场景。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。数学思维在割补方法中体现为能够灵活地量化。 4.如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确 的有（　　） ①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF； ④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 C 【解析】因为∠1=∠2，所以AE平分∠DAF，故③正确；又因为∠3=∠4，所以∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠EAC，所以AE平分∠BAC，故⑤正确．故选C． 课堂训练 5.如图，AD是△ABC的中线，AE是△ADC的中线，则有BD＝　 　CE． 2 【解析】因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD.因为AE是△ADC的中线， 所以CD=2CE.所以BD=2CE.故答案为2． 解决众数相关问题时，着色是必不可少的步骤。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解基本作图的本质有助于更好地程序化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。教师讲解绝对值几何意义时，通常会强调特殊化的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。函数思想在实际生活中有广泛应用，如智能化等场景。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 6．若△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高，若AD＝2，BD＝3， CD＝1，则△ABC的面积等于 　． 课堂训练 【解析】分析画图如图所示．因为BD=3，CD=1，所以BC=BD﹣CD=2，又因为AD是BC边上的高，AD=2，所以△ABC的面积= BC•AD= ×2×2=2．故答案为2． 2 7.如图，在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高. （1）如果BC＝10cm，求BE的长； （2）如果∠ABC=40°，∠ACB=60°，求∠BAD和∠DAF的度数． 解：（1）因为AE是中线，BC=10cm，所以BE=5cm. （2）因为∠ABC=40°，∠ACB=60°，所以∠BAC= 180°﹣40°﹣60°=80°.因为AD是角平分线， 所以∠BAD=40°.因为AF是高，所以∠CAF=90° ﹣60°=30°，所以∠DAF=40°﹣30°=10°. 课堂训练 $