1.4正方形的性质与判定 同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本练习通过基础概念辨析、性质综合应用到复杂问题解决的三层设计，实现正方形性质与判定知识的递进巩固，培养抽象能力、推理意识和几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|正方形定义、性质（对角线、边长）、判定|单选题1（定义辨析）、填空题9（判定条件），直接对应课标基础要求| |中档|性质与其他图形综合（等边三角形、轴对称）|单选题3（正方形与等边三角形角度计算）、解答题15（全等证明），培养推理能力| |提高|多图形重叠、坐标系应用、动态问题|单选题4（三正方形重叠面积）、填空题14（坐标系顶点坐标），发展空间观念与创新意识|

1.4正方形的性质与判定 同步练习 一、单选题 1．下列说法中，正确的是（   ） A．有一组邻边相等的四边形是正方形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．有一组邻边相等的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 2．若正方形的边长为1，则该正方形的对角线长为（    ） A．1 B． C．2 D．4 3．如图，在正方形的外侧，作等边，则为（    ）    A． B． C． D． 4．如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上一动点，则的最小值为（   ） A．8 B． C． D．10 6．如图，菱形的两条对角线相交于O，若，顺次连接菱形各边中点所围成的四边形的面积是（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 7．如图，点是正方形对角线上的一点，连接、，延长交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，四边形是正方形，点E在对角线上，过点E作交于点F．若，，则正方形的边长为（     ） A．10 B． C． D． 二、填空题 9．初三数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由：___________的矩形是正方形． 10．如图，在菱形中，对角线，相交于点，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是正方形，则应选择______(限填序号)． 11．如图，正方形的面积为8，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为______． 12．如图，在正方形中，，，，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为____________． 13．如图，点E是正方形内部一点，连接，，若，，则的度数为_____． 14．如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为，则点F的坐标为______．    三、解答题 15．如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，连接、．求证：． 16．如图，正方形中，是上的一点，连接，过点作，垂足为点，延长交于点，连接．若正方形边长是5，，求的长． 17．如图，在正方形和正方形中，点D在边上，，H是的中点，求的长．（保留根号） 18．如图，正方形的边长为2，点分别在边上，连接，已知． (1)求证：； (2)求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】根据菱形的判定定理、矩形的判定定理和正方形的判定定理，平行四边形的判定定理，逐一判断即可得出结论． 本题考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定等知识，熟记各判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、有一组邻边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，错误，不符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，错误，不符合题意； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不一定是正方形，错误，不符合题意； D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，正确，符合题意； 故选：D． 2．B 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理的运用，根据正方形的性质可得两直边与对角线组成直角三角形，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：正方形的边长为1，相邻两直角边与对角线可组成直角三角形， ∴对角线长为， 故选：B ． 3．B 【分析】本题题主要考查了正方形和等边三角形的性质，由四边形是正方形，是正三角形可得，即可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵是正三角形， ∴， ∴． 故选：B． 4．B 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，，由正方形的性质可得，证明可得，进而可求解． 【详解】解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：B． 5．D 【分析】考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，能够根据轴对称的性质以及三角形的三边关系找到点N与点P重合时取最小值是解决本题的关键． 要使最小，首先应分析点N的位置．根据正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．由此可知点D的对称点是点B，连接交于点N，此时最小值即是的长，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，，，设交于点， 四边形正方形， ∴垂直平分， ∴点与点是关于直线对称， ， ， 点为上的动点， ∴当B、M、N三点不共线时，， 当点运动到点时，， ∴的最小值为的长度， 四边形为正方形， ，， 又∵， ∴， ， 的最小值是10． 故选：D． 6．B 【分析】本题考查了菱形的性质，中点四边形，三角形的中位线定理，矩形的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据三角形的中位线定理可证明四边形为矩形，，，再由矩形面积公式即可求解． 【详解】解：如图， ∵点分别为菱形各边的中点， ∴， 同理 ∴平行且等于， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴ 四边形为矩形， ∴四边形面积为， 故选：B． 7．C 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明是解题的关键．由正方形的性质得，则，再证，得，然后由三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．B 【分析】根据正方形的性质得出相等的边和相关角的度数，然后利用勾股定理列出方程求解． 【详解】解：， ． ∵四边形是正方形， ∴，，， 是等腰直角三角形， ， ， ∵在中，， 即， ∴． 9．有一组邻边相等 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形与折叠等知识，熟记矩形的判定与性质、正方形的判定定理是解决问题的关键． 先由矩形性质得到，再由折叠性质得到，，从而确定四边形是矩形，再由正方形的判定定理即可得证四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形），从而得到答案． 【详解】解：如图所示： 在矩形中，， 由折叠性质可得，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）， 故答案为：有一组邻边相等． 10．② 【分析】本题主要考查了正方形的判定定理，根据正方形的判定定理，由菱形添加对角线相等或四边形的一个角是直角，即可求解． 【详解】解：条件①③是菱形的性质，则添加条件①③时，不能使四边形是正方形， 添加条件②时，根据对角线相等的菱形是正方形，能使四边形是正方形， 故答案为：②． 11．4 【分析】本题考查正方形性质，根据正方形性质和线段中点的定义得到，进而得到，同理可得，最后根据四边形的面积正方形的面积个小三角形面积求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ∴，， 点，，，分别为边，，，的中点， ∴， ， 同理可得， 四边形的面积 ， ∵正方形的面积为8，即， ∴四边形的面积， 故答案为： 4． 12． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边上的一半，掌握正方形的性质是关键．根据正方形的性质，勾股定理得到，再证明，得到是直角三角形，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， ，即， ，即是直角三角形， 点H是的中点， ， 故答案为：． 13．64 【分析】本题考查正方形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理，求出的度数，角的和差关系求出的度数，等边对等角即可得出结果． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：64 14． 【分析】过点E作x轴的垂线，垂足为H．过点G作x轴的垂线，垂足为M，连接交于点，结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标． 【详解】如图，过点E作x轴的垂线，垂足为H．过点G作x轴的垂线，垂足为M，连接交于点，    ∵四边形是正方形， ∴，， ，， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点是的中点 ∴， ∵点F与点O关于点对称， ∴点F的坐标为 ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中点坐标公式等，正确添加辅助线以及熟练掌握和运用相关内容是解题的关键． 15．证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ∴． 【分析】根据正方形的性质，结合 “”证明全等即可． 【详解】略 16． 【分析】先证明，得到，于是，利用勾股定理解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形，正方形边长是5， ∴， ∵， ∴ 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17． 【分析】连接、，根据正方形的性质和勾股定理求出、，并判断出是直角三角形，再利用勾股定理求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：如图，连接、． ∵正方形和正方形中， ∴， ， ， ∴． ∴是直角三角形． 由勾股定理得． ∵是的中点， ∴． 18．(1) 解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即； (2)的长为． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是正方形，得，，然后证明，所以，再通过线段的和与差即可求证； （）由四边形是正方形，得，，通过勾股定理，所以，则有，最后再由勾股定理得． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $