25.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的实际应用，核心讲解数字问题与面积问题。通过“连续整数直角三角形”“矩形围绳面积”等实际情境导入，衔接方程解法知识，以例题解析、方法归纳为支架，帮助学生从数学角度建立实际问题与方程的联系。 其亮点在于注重数学思维与模型意识培养，如面积问题中对比不同设元方法，通过分式方程与平方差公式解法凸显运算能力与推理意识。结合月历数字、矩形花园等实例，发展抽象能力与几何直观，系统小结与分层练习助力学生构建知识体系，既提升学生应用能力，也为教师提供丰富教学资源。

人教版九年级上册 25.3 实际问题与一元二次方程 第二十五章 一元二次方程 第1课时 数字、面积问题 例1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为 x，x+1，x+2，其中x为正整数. 由勾股定理，得 x2 +(x+1)2 = (x+2)2. 解方程，得 x1=3，x2= – 1（不符合题意，舍去）. 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为 3，4，5. 探索新知 知识点1　数字问题 知识点1　数字问题 整数的常用表示方法： ①三个连续的整数，令最小的数为，则中间的数为，最大的数为. ②两位数=十位上的数字×10 + 个位上的数字； ③三位数=百位上的数字×100 + 十位上的数字×10 + 个位上的数字； 1.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数. 分析：设原来的两位数个位数字为 x，则十位数字为 5–x. 十位数字 个位数字 这个两位数 原两位数 5–x x 10(5–x)+x 新两位数 x 5–x 10x+(5–x) 等量关系：所得的新数与原来的两位数乘积为736. 对应练习 解：设原来的两位数的十位上的数字为x，则个位上的数字为 5–x. 依题意，得 [10x+(5–x)][10(5–x)+x]=736. 解得 x1=2，x2=3. 当 x=2 时， 5–x=3；当 x=3 时， 5–x=2. 所以原来的两位数是23或32. 1.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数. 对应练习 分析：假设细绳能围成面积为96 m2的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度.设矩形一边长为x m，由周长为40 m，可用含 x 的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解. 例2 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 知识点2　面积问题 例2 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 解：设矩形的一边长为 x m，由矩形的周长为 40 m，可得此边的邻边长为 (20–x) m；再由矩形的面积为 96 m2，得 x(20–x) = 96. 解方程，得 x1= 12，x2=8. 方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？ 因此，用一根长为 40 m 的细绳可以围成面积为 96 m2 的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为 8 m，12 m. 知识点2　面积问题 思考：对于例2中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种. 例如： （1）可设一边长为 x m，那么其邻边长为 m； （2）可设一边长为 (10+x)m，那么其邻边长为 (10–x)m. 能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2吗？ 解：设一边长为 x m，那么其邻边长为 m. 解：设一边长为 (10+x) m，那么其邻边长为 (10–x) m. 由矩形的周长为 40 m，得 2(x+)=40. 解方程，得 x1= 12，x2=8. 由矩形的面积为 96 m2，得 (10+x)(10–x) =96. 解方程，得 x1=2，x2= – 2. 当 x=2 时，边长为 10+2=12m，10–2=8m； 当 x= –2 时，边长为10–2=8m，10+2=12m. 比较这些设法，说说它们各自的特点. 解：设一边长为 x m，那么其邻边长为 m. 由矩形的周长为 40 m，得 2(x+)=40. 解方程，得 x1= 12，x2=8. 解：设一边长为 (10+x) m，那么其邻边长为 (10–x) m. 由矩形的面积为 96 m2，得 (10+x)(10–x) =96. 解方程，得 x1=2，x2= – 2. 当 x=2 时，边长为 10+2=12m，10–2=8m； 当 x= –2 时，边长为10–2=8m，10+2=12m. 直接利用面积关系表示邻边，方程会出现分式，需要去分母化为整式方程，步骤稍多. 利用 “和为定值” 设未知数，直接用平方差公式，方程非常简洁，计算量小，能快速得到结果. 1.利用一元二次方程解决规则图形问题时，常利用规则图形的面积、体积或周长公式等建立方程进行计算； 2.根据条件灵活选择设元方式，优先用能简化运算的技巧，同时保证解的合理性验证. 知识点2　面积问题 1.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用 25 m），现在已备足可以砌 50 m 长的墙的材料，当矩形花园的面积为300 m2 时，求AB的长． 对应练习 解：设AB长为 x m，则BC长为 (50–2x) m. 根据题意，得 x(50–2x)=300. 解方程，得 x1= 10，x2=15. 当 x=10 时，AD=BC=50–2x=30>25，不合题意，所以 x=10 应该舍去． 当 x=15 时，AD=BC=50–2x=20<25，所以 x=15 满足条件． 答：AB的长为15 m. 对应练习 课堂小结 数字、面积问题 面积问题 利用规则图形的面积、体积或周长公式等建立方程进行计算；对于部分不规则图形，可以通过平移、旋转等变换，转化为规则图形来解决问题. 数字问题 整数的常用表示方法： ①三个连续的整数，令最小的数为，则中间的数为，最大的数为. ②两位数=十位上的数字×10 + 个位上的数字； ③三位数=百位上的数字×100 + 十位上的数字×10 + 个位上的数字； 1.小慧在某年某月的月历中按图1所示方式圈出9个数(如图2)，发现这9个数中最大的数与最小的数的乘积是260，则这9个数中，中间的数e是( ) 　　　　　 A.17 B.18 C.19 D.20 图1　　　　　图2 B 课堂练习 2.若两个数是方程x2－5x＋6＝0的两个根，则分别以这两个数作为十位数与个位数，组成的最大两位数是( ) A.16 B.61 C.23 D.32 D 3.[教材P24习题25.3第1题改编]若两个数的和为7，积为12，则这两个数分别是　　和　　.  3 4 4.[与T10互为孪生题]两个相邻偶数的平方和是52，这两个相邻偶数中较大的数是多少？ 解：这两个相邻偶数中较大的数是6或－4. 5.[教材P24习题25.3第8题改编]如图，某小区改造修建一个长32 m、宽18 m的矩形小花园，并在花园内修建一条水平、两条竖直的宽度相同的小路，余下部分进行绿化(图中阴影部分).设小路宽为x m，若绿化面积为448 m2，则可列方程为( )  A.32×18－32x－18x＝448 B.32×18－64x－18x＝448 C.(32－x)(18－2x)＝448 D.(32－2x)(18－x)＝448 D “笔直小路”→“弯折小路”   如图是一个长为30 m、宽为20 m的长方形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图所示.要使种植花草的面积为532 m2，则小道的宽度应为　 　m.  1 6.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30 m的篱笆围成.已知墙长为18 m(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x m.若苗圃园的面积为72 m2，则x的值为( ) A.15 B.12 C.10 D.8 B 7.如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝21 cm.动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动.如果点P，Q的运动速度均为1 cm/s，那么当运动　 　s时，△PCQ的面积为55 cm2.  10或11 8.如图，用一段77 m长的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形羊圈都有一扇1 m宽的门，墙的最大可用长度为30 m.如果羊圈的总面积为300 m2，那么边AB的长为( )  A.5 m B.10 m C.15 m D.20 m C 9.[2024·合肥蜀山区期末]为了节省材料，某农场水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为120 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块长方形区域，且这三块长方形区域的面积都为225 m2，则图中区域①长方形的长a为 　 　m.  30 10.[与T4互为孪生题]五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，则这五个整数分别是 　 　.  10，11，12，13，14或－2，－1，0，1，2 11.[新定义题]对于任意一个四位数，若千位上的数字与个位上的数字之积是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“共生数”. 例如：四位数2 156，因为2×6＝2×(1＋5)， 所以2 156是“共生数”. 有一个四位数为“共生数”，它的千位上的数字与个位上的数字相等，百位上的数字比千位上的数字大3，十位上的数字比个位上数字的一半小1，则这个“共生数”的个位数字是多少？ 解：这个“共生数”的个位数字是4. 12.如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝2 cm，点P以2 cm/s的速度从点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以1 cm/s的速度从点C出发向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动. (1)经过多长时间，四边形PBCQ的面积是 矩形ABCD面积的？ 解：(1)经过 s，四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的. (2)两个动点在运动过程中是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为 cm？若存在，求运动所需的时间；若不存在，请说明理由. 解：(2)存在. 设两个动点运动t s时，点P与点Q之间的距离为 cm. ①当0＜t≤3时，过点Q作QE⊥AB于点E， 则PE2＋QE2＝PQ2，即(6－2t－t)2＋4＝5，解得t＝或t＝. ②当3＜t≤4时，有PC2＋QC2＝PQ2， 即(8－2t)2＋t2＝5，整理，得5t2－32t＋59＝0. ∵Δ＝(－32)2－4×5×59＝－156＜0，∴此方程无解. 综上所述，当运动 s或 s时，点P与点Q之间的距离为 cm. $