25.1一元二次方程的概念课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念，通过人体雕像比例、矩形铁皮制作方盒、排球邀请赛等实际问题导入，引导学生从具体情境抽象方程，对比一元一次方程构建学习支架，帮助理解概念形成脉络。 亮点在于以问题驱动教学，结合现实情境培养数学眼光，归纳概念时注重数学思维的推理过程，规范方程表达强化数学语言。通过实例分析和步骤总结，学生能提升抽象能力与应用意识，教师可借助清晰逻辑高效开展教学。

一元二次方程的概念 人教版九年级上册数学 　　在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感。如果某人体雕像全身长为 5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ 让我们画出图形，解决这个问题． 　　如图，雕像腰部以上的身长 AC 与腰部以下的身长 BC 应有如下关系： AC∶BC＝BC∶5，即 BC2＝5AC． A C B 2－x x 　　这个方程也只含有一个未知数，但未知数的最高次数是 2，和一元一次方程不同。在本节课中，我们将围绕这个方程展开探究学习。 　　设雕像腰部以下的身长BC为 x m，可得方程 x2＝5(5－x)， 整理得 x2＋5x－25＝0． 　　方程 x2＋5x－25＝0 只含有一个未知数 x，x 的最高次数是 2．像这样的方程有丰富的背景、广泛的应用，请看下面的问题． 　　问题 1　如图 1，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图 2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为 3 600 cm2， 那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？（只列方程） 图 1 图 2 　　解：设各角切去的正方形铁皮的边长为 x cm，则盒底的长为(100－2x)cm，宽为(50－2x)cm．根据方盒的底面积为3 600 cm2，可列得方程 (100－2x)(50－2x)＝3 600． 　　整理并化简，得 x2－75x＋350＝0． 　　这个方程中，未知数的个数和最高次数各是多少？ x 1，2 　　问题 2　要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛 1 场）．根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？（只列方程） 　　分析：全部比赛的场数为4×7＝28． 设应邀请 x 支球队参赛，每支球队要与其他(x－1)支球队各赛一场，则此次邀请赛共需进行 x(x－1)场． 　　为什么需进行 x(x－1)场？ 若直接用x(x－1)计算，甲队对乙、乙队对甲会被算作两场，实际是同一场比赛，因此需要除以 2，避免重复计数。 解：设应邀请 x 支球队参赛． 列方程 x(x－1)＝28． 整理并化简，得 x2－x－56＝0． 　　这个方程中，未知数的个数和最高次数各是多少？ 1，2 　　问题 2　要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛 1 场）．根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？（只列方程） 思考 观察下列三个方程，找到它们的共同点： x2＋5x－25＝0，x2－75x＋350＝0，x2－x－56＝0． 1．方程两边都是________； 2．只含有_______个未知数； 3．未知数的最高次数是______． 整式 一 2 怎样定义有这些共同点的方程呢？ 　　等号两边都是______，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是____（二次）的方程，叫作一元二次方程． 归纳 整式 一个 2 　　（1）“整式”应理解为未化简时，方程两边均是整式； 　　（2）“只含有一个未知数，未知数的最高次数为 2”是对方程整理合并后而言的． 　　一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． 当a＝0时，方程没有二次项． 为什么规定a≠0？ 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 　　使一元二次方程左右两边______的未知数的值就是这个一元二次方程的_____，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根． ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． 相等 解 新知 一元二次方程的解满足的两个条件： （1）未知数的值； （2）使一元二次方程左右两边相等． 例1　下列方程中，哪些是一元二次方程？ （1）x2＝4； （2）y2－3y＋1＝0； （3）(y－1)2＝y2＋2； （4）x2－2y＋1＝0． 　　解：（1）整理，得x2－4＝0，是一元二次方程； 　　（2）是一元二次方程； 　　（3）整理，得2y＋1＝0，未知数的最高次数是1，所以不是一元二次方程，是一元一次方程； 　　（4）方程中含有x，y两个未知数，不是一元二次方程． 　　所以（1）（2）是一元二次方程． 归纳 判断一元二次方程，理清“是”“否”是关键 观察方程是不是整式方程 不是一元二次方程 使方程的右边为0，左边合并同类项 观察是否满足“一元”和“二次” 是一元二次方程 不是一元二次方程 否 是 是 否 特别提醒 　　如果一个方程的二次项系数含有字母，必须注意只有当这个字母的取值使二次项系数不为 0 时，该方程才是一元二次方程． 解：去括号，得 3x2－3x＝5x＋10． 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2－8x－10＝0． 它的二次项系数为 3，一次项系数为－8，常数项为－10． 　　例2　将方程 3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方法总结 化一元二次方程为一般形式的步骤 第 1 步：去分母； 第 2 步：去括号； 第 3 步：移项； 第 4 步：合并同类项． 确定一元二次方程的各项及其系数，三点注意莫忽视 　　（1）先把方程化为一般形式．如果二次项系数小于 0，一般把方程两边同乘－1，将其二次项系数转化为大于0的数． 　　（2）指出一元二次方程各项的系数时，注意带上前面的符号，不要漏掉． 　　（3）特例：若没有出现一次项 bx，则 b＝0；若没有出现常数项，则 c＝0． 归纳 　　例3　判断 x＝2，x＝3是不是一元二次方程 x2－x－5＝1的根． 　　解：将 x＝2 分别代入方程的左右两边， 　　得左边＝－3，右边＝1，－3≠1， 　　所以 x＝2 不是方程的根； 　　将 x＝3 分别代入方程的左右两边， 　　得左边＝1，右边＝1，1＝1， 　　所以 x＝3 是方程的根． 归纳 判断是不是一元二次方程的根的妙招 　　将已知数值分别代入一元二次方程的左右两边，若左右两边的值相等，则这个数值是方程的根；否则不是方程的根． 一元二次方程的特殊形式 a，b，c 的取值 方程的一般形式 a≠0 b≠0，c＝0 ax2＋bx＝0 b＝0，c≠0 ax2＋c＝0 b＝0，c＝0 ax2＝0 解（根） 概念 一般形式 一元二次方程 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是 2 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值 $