25.1 一元二次方程的概念 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式、根及建模，通过雷锋雕像设计情境导入，结合矩形铁皮制作方盒、排球邀请赛等问题，引导学生对比一元一次方程，抽象出“整式方程、单未知数、最高次2”的核心特征，搭建从实际问题到数学模型的学习支架。 其亮点在于以真实情境驱动探究，如雕像比例、方盒制作等实例，培养学生用数学眼光观察现实世界的抽象能力。通过对比辨析与问题链设计，发展数学思维中的推理意识，结合例习题训练模型观念，帮助学生用数学语言表达实际问题。结构化小结与分层练习，既助学生构建知识体系，也为教师提供清晰教学流程，提升课堂效率。

25.1 一元二次方程的概念 第二十五章 一元二次方程 人教版九年级上册 雷锋是共产主义战士、最美奋斗者，他无私奉献的精神影响了一代又一代的中国人．在国内有多处雷锋雕像，那么你知道这些雕像是怎么设计的吗？ 情境导入 设计师在设计人体雕像时，使雕像的上部AC(腰以上)与下部BC(腰以下)的高度比，等于下部BC与全部AB(全身)的高度比，可以增加视觉美感，假设如图所示的雕像高AB为2 m，下部BC=x m，请列出方程. A C B 解：列方程得 整理得　x 2 + 2x - 4 = 0．① x 2 = 2(2 - x )， 想一想，上述方程与以往我们学过的方程有什么联系和区别？ x m (2 - x ) m 等量关系： AC：BC=BC：AB 即BC2=AB•AC 情境导入 问题1 有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 100cm 50cm x 3600cm2 解：设切去的正方形的边长为xcm， 则盒底的长为(100 − 2x)cm， 宽为(50 − 2x)cm， 根据方盒的底面积为3600cm2，得 化简，得 ② 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 探究点1：一元二次方程的概念 新知探究 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛? 解：设比赛组织者应邀请x个队参加比赛，根据题意，列方程： 化简，得： 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ ③ 探究点1：一元二次方程的概念 新知探究 方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 特点: ①都是整式方程; ②都只含一个未知数; ③未知数的最高次数都是2. x2-75x＋350=0 ② x2 + 2x - 4 = 0 ① x2-x-56=0 ③ 探究点1：一元二次方程的概念 新知探究 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫作一元二次方程. 一元二次方程的概念 ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0) ax2 是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项. 一元二次方程的一般形式是 探究点1：一元二次方程的概念 新知探究 想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 探究点1：一元二次方程的概念 新知探究 例1 下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成 x2-3x+2=0 化简整理成12x+10=0 方法指导：判断一元二次方程的步骤，首先看是不是整式方程；如果是，则进一步整理化简，看化简后的方程中是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2. 探究点1：一元二次方程的概念 新知探究 判断下列方程是否为一元二次方程？ (2) x3+ x2=36 (3)x+3y=36 (5) x+1=0 √ × × × × √ × × (1) x2+ x=36 注意：未限定a≠0 探究点1：一元二次方程的概念 新知探究 10 例2 a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2−x=2x2； (2) (a−1)x|a|+1 −2x−7=0. 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a − 2)x2−x=0，所以当a − 2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由|a|+1 =2，且a −1 ≠0知，当a= −1时，原方程是一元二次方程. 方法指导：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值． 探究点1：一元二次方程的概念 新知探究 变式：方程(2a－4)x2 −2bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解：（1）当 2a − 4≠0，即a ≠2 时，是一元二次方程； （2）当a=2 且b ≠0时，是一元一次方程． 方法指导：一元一次方程与一元二次方程的区别与联系： 1.相同点：都是整式方程，只含有一个未知数； 2.不同点：一元一次方程未知数最高次数是1，一元二次方程未知数最高次数是2. 探究点1：一元二次方程的概念 新知探究 一元一次方程 一元二次方程 一般式 相同点 不同点 思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ ax=b (a≠0) ax2+bx+c=0 (a≠0) 整式方程，只含有一个未知数 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 探究点1：一元二次方程的概念 新知探究 例3 将方程3x(x − 1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的的二次项系数、一次项系数和常数项. 解： 去括号，得 3x2 −3x=5x+10. 移项、合并同类项，得 3x2 −8x −10=0. 其中二次项系数是3；一次项系数是−8；常数项是−10. 注意：系数和项均包含前面的符号. 探究点1：一元二次方程的概念 新知探究 一元二次方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根. 试一试：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? – 4， –3， –2， –1，0，1，2，3，4 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x2 – x– 6 14 6 0 – 4 – 6 – 6 – 4 0 6 探究点2：一元二次方程的根 新知探究 例4 已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值. 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得 32+3a+a =0, 9+4a =0, 4a = − 9, 方法指导：已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程，将得到一个关于这个字母的一元一次方程，求解这个一元一次方程，就能得到字母的值. 探究点2：一元二次方程的根 新知探究 变式：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根，求 2a2+4a+2018的值. 解：由题意得： 方法指导：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，代入求值． 探究点2：一元二次方程的根 新知探究 问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？ 32 20 x 探究点3：根据实际问题列一元二次方程 新知探究 1.若设小路的宽是xm， 则横向小路的面积是____m2， 纵向小路的面积是 m2,两者重叠的面积是 m2. 32x 2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？ 整理以上方程可得 思考： 2×20x 32×20−(32x＋2×20x)＋2x2=570 2x2 x2−36x＋35=0 32 20 x 探究点3：根据实际问题列一元二次方程 新知探究 想一想： 还有其他的方法吗？试说明原因. (20−x)(32−2x)=570 32-2x 20-x 32 20 探究点3：根据实际问题列一元二次方程 新知探究 审 建立一元二次方程模型的一般步骤 设 找 列 审题，弄清已知量与未知量之间的关系 设未知数 找出等量关系 根据等量关系列方程 探究点3：根据实际问题列一元二次方程 新知探究 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的为（　C　） A. 3x（x＋1）＝3x2－5x B. ax2＋bx＋7＝0 C. 7（x－1）（x＋2）＝x D. x2＋ ＝y C 2. 一元二次方程7x2－2x＝1的二次项系数、一次项系数和常数项依次是（　C　） A. 7，2，1 B. 7，－2，1 C. 7，－2，－1 D. 7，2，－1 C 随堂练习 3. 教材变式题 将一元二次方程3x（x＋1）＝5（x－2）化为一般形式为（　B　） A. 3x2－2x＝－10 B. 3x2－2x＋10＝0 C. －3x2－2x＋10＝0 D. 3x2－2x－10＝0 B 4. 已知关于x的方程（k＋5）x2－kx＋9＝0，当k 　≠－5　时，该方程是一元二次方程，这个一元二次方程的二次项系数为 　k＋5　，一次项系数为 　－k　，常数项为 　9　. ≠－5　 k＋5　 －k　 9　 （1） 9x2＝25； 解：一般形式为9x2－25＝0，二次项系数为9，一次项系数为0，常数项为－25 （2） 3x（x－4）＝7. 解：一般形式为3x2－12x－7＝0，二次项系数为3，一次项系数为－12，常数项为－7 5. 教材变式题 将下面的方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： 6. 教材变式题 有下列各数：－1，2，1，－2.其中，是方程x2＋x－2＝0的根的为（　C　） A. －1，2 B. －1 C. 1，－2 D. 2 7. 已知x＝2是关于x的一元二次方程x2＋ax－3a＝0的一个根，则a的值为（　B　） A. －4 B. 4 C. 2 D. C B 8. 若方程x2－4x＝0的一个根为m，则m2－4m＋1＝ 　1　. 9. （易错题）如果关于x的一元二次方程（m－3）x2＋2x＋m2－9＝0有一个根为0，那么m的值为 　－3　. 1　 －3　 10. 教材变式题 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛.为了能让更多的足球爱好者现场观看到足球比赛，赛程计划安排18天，每天安排4场比赛，设参加比赛的球队有x支.根据题意，下列方程正确的是（　D　） A. x（x＋1）＝72 B. x（x－1）＝72 C. x（x＋1）＝72 D. x（x－1）＝72 D 11. 根据题意，列出方程（不需要求解）： （1） 某班学生毕业时都会向全班其他学生各送一张自己的照片以作留念，全班共送出1056张照片，求全班有多少名学生.设全班有x名学生，可列方程为 　x（x－1）＝1056　. （2） 一个直角三角形的斜边长为4 ，两条直角边长相差4.设较长的直角边长为x，可列方程为 　x2＋（x－4）2＝80　. x（x－1）＝1056　 x2＋（x－4）2＝80　 12. 若x＝－1是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则下列式子成立的是（　B　） A. a＋b＋c＝0 B. a－b＋c＝0 C. a＋b－c＝0 D. －a＋b＋c＝0 13. 已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式－2m2＋2m＋2026的值为（　B　） A. 2022 B. 2024 C. 2026 D. 2028 B B 14. 若方程（m＋2） ＋（m－1）x－2＝0 是关于x的一元二次方程，则m＝ 　2　. 15. 若关于x的一元二次方程mx2＋2nx－1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则3－2m－4n的值是 　1　. 16. 若x＝－3是关于x的方程2x2－a＝0的一个根，则常数a＝ 　18　，这个方程的另一个根为 　x＝3　. 2　 1　 18　 x＝3　 （1） 6个完全相同的等腰直角三角形的面积之和是27，求等腰直角三角形的直角边长x； 解：（1） 由题意，得 x2×6＝27.整理，得x2－9＝0 （2） 一个矩形的周长为20，面积是24，求矩形的长x； 解：（2） 由题意，得x ＝24.整理，得x2－10x＋24＝0 17. 根据题意列出方程，并将其化成一元二次方程的一般形式（不需要求解）： （3） 从一块正方形木板上锯掉一块宽为3dm的矩形木板，剩下的矩形的面积为60dm2，原来正方形木板的边长为adm，求a的值（木板厚度忽略不计）. 解：（3） 由题意，得a（a－3）＝60.整理，得a2－3a－60＝0 18. 已知m是一元二次方程2x2＋4x－1＝0的一个根，求 ÷ 的值. 解：原式＝m2＋2m.∵ m是一元二次方程2x2＋4x－1＝0的一个根，∴ 2m2＋4m－1＝0.∴ 原式＝m2＋2m＝ 19. 新考向 新定义题 关于x的一元二次方程a1（x－m）2＋k＝0与a2（x－m）2＋k＝0称为“同族二次方程”，如2（x－3）2＋4＝0与3（x－3）2＋4＝0是“同族二次方程”.现有关于x的一元二次方程2（x－1）2＋1＝0与（a＋2）x2＋（b－4）x＋8＝0是“同族二次方程”，则a＋b＝ 　－5　. －5　 解：由题意，得a2－2025a＋1＝0.∴ a≠0，a2＝2025a－1，a2＋1＝2025a.∴ a2－2024a＋ ＝2025a－1－2024a＋ ＝a－1＋ ＝ －1＝ －1＝2024 20. 已知实数a是一元二次方程x2－2025x＋1＝0的一个根，求代数式a2－2024a＋ 的值. 一元二次方程 概念 是整式方程； 只含一个未知数； 未知数的最高次数是2. 一般形式 ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件； 根 使方程左右两边相等的未知数的值. 建立一元二次方程模型 审→设→找→列 课堂小结 $