湖北省孝感市楚天协作体2026-2027学年高三上学期开学数学试题

高三数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的)》 1定义在R上的函数，若f0=-1,则四0-202600.（) -△x A.1 B.1 C.2026 D.-2026 2.己知集合A={L,2,a2},B={L,a+2},若BsA,则a的取值是() A.-1或0 B.-2或0 C.0或2 D.-2或2 3.“m<0”是“关于x的方程x2+2x+m=0有一正一负根”的() A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4已知函数代=F1-小若正实数a、b满是回+0-小=0，则日+言的最小值为 () A.2 B.5 C.8 D.9 5.已知一元二次方程x2-x-1=0的两个根为a和B,若数列{an}满足an=a”+B”(neN), 则a6=(） A.11 B.18 C.29 D.47 6.某中学举办生物知识竞赛，设置10道题目，比赛规则如下：每答对一道题目得10分，答错 一道题日扣5分.已知甲答对每道题目的概率均为甲需要答满10道题，且每道题答对 与否相互独立，设随机变量X表示甲最后的得分，则() A.E(X)=8 B.E)=15 C.D(9=270 D.DX0=540 7.某人工智能社团有6位同学（含甲、乙），计划对Cha1GPT、Sora、GPT-4这3种人工智 能模型展开学习调研。每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择一种模型.若甲、乙 不能调研同一种模型，且ChatGPT模型恰由2人负责，共有(）种不同的安排方案。 A.160 B.320 C.480 D.540 8.设x∈R,计算机程序中的命令函数WT(x)表示不超过x的最大整数，例如：WT(-23)=-3, NT(-0.1)=-1,NT(2.1)=2,若函数f(x)= 200a到0.则r到 正确的有() 第1页共4页·26-G3-09L A.f(x)在(-，0)上为单调函数 B.f(x)在(-o,0]有最大值 C.f(x)在[4,4]恰好有8个零点 D.若(y的图象上恰好有4对关于原点对称的点，则子a<兮 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列结论正确的是() A.若样本点都落在同一条直线上，则相关系数1 B.已知y关于x的回归方程为y=0.7x+0.3,则样本数据点(3,4)的残差为2.2 C.以模型y=c心“去拟合一组数据时，为了求回归方程，设z=血y,将其变换后得到经验 回归方程z=0.2x+5,则c=e3,k=0.2 D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到x≈9.852，根据小概率值α=0.005的 独立性检验：x石s=7879,可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% 10.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个 正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形， 再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若图①中的正三角形边长 为1，记第n个图形的边数为a,第n个图形的边长为b,第n个图形的周长为L.,第n个 图形的面积为Sn,n∈N.则下列命题正确的是() 人 ③ ④ A.an=3×4- B.S=943 243 04*站 D,数列私，}的前n项和为式-9 11.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,f(x+)是奇函数，且(1-x)+g(x)=2, f(x)+g(x-3)=2,则() A.f(x)为偶函数 B.g(0)=0 C.f(1)f(2)+…+f(20)=0 D.g(1)+8(2)t…+g(20)=40 第2页共4页·26-G3-09L 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.函数f(x+1)的定义域为[-2,2)，则函数f(x)的定义域为 13.已知P(A)=PaB)-=子Pa可=克则P(一 14.已知函数f(x)=ae-x,g(x)=n+x若关于x的不等式对(x)+gx)s0有解，则a 的取值范围为一 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题13分) 设函数f(x)=d+ka(keR,a>0,a≠1)且f(x)为奇函数. (1)若f0=,求f()的解析式： (2)在(1)的条件下，若函数h(x)=a2+a“-f(x)21在xE[,+o)上恒成立，求实数1的 取值范围. 16.(本小题15分) 暑假期间，某景区的文创店在平台开启了直播销售，周一到周五的五个工作日内，直播时长 x(小时)与直播时在线观看人数y(千人)如下表： 星期 四 五 直播时长x(小时) 1 2 3 直播时在线观看人数y(千人) 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 参考数据： xy=402(-=10,2y-列}=3.06v506553 y-n (x-x)0y-列 参考公式：相关系数 ,回归方程 2-2-2x-2-列 极tà中率和我短的最小三估计公术分为6二上秋可 ,a=y- 2-网 第3页共4页·26-G3-09L 心 (1)试根据样本相关系数，的值判断该直播的在线观看人数y(千人)与直播时长x(小时) 的线性相关性的强弱（若0.75≤川s1,则认为y与x的线性相关性较强：若川<0.75，则认为y 与x的线性相关性较弱)： (2)利用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程，并预测直播时长为9小时时的在线观看 人数 17.(本小题15分) 已知数列{a}的前m项和为8,4=2，且满足24+24，+26++20，=4=4 3 (1)求数列{an}的通项公式： (2)若数列.}满足对任意neN,2b1=bn+b2,且么=3,6=4+1，设其前n项和为S. 的前分项和为，求证：工<子： 1 (i)设数列 (i)若对任意neN',b.-5≤a,恒成立，求实数1的取值范围. 18.(本小题17分) 为践行五育并举，增强学生体质，某中学高三年级开展校园篮球比赛.经过小组赛的激烈对 决后，A班和B班进入决赛.比赛采用2k+1局k+1胜制（即先赢得k+1局者获胜）. 假设每局比赛中，A班获胜的概率为0.6，B班获胜的概率为0.4，且每局胜负相互独立. (1)当k=1时，记结束比赛时的局数为X,求X的分布列和数学期望E(X): (2)设在该赛制下A班获胜的概率为P(K), ①求P()和P(2)的值，并比较它们的大小，据此说明k=1和k=2哪种赛制对A班更有利： ②随着k的增大，A班获胜的可能性如何变化？证明你的结论. 19.(本小题17分) 已知商数f个=式-x+ar-小 (1)讨论f(x)的单调性： (2)讨论关于x的方程f(x)=f(@)的零点个数； (3)设函数g(x)=(3-a)x-f(x)有两个极值点x,x(x<为)，证明：g(:)+g(,)<10-血a. 第4页共4页·26-G3-09L高三数学参考答案 一.单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 Q C y D B D B D 8.由题意，画出f(x)的图象如图所示： y=-log(-x)0<a<1) y=logx(a>1) 5-4-3-21 y=logax(0<a<1) y=-1og(-x)(a>l) 由f(x)在区间(-o,0]上的图象可知，f(x)在区间(-o,0]上为非单调函数，A项错误： 在区间(-o,0]上，f(x)<1,没有最大值，B错误： 无论0<a<1还是a>l,f(x)在区间(0，+o)内恒有1个零点， 由图象可知，f(x)在区间[4,0]上有5个零点， 所以f(x)在区间[4,4上有6个零点，C错误： 要使f(x)的图象上至少存在4对关于坐标原点对称的点， 则函数y=-log（-x)与y=x-NT(x),(x<0)的图象恰好有4个交点， 由图象得 03<1,解符a<兮D明正跳 0<a<1 .1 -log。4≥1 二.多选题 0 10 11 BCD ABD ACD 11.因为f(x)+g(x-3)=2,所以f(x+3)+g(x)=2,又f1-x)+g(x)=2,则有 fx+3)=f0-x): 因为f(x+)是奇函数，所以f(-x+)=-f(x+1), 可得f(x+3)=-f(x+1),即有fx+2)=-f(x), 所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 所以f(x)是周期为4的周期函数， 故g(x)也是周期为4的周期函数， 对于选项A,因为f(-x+)=-f(x+1),所以-f(-x)=f(x+2),则f(-x)=f(x), 所以f()为偶函数，故A正确： 对于选项B,因为f(x+)是奇函数，将x=0代入得：f()=0, 且f(1-x)+g(x)=2,将x=0代入得g(0)=2,所以B错误： 对于选项C,由g(0)=2,且f(x)+g(x-3)=2, 将x=3代入得：f(3)+g(0)=2, 所以f(3)=0, 由于f(x+2)=-f(x),即f(x+2)+f(x)=0, 第1页共6页·26-G3-09L 得f(2)+f(4)=f(2)+f(0)=0, 因为f(x)是周期为4的周期函数， 所以2f)=5/0+f2)+f3)+f4=0,所以c选项正确： 对于选项D,因为g(2)=2-f(⑤)=2-f①)=2， g(0)+g3)=[2-f4)]+[2-f6)]=4-[f(4)+f(2)]=4, 所以g(0)+g(L)+g(2)+g(3)=8, 因为g(x)是周期为4的周期函数， 所以28)-5l0+g0+g2+g0]-5x8=40,所以D连项正流 三填空题 12.[-1,3) 1.( 解析：令F(x)=f(x)+g(x)=are-x+na+x, 若a<0,可知F(x)的定义域为(-o,0), 当x趋近于-o时，F(x)趋近于-o,符合题意； 若a>0,可知F(x)的定义域为(0，+o), 令F(x)=are-x2+lng+x≤0，可得+x+hx+lna≤e2+ln2, h(x)=e+x在定义域(0，+o)内单调递增， 因为h(x+lnx+lna≤hlnx2),则x+lnx+na≤nx2=2lnx,即-x+lnx≥lna, 可知-x+lnx之na有解，-12na,解得0<a≤。： 综上所达：ae(o] 四.解答题 15.【详解】(1)因为函数f(x)=a+ka(a>0且a≠1)是R上的奇函数，则 f(-x)+f(x)=0,1分 即f(-x)+f(x)=a+ka+a+ka*=(1+k)(a+a=0,3分 .k+1=0,可得k=-1,即f(x)=d-a,4分 由/0-号得a-。-弓解得a=弓合)或a=26分 2 .f(x)=2-27分 (2)由(1)得f(x)=2-2 h(x)=a2+a2-f(x)≥在x∈[L,+o)上恒成立，可转化为： 第2页共6页·26-G3-09L h(x)=22+22r-（2-2)2,在x∈[山，+o)上恒成立.…8分 h(x)=22+22x-(2-2）=(2-2）-(2-2）+2,9分 1=2-2,则1=2-2在x+m列上为函数.所以1=2r-2号10分 g0-f-1+2-+子以3-号.0=-42阳果小 4， .12分 所以2的取值范围为-0,4 。11 .13分 16.【详解】(1)由x=(1+2+3+4+5)=3,2分 1 =51.3+1.7+2.2+2.8+3.5)=2.3,4分 y-5K 所以r= 40-5×3×2.3=5.5≈550 2-对2以-列 V10x3.0630.6553(或≈0.995)，…7分 所以y与x具有较强的线性相关性.8分 x-5xy (2)6=白 5.5 =0.55,10分 - 10 a=-=2.3-0.55×3=0.65,12分 所以y关于x的回归直线方程为少=0.55x+0.65,13分 当x=9时，=0.55×9+0.65=5.6，由此预测当直播时长为9小时的时候，在线人数约为5.6 (千人)…15分 17.【详解】(1)2a+2242+2a3+…+2”an= 4m1-4 3 ∴.当n≥2时，2a+22a,+2a,+…+2a1= 4”-4 3 两式相减得20-4-4_44=4，…2分 33 .当n≥2时，an=2”, 当n=1时，a=2=2,上式也成立， 综上，数列{a,}的通项公式为an=2”(n∈N).4分 (2)(i)因为2bn=bn+bn+2,所以{bn}为等差数列，.5分 设公差为d,又6=3,6=4，+1=9，所以d=6-B=3, 3-1 所以6，=3n,则3.-3+3m）n；7分 2 第3页共6页·26-G3-09L 发6ron-股 前以z-0》》++ (i)因为对任意neN,bn-5≤an恒成立， 即对任意neN,3n-5≤.2"恒成立， 所以对任套meN,22恒成立，1分 令6，=3n-5 02则c1-c3n-23n-5-3n-2-23n-5=823”,13分 2+2” 2州 所以当1≤n≤2时cn+1-Cn>0,当n≥3时cn+1-Cn<0, 所以C<c2<C3>C4>C5>…, 所以c)分所以A≥分15分 18.【详解】(1)当k=1时，赛制为三局两胜制，故X的可能取值为2,3，…1分 P(X=2)=0.42+0.62=0.52,.…2分 P(X=3)=C2×0.6×0.4=0.48,3分 所以X的分布列为： X 2 3 0.52 0.48 E(X)=2×0.52+3×0.48=2.48..5分 (2)①因为每局比赛中，A班获胜的概率为p=0.6, 由题可知P()为3局2胜制时，A班获胜的概率，A班获胜的情形有两种：2：0或2：1， 所以P(0)=p2+C2p2(1-p)=p2(3-2p)=0.62×(3-1.2)=0.648,7分 P(2)为5局3胜制时，A班获胜的概率，A班获胜的情形有三种：3：0或3：1或3：2， P(2)=p+Cp(1-p）+Cp(1-p}=p3(6p2-15p+10) =0.63+C×(0.6)2×0.4×0.6+C×(0.6)×(0.4)2×0.6=0.68256,9分 所以P(2)>P(I), 所以k=2时，5局3胜制对A班更有利…10分 ②随着k的增大，A班获胜的可能性变大，证明如下： 由0可知，P)-觉Cp-p,1n分 =k+1 下面讨论2k+3局与前2k+1局的递推关系： ()若前2k+1局中A班恰好赢了k局，则后两场A班都要赢才能获胜， 其概率为C4p(-p)·p2,即Cp2(1-p)l2分 ()若前2k+1局中A班恰好赢了k+1局，则后两场A班至少要赢一场才能获胜， 第4页共6页·26-G3-09L 其获胜概率为Cp(1-p)1-(1-p,即Cp2(1-p(2-p)13分 ()若前2k+1局中A班至少赢了k+2局，则后两场A班无论输赢都获胜， 其获脏概率为∑C,P0一p14珍 2州 P(k+l)=Cp2(I-p)+Cp2(-p(2-p）+∑Cp'0-p)2, ∴Pk+)-P)=Cp2(I-p)+Cp2(1-p)(2-p）-Cp(1-p) =Cp(1-p)(2p-l）,16分 p=0.6,Cp(1-p)(2p-)>0,即Pk+)>P. ∴.随着k的增大，A班获胜的可能性变大17分 19.【详解】(1）由函数f)=。x2-(a+1x+anx,所以函数的定义域为(0，+o), f()-x-(a+D)+a-X-(atD)x+a-(x-l)(x-a) ①当a≤0时：x-a>0对x>0恒成立，x∈(0，)时f'(x)<0,f(x)单调递减： x∈(1，+oo)时'(x)>0,f(x)单调递增…2分 ②当0<a<1时，当x∈(0，a)时f'(x)>0,f(x)单调递增：当x∈(1，+oo)时f'(x)>0,f(x) 单调递增：当x∈(a,l)时f'(x)<0,f(x)单调递减： @当a=1时：)-区-≥0恒成立，f)在(0，切)单调递增；3分 ④当a>1时：当x∈(0,1)时f'(x)>0,f(x)单调递增：当x∈(a,+o)时f'(x)>0,f(x) 单调递增：x∈(，a)时f(x)<0,f(x)单调递减；4分 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，)上单调递减，在[l,+o)上单调递增： 当0<a<1时，f(x)在(0，a),(1,+o)上单调递增：f(x)在[a,上单调递减： 当a=1时，f(x)在(0，+oo)单调递增； 当a>1时，f(x)在(0,1)，(a,+o)上单调递增，在[1，a上单调递减5分 (2)g(x)=f(x)f(@.由题可知f(x)与g(x)的定义域均为(0，+oo),故a>0. g'(=f()=x-(a+1)+a_x-(x-4 令g'(x)=0,可得x=a或x=1. 若0<a<1,则当x∈(0，a)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当x∈(a,l)时， g(x)<0,g(x)单调递减，当x∈(1，+o)时，g(x)>0,g(x)单调递增， g(a)=0,g()<g(a)=0,又x→+o时，g(x)→+o, 所以存在x∈(1，+∞)，使得g(x)=0,此时共有两个零点；8分 若a=1,则g)-任-之0g单调递销，此时g@)=g)=0,有一个零点：9分 第5页共6页·26-G3-09L 若a>1,则当x∈(0,1)时，g(x)>0,g(x)单调递增，当x∈(1，a时， g(x)<0,g(x)单调递减，当x∈(a,+∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， g(a)=0,g(0)>g(a)=0,又x→0*时，g(x)→-oo, 所以存在x2∈(0，)，使得g(x2)=0,此时共有两个零点. 综上，当0<a<1或a>1时，g(x)有两个零点，当a=1时，8(x)有一个零点.11分 (3)由已知，8(=4x-alnx, 则g闪=4-g-x红-a-.-4+0,1卫分 函数g(x)有两个极值点，x(x<),即x2-4x+a=0在(0，+∞）上有两个不等实根， [h(0)=a>0 令)=r-4x+a,只需h2)-a4<0放0<a<4,B分 又x+x2=4,xx2=a, 以sg)--o4-f6-oh3) =4(x+)a血x+lnx)-（G+)=a-ana+8, 要证g(x)+g(x)<10-ha,即证a-alna+8<10-lna,…14分 只需证(1-a)na+a-2<0, 令m(a)=(l-a)lna+a-2,a∈(0,4)， 则m(a)=-lna+上a+1=-na, a a 1_1<0恒成立， 令n(a)=m(a),则(a)=-a 所以m'(a)在a∈(0,4)上单调递减， 又m0=l0,m2)-=3h2<0, 由零点存在性定理得，3a∈(1,2)使得m'(a)=0, 甲h4女 所以a∈(0，a)时，m'(a)>0,m(a)单调递增， ae(ao,4)时，m'(a)<0,m(a)单调递减， 则m(a）=m(a)=(（0-4)ha+a-2=(0-a)2+a,-2=4,+1-3, :由对勾函数知y=4,+-3在4，∈山，2)上单调递增， a 4,+L-3<2+3=-1<0, 2 2 ∴.m(a)<0,即g(x)+g(x2)<10-lna,得证.17分 第6页共6页·26-G3-09L