1.5 一元二次方程、不等式 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以三个“二次”关系为核心，通过“定义-关系-应用”逻辑链，结合口诀与分类讨论法，系统突破一元二次不等式求解及恒成立问题，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础知识梳理|3要点|“大于取两边，小于取中间”口诀、分式不等式转化法|从定义到三个“二次”（判别式-图像-解集）的关联推导| |不含参数求解|10题|直接求根法、集合运算结合|应用三个“二次”关系解决基础求解与充要条件问题| |含参数求解|25题|参数分类讨论（开口方向、判别式、根大小）|通过参数变式深化对二次函数图像与解集关系的理解| |三个“二次”关系|20题|解集反推系数法、二次函数零点关联|建立一元二次方程、函数与不等式的互通逻辑| |恒成立问题|15题|判别式法、最值分析法|运用二次函数性质解决区间与参数恒成立问题|

1.5 一元二次方程、不等式 基础知识梳理 1.一元二次不等式 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 的不等式,称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是或其中均为常数,且解不等式时,不要忘记讨论当 时的情形. 2.三个“二次”间的关系 判别式 的图象 的根 有两个相异实根 有两个相等实根 没有实根 的解集 或   的解集     3.常考结论 （1）绝对值不等式的解集为绝对值不等式的解集为 （2）二次项系数大于零的一元二次不等式的解法口诀:大于取两边,小于取中间. （3）简单分式不等式 ① ② 题型一 不含参数的一元二次不等式求解 1．设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，即，即或； 若，即； 所以 ， 画出函数图象如下图所示： 由图可知当时，； 当时，可得， 因此则的值域是. 2．设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式，再根据不必要条件的判断方法即可确定选项. 【详解】由解得，即不等式的解集为， 而在选项中，仅有C项中的范围是的真子集，故C正确. 3．函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得或，即函数的定义域为． 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以由复合函数单调性，可知函数的单调递减区间为． 4．不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】利用绝对值的意义，分和两种情况，再利用一元二次不等式的解法，即可求解. 当时，原不等式等价于，解得，所以， 当时，原不等式等价于，解得，所以， 综上，原不等式的解为. 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】先求得集合，，结合集合交集的定义与运算，即可求解. 【详解】由集合，， 根据集合交集的定义与运算，可得. 6．“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解一元二次不等式及指数不等式，再结合必要不充分条件定义判断. 【详解】“”，即得，解集为； “”，即得，解集为； 是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件 7．设集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由知，解得，   当时，， 故或，   ∴. （2）∵“”是“”的充分不必要条件，∴B是A的真子集，                          ∴当时，，解得，显然成立；   当时，，且及中等号不能同时取得， 解得，                              综上，m的取值范围是． 8．（1）解不等式 ． （2）求关于x的不等式 的解集，其中a是常数． 【答案】（1）或 （2）当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是. 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）分类讨论，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）方程有两个不相等的实数根，． 函数的图象如图所示，与轴有两个交点，， 由图象得不等式 的解集为或． （2）原不等式 可化为 ， 方程的根为或. 当时，不等式的解是； 当时，不等式无解； 当时，不等式的解是 综上所述，当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是. 9．已知集合，． (1)求的子集； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)子集为 (2) 【分析】（1）先确定集合，再求，用列举法列出的子集. （2）根据集合的包含关系求参数的取值范围. 【详解】（1）由 ，所以，即. 所以， 所以的子集为. （2）因为， 又，当且仅当时取等号. 所以. 由可得 . 所以的取值范围为. 10．已知集合，． (1)若，求及； (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）求出集合，根据并集的定义可求得集合，根据补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可得，分、两种情况讨论，根据题意以及集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围； （3）由题意可知集合是集合的真子集，可得出关于实数的不等式组，由此可得出实数的取值范围. 【详解】（1）由，解得，所以． 当时，，所以， 或，所以． （2）因为，所以， ①当时，，解得； ②当时，则，解得． 综上所述，实数的取值范围为． （3）由是的充分不必要条件，知集合是集合的真子集， 所以，解得， 当时，，此时是的真子集，符合题意. 故实数的取值范围是． 题型二 含参数的一元二次不等式求解 1．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论结合一元二次函数的性质可得结果 【详解】根据题意当时，解得 当时，不等式恒成立，符合题意； 当，不等式，不符合题意； 当，的不等式的解集为， 所以，解得 综上所述，. 2．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次项系数是否为零分情况讨论，然后对于二次项系数不为零的情况，利用二次函数图象开口向上且与横轴无交点得出判别式小于零，再结合二次项系数大于零的条件解出参数范围． 【详解】当时，不等式可化为，显然不合题意； 当时，因为在上恒成立， 所以 解得．综上， 故选：C． 3．(多选)对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】ABD 【分析】分三种情况解一元二次不等式. 【详解】对于二次函数，， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为且； 当，即或时， 不等式的解集为或. 4．(多选)对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据参数的符号，以及和的大小关系分类讨论即可. 【详解】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A 、B正确， C、D错误. 5．(多选)下列说法正确的是（     ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．若关于的不等式恒成立，则的取值范围为 C．关于的不等式的解集为，，若，则 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】利用抽象函数的定义域求法判断A，应用分类讨论研究一元二次不等式恒成立求参数范围判断B，应用分类讨论求解含参一元二次不等式的解集，根据包含关系求参数值判断C，由对数复合函数的值域，结合二次函数的性质分析参数范围判断D. 【详解】A：函数的定义域为，即， 根据复合函数定义域的求法， 因此函数的定义域应为，故A错误， B：对于关于的不等式恒成立， 当时，不等式恒成立， 当时，需满足，解得， 综上所述，的取值范围为，故B正确， C：不等式可化为， 当时，易知，则成立， 当时，解集为或，不满足， 当时，解集为，也不满足， 综上可知，要使成立，必有，故C正确， D：若函数的值域为，则必须能够取遍所有正数， 当时，的值域为，能够取遍所有正数，满足题意， 当时，开口向下，有最大值，不能取到所有正数，不满足题意， 当时，开口向上，要使函数值能取遍所有正数，需满足判别式，解得， 综上所述，实数的取值范围是，故D正确. 6．解关于x的不等式. 【答案】当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论最高项系数以及根的大小即可得答案. 【详解】①当时，原不等式即为，解得； ②当时，原不等式化为，解得或； ③当时，原不等式化为， 若，即，不等式无解, 若，即时，解得, 若，即时，解得. 综上可知，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 7．已知函数. (1)若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； (2)当时，解关于的不等式. 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）先考虑的情况，再考虑的情况即可； （2）先进行因式分解，然后求出对应方程的两个根，再对分类讨论求出不同情况下的不等式的解集即可. 【详解】（1）的解集是实数集，则该不等式在上恒成立. 当时，，则，解集不是实数集，故排除. 当时，要使的解集为，必须满足抛物线开口向上且与 轴最多有一个交点，即： ，，即， 解得，综合，可得，即. （2）， 不等式两边同时除以，，. 这是一个开口向上的二次不等式，解集在两根之外， 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为. 8．已知函数． (1)当时，求函数在上的最大值； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1)3 (2)时，不等式解集为；时，不等式解集为；时，不等式解集为． 【分析】（1）由二次函数的性质求解即可； （2）先因式分解，再对分类讨论即可. 【详解】（1）当时，， 二次函数的图象开口向上，对称轴为， 因为，在上单调递增， 所以的最大值为 （2）由得， 若，则； 若，则； 若，则； 综上：时，不等式解集为；时，不等式解集为； 时，不等式解集为． 9．已知实数满足不等式，解关于的不等式． 【答案】当时，解集为或； 当时，解集为且； 当时，解集为或． 【分析】先求解不等式得的范围，再通过比较方程的两根大小，求得不等式的解集. 【详解】由得， ， ∴对不等式， ①当，即时，或； ②当，即时，且； ③当，即时，或． 综上，当时，解集为或； 当时，解集为且； 当时，解集为或． 10．解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． (2)当时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为． 【分析】（1）研究时不等式的解集即可． （2）研究时不等式的解集即可． 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 11．已知函数 (1)若的解集为，求实数a，c的值； (2)若，求不等式的解集； (3)若且，求的最小值． 【答案】(1)， (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 (3) 【分析】（1）借助韦达定理计算即可得； （2）借助根的判别式，分、、与进行讨论即可得； （3）借助基本不等式计算即可得. 【详解】（1）由已知的解集为， 所以，3是方程的解，且， 所以，， 所以，； （2）若，不等式可化为， 方程的判别式， 当，即且时， 方程的两根为，， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； （3）因为，所以， 因为，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，时等号成立， 即当且仅当，或，，时等号成立； 所以的最小值为. 12．（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）分别按照和讨论求出实数的取值范围； （2）原不等式可化为，利用基本不等式求解，即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）①当，即时， 不等式转化为， 此不等式无解，解集为，满足题设； ②当，即时， ， 解得； 综上：实数的取值范围为. （2）因为，所以， 解得，即， 因为，所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以，故实数的取值范围为. 13．设． (1)若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1) (2)时解集为；时解集为． 【分析】（1）二次函数恒大于等于0，需同时满足开口向上且判别式，注意排除的一次函数情况； （2）含参数的一元二次不等式，先因式分解，再根据参数的前提，比较两根大小分类讨论. 【详解】（1）当时不满足题意，     当时，需使， 解得．         （2）由题设，则， 因为，不等式可化为，     当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 综上，时解集为；时解集为． 14．设函数. (1)若，解关于x的不等式； (2)求不等式的解集 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）把函数解析式代入不等式，原不等式转化为，由，得到不等式解集为； （2）分=0， 0，0，三种情况去讨论. 其中，对于0，再对2个根进行大小比较讨论. 【详解】（1）当时，函数化简为,代入不等式， 得，得，得原不等式转化为， 由分母不为0，得，所以得， 所以，所以， 得不等式解集为； （2）， 当=0，即时，，则的解集为， 当0，方程的两个根为 当0，即时，二次项系数，抛物线开口向上，且， 不等式的解集为. 当0，即， 当时，，不等式化为， 解集为， 当时，二次项系数，抛物线开口向下，且 不等式的解集为， 当时，二次项系数，抛物线开口向下，且 不等式的解集为， 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 15．已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 【答案】(1)， (2)当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求参数； （2）代入参数后因式分解，分类讨论两根大小求解含参一元二次不等式. 【详解】（1）由题意知， 和是方程 的两个实根， 由韦达定理得，，解得. （2）将代入不等式得，即. 方程的两根为， . 当时，解集为或； 当时，不等式为，解集为； 当时，解集为或. 16．已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. (2) 【分析】（1）由题意得，结合方程的两根即可求得答案； （2）法一：利用分离参数法得对于恒成立，恒成立，求 的最小值即可求解； 法二：对不等式转化可得，对于恒成立，令，分别讨论对称轴在区间的位置结合单调性即可求解. 【详解】（1）依题意可得：，即， 其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，解集为R； 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. （2）（1）法一：因为，所以对于恒成立， 因为，所以，因此恒成立. 即. 令，则， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号. 故，所以. 即实数的取值范围为. 法二：因为，所以， 即对于恒成立， 令，对称轴， 当时，即时， 函数在上单调递增，所以，因此， 又因为，所以. 当时，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 又因为，所以， 当时，即时， 函数在上单调递减，所以， 因此，又因为，所以不存在. 综上：. 17．函数，， (1)当时，若，求实数的值； (2)已知，且，求的解集． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【分析】（1）由中对应项系数相等可得； （2）由已知得的关系，不等式化简后，根据的大小分类讨论． 【详解】（1）当时，， ， 得，； （2），，， 由可得， 整理并代入得， 即， 已知，若，即时，或， 若，即时，， 若，即时，或， 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18．已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，求已知关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)当时解集为 ；当时解集为；当时解集为 ；当时解集为；当时解集为 【分析】(1)等价转化为 和 是方程 的两个实根，从而求解a，b的值； (2)对a作分类讨论，分，；对于二次不等式，要先判断二次项系数 a 的正负，它决定了抛物线的开口方向；再继续对二次方程的2个根作比较大小讨论. 【详解】（1）因为不等式的解集为，所以， 且 和 是方程 的两个实根， 可得，， 解得 ，； （2）当 ，不等式为 ，即 ① 当 时，不等式化为 ，解得 ，解集为 ； ② 当 时，若 ，则 ，不等式解集为； 若 ，则 ，不等式为 ，解集为； 若 ，则 ，不等式解集为 ； ③ 当 时，不等式化为 解得或，解集为 . 综上， 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为 . 19．解关于的不等式． 【答案】当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】由已知，得，： 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式等价于， 若，解得，或； 若，解得， 若，解得，或； 当时，不等式等价于，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 20．解不等式． 【答案】当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，不等式的解集为 【分析】分、及进行讨论，结合一元二次不等式解法计算即可得. 【详解】原不等式可化为， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式可化为， 则当时，不等式可化为，解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式可化为， 则不等式的解集为． 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 21．已知a，b，，关于x的不等式的解集为或 (1)求函数的零点； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)1和2 (2)答案见详解 【分析】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，利用韦达定理可得，令求解即可； （2）根据（1）的结果，不等式为，分解因式后，讨论的取值，解不等式. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 可知与是方程的两个实数根，且， 则，解得：，， 令，解得或， 所以函数的零点为1和2. （2）由（1）知不等式即为，即， ①当时，易得不等式的解集为， ②当时，不等式可化为，不等式的解集为或． ③当时，不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． 22．设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)当时，解集为；时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）将问题转化为对一切实数恒成立，再分和两种情况讨论求解即可； （2）将问题转化为，再分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：因为对一切实数恒成立， 所以对一切实数恒成立， 所以，当时，，不满足成立； 当时，需满足，即，解得， 综上，实数的取值范围为 （2）解： ， ， 因为的实数根为， 所以，当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为. 综上，时，解集为；时，解集为；当时，解集为. 23．解关于x的不等式：． 【答案】当时，；当时，；当时，． 【分析】结合不等式的性质，讨论的取值，即可求得答案. 【详解】对不等式进行因式分解得， 当时，原不等式变为，解得，即； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为；． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 24．已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. (3) 【分析】（1）由题意可得，解出即可. （2）当时，不等式变为一次不等式，当时，对分解因式，讨论根的大小即可得答案. （3）由题意可得，，利用换元法结合函数单调性可得答案. 【详解】（1）当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为. （2）当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为， 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为空集， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. （3）因为， 所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 25．已知函数． (1)当时，解不等式； (2)解不等式； (3)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． (3) 【分析】（1）当时，不等式可化为，即，求解可得； （2）根据方程的解的情况，讨论的取值范围，根据不等式的特征求解即可； （3）根据二次不等式恒成立的条件求解可得. 【详解】（1）当时，由，可得，即， 解得. 所以当时，不等式的解集为. （2）由，得. 若，不等式即为，解得； 若，不等式可化为， 此时方程的两根分别为， 当时，即，不等式的解集为； 当或时，， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （3）恒成立， 当时，不等式为，得，不符合题意； 当时，恒成立，需满足： 解得：， 综上的取值范围为． 题型三 三个“二次”之间的关系 1．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【详解】当，即，方程为，解得，方程有实数根，符合题意； 当，即，∵此时一元二次方程有实数根，∴，解得且； 综上，的取值范围是． 2．已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（   ） A．4 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【分析】利用二次函数值域求出的关系，再利用一元二次不等式的解集与对应方程实根关系列式求解. 【详解】由函数的值域为， 得，即， 不等式， 由不等式的解集为， 得是方程的两个实根， 因此，解得， 所以实数的值为9. 3．已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解集确定，结合韦达定理得到与的关系，逐一判断各选项的正误. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数开口向下，且方程的两根为. 对于A：二次函数开口向下，故，A正确； 对于B：根据韦达定理：，，结合得，， 将代入不等式，得， 两边同除以得，因式分解为，解得，B正确； 对于C：，由得，即，C正确； 对于D：由得，得， 因，故， 由基本不等式得， 等号成立条件为，即，与矛盾，等号无法取到， 故该式最小值不为，D错误. 4．已知关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的解集为，所以，方程的两个根分别为， 所以，，即，， 所以不等式为， 因为，得，解得． 5．已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三个二次之间的关系，可得的解根据韦达定理可得出参数的关系，代入解不等式即可. 【详解】由题意可得，关于x的不等式的解集是， 即当的两根为或，由韦达定理可得，， 所以，，所以求，即是求，解得. 故选：A. 6．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（  ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】A 【分析】先根据不等式的解集判断的符号和与的关系式，进而逐项判断即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，A正确； 且-3和4是方程的两个解，则. 所以，所以不等式可化简为， 解得或，所以不等式的解集为，B错误； ，所以C错误； 不等式化简为，即，解得， 所以不等式的解集为，D错误； 故选：A. 7．(多选)已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 【答案】BC 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理逐项分析判断即可. 【详解】由题意知，（A错误），且，是方程的两根， 所以，，即，. B：可化为，因为，， 所以不等式的解集是，B正确. C：因为，所以，C正确， D：可化为， 因为，所以，解得或，故D错误. 8．(多选)已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】根据一元二次方程与不等式的关系得，，再结合一元一次不等式和一元二次不等式的解法，依次讨论各选项即可得答案. 【详解】∵关于的不等式的解集为， ∴，和3是关于的方程的两根，A选项正确； 由根与系数的关系得，则， ∴，B选项错误； ∴不等式可化为，即，解得，C选项正确； 不等式可化为，即，解得或， D选项正确． 9．(多选)已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】由不等式的解集的特征可得A；利用解集可得、、间关系，即可得B；利用、、间关系，计算可得C、D. 【详解】对A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对C：，由，故，即，故C正确； 对D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 10．(多选)不等式的解集是，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是或 D．不等式的解集是 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用二次式的关系，结合韦达定理，求得，且，再由不等式的性质和解法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由不等式的解集是， 可得，可得，且，所以A正确； 对于B，因为，代入不等式得，所以，所以B正确； 对于C，因为，不等式即为， 又因为，不等式等价于，即， 解得，所以不等式的解集为，所以C错误； 对于D，因为，不等式即为， 因为，可得，解得， 所以不等式的解集为，所以D正确. 11．(多选)关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合二次函数的性质即可判断． 【详解】对于A，若，解集为，故A正确； 对于B，当时，，解集为，故B正确； 对于C，若不等式的解集为，则， 显然该不等式组无解，假设不成立，故C错误； 对于D，若不等式的解集是， 则且方程的两根为， 所以，解得， 所以当时，不等式的解集是，故D正确． 12．(多选)不等式解集为，下列结论正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【答案】ABD 【分析】利用 “三个二次”（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的关系，通过已知解集推出系数 的符号和关系，再求解新的不等式逐项分析即可. 【详解】因为 解集为 ， 所以，解得， 因为 ，所以 ，，故选项A、B正确； 选项C：不等式 可化为 ， 即 ， 解得 ， 不等式解集是 ， 选项C错误； 选项D：不等式 可化为 ， 即 ， 解得 或 ， 不等式的解集为 ， 选项D正确. 故选： ABD. 13．(多选)关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式在上恒成立 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】由已知得且，据此逐项分析判断. 【详解】对于A：因为关于的不等式的解集为， 所以，且，所以，整理得，A正确； 对于B：由上分析可知，所以，B错误； 对于C：因为，，所以不等式即， 对方程，， 所以函数开口向上且与轴无交点，所以不等式的解集为，C正确； 对于D：因为，，所以不等式即， 解得，即不等式的解集为，D正确. 故选：ACD. 14．(多选)已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 【答案】ACD 【分析】A选项，转化为为一元二次方程的两个根，且，由韦达定理得到答案；B选项，根据得到B不正确；C选项，在A基础上不等式变形为，解出解集；D选项，不等式变形为，求出解集. 【详解】A选项，由题意得为一元二次方程的两个根，且， 故，即，A正确； B选项，，B不正确； C选项，由A选项可知，，解得，C正确； D选项，， 又，故，解得或，D正确. 故选：ACD 15．(多选)已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由一元二次不等式的解法可判断A；由根与系数的关系可判断B、C、D. 【详解】由不等式的解集为可知，A正确； 方程有两个根和2， 所以，， 所以，， 则，，B，C错误； ，D正确. 故选：AD. 16．(多选)已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的有（    ）． A． B．不等式的解集为 C． D． 【答案】AB 【分析】由不等式的解集为两根之间可判断A；由不等式的解集可知对应方程的根，从而得到之间的关系，可判断BCD. 【详解】关于x的不等式的解集为， 由不等式的解集为两根之间，得，故A正确； 由题意可知和4是方程的两根， 可得，解得， 对于B，，所以， 所以不等式的解集为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：AB． 17．若关于的不等式的非空解集为，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系即可求解． 【详解】由不等式的非空解集为， 则二次函数开口向上，且和是一元二次方程的两个不相等的实数根， 即，且，整理得， 解得，或， 当时，，不符合题意，所以． 18．若不等式解集为，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】先由不等式的解集可得，进而可将所求不等式化为，从而可得不等式解集. 【详解】由二次不等式 的解集为. 所以方程的两个根为，且，因此， 即，代入所求不等式 ， 得，因为，所以不等式化为， 即，解得 或 . 因此所求不等式的解集为. 19．已知. (1)若不等式的解集为，求的解析式； (2)若，，求关于的不等式的解集；（结果用表示） (3)若，，，求的最小值. 【答案】(1) (2)时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. (3) 【分析】（1）由的解集为，得 1和3是方程的两个根，结合韦达定理列方程求解参数，即可得到的解析式； （2）将代入并因式分解，根据确定对应方程的两个根，比较两个根的大小关系，根据一元二次不等式大于0的解集规律得到结果； （3）由得，根据，，结合基本不等式求最小值. 【详解】（1）的解集为，1和3是方程的两个根，且. ，解得； . （2），，. 令，得，则，. ，. 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 综合所述，时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. （3），，，得. . ，，. . 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 20．已知二次函数，且的解集为． (1)求函数的解析式； (2)若函数，求在区间上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次不等式解集与方程根的关系，结合韦达定理求解即可. （2）对变形化简，结合函数的单调性求解即可. 【详解】（1）因为的解集为，所以，且的两根为和2. 所以，，解得，. 所以. （2）. 因为，所以，令，则. 又在上单调递增，，， 所以在上的值域为， 即在区间上的值域为. 题型四 一元二次不等式恒成立问题 1．已知，函数，若，成立，则实数m的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】二次函数的图象抛物线开口向上，对称轴方程为， 由，有，又，若，成立， 则有，解得， 所以实数m的最小值为. 2．已知函数，对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知函数为奇函数且在上单调递增，根据函数性质可得对，恒成立，结合判别式运算求解即可. 【详解】当时，，有； 当时，，有； 且，可知函数为奇函数， 又因为函数在内单调递增，则函数在内单调递增， 可得函数在上单调递增， 不等式可化为， 可得，即对，恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 3．不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，时直接验证不等式成立，时利用一元二次不等式恒成立的条件求解，最终合并得到的取值范围. 【详解】分两种情况进行讨论： 当时，原不等式化为，该式对任意实数恒成立，符合题意； 当时，原不等式为关于的一元二次不等式，若要对一切实数恒成立，需同时满足： （1）二次项系数小于0，即，解得； （2）判别式，代入系数得，解不等式得； 综上所述，的取值范围为. 4．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过对进行分类讨论来求解不等式恒成立问题. 【详解】首先，若，明显不恒成立. 若，恒成立. 若，可知当时最大， 所以即可， 解得. 所以综上所述，. 5．(多选)在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】结合题设新定义，将原不等式转化为一个含参一元二次不等式在上恒成立的问题，实施参变分离，进而转化为求最值的问题，最后求解关于的一元二次不等式即可． 【详解】由定义知，不等式等价于， 所以对任意实数恒成立，即． 因为，所以，解得． 结合选项可知实数a可以为． 6．已知函数. (1)若函数为偶函数，求的值 (2)当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数定义可求得； （2）对参数的取值进行分类讨论，再由不等式恒成立限定得出满足的表达式，即可求出的取值范围. 【详解】（1）由函数为偶函数可知，对任何都有， 得，即对任何恒成立， 平方得对任何恒成立，而不恒为0， 则； （2）将不等式化为， 即（*）对任意恒成立， ①当时，将不等式（*）可化为，对上恒成立， 又在为单调递增， 只需，解得； ②当时，不等式（*）可化为对恒成立， 由①可知，则在为单调递减， 只需，解得或， 即； ③当时，将不等式（*）可化为对恒成立 又在为单调递增， 只需，解得或， 即， 综合①②③可知：的取值范围为. 7．设函数，若恒成立，求的取值范围． 【答案】. 【分析】将不等式化为，由参变分离得恒成立，再求函数在上的最小值，进而得到取值范围即可. 【详解】由恒成立，得， 即在上恒成立， 因为，所以恒成立， 设，， 由二次函数性质得在上单调递增，所以， 于是，当时取得等号， 可得，即的取值范围为. 8．已知，；，． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中有且仅有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过分离参数，将全称命题转化为求函数在给定闭区间上的最小值问题，从而解出实数的取值范围； （2）先利用二次方程判别式求出特称命题为真的条件，再分“真假”与“假真”两种情况分别求解不等式组并取并集即可. 【详解】（1）若p为真，在恒成立，即． 时，，故 （2）若q为真，方程有实根， 解得或 由p、q一真一假： ①p真q假：，解得， ②p假q真：，解得， 综上： 9．设命题 对，不等式恒成立；命题，使得不等式成立． (1)若为真命题，求实数 的取值范围； (2)若命题，至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或． 【详解】（1）若为真命题，则对恒成立， 又， 故当时，， ，即． （2）若为假命题，由（1）知， 若为假命题，则，为真命题， 即对恒成立， ，都为假命题时，． 至少有一个是真命题时，或． 10．设，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】 【详解】当时，不等式对任意m成立； 当时，不等式恒成立 ， 令，易知该函数在上单调递减，在上单调递增， 则，故得. 当时，不等式恒成立， 因在上单调递减，则，故得. 综上可得，. 11．对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由题可得对任意实数恒成立，分两种情况讨论，结合二次函数开口方向，二次方程判别式可得答案. 【详解】即对任意实数恒成立. 当，得，当时不成立； 当，则二次函数图象恒在轴下方， 得. 综上可得：. 12．设命题：，，命题：，. (1)若为真命题，求实数m的取值范围； (2)若为假命题、为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，，得关于的方程无实根， 因此，解得， 所以实数m的取值范围是. （2）由为假命题，则的否定：，为真命题， 即，， 而当时，， 当且仅当时取等号，因此， 因为为假命题且为真命题，则， 则， 所以实数m的取值范围是. 13．，对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】 【分析】先换元 令得到关于的二次不等式，再变换主元写成关于的一次不等式，对任意恒成立，所以代入端点满足即可 【详解】令 反客为主，以为主元整理一次函数 是关于的一次函数（含常数一次函数），闭区间恒正⟺， 即，解得 由解得， 故答案为：. 14．不等式，对任意 恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意，构造关于的函数，，通过函数两端点的函数值都小于即可求解. 【详解】根据不等式，构造关于的函数，令，， 根据题意，对任意，恒成立，由于是一次函数，只要两端点的函数值都小于即可， 即，所以，化简得，解得， 所以实数的取值范围是. 15．已知a为实数，函数． (1)若对任意，恒成立，求a的取值范围； (2)若对任意，总存在，使得成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况，再结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据一次函数和二次函数的性质，分别求出两个函数在区间上的最值，进而结合条件即可求出a的取值范围． 【详解】（1）当时，，成立， 当时，有，解得． 故a的取值范围为． （2）当时，不等式为，成立； 当时，函数的对称轴为， 当时，函数在上单调递增，在上单调递增， 由题有，解得，则； 当时，函数在上单调递减，在上单调递减， 由题有，解得，则， 综上所述，实数a的取值范围为． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5 一元二次方程、不等式 基础知识梳理 1.一元二次不等式 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 的不等式,称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是或其中均为常数,且解不等式时,不要忘记讨论当 时的情形. 2.三个“二次”间的关系 判别式 的图象 的根 有两个相异实根 有两个相等实根 没有实根 的解集 或   的解集     3.常考结论 （1）绝对值不等式的解集为绝对值不等式的解集为 （2）二次项系数大于零的一元二次不等式的解法口诀:大于取两边,小于取中间. （3）简单分式不等式 ① ② 题型一 不含参数的一元二次不等式求解 1．设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 2．设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 4．不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D．或 6．“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．设集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围． 8．（1）解不等式 ． （2）求关于x的不等式 的解集，其中a是常数． 9．已知集合，． (1)求的子集； (2)若，求的取值范围． 10．已知集合，． (1)若，求及； (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 题型二 含参数的一元二次不等式求解 1．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．(多选)对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D．且 4．(多选)对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 5．(多选)下列说法正确的是（     ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．若关于的不等式恒成立，则的取值范围为 C．关于的不等式的解集为，，若，则 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 6．解关于x的不等式. 7．已知函数. (1)若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； (2)当时，解关于的不等式. 8．已知函数． (1)当时，求函数在上的最大值； (2)若，解关于的不等式． 9．已知实数满足不等式，解关于的不等式． 10．解下列关于的不等式： (1)； (2)． 11．已知函数 (1)若的解集为，求实数a，c的值； (2)若，求不等式的解集； (3)若且，求的最小值． 12．（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 13．设． (1)若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (2)若，解关于的不等式． 14．设函数. (1)若，解关于x的不等式； (2)求不等式的解集 15．已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 16．已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 17．函数，， (1)当时，若，求实数的值； (2)已知，且，求的解集． 18．已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，求已知关于的不等式的解集． 19．解关于的不等式． 20．解不等式． 21．已知a，b，，关于x的不等式的解集为或 (1)求函数的零点； (2)解关于x的不等式． 22．设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 23．解关于x的不等式：． 24．已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围. 25．已知函数． (1)当时，解不等式； (2)解不等式； (3)若恒成立，求的取值范围． 题型三 三个“二次”之间的关系 1．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 2．已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（   ） A．4 B．6 C．9 D．18 3．已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 4．已知关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 5．已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（  ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 7．(多选)已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 8．(多选)已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集为 9．(多选)已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 10．(多选)不等式的解集是，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是或 D．不等式的解集是 11．(多选)关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 12．(多选)不等式解集为，下列结论正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 13．(多选)关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式在上恒成立 D．不等式的解集为 14．(多选)已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 15．(多选)已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 16．(多选)已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的有（    ）． A． B．不等式的解集为 C． D． 17．若关于的不等式的非空解集为，则________． 18．若不等式解集为，则不等式的解集为______． 19．已知. (1)若不等式的解集为，求的解析式； (2)若，，求关于的不等式的解集；（结果用表示） (3)若，，，求的最小值. 20．已知二次函数，且的解集为． (1)求函数的解析式； (2)若函数，求在区间上的值域． 题型四 一元二次不等式恒成立问题 1．已知，函数，若，成立，则实数m的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．(多选)在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数可以为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数. (1)若函数为偶函数，求的值 (2)当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 7．设函数，若恒成立，求的取值范围． 8．已知，；，． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中有且仅有一个真命题，求实数的取值范围． 9．设命题 对，不等式恒成立；命题，使得不等式成立． (1)若为真命题，求实数 的取值范围； (2)若命题，至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 10．设，恒成立，求实数m的取值范围. 11．对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 12．设命题：，，命题：，. (1)若为真命题，求实数m的取值范围； (2)若为假命题、为真命题，求实数m的取值范围. 13．，对任意恒成立，求的取值范围. 14．不等式，对任意 恒成立，求实数的取值范围. 15．已知a为实数，函数． (1)若对任意，恒成立，求a的取值范围； (2)若对任意，总存在，使得成立，求a的取值范围． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $