第一章 丰富的图形世界 单元练习卷一 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 分层梯度清晰，从概念理解到综合应用，适配单元复习，培养空间观念与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|点线面体关系、几何体识别、三视图|以杜甫诗句考“点动成线”，结合生活情境渗透数学眼光| |提升层|棱柱棱长计算、展开图与容积|通过八棱柱侧棱长计算，强化空间观念与推理能力| |综合层|截几何体、纸盒制作方案比较|设计无盖纸盒容积对比问题，发展模型意识与创新意识|

2026-2027学年北师大版初中数学 • 培优卷 七年级 (上) 第1章 丰富的图形世界（卷一） 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧闹的大雨过后，雨势渐渐变得细微，映着天空飞舞，如同丝线般洒落．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（     ） A.点动成线 B.线动成面 C.面动成体 D.两点之间，线段最短 【答案】 A 【解析】 本题考查了点、线、面、体的动态关系，需将雨滴和雨丝抽象为几何图形，结合概念判断即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键. 【解答】 解： 雨滴可抽象为点，雨丝可抽象为线， 点运动形成线，对应数学原理为点动成线， 故选：A. 2.下列几何体中，不含曲面的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 根据曲面和平面的定义，结合各个几何体的特点求解即可。 【解答】 解：球，圆锥，圆柱均含曲面，正方体不含曲面， 故选B。 3.桌面上放着三个立体图形，小明从前面看到的是，他观察的三个立体图形可能是（        ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 根据从不同侧面看几何体的规律求解。 【解答】 解： 小明从前面看到的是 他观察的三个立体图形可能是。 故选D。 4.下面的图形能折成一个正方体的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1一4一1”结构，第二种：“2一2一2”结构；第三种：“3一3”结构，；第四种：“1一3一2”结构，据此进行逐项分析，即可作答. 【解答】 解：A、 不符合正方体展开图的11种特征，不能折成一个正方体，故该选项不符合题意； B. 不符合正方体展开图的11种特征，不能折成一个正方体，故该选项不符合题意； C. 符合“1一3一2”结构，能折成一个正方体，故该选项符合题意； D. 不符合正方体展开图的11种特征，不能折成一个正方体，故该选项不符合题意； 故选C。 5.小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（       ） A.6 B.8 C.10 D.15 【答案】 A 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解： , 这个盒子的容积为. 故选A。 6.一个直棱柱共有27条棱，它的顶点数为（       ） A.9个 B.12个 C.15个 D.18个 【答案】 D 【解析】 本题考查直棱柱的棱数与顶点数的关系．先利用直棱柱棱数公式求出底面边数，再根据顶点数公式计算顶点数即可. 【解答】 解：直棱柱的总棱数 底面多边形的边数， 设底面多边形的边数为 ， ， 解得 ， 又 直棱柱的顶点数 底面多边形的边数， 顶点数 ， 故选：D.  7.马上过年了，妈妈给孩子准备了一个新年礼盒，该礼盒（图1）是一个八棱柱，将其抽象成图2的八棱柱，若该棱柱所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（     ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查了棱柱的侧棱性质，解题的关键是明确八棱柱有8条侧棱且侧棱长度相等． 根据八棱柱侧棱的数量和性质，用所有侧棱长的和除以侧棱的条数，即可求出每条侧棱的长． 【解答】 解： 八棱柱有8条侧棱，且每条侧棱的长度相等， 每条侧棱的长为 ． 故选：C． 8.用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，剩下的几何体的顶点数不可能是（       ）． A.10 B.7 C.9 D.6 【答案】 D 【解析】 本题考查正方体的截面与顶点数，解题的关键是分析平面截正方体时不同的截取位置对顶点数的影响. 分析平面截正方体得到三棱锥时，不同截取位置下剩余几何体的顶点数，从而判断不可能的顶点数. 【解答】 解：如图所示，如果截去的几何体是一个三棱锥，那么截面一定是一个三角形，剩下的几何体可能有7个顶点、或8个顶点、或9个顶点、或10个顶点，不可能有6个顶点， 故选：D.  9.用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图和图所示，图中，，均为正方形： 下列说法正确的是（       ） A.方案中的 B.方案中的 C.方案所得的长方体纸盒的容积小于方案所得的长方体纸盒的容积 D.方案所得的长方体纸盒的底面积与方案所得的长方体纸盒的底面积相同 【答案】 C 【解析】 本题考查图形的展开与折叠，考查学生的运算能力、推理能力、空间观念．分别求出和的值，方案和方案的容积即可得到答案． 【解答】 解：方案，故选项错误， 所折成的无盖长方体的底面积为． 容积为． 方案，故选项错误， 所折成的无盖长方体的底面积为． 容积为． 方案所得的长方体纸盒的容积小于方案所得的长方体纸盒的容积， 故选：． 10.某工厂生产了三种无盖的长方体纸盒，分别用不同方式将长为，宽为的长方形纸片截去两部分（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲纸盒：如图1，盒子底面的四边形是正方形； 乙纸盒：如图2，盒子底面的四边形是长方形，； 丙纸盒：如图3，盒子底面的四边形是长方形，； 三种无盖的长方体纸盒的容积按从小到大的顺序排列为（     ） A.乙丙甲 B.乙甲丙 C.丙甲乙 D.甲丙乙 【答案】 B 【解析】 本题考查了几何体的展开图，根据展开图分别求出每种纸盒的无盖长方体的容积，再比较大小即可。 【解答】 解：由图形并结合题意可得： 甲所折成的无盖长方体的容积为：， 乙所折成的无盖长方体中， 又， ， 乙所折成的无盖长方体的容积为：， 丙所折成的无盖长方体中， 又， ， 丙所折成的无盖长方体的容积为：， ， 从小到大排列顺序为乙 甲 丙， 故选：B. 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）   11.将一个平面图形绕它的一条边所在直线旋转一周得到的立体图形是圆柱，则这个平面图形的名称可能是____长方形（答案不唯一）____（写出一个即可） 【答案】 长方形（答案不唯一） 【解析】 本题考查了旋转体的定义和常见的几何体，掌握常见的几何体是解题的关键. 圆柱是由一个平面图形绕其一条边旋转一周形成的立体图形，根据旋转体的定义，长方形绕其一边旋转可得圆柱. 【解答】 解：将一个长方形绕它的一条边所在直线旋转一周，其对边上的点到旋转轴的距离相等，形成的底面是圆，侧面是曲面，因此得到圆柱，故这个平面图形的名称可能是长方形， 故答案为：长方形（答案不唯一）. 12.如图，将①号小正方体挪到②号小正方体的前方，则从正面看到的形状图____不会____发生变化．（填“会”或“不会”） 【答案】 不会 【解析】 本题考查了从不同方向看几何体. 根据挪动前后从正面看到的形状图即可得解. 【解答】 解：将①号小正方体挪到②号小正方体的前方，挪动前后从正面看到的形状图都是： 从正面看到的形状图不会发生变化. 故答案为：不会. 13.若一个棱柱有七个面，则它是___五_____棱柱，有____15____条棱． 【答案】 五,15 【解析】 本题考查了棱柱的概念，根据棱柱的底面和侧面的关系求解是解题关键. 根据n棱柱的特点，n棱柱由n个侧面和两个底面构成，棱柱的棱数为3n，据此求解即可. 【解答】 解：一个棱柱是由7个面围成的，则有2个底面，5个侧面， 因此此立体图形是五棱柱，五棱柱有 条棱. 故答案为：五，15.  14.如图，图是一枚骰子的平面展开图．在一张不透明的桌子上，按图方式将三个质地均匀、完全相同的正方体骰子搭成一个几何体，则该几何体能被看到的点数之和最大是_____54_________． 【答案】 【解析】 本题主要考查正方体的侧面展开图，熟练掌握正方体的特征是解题的关键；因此此题可根据正方体的侧面展开图进行求解即可． 【解答】 解：由图可知：相对的数字之和为，由图可知：被遮住的两面的数字之和也为，要使该几何体能被看到的点数之和最大，则底部两个面的数字为，所以该几何体能被看到的点数之和最大是； 故答案为：54  15.如图是一块长方形铁皮（每个方格的边长表示），剪下图中的涂色部分，可以围成一个圆柱，这个圆柱的体积是 6.28 ． 【答案】 6.28 【解析】 涂色长方形的长是圆柱底面圆的周长，由此求出底面圆的半径，圆柱的高等于底面圆的直径，最后代入圆柱体积公式计算即可. 【解答】 解：由题意得这个圆柱的底面周长为6.28dm， 底面半径为 ， 这个圆柱的高为2dm， ， 答：这个圆柱的体积是 . 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.(8分) 将下列几何体进行分类：（在横线处写明序号即可） （1）有顶点的几何体有__(2)(5)(6)(7)_____ ； （2）截面可能为四边形的有 ___(2)(4)(6)(7)____； （3）能由平面旋转形成的有 __(4)(5)_____ ； （4）截面不可能是圆形的有  ___(2)(6)(7)____ ． 【答案】 (2)(5)(6)(7)； (2)(4)(6)(7)； (4)(5)； (2)(6)(7)． 【解析】 （1）根据所给的图形的特点即可得出答案； 根据所给的图形的特点和用一个平面截一个几何体得到的面叫做几何体的截面，即可得出答案； 根据平面旋转形特点，即可得出答案； 根据所给的图形的特点和用一个平面截一个几何体得到的面叫做几何体的截面，即可得出答案； 此题考查了平面图形和立体图形，解题的关键是正确理解它们之间的联系和区别． 【解答】 （1）解：有顶点的几何体有_________(2)(5)(6)(7)_____________； （2）截面可能为四边形的有 __________(2)(4)(6)(7)_____________； （3）能由平面旋转形成的有 _______(4)(5)__________ ； （4）截面不可能是圆形的有  ________(2)(6)(7)____________．  17.（6分）把9个相同小正方体摆成简单几何体．从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图； 【答案】 见解析 【解析】 本题考查了从不同方向看几何体，根据从不同方向看几何体画图即可. 【解答】 解：从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图如下： 从正面看 从左面看 从上面看  18.(7分) 如图是一个底面边长均为，侧棱长为的直三棱柱． （1）这个棱柱有几个面，几个顶点？ （2）求该三棱柱所有侧面的面积之和． 【答案】 个面，个顶点 【解析】 （1）根据三棱柱由个底面和个侧面组成，共个顶点，作答即可； （2）根据长方形的面积公式计算即可． 【解答】 （1）解：由图得 这个棱柱有个面，个顶点； （2）解：由题意得 故该三棱柱所有侧面的面积之和．  19.(8分) 下图所示的是由直角三角形和长方形拼成的四边形． （1）将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是_____③ ___（填序号）． ①点动成线；    ②线动成面；    ③面动成体． （2）求得到的立体图形的体积（结果保留）． 【答案】 ③ 【解析】 （1）根据四边形绕虚线旋转成立体图形的过程，判断体现的点、线、面、体关系； （2）明确沿长方形一边旋转后，立体图形由底面半径、高的圆柱减去底面半径、高的圆锥组成，分别计算体积后相减． 【解答】 （1）解：四边形绕虚线旋转一周得到立体图形，说明面动成体． 故答案为：③． （2）解：由题意得，沿长方形一边旋转后，立体图形由底面半径、高的圆柱减去底面半径、高的圆锥组成． 设圆柱的体积为，圆锥的体积为，旋转后得到的立体图形的体积为， ， ， ． 答：得到的立体图形的体积为． 20.(9分) 已知一个直棱柱，它有个顶点，其中一条侧棱长为，底面各边长都为． （1）这个直棱柱是____八_____棱柱，有____10_____个面，有___24______条棱； （2）求这个直棱柱的所有侧面的面积之和； （3）通过对棱柱的了解，请写出n棱柱的顶点数及棱的条数． 【答案】 八，10，24； (3) n棱柱共有2n个顶点，共有3n条棱 【解析】 （1）由 棱柱有2n个顶点，有 个面，3n条棱求解可得； （2）由八棱柱有8个侧面求解可得； （3）由 ${n棱柱有2n个顶点，有(n+2)个面，3n条棱求解可得答案. 【解答】 （1）解：因为此直棱柱有16个顶点， 所以由}$16\div 2 = 8${知，此棱柱是八棱柱，有10个面，有24条棱；. （2）八棱柱的所有侧面的面积之和是：}$ 5 \times1 1 \times8=4 4 0 (\mathrm{c m}^{2}) $； （3）n棱柱共有2n个顶点，共有3n条棱. 21.(10分) 如图1是两个几何体的表面展开图，图2是一个正方体的表面展开图． （1）写出图1中对应几何体的名称：①___长方体（或四棱柱）_______，②_____三棱锥_____； （2）将图2的展开图折叠成正方体，折叠后相对的两个面上的数字之和均相等，求的值． 【答案】 长方体（或四棱柱）；三棱锥 11 【解析】 （1）根据几何体表面展开图的特征, 即可判断图①、图②对应的几何体； （2）先确定正方体展开图中相对的面, 再根据相对面数字之和相等, 求出 、 的值, 进而计算 . 【解答】 （1）解：图1中对应几何体为：①长方体(或四棱柱),②三棱锥. （2）解：由题图可知 与1,2与4,y与z相对. ：相对的两个面上的数字之和均相等， 22.(10分) 小丽同学周末帮妈妈拆完快递后，将包装盒展开，进行了测量，结果如图所示．已知长方体盒子的长比宽多． （1）求长方体盒子的长和宽． （2）求这个包装盒的体积． 【答案】 长方体盒子的长为，宽为； 这个包装盒的体积是． 【解析】 （1）要求长方体的体积，需知长方体的长，宽，高，结合图形可知个宽个高，依此可求长方体盒子的宽；再根据长方体盒子的长宽，可求长方体盒子的长； （2）根据长方体的体积公式即可求解． 【解答】 （1）解：长方体盒子的宽为， 长方体盒子的长为， 答：长方体盒子的长为，宽为； （2）解：这个包装盒的体积为． 答：这个包装盒的体积是． 23.(10分) 已知一个长方体的表面展开图如图所示，请回答下列问题： （1）将展开图折叠还原为长方体后，与线段重合的线段是____，与点重合的点是_____． （2）已知长方体的表面展开图中，四边形是正方形，且，，求长方体的体积． 【答案】 FG，I,M 长方体的体积为： 【解析】 （1）根据图示信息，结合长方体的特点分析即可求解； （2）根据题意可得 ，根据四边形ABDK是正方形，得到四边形DHIK也是正方形，由此可得长方体的底面长为3cm，宽为1cm，高为4cm，由体积公式即可求解. 【解答】 （1）解：根据图示可得，将展开图折叠还原为长方体后，与线段CD重合的线段是FG，与点A重合的点是点I，M， 故答案为：FG，I,M； （2）解：根据长方体展开图可得， 长方体的表面展开图中，四边形ABDK是正方形， 四边形DHIK也是正方形， 长方体的底面长为3cm，宽为1cm，高为4cm， 长方体的体积为：   24.(10分) 为了庆祝抗战胜利80周年，某手工社团准备用卡纸制作纸盒来储存抗战胜利80周年纪念邮票． （1）图1中只有四个正方形，请在原图上补画一个正方形，使其经过折叠能围成无盖的正方体纸盒； （2）图2是手工小组的设计图，把它折成正方体纸盒后，与写有“抗”字一面的相对面上的字是“   胜   ”； （3）图3是用一张边长为的正方形卡纸在四角各剪去一个同样大小的边长为的小正方形得到的纸片，将其折成一个无盖长方体纸盒，求这个纸盒的容积． 【答案】 见解析 胜 【解析】 （1）根据题意画出正方形即可; （2）根据正方体展开图的特征判断即可； （3）利用正方体的体积公式求解. 【解答】 （1）解：图形如图所示： （2）解: “抗”字一面的相对面上的字是“胜”. 故答案为：胜； （3）解：纸盒的容积 . 25.(12分) 【问题情境】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． （1）【拓展探究】如图所示的图形中，是无盖正方体表面的展开图的是____① ③ ④____（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图①为无盖的长方体纸盒，图②为有盖的长方体纸盒）．     ①图①方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．若，，则长方体纸盒的底面周长为___16_____cm； ②图②方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，.则该长方体纸盒的体积为____1000____； （3）【问题进阶】若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6，4，3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为多少？通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？ 【答案】 ① ③ ④ ① 16; ② 1000 该长方体表面展开图的最大外围周长为58，规律是边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小. 【解析】 （1）根据无盖正方体纸盒的面数和展开图的特征判断即可； （2）①由条件得底面是正方形，求出边长后根据正方形周长公式即可得解； ②分别求出长方体的长宽高后根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，据此可得答案； 本题主要考查了简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键. 【解答】 （1）解：根据展开图， ②只能折成4个面， 才能折成一个无盖正方体纸盒， 故选： ; （2）①由题意得长方体纸盒的底面为正方形， 长方体纸盒的底面周长为 故答案为：16； ②由题意可知，该长方体纸盒的长为 ， 高为 该长方体纸盒的体积为 故答案为：1000； （3）边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，如图， 该长方体表面展开图的最大外围周长为 边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，如图， 该长方体表面展开图的最小外围周长为 则该长方体表面展开图的最大外围周长为58，规律是边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年北师大版初中数学 • 培优卷 七年级 (上) 第1章 丰富的图形世界（卷一） 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧闹的大雨过后，雨势渐渐变得细微，映着天空飞舞，如同丝线般洒落．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（     ） A.点动成线 B.线动成面 C.面动成体 D.两点之间，线段最短 2.下列几何体中，不含曲面的是（        ） A. B. C. D. 3.桌面上放着三个立体图形，小明从前面看到的是，他观察的三个立体图形可能是（        ） A. B. C. D. 4.下面的图形能折成一个正方体的是（        ） A. B. C. D.  5.小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（       ） A.6 B.8 C.10 D.15  6.一个直棱柱共有27条棱，它的顶点数为（       ） A.9个 B.12个 C.15个 D.18个  7.马上过年了，妈妈给孩子准备了一个新年礼盒，该礼盒（图1）是一个八棱柱，将其抽象成图2的八棱柱，若该棱柱所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（     ） A. B. C. D.  8.用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，剩下的几何体的顶点数不可能是（       ）． A.10 B.7 C.9 D.6  9.用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图和图所示，图中，，均为正方形： 下列说法正确的是（       ） A.方案中的 B.方案中的 C.方案所得的长方体纸盒的容积小于方案所得的长方体纸盒的容积 D.方案所得的长方体纸盒的底面积与方案所得的长方体纸盒的底面积相同  10.某工厂生产了三种无盖的长方体纸盒，分别用不同方式将长为，宽为的长方形纸片截去两部分（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲纸盒：如图1，盒子底面的四边形是正方形； 乙纸盒：如图2，盒子底面的四边形是长方形，； 丙纸盒：如图3，盒子底面的四边形是长方形，； 三种无盖的长方体纸盒的容积按从小到大的顺序排列为（     ） A.乙丙甲 B.乙甲丙 C.丙甲乙 D.甲丙乙 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）  11.将一个平面图形绕它的一条边所在直线旋转一周得到的立体图形是圆柱，则这个平面图形的名称可能是________（写出一个即可）  12.如图，将①号小正方体挪到②号小正方体的前方，则从正面看到的形状图________发生变化．（填“会”或“不会”）  13.若一个棱柱有七个面，则它是________棱柱，有________条棱．  14.如图，图是一枚骰子的平面展开图．在一张不透明的桌子上，按图方式将三个质地均匀、完全相同的正方体骰子搭成一个几何体，则该几何体能被看到的点数之和最大是______________．  15.如图是一块长方形铁皮（每个方格的边长表示），剪下图中的涂色部分，可以围成一个圆柱，这个圆柱的体积是(         )． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）  16.(7分) 将下列几何体进行分类：（在横线处写明序号即可） （1）有顶点的几何体有_______ ； （2）截面可能为四边形的有 _______； （3）能由平面旋转形成的有 _______ ； （4）截面不可能是圆形的有  _______ ．  17.（6分）把9个相同小正方体摆成简单几何体．从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图； 18.(8分) 如图是一个底面边长均为，侧棱长为的直三棱柱． （1）这个棱柱有几个面，几个顶点？ （2）求该三棱柱所有侧面的面积之和．  19.(8分) 下图所示的是由直角三角形和长方形拼成的四边形． （1）将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是________（填序号）． ①点动成线；    ②线动成面；    ③面动成体． （2）求得到的立体图形的体积（结果保留）．  20.(9分) 已知一个直棱柱，它有个顶点，其中一条侧棱长为，底面各边长都为． （1）这个直棱柱是_________棱柱，有_________个面，有_________条棱； （2）求这个直棱柱的所有侧面的面积之和； （3）通过对棱柱的了解，请写出n棱柱的顶点数及棱的条数．  21.(10分) 如图1是两个几何体的表面展开图，图2是一个正方体的表面展开图． （1）写出图1中对应几何体的名称：①__________，②__________； （2）将图2的展开图折叠成正方体，折叠后相对的两个面上的数字之和均相等，求的值． 22.(10分) 小丽同学周末帮妈妈拆完快递后，将包装盒展开，进行了测量，结果如图所示．已知长方体盒子的长比宽多． （1）求长方体盒子的长和宽． （2）求这个包装盒的体积． 23.(10分) 已知一个长方体的表面展开图如图所示，请回答下列问题： （1）将展开图折叠还原为长方体后，与线段重合的线段是____，与点重合的点是_____． （2）已知长方体的表面展开图中，四边形是正方形，且，，求长方体的体积． 24.(10分) 为了庆祝抗战胜利80周年，某手工社团准备用卡纸制作纸盒来储存抗战胜利80周年纪念邮票． （1）图1中只有四个正方形，请在原图上补画一个正方形，使其经过折叠能围成无盖的正方体纸盒； （2）图2是手工小组的设计图，把它折成正方体纸盒后，与写有“抗”字一面的相对面上的字是“      ”； （3）图3是用一张边长为的正方形卡纸在四角各剪去一个同样大小的边长为的小正方形得到的纸片，将其折成一个无盖长方体纸盒，求这个纸盒的容积． 25.(12分) 【问题情境】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． （1）【拓展探究】如图所示的图形中，是无盖正方体表面的展开图的是________（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图①为无盖的长方体纸盒，图②为有盖的长方体纸盒）．     ①图①方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．若，，则长方体纸盒的底面周长为________cm； ②图②方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，.则该长方体纸盒的体积为________； （3）【问题进阶】若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6，4，3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为多少？通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年北师大版初中数学 • 培优卷 七年级 (上) 第1章 丰富的图形世界（卷一） 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C A D C D C B 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）   11.长方形（答案不唯一）. 12不会 13.五,15  14.  15.. 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.(8分) （1）解：有顶点的几何体有_________(2)(5)(6)(7)_____________； （2）截面可能为四边形的有 __________(2)(4)(6)(7)_____________； （3）能由平面旋转形成的有 _______(4)(5)__________ ； （4）截面不可能是圆形的有  ________(2)(6)(7)____________．  17.（6分） 解：从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图如下： 从正面看 从左面看 从上面看  18.(7分) （1）解：由图得 这个棱柱有个面，个顶点； （2）解：由题意得 故该三棱柱所有侧面的面积之和．  19.(8分) （1）解：四边形绕虚线旋转一周得到立体图形，说明面动成体． 故答案为：③． （2）解：由题意得，沿长方形一边旋转后，立体图形由底面半径、高的圆柱减去底面半径、高的圆锥组成． 设圆柱的体积为，圆锥的体积为，旋转后得到的立体图形的体积为， ， ， ． 答：得到的立体图形的体积为． 20.(9分)（1）解：因为此直棱柱有16个顶点， 所以由}$16\div 2 = 8${知，此棱柱是八棱柱，有10个面，有24条棱；. （2）八棱柱的所有侧面的面积之和是：}$ 5 \times1 1 \times8=4 4 0 (\mathrm{c m}^{2}) $； （3）n棱柱共有2n个顶点，共有3n条棱. 21.(10分)（1）解：图1中对应几何体为：①长方体(或四棱柱),②三棱锥. （2）解：由题图可知 与1,2与4,y与z相对. ：相对的两个面上的数字之和均相等， 22.(10分) （1）解：长方体盒子的宽为， 长方体盒子的长为， 答：长方体盒子的长为，宽为； （2）解：这个包装盒的体积为． 答：这个包装盒的体积是． 23.(10分)（1）解：根据图示可得，将展开图折叠还原为长方体后，与线段CD重合的线段是FG，与点A重合的点是点I，M， 故答案为：FG，I,M； （2）解：根据长方体展开图可得， 长方体的表面展开图中，四边形ABDK是正方形， 四边形DHIK也是正方形， 长方体的底面长为3cm，宽为1cm，高为4cm， 长方体的体积为： 24.(10分) （1）解：图形如图所示： （2）解: “抗”字一面的相对面上的字是“胜”. 故答案为：胜； （3）解：纸盒的容积 . 25.(12分) （1）解：根据展开图， ②只能折成4个面， 才能折成一个无盖正方体纸盒， 故选： ; （2）①由题意得长方体纸盒的底面为正方形， 长方体纸盒的底面周长为 故答案为：16； ②由题意可知，该长方体纸盒的长为 ， 高为 该长方体纸盒的体积为 故答案为：1000； （3）边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，如图， 该长方体表面展开图的最大外围周长为 边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，如图， 该长方体表面展开图的最小外围周长为 则该长方体表面展开图的最大外围周长为58，规律是边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 2026-2027学年北师大版初中数学 • 培优卷 七年级 (上) 第1章 丰富的图形世界（卷一） 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧闹的大雨过后，雨势渐渐变得细微，映着天空飞舞，如同丝线般洒落．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（     ） A.点动成线 B.线动成面 C.面动成体 D.两点之间，线段最短 2.下列几何体中，不含曲面的是（        ） A. B. C. D. 3.桌面上放着三个立体图形，小明从前面看到的是，他观察的三个立体图形可能是（        ） A. B. C. D. 4.下面的图形能折成一个正方体的是（        ） A. B. C. D. 5.小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（       ） A.6 B.8 C.10 D.15  6.一个直棱柱共有27条棱，它的顶点数为（       ） A.9个 B.12个 C.15个 D.18个  7.马上过年了，妈妈给孩子准备了一个新年礼盒，该礼盒（图1）是一个八棱柱，将其抽象成图2的八棱柱，若该棱柱所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（     ） A. B. C. D. 8.用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，剩下的几何体的顶点数不可能是（       ）． A.10 B.7 C.9 D.6 9.用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图和图所示，图中，，均为正方形： 下列说法正确的是（       ） A.方案中的 B.方案中的 C.方案所得的长方体纸盒的容积小于方案所得的长方体纸盒的容积 D.方案所得的长方体纸盒的底面积与方案所得的长方体纸盒的底面积相同 10.某工厂生产了三种无盖的长方体纸盒，分别用不同方式将长为，宽为的长方形纸片截去两部分（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲纸盒：如图1，盒子底面的四边形是正方形； 乙纸盒：如图2，盒子底面的四边形是长方形，； 丙纸盒：如图3，盒子底面的四边形是长方形，； 三种无盖的长方体纸盒的容积按从小到大的顺序排列为（     ） A.乙丙甲 B.乙甲丙 C.丙甲乙 D.甲丙乙 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.将一个平面图形绕它的一条边所在直线旋转一周得到的立体图形是圆柱，则这个平面图形的名称可能是________（写出一个即可） 12.如图，将①号小正方体挪到②号小正方体的前方，则从正面看到的形状图________发生变化．（填“会”或“不会”） 13.若一个棱柱有七个面，则它是________棱柱，有________条棱．   14.如图，图是一枚骰子的平面展开图．在一张不透明的桌子上，按图方式将三个质地均匀、完全相同的正方体骰子搭成一个几何体，则该几何体能被看到的点数之和最大是______________．  15.如图是一块长方形铁皮（每个方格的边长表示），剪下图中的涂色部分，可以围成一个圆柱，这个圆柱的体积是(         )． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.(8分) 将下列几何体进行分类：（在横线处写明序号即可） （1）有顶点的几何体有_______ ； （2）截面可能为四边形的有 _______； （3）能由平面旋转形成的有 _______ ； （4）截面不可能是圆形的有  _______ ．  17.（6分）把9个相同小正方体摆成简单几何体．从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图； 18.78分) 如图是一个底面边长均为，侧棱长为的直三棱柱． （1）这个棱柱有几个面，几个顶点？ （2）求该三棱柱所有侧面的面积之和．  19.(8分) 下图所示的是由直角三角形和长方形拼成的四边形． （1）将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是________（填序号）． ①点动成线；    ②线动成面；    ③面动成体． （2）求得到的立体图形的体积（结果保留）． 20.(9分) 已知一个直棱柱，它有个顶点，其中一条侧棱长为，底面各边长都为． （1）这个直棱柱是_________棱柱，有_________个面，有_________条棱； （2）求这个直棱柱的所有侧面的面积之和； （3）通过对棱柱的了解，请写出n棱柱的顶点数及棱的条数．  21.(10分) 如图1是两个几何体的表面展开图，图2是一个正方体的表面展开图． （1）写出图1中对应几何体的名称：①__________，②__________； （2）将图2的展开图折叠成正方体，折叠后相对的两个面上的数字之和均相等，求的值．  22.(10分) 小丽同学周末帮妈妈拆完快递后，将包装盒展开，进行了测量，结果如图所示．已知长方体盒子的长比宽多． （1）求长方体盒子的长和宽． （2）求这个包装盒的体积．  23.(10分) 已知一个长方体的表面展开图如图所示，请回答下列问题： （1）将展开图折叠还原为长方体后，与线段重合的线段是____，与点重合的点是_____． （2）已知长方体的表面展开图中，四边形是正方形，且，，求长方体的体积． 24.(10分) 为了庆祝抗战胜利80周年，某手工社团准备用卡纸制作纸盒来储存抗战胜利80周年纪念邮票． （1）图1中只有四个正方形，请在原图上补画一个正方形，使其经过折叠能围成无盖的正方体纸盒； （2）图2是手工小组的设计图，把它折成正方体纸盒后，与写有“抗”字一面的相对面上的字是“      ”； （3）图3是用一张边长为的正方形卡纸在四角各剪去一个同样大小的边长为的小正方形得到的纸片，将其折成一个无盖长方体纸盒，求这个纸盒的容积． 25.(12分) 【问题情境】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． （1）【拓展探究】如图所示的图形中，是无盖正方体表面的展开图的是________（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图①为无盖的长方体纸盒，图②为有盖的长方体纸盒）．     ①图①方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．若，，则长方体纸盒的底面周长为________cm； ②图②方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，.则该长方体纸盒的体积为________； （3）【问题进阶】若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6，4，3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为多少？通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？ 学科网（北京）股份有限公司 $