2.4 有理数的乘方 同步练习 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 分层清晰，梯度合理，从概念理解到综合探究，构建“基础巩固-能力提优-压轴拓展”三阶知识巩固路径，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固篇|乘方概念（底数、指数）、基本运算、简单应用（面积、体积）|以选择、填空、解答题夯实基础，如对折层数问题渗透符号意识| |能力提优篇|幂的符号规律、易混式辨析、含字母乘方|通过-4²与(-4)²对比等辨析题提升推理能力，引入参数a考查运算能力| |压轴拓展篇|幂值统计、循环规律、分类讨论|以“幂校验码”探究个位循环，结合命题判断培养模型意识与创新意识|

北师版七年级上册数学 · 2.4 有理数的乘方 · 分层作业 北师版七年级上册 2.4 有理数的乘方 分层作业 基础巩固篇 （一）选择题 1．在（−5）⁴中，底数和指数分别是（ ） A．−5，4 B．5，4 C．−5，−4 D．4，−5 2．“a的3次幂”表示（ ） A．a＋a＋a B．3a C．a×a×a D．a×3 3．下列各式的值为负数的是（ ） A．（−2）⁴ B．（−3）³ C．0⁵ D．5² 4．计算2⁵，结果是（ ） A．10 B．16 C．25 D．32 5．一块正方形地砖的边长为7 dm，它的面积可表示为（ ）dm²。 A．2×7 B．7² C．7³ D．7＋7 6．一张纸每对折一次，纸层数变为原来的2倍。按图示规律，从1层开始，对折3次后的层数是（ ） A．3 B．6 C．8 D．9 7．计算（−1）⁸＋0⁶＋1⁷，结果是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．把0.2×0.2×0.2×0.2写成乘方形式，正确的是（ ） A．0.2⁴ B．4⁰·² C．0.8² D．0.2×4 （二）填空题 9．观察下面的乘方： 它的底数是________，指数是________。 10．一个正方体礼盒的棱长为4 cm，它的体积可写成4³ cm³，计算得________ cm³。 11．计算：（−6）²＝________；（−2）⁵＝________。 12．把10×10×10×10×10写成乘方形式为________。 13．某种细胞每轮分裂后数量变为原来的2倍。1个细胞经过5轮分裂后共有________个细胞。 14．“6个（−3）相乘”写成乘方形式是________。 15．若n是正整数，则1ⁿ＝________，0ⁿ＝________。 16．计算2³＋（−3）²＝________。 （三）解答题 17．计算： （1）5²； （2）（−4）²； （3）（−3）³； （4）2⁶； （5）（−1）¹⁵； （6）0⁸。 18．将下列相同因数的连乘式改写成乘方形式，再计算。 （1）3×3×3×3； （2）（−2）×（−2）×（−2）； （3）0.1×0.1×0.1。 19．分别写出3⁴与4³所表示的乘法算式，并计算它们的值。再用一句话说明“底数”和“指数”各表示什么。 20．一个展示架第1层放5个模型，此后每增加一层，模型数量都是上一层的2倍。若按这个规律摆放，第5层应放多少个模型？请先写出含乘方的算式，再计算。 能力提优篇 （一）选择题 21．下列各组中，两个式子的值相等的是（ ） A．−4²与（−4）² B．−3³与（−3）³ C．−（−2）²与（−2）² D．−5²与（−5）³ 22．下列计算中，结果最大的是（ ） A．−0.5² B．（−0.5）² C．−（−0.5）² D．（−0.5）³ 23．已知a＜0，n为正整数。若aⁿ＞0，则n一定是（ ） A．奇数 B．偶数 C．1 D．无法判断 24．若x²＝y²，且x≠y，则x、y一定满足（ ） A．x＝y B．x＋y＝0 C．xy＞0 D．x³＝y³ 25．比较2⁶、4³、8²的大小，正确的是（ ） A．2⁶最大 B．4³最大 C．8²最大 D．三者相等 26．计算18−2×（−3）²时，正确的运算顺序是（ ） A．先减后乘方 B．先乘后乘方 C．先乘方再乘最后减 D．从左到右 27．若（−3）ⁿ＝−243，且n为正整数，则n＝（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 28．已知−2≤a≤3。下列结论一定正确的是（ ） A．a²≤4 B．a²≤9 C．a³≥−7 D．a²≥1 （二）填空题 29．计算：＝________。 30．计算−[（−2）³]²＝________。 31．若x²＝49，则x＝________。 32．若，则y＝________。 33．已知a＜0且aⁿ＞0（n为正整数），则n为________数。 34．若x²＝y²，且x−y＝6，则xy＝________。 35．若m、n为正整数，且（−1）ᵐ＋（−1）ⁿ＝0，则m、n的奇偶性________（填“相同”或“不同”）。 36．已知a²＝4，b³＝−8，则（a＋b）²的所有可能值是________。 （三）解答题 37．计算并比较下列各组式子的大小，写出比较结果。 （1） 与 ； （2） 与 ； （3）（−0.2）⁴ 与 −0.2⁴。 38．三位同学计算乘方，过程如下。请逐一判断正误；错误的指出错因并改正。 甲：−2⁴＝（−2）⁴＝16； 乙：（−3）³＝−3×3＝−9； 丙：（−1）²⁰²⁶＝1。 39．已知x²＝16，y³＝−8。 （1）写出x、y的所有可能值；（2）若x＋y＜0，确定x的值；（3）在（2）的条件下，求x³−y²。 40．按下面的“运算程序”输入一个有理数x：先平方，再乘−2，最后加1。 输入x → 平方 → ×（−2） → ＋1后输出 （1）输入x＝−3，求输出结果；（2）若输出结果为−7，求所有可能的x；（3）说明为什么第（2）问可能有两个答案。 压轴拓展篇 综合探究大题 41．【幂值统计·真假命题·分类讨论】取A＝{−2，−1，0，1，2}，研究其中各数的正整数次幂。 底数x x² x³ x⁴ −2 −1 0 1 2 （1）完成表格，并统计x²、x³、x⁴三列中各有多少个不同的数值。 （2）小航提出两个命题：①若a²＝b²，则a＝b；②若a³＝b³，则a＝b。分别判断真假；错误的命题请举出反例，正确的命题请说明理由。 （3）设n为正整数，若aⁿ＝bⁿ，分别讨论n为奇数、偶数时a与b可能满足的关系；当n为偶数时，再补充一个关于a、b取值范围的条件，使aⁿ＝bⁿ能够推出a＝b，并说明理由。 42．【校验码·末位循环·规律探究】某校科技节设计一种“幂校验码”：把3的正整数次幂的个位数字按顺序记录。 （1）写出3¹～3⁸的个位数字，并判断个位数字的循环节长度。 （2）不求完整幂值，求3²⁰²⁶的个位数字；再设S＝3¹＋3²＋3³＋…＋3²⁰²⁶，求S的个位数字，并说明分组依据。 （3）若指数依次取1，2，4，8，16，…，即第k项指数为2ᵏ⁻¹，求第2027项对应的3的幂的个位数字；并说明为什么对任意整数a，数列a¹，a²，a³，…的个位数字一定会出现周期性规律，再任选一个个位不是3的整数举例验证。 参考答案与详细解析 一、基础巩固篇 1．A。（−5）⁴表示4个−5相乘，因此底数是−5，指数是4。 2．C。a³的定义是3个相同因数a相乘，即a×a×a。 3．B。负数的奇次幂为负数；（−3）³＝−27。其余三项均不为负。 4．D。2⁵＝2×2×2×2×2＝32。 5．B。正方形面积＝边长×边长＝7×7＝7²。 6．C。每次对折层数乘2：1×2³＝8（层）。 7．C。（−1）⁸＝1，0⁶＝0，1⁷＝1，所以和为2。 8．A。4个0.2相乘写作0.2⁴。 9．底数为−3/4，指数为5。括号内整体是底数；右上角的5是指数。 10．64。4³＝4×4×4＝64。 11．36；−32。（−6）²为偶次幂，结果为36；（−2）⁵为奇次幂，结果为−32。 12．10⁵。共有5个相同因数10。 13．32。1×2⁵＝32。 14．（−3）⁶。共有6个相同因数−3。 15．1；0。1的任何正整数次幂仍为1；0的任何正整数次幂仍为0。 16．17。2³＋（−3）²＝8＋9＝17。 17．计算结果：（1）25；（2）16；（3）−27；（4）64；（5）−1；（6）0。计算负数的幂时，先看底数是否带括号，再根据指数奇偶判断符号。 18．改写并计算：（1）3⁴＝81；（2）（−2）³＝−8；（3）0.1³＝0.001。 19．3⁴＝3×3×3×3＝81；4³＝4×4×4＝64。底数表示相同因数，指数表示这个相同因数相乘的个数。 20．80个。第1层5个，第5层相当于在第1层基础上连续翻倍4次，所以算式为5×2⁴＝5×16＝80（个）。 二、能力提优篇 21．B。−3³＝−(3³)＝−27，而（−3）³＝−27。A、C两组符号相反，D两式分别为−25和−125。 22．B。−0.5²＝−0.25；（−0.5）²＝0.25；−（−0.5）²＝−0.25；（−0.5）³＝−0.125，所以最大为0.25。 23．B。a＜0时，负数只有偶次幂为正，故n为偶数。 24．B。x²＝y²可得|x|＝|y|。又x≠y，所以x＝−y，即x＋y＝0。 25．D。2⁶＝64，4³＝64，8²＝64，三者相等。 26．C。乘方优先于乘除，乘除优先于加减，所以先算（−3）²，再乘2，最后用18减。 27．C。3⁵＝243，且负数的奇次幂为负，因此（−3）⁵＝−243，n＝5。 28．B。−2≤a≤3，所以|a|≤3，从而a²≤9。A在a＝3时不成立；C若写作a³≥−7，则a＝−2时不成立；D在a＝0时不成立。 29．9/16。负分数的偶次幂为正，分子、分母分别平方：3²/4²＝9/16。 30．−64。先算（−2）³＝−8，再平方得64，最外面的负号保留，所以为−64。 31．±7。平方等于49的数有两个：7和−7。 32．−1/2。(−1/2)³＝−1/8，立方对应的原数唯一。 33．偶。负数的偶次幂为正，奇次幂为负。 34．−9。x²＝y²且x−y＝6。若x＝y则差为0，不合题意，因此x＝−y。于是x−(−x)=6，得x=3，y=−3，所以xy=−9。 35．不同。（−1）的偶次幂为1，奇次幂为−1；两项和为0，必须一正一负，所以m、n奇偶性不同。 36．0或16。b³＝−8得b＝−2；a²＝4得a＝2或−2。当a＝2时（a+b）²＝0；当a＝−2时（a+b）²＝16。 37．比较结果：（1）两者相等，均为 ； （2）前者为 ，后者为 ，所以前者大于后者；（3）（−0.2）⁴＝0.0016，而−0.2⁴＝−0.0016，所以前者大于后者。 38．甲错，乙错，丙对。甲把−2⁴错误地看成了（−2）⁴；正确为−2⁴＝−(2⁴)＝−16。乙把“3次幂”误写成只含两个因数；正确为（−3）³＝（−3）×（−3）×（−3）＝−27。丙中指数2026为偶数，所以（−1）²⁰²⁶＝1。 39．（1）x＝±4，y＝−2；（2）x＝−4；（3）−68。因为y³＝−8，所以y＝−2。条件x＋y＜0即x−2＜0，x＝4时不成立，故x＝−4。于是x³−y²＝（−4）³−（−2）²＝−64−4＝−68。 40．（1）−17；（2）x＝±2；（3）原因见下。程序可表示为输出值=−2x²＋1。（1）x＝−3时，−2×9＋1＝−17。（2）−2x²＋1＝−7，得x²＝4，所以x＝2或−2。（3）平方会把互为相反数的两个数变成同一个非负数，因此逆推平方时可能出现两个答案。 三、压轴拓展篇 41．（1）x＝−2时：x²＝4，x³＝−8，x⁴＝16；x＝−1时：1，−1，1；x＝0时：0，0，0；x＝1时：1，1，1；x＝2时：4，8，16。x²列有3个不同值{0，1，4}；x³列有5个不同值{−8，−1，0，1，8}；x⁴列有3个不同值{0，1，16}。 41．（2）命题①错误。例如a＝2，b＝−2，则a²＝b²＝4，但a≠b。命题②正确：立方保持数的正负，并且在负数、0、正数范围内，底数越大，立方也越大，所以a³＝b³只能推出a＝b。 41．（3）当n为奇数时，aⁿ＝bⁿ必有a＝b；当n为偶数时，aⁿ＝bⁿ等价于|a|＝|b|，因此a＝b或a＝−b。若补充a≥0且b≥0（或a≤0且b≤0），则a、b同处一个单调区间，aⁿ＝bⁿ可推出a＝b。 42．（1）个位数字依次为3，9，7，1，3，9，7，1，循环节长度为4。 42．（2）3²⁰²⁶的个位数字为9。因为2026÷4余2，所以取循环中的第2个数字9。又3＋9＋7＋1＝20，每4项个位和为0（只看个位）；2026＝4×506＋2，前506组不影响个位，余下3¹＋3²的个位为3＋9＝12，所以S的个位数字为2。 42．（3）第2027项的指数为2²⁰²⁶。由于2²⁰²⁶能被4整除，3的该次幂对应循环中的第4位，个位数字为1。对任意整数a，只看个位时，每一步都由“当前个位×a的个位再取个位”决定，而个位只有0～9共10种状态；状态一旦重复，后续便按同样方式重复，因此必然出现周期性规律。例如8的幂的个位为8，4，2，6，8，4，2，6，…，循环节长度为4。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $