专题05 二次函数章末易错必刷题型专训（57题19个考点）2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数核心易错点，以19个考点57题构建从概念识别到综合应用的递进训练体系，强化数学思维与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数的识别|3题|选择/填空|从定义辨析到形式转化，夯实概念基础| |顶点式图象性质|3题|选择/解答|结合开口方向、对称轴考查几何直观| |图象平移|3题|选择/填空|通过坐标变换培养空间观念| |最值应用|3题|选择/解答|运用推理能力解决范围与极值问题| |实际与几何应用|3题|解答题|以模型意识构建数学与现实的联系|

专题05 二次函数章末易错必刷题型专训（57题19个考点） 【易错必刷一 二次函数的识别】 1．（25-26九年级上·新疆伊犁·期中）下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义形如的函数叫做二次函数，熟记二次函数的定义是解题的关键．据此即可求解． 【详解】解：A、若，则不是二次函数，故不符合题意； B、是一次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、，未知数的最高次是3，不是二次函数，不符合题意， 故选：C． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列函数一定是二次函数的是__________． ①；②；③；④；⑤y=(x-3)2-x2 【答案】③ 【分析】根据二次函数的定义： 一般地,把形如y=ax²+bx+c(a≠0)(a、b、c是常数)的函数叫做二次函数，据此判断即可． 【详解】解：①，必须满足a≠0才为二次函数，故①不一定是二次函数； ②等号右边为分式，故②不是二次函数； ③是二次函数，故③是二次函数； ④，时，该式不是二次函数； ⑤，该式不是二次函数； 故答案为：③． 【点睛】本题考查了二次函数的识别，熟知二次函数的定义是解本题的关键． 3．（25-26九年级上·安徽滁州·阶段检测）把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项． 【答案】；二次项为，一次项是，常数项是0 【分析】根据二次函数的一般式解答即可． 【详解】解：二次函数即为， ∴二次项为，一次项是，常数项是0． 【点睛】本题考查了二次函数的一般形式，叫做二次函数的一般形式，其中分别叫做二次项、一次项和常数项． 【易错必刷二 根据二次函数的定义求参数】 4．（24-25九年级上·广东江门·期末）若是关于x的二次函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）若关于的函数是二次函数，则的值为_______． 【答案】3 【分析】本题考查二次函数的定义，一般地，形如（其中，且）的函数叫做二次函数，据此可得，则． 【详解】解：∵关于的函数是二次函数， ∴， 解得：， 故答案为：3． 6．（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）已知函数是y关于x的二次函数． (1)若该函数图象开口向上，求a的值； (2)在（1）的条件下，写出该函数图象的对称轴与顶点坐标． 【答案】(1) (2)直线，顶点 【分析】（1）根据二次函数的定义即可进行解答； （2）根据（1）得出该函数的表达式，根据函数对称轴为直线即可求出对称轴，则可得出函数的顶点坐标． 【详解】（1）解：∵该函数为二次函数，且开口向上， ∴，解得， 所以； （2）由（1）可得：该函数为：， ∴该函数对称轴为直线， 把代入得：， ∴顶点． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义以及二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的最高次项次数为2，当时，开口向上，否则，开口向下． 【易错必刷三 y=a（x-h）²+k的图象和性质】 7．（25-26九年级上·福建宁德·期末）二次函数的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的特点，掌握顶点式的特点是截图的关键．根据二次函数的顶点式，其中对称轴为直线，由此即可求解． 【详解】解：已知二次函数， ∴对称轴为直线， 故选：C． 8．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）二次函数 的顶点坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数顶点式，二次函数的顶点坐标为，由此可解． 【详解】解：二次函数 的顶点坐标为， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·贵州黔东南·阶段检测）已知函数 (1)指出函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______； (2)当x______时，y随x的增大而增大； (3)怎样移动抛物线就可以得到抛物线． 【答案】(1)向下，直线， (2) (3)向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移规律，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据二次函数的图象与系数的关系得出开口方向，根据顶点式得出对称轴及顶点坐标； （2）根据二次函数的性质可以解答本题； （3）根据平移的规律：左加右减，上加下减，可以解答本题． 【详解】（1）解：∵函数，， ∴该函数图象的开口方向是向下，对称轴是直线，顶点坐标是， 故答案为：向下，直线，； （2）解：∵函数， ∴当时，y随x的增大而增大， 故答案为：； （3）解：将抛物线向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度就可以得到抛物线． 【易错必刷四 二次函数图象的平移】 10．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，掌握二次函数的平移规律是解题的关键．根据二次函数“左加右减，上加下减”的平移规律进行解答即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线为． 故选：C． 11．（25-26九年级上·青海西宁·期末）将抛物线向右平移3个单位长度，得到新抛物线的解析式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查抛物线的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键．根据“左加右减，上加下减”即可得到答案． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位长度，得到新抛物线的解析式是， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知抛物线． （1）求它的对称轴和顶点坐标； （2）写出一种将它平移成抛物线的方法． 【答案】（1）对称轴为 ，顶点坐标为；（2）先向左平移 个单位，再向上平移2个单位（答案不唯一）． 【分析】（1）利用配方法将抛物线 解析式化为顶点式，即可求解； （2）将抛物线先向左平移 个单位，再向上平移2个单位，即可求解 【详解】解：（1）∵ ∴抛物线的对称轴为 ，顶点坐标为 ； （2）可将抛物线先向左平移 个单位，再向上平移2个单位，可得到抛物线． 【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴，顶点坐标，以及抛物线的平移，熟练掌握二次函数的解析式是解题的关键． 【易错必刷五 二次函数图象与各项系数符号】 13．（2026·陕西·模拟预测）二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 【答案】C 【分析】根据题意可以判断出该抛物线的开口方向、顶点坐标在y轴的哪一侧，交y轴的位置，从而可以判断出该函数图象一定经过哪几个象限即可． 【详解】解：∵二次函数的， ∴该函数图象开口向上， 又∵，， ∴，顶点在y轴左侧，经过y轴正半轴， ∴该二次函数的图象必过第一、二象限． 14．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）抛物线y＝x2+2x+m顶点在第二象限，则m的取值范围是_____． 【答案】m＞1 【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（﹣1，m﹣1），再利用第二象限点的坐标特征得到m﹣1＞0，然后解不等式即可． 【详解】解：∵y＝x2+2x+m＝（x+1）2+m﹣1， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，m﹣1）， ∵抛物线y＝x2+2x+m顶点在第二象限， ∴m﹣1＞0， ∴m＞1． 故答案为：m＞1． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（，）． 15．（2026·江苏南通·一模）已知：二次函数（a为常数）． （1）请写出该二次函数图像的对称轴； （2）若这个二次函数的最小值是7，求a的值； （3）直角坐标系中，若该二次函数的图像在的部分与一次函数的图像有两个交点，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）≤a＜2 【分析】（1）根据二次函数一般式的对称轴为，代入数值即可； （2）根据二次函数当，有最小值7，代入求出a的值即可； （3）根据二次函数的图象与一次函数y＝2x−1的图象有两个交点，则x2−4x＋3a＋2＝2x−1的方程的Δ＞0，求得a＜2，把x＝4和代入y＝2x−1，求得函数值7，把（4，7）代入y＝x2−4x＋3a＋2，得到关于a的方程，解方程求得a＝，根据题意求出a的取值即可． 【详解】解：（1）∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为：， 即：； （2）当时，有最小值7， 即， 解得：； （3）∵二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x−1的图象有两个交点， ∴x2−4x＋3a＋2＝2x−1， 整理为：x2−6x＋3a＋3＝0， ∴△＝36−4（3a＋3）＞0， 解得a＜2， 把x＝4代入y＝2x−1，解得y＝2×4−1＝7， 把（4，7）代入y＝x2−4x＋3a＋2得7＝16−16＋3a＋2，解得a＝， 故该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x−1的图象有两个交点，a的取值为≤a＜2． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，一次函数的性质，根据题意得出的取值是解题的关键． 【易错必刷六 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 16．（25-26九年级下·江苏无锡·阶段检测）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，把解析式化为顶点式，即可得到答案. 【详解】∵ ∴抛物线的顶点坐标是 故选：D 17．（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）把化为的形式，其中为常数，则______． 【答案】 【分析】将一般式根据配方法化为顶点式即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了将二次函数一般式化为顶点式，掌握配方法是解题的关键． 18．（25-26九年级上·吉林松原·期中）已知抛物线． (1)将化成的形式； (2)直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)对称轴是直线，顶点坐标是 【分析】本题考查将抛物线一般式化为顶点式、顶点式的图象与性质等知识，熟记抛物线的图象与性质是解决问题的关键． （1）利用配方法将抛物线一般式化为顶点式即可得到答案； （2）根据抛物线顶点式的图象与性质直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）中可知，对称轴是直线，顶点坐标是． 【易错必刷七 y=ax²+bx+c的最值】 19．（2026·陕西咸阳·二模）已知二次函数，当时，函数的最小值为，则b的值为（       ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】先求出二次函数开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越近函数值越小，再分当时，当时，两种情况根据二次函数的性质结合当时，函数的最小值为进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越近函数值越小， 当时， ∵当时，函数的最小值为， ∴，解得（舍去）； 当时，则， ∵当时，函数的最小值为， ∴当时， ， ∴， 解得； 综上所述，， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，正确得到离对称轴越近函数值越小是解题的关键， ． 20．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）若，则的最大值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，由，得，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，的最大值为， 故答案为：． 21．（2026九年级上·浙江·模拟预测）已知函数的图象与轴交于两点，且． (1)当时，设表示的最小值，求的最大值； (2)若，证明：或． 【答案】(1) (2) 若或不成立， 假设，则， 抛物线的对称轴为直线， 得， 当时，， 得， ， ， ， 与已知条件矛盾； 假设则， 此时， 即，， ，， 导致，与已知条件矛盾； 假设且， 当时，， 当时，， ， ， ， ， 与已知条件矛盾； 综上，所以假设情况均与已知条件矛盾，故假设不成立， 原命题或成立． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质和反证法． （1）根据函数的图象与性质得到该函数的最小值m在顶点处取得，把代入即可表示出最小值m的函数关系式，再根据关于a的函数关系式即可求出结果； （2）利用反证法，分三种情况得出与条件矛盾；进而即可得证． 【详解】（1）解：由题意可知，函数的图象开口方向向上， 函数的最小值m在顶点处取得，顶点横坐标为，代入函数得： ， ， ， ， 此为关于a的开口向下的抛物线，最大值在顶点处，代入得，； （2）略 【易错必刷八 y=ax²+bx+c的图象与性质】 22．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）用“描点法”画二次函数的图象时，列出了如下表格： … 1 2 3 4 … … 0 0 3 … 根据以上信息，当时，的值为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图表表示函数，根据图表得到和是对称点，继而得到抛物线的对称轴为，根据，判断与是对称点即可． 【详解】根据图表，得到和是对称点， 故抛物线的对称轴为， 根据， 故和是对称点， 故， 故选A． 23．（2026·福建宁德·二模）已知点，，在抛物线（）上．若点A在对称轴左侧，则，，的大小关系是__________．（用“>”，“<”或“=”连接） 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数图像的对称性，根据二次函数的性质和二次函数图像上点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：抛物线，其中 抛物线的开口向下，对称轴为：直线，当时，随的增大而增大，当时， 随的增大而减小， 点、、都在抛物线（）上， 关于抛物线对称轴的对称点为， ， 故答案为：． 24．（2025·江苏南京·二模）已知二次函数的图象对称轴为直线，点都在该二次函数图象上． (1)用含a的代数式表示b； (2)当时，比较与的大小，并说明理由； (3)当时，都有，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) ，理由如下： ∵对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，随着增大而减小， ∵，， ∴； (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是： （1）根据对称轴公式求解即可； （2）求出点关于直线的对称点为，然后根据二次函数的增减性求解即可； （3）分、 都在对称轴直线的右侧；、 在对称轴直线的两侧；、 都在对称轴直线的左侧，三种情况讨论，画出对应的草图，数形结合，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象对称轴为直线， ∴， ∴； （2）略 （3）解：当时，， ∵， ∴在的右侧， 当、 都在对称轴直线的右侧时，如图， ∵， ∴，解得； 当、 在对称轴直线的两侧时， 即关于直线的对称点为 关于直线的对称点为 ∵， ∴， 解得 当、 都在对称轴直线的左侧时， ∵， ∴开口向下，在对称轴直线的左侧，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 与相矛盾， ∴此种情况不存在， 综上，或． 【易错必刷九 求抛物线与x轴的交点坐标】 25．（24-25九年级上·山东日照·阶段检测）抛物线的图象与坐标轴的交点的个数是（   ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数与坐标轴的交点，熟练二次函数与轴和轴的交点的求法以及仔细审题是解决本题的关键．已知二次函数的解析式，分别令，，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴令，则，故与轴有一个交点， 令，则， ， ∴与轴有两个交点， 即：图象与坐标轴的交点有3个， 故选：D． 26．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）二次函数图象与轴的交点坐标为_________． 【答案】 【分析】令，解方程即可求解． 【详解】解：令，得， 解得：， ∴二次函数图象与轴的交点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求二次函数图象与轴的交点，根据题意解方程是解题的关键． 27．（24-25九年级上·全国·期中）已知抛物线过两点． (1)求出该抛物线的解析式； (2)求出抛物线与x轴的交点坐标； (3)当时，写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)和 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，求抛物线于坐标轴的交点， 对于（1），利用待定系数法求解； 对于（2），令，转化为方程求解； 对于（3），当时，即为图像在x轴下方，再结合交点可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线过两点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：将代入，得， 解得：， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和； （3）解：∵抛物线，其图象如下： 由图象可知：当时，． 【易错必刷十 画y=ax²+bx+c的图象】 28．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）二次函数的图像如下：则的值为（    ）    A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，通过图象求解析式的参数，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 根据二次函数的图象和性质进行求解即可． 【详解】解：通过图象可得， ，且， 解得， 故选：B． 29．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段检测）琳琳在画函数的图象时，粗心的将系数和看反了，将她画的图象与同桌的图象叠放在一起后发现图象并不相同，则下列关于琳琳和同桌所画的两个图象的说法中，正确的是____________（填序号）． ①两个图象的开口方向一定相同；②两个图象的对称轴一定相同；③两个图象交点的横坐标一定为． 【答案】③ 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，首先得到另一个函数表达式为，然后根据系数和图象的关系逐项求解即可． 【详解】∵函数将系数和看反了变成 ∵两个函数图象并不相同 ∴， ∴两个图象的开口方向不相同，故①错误； ∵函数的对称轴为直线， 函数的对称轴为直线， ∴两个图象的对称轴不相同，故②错误； 联立两个函数得， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴两个图象交点的横坐标一定为，故③正确． 综上所述，正确的是③． 故答案为：③． 30．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线． (1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)取何值时，随的增大而增大？取何值时，随的增大而减小？ 【答案】(1)抛物线开口向下，对称轴是顶点坐标为 (2)当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，把二次函数化为顶点式是关键． （1）把二次函数化为顶点式并根据即可得到答案； （2）根据二次函数的增减性即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴抛物线开口向下，对称轴是顶点坐标为 （2）解：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 【易错必刷十一 求抛物线与y轴的交点坐标】 31．（24-25九年级上·广东云浮·期中）已知是抛物线上一点，则a的值为（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数上的点的坐标，由抛物线得，当时，，即可得． 【详解】解：∵是抛物线上一点， ∴当时，， 故选：A． 32．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）抛物线与y轴的交点坐标为______． 【答案】 【分析】令，可求出抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， ∴与y轴的交点坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与y轴的交点坐标特点：y轴上的点的横坐标为0，正确把握二次函数图象上点的坐标特征是解题关键 33．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）已知二次函数． (1)求函数图象与坐标轴的交点坐标． (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)与轴的交点坐标为，与轴的交点为， (2)或 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点以及根据交点确定不等式的解集，熟记相关知识及求解方法即可； （1）分别令、即可求解； （2）根据抛物线开口向上，与轴的交点为，即可求解； 【详解】（1）解：∴令，则； ∴与轴的交点坐标为， 令，解得：，， 与轴的交点为，． （2）解：∵抛物线开口向上，与轴的交点为，． ∴当时，的取值范围是或． 【易错必刷十二 已知二次函数的函数值求自变量的值】 34．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）若函数的图象经过点，则n的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的函数值．正确计算是解题的关键． 将点代入求解即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴， 故选：A． 35．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知函数，当函数值为1时，自变量的取值为______． 【答案】0或 【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，根据函数值为1得，解方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意得， ∴，即， 解得或， 即当函数值为1时，自变量的取值为0或． 故答案为：0或． 36．（25-26九年级上·上海松江·阶段检测）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间满足函数关系．若小球的飞行高度不低于的时间段内，小球可被某监测设备清晰捕捉，求小球可被该设备清晰捕捉的时长． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数的自变量值， 依据题意，由，可令，则，从而，进而可以判断得解； 【详解】解：令，即． 整理，得， 解得， ∴时，， ∴可被该设备清晰捕捉的时长为． 答：小球的可被该设备清晰捕捉的时长为； 【易错必刷十三 图象法确定一元二次方程的近似根】 37．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）已知二次函数的与的部分对应值如下表： … … … … 关于此函数的图象和性质有如下判断： ①抛物线开口向下．②当时，函数图象从左到右上升． ③方程的一个根在与之间． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据函数图象具有对称性和表格可知对称轴和顶点坐标，以及开口方向，从而可以判断选项是否正确，从而得出答案． 【详解】解：根据表格可知：①函数的对称轴为，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，故函数图象是抛物线，且开口向下，符合题意； ②函数对称轴为，当，y随x的增大而减小，所以函数图象从左至右下降，不符合题意； ③当时，，当时，，所以方程的一个根在与之间，符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了抛物线的性质，解题的关键是正确理解题意、熟练掌握其性质． 38．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … 则下列判断中正确的是______． ①抛物线开口向下；②抛物线与y轴交于负半轴；③当时，；④方程的正根在3与4之间． 【答案】①④/④① 【分析】根据和的函数值相同求出二次函数的对称轴，进而根据的函数值大于的函数值，即离对称轴越近函数值越大即可判断①；根据时，即可判断②；根据和关于直线对称，即可判断③；根据当时，，当时，，二次函数与x轴的一个交点在3和4之间，即可判断④． 【详解】解：∵和的函数值相同， ∴二次函数对称轴为直线， ∵ ∴离对称轴越近函数值越大， ∴二次函数开口向下，故①正确； ∵时，， ∴二次函数与y轴交于正半轴，故②错误； ∵和关于直线对称， ∴时，，故③错误； ∵当时，，当时，， ∴二次函数与x轴的一个交点在3和4之间， ∴方程的正根在3与4之间，故④正确； 故答案为：①④； 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确根据表格中的数据求出二次函数的对称轴方程是解题的关键． 39．（25-26九年级上·全国·单元测试）利用函数图象求出一元二次方程的近似根，也可以在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象，根据两个图象交点的横坐标找出一元二次方程的近似根，请试一试． 【答案】，． 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．建立平面直角坐标系，根据网格结构作出函数和的图象，然后找出两函数图象的交点坐标，从而得解． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中作出函数和的图象，如图所示： 由图可知，交点坐标为，， 所以一元二次方程的近似根为，． 【易错必刷十四 图象法解一元二次不等式】 40．（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案． 【详解】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或， 故选：D． 41．（25-26九年级上·吉林长春·期中）已知抛物线经过点，则不等式的解集是 _____． 【答案】或 【分析】根据抛物线经过点，可得抛物线开口向下，且当时，或，再根据二次函数的图象和性质即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线经过点， 抛物线开口向下，且当时，或， 不等式的解集是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了利用二次函数的图象解一元二次不等式，熟练掌握知识点并运用数形结合的思想是解题的关键． 42．（25-26九年级上·北京海淀·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)在坐标系中画出该函数图象，并结合函数图象回答，当时，x的取值范围是__________． 【答案】(1) (2)或 故作函数图象如下： 【分析】（1）把代入即可求解； （2）求出函数与坐标轴的交点与顶点坐标即可作图，再根据图象求解． 此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知待定系数法的应用． 【详解】（1）把代入得 解得 ∴抛物线的表达式； （2）∵的顶点坐标为， 令，解得或， ∴与x轴交于和， 令，解得， ∴与y轴交于， ∴当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． 【易错必刷十五 根据交点确定不等式的解集】 43．（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图，抛物线与直线相交于点和，与x轴的另一交点为，若，则x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：抛物线与直线相交于点和， 根据图象可知，当时，二次函数的图象在一次函数图象的上面，∴的解集为，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此． 44．（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，二次函数与一次函数为的图象相交于A，B两点，则不等式的解为______． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数与不等式（组），由图象可知，与图象的交点的横坐标为和3，当时，的图象在的图象的下方，即可得答案． 【详解】解：由图象可知，与图象的交点的横坐标为和3， ∵当时，的图象在的图象的下方， ∴不等式的解为：， 不等式的解为：． 故答案为：． 45．（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，对称轴是y轴． (1)点A、B的坐标分别是：A（ ），B（ ）； (2)若，则x的取值范围是 ； (3)函数y的最小值是 ． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质， （1）依据题意，由及抛物线关于y轴对称，进而可以求得B点坐标； （2）依据题意，由抛物线在x轴上方部分的图像满足，进而可以判断得解； （3）依据题意，根据抛物线的顶点为，开口向上，即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，， 又∵抛物线对称轴是y轴， ∴， 故答案为：，； （2）由题意，抛物线在x轴上方部分的图像满足， ∴或， 故答案为：或． （3）由题意，根据抛物线的顶点为，开口向上， ∴函数y的最小值是， 故答案为：． 【易错必刷十六 根据二次函数的对称性求函数值】 46．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）若，，是二次函数图象上的三个点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得抛物线对称轴为直线，然后根据二次函数的对称性和增减性即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线 ∴抛物线的开口向下，对称轴是直线 ∴当时，随的增大而减小 ∵与点关于对称，且 ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称性和增减性即可得到答案． 47．（25-26九年级上·湖北荆州·阶段检测）已知y是x的二次函数，下表给出了y与x的几对对应值： … 0 1 2 … … … 由此判断，表中______． 【答案】 【分析】根据表格得出二次函数的对称轴为直线，由此即可得出答案． 【详解】解:由表格可知，和时的函数值相等， 则二次函数的对称轴为直线 因此，和的函数值相等， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 48．（25-26九年级上·浙江衢州·期末）已知二次函数，当时，求函数y的最小值和最大值．彤彤的解答如下： 解：当时，则； 当时，则； 所以函数的最小值为2，最大值为4． 彤彤的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答． 【答案】不正确，二次函数的最大值为4，最小值为 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性和增减性，二次函数的最值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 根据二次函数的性质，先求出其对称轴，然后确定函数图像的增减性，利用增减性和对称性求解即可得到答案． 【详解】解：彤彤的解答不正确， ∵ ∴二次函数的对称轴， ∵，且， ∴当时，二次函数有最小值， 二次函数在时，随增大而减小，二次函数在时，随增大而增大， ∵， ∴当时，二次函数有最大值， ∴二次函数的最大值为4，最小值为． 【易错必刷十七 待定系数法求二次函数解析式】 49．（25-26九年级上·云南昭通·期中）如图，函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图象可知函数与坐标轴的交点坐标，设，代入整理即可． 【详解】解：由图象可得函数与x轴的交点坐标为和， 可设， ∵函数与y轴的交点坐标为， ∴， 解得：， ∴，整理可得， 故选：C． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 50．（25-26九年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点和点，与轴交于点，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与轴的交点问题；待定系数法求得解析式为，令，得出，即可求解． 【详解】解：∵与x轴交于点和点， ∴ 解得： ∴ 当时， ∴     ∴ 故答案为：． 51．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知抛物线中的x，y满足下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 m … (1)求这个二次函数的解析式和m的值； (2)根据表格的数据，在图中的平面直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； (3)根据图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】(1)， (2) 在图中的平面直角坐标系内描点画出该抛物线的图象如下： (3) 【分析】本题主要考查了求函数解析式、画二次函数的图象、二次函数与不等式的关系等知识点，正确画出二次函数图象是解答本题的关键． （1）把点代入，求出a的值即可； （2）利用描点法画出函数图象，即可； （3）直接观察图象，即可． 【详解】（1）解：把点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，； （2）略 （3）解：观察图象得：当时，x的取值范围为． 【易错必刷十八 二次函数的实际综合应用】 52．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）设边长为的正方形的面积为，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的知识，解题的关键是掌握二次函数图象的实际运用，根据题意，则且，即可． 【详解】根据题意，， ∴对称轴为轴； ∵为正方形的边长， ∴， 故选：C． 53．（25-26九年级上·上海·期末）某品牌裙子，平均每天可以售出20条，每条盈利40元，经市场调查发现，如果该品牌每条裙子每降价1元，那么平均每天可以多售出2条，那么当裙子降价_________元时，可获得最大利润__________ 【答案】 15 1250 【分析】设裙子降价x元，利润为w元，然后由题意可得，进而根据二次函数的性质可求解． 【详解】解：设裙子降价x元，利润为w元，由题意得： ， ∴-2＜0，开口向下， ∴当时，w有最大值，最大值为1250， ∴当裙子降价15元，可获得最大利润为1250元； 故答案为15，1250． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 54．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m． （1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式； （2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？ 【答案】（1）y＝；（2）5小时 【分析】（1）首先设所求抛物线的解析式为：y=ax2（a≠0），把D（5，b），则B（10，b－3）代入解方程组即可； （2）由（1）可求得点B坐标，进而可得拱桥顶O到正常水位AB的距离，进而求出时间． 【详解】（1）设所求抛物线的解析式为：y＝ax2（a≠0）， 由CD＝10m，可设D（5，b）， 由AB＝20m，水位上升3m就达到警戒线CD， 则B（10，b﹣3）， 把D、B的坐标分别代入y＝ax2得： ， 解得：， ； （2）∵b＝﹣1， ∴拱桥顶O到CD的距离为1m， （小时）， 所以再持续5小时到达拱桥顶． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是学会利用二次函数的性质解决问题． 【易错必刷十九 二次函数的几何图形问题】 55．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，已知拋物线的顶点为，矩形的顶点，在抛物线上，点，在轴上，交轴于点，且矩形的面积为8，求抛物线的表达式. 【答案】 【分析】由抛物线的顶点可知该拋物线的对称轴为轴，设抛物线表达式为，根据题意求得点，把点代入即可求解． 【详解】解：由抛物线的顶点可知该拋物线的对称轴为轴， 四边形为矩形， 点，为拋物线上的对称点， 矩形的面积为8，， ， 故点的坐标为， 设抛物线表达式为，把点代入， 得，解得 抛物线的表达式为 【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 56．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及D点坐标； (2)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求面积的最大值； (3)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)解析式为 ；D（2，） (2)S△BCE 有最大值为 (3)（）或（3，4）或（7，4）或 （） 【分析】（1）根据题意求得A的坐标，根据对称性求得B的坐标，进而待定系数法求二次函数解析式，然后代入D点的x坐标代入二次函数解析式即可； （2）先根据解析式求得的坐标，进而求得的解析式，设，作轴交BC于点F，则，进而求得关于x的表达式，根据二次函数的性质即可求得最大值； （3）分情况讨论，BC，BP，BQ为矩形的对角线，设，，根据矩形的性质以及中点坐标公式求得m、n,进而勾股定理求得的值，即可求得的值，进而求得点的坐标． 【详解】（1）解：∵ ∴ 又∵对称轴为 ∴ 将A，B代入解析式得： 解得 ∴； 把x=2代入二次函数解析式，得 ∴ （2）解：∵， ∴直线BC的解析式为： 设，则0<x<5， 作轴交BC于点F，则 ∴ ∴当时，有最大值，为； （3）解：设， 由（1）知， ①若BC为矩形的对角线 由中点坐标公式得： 解得： 又∵ ∴ 即： 解得或 ∴或 ∴或 ②若BP为矩形得对角线 由中点坐标公式得 解得 又∵， 即： 解得 ∴ ③若BQ为矩形的对角线 由中点坐标公式得 解得： 又∵ ∴ 即： 解得 ∴ 综上，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键． 57．（2026·四川雅安·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为； (2)顶点坐标为，对称轴为直线； (3)点的横坐标为． 【分析】（1）已知抛物线与轴交于、，可设交点式，再利用与轴交点求出；利用待定系数法求直线解析式即可． （2）把抛物线解析式化为顶点式，或直接利用顶点横坐标公式，代入求纵坐标． （3）延长交x轴于点，由可得，设点的坐标为，利用两点距离公式求出m，再用待定系数法求出直线的解析式，最后与抛物线联立求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于、， 设其解析式为， 抛物线与轴交于点，令得， 又此时， ， 解得：， ， 点的坐标为， 设直线解析式为， 把、，代入，得 解得， 直线的解析式为． （2）解：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）解：、、， ，，， 在中，， 延长交x轴于点， ， ∴， 设点的坐标为， ， 解得， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线过点， ， 又直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在抛物线上， ， 解得：（为点，舍去）或， 点的横坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数章末易错必刷题型专训（57题19个考点） 【易错必刷一 二次函数的识别】 1．（25-26九年级上·新疆伊犁·期中）下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列函数一定是二次函数的是__________． ①；②；③；④；⑤y=(x-3)2-x2 3．（25-26九年级上·安徽滁州·阶段检测）把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项． 【易错必刷二 根据二次函数的定义求参数】 4．（24-25九年级上·广东江门·期末）若是关于x的二次函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）若关于的函数是二次函数，则的值为_______． 6．（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）已知函数是y关于x的二次函数． (1)若该函数图象开口向上，求a的值； (2)在（1）的条件下，写出该函数图象的对称轴与顶点坐标． 【易错必刷三 y=a（x-h）²+k的图象和性质】 7．（25-26九年级上·福建宁德·期末）二次函数的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 8．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）二次函数 的顶点坐标为________． 9．（25-26九年级上·贵州黔东南·阶段检测）已知函数 (1)指出函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______； (2)当x______时，y随x的增大而增大； (3)怎样移动抛物线就可以得到抛物线． 【易错必刷四 二次函数图象的平移】 10．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·青海西宁·期末）将抛物线向右平移3个单位长度，得到新抛物线的解析式是______． 12．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知抛物线． （1）求它的对称轴和顶点坐标； （2）写出一种将它平移成抛物线的方法． 【易错必刷五 二次函数图象与各项系数符号】 13．（2026·陕西·模拟预测）二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 14．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）抛物线y＝x2+2x+m顶点在第二象限，则m的取值范围是_____． 15．（2026·江苏南通·一模）已知：二次函数（a为常数）． （1）请写出该二次函数图像的对称轴； （2）若这个二次函数的最小值是7，求a的值； （3）直角坐标系中，若该二次函数的图像在的部分与一次函数的图像有两个交点，求a的取值范围． 【易错必刷六 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 16．（25-26九年级下·江苏无锡·阶段检测）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）把化为的形式，其中为常数，则______． 18．（25-26九年级上·吉林松原·期中）已知抛物线． (1)将化成的形式； (2)直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标． 【易错必刷七 y=ax²+bx+c的最值】 19．（2026·陕西咸阳·二模）已知二次函数，当时，函数的最小值为，则b的值为（       ） A． B．2 C． D．1 20．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）若，则的最大值为______． 21．（2026九年级上·浙江·模拟预测）已知函数的图象与轴交于两点，且． (1)当时，设表示的最小值，求的最大值； (2)若，证明：或． 【易错必刷八 y=ax²+bx+c的图象与性质】 22．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）用“描点法”画二次函数的图象时，列出了如下表格： … 1 2 3 4 … … 0 0 3 … 根据以上信息，当时，的值为（　　） A．3 B． C． D． 23．（2026·福建宁德·二模）已知点，，在抛物线（）上．若点A在对称轴左侧，则，，的大小关系是__________．（用“>”，“<”或“=”连接） 24．（2025·江苏南京·二模）已知二次函数的图象对称轴为直线，点都在该二次函数图象上． (1)用含a的代数式表示b； (2)当时，比较与的大小，并说明理由； (3)当时，都有，直接写出t的取值范围． 【易错必刷九 求抛物线与x轴的交点坐标】 25．（24-25九年级上·山东日照·阶段检测）抛物线的图象与坐标轴的交点的个数是（   ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 26．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）二次函数图象与轴的交点坐标为_________． 27．（24-25九年级上·全国·期中）已知抛物线过两点． (1)求出该抛物线的解析式； (2)求出抛物线与x轴的交点坐标； (3)当时，写出x的取值范围． 【易错必刷十 画y=ax²+bx+c的图象】 28．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）二次函数的图像如下：则的值为（    ）    A． B． C．1 D．2 29．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段检测）琳琳在画函数的图象时，粗心的将系数和看反了，将她画的图象与同桌的图象叠放在一起后发现图象并不相同，则下列关于琳琳和同桌所画的两个图象的说法中，正确的是____________（填序号）． ①两个图象的开口方向一定相同；②两个图象的对称轴一定相同；③两个图象交点的横坐标一定为． 30．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线． (1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)取何值时，随的增大而增大？取何值时，随的增大而减小？ 【易错必刷十一 求抛物线与y轴的交点坐标】 31．（24-25九年级上·广东云浮·期中）已知是抛物线上一点，则a的值为（   ） A． B． C．0 D．3 32．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）抛物线与y轴的交点坐标为______． 33．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）已知二次函数． (1)求函数图象与坐标轴的交点坐标． (2)当时，直接写出的取值范围． 【易错必刷十二 已知二次函数的函数值求自变量的值】 34．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）若函数的图象经过点，则n的值为（    ） A．3 B． C． D． 35．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知函数，当函数值为1时，自变量的取值为______． 36．（25-26九年级上·上海松江·阶段检测）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间满足函数关系．若小球的飞行高度不低于的时间段内，小球可被某监测设备清晰捕捉，求小球可被该设备清晰捕捉的时长． 【易错必刷十三 图象法确定一元二次方程的近似根】 37．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）已知二次函数的与的部分对应值如下表： … … … … 关于此函数的图象和性质有如下判断： ①抛物线开口向下．②当时，函数图象从左到右上升． ③方程的一个根在与之间． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 38．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … 则下列判断中正确的是______． ①抛物线开口向下；②抛物线与y轴交于负半轴；③当时，；④方程的正根在3与4之间． 39．（25-26九年级上·全国·单元测试）利用函数图象求出一元二次方程的近似根，也可以在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象，根据两个图象交点的横坐标找出一元二次方程的近似根，请试一试． 【易错必刷十四 图象法解一元二次不等式】 40．（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 41．（25-26九年级上·吉林长春·期中）已知抛物线经过点，则不等式的解集是 _____． 42．（25-26九年级上·北京海淀·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)在坐标系中画出该函数图象，并结合函数图象回答，当时，x的取值范围是__________． 【易错必刷十五 根据交点确定不等式的解集】 43．（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图，抛物线与直线相交于点和，与x轴的另一交点为，若，则x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 44．（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，二次函数与一次函数为的图象相交于A，B两点，则不等式的解为______． 45．（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，对称轴是y轴． (1)点A、B的坐标分别是：A（ ），B（ ）； (2)若，则x的取值范围是 ； (3)函数y的最小值是 ． 【易错必刷十六 根据二次函数的对称性求函数值】 46．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）若，，是二次函数图象上的三个点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 47．（25-26九年级上·湖北荆州·阶段检测）已知y是x的二次函数，下表给出了y与x的几对对应值： … 0 1 2 … … … 由此判断，表中______． 48．（25-26九年级上·浙江衢州·期末）已知二次函数，当时，求函数y的最小值和最大值．彤彤的解答如下： 解：当时，则； 当时，则； 所以函数的最小值为2，最大值为4． 彤彤的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答． 【易错必刷十七 待定系数法求二次函数解析式】 49．（25-26九年级上·云南昭通·期中）如图，函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 50．（25-26九年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点和点，与轴交于点，则的长为_____．   51．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知抛物线中的x，y满足下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 m … (1)求这个二次函数的解析式和m的值； (2)根据表格的数据，在图中的平面直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； (3)根据图象，直接写出当时x的取值范围． 【易错必刷十八 二次函数的实际综合应用】 52．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）设边长为的正方形的面积为，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 53．（25-26九年级上·上海·期末）某品牌裙子，平均每天可以售出20条，每条盈利40元，经市场调查发现，如果该品牌每条裙子每降价1元，那么平均每天可以多售出2条，那么当裙子降价_________元时，可获得最大利润__________ 54．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m． （1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式； （2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？ 【易错必刷十九 二次函数的几何图形问题】 55．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，已知拋物线的顶点为，矩形的顶点，在抛物线上，点，在轴上，交轴于点，且矩形的面积为8，求抛物线的表达式. 56．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及D点坐标； (2)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求面积的最大值； (3)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 57．（2026·四川雅安·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $