第二单元 小数乘法-思维拓展（导图知识卡片+知识梳理+14个考点讲练+13个奥数拓展+真题难度分层演练 共70题）2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三单元复习培优讲义

该小学数学讲义通过思维导图与知识梳理系统构建小数乘法单元知识体系，梳理8个核心知识点，涵盖算理算法，用框架图呈现重难点，如积的小数位数确定、运算定律推广等，清晰展现知识内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，14个高频考点结合典例与变式，如用“13×17=221”推导“1.3×0.17”培养推理意识，13个奥数拓展通过画线段图法提升几何直观，真题分能力与创新层，助力不同学生提升运算能力，支持教师精准教学。

nullnull2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 第二单元 小数乘法『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+14个考点讲练+13个奥数拓展+真题难度分层演练 共70题） 同学你好，该份讲义用于人教版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人教版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 3 知识点一 小数乘整数(基本算理及算法) 3 知识点二 小数乘小数(基本算理及算法) 4 知识点三 小数乘小数(积的小数位数不够) 4 知识点四 小数乘法的应用及验算 4 知识点五 积的近似数 4 知识点六 整数乘法运算定律推广到小数 5 知识点七 小数的估算及解决实际问题 5 知识点八 解决分段计费的实际问题 5 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 小数与整数的乘法 5 高频考点二 积的变化规律（小数乘法) 6 高频考点三 利用小数与整数的乘法解决问题 6 高频考点四 小数与小数的乘法 6 高频考点五 积的小数位数与乘数小数位数的关系 7 高频考点六 小数的连乘运算 7 高频考点七 利用小数与小数的乘法解决问题 7 高频考点八 用“四舍五入”法求积的近似数 8 高频考点九 因数和积的大小关系（小数乘法） 8 高频考点十 整数乘法运算定律推广到小数乘法 8 高频考点十一 运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 9 高频考点十二 用归纳法解决计算器探索规律问题 9 高频考点十三 小数的估算及应用 10 高频考点十四 分段计费问题（小数乘法) 10 难点突破 奥数拓展 11 奥数拓展一 小数与整数的乘法计算 11 奥数拓展二 小数与整数的乘法解决问题 12 奥数拓展三 运用画线段图法和逆推法解决稍复杂的小数问题 12 奥数拓展四 小数与小数的乘法 13 奥数拓展五 利用小数与小数的乘法解决问题 13 奥数拓展六 积的小数位数与乘数小数位数的关系 14 奥数拓展七 小数的连乘运算 14 奥数拓展八 因数和积的大小关系（小数乘法) 14 奥数拓展九 用“四舍五入”法求积的近似数 14 奥数拓展十 积的变化规律（小数乘法） 15 奥数拓展十一 积的近似数 15 奥数拓展十二 整数乘法运算定律推广到小数乘法 15 奥数拓展十三 运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 15 优选真题 实战演练 16 【能力提升练】 16 【思维创新练】 17 知识点一 小数乘整数(基本算理及算法) 算理： 1.小数乘整数可通过累加法计算。 2.带有单位的小数乘整数，可通过拆分组合法计算，即高级单位和低级单位先拆算、后计合。 3.带有单位的小数乘整数，还可通过单位转化来计算，即高低单位互转、互化、取整、去整。 算法： 1.小数乘整数且不带单位时，可将小数转化为整数进行计算。 2.小数乘整数时，积的小数位数应当与因数的小数位数相同。 3.小数乘整数的积，其小数部分末尾的0应去掉。 知识点二 小数乘小数(基本算理及算法) 1.在执行小数乘小数计算时，先将小数全部化整，随后按照整数乘法计算、得积。 2.得出积后，再看因数中一共有几位小数，有几位小数，就从积的右边起数出几位，随后在那个位置点上小数点。 知识点三 小数乘小数(积的小数位数不够) 小数乘小数应该注意 1.当小数乘小数之积的位数少于因数小数位数之和时，务必要加0占位。 2.当小数乘小数之积的末尾有0时，务必先确认小数点是否已点好，如果0已补、 点已加，再将末尾的0去掉。 小数乘小数(积的小数位数不够) 1.化作整数算出积——积从“整”来。不论何样的小数乘法，均以此方法切入。 2.积中小数看因数——积出有“因”。积的小数位数等于因数的小数位之和。 3.积位不够要补零——加零再加点。补零视位数而定，然后再去末尾的零。 知识点四 小数乘法的应用及验算 1.在解决小数乘法应用题目时，要明确问题，充分利用已知条件，并据此理清关系、画图辅解、列出算式。 2.为确保结果准确，要检验计算过程。常用验算方法有： ①互换因数重新乘； ②通过计算器验算。 知识点五 积的近似数 积的近似数的求取方法 要保留结果到哪一位，就看它的下一位：如果该位数小于5，就将后面的数舍去；如果大于或等于5，就向前一位进1。 1.在求取积的近似数时，先算积，然后看需要保留数位的下一位数字，再按“四舍五入”法求出结果，最后用“≈”连接。 2.务必看清题目的要求。当所要保留数位的末一位或末几位是0时，该0不能划去。 知识点六 整数乘法运算定律推广到小数 小数乘法简便计算时，应注意： 先观察算式中乘数的特点，然后再确定运用哪种运算定律。 有时可同时运用乘法交换律与结合律，并分组计算，从而使计算过程更简便。 整数乘法运算定律推广到小数 1.整数乘法运算的交换律同样适用于小数乘法。 2.整数乘法运算的结合律同样适用于小数乘法。 3.整数乘法运算的分配律同样适用于小数乘法。 知识点七 小数的估算及解决实际问题 1.看余额。在用小数估算解决实际问题时，就是看余额是否充足。余额不足不够买；余额充足就够买。 2.看总价。在用小数估算解决实际问题时，就是看总价是否超出预算。超过预算不够买；低于预算就够买。 知识点八 解决分段计费的实际问题 出租车分段计费的方法 1.起步价路程内的费用固定不变； 2.对不足1km部分的计费应留意； 3.既可以先分后总分段计合，也可以先总后分，多退少补。 解决分段计费的实际问题 1.起步价段。出租车的起步价一般固定为某一里程内统一收取一定额度的钱数。其他诸如水费等，则是起步量×起步单价。 2.额外价段。额外价一般异于起步价，额外价段需要与起步价区分开来，分别计算，不能将起步价段包含进去。 高频考点一 小数与整数的乘法 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）列竖式计算。                                            【变式训练】（26-27五年级上·北京·课后作业）爸爸妈妈带着小红去游乐园玩，单程票价成人24.5元，儿童12元。一家三口往返交通费需要多少元？ 高频考点二 积的变化规律（小数乘法) 【典例精讲】根据13×17＝221，可知1.3×0.17＝( )，22.1÷0.13＝( )。 【变式训练】在括号里填上合适的数，使等式成立。 4.16÷3.2＝( )÷32      5.29×0.7＝5.29×7÷( )    6.8×8.75＝68×( ) 高频考点三 利用小数与整数的乘法解决问题 【典例精讲】（26-27五年级上·北京·课后作业）妈妈带80元去超市，买3千克苹果，每千克12.6元，一盒10.8元的饼干。她还想买一袋9.9元的面包，剩下的钱够不够买面包？ 【变式训练】（25-26五年级上·贵州黔南·阶段检测）购买有机食品。超市有机玉米进行促销活动，奇奇妈妈想买6根，至少需要支付( )元。 高频考点四 小数与小数的乘法 【典例精讲】（25-26四年级下·黑龙江大兴安岭·期末）苏绣起源于苏州，是四大名绣之一，国家级非物质文化遗产之一。王敏和孙晶各买了一条苏绣围巾，王敏花了20.8元，孙晶花的钱数是王敏的1.5倍。王敏买的围巾比孙晶的便宜( )元。 【变式训练】下列算式中，得数最大的是（    ）。 A．3.5×0.3 B．3.5÷0.3 C．3.5＋0.3 D．3.5－0.3 高频考点五 积的小数位数与乘数小数位数的关系 【典例精讲】不计算，根据，直接写出下列各式的结果。 ( )     ( )     ( ) 【变式训练】9.01×2.6的积是( )位小数，所得的积精确到百分位约是( )。 高频考点六 小数的连乘运算 【典例精讲】希望小学五（1）班同学每人每天节约0.25元零花钱，全班45名同学，十一月份一共可节约多少钱？ 【变式训练】买4箱苹果，每箱7.45千克，每千克12.24元，应付多少钱？ 高频考点七 利用小数与小数的乘法解决问题 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）超市里1千克青椒5.6元，张奶奶买了1.2千克，付给售货员7元钱，应找回多少钱？ 【变式训练】（25-26四年级下·黑龙江大兴安岭·期末）回收1吨废纸可减少木材消耗0.3吨，同时能减少碳排放1.2吨。祥和小区实施垃圾分类后，3月回收废纸0.8吨。3月回收的废纸能减少1吨碳的排放吗？ 高频考点八 用“四舍五入”法求积的近似数 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）一幢大楼有21层，每层高3.34米，这幢大楼约高多少米？（得数保留整数） 【变式训练】（24-25五年级上·江苏淮安·期中）用竖式计算。 5.86＋1.4＝       20.3－7.68＝            0.54÷15＝0.036      4.08×0.35≈1.43（得数保留两位小数） 高频考点九 因数和积的大小关系（小数乘法） 【典例精讲】在横线上填“＞”“＜”或“＝”。 ________    ________    ________ 【变式训练】（26-27五年级上·全国·课后作业）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )2.3        ( )5.4 ( )8.25        ( )5.03 ( )    ( ) ( )    ( ) 高频考点十 整数乘法运算定律推广到小数乘法 【典例精讲】（25-26四年级下·辽宁本溪·期末）商店进来一批运动服，每套运动服上衣55.5元，裤子35.5元，学校购买12套这样的运动服，需要付多少元？ 【变式训练】（26-27五年级上·全国·课后作业）计算下列各题，能简算的要简算。           高频考点十一 运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 【典例精讲】（24-25五年级上·浙江台州·期末）下面各题怎样简便就怎样算。 2.2×0.8×2.5          1.25×[8.8－（10.7－4.3）] 0.48×3.5＋4.84        5.6×1.26－56×0.026 【变式训练】（24-25五年级上·江西赣州·期末）能简便的要用简便方法计算。 299×2.55＋2.55     3.7×8.3＋0.83×63      3.04×（2.5＋7.5÷1.5） 高频考点十二 用归纳法解决计算器探索规律问题 【典例精讲】（24-25五年级上·福建厦门·期末）乐乐用计算器分别算出了下面三道算式的得数，请你找出规律，再按规律填空。 123456.79×9＝1111111.11 123456.79×18＝2222222.22 123456.79×27＝3333333.33 123456.79×54＝( ) 123456.79×( )＝9999999.99 【变式训练】（23-24五年级上·全国·课后作业）不计算，运用发现的规律，直接写出后两题的得数，再用计算器验算。 6×0.7＝4.2 6.6×6.7＝44.22 6.66×66.7＝________ 6.666×666.7＝________ 高频考点十三 小数的估算及应用 【典例精讲】（26-27五年级上·北京·课后作业）小红带200元购物，买5本单价18.7元的笔记本，两盒单价29.6元的水彩笔。商店有两款书包：小号45.9元，大号62.8元。请分别用合适的估算方法判断剩余的钱能不能买小号、大号书包，最后精确计算验证。 【变式训练】（25-26五年级上·福建莆田·期末）近日天气转寒，优优不小心冻感冒了，有些发烧。爸爸去医院买了2盒感冒冲剂和10片退烧贴，每盒感冒冲剂10.8元，每片退烧贴2.5元。爸爸手机钱包里的余额是45元，爸爸想用余额支付药费，够吗？关于这个问题，下列解决方法正确的是（    ）。 A．10.8≈10，2.5≈2，10×2＋2×10＝40（元），40元＜45元，所以够。 B．2.5≈3，10.8×2＋3×10＝51.6（元），51.6元＞45元，所以不够。 C．10.8≈10，2.5≈3，10×2＋3×10＝50（元），50元＞45元，所以不够。 D．10.8≈10，10×2＋2.5×10＝45（元），45元＝45元，所以不够。 高频考点十四 分段计费问题（小数乘法) 【典例精讲】（25-26五年级上·江西宜春·期末）学校“国学社团”开展经典文化周末调研活动，同学们要和家长坐出租车去调研地点。 出租车收费标准 不超过3千米 3元 超过3千米 （不足1千米按1千米计算） 2.5元/千米 (1)小红和爸爸乘车到离家28.3千米的古城，他们应付多少钱？ (2)小文有23元，最多可以乘车多少千米？ 【变式训练】（25-26五年级上·广东汕头·期末）为鼓励节约用水，许多城市都推行按月阶梯水价的方法收取水费。某市水费的收费标准是：用水量在12吨以内（含12吨）每吨2.5元，超过12吨的部分，每吨4元。李明家上个月的用水量为18吨，应缴水费多少元？ 奥数拓展一 小数与整数的乘法计算 【典例精讲】（20-21五年级上·四川乐山·期中）某市居民用电按阶梯收费，收费标准如下： 分档 户月用电量（千瓦时） 电价标准（元/千瓦时） 第一档 1～240 0.48 第二档 241～400 0.53 第三档 401以上 0.70 （1）小明家上月用电量为250千瓦时，电费是多少？ （2）小丽家上月用电量为420千瓦时，电费是多少？ 【变式训练】高叔叔于2018年5月8日从隆昌北站坐高铁到成都东站，这列高铁列车于5月8日15：38分到达成都东站。隆昌北站到成都东站全程221千米，这列高铁车平均每小时行多少千米？ 奥数拓展二 小数与整数的乘法解决问题 【典例精讲】（25-26五年级上·福建莆田·期末）小陈和7个朋友到餐馆吃饭，他们商定费用AA制。因为小陈忘记带钱了，他的其他几个朋友帮他垫付了费用，因此7个人每人额外多付了3.5元，那么餐费总共是( )元。 【变式训练】（25-26五年级上·湖南邵阳·期末）买4盒牙膏和3支牙刷要73.5元，买3盒牙膏和4支牙刷要63元，牙膏每盒( )元，每支牙刷( )元。 奥数拓展三 运用画线段图法和逆推法解决稍复杂的小数问题 【典例精讲】（24-25五年级上·宁夏银川·期中）甲、乙、丙三个人买食品，甲买了4根棒棒糖、1瓶果汁和10包小饼干，付了33.5元；乙买了同样的3根棒棒糖、1瓶果汁和7包小饼干，付了26元；丙买了同样的2根棒棒糖、2瓶果汁和2包小饼干，需付多少元？ 【变式训练】（2025·重庆渝北·小升初真题）A、B两地相距150千米。运动员进行骑摩托车训练，速度为80千米/小时，一辆行驶速度40千米/小时的公共汽车和摩托车同时从A地出发，摩托车到B地后立即返回，途中和公共汽车相遇，相遇后，摩托车又立即掉头驶向地，当摩托车到达地时，公共汽车离地还有多远？ 奥数拓展四 小数与小数的乘法 【典例精讲】一根木料，第一次用去它的一半少0.8米，第二次用去剩下的一半多1.2米，最后还剩下2.7米，这根木料原来长多少米？ 【变式训练】有一根绳子，笑笑用它来做中国结，第一次剪下它的一半，第二次剪下它余下的一半过0.6米，第三次又剪下它余下的一半，这时正好余下0.4米绳子可以做一个中国结，请你算一算，这根绳子笑笑可以做多少个这样的中国结？ 奥数拓展五 利用小数与小数的乘法解决问题 【典例精讲】（25-26六年级下·河北·课后作业）某林场生产200根圆木，已知每根圆木的直径是30厘米，长2.5米。 (1)这批圆木的体积是多少立方米？（得数保留一位小数） (2)已知每立方米圆木重430千克，这批圆木大约多少吨？（得数保留一位小数） (3)如果把这些圆木加工成最大的方木，加工成的一根方木的体积是多少立方米？ (4)一根圆木加工成一根方木的利用率是多少？（百分号前保留一位小数） 【变式训练】（25-26四年级上·山东烟台·期末）下面的算式是借助长方形的面积计算3.5×3.2的过程。仔细观察，少算了图中（    ）部分的面积。 3.5×3.2＝3×3＋0.5×3＋0.2×3 A．① B．② C．③ D．④ 奥数拓展六 积的小数位数与乘数小数位数的关系 【典例精讲】．（25-26五年级上·重庆忠县·期末）已知，，则（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】（25-26五年级上·福建·期中）两个一位小数相乘的积是一个两位小数，省略十分位后面的尾数后是2.7，关于这个两位小数的取值范围，下列正确的是（    ）。 A． B． C． D． 奥数拓展七 小数的连乘运算 【典例精讲】（23-24五年级上·河北·课后作业）的积的末位数字是几？ 【变式训练】箱子中有编号为1~10的10个小球，每次从中抽出1个记下编号后放回，如是重复3次，则3次记下的小球编号的乘积是5的倍数的概率是多少？（    ）。 A．43.2% B．48.8% C．51.2% D．56.8% 奥数拓展八 因数和积的大小关系（小数乘法) 【典例精讲】（25-26五年级上·新疆乌鲁木齐·期末）已知a×0.99＝b×1.01＝c×0.8（a、b、c都不为0），其中最大的是（    ）。 A．a B．b C．c D．无法判断 【变式训练】（24-25五年级上·浙江湖州·期末）甲、乙、丙三个数都不为0，如果甲乙丙，那么甲、乙、丙三个数中，最大的数是______，最小的数是______。 奥数拓展九 用“四舍五入”法求积的近似数 【典例精讲】（25-26五年级上·重庆垫江·期末）一个一位小数乘18的积，精确到个位后是94，这个一位小数是( )。 【变式训练】（25-26六年级下·河北·课后作业）一块长方体木料，长是1.2米，宽是1米，高是1.1米。以某个面为底面，把它加工成一个最大的圆柱，最大圆柱的体积最小是多少立方米？最大是多少立方米？（得数保留两位小数） 奥数拓展十 积的变化规律（小数乘法） 【典例精讲】（25-26五年级上·河南郑州·期中）已知82÷a的商与82×b的积的位置如下图所示：a的值所在的范围可能是选项（    ），b的值所在的范围可能是选项（    ）。 A．0.5－1；1.5－2 B．1－1.5；1.5－2 C．1.5－2；0.5－1 D．2－2.5；0.5－1 【变式训练】（25-26五年级上·河北邢台·期中）已知a×1.01＝b×0.98＝c÷0.01且a、b、c均不为0，则a、b、c三个数中，（    ）最大。 A．a B．b C．c 奥数拓展十一 积的近似数 【典例精讲】两个整数部分都是4的一位小数相乘，乘积用四舍五入法保留一位小数的近似值是18.1，这两个数乘积的准确值是________。 【变式训练】两个带小数相乘, 乘积四舍五入以后是22.5 已知这两个数都只有一位小数, 且个位数字都是4, 则这两个数的乘积四舍五入前是________． 奥数拓展十二 整数乘法运算定律推广到小数乘法 【典例精讲】（25-26五年级上·上海·期末）递等式计算，能简便运算的要用简便方法计算。 126＋74÷0.37×9.5      26.4×6.4－2.64＋3.7×26.4    [2.1－（0.37＋1.53）]×50÷0.8 【变式训练】（25-26五年级上·山东临沂·期末）小虎把12×（□＋0.8），算成了12×□＋0.8，他的计算结果与正确结果（    ）。 A．相差12 B．相差9.6 C．相差8.8 D．一样大 奥数拓展十三 运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 【典例精讲】19.98×37－199.8×1.9＋1998×0.82＝( )。 【变式训练】计算。 （1＋0.23＋0.34）×（0.23＋0.34＋0.65）－（1＋0.23＋0.34＋0.65）×（0.23＋0.34） 【能力提升练】 1．（24-25六年级下·浙江杭州·期末）不要小瞧打印机待机耗电，某型号打印机待机1小时耗电0.05度。如果该打印机全年持续待机，耗电量更接近（    ）。 A．438度 B．1825度 C．4380度 D．1.8万度 2．（25-26四年级下·广东茂名·期末）下面各式中，与1.7×3.6得数相等的是（    ）。 A．17×3.6 B．1.7×36 C．0.17×3.6 D．0.17×36 3．（26-27五年级上·北京·课后作业）两个一位小数相乘，乘积保留一位小数是6.5，乘积实际是两位小数，这个乘积最大是( )，最小是多少( )。 4．（25-26四年级下·黑龙江大庆·期末）计算5.7×1.8＋1.2时，要先算( )，再算( )，结果是( )。 5．（25-26五年级上·山东枣庄·阶段检测）0.25×（4×0.8）＝0.25×4＋0.25×0.8。( )（判断对错） 6．（26-27五年级上·北京·课后作业）用简便方法计算。 1.2×0.09＋2.8×0.09            12.5×32            2.5×（40＋4＋0.4） 7．（26-27五年级上·全国·课后作业）列竖式计算。                   8．（25-26四年级下·吉林长春·期末）位于长春高新区（南区）的东北亚文化艺术馆群正在建设中，该项目集美术馆、民俗馆等于一体。民俗馆内计划搭建剪纸作品展板，用以展出满族传统剪纸作品，展板长4.8米、宽2.5米，每平方米可粘贴展示16幅作品。这块展板可以展出多少幅作品？ 9．（25-26六年级下·安徽合肥·期末）某市的出租车收费标准如下表（不足1千米的按1千米计算）。李叔叔坐出租车从甲地去乙地共行驶16.8千米，他一共需要付多少元的车费？ 计费单位 费用 3km以内（含3km） 6.5元 3km以后每加1km 1.5元 10．（25-26四年级下·黑龙江大兴安岭·期末）阅读一本好书，就像是受良师教诲。为了满足同学们读书的需求，学校图书室购买了许多新书，其中科技书和故事书各165本，每本科技书45.6元，每本故事书54.4元。购买科技书和故事书一共花了多少元？ 【思维创新练】 1．（25-26五年级上·山东菏泽·期中）下边表格表示了计算（    ）的过程。 0.6×2 0.6×0.8 1×2 1×0.8 A．6.8×2.6 B．2.8×1.6 C．2.6×1.8 2．（25-26五年级上·上海浦东新·阶段检测）下列表述正确的有（    ）句。 ①1.2小时＝1小时12分＝72分钟。 ②两位小数×两位小数，积化简后不一定是四位小数。 ③0.26×0.05中的“2”和“5”相乘得10，表示10个0.001。 ④ A．1 B．2 C．3 D．4 3．不计算，利用规律直接填出得数。 6×0.7＝4.2    6.6×6.7＝44.22    6.66×66.7＝444.222    6.666×666.7＝( ) 4．列竖式计算。 4.34×0.25≈（保留两位小数）   21÷24＝（验算） 18.71÷22≈（商用循环小数表示） 5．（26-27五年级上·全国·课后作业）一个长方形操场，长57.5米，长比宽多12.4米，它的面积约是多少平方米？（得数保留整数。） 6．（25-26五年级上·湖北黄冈·期中）某地为鼓励市民节约用水，采取按月分段计费的方法收取水费。用水量在15吨以内（含15吨）每吨2.5元；超过15吨，不超过20吨的部分，每吨3.2元：超过20吨的部分，每吨5元。 （1）小红家十月份用水18吨，该缴费多少元？ （2）小军家开了一家超市，十月份的水费是85.5元，他家十月份用水多少吨？ 7．（25-26五年级上·浙江台州·期中）某城市滴滴打车和出租车的收费标准如下表所示： 3千米及以内 超出部分（不足1千米按1千米计算） 滴滴打车 2.8元/千米 1.8元/千米 出租车 8元 2.1元/千米 （1）王阿姨滴滴打车去火车站，滴滴车行驶了7.6千米，要付多少元车费？ （2）李叔叔从家出发乘出租车去公司，共付车费12.2元，家到公司的路程最远是多少千米？ 8．唐老师到超市买了一些苹果，总价四舍五入后约是39.6元，苹果的单价和质量都是一位小数，并且两个小数末尾的数字都是6，四舍五入之前是多少元？ 9．小花猫、大公鸡和山羊是好朋友，他们虽然年龄都不相同，但爱好却很相似，正如他们对外夸口说的是“忘年交”。一天，大象伯伯看到他们三个正在一起讲故事便向前问道：“你们三个究竟谁最大？谁最小？”山羊便幽默地说：我的年龄乘0.8，公鸡的年龄乘1，小花猫的年龄乘3.5，这样算出来的年龄就一样大了。你能把我们的年龄大小依次排列起来吗？大象伯伯可弄糊涂了，同学们，帮大象伯伯找出答案吧！ 10．（26-27五年级·全国·暑假作业）李阿姨去菜市场买菜，买了2千克牛肉，每千克48.5元；又买了3千克鱼，每千克12.8元。她带了150元，请帮她估算一下，带的钱够吗？（写出估算过程） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 第二单元 小数乘法『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+14个考点讲练+13个奥数拓展+真题难度分层演练 共70题） 同学你好，该份讲义用于人教版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人教版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 3 知识点一 小数乘整数(基本算理及算法) 3 知识点二 小数乘小数(基本算理及算法) 4 知识点三 小数乘小数(积的小数位数不够) 4 知识点四 小数乘法的应用及验算 4 知识点五 积的近似数 4 知识点六 整数乘法运算定律推广到小数 5 知识点七 小数的估算及解决实际问题 5 知识点八 解决分段计费的实际问题 5 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 小数与整数的乘法 5 高频考点二 积的变化规律（小数乘法) 7 高频考点三 利用小数与整数的乘法解决问题 7 高频考点四 小数与小数的乘法 8 高频考点五 积的小数位数与乘数小数位数的关系 9 高频考点六 小数的连乘运算 10 高频考点七 利用小数与小数的乘法解决问题 10 高频考点八 用“四舍五入”法求积的近似数 11 高频考点九 因数和积的大小关系（小数乘法） 12 高频考点十 整数乘法运算定律推广到小数乘法 13 高频考点十一 运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 14 高频考点十二 用归纳法解决计算器探索规律问题 16 高频考点十三 小数的估算及应用 17 高频考点十四 分段计费问题（小数乘法) 19 难点突破 奥数拓展 20 奥数拓展一 小数与整数的乘法计算 20 奥数拓展二 小数与整数的乘法解决问题 22 奥数拓展三 运用画线段图法和逆推法解决稍复杂的小数问题 23 奥数拓展四 小数与小数的乘法 25 奥数拓展五 利用小数与小数的乘法解决问题 26 奥数拓展六 积的小数位数与乘数小数位数的关系 28 奥数拓展七 小数的连乘运算 29 奥数拓展八 因数和积的大小关系（小数乘法) 30 奥数拓展九 用“四舍五入”法求积的近似数 31 奥数拓展十 积的变化规律（小数乘法） 32 奥数拓展十一 积的近似数 34 奥数拓展十二 整数乘法运算定律推广到小数乘法 34 奥数拓展十三 运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 36 优选真题 实战演练 37 【能力提升练】 37 【思维创新练】 41 知识点一 小数乘整数(基本算理及算法) 算理： 1.小数乘整数可通过累加法计算。 2.带有单位的小数乘整数，可通过拆分组合法计算，即高级单位和低级单位先拆算、后计合。 3.带有单位的小数乘整数，还可通过单位转化来计算，即高低单位互转、互化、取整、去整。 算法： 1.小数乘整数且不带单位时，可将小数转化为整数进行计算。 2.小数乘整数时，积的小数位数应当与因数的小数位数相同。 3.小数乘整数的积，其小数部分末尾的0应去掉。 知识点二 小数乘小数(基本算理及算法) 1.在执行小数乘小数计算时，先将小数全部化整，随后按照整数乘法计算、得积。 2.得出积后，再看因数中一共有几位小数，有几位小数，就从积的右边起数出几位，随后在那个位置点上小数点。 知识点三 小数乘小数(积的小数位数不够) 小数乘小数应该注意 1.当小数乘小数之积的位数少于因数小数位数之和时，务必要加0占位。 2.当小数乘小数之积的末尾有0时，务必先确认小数点是否已点好，如果0已补、 点已加，再将末尾的0去掉。 小数乘小数(积的小数位数不够) 1.化作整数算出积——积从“整”来。不论何样的小数乘法，均以此方法切入。 2.积中小数看因数——积出有“因”。积的小数位数等于因数的小数位之和。 3.积位不够要补零——加零再加点。补零视位数而定，然后再去末尾的零。 知识点四 小数乘法的应用及验算 1.在解决小数乘法应用题目时，要明确问题，充分利用已知条件，并据此理清关系、画图辅解、列出算式。 2.为确保结果准确，要检验计算过程。常用验算方法有： ①互换因数重新乘； ②通过计算器验算。 知识点五 积的近似数 积的近似数的求取方法 要保留结果到哪一位，就看它的下一位：如果该位数小于5，就将后面的数舍去；如果大于或等于5，就向前一位进1。 1.在求取积的近似数时，先算积，然后看需要保留数位的下一位数字，再按“四舍五入”法求出结果，最后用“≈”连接。 2.务必看清题目的要求。当所要保留数位的末一位或末几位是0时，该0不能划去。 知识点六 整数乘法运算定律推广到小数 小数乘法简便计算时，应注意： 先观察算式中乘数的特点，然后再确定运用哪种运算定律。 有时可同时运用乘法交换律与结合律，并分组计算，从而使计算过程更简便。 整数乘法运算定律推广到小数 1.整数乘法运算的交换律同样适用于小数乘法。 2.整数乘法运算的结合律同样适用于小数乘法。 3.整数乘法运算的分配律同样适用于小数乘法。 知识点七 小数的估算及解决实际问题 1.看余额。在用小数估算解决实际问题时，就是看余额是否充足。余额不足不够买；余额充足就够买。 2.看总价。在用小数估算解决实际问题时，就是看总价是否超出预算。超过预算不够买；低于预算就够买。 知识点八 解决分段计费的实际问题 出租车分段计费的方法 1.起步价路程内的费用固定不变； 2.对不足1km部分的计费应留意； 3.既可以先分后总分段计合，也可以先总后分，多退少补。 解决分段计费的实际问题 1.起步价段。出租车的起步价一般固定为某一里程内统一收取一定额度的钱数。其他诸如水费等，则是起步量×起步单价。 2.额外价段。额外价一般异于起步价，额外价段需要与起步价区分开来，分别计算，不能将起步价段包含进去。 高频考点一 小数与整数的乘法 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）列竖式计算。                                            【答案】26.6；6.44；36； 16.4；68.08；6.4 【思路引导】先按照整数乘法的列竖式规则，把小数看作整数进行乘法运算，得到整数乘积。 数出原来的小数乘数里一共有几位小数，因为小数乘法的积的小数位数等于两个乘数小数位数之和，所以从整数乘积的末尾从右往左数出对应位数点上小数点。 如果乘数末尾有0，可先忽略末尾的0计算，最后再把忽略的0补到乘积里，再点小数点，末尾的0可以根据小数的性质去掉。 【规范解答】                                      【变式训练】（26-27五年级上·北京·课后作业）爸爸妈妈带着小红去游乐园玩，单程票价成人24.5元，儿童12元。一家三口往返交通费需要多少元？ 【答案】122元 【思路引导】根据题意，一家三口包括2位成人和1位儿童，往返意味着每人需要购买2张票（去程和回程各一张）。先计算单程的总票价，再乘2得到往返总费用；注意儿童票价是固定的12元，不是成人票价的一半。 【规范解答】（24.5×2＋12）×2 ＝（49＋12）×2 ＝61×2 ＝122（元） 答：一家三口往返交通费需要122元。 高频考点二 积的变化规律（小数乘法) 【典例精讲】根据13×17＝221，可知1.3×0.17＝( )，22.1÷0.13＝( )。 【答案】 0.221 170 【思路引导】（1）1.3×0.17，一个因数缩小到原来的，另一个因数缩小到原来的，积缩小到原来的； （2）由13×17＝221可知，221÷13＝17，被除数缩小到原来的，除数缩小到原来的，商扩大到原来的10倍。 【规范解答】分析可知，1.3×0.17＝（   0.221   ），22.1÷0.13＝（   170   ）。 【考点剖析】掌握积和商的变化规律是解答题目的关键。 【变式训练】在括号里填上合适的数，使等式成立。 4.16÷3.2＝( )÷32        5.29×0.7＝5.29×7÷( )            6.8×8.75＝68×( ) 【答案】 41.6 10 0.875 【思路引导】（1）4.16÷3.2，被除数和除数同时扩大到原来的10倍，商不变； （2）5.29×7，一个因数不变，另一个因数扩大到原来的10倍，积扩大到原来的10倍，则5.29×0.7＝5.29×7÷（   10   ）； （3）6.8×8.75，一个因数扩大到原来的10倍，另一个因数缩小到原来的，积不变；据此解答。 【规范解答】4.16÷3.2＝（   41.6   ）÷32   5.29×0.7＝5.29×7÷（   10   ）   6.8×8.75＝68×（   0.875   ） 【考点剖析】掌握积和商的变化规律是解答题目的关键。 高频考点三 利用小数与整数的乘法解决问题 【典例精讲】（26-27五年级上·北京·课后作业）妈妈带80元去超市，买3千克苹果，每千克12.6元，一盒10.8元的饼干。她还想买一袋9.9元的面包，剩下的钱够不够买面包？ 【答案】够 【思路引导】先根据“单价数量总价”计算出买苹果花费的钱数，再用妈妈带的总钱数减去买苹果和饼干花费的钱数，求出剩下的钱数，最后将剩下的钱数与面包的价格进行比较，若剩下的钱数大于或等于面包价格，则够买，否则不够。 【规范解答】 （元） 答：剩下的钱够买面包。 【变式训练】（25-26五年级上·贵州黔南·阶段检测）购买有机食品。超市有机玉米进行促销活动，奇奇妈妈想买6根，至少需要支付( )元。 【答案】15.2 【思路引导】把“买二送一”看作一组，先用除法求出6根里有几组，进而求出实际需买玉米的根数；再根据“总价＝单价×数量”求出至少需要支付的钱数。 【规范解答】一组有：2＋1＝3（根） 6÷3＝2（组） 实际需买：2×2＝4（根） 实际需付：3.8×4＝15.2（元） 所以，至少需要付15.2元。 高频考点四 小数与小数的乘法 【典例精讲】（25-26四年级下·黑龙江大兴安岭·期末）苏绣起源于苏州，是四大名绣之一，国家级非物质文化遗产之一。王敏和孙晶各买了一条苏绣围巾，王敏花了20.8元，孙晶花的钱数是王敏的1.5倍。王敏买的围巾比孙晶的便宜( )元。 【答案】 10.4 【思路引导】先求孙晶花的钱数，用王敏花的钱数乘1.5，再用孙晶花的钱数减去王敏花的钱数，即可求出差价。 【规范解答】20.8×1.5－20.8 ＝31.2－20.8 ＝10.4（元） 【变式训练】下列算式中，得数最大的是（    ）。 A．3.5×0.3 B．3.5÷0.3 C．3.5＋0.3 D．3.5－0.3 【答案】B 【思路引导】将各算式的结果计算出来，再进行比较大小即可。 【规范解答】A．3.5×0.3＝1.05 B.3.5÷0.3≈11.7 C.3.5＋0.3＝3.8 D.3.5－0.3＝3.2 11.7＞3.8＞3.2＞1.05 故答案为：B 【考点剖析】本题考查小数的四则运算，属于简单题，计算时细心即可。 高频考点五 积的小数位数与乘数小数位数的关系 【典例精讲】不计算，根据，直接写出下列各式的结果。 ( )     ( )     ( ) 【答案】 57.6 5.76 32 【思路引导】到是一个因数不变，另一个因数除以10，积也应当除以10； 到是一个因数不变，另一个因数除以100，积也应当除以100； 先改写成，根据商不变的规律，被除数和除数同时除以100，商不变，是32。 【规范解答】18×3.2＝57.6 0.18×32＝5.76 5.76÷0.18＝32 【考点剖析】此题主要考查的是积的变化规律和商不变的规律的灵活应用。 【变式训练】9.01×2.6的积是( )位小数，所得的积精确到百分位约是( )。 【答案】 三 23.43 【思路引导】根据小数乘法的计算法则可知，积的小数位数等于两个因数小数位数之和，所以9.01×2.6的积是三位小数；精确到百分位看小数点后的千分位上的数字进行四舍五入，由此解答。 【规范解答】由分析得， 9.01×2.6＝23.426，积是三位小数， 23.426≈23.43 【考点剖析】此题考查的是小数乘法的笔算方法和求小数的近似数的方法，解答此题关键是掌握小数乘法的笔算方法。 高频考点六 小数的连乘运算 【典例精讲】希望小学五（1）班同学每人每天节约0.25元零花钱，全班45名同学，十一月份一共可节约多少钱？ 【答案】337.5元 【思路引导】十一月份是小月，有30天，用每人每天节约钱数×人数×天数即可。 【规范解答】0.25×45×30＝337.5（元） 答：十一月份一共可节约337.5元钱。 【考点剖析】关键是掌握小数乘法的计算方法。 【变式训练】买4箱苹果，每箱7.45千克，每千克12.24元，应付多少钱？ 【答案】364.75元 【思路引导】先用每箱质量×箱数，求出苹果总质量，苹果总质量×单价＝应付钱数，结果用四舍五入法保留两位小数。 【规范解答】7.45×4×12.24≈364.75（元） 答：应付364.75元。 【考点剖析】关键是掌握小数乘法的计算方法。 高频考点七 利用小数与小数的乘法解决问题 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）超市里1千克青椒5.6元，张奶奶买了1.2千克，付给售货员7元钱，应找回多少钱？ 【答案】 0.28元 【思路引导】先根据青椒的单价和购买数量算出总花费，再用付给售货员的钱数减去总花费，就能得到应找回的钱数。 【规范解答】（元） （元） 答：应找回0.28元。 【变式训练】（25-26四年级下·黑龙江大兴安岭·期末）回收1吨废纸可减少木材消耗0.3吨，同时能减少碳排放1.2吨。祥和小区实施垃圾分类后，3月回收废纸0.8吨。3月回收的废纸能减少1吨碳的排放吗？ 【答案】 不能 【思路引导】要判断3月回收的废纸能否减少1吨碳排放，需先用乘法算出0.8吨废纸可减少的碳排放量，再和1吨比较大小。 【规范解答】1.2×0.8＝0.96（吨） 0.96＜1 答：3月回收的废纸不能减少1吨碳的排放。 高频考点八 用“四舍五入”法求积的近似数 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）一幢大楼有21层，每层高3.34米，这幢大楼约高多少米？（得数保留整数） 【答案】70米 【思路引导】大楼总高度＝层数×每层高度。代入数值计算出精确积后，保留整数需看十分位上的数字，按“四舍五入”法取近似值。 【规范解答】 （米） 答：这幢大楼约高70米。 【变式训练】（24-25五年级上·江苏淮安·期中）用竖式计算。 5.86＋1.4＝       20.3－7.68＝            0.54÷15＝0.036      4.08×0.35≈1.43（得数保留两位小数） 【答案】7.26；12.62；0.036；1.43 【思路引导】小数加减法的计算方法：先把相同数位的数对齐，再按照整数加、减的法则进行计算，最后在得数里点上小数点（得数的小数部分末尾有0，一般要把0去掉）。 除数是整数的小数除法法则：（1）按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；（2）如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面补0，继续除。 积保留两位小数，要看小数点后面第三位小数是几，根据四舍五入法取近似值即可。 【规范解答】5.86＋1.4＝7.26      20.3－7.68＝12.62    0.54÷15＝0.036 4.08×0.35≈1.43                         高频考点九 因数和积的大小关系（小数乘法） 【典例精讲】在横线上填“＞”“＜”或“＝”。 ________    ________    ________ 【答案】 ＝ ＞ ＜ 【思路引导】（1）积不变规律：一个因数乘几（0除外），另一个因数除以相同的数，积不变，由此比较； （2）一个数（0除外）除以小于1的数，商大于这个数，一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数，则：； （3）一个数（0除外）除以大于1的数，商小于这个数，一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数，则：。 【规范解答】；； 【考点剖析】解决本题注意观察算式的特点，根据算式的不同选择合适的方法进行比较。 【变式训练】（26-27五年级上·全国·课后作业）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )2.3        ( )5.4 ( )8.25        ( )5.03 ( )    ( ) ( )    ( ) 【答案】 ＞ ＜ ＞ ＝ ＜ ＝ ＞ ＞ 【思路引导】对于一个数乘另一个数的大小比较，若其中一个乘数相同，因为一个正数乘大于1的数，结果大于它本身；乘小于1的正数，结果小于它本身；乘1等于它本身，所以可以先通过乘数和1的大小关系直接判断乘积和原数的大小，无需计算。 若无法通过乘数和1的关系直接判断，那么分别计算左右两边算式的结果，再比较结果的大小。 对于存在积的变化规律特征的算式，因为一个乘数扩大到原来的n倍，另一个乘数缩小到原来的，积不变，所以可以直接利用该规律判断两个算式的大小，无需计算。 【规范解答】1.6×2.5＝4，4＞2.3，＞2.3； 0.9＜1，＜5.4； 8×1.1＝8.8，8.8＞8.25，＞8.25； ＝5.03； 0.9＜1.01，＜； 7.3÷10＝0.73，6×10＝60，＝； 3.7×0.9＝3.33，0.1×0.12＝0.012，3.33＞0.012，＞； 0.02＋0.8＝0.82，1＞0.82，＞。 高频考点十 整数乘法运算定律推广到小数乘法 【典例精讲】（25-26四年级下·辽宁本溪·期末）商店进来一批运动服，每套运动服上衣55.5元，裤子35.5元，学校购买12套这样的运动服，需要付多少元？ 【答案】1092元 【思路引导】分别用上衣的单价与裤子的单价乘以量，再相加可得到总费用。计算时运用乘法分配律进行简算。 【规范解答】 （元） 答：需要付1092元 【变式训练】（26-27五年级上·全国·课后作业）计算下列各题，能简算的要简算。           【答案】32.93；260； 3.45；1.1 【思路引导】（1）先将8.9转化成算式（9－0.1），再利用乘法分配律进行简便计算。 （2）利用乘法分配律进行简便计算。 （3）先将0.46转化成算式（0.4＋0.06），再利用乘法分配律进行简便计算。 （4）利用乘法分配律的逆运算进行简便计算。 【规范解答】8.9×3.7 ＝（9－0.1）×3.7 ＝9×3.7－0.1×3.7 ＝33.3－0.37 ＝32.93 12.5×（20＋0.8） ＝12.5×20＋12.5×0.8 ＝250＋10 ＝260 0.46×7.5 ＝（0.4＋0.06）×7.5 ＝0.4×7.5＋0.06×7.5 ＝3＋0.45 ＝3.45 8.8×0.11＋1.2×0.11 ＝（8.8＋1.2）×0.11 ＝10×0.11 ＝1.1 高频考点十一 运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 【典例精讲】（24-25五年级上·浙江台州·期末）下面各题怎样简便就怎样算。 2.2×0.8×2.5          1.25×[8.8－（10.7－4.3）] 0.48×3.5＋4.84        5.6×1.26－56×0.026 【答案】4.4；3 6.52；5.6 【思路引导】（1）根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）把2.2×0.8×2.5变成2.2×（0.8×2.5）进行简算； （2）先算小括号里的减法，再算中括号里的减法，算式变成1.25×2.4，然后把2.4拆分成0.8×3，再根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）把算式变成1.25×0.8×3进行简算； （3）先算乘法，再算加法； （4）先根据积不变的规律把56×0.026改写成5.6×0.26，然后根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把5.6×1.26－5.6×0.26变成5.6×（1.26－0.26）进行简算。 【规范解答】（1）2.2×0.8×2.5 ＝2.2×（0.8×2.5） ＝2.2×2 ＝4.4 （2）1.25×[8.8－（10.7－4.3）] ＝1.25×[8.8－6.4] ＝1.25×2.4 ＝1.25×（0.8×3） ＝1.25×0.8×3 ＝1×3 ＝3 （3）0.48×3.5＋4.84 ＝1.68＋4.84 ＝6.52 （4）5.6×1.26－56×0.026 ＝5.6×1.26－5.6×0.26 ＝5.6×（1.26－0.26） ＝5.6×1 ＝5.6 【变式训练】（24-25五年级上·江西赣州·期末）能简便的要用简便方法计算。 299×2.55＋2.55     3.7×8.3＋0.83×63      3.04×（2.5＋7.5÷1.5） 【答案】765；83；22.8 【思路引导】（1）根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把299×2.55＋2.55变成（299＋1）×2.55进行简算； （2）先根据积不变的规律把0.83×63变成8.3×6.3，再根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把3.7×8.3＋8.3×6.3变成（3.7＋6.3）×8.3进行简算； （3）先算括号里的除法，再算括号里的加法，最后算括号外的乘法。 【规范解答】（1）299×2.55＋2.55 ＝299×2.55＋2.55×1 ＝（299＋1）×2.55 ＝300×2.55 ＝765 （2）3.7×8.3＋0.83×63 ＝3.7×8.3＋8.3×6.3 ＝（3.7＋6.3）×8.3 ＝10×8.3 ＝83 （3）3.04×（2.5＋7.5÷1.5） ＝3.04×（2.5＋5） ＝3.04×7.5 ＝22.8 高频考点十二 用归纳法解决计算器探索规律问题 【典例精讲】（24-25五年级上·福建厦门·期末）乐乐用计算器分别算出了下面三道算式的得数，请你找出规律，再按规律填空。 123456.79×9＝1111111.11 123456.79×18＝2222222.22 123456.79×27＝3333333.33 123456.79×54＝( ) 123456.79×( )＝9999999.99 【答案】 6666666.66 81 【思路引导】观察已知的三道算式发现：每个乘法算式的第一个因数都是123456.79，第二个因数是9的几倍，结果就是1111111.11的几倍，据此规律解答。 【规范解答】9×6＝54，则1111111.11×6＝6666666.66； 9999999.99÷1111111.11＝9，则9×9＝81； 填空如下： 123456.79×54＝（6666666.66） 123456.79×（81）＝9999999.99 【变式训练】（23-24五年级上·全国·课后作业）不计算，运用发现的规律，直接写出后两题的得数，再用计算器验算。 6×0.7＝4.2 6.6×6.7＝44.22 6.66×66.7＝________ 6.666×666.7＝________ 【答案】 444.222 4444.2222 【思路引导】通过观察看出两个因数的前面一个因数有几位数，那么最后的积整数部分就有几个4，小数部分就有几个2，两个因数的数位相同，第一个因数的整数部分是6不变，后面的小数部分的6的数量在变化，第二个因数的6的数量是第一个因数的6的数量减1，然后加上小数点，小数点后面的7的数量不变，由此解答。 【规范解答】根据分析， 6.66×66.7＝444.222 6.666×666.7＝4444.2222 【考点剖析】此题考查了算式的规律探索以及计算器的使用，关键能够灵活总结规律。 高频考点十三 小数的估算及应用 【典例精讲】（26-27五年级上·北京·课后作业）小红带200元购物，买5本单价18.7元的笔记本，两盒单价29.6元的水彩笔。商店有两款书包：小号45.9元，大号62.8元。请分别用合适的估算方法判断剩余的钱能不能买小号、大号书包，最后精确计算验证。 【答案】能买小号，不能买大号 【思路引导】剩余钱数总钱数已花钱数；总价单价数量。本题先利用“四舍五入”法将小数看作整数进行估算，初步判断剩余钱数与书包价格的关系；再通过精确计算求出准确剩余钱数，最后与两款书包的单价进行比较得出结论。注意估算时，若要判断“够不够”，通常把花费往大估；若要判断“能不能买”，需结合实际情况选择估算方向，本题采用常规整数估算后需精确验证。 【规范解答】把笔记本单价元看作元，水彩笔单价元看作元。 已花钱数估算： （元） 剩余钱数估算：（元） 比较：， 估算结果显示剩余钱数可能不够买小号书包，肯定不够买大号书包。由于小号书包价格与估算剩余钱数接近，需要精确计算验证。 计算买笔记本和水彩笔的实际总费用： （元） 计算实际剩余钱数：（元） 因为，所以剩余的钱能买小号书包。 因为，所以剩余的钱不能买大号书包。 答：能买小号书包，不能买大号书包。 【变式训练】（25-26五年级上·福建莆田·期末）近日天气转寒，优优不小心冻感冒了，有些发烧。爸爸去医院买了2盒感冒冲剂和10片退烧贴，每盒感冒冲剂10.8元，每片退烧贴2.5元。爸爸手机钱包里的余额是45元，爸爸想用余额支付药费，够吗？关于这个问题，下列解决方法正确的是（    ）。 A．10.8≈10，2.5≈2，10×2＋2×10＝40（元），40元＜45元，所以够。 B．2.5≈3，10.8×2＋3×10＝51.6（元），51.6元＞45元，所以不够。 C．10.8≈10，2.5≈3，10×2＋3×10＝50（元），50元＞45元，所以不够。 D．10.8≈10，10×2＋2.5×10＝45（元），45元＝45元，所以不够。 【答案】C 【思路引导】要判断余额是否够支付，可以通过估算总价与45元比较。估算时，应确保方法合理：向上近似价格可高估总价，若高估总价大于余额，则实际一定不够；向下近似可能导致低估，结论不可靠。选项C将10.8向下近似为10，2.5向上近似为3，估算总价50元＞45元，结论正确。其他选项存在错误：A低估总价导致错误结论；B中10.8未近似，非纯估算；D估算值等于余额却说不够，逻辑矛盾。 【规范解答】实际总价计算：感冒冲剂费用为2×10.8＝21.6元，退烧贴费用为10×2.5＝25元，总费用为21.6＋25＝46.6元。46.6＞45，余额不足。 A．10.8≈10（向下近似），2.5≈2（向下近似），计算10×2＋2×10＝40元，40＜45，判断够。但实际总价46.6＞45，不够，结论错误。此选项错误。 B．2.5≈3（向上近似），但10.8未近似，计算10.8×2＋3×10＝21.6＋30＝51.6元，51.6＞45，判断不够，结论正确。但方法中10.8未使用估算，不完全符合估算要求。此选项错误。 C． 10.8≈10（向下近似），2.5≈3（向上近似），计算10×2＋3×10＝20＋30＝50元，50＞45，判断不够。估算总价高于实际总价（50＞46.6），且实际46.6＞45，结论正确，方法合理。此选项正确。 D．10.8≈10（向下近似），但2.5未近似，计算10×2＋2.5×10＝20＋25＝45元，45＝45，判断不够。估算值等于余额时应认为够，但实际46.6＞45，不够，方法逻辑不严谨（未一致近似且结论矛盾）。此选项错误。 故答案为：C 高频考点十四 分段计费问题（小数乘法) 【典例精讲】（25-26五年级上·江西宜春·期末）学校“国学社团”开展经典文化周末调研活动，同学们要和家长坐出租车去调研地点。 出租车收费标准 不超过3千米 3元 超过3千米 （不足1千米按1千米计算） 2.5元/千米 (1)小红和爸爸乘车到离家28.3千米的古城，他们应付多少钱？ (2)小文有23元，最多可以乘车多少千米？ 【答案】(1) 68元 (2) 11千米 【思路引导】（1）28.3千米＞3千米，所以小红和爸爸乘车到古城的费用＝不超过3千米的车费＋超过3千米的车费。超过3千米的车费＝超过3千米的距离×2.5元/千米。28.3－3＝25.3（千米），由题意“不足1千米按1千米计算”可得超过3千米的距离按26千米计算。 （2）23元＞3元，说明乘车距离超过3千米。所以23元最多可以乘车的距离＝3千米＋超过3千米的距离，超过3千米的距离＝（总钱数－3元）÷2.5元/千米。 【规范解答】（1）28.3－3＝25.3（千米）  根据题意“不足1千米按1千米计算”，按26千米计算。 3＋26×2.5 ＝3＋65 ＝68（元） 答：小红和爸爸乘车到离家28.3千米的古城，他们应付68元。 （2）（23－3）÷2.5 ＝20÷2.5 ＝8（千米） 3＋8＝11（千米） 答：小文有23元，最多可以乘车11千米。 【变式训练】（25-26五年级上·广东汕头·期末）为鼓励节约用水，许多城市都推行按月阶梯水价的方法收取水费。某市水费的收费标准是：用水量在12吨以内（含12吨）每吨2.5元，超过12吨的部分，每吨4元。李明家上个月的用水量为18吨，应缴水费多少元？ 【答案】54元 【思路引导】先算出超过12吨的部分，再算出超过12吨部分的水费。再加上12吨及以内的水费即可。 【规范解答】18－12＝6（吨）    2.5×12＋4×6 ＝30＋24 ＝54（元） 答：应缴水费54元。 奥数拓展一 小数与整数的乘法计算 【典例精讲】（20-21五年级上·四川乐山·期中）某市居民用电按阶梯收费，收费标准如下： 分档 户月用电量（千瓦时） 电价标准（元/千瓦时） 第一档 1～240 0.48 第二档 241～400 0.53 第三档 401以上 0.70 （1）小明家上月用电量为250千瓦时，电费是多少？ （2）小丽家上月用电量为420千瓦时，电费是多少？ 【答案】（1）120.5元 （2）214元 【思路引导】（1）小明家上月用电量是250千瓦时，分成一档和二档；第一档单价0.48元，用电量240千瓦时；第二档单价0.53元，用电量（250－240）千瓦时；根据单价×数量＝总价，分别求出每档的电费，再相加即可； （2）小丽家上月用电量是420千瓦时，分成一档、二档和三档；第一档单价0.48元，用电量240千瓦时；第二档单价0.53元，用电量（400－240）千瓦时；第三档单价0.70元，用电量（420－400）千瓦时；根据单价×数量＝总价，分别求出每档的电费，再相加即可。 【规范解答】（1）0.48×240＝115.2（元） 0.53×（250－240） ＝0.53×10 ＝5.3（元） 115.2＋5.3＝120.5（元） 答：小明家上月的电费是120.5元。 （2）0.48×240＝115.2（元） 0.53×（400－240） ＝0.53×160 ＝84.8（元） 0.7×（420－400） ＝0.7×20 ＝14（元） 115.2＋84.8＋14 ＝200＋14 ＝214（元） 答：小丽家上月的电费是214元。 【考点剖析】本题考查分段计费问题，明确用电量分几档收费，选择正确的单价与用电量，列式计算。 【变式训练】高叔叔于2018年5月8日从隆昌北站坐高铁到成都东站，这列高铁列车于5月8日15：38分到达成都东站。隆昌北站到成都东站全程221千米，这列高铁车平均每小时行多少千米？ 【答案】255千米 【思路引导】根据题意可得列车开始时间是14：46，到达时间是15：38，经过了52分钟，用路程除以时间就可以求出它每分钟的速度，再用每分钟的速度×60求出每小时行驶的千米数。 【规范解答】221÷52＝4.25（千米/分） 4.25×60＝255（千米） 答：这列高铁车平均每小时行255千米。 【考点剖析】考查了速度、时间与路程之间的关系，根据路程÷时间＝速度进行解答。 奥数拓展二 小数与整数的乘法解决问题 【典例精讲】（25-26五年级上·福建莆田·期末）小陈和7个朋友到餐馆吃饭，他们商定费用AA制。因为小陈忘记带钱了，他的其他几个朋友帮他垫付了费用，因此7个人每人额外多付了3.5元，那么餐费总共是( )元。 【答案】 196 【思路引导】小陈和7个朋友，总共有8个人，原本应该每人支付相同的餐费；7个朋友每人都多付了3.5元，所以他们一共多付了3.5×7＝24.5元，这多付的24.5元，就是小陈原本应该承担的那一份餐费，即8个人每人应付的金额都是24.5元，那么总餐费就是24.5×8＝196元。 【规范解答】3.5×7＝24.5（元） 24.5×（1＋7） ＝24.5×8 ＝196（元） 所以餐费总共是196元。 【考点剖析】关键是要明确7个朋友每人多付的3.5元，合起来就是小陈本该承担的那一份费用。 【变式训练】（25-26五年级上·湖南邵阳·期末）买4盒牙膏和3支牙刷要73.5元，买3盒牙膏和4支牙刷要63元，牙膏每盒( )元，每支牙刷( )元。 【答案】 15 4.5 【思路引导】将两次购买的总数量和总价分别相加，得到7盒牙膏和7支牙刷的总价，从而求出一盒牙膏和一支牙刷的价格和；再根据第一次购买的总价，减去3组牙膏和牙刷的价格和，得到一盒牙膏的价格；最后用一盒牙膏和一支牙刷的价格和减去一盒牙膏的价格，得到一支牙刷的价格。 【规范解答】（73.5＋63）÷（4＋3） ＝136.5÷7 ＝19.5（元） 73.5－19.5×3 ＝73.5－58.5 ＝15（元） 19.5－15＝4.5（元） 牙膏每盒15元，每支牙刷4.5元。 【考点剖析】解题关键是先把两次买的东西和总价合起来，算出1盒牙膏和1支牙刷的价格和，再用减法去掉其中一种的价钱，就能求出牙膏和牙刷各自的单价。 奥数拓展三 运用画线段图法和逆推法解决稍复杂的小数问题 【典例精讲】（24-25五年级上·宁夏银川·期中）甲、乙、丙三个人买食品，甲买了4根棒棒糖、1瓶果汁和10包小饼干，付了33.5元；乙买了同样的3根棒棒糖、1瓶果汁和7包小饼干，付了26元；丙买了同样的2根棒棒糖、2瓶果汁和2包小饼干，需付多少元？ 【答案】22元 【思路引导】由题意可知，计算丙需要付的钱数时，必须以甲和乙所买食品的数量及所付的钱数为突破口。通过比较，发现：甲买的食品数量×2＝8根棒棒糖＋2瓶果汁＋20包小饼干，乙买的食品数量×3＝9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干，此时他们购买商品数量的差为（9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干）－（8根棒棒糖＋2瓶果汁＋20包小饼干），化简可得，1根棒棒糖＋1瓶果汁＋1包小饼干＝26×3－33.5×2＝11元，由此求出（1根棒棒糖＋1瓶果汁＋1包小饼干）×2需要付的钱数，据此解答。 【规范解答】甲：4根棒棒糖＋1瓶果汁＋10包小饼干＝33.5元 （4根棒棒糖＋1瓶果汁＋10包小饼干）×2＝33.5元×2 8根棒棒糖＋2瓶果汁＋20包小饼干＝67元 乙：3根棒棒糖＋1瓶果汁＋7包小饼干＝26元 （3根棒棒糖＋1瓶果汁＋7包小饼干）×3＝26元×3 9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干＝78元 （9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干）－（8根棒棒糖＋2瓶果汁＋20包小饼干） ＝9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干－8根棒棒糖－2瓶果汁－20包小饼干 ＝1根棒棒糖＋1瓶果汁＋1包小饼干 ＝78－67 ＝11（元） （1根棒棒糖＋1瓶果汁＋1包小饼干）×2＝11元×2 2根棒棒糖＋2瓶果汁＋2包小饼干＝22元 答：丙需付22元。 【考点剖析】仔细分析题意并运用等式的性质2化简求出1根棒棒糖、1瓶果汁和1包小饼干需要付的钱数是解答题目的关键。 【变式训练】（2025·重庆渝北·小升初真题）A、B两地相距150千米。运动员进行骑摩托车训练，速度为80千米/小时，一辆行驶速度40千米/小时的公共汽车和摩托车同时从A地出发，摩托车到B地后立即返回，途中和公共汽车相遇，相遇后，摩托车又立即掉头驶向地，当摩托车到达地时，公共汽车离地还有多远？ 【答案】25千米 【思路引导】摩托车和公共汽车同时从A出发，摩托车先到达B地后返回，途中与公共汽车相遇，再掉头到B地； 摩托车从A到B再返回与公共汽车相遇，总路程为150×2＝300千米，两车的相对速度为80＋40＝120千米/小时，因此可以计算得到相遇的时间＝路程÷速度和；再计算出公共汽车在相遇时已经行驶的路程，也就是相遇地点距A地的路程，由此可以算出此时公共汽车与B地的距离以及摩托车到达B地公共汽车从相遇地点行驶的路程；据此解答。 【规范解答】150×2÷（80＋40） ＝300÷120 ＝2.5（小时） 因此出发2.5小时后两车相遇； 相遇地点距B地： 150－2.5×40 ＝150－100 ＝50（千米） 摩托车到达B地公共汽车从相遇地点行驶： 50÷80×40 ＝2000÷80 ＝25（千米） 公共汽车距B地：50－25＝25（千米） 答：当摩托车到达地时，公共汽车离地还有25千米。 【考点剖析】本题考查相遇问题，熟练运用“相遇路程＝速度和×时间”公式计算。 奥数拓展四 小数与小数的乘法 【典例精讲】一根木料，第一次用去它的一半少0.8米，第二次用去剩下的一半多1.2米，最后还剩下2.7米，这根木料原来长多少米？ 【答案】14米 【思路引导】“第二次用去剩下的一半多1.2米，最后还剩下2.7米”，那么（2.7＋1.2）米就是第一次用去后剩余长度的一半，再乘2，就是第一次用去后剩余的长度；“第一次用去它的一半少0.8米”，那么原木料长度的一半＝第一次用去后剩余的长度－0.8，最后可得木料原来的长度＝原木料长度的一半×2，据此列式解答。 【规范解答】（2.7＋1.2）×2 ＝3.9×2 ＝7.8（米） （7.8－0.8）×2 ＝7×2 ＝14（米） 答：这根木料原来长14米。 【考点剖析】本题考查的是倒推问题，从结果出发，逐步向前一步一步推理列式解答。 【变式训练】有一根绳子，笑笑用它来做中国结，第一次剪下它的一半，第二次剪下它余下的一半过0.6米，第三次又剪下它余下的一半，这时正好余下0.4米绳子可以做一个中国结，请你算一算，这根绳子笑笑可以做多少个这样的中国结？ 【答案】14个 【思路引导】根据题意画线段图如下： 由第三次又剪下它余下的一半，这时正好余下0.4米绳子可以做一个中国结，即图中FB的长度是0.4米，则EB＝2×0.4＝0.8米；第二次剪下它余下的一半过0.6米，图中DE的长度是0.6米，则CD＝DB＝0.6＋0.8＝1.4米；第一次剪下它的一半，即AC的长度，AC＝CB＝2×CD＝2×1.4＝2.8米，所以这根绳子的全长是2.8×2＝5.6米，用绳子的总长度除以每个中国结所用绳子的长度即可求得做中国结的数量。 【规范解答】根据分析可得绳子总长度是： （2×0.4＋0.6）×2×2 ＝1.4×4 ＝5.6（米） 5.6÷0.4＝14（个） 答：这根绳子笑笑可以做14个这样的中国结。 【考点剖析】本题考查小数四则混合运算的应用，画线段图有助于理解题意。 奥数拓展五 利用小数与小数的乘法解决问题 【典例精讲】（25-26六年级下·河北·课后作业）某林场生产200根圆木，已知每根圆木的直径是30厘米，长2.5米。 (1)这批圆木的体积是多少立方米？（得数保留一位小数） (2)已知每立方米圆木重430千克，这批圆木大约多少吨？（得数保留一位小数） (3)如果把这些圆木加工成最大的方木，加工成的一根方木的体积是多少立方米？ (4)一根圆木加工成一根方木的利用率是多少？（百分号前保留一位小数） 【答案】(1)35.3立方米 (2) 15.2吨 (3) 0.1125立方米 (4)63.7% 【思路引导】（1）先统一单位，30厘米＝0.3米，直径除以2求出半径，再根据圆柱的体积公式求出1根圆木的体积，再乘200即可求出这批圆木的体积，根据“四舍五入”法将得数保留一位小数。 （2）用每立方米圆木的重量乘这批圆木的体积即可求出这批圆木的总重量，最后将千克换算为吨（1吨＝1000千克），根据“四舍五入”法将得数保留一位小数。 （3）把这些圆木加工成最大的方木，在圆内画一个最大的正方形，将其分成两个完全相同的三角形，三角形的底等于圆的直径，高等于圆的半径，三角形面积＝底×高÷2，求出三角形的面积再乘2求出正方形的面积，再乘圆木长度2.5米，即可得到一根方木的体积。 （4）用一根方木的体积除以单根圆木的体积再乘100%即可求出利用率，百分号前保留一位小数。 【规范解答】（1）30厘米＝0.3米 0.3÷2＝0.15（米） 3.14×0.152×2.5 ＝3.14×0.0225×2.5 ＝0.07065×2.5 ＝0.176625（立方米） 0.176625×200＝35.325≈35.3（立方米） 答：这批圆木的体积是35.3立方米。 （2）430×35.3＝15179（千克） 15179千克＝15.179吨≈15.2吨 答：这批圆木大约15.2吨。 （3）0.3×0.15÷2×2 ＝0.045÷2×2 ＝0.0225×2 ＝0.045（平方米） 0.045×2.5＝0.1125（立方米） 答：加工成的一根方木的体积是0.1125立方米。 （4）0.1125÷0.176625×100% ≈0.637×100% ＝63.7% 答：一根圆木加工成一根方木的利用率是63.7%。 【变式训练】（25-26四年级上·山东烟台·期末）下面的算式是借助长方形的面积计算3.5×3.2的过程。仔细观察，少算了图中（    ）部分的面积。 3.5×3.2＝3×3＋0.5×3＋0.2×3 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【思路引导】结合图由题意可知：大长方形被分成了3个小长方形和1个正方形，3个小长方形和1个正方形的面积和等于长方形的面积。根据“长方形面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长”分析解答。 【规范解答】由图可知，图中是一个长为3.5米，宽为3.2米的长方形，“3×3＋0.5×3＋0.2×3”计算的是①、②和④的面积。所以③的面积没有计算上。在计算过程中3.5×3.2＝3×3＋0.5×3＋0.2×3，少算了③的面积。 奥数拓展六 积的小数位数与乘数小数位数的关系 【典例精讲】．（25-26五年级上·重庆忠县·期末）已知，，则（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】小数乘法法则：先按整数乘法算出积，再看因数里一共有几位小数，从积的右边起数出相应位数点上小数点，位数不够时用0补足即可。 【规范解答】36×25＝900 m，n都是十一位小数，故m×n的积是11＋11＝22位小数； 因此将900的小数点向左移动22位即可求出答案，即 。 故答案为：A 【变式训练】（25-26五年级上·福建·期中）两个一位小数相乘的积是一个两位小数，省略十分位后面的尾数后是2.7，关于这个两位小数的取值范围，下列正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】用四舍五入法省略十分位后面的尾数是2.7，若四舍得到2.7，那么百分位上最大是4，这个数最大是2.74；若五入后得到2.7，那么百分位上最小是5，十分位上是6，这个数最小是2.65。对比各选项的取值范围即可。 【规范解答】根据分析，这个两位小数的取值范围在2.65到2.74之间。 A.  取值范围是2.64到2.75之间，不符合题意。 B．取值范围是2.65到2.75之间，不符合题意。 C．取值范围是2.65到2.74之间，符合题意。 D．取值范围是2.69到2.71之间，不符合题意。 故答案为：C 【考点剖析】先求出积的取值范围，再对比各选项。 奥数拓展七 小数的连乘运算 【典例精讲】（23-24五年级上·河北·课后作业）的积的末位数字是几？ 【答案】5 【思路引导】37.5末位数是5，现将1、2、3、…个5相乘，找出积的末位数字出现的规律，再根据规律进行解答。 【规范解答】5＝5，末位数字是5 5×5＝25，末位数字是5； 5×5×5＝125，末位数字是5； …… 末位数是5的数相乘，它们的积的末位数字都是5。 所以的积的末位数字是5。 【考点剖析】本题主要考查的尾数特征，找出尾数出现的规律是解答本题的关键。 【变式训练】箱子中有编号为1~10的10个小球，每次从中抽出1个记下编号后放回，如是重复3次，则3次记下的小球编号的乘积是5的倍数的概率是多少？（    ）。 A．43.2% B．48.8% C．51.2% D．56.8% 【答案】B 【思路引导】若要使3次抽出的小球编号的乘积是5的倍数，则要至少抽出一次编号为5或10的小球。先求出“三次都没有抽出编号为5或10的小球”的概率，再将其从总体“1”中剔除。“抽一次没有抽出编号为5或10的小球”的概率为，“三次都没有抽出”的概率为0.8×0.8×0.8＝0.512，这样“至少抽出一次”的概率为1－0.512＝0.488＝48.8%，即所求概率为48.8%。 【规范解答】由分析得： 0.8×0.8×0.8＝0.512 1－0.512＝0.488＝48.8% 故答案为：B。 【考点剖析】本题突破口在于能够从事物的反方面去思考其出现的概率，这样先计算出“三次都没有抽出”的概率，再求得答案，实现了从难倒易的转化。 奥数拓展八 因数和积的大小关系（小数乘法) 【典例精讲】（25-26五年级上·新疆乌鲁木齐·期末）已知a×0.99＝b×1.01＝c×0.8（a、b、c都不为0），其中最大的是（    ）。 A．a B．b C．c D．无法判断 【答案】C 【思路引导】先比较0.99、1.01和0.8的大小。再根据积相等，一个因数越小，另一个因数就越大的规律判断。 【规范解答】因为0.8＜0.99＜1.01 所以c＞a＞b 【变式训练】（24-25五年级上·浙江湖州·期末）甲、乙、丙三个数都不为0，如果甲乙丙，那么甲、乙、丙三个数中，最大的数是______，最小的数是______。 【答案】 甲 丙 【思路引导】我们可以利用“积相等时，一个因数越小，另一个因数越大”的规律来解题。 例如4×＝2×，因为4＞2，所以6＜12 已知等式：甲×0.8＝乙×1.2＝丙×1.5，因为0.8＜1.2＜1.5，所以与最小因数相乘的数最大，与最大因数相乘的数最小。由此可得：甲＞乙＞丙。 【规范解答】因为0.8＜1.2＜1.5 所以，甲＞乙＞丙 故最大的数是甲，最小的数是丙。 【考点剖析】理解 “积相等时，一个因数越小，另一个因数越大” 的规律。 奥数拓展九 用“四舍五入”法求积的近似数 【典例精讲】（25-26五年级上·重庆垫江·期末）一个一位小数乘18的积，精确到个位后是94，这个一位小数是( )。 【答案】5.2 【思路引导】先找到它们乘积的准确值的范围。首先采用“四舍”的方式找到最大值，要精确到个位后是94，十分位上是4，个位上是4，通过“四舍”后可得到它们乘积的最大值是94.4；再用“五入”法找最小值，十分位上只能是5，个位上是3，通过“五入”后可得到它们乘积的最小值是93.5。综上所述，这两个数乘积的准确值在93.5和94.4之间。 我们可以用“试算”的方法，从接近的整数开始，依次尝试一位小数与18相乘，找到积在93.5到94.4之间的那个一位小数。 【规范解答】5×18＝90，积太小了 6×18＝108，积太大了 所以这个一位小数在5和6之间。 从5.1开始试算，直至找到符合条件的小数即可： 5.1×18＝91.8，积还是小 5.2×18＝93.6，积在93.5和94.4之间，符合条件 5.3×18＝95.4，积太大了 验证：5.2×18＝93.6，93.6精确到个位是94，正好符合题意。 所以，这个一位小数是5.2。 【考点剖析】关键点是先确定小数的大致范围，再通过试算找到符合条件的数。 【变式训练】（25-26六年级下·河北·课后作业）一块长方体木料，长是1.2米，宽是1米，高是1.1米。以某个面为底面，把它加工成一个最大的圆柱，最大圆柱的体积最小是多少立方米？最大是多少立方米？（得数保留两位小数） 【答案】 最小是0.86立方米；最大是0.95立方米 【思路引导】要把长方体木料加工成一个圆柱，圆柱的底面圆必须包含在长方体的某个面内，且圆柱的高为长方体剩下的那条棱长。长方体有三组不同的面，对应三种加工方案。分别以长方体的长、宽、高作为圆柱的高，确定对应的底面直径，利用圆柱体积公式计算出三种情况下的体积，最后比较大小并按要求保留两位小数，即可得出最大和最小体积。 【规范解答】第一种情况：以1.2米和1米的面为底面，1.1米为高，此时底面直径最大为1米。 体积为：3.14×（1÷2）2×1.1 ＝3.14×0.52×1.1 ＝3.14×0.25×1.1 ＝0.785×1.1 ＝0.8635 ≈0.86（立方米） 第二种情况：以1.2米和1.1米的面为底面，1米为高，此时底面直径最大为1.1米。 体积为：3.14×（1.1÷2）2×1 ＝3.14×0.552×1 ＝3.14×0.3025×1 ＝0.94985×1 ＝0.94985 ≈0.95（立方米） 第三种情况：以1米和1.1米的面为底面，1.2米为高，此时底面直径最大为1米。 体积为：3.14×（1÷2）2×1.2 ＝3.14×0.52×1.2 ＝3.14×0.25×1.2 ＝0.785×1.2 ＝0.942 ≈0.94（立方米） 0.95＞0.94＞0.86 答：圆柱的体积最小是0.86立方米，最大是0.95立方米。 奥数拓展十 积的变化规律（小数乘法） 【典例精讲】（25-26五年级上·河南郑州·期中）已知82÷a的商与82×b的积的位置如下图所示：a的值所在的范围可能是选项（    ），b的值所在的范围可能是选项（    ）。 A．0.5－1；1.5－2 B．1－1.5；1.5－2 C．1.5－2；0.5－1 D．2－2.5；0.5－1 【答案】B 【思路引导】要解决这道题，需分别分析82÷a和82×b在数轴上的取值范围，进而推导a和b的范围：观察数轴，82÷a位于41到82之间且更接近82。根据除法规律（被除数不变，除数越大商就越小），结合82÷1＝82、82÷2＝41，可推导a的取值区间。观察数轴，82×b位于123到164之间且更接近164。根据乘法规律（一个因数不变，另一个因数越大积就越大），结合82×1.5＝123、82×2＝164，可推导b的取值区间。 【规范解答】当a＝1时，82÷1＝82； 当a＝1.5时，82÷1.5≈54.67； 当a＝2时，82÷2＝41。 因为82÷a在41到82之间（且更接近82），所以a的范围是1－1.5。 当b＝1.5时，82×1.5＝123； 当b＝2时，82×2＝164。 因为82×b在123到164之间（且更接近164），所以b的范围是1.5－2。 故答案为：B 【考点剖析】解题关键是通过数轴上82÷a和82×b的位置，结合乘除法规律分别推导a、b的取值范围。 【变式训练】（25-26五年级上·河北邢台·期中）已知a×1.01＝b×0.98＝c÷0.01且a、b、c均不为0，则a、b、c三个数中，（    ）最大。 A．a B．b C．c 【答案】B 【思路引导】解答这道题需先把c÷0.01转化为c×100。解题的关键是明确当几个乘法算式的积相等时，一个因数越大，另一个因数就越小。可以比较三个乘法算式中已知因数的大小，进而判断a、b、c的大小关系。 【规范解答】根据分析： c÷0.01＝c×100 因为 所以 即a、b、c三个数中最大的是b。 故答案为：B 【考点剖析】解答积相等的数的大小比较问题，核心是利用积的变化规律，先将不同运算形式统一为乘法，再通过比较已知因数的大小，反向推出未知因数的大小关系。 奥数拓展十一 积的近似数 【典例精讲】两个整数部分都是4的一位小数相乘，乘积用四舍五入法保留一位小数的近似值是18.1，这两个数乘积的准确值是________。 【答案】18.06 【思路引导】首先用18.1除以4，来确定这两个小数的大体范围。因为18.1÷4＝4.525，所以这两个小数只可能是4.1、4.2、4.3、4.4、4.5这五个小数中的某两个，两两相乘，找到乘积用四舍五入法保留一位小数的近似值是18.1的两个数，即可得解。 【规范解答】因为18.1÷4＝4.525， 所以这两个小数只可能是4.1、4.2、4.3、4.4、4.5这五个小数中的某两个。 又： 4.1×4.5＝18.45 4.1×4.4＝18.04 4.2×4.3＝18.06 所以这两个小数是4.2和4.3，所以它们乘积的准确值是18.06。 【考点剖析】本题考查了小数乘除法，掌握运算法则是解题的关键。 【变式训练】两个带小数相乘, 乘积四舍五入以后是22.5 已知这两个数都只有一位小数, 且个位数字都是4, 则这两个数的乘积四舍五入前是________． 【答案】22.54 【规范解答】因为22.5÷4.9≈4.59，所以两个带小数均不小于4.6，经验算，只有4.6×4.9=22.54符合题意． 奥数拓展十二 整数乘法运算定律推广到小数乘法 【典例精讲】（25-26五年级上·上海·期末）递等式计算，能简便运算的要用简便方法计算。 126＋74÷0.37×9.5      26.4×6.4－2.64＋3.7×26.4    [2.1－（0.37＋1.53）]×50÷0.8 【答案】2026；264；12.5 【思路引导】（1）先算除法，再算乘法，最后算加法。 （2）把2.64转化为26.4×0.1，将式子统一为含有相同因数26.4的形式，再利用乘法分配律提取相同因数，计算括号内的6.4－0.1＋3.7得到10，最后和26.4相乘，简化计算。 （3）先算小括号里的加法，接着算中括号里的减法，再算括号外的乘法，最后算除法。 【规范解答】（1）126＋74÷0.37×9.5 ＝126＋200×9.5 ＝126＋1900 ＝2026 （2）26.4×6.4－2.64＋3.7×26.4 ＝26.4×6.4－26.4×0.1＋3.7×26.4 ＝26.4×（6.4－0.1＋3.7） ＝26.4×（6.3＋3.7） ＝26.4×10 ＝264 （3）[2.1－（0.37＋1.53）]×50÷0.8 ＝[2.1－1.9]×50÷0.8 ＝0.2×50÷0.8 ＝10÷0.8 ＝12.5 【变式训练】（25-26五年级上·山东临沂·期末）小虎把12×（□＋0.8），算成了12×□＋0.8，他的计算结果与正确结果（    ）。 A．相差12 B．相差9.6 C．相差8.8 D．一样大 【答案】C 【思路引导】我们设□为一个数，记作x，然后把式子的正确算法和小虎的错误算法分别算出来，然后两者相减就可得到答案。 【规范解答】12×（x＋0.8） ＝12x＋12×0.8 ＝12x＋9.6 12×x＋0.8 ＝12x＋0.8 （12x＋9.6）－（12x＋0.8） ＝12x＋9.6－12x－0.8 ＝8.8 奥数拓展十三 运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 【典例精讲】19.98×37－199.8×1.9＋1998×0.82＝( )。 【答案】1998 【思路引导】利用积的变化规律，将199.8×1.9转化为19.98×19，将1998×0.82转化为19.98×82，再利用乘法的分配律提出19.98，将剩下的数相减或相加即可简便计算。 【规范解答】19.98×37－199.8×1.9＋1998×0.82 ＝19.98×37－19.98×19＋19.98×82 ＝19.98×（37－19＋82） ＝19.98×100 ＝1998 则19.98×37－199.8×1.9＋1998×0.82＝1998。 【考点剖析】灵活运用积的变化规律将算式转化成相同的形式凑成乘法分配律是解决本题的关键。 【变式训练】计算。 （1＋0.23＋0.34）×（0.23＋0.34＋0.65）－（1＋0.23＋0.34＋0.65）×（0.23＋0.34） 【答案】0.65 【思路引导】先把（0.23＋0.34）看作一个整体，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c，减法的性质a－（b＋c）＝a－b－c进行简算。 【规范解答】（1＋0.23＋0.34）×（0.23＋0.34＋0.65）－（1＋0.23＋0.34＋0.65）×（0.23＋0.34） ＝1×（0.23＋0.34＋0.65）＋（0.23＋0.34）×（0.23＋0.34＋0.65）－[1×（0.23＋0.34）＋（0.23＋0.34＋0.65）×（0.23＋0.34）] ＝（0.23＋0.34＋0.65）＋（0.23＋0.34）×（0.23＋0.34＋0.65）－（0.23＋0.34）－（0.23＋0.34＋0.65）×（0.23＋0.34） ＝（0.23＋0.34＋0.65）－（0.23＋0.34） ＝0.23＋0.34＋0.65－0.23－0.34 ＝0.65 【考点剖析】当算式太长且有相同的部分时，可以把相同的部分看作一个整体，再利用乘法运算定律进行简算。 【能力提升练】 1．（24-25六年级下·浙江杭州·期末）不要小瞧打印机待机耗电，某型号打印机待机1小时耗电0.05度。如果该打印机全年持续待机，耗电量更接近（    ）。 A．438度 B．1825度 C．4380度 D．1.8万度 【答案】A 【思路引导】先计算出一年的小时数，再根据每小时耗电量，利用乘法运算求出全年耗电量，最后与选项进行对比得出答案。 【规范解答】一年的小时数为：365×24＝8760（小时） 全年耗电量为：8760×0.05＝438（度） 耗电量更接近438度。 2．（25-26四年级下·广东茂名·期末）下面各式中，与1.7×3.6得数相等的是（    ）。 A．17×3.6 B．1.7×36 C．0.17×3.6 D．0.17×36 【答案】D 【思路引导】在乘法算式中，一个因数不变，另一个因数扩大到原来的10倍，积也扩大到原来的10倍；一个因数不变，另一个因数缩小为原来的十分之一，积也缩小为原来的十分之一； 根据积不变性质：一个因数扩大到原来的几倍（或缩小到原来的几分之一），另一个因数缩小到原来的几分之一（或扩大到原来的几倍），积不变； 通过对比各选项因数与原算式因数的变化情况即可判断。 【规范解答】A．与原式相比，，第一个因数扩大到原来的10倍，第二个因数不变，积扩大到原来的10倍，此选项错误； B．与原式相比，，第一个因数不变，第二个因数扩大到原来的10倍，积扩大到原来的10倍，此选项错误； C．与原式相比，，第一个因数缩小为原来的十分之一，第二个因数不变，积缩小为原来的十分之一，此选项错误； D．与原式相比，，第一个因数缩小为原来的十分之一，第二个因数扩大到原来的10倍，积不变，此选项正确。 3．（26-27五年级上·北京·课后作业）两个一位小数相乘，乘积保留一位小数是6.5，乘积实际是两位小数，这个乘积最大是( )，最小是多少( )。 【答案】 6.54 6.45 【思路引导】分两种情况讨论： 1.四舍：百分位上的数字小于5，直接舍去百分位，十分位不变，还是5。所以想要原数最大，十分位固定5，百分位取最大能舍去的数字4。 2.五入：百分位大于或等于5，向十分位进1后，十分位变成5，所以进位前十分位是5－1＝4；百分位最小取5。 【规范解答】最大值：通过“四舍”得到6.5，百分位最大是4，所以最大是6.54； 最小值：通过“五入”得到6.5，十分位原本是5－1＝4，百分位最小是5，所以最小是6.45。 4．（25-26四年级下·黑龙江大庆·期末）计算5.7×1.8＋1.2时，要先算( )，再算( )，结果是( )。 【答案】 乘法 加法 11.46 【思路引导】四则运算的顺序：在一个没有括号的算式里，如果只含同一级运算，按照从左往右的顺序依次计算；如果含有两级运算，要先算乘除法，再算加减法；在一个有括号的算式里，要先算小括号里的，再算小括号外的；据此解答。 【规范解答】根据分析可知，计算5.7×1.8＋1.2时，要先算乘法，再算加法，结果是11.46； 5.7×1.8＋1.2 ＝10.26＋1.2 ＝11.46 5．（25-26五年级上·山东枣庄·阶段检测）0.25×（4×0.8）＝0.25×4＋0.25×0.8。( ) 【答案】× 【思路引导】乘法分配律适用于乘法对加法的分配，即a×（b＋c）＝a×b＋a×c。本题左边是乘法结合律的应用，而右边错误地将分配律用于乘法运算，导致等式不成立。 【规范解答】计算左边： 0.25×（4×0.8）＝0.25×3.2＝0.8 计算右边： 0.25×4＋0.25×0.8＝1＋0.2＝1.2 两边结果不相等，因此等式错误。 故答案为：× 6．（26-27五年级上·北京·课后作业）用简便方法计算。 1.2×0.09＋2.8×0.09            12.5×32            2.5×（40＋4＋0.4） 【答案】0.36；400；111 【思路引导】根据乘法分配律的逆用提取进行简便运算； ，根据乘法结合律的逆用，先算； 根据乘法分配律，将和括号里面的数分别相乘进行简便运算。 【规范解答】 7．（26-27五年级上·全国·课后作业）列竖式计算。                   【答案】0.0784；7.2；0.0216； 1.944；0.027；2.0064 【思路引导】先把两个乘数都看作整数，按照整数乘法的竖式计算方法算出乘积。数出两个乘数分别的小数位数，相加得到总小数位数，因为乘积的小数位数等于两个乘数的小数位数之和，所以从整数乘积的末位开始向左数出对应位数点上小数点。如果点小数点后乘积的小数部分末尾有，按照小数的性质去掉末尾的即可。 【规范解答】                                                    8．（25-26四年级下·吉林长春·期末）位于长春高新区（南区）的东北亚文化艺术馆群正在建设中，该项目集美术馆、民俗馆等于一体。民俗馆内计划搭建剪纸作品展板，用以展出满族传统剪纸作品，展板长4.8米、宽2.5米，每平方米可粘贴展示16幅作品。这块展板可以展出多少幅作品？ 【答案】192幅 【思路引导】要求这块展板可以展出多少幅作品，需要先利用长方形面积公式“长 宽”求出面积。再用展板的面积乘16，即可求出总幅数。 【规范解答】4.8×2.5×16 ＝12×16 ＝192（幅） 答：这块展板可以展出192幅作品。 9．（25-26六年级下·安徽合肥·期末）某市的出租车收费标准如下表（不足1千米的按1千米计算）。李叔叔坐出租车从甲地去乙地共行驶16.8千米，他一共需要付多少元的车费？ 计费单位 费用 3km以内（含3km） 6.5元 3km以后每加1km 1.5元 【答案】 27.5元 【思路引导】首先根据不足1千米按1千米计算的规则确定计费里程，再将车费分为3千米以内的起步价和超过3千米部分的费用，两部分相加得到总车费。 【规范解答】不足1千米按1千米计算，千米按千米计费。 （千米） （元） （元） 答：他一共需要付27.5元。 10．（25-26四年级下·黑龙江大兴安岭·期末）阅读一本好书，就像是受良师教诲。为了满足同学们读书的需求，学校图书室购买了许多新书，其中科技书和故事书各165本，每本科技书45.6元，每本故事书54.4元。购买科技书和故事书一共花了多少元？ 【答案】16500元 【思路引导】求购买科技书和故事书一共花的钱数，用科技书的数量乘单价＋故事书的数量乘单价。 【规范解答】165×45.6＋165×54.4 ＝165×（45.6＋54.4） ＝165×100 ＝16500（元） 答：购买科技书和故事书一共花了16500元。 【思维创新练】 1．（25-26五年级上·山东菏泽·期中）下边表格表示了计算（    ）的过程。 0.6×2 0.6×0.8 1×2 1×0.8 A．6.8×2.6 B．2.8×1.6 C．2.6×1.8 【答案】B 【思路引导】表格呈现的是乘法分配律的拆分计算过程，即把两个乘数拆分为小数部分和整数部分，分别相乘后求和。观察表格中的乘数，横向拆分的是一个乘数，拆为0.6和1，合并为1＋0.6＝1.6；纵向拆分的是另一个乘数，拆为2和0.8，合并为2＋0.8＝2.8，所以被拆分的两个乘数分别为2.8和1.6，因此表格表示的是2.8×1.6的计算过程。 【规范解答】分析可知，被拆分的两个乘数分别为2.8和1.6，因此表格表示的是2.8×1.6的计算过程。 故答案为：B 【考点剖析】本题需识别表格是将两个乘数拆分为整数部分和小数部分，通过“分别相乘再求和”计算乘积，对应乘法分配律的展开过程。 2．（25-26五年级上·上海浦东新·阶段检测）下列表述正确的有（    ）句。 ①1.2小时＝1小时12分＝72分钟。 ②两位小数×两位小数，积化简后不一定是四位小数。 ③0.26×0.05中的“2”和“5”相乘得10，表示10个0.001。 ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】先分析各序号表述的结论是否正确，再统计。 ①根据单位换算的方法算出结果再判断。        ②举例说明，两位小数×两位小数，积化简后不一定是四位小数。 ③根据小数乘法法则和数位表示的意义判断。 ④把0.54拆分成2.7×0.2，利用乘法分配律的逆运算进行计算，再判断。 【规范解答】①把高级单位换算成低级单位，要乘进率，1小时＝60分，1.2×60＝72（分）。结论正确。        ②0.55×0.22＝0.121，0.55和0.22都是两位小数，它们的积化简后是三位小数。结论正确。 ③2在十分位上，表示2个0.1，也就是0.2，5在百分位上，表示5个0.01，也就是0.05，0.2×0.05＝0.010，表示有10个0.001。结论正确。 ④ ＝ ＝。结论正确。 在这4条表述中，都正确。 故答案为：D 【考点剖析】根据单位换算方法，计算法则和数位表示的意义和乘法运算律进行分析判断。 3．不计算，利用规律直接填出得数。 6×0.7＝4.2    6.6×6.7＝44.22    6.66×66.7＝444.222    6.666×666.7＝( ) 【答案】4444.2222 【思路引导】通过观察，被乘数有几个6，得数中就有几个4和几个2，小数点是4和2的分界线；6.666×666.7中，被乘数有4个6，所以得数中就有4个4和4个2，4与2之间点上小数点。 【规范解答】有分析得到的规律可知： 6.666×666.7＝4444.2222 【考点剖析】做此类题目，应仔细观察算式，从中探索出规律。 4．列竖式计算。 4.34×0.25≈（保留两位小数）   21÷24＝（验算） 18.71÷22≈（商用循环小数表示） 【答案】1.09；0.875； 【思路引导】根据小数的乘除法法则以及整数的除法法则计算即可。 【规范解答】（1）4. 34×0.25≈1.09                 （2）21÷24＝0.875      验算： （3）18.71÷22≈ 5．（26-27五年级上·全国·课后作业）一个长方形操场，长57.5米，长比宽多12.4米，它的面积约是多少平方米？（得数保留整数。） 【答案】 2593平方米 【思路引导】先根据长和宽的差求出宽的长度，再用长方形面积公式计算面积，最后按四舍五入法保留整数。 【规范解答】（米） （平方米） 答：它的面积约是2593平方米。 6．（25-26五年级上·湖北黄冈·期中）某地为鼓励市民节约用水，采取按月分段计费的方法收取水费。用水量在15吨以内（含15吨）每吨2.5元；超过15吨，不超过20吨的部分，每吨3.2元：超过20吨的部分，每吨5元。 （1）小红家十月份用水18吨，该缴费多少元？ （2）小军家开了一家超市，十月份的水费是85.5元，他家十月份用水多少吨？ 【答案】（1）47.1元 （2）26.4吨 【思路引导】（1）先计算出15吨水所花的钱数即2.5×15，再计算超过15吨的部分所花的钱数，即（18－15）×3.2，然后将两个结果加起来就是小红家十月份该缴的费用。 （2）先计算出20吨水的费用，再用总的费用减去20吨水的费用，得到超过20吨所花的费用，再除以5，计算出结果后再加上20即可求出他家十月份用水量。 【规范解答】（1）2.5×15＝37.5（元） （18－15）×3.2 ＝3×3.2 ＝9.6（元） 37.5＋9.6＝47.1（元） 答：小红家十月份该缴费47.1元。 （2）2.5×15＝37.5（元） （20－15）×3.2 ＝5×3.2 ＝16（元） 37.5＋16＝53.5（元） （85.5－53.5）÷5 ＝32÷5 ＝6.4（吨） 20＋6.4＝26.4（吨） 答：他家十月份用水26.4吨。 7．（25-26五年级上·浙江台州·期中）某城市滴滴打车和出租车的收费标准如下表所示： 3千米及以内 超出部分（不足1千米按1千米计算） 滴滴打车 2.8元/千米 1.8元/千米 出租车 8元 2.1元/千米 （1）王阿姨滴滴打车去火车站，滴滴车行驶了7.6千米，要付多少元车费？ （2）李叔叔从家出发乘出租车去公司，共付车费12.2元，家到公司的路程最远是多少千米？ 【答案】（1）17.4元 （2）5千米 【思路引导】（1）7.6千米按照8千米计算。前3千米的单价为2.8元/千米，用单价乘3千米，可求得前3千米的总价。单价为1.8元/千米共跑了（8－3）千米，用这部分的单价乘（8－3）千米，可求得后半部分的总价，将两部分的总价相加，即可求得要付多少元车费。 （2）出租车前3千米，收费8元，用12.2元减去8元，求得超过3千米的总价，用其除以单价2.1元/千米，可求得后半部分跑了多少千米，再加上3千米，即可求得家到公司的路程最远是多少千米。 【规范解答】（1）7.6千米按照8千米计算 ＝ ＝8.4＋9 （元） 答：要付17.4元车费。 （2） ＝4.2÷2.1＋3 ＝2＋3 （千米） 答：家到公司的路程最远是5千米。 8．唐老师到超市买了一些苹果，总价四舍五入后约是39.6元，苹果的单价和质量都是一位小数，并且两个小数末尾的数字都是6，四舍五入之前是多少元？ 【答案】39.56元 【思路引导】苹果的单价和质量都是一位小数，并且两个小数末尾的数字都是6，0.6×0.6＝0.36（元），把百分位上的6向十分位进1后是6，十分位原来是6－1＝5，由此即可求出四舍五入之前是多少元。 【规范解答】0.6×0.6＝0.36（元） 苹果的总价的百分位是6，保留一位小数要向十分位进1 向十分位进1后，十分位是6，所以十分位原来是6－1＝5 所以原来的总价是39.56元 答：四舍五入之前是39.56元。 【考点剖析】此题主是考查用“四舍五入”法求近似数的方法。根据题意，两个小数末尾的数字都是6，即0.6，0.6×0.6＝0.36（元），由此可知，39.6元的十分位的6是由百分位上的6进1得到的，原总价十分位要减1，百分位为6。 9．小花猫、大公鸡和山羊是好朋友，他们虽然年龄都不相同，但爱好却很相似，正如他们对外夸口说的是“忘年交”。一天，大象伯伯看到他们三个正在一起讲故事便向前问道：“你们三个究竟谁最大？谁最小？”山羊便幽默地说：我的年龄乘0.8，公鸡的年龄乘1，小花猫的年龄乘3.5，这样算出来的年龄就一样大了。你能把我们的年龄大小依次排列起来吗？大象伯伯可弄糊涂了，同学们，帮大象伯伯找出答案吧！ 【答案】山羊的年龄最大、公鸡次之、小花猫的年龄最小 【思路引导】根据题意有：山羊年龄×0.8＝公鸡年龄×1＝小花猫年龄×3.5，据此比较0.8、3.5的大小关系，结合乘数和积的关系，分析出三者的年龄大小关系即可。 【规范解答】因为0.8＜3.5，并且山羊年龄×0.8＝公鸡年龄＝小花猫年龄×3.5，所以三者的年龄从大到小为：山羊、公鸡和小花猫。 答：年龄从大到小排列为：山羊、公鸡和小花猫。 【考点剖析】本题考查了乘数和积的关系，一个数乘一个大于1的数，积比原来的数大，反之则比原来的数小。 10．（26-27五年级·全国·暑假作业）李阿姨去菜市场买菜，买了2千克牛肉，每千克48.5元；又买了3千克鱼，每千克12.8元。她带了150元，请帮她估算一下，带的钱够吗？（写出估算过程） 【答案】够； 把48.5看作50，把12.8看作13。 牛肉：50×2＝100（元） 鱼：13×3＝39（元） 总共约：100＋39＝139 （元） 139＜150 即使把价格都往大估，总价也没超过150元，所以一定够。 【思路引导】分别对购买牛肉和鱼的花费进行估算，估算时，可将牛肉和鱼的单价看成与之接近的整数，再根据“总价＝单价×数量”计算出估算后各自的花费，再将估算后的花费相加，最后与李阿姨带的钱数比较，判断钱是否够。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 第二单元小数乘法『举一反三知识讲练』 (思维拓展版) 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+14个考点讲练+13个奥数拓展+真题难度分层演练共70题) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于人教版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套 内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压 轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩 中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人 教版五上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 目录指引内容知晓 知识梳理温故知新...· 。。。。 3 知识点一小数乘整数（基本算理及算法）·.·. …3 知识点二小数乘小数（基本算理及算法）..· 知识点三小数乘小数（积的小数位数不够） 知识点四小数乘法的应用及验算...·. 知识点五积的近似数… 知识点六整数乘法运算定律推广到小数.. ..5 知识点七小数的估算及解决实际问题.. 知识点八解决分段计费的实际问题.· 5 考点讲练真题汇总.. 第1页共20页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点一小数与整数的乘法.. 高频考点二积的变化规律（小数乘法）·. 高频考点三利用小数与整数的乘法解决问题.…………6 高频考点四小数与小数的乘法.…· 6 高频考点五积的小数位数与乘数小数位数的关系 ….7 高频考点六小数的连乘运算.… 高频考点七利用小数与小数的乘法解决问题.· .7 高频考点八用“四舍五入”法求积的近似数·. 高频考点九因数和积的大小关系（小数乘法） 高频考点十整数乘法运算定律推广到小数乘法..........8 高频考点十一运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题.… ..9 高频考，点十二用归纳法解决计算器探索规律问题 .9 高频考点十三小数的估算及应用.. 10 高频考点十四分段计费问题（小数乘法）. 10 难点突破奥数拓展… 11 奥数拓展一小数与整数的乘法计算....... 11 奥数拓展二小数与整数的乘法解决问题……………… 12 奥数拓展三运用画线段图法和逆推法解决稍复杂的小数问题....... 12 奥数拓展四小数与小数的乘法.. 13 奥数拓展五利用小数与小数的乘法解决问题..· 13 奥数拓展六积的小数位数与乘数小数位数的关系 14 奥数拓展七小数的连乘运算……… 14 奥数拓展八因数和积的大小关系（小数乘法）.· ...14 奥数拓展九用“四舍五入”法求积的近似数.，，. 14 奥数拓展十积的变化规律（小数乘法）...… 15 奥数拓展十一积的近似数..15 奥数拓展十二整数乘法运算定律推广到小数乘法……… 15 奥数拓展十三运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题……· 15 优选真题实战演练16 第2页共20页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【能力提升练】 16 【思维创新练】 导图指引梳理脉络 意义 与整数乘法意义相同，表示几个相同加数的和， 意义 积的近似敬是在求出积后，按要求用 意义 与整数垂法意义相同 “四舍五入法”取近似数 计算方法按照整数乘法计算方法计算 表示几个相同加数的和 再看因数中一共有几位小数 方法。 保留整数：看十分位，十分位满5进1 就从积的右边起数出几位。点上小数点。 保留一位小数：看自分位 白分位满 进1 保留两位小数：看千分位，千分位满5进1. 积的位数积的小数位数≤因数小数位数之和 小数 积的位数积的小数位数≤两个因数小数位数之和 积的 例题（得数保留两位小数） 例题9.5×3=28.5 乘整数 近似数 3.14×3.9=12.25 想：9.5元买3个，需要多少元 例题4.2×0.8=3.36 算出积：3.14×3.9=12.246 答：28.5元. 86 想：两个因数都是小数时怎样计算？ 保留两位小数≈1225 答：3.36 14 巩固练习（得数保留一位小数 巩固练习 巩固练习 1.1.92×0.9=1.728 0.32×2.79=0.8928 1.1.2×1.4=1.7 3.7×8.7=32.2 2.0.86×1.6=14 2.34×0.17=0.4 1.7×4=28 0.7×4=28 125×5=6.25 2.0.39×2.9=1.1310.58×0.08=0.0464 2.0.72×60=43.2 3.判断对错：0.37×0.94=3.478(×) 乘法交换律a×b=b×a 3.买6个(@9)需要多少元？40元买7个（编）够吗？ 第二单元 小数乘法 运意律推 乘法结合律(a×b)×c=a×(b×c) 小数乘法 到小数 乘法分配律a×(b+c)=a×b+a×c 例题（用简便方法计算） 例题（用简便方法计算） 整数乘法 0.25×4.78×4 0.65×202 4.2×1.69=(4+0.2)×1.69 运算律推厂 小数乘法 =0.25×4×4.78 ■0.65×(200+2) =4×1.69+0.2×1.69 到小数 =1×4.78 ■0.65×200+0.65×2 ■6.76+0.338 的应用 =4.78 =130+1.3 =7.098 =1313 单价、总价问题 路程、费用问题 行程问题 巩固练习 水果 苹果 0km 3km 7 km 车速70.5千米/时 解决问题 求积问题 直接列式计算， 1.(4.2+4.8)×8.4=75.6 单价（元/kg)3.6 3.4小时行多少千米？ 质量(kg)25 8元1.5元 纳税问题 应纳税额=应纳税的数量×税率 2.4.75×99+4.75=475 总价（元）9.0 想：3km内费用=8+15×4 规：路程=速度×时间 购物问题 总价一单价×数量 3.2.73×99=270.27 想：总价=单价×质量 =8+6 70.5×34=239.7(千米 实际支付■总价一优惠 3.6×2.5=9.0(元 =14(元) 行程问题 路程=速度时间 时=路程÷速度 综合练习（重点题型） 速度路程+时间 1.9.5×3=28.5 20.72×60=43.2 3.4,2×0.8=3.36 4.3.14×3.9=12.25 5.用简便方法计算 6.判断对错 7.行驶3km, 8.购买2.4kg苹果 95×5=475 (得数保留两位小数) 0.25×4.78×4=4.78 0.37×0.94=3.478(×) 车费应付14元 应付7.2元。 27元+15角=28.5元 小贴士：计算时先列竖式，再数小数位数，点小数点；灵活运用运算律，让计算更简便 加油！你一定能掌握小数乘法！★ 知识梳理 温故知新 知识点一小数乘整数（基本算理及算法） 算理： 1.小数乘整数可通过累加法计算。 2.带有单位的小数乘整数，可通过拆分组合法计算，即高级单位和低级单位先拆算、后计合。 3.带有单位的小数乘整数，还可通过单位转化来计算，即高低单位互转、互化、取整、去整。 算法： 1.小数乘整数且不带单位时，可将小数转化为整数进行计算。 第3页共20页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 2.小数乘整数时，积的小数位数应当与因数的小数位数相同。 3.小数乘整数的积，其小数部分末尾的0应去掉。 知识点二小数乘小数（基本算理及算法） 1.在执行小数乘小数计算时，先将小数全部化整，随后按照整数乘法计算、得积。 2.得出积后，再看因数中一共有几位小数，有几位小数，就从积的右边起数出几位，随后在那个位置 点上小数点。 知识点三小数乘小数（积的小数位数不够） 小数乘小数应该注意 1.当小数乘小数之积的位数少于因数小数位数之和时，务必要加0占位。 2.当小数乘小数之积的末尾有0时，务必先确认小数点是否已点好，如果0已补、 点已加，再将末尾的0去掉。 小数乘小数（积的小数位数不够） 1.化作整数算出积—积从“整”来。不论何样的小数乘法，均以此方法切入。 2.积中小数看因数一积出有“因”。积的小数位数等于因数的小数位之和。 3.积位不够要补零一加零再加点。补零视位数而定，然后再去末尾的零。 知识点四小数乘法的应用及验算 1.在解决小数乘法应用题目时，要明确问题，充分利用已知条件，并据此理清关系、画图辅解、列出 算式。 2.为确保结果准确，要检验计算过程。常用验算方法有： ①互换因数重新乘； ②通过计算器验算。 知识点五积的近似数 积的近似数的求取方法 要保留结果到哪一位，就看它的下一位：如果该位数小于5，就将后面的数舍去；如果大于或等于5， 就向前一位进1。 1.在求取积的近似数时，先算积，然后看需要保留数位的下一位数字，再按“四舍五入”法求出结果， 最后用“≈”连接。 2.务必看清题目的要求。当所要保留数位的末一位或末几位是0时，该0不能划去。 第4页共20页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 知识点六整数乘法运算定律推广到小数 小数乘法简便计算时，应注意： 先观察算式中乘数的特点，然后再确定运用哪种运算定律。 有时可同时运用乘法交换律与结合律，并分组计算，从而使计算过程更简便。 整数乘法运算定律推广到小数 1.整数乘法运算的交换律同样适用于小数乘法。 2.整数乘法运算的结合律同样适用于小数乘法。 3.整数乘法运算的分配律同样适用于小数乘法。 知识点七小数的估算及解决实际问题 1.看余额。在用小数估算解决实际问题时，就是看余额是否充足。余额不足不够买；余额充足就够买。 2.看总价。在用小数估算解决实际问题时，就是看总价是否超出预算。超过预算不够买；低于预算就 够买。 知识点八解决分段计费的实际问题 出租车分段计费的方法 1.起步价路程内的费用固定不变； 2.对不足1km部分的计费应留意； 3.既可以先分后总分段计合，也可以先总后分，多退少补。 解决分段计费的实际问题 1.起步价段。出租车的起步价一般固定为某一里程内统一收取一定额度的钱数。其他诸如水费等，则 是起步量×起步单价。 2.额外价段。额外价一般异于起步价，额外价段需要与起步价区分开来，分别计算，不能将起步价段 包含进去。 考点讲练真题汇总 高频考点一小数与整数的乘法 【典例精讲】(26-27五年级上·全国·课后作业)列竖式计算。 3.8×7= 0.46×14= 0.45×80= 2.05×8= 1.48×46= 0.128×50= 第5页共20页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】(26-27五年级上·北京·课后作业)爸爸妈妈带着小红去游乐园玩，单程票价成人24.5元， 儿童12元。一家三口往返交通费需要多少元？ 高频考点二积的变化规律（小数乘法） 【典例精讲】根据13×17=221，可知1.3×0.17=( ),22.1÷0.13=( )。 【变式训练】在括号里填上合适的数，使等式成立。 4.16÷3.2=( )÷32 5.29×0.7=5.29×7÷（ 6.8×8.75=68×( 高频考点三利用小数与整数的乘法解决问题 【典例精讲】(26-27五年级上·北京·课后作业)妈妈带80元去超市，买3千克苹果，每千克12.6元， 一盒10.8元的饼干。她还想买一袋9.9元的面包，剩下的钱够不够买面包？ 【变式训川练】(25-26五年级上·贵州黔南·阶段检测)购买有机食品。超市有机玉米进行促销活动，奇 奇妈妈想买6根，至少需要支付( )元。 买二送 品名：有机玉米 单价：3.8元/根 高频考点四小数与小数的乘法 【典例精讲】(25-26四年级下·黑龙江大兴安岭·期末)苏绣起源于苏州，是四大名绣之一，国家级非 物质文化遗产之一。王敏和孙晶各买了一条苏绣围巾，王敏花了20.8元，孙晶花的钱数是王敏的1.5倍。 王敏买的围巾比孙晶的便宜()元。 第6页共20页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】下列算式中，得数最大的是()。 A.3.5×0.3B.3.5÷0.3 C.3.5+0.3 D.3.5-0.3 高频考点五积的小数位数与乘数小数位数的关系 【典例精讲】不计算，根据18×32=576，直接写出下列各式的结果。 18×3.2=( 0.18×32=( 5.76÷0.18=( 【变式训练】9.01×2.6的积是( )位小数，所得的积精确到百分位约是( ）。 高频考点六小数的连乘运算 【典例精讲】希望小学五(1)班同学每人每天节约0.25元零花钱，全班45名同学，十一月份一共可节约 多少钱？ 【变式训练】买4箱苹果，每箱7.45千克，每千克12.24元，应付多少钱？ 高频考点七利用小数与小数的乘法解决问题 【典例精讲】(26-27五年级上·全国·课后作业)超市里1千克青椒5.6元，张奶奶买了1.2千克，付 给售货员7元钱，应找回多少钱？ 【变式训练】(25-26四年级下·黑龙江大兴安岭·期末)回收1吨废纸可减少木材消耗0.3吨，同时能 减少碳排放1.2吨。祥和小区实施垃圾分类后，3月回收废纸0.8吨。3月回收的废纸能减少1吨碳的排放 吗？ 第7页共20页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点八用“四舍五入”法求积的近似数 【典例精讲】(26-27五年级上·全国·课后作业)一幢大楼有21层，每层高3.34米，这幢大楼约高多 少米？（得数保留整数） 【变式训练】(24-25五年级上·江苏淮安·期中)用竖式计算。 5.86+1.4= 20.3-7.68= 0.54÷15=0.036 4.08×0.35≈1.43（得数保留两位小数） 高频考点九因数和积的大小关系（小数乘法） 【典例精讲】在横线上填“>”“<”或“=”。 7.05×6.5 0.705×65 3.6÷0.9 3.6×0.9 7.6÷1.5 _7.6×1.5 【变式训练】(26-27五年级上·全国·课后作业)在括号里填上“>”“<”或“=”。 1.6×2.5( )2.3 5.4×0.9( )5.4 8×1.1( )8.25 5.03×1( )5.03 0.8×0.9( )0.8×1.01 7.3×6( )60×0.73 3.7×0.9( )0.1×0.12 2.7×1( )2.7×(0.02+0.8) 高频考点十整数乘法运算定律推广到小数乘法 【典例精讲】(25-26四年级下·辽宁本溪·期末)商店进来一批运动服，每套运动服上衣55.5元，裤子 35.5元，学校购买12套这样的运动服，需要付多少元？ 第8页共20页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】(26-27五年级上·全国·课后作业)计算下列各题，能简算的要简算。 8.9×3.7 12.5×(20+0.8) 0.46×7.5 8.8×0.11+1.2×0.11 高频考点十一运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 【典例精讲】(24-25五年级上·浙江台州·期末)下面各题怎样简便就怎样算。 2.2×0.8×2.5 1.25×[8.8-(10.7-4.3)] 0.48×3.5+4.84 5.6×1.26-56×0.026 【变式训练】(24-25五年级上·江西赣州·期末)能简便的要用简便方法计算。 299×2.55+2.55 3.7×8.3+0.83×63 3.04×(2.5+7.5÷1.5) 高频考点十二用归纳法解决计算器探索规律问题 【典例精讲】(24-25五年级上·福建厦门·期末)乐乐用计算器分别算出了下面三道算式的得数，请你 找出规律，再按规律填空。 123456.79×9=1111111.11 第9页共20页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 123456.79×18=2222222.22 123456.79×27=3333333.33 123456.79×54=( 123456.79×( ）=9999999.99 【变式训练】(23-24五年级上·全国·课后作业)不计算，运用发现的规律，直接写出后两题的得数， 再用计算器验算。 6×0.7=4.2 6.6×6.7=44.22 6.66×66.7= 6.666×666.7= 高频考点十三小数的估算及应用 【典例精讲】(26-27五年级上·北京·课后作业)小红带200元购物，买5本单价18.7元的笔记本，两 盒单价29.6元的水彩笔。商店有两款书包：小号45.9元，大号62.8元。请分别用合适的估算方法判断剩 余的钱能不能买小号、大号书包，最后精确计算验证。 【变式训练】(25-26五年级上·福建莆田·期末)近日天气转寒，优优不小心冻感冒了，有些发烧。爸 爸去医院买了2盒感冒冲剂和10片退烧贴，每盒感冒冲剂10.8元，每片退烧贴2.5元。爸爸手机钱包里 的余额是45元，爸爸想用余额支付药费，够吗？关于这个问题，下列解决方法正确的是( )。 A.10.8≈10,2.5≈2,10×2十2×10=40（元），40元<45元，所以够。 B.2.5≈3,10.8×2+3×10=51.6（元)，51.6元>45元，所以不够。 C.10.8≈10,2.5≈3,10×2+3×10=50（元)，50元>45元，所以不够。 D.10.8≈10,10×2+2.5×10=45（元)，45元=45元，所以不够。 高频考点十四分段计费问题（小数乘法） 【典例精讲】(25-26五年级上·江西宜春·期末)学校“国学社团”开展经典文化周末调研活动，同学 们要和家长坐出租车去调研地点。 第10页共20页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 出租车收费标准 不超过3千米 3元 超过3千米 2.5元/千米 (不足1千米按1千米计算) (1)小红和爸爸乘车到离家28.3千米的古城，他们应付多少钱？ (2)小文有23元，最多可以乘车多少千米？ 【变式训练】(25-26五年级上·广东汕头·期末)为鼓励节约用水，许多城市都推行按月阶梯水价的方 法收取水费。某市水费的收费标准是：用水量在12吨以内（含12吨）每吨2.5元，超过12吨的部分，每 吨4元。李明家上个月的用水量为18吨，应缴水费多少元？ 难点突破奥数拓展 奥数拓展一小数与整数的乘法计算 【典例精讲】(20-21五年级上·四川乐山·期中)某市居民用电按阶梯收费，收费标准如下： 分档 户月用电量（千瓦时） 电价标准（元/千瓦时） 第一档 1~240 0.48 第二档 241×400 0.53 第三档 401以上 0.70 (1)小明家上月用电量为250千瓦时，电费是多少？ (2)小丽家上月用电量为420千瓦时，电费是多少？ 第11页共20页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】高叔叔于2018年5月8日从隆昌北站坐高铁到成都东站，这列高铁列车于5月8日15：38 分到达成都东站。隆昌北站到成都东站全程221千米，这列高铁车平均每小时行多少千米？ S037096 隆昌北站 G2888 成都东站 Longchangbei Chengdudong 2018年05月08日 14:46开 06车08D号 ￥86.5元 二等座 买票请到12306 发货请到95306 中国铁路祝你旅途愉快 奥数拓展二小数与整数的乘法解决问题 【典例精讲】(25-26五年级上·福建莆田·期末)小陈和7个朋友到餐馆吃饭，他们商定费用AA制。因 为小陈忘记带钱了，他的其他几个朋友帮他垫付了费用，因此7个人每人额外多付了3.5元，那么餐费总 共是( ）元。 【变式训练】(25-26五年级上·湖南邵阳·期末)买4盒牙膏和3支牙刷要73.5元，买3盒牙膏和4支 牙刷要63元，牙膏每盒( )元，每支牙刷( )元。 奥数拓展三运用画线段图法和逆推法解决稍复杂的小数问题 【典例精讲】(24-25五年级上·宁夏银川·期中)甲、乙、丙三个人买食品，甲买了4根棒棒糖、1瓶果 汁和10包小饼干，付了33.5元；乙买了同样的3根棒棒糖、1瓶果汁和7包小饼干，付了26元；丙买了 同样的2根棒棒糖、2瓶果汁和2包小饼干，需付多少元？ 【变式训练】(2025·重庆渝北·小升初真题)A、B两地相距150千米。运动员进行骑摩托车训练，速度 为80千米/小时，一辆行驶速度40千米/小时的公共汽车和摩托车同时从A地出发，摩托车到B地后立即 返回，途中和公共汽车相遇，相遇后，摩托车又立即掉头驶向B地，当摩托车到达B地时，公共汽车离B地 还有多远？ 第12页共20页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 奥数拓展四小数与小数的乘法 【典例精讲】一根木料，第一次用去它的一半少0.8米，第二次用去剩下的一半多1.2米，最后还剩下2.7 米，这根木料原来长多少米？ 【变式训练】有一根绳子，笑笑用它来做中国结，第一次剪下它的一半，第二次剪下它余下的一半过0.6 米，第三次又剪下它余下的一半，这时正好余下0.4米绳子可以做一个中国结，请你算一算，这根绳子笑 笑可以做多少个这样的中国结？ 奥数拓展五利用小数与小数的乘法解决问题 【典例精讲】(25-26六年级下·河北·课后作业)某林场生产200根圆木，已知每根圆木的直径是30厘 米，长2.5米。 (1)这批圆木的体积是多少立方米？（得数保留一位小数） (2)已知每立方米圆木重430千克，这批圆木大约多少吨？（得数保留一位小数） (3)如果把这些圆木加工成最大的方木，加工成的一根方木的体积是多少立方米？ (4)一根圆木加工成一根方木的利用率是多少？（百分号前保留一位小数） 【变式训练】(25-26四年级上·山东烟台·期末)下面的算式是借助长方形的面积计算3.5×3.2的过程。 仔细观察，少算了图中( )部分的面积。 0.5m 3m 3m① ② 0.2m③ ④ 3.5×3.2=3×3+0.5×3+0.2×3 A.① B.② C.③ D.④ 第13页共20页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 奥数拓展六积的小数位数与乘数小数位数的关系 【典例精讲】.(25-26五年级上·重庆忠县·期末)己知m=0.00…036,n=0.00…025,则m×n= 10个0 10个0 )。 A.0.00…09 B.0.00…09 C.0.00…09 D.0.00…09 20个0 21个0 22个0 23个0 【变式训练】(25-26五年级上·福建·期中)两个一位小数相乘的积是一个两位小数，省略十分位后面 的尾数后是2.7，关于这个两位小数的取值范围，下列正确的是( 111 ⊥n上ne A.2.6 2.7 2.8 B.2.6 2.7 2.8 LLLLLLLLLLLLLL C.2.6 2.7 2.8→ D.2.6 2.7 2.8 奥数拓展七小数的连乘运算 【典例精讲】(23-24五年级上·河北·课后作业)37.5×37.5×37.5×…×37.5的积的末位数字是几？ 36个37.5 【变式训练】箱子中有编号为110的10个小球，每次从中抽出1个记下编号后放回，如是重复3次，则 3次记下的小球编号的乘积是5的倍数的概率是多少？( )。 A.43.2% B.48.8% C.51.2% D.56.8% 奥数拓展八因数和积的大小关系（小数乘法） 【典例精讲】(25-26五年级上·新疆乌鲁木齐·期末)已知a×0.99=b×1.01=c×0.8(a、b、c都不 为0)，其中最大的是( )。 A.a B.b C.c D.无法判断 【变式训练】(24-25五年级上·浙江湖州·期末)甲、乙、丙三个数都不为0，如果甲×0.8=乙×1.2= 丙×1.5，那么甲、乙、丙三个数中，最大的数是 一一，最小的数是 奥数拓展九用“四舍五入”法求积的近似数 【典例精讲】(25-26五年级上·重庆垫江·期末)一个一位小数乘18的积，精确到个位后是94，这个一 位小数是( )。 【变式训练】(25-26六年级下·河北·课后作业)一块长方体木料，长是1.2米，宽是1米，高是1.1 米。以某个面为底面，把它加工成一个最大的圆柱，最大圆柱的体积最小是多少立方米？最大是多少立方 米？（得数保留两位小数） 第14页共20页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 奥数拓展十积的变化规律（小数乘法） 【典例精讲】(25-26五年级上·河南郑州·期中)已知82÷a的商与82×b的积的位置如下图所示：a的 值所在的范围可能是选项( ),b的值所在的范围可能是选项( )。 82÷a 82Xb 0 41 82 123 164 A.0.5-1:1.5-2 B.1-1.5:1.5-2 C.1.5-2:0.5-1 D.2-2.5:0.5-1 【变式训练】(25-26五年级上·河北邢台·期中)已知a×1.01=b×0.98=c÷0.01且a、b、c均不为0， 则a、b、c三个数中，( )最大。 A.a B.b C.c 奥数拓展十一积的近似数 【典例精讲】两个整数部分都是4的一位小数相乘，乘积用四舍五入法保留一位小数的近似值是18.1，这 两个数乘积的准确值是 【变式训练】两个带小数相乘，乘积四舍五入以后是22.5已知这两个数都只有一位小数，且个位数字都 是4，则这两个数的乘积四舍五入前是 奥数拓展十二整数乘法运算定律推广到小数乘法 【典例精讲】(25-26五年级上·上海·期末)递等式计算，能简便运算的要用简便方法计算。 126+74÷0.37×9.5 26.4×6.4-2.64+3.7×26.4 [2.1-(0.37+1.53)]×50÷0.8 【变式训川练】(25-26五年级上·山东临沂·期末)小虎把12×（口+0.8），算成了12×口+0.8，他的 计算结果与正确结果( A.相差12 B.相差9.6 C.相差8.8 D.一样大 奥数拓展十三运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 【典例精讲】19.98×37-199.8×1.9+1998×0.82=( ）。 【变式训练】计算。 (1+0.23+0.34)×(0.23+0.34+0.65)-(1+0.23+0.34+0.65)×(0.23+0.34) 第15页共20页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 优选真题实战演练 【能力提升练】 1.（24-25六年级下·浙江杭州·期末)不要小瞧打印机待机耗电，某型号打印机待机1小时耗电0.05度。 如果该打印机全年持续待机，耗电量更接近( )。 A.438度 B.1825度 C.4380度 D.1.8万度 2.(25-26四年级下·广东茂名·期末)下面各式中，与1.7×3.6得数相等的是( )。 A.17×3.6 B.1.7×36 C.0.17×3.6 D.0.17X36 3.(26-27五年级上·北京·课后作业)两个一位小数相乘，乘积保留一位小数是6.5，乘积实际是两位 小数，这个乘积最大是( ),最小是多少( ）。 4.（25-26四年级下黑龙江大庆期末)计算5.7×1.8+1.2时，要先算( ),再算( ), 结果是( ）。 5.(25-26五年级上·山东枣庄·阶段检测)0.25×(4×0.8)=0.25×4+0.25×0.8。（ )(判 断对错) 6.(26-27五年级上·北京·课后作业)用简便方法计算。 1.2×0.09+2.8×0.09 12.5×32 2.5×(40+4+0.4) 7.(26-27五年级上·全国·课后作业)列竖式计算。 0.56×0.14= 4.8×1.5= 0.012×1.8= 7.2×0.27= 0.18×0.15= 0.912×2.2= 第16页共20页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 8.(25-26四年级下·吉林长春·期末)位于长春高新区（南区)的东北亚文化艺术馆群正在建设中，该 项目集美术馆、民俗馆等于一体。民俗馆内计划搭建剪纸作品展板，用以展出满族传统剪纸作品，展板长 4.8米、宽2.5米，每平方米可粘贴展示16幅作品。这块展板可以展出多少幅作品？ 9.(25-26六年级下·安徽合肥·期末)某市的出租车收费标准如下表（不足1千米的按1千米计算）。 李叔叔坐出租车从甲地去乙地共行驶16.8千米，他一共需要付多少元的车费？ 计费单位 费用 3km以内（含3km) 6.5元 3km以后每加1km 1.5元 10.(25-26四年级下·黑龙江大兴安岭·期末)阅读一本好书，就像是受良师教诲。为了满足同学们读书 的需求，学校图书室购买了许多新书，其中科技书和故事书各165本，每本科技书45.6元，每本故事书54.4 元。购买科技书和故事书一共花了多少元？ 【思维创新练】 1.(25-26五年级上·山东菏泽·期中)下边表格表示了计算( )的过程。 0.6×2 0.6×0.8 1×2 1×0.8 A.6.8×2.6 B.2.8X1.6 C.2.6×1.8 第17页共20页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 2.(25-26五年级上·上海浦东新·阶段检测)下列表述正确的有( )句。 ①1.2小时=1小时12分=72分钟。 ②两位小数×两位小数，积化简后不一定是四位小数。 ③0.26×0.05中的“2”和“5”相乘得10，表示10个0.001。 ④10.2×2.7-0.54=2.7×(10.2-0.2) A.1 B.2 C.3 D.4 3.不计算，利用规律直接填出得数。 6×0.7=4.2 6.6×6.7=44.22 6.66×66.7=444.222 6.666×666.7= 4.列竖式计算。 4.34×0.25≈（保留两位小数) 21÷24=(验算)18.71÷22≈（商用循环小数表示) 5.(26-27五年级上·全国·课后作业)一个长方形操场，长57.5米，长比宽多12.4米，它的面积约是 多少平方米？（得数保留整数。） 6.(25-26五年级上·湖北黄冈·期中)某地为鼓励市民节约用水，采取按月分段计费的方法收取水费。 用水量在15吨以内（含15吨)每吨2.5元；超过15吨，不超过20吨的部分，每吨3.2元：超过20吨的 部分，每吨5元。 (1)小红家十月份用水18吨，该缴费多少元？ (2)小军家开了一家超市，十月份的水费是85.5元，他家十月份用水多少吨？ 第18页共20页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 7.(25-26五年级上·浙江台州·期中)某城市滴滴打车和出租车的收费标准如下表所示： 3千米及以内 超出部分（不足1千米按1千米计算） 滴滴打车 2.8元/千米 1.8元/千米 出租车 8元 2.1元/千米 (1)王阿姨滴滴打车去火车站，滴滴车行驶了7.6千米，要付多少元车费？ (2)李叔叔从家出发乘出租车去公司，共付车费12.2元，家到公司的路程最远是多少千米？ 8.唐老师到超市买了一些苹果，总价四舍五入后约是39.6元，苹果的单价和质量都是一位小数，并且两 个小数末尾的数字都是6，四舍五入之前是多少元？ 9.小花猫、大公鸡和山羊是好朋友，他们虽然年龄都不相同，但爱好却很相似，正如他们对外夸口说的是 “忘年交”。一天，大象伯伯看到他们三个正在一起讲故事便向前问道：“你们三个究竟谁最大？谁最小？” 山羊便幽默地说：我的年龄乘0.8，公鸡的年龄乘1，小花猫的年龄乘3.5，这样算出来的年龄就一样大了。 你能把我们的年龄大小依次排列起来吗？大象伯伯可弄糊涂了，同学们，帮大象伯伯找出答案吧！ 第19页共20页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 10.(26-27五年级·全国·暑假作业)李阿姨去菜市场买菜，买了2千克牛肉，每千克48.5元：又买了 3千克鱼，每千克12.8元。她带了150元，请帮她估算一下，带的钱够吗？（写出估算过程) 第20页共20页