第四单元 圆【思维导图+知识卡片+新知梳理+十七大考点讲练+难度分层练 共49题】-2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义

该小学数学讲义通过思维导图与知识梳理构建“圆”单元知识体系，涵盖圆的认识、周长、面积及扇形四大知识点，以框架图呈现定义、公式及性质，清晰展现半径与直径关系、周长与面积公式推导等重难点内在联系。 讲义亮点在于17个高频考点讲练与分层真题演练，如“圆的周长应用”中自行车过桥问题、“方中圆面积”计算，培养几何直观与运算能力。基础通关与能力提升分层设计，助力不同学生掌握解题技巧，支持自主复习与教师精准教学。

null2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 第四单元 圆『举一反三知识讲练』（能力提升版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+17个考点讲练展+真题难度分层演练 共49题） 同学你好，该份讲义用于人教版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人教版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 2 知识梳理 温故知新 3 知识点一 圆的认识 3 知识点二 圆的周长 3 知识点三 圆的面积 4 知识点四 扇形 4 考点讲练 真题汇总 4 高频考点一 圆的概念及特点 4 高频考点二 画圆 5 高频考点三 弧、圆心角、扇形的认识 5 高频考点四 画扇形 6 高频考点五 与圆相关的轴对称图形 7 高频考点六 圆的周长 8 高频考点七 半圆的周长 8 高频考点八 圆的周长的应用 9 高频考点九 含圆的组合图形的周长 9 高频考点十 圆的面积 10 高频考点十一 圆的面积的应用 10 高频考点十二 圆环的面积 11 高频考点十三 求最大面积 11 高频考点十四 含圆的组合图形的面积 12 高频考点十五 方中圆和圆中方的面积问题 12 高频考点十六 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 13 高频考点十七 扇形的周长和面积 13 优选真题 实战演练 14 【基础通关】 14 【能力提升】 16 知识点一 圆的认识 1． 圆的定义:一条线段绕一个端点旋转360度，另一个端点形成的图形叫圆。 2．圆心 将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 3．半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。 半径一般用字母r表示，如图中的线段OA。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5.直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。如图中的线段BC。 6.轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 7.圆的对称轴:直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 知识点二 圆的周长 1．圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2．圆周率:圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数，我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母π表示，圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，π一般取3.14，世界上第一个把圆周率算到小数点后第七位的人是我国的数学家祖冲之。 3．圆的周长公式。 或 圆周长=π×直径，圆周长=π×半径×2 知识点三 圆的面积 1. 圆的面积:圆所占面积的大小叫圆的面积。 2．圆的面积公式:或者或者 3.在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 4.在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 5.一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是 或。（其中R＝r＋环的宽度） 6．半圆周长＝圆的周长的一半＋半径×2 公式为： 半圆面积＝圆的面积÷2 公式为： 7．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。 8．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。 9．当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米； 当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 知识点四 扇形 在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几。 高频考点一 圆的概念及特点 【典例精讲】（25-26六年级上·福建厦门·阶段检测）下面关于圆的认识说法中，正确的有（    ）个。 ①两端都在圆上的线段中，直径最长。 ②圆的直径是半径的2倍。 ③把一个圆的半径扩大为原来的2倍，则直径扩大为原来的4倍。 ④画圆时，圆规两脚间的距离就是圆的直径。 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】（25-26六年级上·广东潮州·期末）一个直径为4厘米的圆形印章，在一张长30厘米、宽18厘米的长方形纸上，最多能印出（    ）个完整的印章图案。 A．24 B．28 C．43 D．135 高频考点二 画圆 【典例精讲】（26-27六年级上·全国·课后作业）仔细观察下面左边这幅美丽的图案，你能利用圆规和三角尺在下面右边的方格里画出来吗？试试看！ 【变式训练】（人教版数学六年级上册6.8应用提升练习卷）如图，每个小方格的边长表示1cm。请按要求完成下列作图。 (1)以点所在的位置为圆心，3cm长为半径画一个圆。 (2)在该圆中画一条半径r，使半径的一个端点位于圆心的北偏西45°方向上。 高频考点三 弧、圆心角、扇形的认识 【典例精讲】（26-27六年级上·全国·课后作业）日晷是古代人民利用日影制作的计时仪器，由铜制的指针和石制的圆盘组成。圆盘被等分为12个扇形，分别对应子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二时辰。每个时辰的扇形对应的圆心角的度数为（    ）。 A．10° B．15° C．30° D．45° 【变式训练】（24-25六年级下·贵州铜仁·期末）关于圆和扇形的认识，下列各种说法中，有（    ）是正确的。 ①因为扇形的大小与圆心角的大小紧密相关，所以圆心角大的扇形面积一定大于圆心角小的扇形面积； ②所有半径都相等； ③在一个圆里面画的线段中，直径最长； ④圆有无数条对称轴，扇形和半圆都有无数条对称轴； ⑤半径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。 A．①②③④⑤ B．①②④ C．②④ D．③⑤ 高频考点四 画扇形 【典例精讲】（25-26六年级上·河南安阳·期末）按要求在下边方格纸上画图，其中每个小方格的边长为1cm。 （1）画一个长和宽的和是15cm，且长和宽的比是3∶2的长方形。 （2）在你画的长方形中画一个最大的圆，再在圆中画一个圆心角是120°的扇形。 【变式训练】（25-26六年级上·河北保定·期末）动手操作，观察实践。 (1)作图：在院子的东北角画一个圆心角是，半径是2厘米的扇形鱼池。（两面靠墙） (2)作图并计算：在鱼池外沿边缘设计一个宽1厘米的弧形鹅卵石小路，画在图上。计算一下鹅卵石小路的图上面积。 (3)作图并计算：在院子的西南角有一个圆形桌子，桌面面积3.14平方厘米，要想在这张桌面上放一个最大的正方形棋盘，棋盘的图上面积是多少平方厘米画在图上。 高频考点五 与圆相关的轴对称图形 【典例精讲】（26-27六年级上·全国·课后作业）为迎接“校园科技节”，星光小学面向全校同学征集科技节徽标设计作品。作品需满足以下要点： ①主题突出：紧扣“科技节”主题，体现科技创新、探索未知的理念； ②图形元素：必须包含圆，且整体为轴对称图形，以增强视觉美感； ③命名创意：结合科技、探索等概念，为徽标配一个贴切的名字。 请你根据以上要点，在下面的方格纸中设计一幅作品。 【变式训练】=一个长方形，其中三个角的顶点位置分别是（2，2）、（2，8）、（6，2）。 （1）请你在图中画出这个长方形。 （2）在上面画出的长方形中再画一个最大的圆，使所画的圆与这个长方形组成的组合图形只有1条对称轴。 高频考点六 圆的周长 【典例精讲】（25-26六年级上·安徽合肥·阶段检测）一个长方形的长是100米，宽是40米，以宽为直径在两侧作两个半圆，形成一个环形跑道，那么它一圈的周长是（    ）米。 A．200＋40π B．280＋40π C．280＋20π 【变式训练】（25-26六年级上·陕西西安·期末）将一个圆平均分成若干份后再拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长比圆的周长增加了6cm，拼成的长方形的宽是( )cm，圆的面积是( )。 高频考点七 半圆的周长 【典例精讲】（26-27六年级上·全国·课后作业）甲、乙两只蚂蚁以相同的速度从M点爬到N点（如下图），蚂蚁甲选择了路线①，蚂蚁乙选择了路线②，两只蚂蚁谁先到达N点？（    ） A．蚂蚁甲 B．蚂蚁乙 C．同时到达 【变式训练】（25-26六年级上·安徽阜阳·期末）在校园环境优化讨论环节，同学们对一块长20米、宽15米的长方形空地进行了景观设计。计划在空地内画一个最大的半圆，在半圆内种月季，其余空地种牡丹。如果后期用篱笆把种月季的区域围起来，需要用多少米的篱笆？ 高频考点八 圆的周长的应用 【典例精讲】（25-26六年级上·广东湛江·期中）一辆自行车车轮半径是4分米，车轮每分钟转100周，要通过2512米的大桥，大约需要几分钟？ 【变式训练】（25-26六年级上·浙江杭州·期末）把三个半径为5厘米的圆柱形木棒用绳子捆成如下图的形状。如果接头处忽略不计，捆一圈这根绳子至少要多长？ 高频考点九 含圆的组合图形的周长 【典例精讲】（26-27六年级上·全国·课前预习）求下面图形的周长。 【变式训练】（26-27六年级上·全国·单元测试）求下列各图中阴影部分的周长。 高频考点十 圆的面积 【典例精讲】（25-26六年级上·广东佛山·阶段检测）在一个周长为80cm的正方形纸片内，要剪一个半径最大的圆，这个圆的面积是（    ）平方厘米。 A．2512 B．1256 C．314 D．157 【变式训练】（26-27六年级上·全国·课后作业）如图，小林把一个圆平均分成16等份，剪拼成一个近似的梯形。已知这个梯形的周长约为71.4cm，你能据此求出圆的面积吗？ 高频考点十一 圆的面积的应用 【典例精讲】（25-26六年级上·安徽阜阳·期中）阅读材料，解决问题。 “绿化”，能够有效降噪。噪音，会危害人体健康，而植物能够吸收和减少来自车辆和交通的噪音。比如：4米宽的绿篱，可以减弱噪音6分贝；40米宽的林带，可以降低噪音10－15分贝；公园中，成片的树木可以降低噪音26－43分贝；绿化的街道相比未绿化的街道，可以降低噪音8－10分贝。 为了增加城镇的人均绿地面积，屋顶花园、屋顶绿化、屋顶养花逐步进入城市的建设规划。比如：某大型商场在建造过程中，请专业人员将一处露台改造成了“空中花园”，并设计了一个周长为18.84米的圆形花坛，形成了一处独特而具有艺术气息的景观。 (1)如果汽车发出的噪音是70分贝，旁边的绿化设施可降噪，那么，旁边的绿化设施可降噪多少分贝？ (2)“空中花园”里的圆形花坛，占地面积多少平方米？ 【变式训练】（25-26六年级上·浙江台州·期末）扫地机器人可以在一块长方形场地内任意行走，碰到障碍物会自动转弯。如图，这个扫地机器人的底面是一个直径为的圆盘。那么，机器人在扫地时底面覆盖不到的面积为（    ）。 A．0 B．172 C．344 D．688 高频考点十二 圆环的面积 【典例精讲】（25-26六年级上·四川达州·期中）一个直径为8m的圆形喷水池，在它周围修一条宽1m的环形花带，求花带的面积( )m2。 【变式训练】（2025六年级上·全国·专题练习）求阴影部分的面积。 高频考点十三 求最大面积 【典例精讲】（24-25六年级上·河南郑州·期末）李叔叔要在一块长8米，宽6米的空地上铺设一个圆形或半圆形鱼池，要使鱼池的占地面积尽可能大，请你帮他设计一下，在图中画一画，你建议李叔叔选择哪个方案，为什么？ 【变式训练】（24-25六年级上·全国·单元测试）如图所示，院子两堵墙的长度分别为5m和8m，墙外是一片草地。如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4m，请画出这只小羊吃草的范围，标出相关数据。 高频考点十四 含圆的组合图形的面积 【典例精讲】（25-26六年级上·辽宁鞍山·阶段检测）求涂色部分的面积。（单位：米）      【变式训练】（24-25六年级上·重庆云阳·期末）下面各图中，阴影部分面积相等的是（    ）。 A．只有①和②阴影部分面积相等 B．只有②和③阴影部分面积相等 C．①、②和③阴影部分面积都相等 D．都不相等 高频考点十五 方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】（26-27六年级上·全国·随堂练习）计算阴影部分的面积。 【变式训练】（25-26六年级上·陕西西安·期末）一张可折叠的圆桌，直径是1.2米，折叠后变成了一个正方形（如图），折叠后的桌面折叠部分是______平方米。（得数保留两位小数） 高频考点十六 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】（24-25六年级下·河北保定·期末）如图，空白部分是一个直径为6厘米的半圆，把整个半圆绕点A逆时针旋转60°，此时点B旋转至点B＇，则阴影部分的面积是( )平方厘米。 【变式训练】（24-25六年级上·北京海淀·期末）如图，已知正方形ABCD的边长为1厘米，求图中4个弓形弧长之和及阴影部分面积。（π取3.14） 高频考点十七 扇形的周长和面积 【典例精讲】求下列各图阴影部分的周长。（单位：cm） （1）    （2） 【变式训练】（24-25六年级上·浙江温州·期末）用半径为1厘米的圆组合图形，第4幅图的阴影面积是( )平方厘米。根据前4幅图的规律，第n幅图的阴影面积是( )平方厘米。 【基础通关】 1．（25-26六年级上·广东韶关·期中）在草地中心拴着一头牛，绳长3米，这牛最多吃到的面积是多少？正确的列式是（    ）。 A． B． C． D． 2．（25-26六年级上·福建漳州·期中）在一个长5分米，宽3分米的长方形里画一个最大的圆，这个圆的半径是（    ）分米。 A．5 B．3 C．2.5 D．1.5 3．（25-26六年级上·安徽阜阳·期中）我国古代著名思想家、教育家墨子在2400多年前曾说：“小圆之圆与大圆之圆同”。这句话中的“同”表示大小圆的（    ）相同。 A．周长 B．圆上任意一点到圆心的距离 C．圆心 D．周长除以圆内直径的商 4．（25-26六年级上·广东深圳·阶段检测）现用篱笆围一个半径为4米的圆形圈，这个圆形圈的占地面积为( )平方米。 5．（25-26六年级上·山东济宁·阶段检测）在一张边长10厘米的正方形内剪下一个最大的圆，这个圆的面积是( )平方厘米，剩下的面积是( )平方厘米。 6．（25-26六年级上·浙江湖州·阶段检测）求阴影部分的面积。（单位：分米） 7．（26-27六年级上·辽宁·课后作业）在《九章算术》第一章“方田”中有这样的叙述：“今有圆田，周三十步，径十步。” (1)当时圆周率的精确度不高，试根据条件推算出当时圆周率的取值。 (2)以“周三十步”为条件，圆周率取3.14，求出“径”更精确的长度。（结果保留两位小数）（可以用计算器计算） 8．（25-26六年级上·安徽阜阳·期中）阅读材料，解决问题。 “绿化”，能够有效降噪。噪音，会危害人体健康，而植物能够吸收和减少来自车辆和交通的噪音。比如：4米宽的绿篱，可以减弱噪音6分贝；40米宽的林带，可以降低噪音10－15分贝；公园中，成片的树木可以降低噪音26－43分贝；绿化的街道相比未绿化的街道，可以降低噪音8－10分贝。 为了增加城镇的人均绿地面积，屋顶花园、屋顶绿化、屋顶养花逐步进入城市的建设规划。比如：某大型商场在建造过程中，请专业人员将一处露台改造成了“空中花园”，并设计了一个周长为18.84米的圆形花坛，形成了一处独特而具有艺术气息的景观。 (1)如果汽车发出的噪音是70分贝，旁边的绿化设施可降噪，那么，旁边的绿化设施可降噪多少分贝？ (2)“空中花园”里的圆形花坛，占地面积多少平方米？ 9．（25-26六年级上·浙江湖州·阶段检测）小辰在探索圆的面积计算公式时，把一个圆剪拼成一个长约为31.4厘米的近似长方形（如下图），这个圆的半径是多少厘米？面积是多少平方厘米？（π取3.14） 10．（26-27六年级上·全国·课后作业）一个圆形花坛，半径为3米，沿花坛的周围修一条1米宽的小路。这条小路的面积是多少平方米？ 【能力提升】 1．（25-26六年级上·福建漳州·期中）画一个周长是15.7cm的圆时，圆规两脚间的距离应取（    ）cm。 A．2.5 B．5 C．10 D．15.7 2．（25-26六年级上·福建漳州·期中）甲圆半径正好是乙圆的直径，则乙圆面积是甲圆面积的（    ）。 A． B． C．2倍 D．4倍 3．（25-26六年级上·广东佛山·阶段检测）在一个周长为80cm的正方形纸片内，要剪一个半径最大的圆，这个圆的面积是（    ）平方厘米。 A．2512 B．1256 C．314 D．157 4．（25-26六年级上·福建漳州·期中）一个半圆的直径是10cm，它的周长是( )cm，面积是( )。 5．（25-26六年级上·福建泉州·期末）如图，正方形ABCD的面积是10cm2，那么小圆的面积是( )cm2，大圆的面积和小圆的面积比是( )。 6．（26-27六年级上·全国·课后作业）（圆的周长与面积）一个圆的半径是2厘米，这个圆的周长和面积相等。( )（判断对错） 7．（25-26六年级上·浙江金华·期中）求下图阴影部分的周长、面积（圆周率取3.14）。 8．（25-26六年级上·福建漳州·期中）农场有一个半径3米的圆形菜地，现在周围向外扩宽2米，菜地面积比原来增加了多少平方米？ 9．（25-26六年级上·山东德州·阶段检测）超市计划将3桶薯片用丝带捆扎在一起出售，店员们想出了两种包装方法。如果每个薯片桶的底面直径是8厘米，那么用哪种捆扎方法更节省丝带？请计算并说明理由。（接口处忽略不计） 10．（25-26六年级上·浙江金华·期中）一个正方形的羊圈，边长2.8米（如图）。A点是一条边的中点，把一只羊放到羊圈外的草地上吃草。主人用一根2米长的绳子，一端系在A点处，一端系住羊（打结处绳长忽略不计）。请在图上画出这只羊可吃到草的区域，并计算出面积。（圆周率取3） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 第四单元 圆『举一反三知识讲练』（能力提升版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+17个考点讲练展+真题难度分层演练 共49题） 同学你好，该份讲义用于人教版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人教版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 2 知识梳理 温故知新 3 知识点一 圆的认识 3 知识点二 圆的周长 3 知识点三 圆的面积 4 知识点四 扇形 4 考点讲练 真题汇总 4 高频考点一 圆的概念及特点 4 高频考点二 画圆 5 高频考点三 弧、圆心角、扇形的认识 7 高频考点四 画扇形 8 高频考点五 与圆相关的轴对称图形 11 高频考点六 圆的周长 13 高频考点七 半圆的周长 14 高频考点八 圆的周长的应用 15 高频考点九 含圆的组合图形的周长 16 高频考点十 圆的面积 17 高频考点十一 圆的面积的应用 18 高频考点十二 圆环的面积 20 高频考点十三 求最大面积 21 高频考点十四 含圆的组合图形的面积 23 高频考点十五 方中圆和圆中方的面积问题 25 高频考点十六 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 26 高频考点十七 扇形的周长和面积 28 优选真题 实战演练 30 【基础通关】 30 【能力提升】 34 知识点一 圆的认识 1． 圆的定义:一条线段绕一个端点旋转360度，另一个端点形成的图形叫圆。 2．圆心 将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 3．半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。 半径一般用字母r表示，如图中的线段OA。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5.直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。如图中的线段BC。 6.轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 7.圆的对称轴:直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 知识点二 圆的周长 1．圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2．圆周率:圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数，我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母π表示，圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，π一般取3.14，世界上第一个把圆周率算到小数点后第七位的人是我国的数学家祖冲之。 3．圆的周长公式。 或 圆周长=π×直径，圆周长=π×半径×2 知识点三 圆的面积 1. 圆的面积:圆所占面积的大小叫圆的面积。 2．圆的面积公式:或者或者 3.在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 4.在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 5.一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是 或。（其中R＝r＋环的宽度） 6．半圆周长＝圆的周长的一半＋半径×2 公式为： 半圆面积＝圆的面积÷2 公式为： 7．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。 8．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。 9．当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米； 当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 知识点四 扇形 在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几。 高频考点一 圆的概念及特点 【典例精讲】（25-26六年级上·福建厦门·阶段检测）下面关于圆的认识说法中，正确的有（    ）个。 ①两端都在圆上的线段中，直径最长。 ②圆的直径是半径的2倍。 ③把一个圆的半径扩大为原来的2倍，则直径扩大为原来的4倍。 ④画圆时，圆规两脚间的距离就是圆的直径。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】①在同一个圆里，两端都在圆上，通过圆心的线段叫直径； ②圆的直径是半径的2倍，必须在同一个圆或等圆中才成立； ③半径扩大到原来的2倍，结合公式来看直径扩大到几倍； ④画圆时圆规两脚间的距离是圆的半径，不是直径。 【规范解答】①两端都在圆上的线段中，过圆心的线段叫做直径，是最长的，说法正确； ②只有在同圆或等圆中，直径才是半径的2倍，题干未说明前提，说法错误； ③圆的直径，若半径扩大到原来的2倍，新直径，，即直径扩大到原来的2倍，不是4倍，该说法错误； ④画圆时，圆规两脚间的距离是圆的半径，不是直径，该说法错误。 说法正确的有1个。 【变式训练】（25-26六年级上·广东潮州·期末）一个直径为4厘米的圆形印章，在一张长30厘米、宽18厘米的长方形纸上，最多能印出（    ）个完整的印章图案。 A．24 B．28 C．43 D．135 【答案】B 【思路引导】分别计算长方形的长和宽各能容纳多少个圆的直径，再将长边和宽边能放的数量相乘，得到最多能印的圆形印章总数。 【规范解答】30÷4＝7（个）……2（厘米） 18÷4＝4（个）……2（厘米） 7×4＝28（个） 最多能印出28个完整的印章图案。 高频考点二 画圆 【典例精讲】（26-27六年级上·全国·课后作业）仔细观察下面左边这幅美丽的图案，你能利用圆规和三角尺在下面右边的方格里画出来吗？试试看！ 【答案】 【思路引导】利用三角尺，分别找出正方形四条边的中点。以四条边的中点为圆心，以正方形边长的一半为半径，向正方形内部画半圆（每条边的中点画一个半圆，共四个半圆）。四个半圆相交，即可画成题目中的美丽图案。 【变式训练】（人教版数学六年级上册6.8应用提升练习卷）如图，每个小方格的边长表示1cm。请按要求完成下列作图。 (1)以点所在的位置为圆心，3cm长为半径画一个圆。 (2)在该圆中画一条半径r，使半径的一个端点位于圆心的北偏西45°方向上。 【答案】(1) (2) 【思路引导】先找到圆心O：第5列、第5行的交叉点就是点O。因为小方格边长是1cm，3cm半径就对应3个小方格的边长，把圆规的针尖固定在O点，把圆规两脚张开3格的长度，绕O点画一个完整的圆就完成了。 图里箭头标注向上是北，从O点出发，向北偏西45°方向，画一条3cm的线段，这个方向上距离O点3格的点是数对（3，7），把圆心O（5，5）和点（3，7）连起来，这条线段就是符合要求的半径r。 高频考点三 弧、圆心角、扇形的认识 【典例精讲】（26-27六年级上·全国·课后作业）日晷是古代人民利用日影制作的计时仪器，由铜制的指针和石制的圆盘组成。圆盘被等分为12个扇形，分别对应子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二时辰。每个时辰的扇形对应的圆心角的度数为（    ）。 A．10° B．15° C．30° D．45° 【答案】C 【思路引导】周角为，圆盘被平均分成12个大小相等的扇形，求每个扇形对应的圆心角度数用除法计算。 【规范解答】 【变式训练】（24-25六年级下·贵州铜仁·期末）关于圆和扇形的认识，下列各种说法中，有（    ）是正确的。 ①因为扇形的大小与圆心角的大小紧密相关，所以圆心角大的扇形面积一定大于圆心角小的扇形面积； ②所有半径都相等； ③在一个圆里面画的线段中，直径最长； ④圆有无数条对称轴，扇形和半圆都有无数条对称轴； ⑤半径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。 A．①②③④⑤ B．①②④ C．②④ D．③⑤ 【答案】D 【思路引导】①因为扇形面积公式为（n表示圆心角），和圆心角、半径两个因素有关，所以判断时要考虑半径是否相同。 ②因为只有同圆或等圆的半径才相等，所以判断时要注意前提条件是否存在。 ③因为直径是通过圆心且两端都在圆上的线段，所以直径是圆内最长的线段。 ④圆有无数条对称轴，但扇形只有1条对称轴，半圆也只有1条对称轴，不是无数条。 ⑤画圆时，圆心定在哪里圆就出现在哪里，半径画多长圆就有多大，所以圆心决定位置、半径决定大小。 【规范解答】①扇形面积由圆心角大小和半径长度共同决定，半径不确定时，圆心角大的扇形面积不一定更大，说法错误； ②只有同圆或等圆的半径才全部相等，缺少前提条件，说法错误； ③在同一个圆中画的所有线段里，直径是最长的，说法正确； ④圆有无数条对称轴，扇形和半圆都只有1条对称轴，说法错误； ⑤圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，说法正确。 正确的说法是③和⑤。 高频考点四 画扇形 【典例精讲】（25-26六年级上·河南安阳·期末）按要求在下边方格纸上画图，其中每个小方格的边长为1cm。 （1）画一个长和宽的和是15cm，且长和宽的比是3∶2的长方形。 （2）在你画的长方形中画一个最大的圆，再在圆中画一个圆心角是120°的扇形。 【答案】（1）（2）如图：（画图不唯一） 【思路引导】（1）将长看作3份，宽看作2份，相加求出总份数；每一份的长度＝长和宽的总长÷总份数；长＝每一份的长度×长的份数，宽＝每一份的长度×宽的份数；据此在方格纸上画出符合要求的长方形。 （2）长方形中最大的圆的直径与长方形的宽相等，圆的半径＝宽÷2。画圆：将圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）；将有针尖的一端固定在一点（即圆心）；再将装有铅笔尖的一只脚旋转一周，即可画出所需要的圆。选取所画圆中的任意一条半径作为圆心角的一条边，以圆心为角的顶点，用量角器画出120°的角，角的另一条边为圆的另一条半径，最后标出圆心角。 【规范解答】（1）15÷（3＋2） ＝15÷5 ＝3（cm） 3×3＝9（cm） 3×2＝6（cm） 所以所画长方形的长为9cm、宽为6cm，图略。 （2）在长方形内画最大的圆，并在圆中画一个圆心角是120°的扇形，图略。（画图不唯一） 【变式训练】（25-26六年级上·河北保定·期末）动手操作，观察实践。 (1)作图：在院子的东北角画一个圆心角是，半径是2厘米的扇形鱼池。（两面靠墙） (2)作图并计算：在鱼池外沿边缘设计一个宽1厘米的弧形鹅卵石小路，画在图上。计算一下鹅卵石小路的图上面积。 (3)作图并计算：在院子的西南角有一个圆形桌子，桌面面积3.14平方厘米，要想在这张桌面上放一个最大的正方形棋盘，棋盘的图上面积是多少平方厘米画在图上。 【答案】(1) (2)；3.925平方厘米 (3)2平方厘米； 【思路引导】（1）图上方向遵循上北下南，左西右东，以长方形院子的右上角（东北角顶点）为圆心，画半径2厘米、圆心角90°的扇形，两条半径分别贴合院子的北（上）围墙和东（右）围墙，即为所求鱼池； （2）因为外圆半径＝内圆半径＋路宽，所以以长方形的右上角顶点（东北角）为圆心，半径为（2＋1）画一个90°扇形，两条半径分别贴合院子的院子的北（上）围墙和东（右）围墙；小路面积即环形面积的，，代入数值求解； （3）在圆内画两条互相垂直的直径，将直径的四个顶点相连得到最大的正方形；正方形的对角线将正方形分为两个完全相同的等腰直角三角形，三角形的斜边为圆的直径，斜边上的高为半径，再根据圆的面积求出圆的半径，代入三角形的面积公式底×高÷2得到三角形面积，三角形面积×2＝正方形面积 【规范解答】（1）画图略。 （2）画图略。 小路面积： ＝ ＝ ＝3.925（平方厘米） 答：鹅卵石小路的图上面积是3.925平方厘米。 （3）3.14÷3.14＝1（平方厘米） 因为12＝1，所以r＝1厘米，d＝2厘米 棋盘面积： 2×2×1÷2 ＝4÷2 ＝2（平方厘米） 画图略。 答：棋盘的图上面积是2平方厘米。 高频考点五 与圆相关的轴对称图形 【典例精讲】（26-27六年级上·全国·课后作业）为迎接“校园科技节”，星光小学面向全校同学征集科技节徽标设计作品。作品需满足以下要点： ①主题突出：紧扣“科技节”主题，体现科技创新、探索未知的理念； ②图形元素：必须包含圆，且整体为轴对称图形，以增强视觉美感； ③命名创意：结合科技、探索等概念，为徽标配一个贴切的名字。 请你根据以上要点，在下面的方格纸中设计一幅作品。 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】先确定设计的核心主题，结合科技节探索、创新的理念，选择火箭、星球、飞船等代表性科技元素作为设计基础。 因为要求必须包含圆且整体为轴对称图形，所以先选定对称轴，在方格中确定圆的位置和大小，再围绕圆添加其他科技相关图形元素，保证所有元素沿对称轴对称。 结合设计的图形元素和科技、探索的内涵，构思匹配的徽标名称。 【变式训练】=一个长方形，其中三个角的顶点位置分别是（2，2）、（2，8）、（6，2）。 （1）请你在图中画出这个长方形。 （2）在上面画出的长方形中再画一个最大的圆，使所画的圆与这个长方形组成的组合图形只有1条对称轴。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【思路引导】（1）用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；先根据三个角的顶点的数对描出三个点，再根据长方形的特征，找到第四个点的位置，画出这个长方形。 （2）在长方形中画一个最大的圆，那么这个圆的直径等于长方形的宽。要求这个组合图形只有1条对称轴，则这个圆不能画在正中间。 【规范解答】如图： （圆的位置不唯一） 【考点剖析】本题考查数对与位置的知识，长方形内最大圆的画法，以及轴对称图形的画法。 高频考点六 圆的周长 【典例精讲】（25-26六年级上·安徽合肥·阶段检测）一个长方形的长是100米，宽是40米，以宽为直径在两侧作两个半圆，形成一个环形跑道，那么它一圈的周长是（    ）米。 A．200＋40π B．280＋40π C．280＋20π 【答案】A 【思路引导】跑道的周长由两条长方形的长和两个直径为40米的半圆的长度组成，两个半圆可以拼成一个完整的圆，分别计算两部分长度再求和即可。 【规范解答】（米） 【变式训练】（25-26六年级上·陕西西安·期末）将一个圆平均分成若干份后再拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长比圆的周长增加了6cm，拼成的长方形的宽是( )cm，圆的面积是( )。 【答案】 3 /28.26 【思路引导】把圆拼成近似长方形后，长方形的宽等于圆的半径，且长方形周长比圆周长增加的部分是2条半径的长度，所以先通过增加的周长求出圆的半径，也就是长方形的宽。 再利用圆的面积公式，求出半径后代入公式就能计算圆的面积。 【规范解答】圆的半径即长方形的宽： 圆的面积： 或者 高频考点七 半圆的周长 【典例精讲】（26-27六年级上·全国·课后作业）甲、乙两只蚂蚁以相同的速度从M点爬到N点（如下图），蚂蚁甲选择了路线①，蚂蚁乙选择了路线②，两只蚂蚁谁先到达N点？（    ） A．蚂蚁甲 B．蚂蚁乙 C．同时到达 【答案】C 【思路引导】圆的半圆弧长公式：。分别利用半圆弧长公式求出两条路线的长度再进行比较；已知蚂蚁速度相同，根据，路程相等则所用时间相等。 【规范解答】路线①：求大半圆的弧长 先求大半圆的总直径：（cm） 再用半圆弧长公式：（cm）   路线②：分别求出3个小半圆的弧长，再相加求和 直径2cm半圆弧长：（cm） 直径4cm半圆弧长：（cm） 直径6cm半圆弧长：（cm） 总路程：（cm） 两条路线路程相等，蚂蚁速度相同，所以用时相同，同时到达。 【变式训练】（25-26六年级上·安徽阜阳·期末）在校园环境优化讨论环节，同学们对一块长20米、宽15米的长方形空地进行了景观设计。计划在空地内画一个最大的半圆，在半圆内种月季，其余空地种牡丹。如果后期用篱笆把种月季的区域围起来，需要用多少米的篱笆？ 【答案】51.4米 【思路引导】如图，在长方形中画一个最大的半圆，半圆的直径相当于长方形的长，为20米，根据圆的周长公式C＝πd求出圆的周长，再除以2求出圆周长的一半，即半圆的弧长，再加上一条直径的长度求出半圆的周长，即为篱笆的长度。 【规范解答】3.14×20÷2＋20 ＝62.8÷2＋20 ＝31.4＋20 ＝51.4（米） 答：需要51.4米的篱笆。 【考点剖析】在长20米、宽15米的长方形里，最大半圆的直径只能取20米（若取宽15米为直径，半圆会更小），且半径10米小于宽15米，满足半圆完全在长方形内的条件；篱笆是封闭半圆区域的边界，包含半圆弧长和直径两部分。 高频考点八 圆的周长的应用 【典例精讲】（25-26六年级上·广东湛江·期中）一辆自行车车轮半径是4分米，车轮每分钟转100周，要通过2512米的大桥，大约需要几分钟？ 【答案】10分钟 【思路引导】先根据圆的周长公式C＝2πr，π取3.14，求出车轮转1周走的路程，乘每分钟转的周数得到自行车每分钟行驶路程，注意单位换算，再用大桥总路程除以每分钟行驶路程，求出需要的时间。 【规范解答】车轮周长：2×3.14×4＝25.12（分米） 每分钟路程：25.12×100＝2512（分米） 2512分米＝251.2米 时间：2512÷251.2＝10（分钟） 答：大约需要10分钟。 【变式训练】（25-26六年级上·浙江杭州·期末）把三个半径为5厘米的圆柱形木棒用绳子捆成如下图的形状。如果接头处忽略不计，捆一圈这根绳子至少要多长？ 【答案】厘米 【思路引导】绳子长度由曲线部分和直线部分组成。曲线部分是三个扇形弧长之和，三个扇形拼起来正好是一个半径为的圆的周长，直线部分是3条直径的长度。根据进行求解。 【规范解答】 （厘米） 答：捆一圈这根绳子至少要厘米。 高频考点九 含圆的组合图形的周长 【典例精讲】（26-27六年级上·全国·课前预习）求下面图形的周长。 【答案】20.56cm 【思路引导】观察图形：它是4个完全一样的半圆，每个半圆的直径都是2cm，一个半圆的周长＝圆周长的一半＋直径＝πr＋d，一个半圆周长×4＝整个图形的周长。 【规范解答】3.14×（2÷2）＋2 ＝3.14×1＋2 ＝3.14＋2 ＝5.14（cm） 5.14×4＝20.56（cm） 【变式训练】（26-27六年级上·全国·单元测试）求下列各图中阴影部分的周长。 【答案】（1）37.68dm；（2）20.56cm 【思路引导】（1）中间三个小半圆弧的长度和等于外面大半圆弧的长度，所以阴影部分的周长等于半径为6dm的圆的周长，圆的周长：C＝2πr，代入数据计算即可解答。 （2）阴影部分的周长等于直径为4cm圆的周长加2个4cm的边长，圆的周长：C＝πd，代入数据计算即可解答。 【规范解答】（1）2×3.14×6 ＝6.28×6 ＝37.68（dm） （2）3.14×4＋4×2 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 高频考点十 圆的面积 【典例精讲】（25-26六年级上·广东佛山·阶段检测）在一个周长为80cm的正方形纸片内，要剪一个半径最大的圆，这个圆的面积是（    ）平方厘米。 A．2512 B．1256 C．314 D．157 【答案】C 【思路引导】正方形内剪半径最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，正方形周长除以4等于正方形的边长（即圆的直径），再除以2等于圆的半径，最后计算圆的面积（圆的面积：S＝πr2）即可。 【规范解答】80÷4÷2 ＝20÷2 ＝10（厘米） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 即这个圆的面积是314平方厘米。 【变式训练】（26-27六年级上·全国·课后作业）如图，小林把一个圆平均分成16等份，剪拼成一个近似的梯形。已知这个梯形的周长约为71.4cm，你能据此求出圆的面积吗？ 【答案】314平方厘米。 【思路引导】根据题意和图可知，一个圆平均分成16等份拼成近似的梯形，梯形上下底之和等于圆周长的，腰一共包含4条圆的半径；依靠梯形周长列出算式求出半径r，最后套用圆面积公式算出结果。 【规范解答】由分析可知， 梯形的周长： ＝ ＝ ＝（厘米） 圆的半径：（厘米） 圆的面积： ＝ ＝ ＝（平方厘米） 答：圆的面积为314平方厘米。 高频考点十一 圆的面积的应用 【典例精讲】（25-26六年级上·安徽阜阳·期中）阅读材料，解决问题。 “绿化”，能够有效降噪。噪音，会危害人体健康，而植物能够吸收和减少来自车辆和交通的噪音。比如：4米宽的绿篱，可以减弱噪音6分贝；40米宽的林带，可以降低噪音10－15分贝；公园中，成片的树木可以降低噪音26－43分贝；绿化的街道相比未绿化的街道，可以降低噪音8－10分贝。 为了增加城镇的人均绿地面积，屋顶花园、屋顶绿化、屋顶养花逐步进入城市的建设规划。比如：某大型商场在建造过程中，请专业人员将一处露台改造成了“空中花园”，并设计了一个周长为18.84米的圆形花坛，形成了一处独特而具有艺术气息的景观。 (1)如果汽车发出的噪音是70分贝，旁边的绿化设施可降噪，那么，旁边的绿化设施可降噪多少分贝？ (2)“空中花园”里的圆形花坛，占地面积多少平方米？ 【答案】(1)14分贝 (2) 28.26平方米 【思路引导】（1）求绿化设施可降噪多少分贝，就是求70分贝的是多少，求一个数的几分之几用乘法计算。 （2）先根据圆的周长公式算出花坛的半径，再用圆的面积公式计算占地面积。 【规范解答】（1）（分贝） 答：旁边的绿化设施可降噪14分贝。 （2） 18.84÷3.14÷2＝3（米） （平方米） 答：“空中花园”里的圆形花坛，占地面积是28.26平方米。 【变式训练】（25-26六年级上·浙江台州·期末）扫地机器人可以在一块长方形场地内任意行走，碰到障碍物会自动转弯。如图，这个扫地机器人的底面是一个直径为的圆盘。那么，机器人在扫地时底面覆盖不到的面积为（    ）。 A．0 B．172 C．344 D．688 【答案】C 【思路引导】机器人扫地时底面覆盖不到的地方是长方形场地的4个角的部分。根据正方形的面积＝边长×边长，算出边长20cm的正方形面积。根据圆的面积S＝πr2，算出圆盘的面积。用正方形的面积减去圆盘面积的，算出机器人在扫地时底面覆盖不到的一个角落面积，再乘4即可。 【规范解答】40÷2＝20（cm） 20×20＝400（） 3.14×202× ＝3.14×400× ＝1256× ＝314（） （400－314）×4 ＝86×4 ＝344（） 机器人在扫地时底面覆盖不到的面积为344。 高频考点十二 圆环的面积 【典例精讲】（25-26六年级上·四川达州·期中）一个直径为8m的圆形喷水池，在它周围修一条宽1m的环形花带，求花带的面积( )m2。 【答案】28.26 【思路引导】求环形花带的面积即求环形的面积，需知道内圆半径和外圆半径。根据圆的面积公式进行计算。 【规范解答】 【变式训练】（2025六年级上·全国·专题练习）求阴影部分的面积。 【答案】10.75dm2；103.62cm2 【思路引导】（1）由图中信息可知：阴影部分面积＝长方形面积－半圆的面积，长为10dm，宽和圆的半径相等，为5dm。再根据长方形面积＝长×宽，圆的面积＝，代入对应数值计算即可； （2）由图可以看出阴影部分面积为圆环的面积，根据圆环面积公式，代入R＝7cm，r＝4cm，求出圆环的面积。 【规范解答】（1）10×5＝50（dm2） 3.14×÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（dm2） 50－39.25＝10.75（dm2） 答：阴影部分面积为10.75dm2。 （2）3.14×（） ＝3.14×（49－16） ＝3.14×33 ＝103.62（cm2） 答：圆环的面积是103.62cm2。 【考点剖析】计算组合图形的阴影面积时，首先要明确的是阴影部分是由哪些基本图形通过相加或者相减等方式构成的；其次还要找准基本图形之间的关键信息之间的联系；最后要熟练准确地运用公式去计算。 高频考点十三 求最大面积 【典例精讲】（24-25六年级上·河南郑州·期末）李叔叔要在一块长8米，宽6米的空地上铺设一个圆形或半圆形鱼池，要使鱼池的占地面积尽可能大，请你帮他设计一下，在图中画一画，你建议李叔叔选择哪个方案，为什么？ 【答案】； 方案一；方案一的圆形鱼池的面积是28.26平方米，方案二的半圆形鱼池的面积是25.12平方米。28.26＞25.12，建议李叔叔选择方案一。 【思路引导】方案一：在长方形里画一个最大的圆，那么这个圆的直径等于长方形的宽；连接长方形的两条对角线，以交点作为圆的圆心，宽的一半长度作为圆的半径，据此画出这个圆形鱼池； 根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆形鱼池的占地面积； 方案二：在长方形里画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径等于长方形的长；以一条长边的中心为圆心，以长的一半长度为半圆的半径，据此画出这个半圆形鱼池； 根据半圆的面积公式S＝πr2÷2，求出半圆形鱼池的占地面积； 比较两种方案鱼池的占地面积，建议选择面积大的鱼池。 【规范解答】图略 方案一： 圆形鱼池的直径是6米，半径是6÷2＝3（米） 圆形鱼池的面积： 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 方案二： 半圆形鱼池的直径是8米，半径是8÷2＝4（米） 半圆形鱼池的面积： 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（平方米） 28.26＞25.12 答：我建议李叔叔选择方案一。因为在同样大小的长方形空地上，方案一的鱼池占地面积更大。 【变式训练】（24-25六年级上·全国·单元测试）如图所示，院子两堵墙的长度分别为5m和8m，墙外是一片草地。如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4m，请画出这只小羊吃草的范围，标出相关数据。 【答案】图见详解 【思路引导】通过观察图形可知，这只羊能吃到草的面积等于半径为4米的圆面积的加上半径为2米的圆面积的，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【规范解答】3.14×42×＋3.14×22× ＝3.14×16×＋3.14×4× ＝50.24×＋12.56× ＝25.12＋3.14 ＝28.26（平方米） 这只小羊吃草的面积是28.26平方米。 作图如下： 【考点剖析】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 高频考点十四 含圆的组合图形的面积 【典例精讲】（25-26六年级上·辽宁鞍山·阶段检测）求涂色部分的面积。（单位：米）      【答案】9.12平方米；10.75平方米 【思路引导】（1）涂色部分用半圆面积减去内部空白三角形面积，半圆半径是4米，三角形底是直径，高等于半径。根据半圆面积公式S＝πr2÷2，π取3.14，三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数值即可解答。 （2）大正方形边长10米，分成4个边长5米的小正方形，两块涂色都是小正方形减去四分之一圆，求出一块再乘2得到涂色总面积。正方形面积＝边长×边长，圆的面积公式S＝πr2，代入数值即可解答。 【规范解答】（1）3.14×42÷2－（4×2）×4÷2 ＝3.14×16÷2－8×4÷2 ＝25.12－16 ＝9.12（平方米） （2）10÷2＝5（米） （5×5－3.14×52÷4）×2 ＝（25－3.14×25÷4）×2 ＝（25－78.5÷4）×2 ＝（25－19.625）×2 ＝5.375×2 ＝10.75（平方米） 【变式训练】（24-25六年级上·重庆云阳·期末）下面各图中，阴影部分面积相等的是（    ）。 A．只有①和②阴影部分面积相等 B．只有②和③阴影部分面积相等 C．①、②和③阴影部分面积都相等 D．都不相等 【答案】C 【思路引导】①正方形内部有一个与正方形四边相切的完整圆，圆的直径等于正方形的边长，阴影部分是正方形减去这个圆的区域。 ②正方形内部有两个以正方形左右边为直径的半圆，两个半圆在正方形中间形成重叠的弧形区域，两个半圆可以割补拼接成一个完整的圆（直径等于正方形边长），因此阴影面积是正方形面积减去这个拼接后的圆的面积。 ③正方形内部有四个以正方形顶点为圆心、以正方形边长的一半为半径的扇形，四个扇形在正方形中心形成交叉的弧形区域，四个扇形的圆心角均为90°，合起来是360°，可以割补拼接成一个完整的圆（半径为r），因此阴影面积是正方形面积减去这个拼接后的圆的面积。 【规范解答】设正方形边长为2r。 ①正方形面积：（2r）2＝4r2 圆的面积：πr2 阴影部分面积：4r2－πr2 ②正方形面积：（2r）2＝4r2 拼接后圆的面积：πr2 阴影部分面积：4r2－πr2 ③正方形面积：（2r）2＝4r2 拼接后圆的面积：πr2 阴影部分面积：4r2－πr2 所以三个图形的阴影面积都相等。 故答案为：C 【考点剖析】本题的关键在于：三个图形的阴影面积均可通过割补法转化为“正方形面积减去一个与正方形边长等直径的圆的面积”，因此面积相等。 高频考点十五 方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】（26-27六年级上·全国·随堂练习）计算阴影部分的面积。 【答案】21.5平方厘米 【思路引导】四个空白扇形的半径都是10÷2＝5厘米，它们正好拼成一个半径为5厘米的圆，阴影部分面积＝边长是10厘米的正方形面积－半径是5厘米的圆的面积，根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，圆的面积公式：面积＝πr2，代入数据，即可解答。 【规范解答】10×10－3.14×（10÷2）2 ＝100－3.14×52 ＝100－3.14×25 ＝100－78.5 ＝21.5（平方厘米） 【变式训练】（25-26六年级上·陕西西安·期末）一张可折叠的圆桌，直径是1.2米，折叠后变成了一个正方形（如图），折叠后的桌面折叠部分是______平方米。（得数保留两位小数） 【答案】0.41 【思路引导】已知圆桌的直径是1.2米，求出半径为1.2÷2＝0.6米，根据圆的面积公式求出圆桌的桌面面积； 将折叠后的正方形分成两个相同的三角形，三角形的底相当于圆的直径、高相当于圆的半径，根据“三角形面积＝底×高÷2”求出1个三角形的面积，再乘2即可求出正方形的面积； 最后用圆桌桌面的面积减去正方形的面积即可求出折叠部分的面积，最后根据“四舍五入”法保留两位小数。 【规范解答】1.2÷2＝0.6（米） 3.14×0.62＝3.14×0.36＝1.1304（平方米） 1.2×0.6÷2×2 ＝0.72÷2×2 ＝0.36×2 ＝0.72（平方米） 1.1304－0.72＝0.4104≈0.41（平方米） 所以折叠后的桌面折叠部分是0.41平方米。 【考点剖析】将正方形分成两个相同的三角形，根据三角形面积公式求出1个三角形面积，再乘2求出正方形面积，最后用圆的面积减去正方形面积即可。 高频考点十六 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】（24-25六年级下·河北保定·期末）如图，空白部分是一个直径为6厘米的半圆，把整个半圆绕点A逆时针旋转60°，此时点B旋转至点B＇，则阴影部分的面积是( )平方厘米。 【答案】18.84 【思路引导】观察图形可得：阴影部分的面积＝以AB＇为直径的半圆的面积＋扇形ABB＇的面积－以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB＇；扇形的圆心角是60°，半径为6厘米，然后再根据扇形的面积公式S＝πr2，π取3.14，代入数值即可解答。 【规范解答】×3.14×62 ＝×3.14×36 ＝3.14×（36×） ＝3.14×6 ＝18.84（平方厘米） 【变式训练】（24-25六年级上·北京海淀·期末）如图，已知正方形ABCD的边长为1厘米，求图中4个弓形弧长之和及阴影部分面积。（π取3.14） 【答案】15.7厘米；8.55平方厘米 【思路引导】观察图形可得：4个弓形弧长之和半径为1厘米的圆的周长＋半径为2厘米的圆的周长＋半径为3厘米的圆的周长＋半径为4厘米的圆的周长，然后再根据圆的周长公式C＝2πr进行解答；阴影部分的面积半径为1厘米的圆的面积底与高都为1厘米的三角形的面积＋半径为2厘米的圆的面积底与高都为2厘米的三角形的面积＋半径为3厘米的圆的面积底与高都为3厘米的三角形的面积＋半径为4厘米的圆的面积底与高都为4厘米的三角形的面积，然后再根据圆的面积公式，三角形的面积公式进行解答。 【规范解答】 （厘米） （平方厘米） 答：4个弓形弧长之和是15.7厘米，阴影部分面积是8.55平方厘米。 高频考点十七 扇形的周长和面积 【典例精讲】求下列各图阴影部分的周长。（单位：cm） （1）    （2） 【答案】（1）50.24cm （2）111.36cm 【思路引导】（1）由图可知，阴影部分周长包括半径为8cm的大圆周长的一半和两个直径为8cm的小圆周长的一半这三部分；两个直径相等的小圆周长一半可以组成一个直径为8cm的小圆周长，即阴影部分周长＝半径为8cm的大圆周长的一半＋一个直径为8cm的小圆周长。 （2）圆心角30°且半径36cm的扇形弧长占半径为36cm的圆的周长的＝，由此可知圆心角30°且半径36cm的扇形弧长为：×圆的周长。由图知，阴影部分周长包括直径为36cm圆的周长的一半、圆心角30°且半径36cm的扇形弧长和长度为36cm的线段这三部分。 【规范解答】（1）2×3.14×8×＋3.14×8 ＝3.14×8＋3.14×8 ＝25.12＋25.12 ＝50.24（cm） （2）3.14×36×＋×2×3.14×36＋36 ＝3.14×36×＋×2×3.14×36＋36 ＝3.14×18＋3.14×6＋36 ＝56.52＋18.84＋36 ＝111.36（cm） 【变式训练】（24-25六年级上·浙江温州·期末）用半径为1厘米的圆组合图形，第4幅图的阴影面积是( )平方厘米。根据前4幅图的规律，第n幅图的阴影面积是( )平方厘米。 【答案】 6.28 1.57n 【思路引导】观察图形可知，第1幅图的阴影部分是由3个半径为1厘米的扇形组成，3个扇形的圆心角之和等于三角形的内角和180°，所以3个扇形可以组成一个半圆，则第1幅图的阴影面积等于圆面积的； 第2幅图的阴影部分是由4个半径为1厘米的扇形组成，4个扇形的圆心角之和等于正方形的内角和360°，所以4个扇形可以组成一个圆，则第2幅图的阴影面积等于一个圆的面积，即圆面积的； 第3幅图的阴影部分是由5个半径为1厘米的扇形组成，其中以梯形的4个顶点为圆心的扇形的圆心角之和等于梯形的内角和360°，这4个扇形可以组成一个圆；另外一个扇形是半圆形，所以第3幅图的阴影面积等于圆面积的； 第4幅图的阴影部分是由6个半径为1厘米的扇形组成，其中以长方形的4个顶点为圆心的扇形的圆心角之和等于长方形的内角和360°，这4个扇形可以组成一个圆；另外2个扇形都是半圆形，可以组成一个圆；所以第4幅图的阴影面积等于2个圆的面积，即圆面积的； 据此得出规律：第n幅图的阴影面积等于圆的面积×。 【规范解答】第1幅图的阴影面积是：3.14×12× 第2幅图的阴影面积是：3.14×12× 第3幅图的阴影面积是：3.14×12× 由此可知，第4幅图的阴影面积是： 3.14×12× ＝3.14×1×2 ＝6.28（平方厘米） 规律：第n幅图的阴影面积是3.14×12×＝1.57n（平方厘米） 填空如下： 第4幅图的阴影面积是（6.28）平方厘米。根据前4幅图的规律，第n幅图的阴影面积是（1.57n）平方厘米。 【考点剖析】通过观察前几幅图的阴影面积，发现阴影部分由若干个扇形组成，结合扇形的圆心角与图形内角和的关系，得出与整个圆的面积的关系，进而找到规律。 【基础通关】 1．（25-26六年级上·广东韶关·期中）在草地中心拴着一头牛，绳长3米，这牛最多吃到的面积是多少？正确的列式是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】牛最多吃到草的区域是以拴牛点为圆心、绳长为半径的圆，求吃到的最大面积就是计算该圆的面积，圆的面积公式为。 【规范解答】绳长即圆的半径，代入圆的面积公式可得正确列式为。 2．（25-26六年级上·福建漳州·期中）在一个长5分米，宽3分米的长方形里画一个最大的圆，这个圆的半径是（    ）分米。 A．5 B．3 C．2.5 D．1.5 【答案】D 【思路引导】长方形中画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，再用直径除以2，计算半径即可。 【规范解答】最大圆的直径等于长方形的宽，为3分米，3÷2＝1.5（分米）。 3．（25-26六年级上·安徽阜阳·期中）我国古代著名思想家、教育家墨子在2400多年前曾说：“小圆之圆与大圆之圆同”。这句话中的“同”表示大小圆的（    ）相同。 A．周长 B．圆上任意一点到圆心的距离 C．圆心 D．周长除以圆内直径的商 【答案】D 【思路引导】任意圆的周长和它直径的比值都是固定的圆周率，和圆的大小没有关系。 【规范解答】A．大圆的周长大于小圆的周长，周长不相同，排除； B．圆上任意一点到圆心的距离是半径，大小圆的半径长度不同，排除； C．大小圆的圆心位置不一定重合，圆心不一定相同，排除； D．周长除以圆内直径的商就是圆周率，所有圆的都相同，符合要求。 这句话中的“同”表示大小圆的周长除以圆内直径的商相同。 4．（25-26六年级上·广东深圳·阶段检测）现用篱笆围一个半径为4米的圆形圈，这个圆形圈的占地面积为( )平方米。 【答案】50.24 【思路引导】根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14代入数值计算即可。 【规范解答】3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 5．（25-26六年级上·山东济宁·阶段检测）在一张边长10厘米的正方形内剪下一个最大的圆，这个圆的面积是( )平方厘米，剩下的面积是( )平方厘米。 【答案】 78.5 21.5 【思路引导】正方形内最大圆的直径等于正方形的边长，先根据半径＝直径÷2求出圆的半径，再根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，求出圆的面积，根据正方形面积公式S＝a2求出正方形面积，用正方形面积减去圆的面积，求出剩下部分的面积。 【规范解答】半径：10÷2＝5（厘米） 圆面积：3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 剩余面积：10×10−78.5＝21.5（平方厘米） 6．（25-26六年级上·浙江湖州·阶段检测）求阴影部分的面积。（单位：分米） 【答案】8平方分米 【思路引导】如图：，把左侧阴影部分的半圆割下来平均分成两份，平移补到右侧红色部分，拼接完成，阴影部分正好拼成一个小长方形。小长方形的长就是正方形的边长（半圆的直径），宽是半圆的半径。长方形的面积＝长×宽。 【规范解答】 （平方分米） 7．（26-27六年级上·辽宁·课后作业）在《九章算术》第一章“方田”中有这样的叙述：“今有圆田，周三十步，径十步。” (1)当时圆周率的精确度不高，试根据条件推算出当时圆周率的取值。 (2)以“周三十步”为条件，圆周率取3.14，求出“径”更精确的长度。（结果保留两位小数）（可以用计算器计算） 【答案】(1)3 (2)9.55步 【思路引导】根据圆的周长和直径的关系：圆的周长＝圆周率×直径，可推导出圆周率＝周长÷直径，直径＝周长÷圆周率，代入对应数据计算即可。 【规范解答】（1） 答：根据条件推算出当时圆周率的取值为3。 （2）（步） 答：求出“径”的长度为9.55步。 8．（25-26六年级上·安徽阜阳·期中）阅读材料，解决问题。 “绿化”，能够有效降噪。噪音，会危害人体健康，而植物能够吸收和减少来自车辆和交通的噪音。比如：4米宽的绿篱，可以减弱噪音6分贝；40米宽的林带，可以降低噪音10－15分贝；公园中，成片的树木可以降低噪音26－43分贝；绿化的街道相比未绿化的街道，可以降低噪音8－10分贝。 为了增加城镇的人均绿地面积，屋顶花园、屋顶绿化、屋顶养花逐步进入城市的建设规划。比如：某大型商场在建造过程中，请专业人员将一处露台改造成了“空中花园”，并设计了一个周长为18.84米的圆形花坛，形成了一处独特而具有艺术气息的景观。 (1)如果汽车发出的噪音是70分贝，旁边的绿化设施可降噪，那么，旁边的绿化设施可降噪多少分贝？ (2)“空中花园”里的圆形花坛，占地面积多少平方米？ 【答案】(1)14分贝 (2) 28.26平方米 【思路引导】（1）求绿化设施可降噪多少分贝，就是求70分贝的是多少，求一个数的几分之几用乘法计算。 （2）先根据圆的周长公式算出花坛的半径，再用圆的面积公式计算占地面积。 【规范解答】（1）（分贝） 答：旁边的绿化设施可降噪14分贝。 （2） 18.84÷3.14÷2＝3（米） （平方米） 答：“空中花园”里的圆形花坛，占地面积是28.26平方米。 9．（25-26六年级上·浙江湖州·阶段检测）小辰在探索圆的面积计算公式时，把一个圆剪拼成一个长约为31.4厘米的近似长方形（如下图），这个圆的半径是多少厘米？面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】10厘米；314平方厘米 【思路引导】将圆剪拼成近似长方形时，长方形的长等于圆周长的一半，也就是πr，宽等于圆的半径。先根据长方形的长（πr）求出圆的半径，再根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，求出圆的面积。 【规范解答】圆的半径：31.4÷3.14＝10（厘米） 圆的面积：3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 答：这个圆的半径是10厘米，面积是314平方厘米。 10．（26-27六年级上·全国·课后作业）一个圆形花坛，半径为3米，沿花坛的周围修一条1米宽的小路。这条小路的面积是多少平方米？ 【答案】21.98平方米 【思路引导】小路是围绕花坛的圆环，圆环内圆半径为花坛的半径3米，外圆半径等于花坛半径加小路宽度，用圆环面积公式即可求出小路面积。 【规范解答】（米） （平方米） 答：这条小路的面积是21.98平方米。 【能力提升】 1．（25-26六年级上·福建漳州·期中）画一个周长是15.7cm的圆时，圆规两脚间的距离应取（    ）cm。 A．2.5 B．5 C．10 D．15.7 【答案】A 【思路引导】圆规两脚间的距离是所画圆的半径，已知圆的周长，可利用圆的周长公式C＝2πr求出半径。 【规范解答】2×3.14＝6.28（cm） （cm） 所以圆规两脚间的距离应取2.5cm。 2．（25-26六年级上·福建漳州·期中）甲圆半径正好是乙圆的直径，则乙圆面积是甲圆面积的（    ）。 A． B． C．2倍 D．4倍 【答案】B 【思路引导】先明确甲乙两圆的半径关系，设乙圆的半径为，则甲圆的半径为。结合圆的面积公式分别计算两圆面积，再计算乙圆面积占甲圆面积的比例。 【规范解答】设乙圆的半径为，则乙圆的直径为，即甲圆的半径为。 乙圆面积： 甲圆面积： 乙圆面积是甲圆面积的： 所以乙圆面积是甲圆面积的。 3．（25-26六年级上·广东佛山·阶段检测）在一个周长为80cm的正方形纸片内，要剪一个半径最大的圆，这个圆的面积是（    ）平方厘米。 A．2512 B．1256 C．314 D．157 【答案】C 【思路引导】正方形内剪半径最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，正方形周长除以4等于正方形的边长（即圆的直径），再除以2等于圆的半径，最后计算圆的面积（圆的面积：S＝πr2）即可。 【规范解答】80÷4÷2 ＝20÷2 ＝10（厘米） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 即这个圆的面积是314平方厘米。 4．（25-26六年级上·福建漳州·期中）一个半圆的直径是10cm，它的周长是( )cm，面积是( )。 【答案】 25.7 39.25 【思路引导】明确半圆周长的构成：因为半圆的周长是圆周长的一半加上直径的长度，所以先根据圆的周长公式算出整圆周长，取一半后再加直径得到半圆周长。 计算半圆面积：因为半圆面积是整圆面积的一半，所以先由直径求出半径，再根据圆的面积公式算出整圆面积，除以2得到半圆面积。 【规范解答】求半圆的周长： （cm） 求半圆的面积： （cm²） 5．（25-26六年级上·福建泉州·期末）如图，正方形ABCD的面积是10cm2，那么小圆的面积是( )cm2，大圆的面积和小圆的面积比是( )。 【答案】 31.4 2∶1 【思路引导】根据图看出小圆半径＝小正方形边长，再根据圆的面积＝3.14×半径2，进而求出小圆的面积；再根据大正方形和小正方形的面积关系，求出大正方形面积，根据等面积，大正方形的面积＝三角形面积×2＝底×高÷2×2＝大圆直径×大圆半径÷2×2，据此求出大圆面积，再根据比的意义，用小圆面积∶大圆面积，即可解答。 【规范解答】小圆面积：（cm2） 大正方形面积：（cm2） 大正方形的面积＝（大圆半径×2）×大圆半径÷2×2＝40 大圆的半径2＝40÷2＝20 大圆的面积＝3.14×大圆的半径2＝3.14×20＝62.8（cm2） 62.8∶31.4＝2∶1 正方形ABCD的面积是10cm2，那么小圆的面积是31.4cm2；大圆的面积和小圆的面积比是2∶1。 6．（26-27六年级上·全国·课后作业）（圆的周长与面积）一个圆的半径是2厘米，这个圆的周长和面积相等。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】圆的周长是围成圆的曲线的长度，圆的面积是围成圆的平面的大小，二者是不同类的量，不能比较大小。 【规范解答】圆的周长单位是长度单位，面积单位是面积单位，二者不属于同类量，即使数值的计算结果相同，也无法比较大小，原题说法错误。 故答案为：× 7．（25-26六年级上·浙江金华·期中）求下图阴影部分的周长、面积（圆周率取3.14）。 【答案】米；平方米 【思路引导】该图形的周长为两条米的直边和一个完整圆的周长（）； 将左边凸出来的半圆移动到右边凹进去的半圆就合成一个长方形。根据长方形的面积长宽计算即可。 【规范解答】 （米） （平方米） 8．（25-26六年级上·福建漳州·期中）农场有一个半径3米的圆形菜地，现在周围向外扩宽2米，菜地面积比原来增加了多少平方米？ 【答案】50.24平方米 【思路引导】菜地扩宽后增加的部分是环形，计算增加的面积需用外圆面积减去原内圆面积，外圆半径为原半径与扩宽宽度的和。 【规范解答】外圆半径：（米） 增加的面积： ＝ 50.24（平方米） 答：菜地面积比原来增加了50.24平方米。 9．（25-26六年级上·山东德州·阶段检测）超市计划将3桶薯片用丝带捆扎在一起出售，店员们想出了两种包装方法。如果每个薯片桶的底面直径是8厘米，那么用哪种捆扎方法更节省丝带？请计算并说明理由。（接口处忽略不计） 【答案】方法二； 理由：方法一需用丝带长度：3.14×8＋8×4＝57.12（厘米），方法二需用丝带长度：3.14×8＋8×3＝49.12（厘米），49.12＜57.12，所以方法二更节省丝带。 【思路引导】方法一：左右两个半圆合起来是一个圆，所需丝带的长度＝圆的周长＋4条直径； 方法二：3个阴影扇形合起来是一个圆，所需丝带的长度＝圆的周长＋3条直径； 根据圆的周长公式C＝πd，代入数据计算求出两种捆扎方法所需丝带长度，再比较，得出哪种捆扎方法更节省丝带。 【规范解答】方法一： 3.14×8＋8×4 ＝25.12＋32 ＝57.12（厘米） 方法二： 3.14×8＋8×3 ＝25.12＋24 ＝49.12（厘米） 比较：49.12＜57.12   答：方法二更节省丝带。 10．（25-26六年级上·浙江金华·期中）一个正方形的羊圈，边长2.8米（如图）。A点是一条边的中点，把一只羊放到羊圈外的草地上吃草。主人用一根2米长的绳子，一端系在A点处，一端系住羊（打结处绳长忽略不计）。请在图上画出这只羊可吃到草的区域，并计算出面积。（圆周率取3） 【答案】，6.54平方米 【思路引导】羊的活动范围如图： 以A点为圆心、2米为半径，向羊圈外（正方形左侧）延伸的大半圆，这个半圆不会碰到正方形的上下两个角；A是边长2.8米的边的中点，所以A到这条边上下两个端点的距离都是2.8÷2＝1.4米，当羊绕到正方形这条边的上端、下端外侧时，绳子会被边角卡住，剩余绳长为2－1.4＝0.6米，此时羊的活动范围是分别以上下两个端点为圆心、0.6米为半径的圆的，根据圆的面积＝πr2，分别求出大半圆以及两个圆的面积再相加即可。 【规范解答】图略 ×3×22＋×3×（2－2.8÷2）2×2 ＝×3×4＋×3×（2－1.4）2×2 ＝×3×4＋×3×0.62×2 ＝×3×4＋×3×0.36×2 ＝6＋0.54 ＝6.54（平方米） 答：这只羊可吃到草的区域面积为6.54平方米。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 第四单元圆『举一反三知识讲练」 (能力提升版) 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+17个考点讲练展+真题难度分层演练共49题) 讲义简介丙容梳理 同学你好，该份讲义用于人教版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套 内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题， 常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人 教版六上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦」 目录指引丙容知晓 导图指引梳理脉络。 2 知识梳理温故知新........ 3 知识点一圆的认识.………… …3 知识点二圆的周长 .3 知识点三圆的面积..... 知识点四扇形… 4 考点讲练真题汇总… 高频考点一圆的概念及特点，... 高频考点二画圆…………… 高频考点三孤、圆心角、扇形的认识 ..5 高频考点四画扇形.… 高频考点五与圆相关的轴对称图形.7 第1页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三进义能力提升 高频考点六圆的周长 .8 高频考点七半圆的周长... 8 高频考点八圆的周长的应用。 高频考点九含圆的组合图形的周长. .9 高频考点十圆的面积..… 10 高频考点十一圆的面积的应用…… 10 高频考点十二圆环的面积。 11 高频考点十三求最大面积..... 11 高频考点十四含圆的组合图形的面积..… 12 高频考点十五方中圆和圆中方的面积问题.... 12 高频考，点十六用转化法求圆的组合图形的周长与面积 13 高频考点十七扇形的周长和面积....·.. 13 优选真题实战演练.… 14 【基础通关】 ........................14 【能力提升】 16 少导图指引梳理脉格 1.圆的认识 5.圆的输围与设计 圆的要点 圆心：0（定点）半径：((OA 。心定位置半大 用围见出指定半径的圆 圆的认识 A 直径：d《通过图心的战段】 。直半的2 关系：d=2r=号 喝长与直经成比制 设计离室 面与半经平方成正比 利用圆的对称性，半径和直径的关系， 特征圆是硅对称图形，有无款条对棕触。 $覆③ 绘图 与应用 实钱应用 井盖、车轮、摩天轮，建筑装饰等都与圆有关 2圆的周长 意义 围成圆的幽线的长， 圆的周长 公式 C=d或C=2 绿索 在网一个里，周长以直径的商是一个定的数 我们怒它叫件圆周率，用字母开表示。 圆 6解决问题 有=3.1415926- 解决问题 类型 应用 车轮行验距离，钟表指什特动。滚动同题等。 解题思路 想解影意一找到已如聚件和所求问围一 选排公式或方法一列式计算一检验答题 动通 3围的面积 常用公式 c=d=2mrd=gr=号 公式 S 4.圆与组合图形 -5=(R-P）S=×30 推导思路 单位换算 1m=100cm 1km=1000m 应用 求涂色部分面积，因环面积，鼻形面需等 国环面积：S=(R时-) 角雨面热：5：矿动 图少 典型倒题（附落案 3 ⑤求图中涂色部分的面朝。（单位：Cm) 解：大半面朝一小 脑：C=2r=2%314×5 解：r=号=号=4(em) C==314:7 篇：S=m(R-产) =号元x0-号 =314(em} S==314×4 2355em)-235(m ■50H-12.5mm37.5 m3.14g16=5024(cm3 5 cm5.cm .117.75(cm2) 苦：它的周长是31,4cm 。31ax1a。02Afm 答1它的面期是50.24cm, 答：汽车前通2.355m 答1圆环的面积是50.24cm 等：涂色部分的面积量117.75cm. 第2页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 知识梳理温故知新 知识点一圆的认识 1.圆的定义：一条线段绕一个端点旋转360度，另一个端点形成的图形叫圆。 2.圆心 B d 将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 圆心一般用字母0表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 3.半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。 半径一般用字母r表示，如图中的线段OA。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5.直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。如图中的线段BC。 6.轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的 这条直线叫做对称轴。 7.圆的对称轴：直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 知识点二圆的周长 1.圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2.圆周率：圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数，我们把圆的周长和直径的比 值叫做圆周率，用字母π表示，圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，π一般取3.14，世界上第 一个把圆周率算到小数点后第七位的人是我国的数学家祖冲之。 3.圆的周长公式。 C=πd或C=2r圆周长=π×直径，圆周长=nX半径×2 第3页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三进义能力提升 知识点三圆的面积 1.圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。 2.圆的面积公式：S=πr2或者S=π(d÷2)2或者S=π(C÷π÷2)2 3.在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 4.在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 5.一个环形，外圆的半径是R,内圆的半径是r,它的面积是S=R-r2 或S=π(R-r)。(其中R=r十环的宽度) 6.半圆周长=圆的周长的一半+半径×2 公式为：C=r+2r 半圆面积=圆的面积÷2 公式为：S=r2÷2 7.在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小 以上倍数的平方倍。 8.当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。 9.当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米； 当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 知识点四扇形 在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆 周长的几分之几。 考点讲练真题亿邑 高频考点一圆的概念及特点 【典例精讲】(25-26六年级上·福建厦门·阶段检测)下面关于圆的认识说法中，正确的有( 个。 ①两端都在圆上的线段中，直径最长。 ②圆的直径是半径的2倍。 ③把一个圆的半径扩大为原来的2倍，则直径扩大为原来的4倍。 第4页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三进义能力提升 ④画圆时，圆规两脚间的距离就是圆的直径。 A.1 B.2 C.3 D.4 【变式训练】（25-26六年级上·广东潮州·期末)一个直径为4厘米的圆形印章，在一张长30厘米、宽 18厘米的长方形纸上，最多能印出( )个完整的印章图案。 A.24 B.28 C.43 D.135 高频考点二画圆 【典例精讲】(26-27六年级上·全国·课后作业)仔细观察下面左边这幅美丽的图案，你能利用圆规和 三角尺在下面右边的方格里画出来吗？试试看！ 【变式训练】（人教版数学六年级上册6.8应用提升练习卷）如图，每个小方格的边长表示1Cm。请按要 求完成下列作图。 9 8 北 7 6 5 4 3 2 1 0123456789 (1)以点0(5,5)所在的位置为圆心，3cm长为半径画一个圆。 (2)在该圆中画一条半径r,使半径的一个端点位于圆心的北偏西45°方向上。 高频考点三弧、圆心角、扇形的认识 【典例精讲】(26-27六年级上·全国·课后作业)日晷是古代人民利用日影制作的计时仪器，由铜制的 指针和石制的圆盘组成。圆盘被等分为12个扇形，分别对应子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、 戌、亥十二时辰。每个时辰的扇形对应的圆心角的度数为( )。 A.10° B.15° C.309 D.459 第5页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三进义能力提升 【变式训练】(24-25六年级下·贵州铜仁·期末)关于圆和扇形的认识，下列各种说法中，有( 是正确的。 ①因为扇形的大小与圆心角的大小紧密相关，所以圆心角大的扇形面积一定大于圆心角小的扇形面积： ②所有半径都相等： ③在一个圆里面画的线段中，直径最长： ④圆有无数条对称轴，扇形和半圆都有无数条对称轴： ⑤半径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。 A.①②③④⑤ B.①②④ C.②④ D.③⑤ 高频考点四画扇形 【典例精讲】(25-26六年级上·河南安阳·期末)按要求在下边方格纸上画图，其中每个小方格的边长 为1cm。 (1)画一个长和宽的和是15cm,且长和宽的比是3：2的长方形。 (2)在你画的长方形中画一个最大的圆，再在圆中画一个圆心角是120°的扇形。 【变式训练】(25-26六年级上·河北保定·期末)动手操作，观察实践。 入户门 院子大门 (1)作图：在院子的东北角画一个圆心角是90°，半径是2厘米的扇形鱼池。（两面靠墙） (2)作图并计算：在鱼池外沿边缘设计一个宽1厘米的弧形鹅卵石小路，画在图上。计算一下鹅卵石小路的 第6页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 图上面积。 (3)作图并计算：在院子的西南角有一个圆形桌子，桌面面积3.14平方厘米，要想在这张桌面上放一个最 大的正方形棋盘，棋盘的图上面积是多少平方厘米画在图上。 高频考点五与圆相关的轴对称图形 【典例精讲】(26-27六年级上·全国·课后作业)为迎接“校园科技节”，星光小学面向全校同学征集 科技节徽标设计作品。作品需满足以下要点： ①主题突出：紧扣“科技节”主题，体现科技创新、探索未知的理念； ②图形元素：必须包含圆，且整体为轴对称图形，以增强视觉美感： ③命名创意：结合科技、探索等概念，为徽标配一个贴切的名字。 请你根据以上要点，在下面的方格纸中设计一幅作品。 【变式训川练】=一个长方形，其中三个角的顶点位置分别是(2,2)、(2,8)、(6,2)。 (1)请你在图中画出这个长方形。 (2)在上面画出的长方形中再画一个最大的圆，使所画的圆与这个长方形组成的组合图形只有1条对称轴。 8-----7---7-- 6 ---1-1---1---1 5 4 3 12345678910 第7页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三进义能力提升 高频考点六圆的周长 【典例精讲】（25-26六年级上·安徽合肥·阶段检测)一个长方形的长是100米，宽是40米，以宽为直 径在两侧作两个半圆，形成一个环形跑道，那么它一圈的周长是( 米。 A.200+40π B.280+40π C.280+20π 【变式训练】(25-26六年级上·陕西西安·期末)将一个圆平均分成若干份后再拼成一个近似的长方形， 这个长方形的周长比圆的周长增加了6cm,拼成的长方形的宽是( )cm,圆的面积是( )cm2。 高频考点七半圆的周长 【典例精讲】(26-27六年级上·全国·课后作业)甲、乙两只蚂蚁以相同的速度从M点爬到N点（如下 图)，蚂蚁甲选择了路线①，蚂蚁乙选择了路线②，两只蚂蚁谁先到达N点？( ② 2 cm 4 cm 6 cm A.蚂蚁甲 B.蚂蚁乙 C.同时到达 【变式训练】（25-26六年级上·安徽阜阳·期末)在校园环境优化讨论环节，同学们对一块长20米、宽 15米的长方形空地进行了景观设计。计划在空地内画一个最大的半圆，在半圆内种月季，其余空地种牡丹。 如果后期用篱笆把种月季的区域围起来，需要用多少米的篱笆？ 15米 20米 第8页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三进义能力提升 高频考点八圆的周长的应用 【典例精讲】（25-26六年级上·广东湛江·期中)一辆自行车车轮半径是4分米，车轮每分钟转100周， 要通过2512米的大桥，大约需要几分钟？ 【变式训练】(25-26六年级上·浙江杭州·期末)把三个半径为5厘米的圆柱形木棒用绳子捆成如下图 的形状。如果接头处忽略不计，捆一圈这根绳子至少要多长？ 高频考点九含圆的组合图形的周长 【典例精讲】(26-27六年级上·全国·课前预习)求下面图形的周长。 2cm 2cm 【变式训练】(26-27六年级上·全国·单元测试)求下列各图中阴影部分的周长。 1) (2) 6dm 4cm 第9页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三进义能力提升 高频考点十圆的面积 【典例精讲】（25-26六年级上·广东佛山·阶段检测)在一个周长为80Cm的正方形纸片内，要剪一个半 径最大的圆，这个圆的面积是( )平方厘米。 A.2512 B.1256 C.314 D.157 【变式训练】(26-27六年级上·全国·课后作业)如图，小林把一个圆平均分成16等份，剪拼成一个近 似的梯形。己知这个梯形的周长约为71.4cm,你能据此求出圆的面积吗？ 高频考点十一圆的面积的应用 【典例精讲】(25-26六年级上·安徽阜阳·期中)阅读材料，解决问题。 “绿化”，能够有效降噪。噪音，会危害人体健康，而植物能够吸收和减少来自车辆和交通的噪音。比如： 4米宽的绿篱，可以减弱噪音6分贝；40米宽的林带，可以降低噪音10一15分贝：公园中，成片的树木可 以降低噪音26一43分贝；绿化的街道相比未绿化的街道，可以降低噪音8一10分贝。 为了增加城镇的人均绿地面积，屋顶花园、屋顶绿化、屋顶养花逐步进入城市的建设规划。比如：某大型 商场在建造过程中，请专业人员将一处露台改造成了“空中花园”，并设计了一个周长为18.84米的圆形 花坛，形成了一处独特而具有艺术气息的景观。 (1)如果汽车发出的噪音是70分贝，旁边的绿化设施可降噪，那么，旁边的绿化设施可降噪多少分贝？ (2)“空中花园”里的圆形花坛，占地面积多少平方米？ 第10页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三进义能力提升 【变式训练】(25-26六年级上·浙江台州·期末)扫地机器人可以在一块长方形场地内任意行走，碰到 障碍物会自动转弯。如图，这个扫地机器人的底面是一个直径为40cm的圆盘。那么，机器人在扫地时底面 覆盖不到的面积为( ）cm2。 A.0 B.172 C.344 D.688 高频考点十二圆环的面积 【典例精讲】(25-26六年级上·四川达州·期中)一个直径为8m的圆形喷水池，在它周围修一条宽1m 的环形花带，求花带的面积( )m。 【变式训练】(2025六年级上·全国·专题练习)求阴影部分的面积。 5dm 4cm 10dm 高频考点十三求最大面积 【典例精讲】(24-25六年级上·河南郑州·期末)李叔叔要在一块长8米，宽6米的空地上铺设一个圆 形或半圆形鱼池，要使鱼池的占地面积尽可能大，请你帮他设计一下，在图中画一画，你建议李叔叔选择 哪个方案，为什么？ 方案一：圆形鱼池 方案二：半圆形鱼池 8米 8米 6米 6米 【变式训练】(24-25六年级上·全国·单元测试)如图所示，院子两堵墙的长度分别为5m和8m,墙外是 第11页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 一片草地。如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4，请画出这只小羊吃草的范围，标出相关数据。 5m 院子 8m A 2m 高频考点十四含圆的组合图形的面积 【典例精讲】(25-26六年级上·辽宁鞍山·阶段检测)求涂色部分的面积。（单位：米） 0 【变式训练】(24-25六年级上·重庆云阳·期末)下面各图中，阴影部分面积相等的是( )。 ① ② ③ A.只有①和②阴影部分面积相等 B.只有②和③阴影部分面积相等 C.①、②和③阴影部分面积都相等 D.都不相等 高频考点十五方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】(26-27六年级上·全国·随堂练习)计算阴影部分的面积。 10厘米 第12页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 【变式训练】(25-26六年级上·陕西西安·期末)一张可折叠的圆桌，直径是1.2米，折叠后变成了一 个正方形（如图），折叠后的桌面折叠部分是平方米。（得数保留两位小数） 1.2m 高频考点十六用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】(24-25六年级下·河北保定·期末)如图，空白部分是一个直径为6厘米的半圆，把整个 半圆绕点A逆时针旋转60°，此时点B旋转至点B',则阴影部分的面积是( )平方厘米。 B' 60 A 【变式训练】(24-25六年级上·北京海淀·期末)如图，已知正方形ABCD的边长为1厘米，求图中4个 弓形弧长之和及阴影部分面积。（π取3.14） 2B G 高频考点十七扇形的周长和面积 【典例精讲】求下列各图阴影部分的周长。（单位：cm) 30° (1) (2) 36 第13页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 【变式训练】(24-25六年级上·浙江温州·期末)用半径为1厘米的圆组合图形，第4幅图的阴影面积 是( )平方厘米。根据前4幅图的规律，第n幅图的阴影面积是( )平方厘米。 好孕3 第1幅 第2幅 第3幅 第4幅 优选真题实战演练 【基础通关】 1.(25-26六年级上·广东韶关·期中)在草地中心拴着一头牛，绳长3米，这牛最多吃到的面积是多少？ 正确的列式是( )。 A.3.14×32 B.3.14×3 C.2×3.14×32 D.2×3.14×32 2.(25-26六年级上·福建漳州·期中)在一个长5分米，宽3分米的长方形里画一个最大的圆，这个圆 的半径是( )分米。 A.5 B.3 C.2.5 D.1.5 3.(25-26六年级上·安微阜阳·期中)我国古代著名思想家、教育家墨子在2400多年前曾说：“小圆之 圆与大圆之圆同”。这句话中的“同”表示大小圆的( )相同。 A.周长 B.圆上任意一点到圆心的距离 C.圆心 D.周长除以圆内直径的商 4.(25-26六年级上·广东深圳·阶段检测)现用篱笆围一个半径为4米的圆形圈，这个圆形圈的占地面 积为( )平方米。 5.(25-26六年级上·山东济宁·阶段检测)在一张边长10厘米的正方形内剪下一个最大的圆，这个圆的 面积是( )平方厘米，剩下的面积是( )平方厘米。 6.(25-26六年级上·浙江湖州·阶段检测)求阴影部分的面积。（单位：分米） 4dm 第14页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 7.(26-27六年级上·辽宁·课后作业)在《九章算术》第一章“方田”中有这样的叙述：“今有圆田， 周三十步，径十步。” (1)当时圆周率的精确度不高，试根据条件推算出当时圆周率的取值。 (2)以“周三十步”为条件，圆周率取3.14，求出“径”更精确的长度。（结果保留两位小数）（可以用计 算器计算) 8.(25-26六年级上·安徽阜阳·期中)阅读材料，解决问题。 “绿化”，能够有效降噪。噪音，会危害人体健康，而植物能够吸收和减少来自车辆和交通的噪音。比如： 4米宽的绿篱，可以减弱噪音6分贝；40米宽的林带，可以降低噪音10一15分贝：公园中，成片的树木可 以降低噪音26一43分贝；绿化的街道相比未绿化的街道，可以降低噪音8一10分贝。 为了增加城镇的人均绿地面积，屋顶花园、屋顶绿化、屋顶养花逐步进入城市的建设规划。比如：某大型 商场在建造过程中，请专业人员将一处露台改造成了“空中花园”，并设计了一个周长为18.84米的圆形 花坛，形成了一处独特而具有艺术气息的景观。 (1)如果汽车发出的噪音是70分贝，旁边的绿化设施可降噪三，那么，旁边的绿化设施可降噪多少分贝？ (2)“空中花园”里的圆形花坛，占地面积多少平方米？ 9.(25-26六年级上·浙江湖州·阶段检测)小辰在探索圆的面积计算公式时，把一个圆剪拼成一个长约 为31.4厘米的近似长方形（如下图），这个圆的半径是多少厘米？面积是多少平方厘米？（π取3.14） 第15页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 10.(26-27六年级上·全国·课后作业)一个圆形花坛，半径为3米，沿花坛的周围修一条1米宽的小路。 这条小路的面积是多少平方米？ 【能力提升】 1.(25-26六年级上·福建漳州·期中)画一个周长是15.7cm的圆时，圆规两脚间的距离应取( ) cmo A.2.5 B.5 C.10 D.15.7 2.(25-26六年级上·福建漳州·期中)甲圆半径正好是乙圆的直径，则乙圆面积是甲圆面积的( A.月 B C.2倍 D.4倍 3.(25-26六年级上·广东佛山·阶段检测)在一个周长为80Cm的正方形纸片内，要剪一个半径最大的圆， 这个圆的面积是( )平方厘米。 A.2512 B.1256 C.314 D.157 4.(25-26六年级上·福建漳州·期中)一个半圆的直径是10cm,它的周长是( )cm,面积是 )cm2。 5.(25-26六年级上·福建泉州·期末)如图，正方形ABcD的面积是10cm',那么小圆的面积是( )cm', 大圆的面积和小圆的面积比是()。 6.(26-27六年级上·全国·课后作业)（圆的周长与面积）一个圆的半径是2厘米，这个圆的周长和面 积相等。(）（判断对错） 7.(25-26六年级上·浙江金华·期中)求下图阴影部分的周长、面积（圆周率取3.14）。 第16页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义能力提升 10米 6米 8.(25-26六年级上·福建漳州·期中)农场有一个半径3米的圆形菜地，现在周围向外扩宽2米，菜地 面积比原来增加了多少平方米？ 9.(25-26六年级上·山东德州·阶段检测)超市计划将3桶薯片用丝带捆扎在一起出售，店员们想出了 两种包装方法。如果每个薯片桶的底面直径是8厘米，那么用哪种捆扎方法更节省丝带？请计算并说明理 由。（接口处忽略不计） 方法一 方法二 10.(25-26六年级上·浙江金华·期中)一个正方形的羊圈，边长2.8米（如图）。A点是一条边的中点， 把一只羊放到羊圈外的草地上吃草。主人用一根2米长的绳子，一端系在A点处，一端系住羊（打结处绳 长忽略不计)。请在图上画出这只羊可吃到草的区域，并计算出面积。（圆周率取3） A 第17页共17页null