拓展03 相似模型（A、8模型，母子型，旋转等模型）（重难点讲义）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了相似模型的知识体系，将A字型、8字型、母子型等七大模型按“定义-核心结论-推导依据-典型应用”分层呈现，并用对比表格区分正A与斜A、正8与斜8等易混模型，清晰展现知识脉络与内在联系。 讲义亮点在于“模型识别-综合应用”的递进式练习设计，如K字型模型结合矩形折叠求线段长，培养几何直观与推理意识。典例涵盖基础计算与实际问题（如拍照“大长腿”原理），变式题分层设置，基础生可掌握模型结论，优秀生能探究综合证明，助力教师实施精准化分层教学。

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展03 相似模型 （A、8模型，母子型， 旋转等模型) 攻 重难目标 1.能够识别常见相似几何模型，准确找出模型中的对应角、对应边，建立比例关系。 2.掌握A字型、8字型、母子相似等典型模型的结论，可直接用于快速解题与推导。 3.学会在复杂图形中拆分、补全基础相似模型，排除多余线段的干扰。 4.可以结合勾股定理、特殊平行四边形知识完成相似综合计算与证明，规范书写步骤。 重难知识 1.A字型相似模型： 模型定义 因图形轮廓与字母“A"相似得名，是三角形相似最基础的构型，分为*正A字型（平行型）和斜A字型 (非平行型)*两类，两个三角形共用顶角作为公共角。 核心结论 正A字型（平行型） 条件：在△ABC中，DEIBC,D在AB边上，E在AC边上： 结论：△ADE一△ABC,相似比k=AD=AE=DE AB AC BC 拓展：对应高、对应中线、对应角平分线的比均等于相似比，面积比等于相似比的平方。 斜A字型（反A型) 条件：∠A为公共角，且满足∠ADE=LC(或∠AED=LB); 结论：△ADE一△ACB,对应边成比例 AD_AE_DE AC AB BC' 满足乘积式AD·AB=AE·AC。 推导依据 正A字型：由平行线性质得同位角相等，结合公共角相等，通过“两角分别相等的两个三角形相似”判定； 斜A字型：通过两组角对应相等（公共角+一组等角）直接判定相似。 典型应用 三角形内平行线的边长、比例计算；利用公共角构造相似证明线段乘积式；结合动点的相似存在性问题。 1/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.8字型相似棋型(X型相似)： 模型定义 因图形轮廓与数字“8”（或字母“X”)相似得名，两个三角形以交点为公共顶点，对顶角相等，分为*正 8字型（平行型）和斜8字型（非平行型）*两类。 核心结论 正8字型（平行型） 条件：ABIICD,AC与BD交于点O: 结论：△AOB一△COD,相似比k=AO=B0=AB OC OD CD 斜8字型（反8型） 条件：∠AOB=LCOD（对顶角相等)，且∠A=LC(或∠B=∠D); 结论：△AOB一△COD,对应边成比例 AO_BOAB 满足乘积式AO·OD=BO·OC。 CO DO CD 推导依据 正8字型：由平行线性质得内错角相等，结合对顶角相等，通过AA判定相似； 斜8字型：通过对项角相等+一组角对应相等，用AA判定三角形相似。 典型应用 梯形对角线分线段比例计算：交叉线段的长度与比例求解：平行四边形、特殊平行四边形中的相似拆解。 3.母子型相似模型（射影定理模型） 模型定义 直角三角形斜边上的高，将原三角形分成两个小直角三角形，且两个小三角形与原大三角形两两相似，因 “大三角形套小三角形”形似母子得名，是直角三角形相似的核心模型。 核心结论 在R△ABC中，∠ACB=90'CD⊥AB于点D: 三相似关系：△ACD一△ABC一△CBD: 射影定理（三大乘积结论） AC=AD·AB BC2=BD·AB CD=AD·BD 2/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 常用推论 边的比例：AC2AD: BC2 BD 面积恒等式：AC·BC=AB·CD(两直角边乘积=斜边x斜边上的高)。 推导依据 由同角的余角相等，推导出两组锐角对应相等，结合直角相等，通过AA判定三个三角形两两相似；再由 相似三角形对应边成比例，变形得到射影定理的乘积式。 典型应用 直角三角形中已知两边求高、求线段长度：证明平方乘积等式；结合勾股定理的综合计算与证明。 4.旋转相似模型（手拉手相似模型） 模型定义 两个具有公共顶点的相似三角形，绕公共顶点旋转任意角度，对应顶点的连线构成新的相似三角形，是相 似与旋转结合的综合模型：相似比为1时，即为手拉手全等模型。 核心结论 基础条件：△ABC一△ADE,公共顶点为A,满足“共顶点、等顶角、对应边成比例”，即AB-AC AD AE ∠BAC=∠DAE。 核心结论 衍生相似：△ABD一△ACE(两边成比例且夹角相等)； 拉手边比例： BD AB CEAC,等于原三角形的相似比： 夹角定值：线段BD与CE的夹角等于原三角形的顶角∠BAC。 特殊特例：当相似比为1时，△ABD≈△ACE,即旋转全等模型。 推导依据 由已知相似得对应边成比例、对应角相等，通过等式性质∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,得到 ∠BAD=∠CAE,利用“两边成比例且夹角相等”判定衍生三角形相似。 典型应用 旋转背景下的线段比例、角度计算；结合特殊三角形、特殊平行四边形的综合证明：动点轨迹与线段最值 问题。 3/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.【字型相似棋型（一线三等角模型）： 模型定义 在同一条直线上分布三个相等的角，角的顶点均在该直线上，两侧角的另一边相交构成两个相似三角形： 因90°直角型图形形似字母“K”得名，又称一线三等角模型。 核心结论 通用结论：直线I上依次有B、C、D三点，满足∠B=∠ACE=∠D=a,则△ABC一△CDE。 三大常考类型 90°直角型(K型)：正方形、矩形背景最常见，两直角三角形全等或相似： 60°/120°型：等边三角形边上的三等角结构： 任意角型：等腰三角形底边上的三等角结构。 中点特例：若点C为线段BD的中点，则△ABC一△CDE一△ACE,AC、EC分别平分一组对应角。 推导依据 利用三角形外角定理，∠ACD=∠B+∠A=∠ACE+∠ECD,结合∠B=∠ACE,推导出 ∠A=∠ECD,再通过AA判定两个三角形相似。 典型应用 正方形/矩形中的垂直相似问题：等腰、等边三角形边上的动点相似：平面直角坐标系中构造K型求点坐标。 6.三平行模型： 模型定义 三条互相平行的直线被两条直线所截，或梯形内平行于两底的线段，结合A字型、8字型相似形成的比例 模型，是平行线分线段成比例定理的进阶应用。 核心结论 基础定理型：三条平行线，1，lg,截两条直线于A、B、C和D、E、F,则AS=-DE,AB=DE BC EF'AC DF 倒数型结论（梯形三平行）：若ABICDEF,E在AD上，F在BC上，则。+1=1 AB CD EF (经典倒数和结 论)。 4/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 加权比例型：若AE:ED=m:m,则线段EF的长度满足EF=n~AB+m:CD,当(m:n=1:I)时，即为 m+n 梯形中位线， EF=AB+CD 2 推导依据 基础型：由平行线分线段成比例定理直接得出： 倒数型：分别构造A字型相似△DEF一△DAB、△AEF一△ADC,将EF用AB、CD表示后相加化简得 到。 典型应用 梯形内平行线段的长度计算；多条平行线的比例线段求解；结合倒数关系的线段长度证明。 7.三角形内接矩形模型： 模型定义 在三角形内部作内接矩形，矩形的一边落在三角形底边上，另外两个顶点分别在三角形另外两条边上，结 合相似三角形的性质研究矩形边长、面积关系，是相似与代数方程、二次函数结合的高频综合模型。 核心结论 设△ABC的底边BC长为a,底边对应的高AH长为h,内接矩形DEFG的一边DE在BC上，矩形的高（宽） 为X: 核心比例关系：由△AGF一△ABC,相似比等于对应高的比，即h-X-GE 因此矩形的长 GF=a(h-x) h 面积最值结论：知形面积S三X·GF三QX牛Qx,当X书时，面积取得最大值ah,等于原三角形面积 h 4 的一半。 推导依据 由矩形对边平行，得到GFBC,进而判定△AGF一△ABC,利用“相似三角形对应高的比等于相似比” 建立比例等式，推导线段与面积关系。 典型应用 三角形内接矩形的边长、面积计算；求内接矩形的最大面积；结合材料裁剪、铁皮加工的实际优化问题。 5/25 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 打 重难题型 题型01A字型相似 【典例】如图，已知△ABC和△CEF是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠CEF=90°，且E是中线AD 的中点，连接BF,若AB=4,则线段BF的长为() B D 2 A. 2 B.2 c.V2 0.32 2 【变式】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，四边形CDEF是正方形，AC=15,BC=10,AF交DE 于点G. G (1)求正方形CDEF的边长； (2)求EG的长. 题型02用数轴上的点表示有理数 【典例】综合与实践：如何拍出大长腿的效果？ 【数学眼光】如图ā，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条 【数学思维】(1)针孔相机的成像原理：如图b,由于光的直射，人的足部A与头部B通过小孔O的成像 分别在A,B处，线段AB的像是线段AB,AB上点C的像是点C若ABAB求证：AC=AC: BC BC 【数学语言】(2)如图c,小美站立在A处，摄影师给小美仰拍.小美的身高AB的像为AB,腿部AC 的像为AC.试说明能拍出大长腿效果的理由， 6/25 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (b) (c) 【变式】如图1，在四边形ABDE中，∠ABC=∠BDE,点C在边BD上，且AC‖DE,AB‖CE,点 F在边AC上，且AF=CE,连接BF,DF,DF交CE于点G. B B 图1 图2 图3 (1)求证：BF=DF: (2)如图2，若∠ACE=∠CDF,求证：CE·CF=BF·DG: 3倒如图3，若延长BF怡好经过点E,求BC的值。 CD 题型03数轴上两点之间的距离 【典例】如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，BE=FD,AF的延长线交BC的延长线 于点H,AE的延长线交DC的延长线于点G. (1)求证：△AFD一△GAD. (2)如果DF2=CF·CD,求证：BE=CH. 【变式】△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC,点E为BD的中点，连接AE并延长交BC于点F,且有 AF=CF,过F点作FH⊥AC于点H. 7/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：△ADE一△CDB: (2)求证：AE=2EF; (3)若FH=3,求BC的长. 题型04旋转相似 【典例】综合与实践 【问题呈现】 (1)如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD,CE.求证：BD=CE 【类比探究】 (2)如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，连接BD,CE,则 BD」 CE 【拓展提升】 3)如图3，△AC-△ADE,∠ABC=∠ADE=90,连接BD,CE,若A5-2 BC 4 ①吠 CE的值， ②延长CE交BD于点F,则sin∠BFC=_, 图1 图2 图3 【变式】在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，其中AB=AC,DE=AE, 点A为公共顶点，∠BAC=∠AED=90°.如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转， 8/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 使AD、AE与边BC的交点分别为M、N,点M不与点B重合，点N不与点C重合. B D 图① 图② (1)求证：△BAN~△CMA: (2)己知等腰直角三角形的斜边长为4. ①请求出BNCM的值； ②若BM=CN,请求出MN的长. 题型05K字型相似 【典例】 如图，矩形ABCD中，EF⊥AB,将△ABH以AH为折痕对折，使点B的对应点G落在线段EF上， EF与折痕AH的交点为点I,其中AF=2,BF=4,则线段GI的长度为() E G 8V2 B.4 c.3V2 0.72 3 2 【变式】如图，在正方形ABCD中，P是CD边上的中点，过点P作PF⊥AP,交AB的延长线于点F,交 BC于点E C E ⊙ F 9/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：△APD一△PEC: )求C」 BF的值 题型06三平行模型 【典例】在△OAB中，OA=OB,点C在直线AB上，BC=3AC,点E为OA边的中点，连接OC,射线BE 交OC于点G, 则2瓷的值为一 【变式】如图，在直角梯形ABCD中，ADBC,AB⊥AD,AB=4,tan∠ADB=2,点E为边CD上一 点，且∠EBC=∠ABD,延长BE、AD交于点F (1)求AF的长； (2)设BC=X,△BDE的面积为y,求y与x的函数关系式并写出定义域： (3)联结AE、CF,延长AE交CF于点G,若△EFG是直角三角形，直接写出BC的长， 题型07三角形内接矩形 【典例】如图，在△ABC中，BC=12,高AD=6,正方形EFGH一边在BC上，点E,F分别在AB,AC 上，AD交EF于点N,求AN的长. B D G 【变式】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AB=8.点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度 沿边AB向点B运动.过点P作PDLAB交折线AC-CB于点D,以PD为边在PD右侧作正方形PDEF. 设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S,点P的运动时间为t秒(0<t<4)· (1)当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为（用含t的代数式表示）， (2)当点E落在边BC上时，求t的值. 10125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式. (4)作射线PE交边BC于点G,连结DF.当DF=4EG时，直接写出t的值. C 练 分层训练 【巩固训练】 1.如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,正方形DEFG的顶点E、F在△ABC内，顶点D、G 分别在AB、AC上，AD=AG=2.5,则DG的长为() A.3 B.2 C.3 o. 2.如图在△ABC中，AB=AC=10,BC=9,点D是边BC上一点，BD=4,点E在边AC上.若 ∠ADE=∠C,则CE的长为() D A.0.5 B.1 c.1.5 D.2 3.如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点F为边AC上任意一点，BF交AD于点E,且 DE=专4E,时 EF的值为() B 11/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A 8.3 4 c 0. 3 4.如图，在△ABC中，D,E是边AB的三等分点，F,G是边AC的三等分点，若△ADF的面积为m, 则四边形EBCG与△AEG的面积差是() D A.4m B.3m C.2m D.m 5.如图，P为▣ABCD的边AD上的一点，E,F分别为PB,PC的中点，△PEF,△PDC,△PAB的 面积分别为S,S,S.若S=3,则S1+S2的值是() D C E B A.24 B.12 C.6 D.10 6.如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC,BE交于点F.若△AEF的面积为2，则 △ABC的面积为) D B A.8 B.10 C.12 D.14 7.在平面直角坐标系xO中，矩形O1BC的点A在函数y=x>0的图象上，点C在函数y=4x<0 X 1 12125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的图象上，若点B的横坐标为 则点A的坐标为() A22 c. D. 2, 8.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15,BC=9,点P,Q分别在BC,AC上，CP=3x, CQ=4x(0<x<3).把△PCQ绕点P旋转，得到△PDE,点D落在线段PQ上.若点D在∠BAC的平 分线上，则CP的长为() D A.5 B.5.5 c.6 D.6.5 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，放置边长分别为3,4，x的三个正方形，则x的值为() C B A.5 B.6 C.7 D.8 10,如图，在矩形ABCD中，CD=4,B是BC的中点，连接AC,tan∠ABB三，P是AD边上一动点，沿 过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D处，当△APD是直角三角形时，PD的值为() C. +30 或7 。号或9 11.将两个直角三角形按如图所示的方式叠放在一起，若∠ABC=∠BAD=90°，∠ADB=45°， 13125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ACB=30,AC与BD相交于点E,则A 的值等于 C 45o 30 B C 2.如图，正方形ABCD的边长为2，BE平分∠DBC交DC于E,F是BC延长线上一点，且CF=CE, BE延长线交DF于G,则BG·EG的值是 G 13.如图，在△ABC中，点D在BC上，BD=2CD=2,连接AD,∠ADC=2∠BAC=60°，则线段 AD的长为 B 14.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4,点E、F分别在线段AD、DC上（点E与 点A、D不重合)，若∠BEF=120°，AE=x、DFy,则y关于x的函数关系式为 D B 15.在等腰△ABC中，顶角A=36°，点D在一腰AC上，连接BD,线段BD与底边BC的长相等.若 BC=6.则AD=;若AB=6,则AD= 、6 16.如图1，在△MBC中，AB=AC,BC=24,anC=立点P为BC边上一点，则点P与点A的最短距 离为：如图2，连接AP,作∠APQ,使得∠APQ=∠B,P9交AC于Q,则当BP=11时，AQ的长 14125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为 A B 图1 图2 17.如图，在边长为4正方形ABCD中，以AB为腰向正方形内部作等腰△ABE,点G在CD上，且 CG=3DC.连接BG并延长，与AE交于点F,与AD延长线交于点H.连接DE交BH于点K.若 AE2=BFBH,则S△CDE=· 18.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,AB=10,点D是AB的中点，点E在AB上，AE=18 连接CD、CE. (1)求证：△AEC一△ACB: 2cos∠ECD的值为 19.如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向点D运动，以BE为边，在 BE的上方作正方形BEFG,连接CG.请探究： F D H C E B 15125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)线段AE与CG是否相等？请说明理由 (2)若△ABE一△DEH,请给出证明；若设AE=x,DH=y,则当x取何值时，y最大？ (3)连接BH,当点E运动到AD的何位置时，△BEH一△BAE？请直接写出结论. F D H ABCD BEFG 4 正方形 和正方形 ∴.∠A=∠D=∠FEB=90°， ∴.∠1+∠2=90°，∠2+3=90°， .∠1=∠3. 又，∠A=∠D, ∴.△ABE一△DEH, 20.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在边BC,AC上，∠ADE=∠ABC. B D (1)求证：△ABD一△DCE: (2)如果AB=8,BC=6,AE=7,求DC的长. 21.(1)问题发现：如图1，在△ABC中，∠ABC=,将边AC绕点C顺时针旋转得到线段CE,在 射线BC上取点D,使得∠CDE=a,线段BC与DE的数量关系是； (2)类比探究：如图2，若c=90°，作∠ACE=90°，且CE=号AC,其他条件不变，写出变化后线段 BC与DE的数量关系，并给出证明： (3)拓展延伸：如图3，正方形ABCD的边长为6，点E是边AD上一点，且AE=2,把线段CE逆时针旋 转90°得到线段EF,连接BF,直接写出线段BF的长 16125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 22.如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，直线AP交CD于E,PF⊥AE交BC于点F,连接 AF交BD于M Y. P E M F (1)判断△APF的形状，并说明理由： (2)连接EF,求EF:PM的值 23.如图，△ABD中，∠A=90°，AB=6cm,AD=12cm.某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以 1cm/s的速度向点B匀速运动：同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm5的速度向点A匀速运动，运 动的时间为. 阿值时，△AN的面积是AAB (2)当以点A,M,N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值. M B D 24.己知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE=AB,点F在AE的延长线上， CE和DF交于点M,BC和DF交于点N,联结BD: (1)求证：△BNWD∽△CNM; (2)如果AD=ABAF,求证：CMAB=DCN. 17/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25.矩形ABCD中，AB=CD=3cm,AD=BC=4cm,AC是对角线，动点P从点A出发沿AC方向向点C 匀速运动，速度为1cm/s:动点Q从点C出发沿CD方向向点D匀速运动，速度为2cm/5.过点P作BC的 垂线段PH,运动过程中始终保持PH与BC互相垂直，连接HQ交AC于点O.若点P和点Q同时出发， 设运动的时间为t(s)(0<t<1.5),解答下列问题： D Q ■ H (1)求当t为何值时，四边形PHCQ为矩形； (2)是否存在一个时刻，使HQ与AC互相垂直？如果存在请求出t值；如果不存在请说明理由： (3)是否存在一个时刻，使矩形ABCD的面积是四边形PHCQ面积的- ，如果存在请求出t值，如果不 75 存在请说明理由。 【强化训练】 1.如图，正方形ABCD中，点F为BC边上一点，四边形AEFD为平行四边形；点M为对角线BD边上一 点，AM⊥AE,连接CM交DF于点N;已知AE=9,MN=3,则正方形ABCD的边长为() B 18125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 号 9V26 0. 45V26 A.8 13 26 2.如图，在△ABC中，DE垂直平分边BC,垂足为点D,交AB于点E,点G为CD的中点，连接AG与 CE交于点F.若AG=AC,则下列结论错误的是(). D G A 能- c.A矩豆 CF7 D. EF4 CF5 3.如图，在正方形ABCD中，点F在BC边上（不与点B、C重合），点E在CB的延长线上，且BE=BF, 连接AC、AE、AF,过点E作EG⊥AF于点G,分别交AB、AC、DC于点M、H、N.则下列结论： ①MN=AF:②∠EAH=∠EHA:®EN·BF=EC~HN:④若BF:FC=3:4,则tan∠FAC=2 :⑥ 图中共有5个等腰三角形.其中正确的结论是() 2 M G EB市 A.①②③⑤ B.①②④⑤ C.①②③④ D.①③④⑤ 4.如图，边长为10的等边△ABC中，点D在边AC上，且AD=3,将含30°角的直角三角板( ∠F=30)绕直角顶点D旋转，DE、DF分别交边AB、BC于P、Q,连接PQ.当EF‖PQ时，DQ 长为() 19125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.6 B.39 C.10 D.63 在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm,0sB=专，动点D从点A出发沿者射线AC的方 1cm的速度移动，动点E从点B出发沿着射线BA的方向以每秒2cm的速度移动.已知点D和点E同时出发， 设它们运动的时间为t秒.连接BD.下列结论正确的有()个 ①BC=4: ②当AD=AB时，tan∠ABD=2: ®以点B为圆心、BE为半径画⊙B,当t时，DE与⊙B相切 ④当∠CBD=∠ADE时，t=25 1 A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BA=CA=6V10,D为BC边的中点，点E是CA延长线上一点， 把4CDB沿DB翻折，点C落在C处，EC与AB交于点R,连接BC:当A-=》 时，BC'的长为 20125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A A号5 B.6V10 C. D.6V/2 5 7.如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针转到△ABC,AB,AC分别交对角线BD于点E, F,若AE=4,则EF·ED的值为() D B B A.8 B.12 C.16 D.20 8.如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E为BC上一点，且BE=2,点M为直线AE上一个动点， 以DM为直角边，在DM下方作Rt△DMW,其中∠MDN=9O,sin∠DMN=,连接EN,则线段 EN长的最小值为 M 9.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为0,5)，P和Q分别是x轴正半轴和线段AP上的动点，满足 AQ·AP=10,连接OQ,则sin∠AOQ的最大值是 O P 10.如图，在Rt△AOB中，∠OAB=30°，将Rt△AOB绕直角顶点O旋转至△COD,点A、B的对 21125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 应点分别为C、D.连接AD、BC、AC、BD,AC与BD交于点E.给出下面四个结论：① AC=3BD;②AC⊥BD;③SAAOD=2SAoc;④在旋转过程中，若BO=5,则以A、B、C、D为 顶点的四边形面积最大值为503.上述结论中，正确结论的序号有 6 D 11.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=1,BC=10,点D是BC边上的动点.连接AD,作 Rt△ADE,如图所示，∠DAE=90,∠EDC=∠BAD,连按BE.则AD+号BE的最小值是 12.如图，矩形ABCD中，AB=8,AD=4,E为边AD上一个动点，连接BE,取BE的中点G,点G绕点E 逆时针旋转90°得到点F,连接CF,在点E从A到D的运动过程中，点G的运动路径= ,△CEF 面积的最小值是 D G 13.如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF,以AF为对角线作正方形AEFG,边FG与 AC相交于点H,连接DG.以下四个结论： ①∠EAB=∠BFE=∠DAG: ②△ACF∽△ADG: ③AH·AC=V2AE2; ④DG⊥AC. 22125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 其中正确的是，（写出所有正确结论的序号） G H E B F 14.【问题背景】通过轴对称的性质，我们可知：对称轴上的任意一点到对称点的距离相等.利用这个结 论，我们可以找到任意一对成轴对称关系的图形的对称轴. D' D D (1)【操作】如图①，点M和点N关于直线1对称，请利用直尺和圆规作出直线1（保留作图痕迹，不必写作 法)，并在直线1上取一点P(点P不与点M、点N共线)、连结线段PM和线段PN,直接写出PM和 PN的数量关系： (2)【探究】如图②，在矩形ABCD中，AB=3,AD=3V2,E、F分别为边AD、BC上的动点，且 DE=2BF,将EF右侧的矩形沿BF所在直线进行翻折，CD的对应边记为CD,连接BD.交EF于点 G,试判断EG与FG的数量关系，并说明理由： (3)【拓展】如图③，在【探究】的条件下，连结AC,，点E、F在运动过程中，直接写出AC的最小值. 15.完成以下问题 图1 图2 图3 (1)【问题发现】如图1，E是正方形ABCD的边AB上一点，连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得 到线段DF,连接CF,EF交CD于点G.若AB=2BE=4,则线段DG的长是： (2)【类比应用】如图2，E是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转 60°得到线段DF,连接CF,EF,EF交CD于点G.若∠ABC=60°，AC=3AE=3,求线段DG的长： 23/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)【拓展探究】如图3，在四边形ABCD中，AD‖BC,且AB=AD=CD=2,∠ADC=120°，E是射 线BA上的一个动点，连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转120°得到线段DF,连接CF,EF,射线EF 交射线DC于点G.当∠=2∠ADE时，请直接写出线段CF的长. 16.综合与探究 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加 辅助线.所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角 形的有关知识来解决问题的方法. 如图1，在Rt△ABC中，取BC的中点O,连接AO并延长，使得AO=OD,连接BD、CD,四边形 ABDC为平行四边形. D 图1 图2 图3 备用图 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将Rt△ABC保持 固定，Rt△ADE绕点A按逆时针方向旋转，其中∠ACB=∠AED=90°，若∠ABC=30°，当点E落 在AB边上时，连接AE并延长，使得CE=EF，,连接AF、BF,判断四边形ACBF的形状，并说明理由. 深入探究： (2)如图3，当Rt△ADE绕点A按逆时针方向旋转90时，连接CD、BE,取BE的中点P,连接AP交CD 于点Q,试判断AP和CD的数量关系和位置关系，并说明理由. 拓展延伸： (3)当Rt△ADE绕点A按逆时针方向旋转90时，连接BE,M是射线AC上的一点，连接DM,过点A作 DM的垂线交BE于点G,若G是BE的三等分点，请直接写出 AM 的值. AC 17.【问题情景】 (1)如图①，小红把三角板EFG(∠GFE=30°)放置到矩形ABCD中，使得顶点E、F、G分别落在 AD、CD、AB上，则线段DE与AG的数量关系为 【变式探究】 24125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图②，小红把三角板EFG(∠GFE=30°)放置到矩形ABCD中，使得顶点E、F、G分别在 AD、BC、AB边上，若GA=6,AE=8,求BG的长： 【拓展应用】 (3)如图③，小红把△EFG放到平行四边形ABCD中，使得顶点E、F、G分别在AD、BC、AB边上， AE_6 AB11' ∠FEG=∠BAD,以F为顶点作∠CFM=∠C,交CD于点P,交AD的延长线于点M,直 接写出 EF的值. C G G E 4 E D 图① 图② 图③ 18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,BC=6,点D为AB中点，动点P从点B出发，沿 B-C-A方向向终点A运动.连接DP,将DP绕点D顺时针旋转90°得到线段DQ,连接PQ A P B 备用图 (1)线段AC的长为_： (2)当DP⊥BC时，求点Q到AC的距离： (3)当点P在BC边上运动，PQ被△ABC的边平分时，△DPB的面积是_； (4)当直线DQ将△ABC面积分成1：3两部分时，直接写出PB的长. 25125 拓展03 相似模型（A、8模型，母子型，旋转等模型） 1. 能够识别常见相似几何模型，准确找出模型中的对应角、对应边，建立比例关系。 2. 掌握A字型、8字型、母子相似等典型模型的结论，可直接用于快速解题与推导。 3. 学会在复杂图形中拆分、补全基础相似模型，排除多余线段的干扰。 4. 可以结合勾股定理、特殊平行四边形知识完成相似综合计算与证明，规范书写步骤。 1. A字型相似模型： 模型定义 因图形轮廓与字母“A”相似得名，是三角形相似最基础的构型，分为**正A字型（平行型）和斜A字型（非平行型）**两类，两个三角形共用顶角作为公共角。 核心结论 正A字型（平行型） 条件：在中，DE∥BC，D在AB边上，E在AC边上； 结论：，相似比 ； 拓展：对应高、对应中线、对应角平分线的比均等于相似比，面积比等于相似比的平方。 斜A字型（反A型） 条件：∠A为公共角，且满足∠ADE=∠C（或∠AED=∠B）； 结论：，对应边成比例 ，满足乘积式 。 推导依据 正A字型：由平行线性质得同位角相等，结合公共角相等，通过“两角分别相等的两个三角形相似”判定； 斜A字型：通过两组角对应相等（公共角+一组等角）直接判定相似。 典型应用 三角形内平行线的边长、比例计算；利用公共角构造相似证明线段乘积式；结合动点的相似存在性问题。 2. 8字型相似模型（X型相似）： 模型定义 因图形轮廓与数字“8”（或字母“X”）相似得名，两个三角形以交点为公共顶点，对顶角相等，分为**正8字型（平行型）和斜8字型（非平行型）**两类。 核心结论 正8字型（平行型） 条件：AB∥CD，AC与BD交于点O； 结论：，相似比 。 斜8字型（反8型） 条件：∠AOB=∠COD（对顶角相等），且∠A=∠C（或∠B=∠D）； 结论：，对应边成比例 ，满足乘积式 。 推导依据 正8字型：由平行线性质得内错角相等，结合对顶角相等，通过AA判定相似； 斜8字型：通过对顶角相等+一组角对应相等，用AA判定三角形相似。 典型应用 梯形对角线分线段比例计算；交叉线段的长度与比例求解；平行四边形、特殊平行四边形中的相似拆解。 3. 母子型相似模型（射影定理模型） 模型定义 直角三角形斜边上的高，将原三角形分成两个小直角三角形，且两个小三角形与原大三角形两两相似，因“大三角形套小三角形”形似母子得名，是直角三角形相似的核心模型。 核心结论 在中，，于点D： 三相似关系：； 射影定理（三大乘积结论） 常用推论 边的比例：； 面积恒等式：（两直角边乘积=斜边×斜边上的高）。 推导依据 由同角的余角相等，推导出两组锐角对应相等，结合直角相等，通过AA判定三个三角形两两相似；再由相似三角形对应边成比例，变形得到射影定理的乘积式。 典型应用 直角三角形中已知两边求高、求线段长度；证明平方乘积等式；结合勾股定理的综合计算与证明。 4. 旋转相似模型（手拉手相似模型） 模型定义 两个具有公共顶点的相似三角形，绕公共顶点旋转任意角度，对应顶点的连线构成新的相似三角形，是相似与旋转结合的综合模型；相似比为1时，即为手拉手全等模型。 核心结论 基础条件：，公共顶点为A，满足“共顶点、等顶角、对应边成比例”，即，。 核心结论 衍生相似：（两边成比例且夹角相等）； 拉手边比例：，等于原三角形的相似比； 夹角定值：线段BD与CE的夹角等于原三角形的顶角。 特殊特例：当相似比为1时，，即旋转全等模型。 推导依据 由已知相似得对应边成比例、对应角相等，通过等式性质，得到，利用“两边成比例且夹角相等”判定衍生三角形相似。 典型应用 旋转背景下的线段比例、角度计算；结合特殊三角形、特殊平行四边形的综合证明；动点轨迹与线段最值问题。 5. K字型相似模型（一线三等角模型）： 模型定义 在同一条直线上分布三个相等的角，角的顶点均在该直线上，两侧角的另一边相交构成两个相似三角形；因90°直角型图形形似字母“K”得名，又称一线三等角模型。 核心结论 通用结论：直线l上依次有B、C、D三点，满足，则。 三大常考类型 90°直角型（K型）：正方形、矩形背景最常见，两直角三角形全等或相似； 60°/120°型：等边三角形边上的三等角结构； 任意角型：等腰三角形底边上的三等角结构。 中点特例：若点C为线段BD的中点，则，AC、EC分别平分一组对应角。 推导依据 利用三角形外角定理，，结合，推导出，再通过AA判定两个三角形相似。 典型应用 正方形/矩形中的垂直相似问题；等腰、等边三角形边上的动点相似；平面直角坐标系中构造K型求点坐标。 6. 三平行模型： 模型定义 三条互相平行的直线被两条直线所截，或梯形内平行于两底的线段，结合A字型、8字型相似形成的比例模型，是平行线分线段成比例定理的进阶应用。 核心结论 基础定理型：三条平行线，截两条直线于A、B、C和D、E、F，则，。 倒数型结论（梯形三平行）：若AB∥CD∥EF，E在AD上，F在BC上，则（经典倒数和结论）。 加权比例型：若，则线段EF的长度满足 ；当时，即为梯形中位线，。 推导依据 基础型：由平行线分线段成比例定理直接得出； 倒数型：分别构造A字型相似、，将EF用AB、CD表示后相加化简得到。 典型应用 梯形内平行线段的长度计算；多条平行线的比例线段求解；结合倒数关系的线段长度证明。 7. 三角形内接矩形模型： 模型定义 在三角形内部作内接矩形，矩形的一边落在三角形底边上，另外两个顶点分别在三角形另外两条边上，结合相似三角形的性质研究矩形边长、面积关系，是相似与代数方程、二次函数结合的高频综合模型。 核心结论 设的底边BC长为，底边对应的高AH长为，内接矩形DEFG的一边DE在BC上，矩形的高（宽）为： 核心比例关系：由，相似比等于对应高的比，即，因此矩形的长 。 面积最值结论：矩形面积 ，当时，面积取得最大值，等于原三角形面积的一半。 推导依据 由矩形对边平行，得到GF∥BC，进而判定，利用“相似三角形对应高的比等于相似比”建立比例等式，推导线段与面积关系。 典型应用 三角形内接矩形的边长、面积计算；求内接矩形的最大面积；结合材料裁剪、铁皮加工的实际优化问题。 题型01 A字型相似 【典例】如图，已知和是等腰直角三角形，其中，且E是中线的中点，连接，若，则线段的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，延长到点G，使，连接，首先求出，，证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，延长到点G，使，连接 ∵是等腰直角三角形， ∴ ∵E是中线的中点 ∴， ∵， ∴ ∴ ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了相似三角形和全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 【变式】如图，在中，，四边形是正方形，，交于点G． (1)求正方形的边长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关判定定理的内容即可求解； （1）证推出，设，则，根据即可求解 ； （2）证，推出，求得，即可求解 ； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即正方形的边长为； （2）解：由（1）得：， ∴； ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 题型02用数轴上的点表示有理数 【典例】综合与实践：如何拍出大长腿的效果？ 【数学眼光】如图，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条． 【数学思维】（1）针孔相机的成像原理：如图，由于光的直射，人的足部与头部通过小孔的成像分别在处，线段的像是线段上点的像是点．若，求证：； 【数学语言】（2）如图，小美站立在处，摄影师给小美仰拍．小美的身高的像为，腿部的像为．试说明能拍出大长腿效果的理由． 【答案】 （1）证明：如图， ， ，， ， ． ； （2）解：若照片中的腿部与上半身的比值大于它们实际的比值（即，则能拍出大长腿的效果． 理由：过点作交于点，连接交于点， 摄影师仰拍， 是△的外角． ． 过点作的平行线交线段于点． ， 由（1）得． ， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）易证，，即可得证； （2）依据题意证即可，过点作交于点，连接交于点，过点作的平行线交线段于点．易得，则，再根据，即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 【变式】如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 【答案】(1) 证明： 在和中， 又 （SAS） 四边形为平行四边形 (2) 证明： 又 ，即 ． 又 ，即 (3) 【分析】（1）证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出，则可得出结论；（2）证明，得出，证明，得，则得出结论；（3）证明，得出，设，解方程求出，则可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3） ， ． 设，则有 解得（负值舍去） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似三角形的判定和性质是本题解题的关键． 题型03数轴上两点之间的距离 【典例】如图，在菱形中，点E，F分别在边上，，的延长线交的延长线于点H，的延长线交的延长线于点G． (1)求证：． (2)如果，求证：． 【答案】(1) 证明：四边形是菱形， ． 又， ． ， ∴， ． 又 ． (2) 证明 ． ， ． ． ． 【分析】本题考查了三角形全等、三角形相似与菱形综合问题，掌握三角形相似的几何模型——母子型及中间比解题的关键． （1）利用菱形性质证明，进而得到即可得证； （2）由得到，再利用得到，通过作为中间比即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式】中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】 证明：（1）， ， ， ， 在和中，， ； （2）点为的中点， ， 由（1）已证：， ， 设，则，， ， （等腰三角形的三线合一）， ， 又， ， 即； （3）4． 【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据相似三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后根据平行线分线段成比例定理即可得证； （3）先根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得的长，再根据相似三角形的判定可得，然后利用相似三角形的性质可求出的长，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】证明：（1） 略 （2） 略 （3）由（2）已证：， ， ， ， ，即， 解得， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 由（2）可知，设，则， ， 解得或（不符题意，舍去）， ， 则在中，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 题型04旋转相似 【典例】综合与实践 【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则 【拓展提升】 （3）如图3，，，连接，，若． ①求的值； ②延长交于点，则 ． 【答案】 （1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）；（3）①，②． 【分析】（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （3）①利用勾股定理求得，利用相似三角形的性质和相似三角形的判定解答即可； ②利用相似三角形的性质，对顶角相等的性质和三角形的内角和定理得到，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）①∵，， ∴设，则， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． ②设，交于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式】在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，其中，，点为公共顶点，．如图②，若固定不动，把绕点逆时针旋转，使、与边的交点分别为、，点不与点重合，点不与点重合． (1)求证：； (2)已知等腰直角三角形的斜边长为4． ①请求出的值； ②若，请求出的长． 【答案】(1) 证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝45°， 同理，∠DAE＝45°， ∵∠BAN＝∠BAM+∠DAE＝∠BAM+45°， ∠AMC＝∠BAM+∠B＝∠BAM+45°， ∴∠BAN＝∠AMC， ∴△BAN∽△CMA； (2)①8②4﹣4 【分析】（1）利用三角形外角的性质可证等于，再由 等于 ，可证明结论． （2）①首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由 相似于 ，即可得出结论．②先求 等于 ，再求 等于 ，从而得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：①∵等腰直角三角形的斜边长为4， ∴AB＝AC＝， ∵△BAN∽△CMA， ∴ ， ∴， ∴BN•CM＝8， 故BN•CM的值为8； ②∵BM＝CN， ∴BN＝CM， ∵BN•CM＝8， ∴BN＝CM＝， ∴MN＝BN+CM﹣BC＝， 故MN的长为． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用前面的结论解决新的问题是解题的关键． 题型05 K字型相似 【典例】 如图，矩形中，将以为折痕对折，使点B的对应点G落在线段上，与折痕的交点为点I，其中，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折的性质等知识点，作，可推出四边形、四边形、四边形均是矩形；由翻折可知：，得到；推出，得，求出；证得，即可求解； 【详解】解：作，如图所示： 则四边形、四边形、四边形均是矩形， ∴，， 由翻折可知：， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C 【变式】如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1) 证明：∵边形是正方形， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键点在于利用“同角的余角相等”证明，以及利用正方形用比例关系表示，本题的易错点在于找不到角的关系，比例式列错． （1）在正方形ABCD中，找到得两个余角，利用同角的余角相等，得出一对角相等，再利用已知直角相等，即可证明； （2）设正方形边长为，利用第（1）问的相似和中点，用比例关系表示，从而表示出，再证明，即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）设正方形的边长为， ∵是边上的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故． 题型06三平行模型 【典例】在△OAB中，OA＝OB，点C在直线AB上，BC＝3AC，点E为OA边的中点，连接OC，射线BE交OC于点G，则的值为_____． 【答案】或 【分析】可分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案． 【详解】解：如图1，点在线段上， 过作交于， 点为边的中点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图2，点在线段的延长线上， 过作交于， 点为边的中点，， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：或． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理的运用，熟练利用平行线分线段成比例定理是解题关键． 【变式】如图，在直角梯形中，,, ,，点为边上一点，且，延长交于点． (1)求的长； (2)设，的面积为，求与的函数关系式并写出定义域； (3)联结，延长交于点，若是直角三角形，直接写出的长． 【答案】(1) (2) ； (3)的长为或或6或2. 【分析】（1）由已知容易，再证明，可得，利用相似三角形的性质得出，由此即可求出； （2）先证出，根据相似三角形的性质可得，再根据三角形的面积公式得出，然后根据求出的取值范围，由此即可得； （3）若是直角三角形，有三种情况，①当时，先利用解直角三角形求出，，继而可得，再证明可得，由此即可求出，②当时，利用得出，由此即可求出，③当时，延长、交于点，设，可得，，，由此求出，再由，可得，求得，在中，由列方程求出，，即可得出． 【详解】（1）解：∵，,， ∴，， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴. （2）解：过点作的高，如图1， ∵，， ∴， ∴ 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）解：若是直角三角形，有三种情况： ①当时，如图2， 由（1）可知：，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ②当时，如图3， 由（1）可得：， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ③当时，延长、交于点，如图4，设， ∵， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， ∴ 解得：，， ∴或， 综上，的长为或或6或2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、函数关系式、解直角三角形、一元二次方程的应用等知识，综合性强，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键． 题型07三角形内接矩形 【典例】如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【答案】 【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长， 四边形是正方形， ， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 【变式】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧作正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）． （1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为　 　（用含t的代数式表示）． （2）当点E落在边BC上时，求t的值． （3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式． （4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值． 【答案】（1）2t；（2）；（3）；（4）t＝或 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：∠A＝∠ADP＝45°，即AP＝DP＝2t； （2）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：AB＝AP+PF+FB，即2t+2t+2t＝8，可求t的值； （3）分两种情况讨论，根据重叠部分的图形的形状，可求S与t之间的函数关系式； （4）分点E在△ABC内部和△ABC外部两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求t的值． 【详解】（1）∵∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝45°＝∠B，且DP⊥AB， ∴∠A＝∠ADP＝45°， ∴AP＝DP＝2t， 故答案为2t， （2）如图， ∵四边形DEFP是正方形， ∴DP＝DE＝EF＝PF，∠DPF＝∠EFP＝90°， ∵∠A＝∠B＝45°， ∴∠A＝∠ADP＝∠B＝∠BEF＝45°， ∴AP＝DP＝2t＝EF＝FB＝PF， ∵AB＝AP+PF+FB， ∴2t+2t+2t＝8， ∴t＝； （3）当0＜t≤时，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为正方形PDEF的面积， 即S＝DP2＝4t2， 当＜t≤2时，如图，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为五边形PDGHF的面积， ∵AP＝DP＝PF＝2t， ∴BF＝8﹣AP﹣PF＝8﹣4t， ∵BF＝HF＝8﹣4t， ∴EH＝EF﹣HF＝2t﹣（8﹣4t）＝6t﹣8， ∴S＝S正方形DPFE﹣S△GHE， ∴S＝4t2﹣×（6t﹣8）2＝﹣14t2+48t﹣32， 综上所述，S与t之间的函数关系式为. （4）如图，当点E在△ABC内部，设DF与PE交于点O， ∵四边形PDEF是正方形， ∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°， ∴∠DFP＝∠ABC＝45°， ∴DF∥BC， ∴， ∵DF＝4EG， ∴设EG＝a，则DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO， ∴PG＝5a， ∴， ∴， ∴t＝， 如图，当点E在△ABC外部，设DF与PE交于点O， ∵四边形PDEF是正方形， ∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°， ∴∠DFP＝∠ABC＝45°， ∴DF∥BC， ∴， ∵DF＝4EG， ∴设EG＝a，则DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO， ∴PG＝3a， ∵， ∴， ∴t＝， 综上所述：t＝或. 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平行线分线段成比例和重叠部分的面积等知识.先求特殊位置时对应的t值，做到不重不漏，再利用数形结合的思想，确定重叠部分图形的形状是解题的关键． 【巩固训练】 1．如图，在中，，，正方形的顶点、在内，顶点、分别在、上，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明出与相似，再利用相似三角形对应边成比例即可求出结论． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ． 2．如图在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】先根据等腰三角形的性质得到，然后根据三角形的外角得到，即可得到，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 3．如图，在中，点D是边的中点，点F为边上任意一点，交于点E，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判断及性质，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形，过点作，证明出，找出与的关系即可求解． 【详解】解：过点作，如下图： 点D是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 4．如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．由点、、、分别是边、的三等分点，可得，，即可证得，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得的值，继而求得答案． 【详解】解：点、、、分别是边、的三等分点， ，， ， ， 的面积是， 四边形与的面积是和， 四边形与的面积差是， 故选：D． 5．如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，，，的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（　　）    A．24 B．12 C．6 D．10 【答案】B 【分析】过P作平行于，由与平行，得到平行于，可得出四边形与都为平行四边形，进而确定出与面积相等，与面积相等，再由为的中位线，利用中位线定理得到为的一半，且平行于，得出与相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出的面积，而面积＝面积+面积，即为面积+面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积． 【详解】解：过P作交BC于点Q，由，得到，    ∴四边形与四边形都为平行四边形， ∴，， ∴，， ∵为的中位线， ∴，， ∴，且相似比为1：2， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键． 6．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( ) A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】先利用平行四边形的性质得，AD=BC，由可判断△AEF∽△CBF，根据相似三角形的性质得，然后根据三角形面积公式得，则． 【详解】∵平行四边形ABCD ∴，AD=BC ∵E为边AD的中点 ∴BC=2AE ∵ ∴∠EAC=∠BCA 又∵∠EFA=∠BFC ∴△AEF∽△CBF 如图，过点F作FH⊥AD于点H，FG⊥BC于点G， 则， ∴， ∵△AEF的面积为2 ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，属于同步基础题． 7．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的横坐标为，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造K字形相似，由面积比得出相似比为2，从而得出A点坐标与C点坐标关系，而P是矩形对角线交点，故P是AC、BO的中点，由坐标中点公式列方程即可求解． 【详解】解：过C点作CE⊥x轴，过A点作AF⊥x轴， ∵点A在函数的图象上，点C在函数的图象上， ∴，， ∵CE⊥x轴， ∴，， ∵在矩形OABC中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设点A坐标为，则点C坐标为， 连接AC、BO交于点P，则P为AC、BO的中点， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴点A坐标为， 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，关键是构造相似三角形，根据反比例函数的系数k的几何意义，由面积比得到相似三角形的相似比，从而确定点A与点C的坐标关系． 8．如图，中，，，，点，分别在，上，，．把绕点旋转，得到，点落在线段上．若点在的平分线上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据计算可知，结合定理两边成比例且夹角相等的三角形相似证明△PQC∽△BAC，再根据相似三角形的性质得出∠CPQ=∠B，由此可得出PQ∥AB；连接AD，根据PQAB和点D在∠BAC的平分线上可证∠ADQ=∠DAQ，由此可得AQ＝DQ，分别表示AQ和DQ由此可得方程12﹣4x＝2x，解出x，即可求出CP． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，AB＝15，BC＝9， ∴AC＝＝＝12． ∵＝＝，＝＝， ∴＝． ∵∠C＝∠C， ∴△PQC∽△BAC， ∴∠CPQ＝∠B， ∴PQAB； 连接AD， ∵PQAB， ∴∠ADQ＝∠DAB． ∵点D在∠BAC的平分线上， ∴∠DAQ＝∠DAB， ∴∠ADQ＝∠DAQ， ∴AQ＝DQ． ∵PD＝PC＝3x，QC=4x ∴在Rt△CPQ中，根据勾股定理PQ=5x. ∴DQ＝2x． ∵AQ＝12﹣4x， ∴12﹣4x＝2x，解得x＝2， ∴CP＝3x＝6． 故选C． 【点睛】本题考查几何变换——旋转综合题，勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，熟练掌握定理并能灵活运用是解决此题的关键． 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据已知条件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN，可得OE：PN=OM：PF，再利用正方形的性质把它们的直角边用含x的表达式表示出来，列方程，解方程即可得到x的值． 【详解】解：如图，标注字母， ∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形， 由正方形可得： 同理： ∴△CEF∽△OME∽△PFN， ∴OE：PN=OM：PF， ∵EF=x，MO=3，PN=4， 结合正方形的性质可得：OE=x-3，PF=x-4， ∴（x-3）：4=3：（x-4）， ∴（x-3）（x-4）=12， 即， ∴x=0（不符合题意，舍去）或x=7． 故选：C． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用x的表达式表示出对应边． 10．如图，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中点，连接AE，tan∠AEB，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，当是直角三角形时，PD的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得到AB＝CD，∠B＝90°，根据勾股定理求得AE，当△APD'是直角三角形时，分两种情况分类计算即可； 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠B＝90°， ∵CD＝4，tan∠AEB，∴BE＝3， 在Rt△ABE中，AE， ∵E是BC的中点， ∴AD＝6， 由折叠可知，PD＝PD'， 设PD＝x，则PD'＝x，AP＝6﹣x， 当△APD'是直角三角形时， ①当∠AD'P＝90°时， ∴∠AD'P＝∠B＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠PAD'＝∠AEB， ∴△ABE∽△PD'A， ∴， ∴， ∴x， ∴PD； ②当∠APD'＝90°时， ∴∠APD'＝∠B＝90°， ∵∠PAE＝∠AEB， ∴△APD'∽△EBA， ∴， ∴， ∴x， ∴PD； 综上所述：当△APD'是直角三角形时，PD的值为或； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键． 11．将两个直角三角形按如图所示的方式叠放在一起，若，，，与相交于点，则的值等于__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质、所对的直角边等于斜边的一半等，熟知等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质得出，再结合所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理求出，最后通过平行相似证明即可解决问题． 【详解】 解：∵，， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 _____． ​ 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的有关知识.由等腰三角形的判定与性质知是等腰三角形的中垂线.根据相似三角形 的对应边成比例、等腰三角形的性质列出比例式，即 ，最后在直角中利用勾股定理来求的值． 【详解】，四边形是正方形, ， 又∵平分交于, ，, ， 在 和 中, ， ， 即 ， 即 , 即 ， 故答案为： ． 13．如图，在中，点D在BC上，，连接AD，，则线段AD的长为__________．    【答案】 【分析】过作，交的延长线于，过作，交的延长线于，可求，，设，可证，由即可求解． 【详解】解：如图，过作，交的延长线于，过作，交的延长线于，   ， ， ， ， ， ， ，， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，(舍去)， ， 故答案：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质，并会根据题意作出辅助线是解题的关键． 14．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为________ 【答案】 【分析】根据题意证明，列出比例式即可求得y关于x的函数关系式 【详解】解：∠A=∠D=120°，∠BEF=120°， AB=6、AD=4，AE=x、DF=y， 即 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，函数解析式，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 15．在等腰中，顶角，点D在一腰上，连接，线段与底边的长相等．若．则________；若，则________． 【答案】 6 【分析】根据等边对等角和外角的性质证明∠ABD=∠A，得到AD=BD=BC=6；设AD=x，再证明△ABC∽△BDC，得到，解之即可． 【详解】解：∵∠A=36°，AB=AC， ∴∠ABC=∠C=（180°-36°）÷2=72°， ∵BD=BC， ∴∠BDC=∠C=72°， ∵∠BDC=∠A+∠ABD， ∴∠ABD=72°-36°=36°， ∴∠ABD=∠A， ∴AD=BD， ∵BD=BC=6， ∴AD=6； 若AB=AC=6， 设AD=x，则BD=BC=x， ∴CD=6-x， ∵∠BDC=∠ABC=72°，∠C=∠C， ∴△ABC∽△BDC， ∴，即， 解得：x=或（负值舍去）， 经检验：x=是原方程的解， ∴AD=， 故答案为：6，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，外角的性质，解分式方程和一元二次方程，解题的关键是灵活运用等边对等角，从而证明三角形相似． 16．如图1，在△ABC中，AB＝AC，BC＝24，tanC＝．点P为BC边上一点，则点P与点A的最短距离为　____；如图2，连接AP，作∠APQ，使得∠APQ＝∠B，PQ交AC于Q，则当BP＝11时，AQ的长为_____． 【答案】 5 2 【分析】第①空：过点A作AM⊥BC，根据AB＝AC，AM⊥BC，BC＝24，先求出BM，再根据tanC＝＝tanB， 即可求出AM； 第②空：根据前面数据求出AB，AC，过点A作AN⊥BC，先求出PN，在Rt△APN利用勾股定理求出AP，再证明△APQ∽△ACP即可求出AQ． 【详解】解：如图1，过点A作AM⊥BC，垂足为M， ∵AB＝AC，AM⊥BC， ∴BM＝CM＝BC＝12， 又∵tanC＝＝tanB， ∴AM＝BM•tanB＝12×＝5， ∴AB＝AC＝＝＝13， 如图2，过点A作AN⊥BC，垂足为N，在Rt△APN中，PN＝PC﹣CN＝24﹣11﹣12＝1，AN＝5， ∴AP2＝PN2＋AN2＝1＋25＝26， 在△APQ与△ACP中， ∵∠APQ＝∠C，∠PAQ＝∠CAP， ∴△APQ∽△ACP， ∴＝， ∴AP2＝AQ•AC， 即26＝AQ×13， ∴AQ＝2， 故答案为：5，2． 【解答】本题考查了等腰三角形、直角三角形，三角函数和相似三角形等知识点，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键． 17．如图，在边长为4正方形中，以为腰向正方形内部作等腰，点在上，且．连接并延长，与交于点，与延长线交于点．连接交于点．若，则____． 【答案】 【分析】作于，交于，根据勾股定理可得BG，再由相似三角形的性质可得BH，继而判定，并求得BF的长，由全等三角形的性质可得ME，利用线段的和差求得EN，进而由三角形面积公式即可求解． 【详解】作于，交于，如图，则， ∵， ∴，， 在中，， ∵， ∴． ∴即解得 ∵，而， ∴，即， 而， ∴． ∴， ∴BF⊥AE． ∴， ∵∠BME＝EFB，∠MBE＝∠FEB，BE＝EB， ∴△BME≌△EFB（AAS）， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线求得关键线段的长解决问题． 18．如图，在中，，，，点是的中点，点在上，，连接． (1)求证：； (2)的值为 ． 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质等，熟练掌握相似判定条件和解直角三角形的方法是解题的关键． （1）先通过计算得到，加上为公共角，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）先根据斜边上的中线性质得到，再根据相似三角形的性质得到，接着利用勾股定理计算出，然后根据余弦的定义求解． 【详解】（1）略 （2）∵点是的中点， ∴． ∵， ∴． ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴． 19．如图，正方形的边长为1，点是边上的动点，从点沿向点运动，以为边，在的上方作正方形，连接．请探究： (1)线段与是否相等？请说明理由． (2)若，请给出证明；若设，，则当取何值时，最大？ (3)连接，当点运动到的何位置时，？请直接写出结论． 【答案】(1)， 理由： ∵四边形，都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 如图， ∵正方形和正方形， ∴， ∴，， ∴． 又∵， ∴， 当时，有最大值 (3)点运动到的中点 【分析】本题考查了考查正方形的性质、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质等，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）先证明，即可用证明即可得出结论； （2）先利用两角对应相等的两个三角形相似证明，进而可得，即可求出函数解析式，继而求出最值； （3）要使，需，又因为，所以，即，所以当E点是的中点时，． 【详解】（1）解：， 理由： ∵四边形，都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图， ∵正方形和正方形， ∴， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴，即 ， ∴ ， ∴ 当时，有最大值为； （3）解：当E点是的中点时，． 理由如下： ∵ E是中点， ∴ ， ∴ ． 又∵， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 又∵， ∴． 20．如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ． (2)的长为2或4． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 21．（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）； （2）． 证明：同（1）可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3） 【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 故答案为： （2）略 （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，， 由（1）同理可证，， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握一线三等角全等和相似模型，并熟练运用是解题关键． 22．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，直线AP交CD于E，PF⊥AE交BC于点F，连接AF交BD于M． (1)判断△APF的形状，并说明理由； (2)连接EF，求EF:PM的值． 【答案】(1) △APF是等腰直角三角形，理由如下： 如图，过点P作PG⊥BC于点G，交AD于点H， ∴GH=CD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADB=45°，AD=CD， ∵∠PHD=90°， ∴∠HPD=45°， ∴HD=HP， ∴AH=GP， ∵PF⊥AE， ∴∠APF=90°， ∴∠APH+∠FPG=90°， ∵∠PAH+∠APH=90°， ∴∠PAH=∠FPG， 在△APH和△PFG中， ， ∴△APH≌△PFG（ASA）， ∴AP=FP， ∴△APF是等腰直角三角形； (2)EF：PM=2：． 【分析】（1）过点P作PG⊥BC于点G，交AD于点H，根据正方形的性质证明△APH≌△PFG，即可得结论； （2）将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABN，利用全等三角形的性质证明∠AFN=∠AFE，然后证明△APM∽△AFE，可得EF：PM=AP：AF，根据△APF是等腰直角三角形，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：略． （2）解：如图，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABN， ∵∠ADE=∠ABN=90°，∠ABC=90°， ∴∠ABC+∠ABN=180°， ∴C，B，N共线， ∵∠EAF=45°， ∴∠NAF=∠FAB+∠BAN=∠FAB+∠DAE=45°， ∴∠FAE=∠FAN， 在△FAN和△FAE中， ， ∴△FAN≌△FAE（SAS）， ∴∠AFN=∠AFE， ∵∠FMB=∠AMP，∠MBF=∠PAM=45°， ∴∠BFM=∠APM， ∴∠APM=∠AFE， ∴△APM∽△AFE， ∴EF：PM=AP：AF， 由（1）知：△APF是等腰直角三角形， ∴AF：AP=2：， ∴EF：PM=2：． 【点睛】本题属于几何综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考题的压轴题． 23．如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts． （1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值． 【答案】（1），；（2）t＝3或 【分析】（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案； （2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值． 【详解】解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm， ∴△AMN的面积＝AN•AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2， ∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm ∴△ABD的面积为AB•AD＝×6×12＝36， ∵△AMN的面积是△ABD面积的， ∴6t﹣t2＝， ∴t2﹣6t+8＝0， 解得t1＝4，t2＝2， 答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm， 若△AMN∽△ABD， 则有，即， 解得t＝3， 若△AMN∽△ADB， 则有，即， 解得t＝， 答：当t＝3或时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是解题的关键． 24．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 【答案】 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， 而BE=AB， ∴BE=CD， 而BE∥CD， ∴四边形BECD为平行四边形， ∴BD∥CE， ∵CM∥DB， ∴△BND∽△CNM； （2）∵AD2=AB•AF， ∴AD：AB=AF：AD， 而∠DAB=∠FAD， ∴△ADB∽△AFD， ∴∠1=∠F， ∵CD∥AF，BD∥CE， ∴∠F=∠4，∠2=∠3， ∴∠3=∠4， 而∠NMC=∠CMD， ∴△MNC∽△MCD， ∴MC：MD=CN：CD， ∴MC•CD=MD•CN， 而CD=AB， ∴CM•AB=DM•CN． 【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM； （2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质． 25．矩形ABCD中，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝4cm，AC是对角线，动点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；动点Q从点C出发沿CD方向向点D匀速运动，速度为2cm/s．过点P作BC的垂线段PH，运动过程中始终保持PH与BC互相垂直，连接HQ交AC于点O．若点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s）（0＜t＜1.5），解答下列问题： （1）求当t为何值时，四边形PHCQ为矩形； （2）是否存在一个时刻，使HQ与AC互相垂直？如果存在请求出t值；如果不存在请说明理由； （3）是否存在一个时刻，使矩形ABCD的面积是四边形PHCQ面积的，如果存在请求出t值；如果不存在请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，；（3）存在， 【分析】（1）当四边形为矩形时，，利用相似三角形的性质求出，，构建方程求解即可； （2）证明，由相似的性质得出，，由此构建方程求解即可； （3）根据矩形的面积是四边形面积的，构建方程求解即可． 【详解】解：（1），， ， 由题可得：，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，即， ，， 当四边形为矩形时，， ， 解得：， 当时，四边形为矩形； （2）存在一个时刻，使， 当时，， ， ， ， ， ，即， ， 解得：， 当时，； （3）存在， 由题意得：， 解得：或（舍去）， 当时，矩形的面积是四边形面积的． 【点睛】本题属于四边形综合问题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相关的知识点是解决本题的关键． 【强化训练】 1．如图，正方形中，点为边上一点，四边形为平行四边形；点为对角线边上一点，，连接交于点；已知，，则正方形的边长为（   ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】延长、分别交、于点、，利用平行四边形的性质和全等的性质进行倒角，可得，通过等角对等边得到，进而通过证明，可得和的长度，求得和的相似比，得到和的关系，最后通过设未知数利用勾股定理建立方程进行求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， 且， ∴， ∴， 且， ∴， ∴， 又∵是直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 又∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得（舍负）， ∴正方形边长为． 2．如图，在中，垂直平分边，垂足为点，交于点，点为的中点，连接与交于点．若，则下列结论错误的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直平分边，推出，，，结合，推出和，根据性质可判断选项的值． 【详解】∵垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分，点为的中点， ∴， ∴， ∵设，， ∴， ∴． 选项A正确，不符合题意． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴选项B正确，不符合题意． ∵， ∴设，则，， ∴． ∴． ∴选项C正确，不符合题意． ∴． ∴选项D错误，符合题意． 故选：D． 3．如图，在正方形中，点在边上（不与点B、C重合），点E在的延长线上，且，连接、、，过点作于点，分别交、、于点、、．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（   ） A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了正方形性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解三角形等，解题关键是利用垂直证明角的关系，从而证明三角形全等或相似． 容易证明，从而可得，进而可得，从而可得②正确，过点作，交于点，构造，结合四边形是平行四边形可得，可得①正确，再利用角关系证明，，可得，从而得出结论③正确，过点作，设，由可得，解三角形求出，，从而求出，故结论④正确，再判定不一定是等腰三角形，得出等腰三角形有、、、，共四个，故结论⑤错误． 【详解】解：如图1，过点作，交于点， ∵在正方形中， ∴，，，， ∴、是等腰三角形， 又∵，， ∴， ∴，，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设， ∵，， ∴，故结论②正确； ∴，即是等腰三角形， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，故结论①正确， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，故结论③正确， 过点作，如图2； 设，由可得，， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论④正确， ∵，， ∴不一定等于，， ∴ 不一定是等腰三角形， 故等腰三角形有、、、，共四个，故结论⑤错误， 综上所述：正确结论有①②③④． 故选C． 4．如图，边长为10的等边中，点D在边上，且，将含角的直角三角板（）绕直角顶点D旋转，分别交边于P、Q，连接．当时，长为（　　）    A．6 B． C．10 D．6 【答案】B 【分析】证明，由相似三角形的性质得出，求出，过点Q作于点M，由勾股定理可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点Q作于点M，    ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质．先证明是解题的关键． 5．如图，在中，．动点从点出发沿着射线的方向以每秒1cm的速度移动，动点从点出发沿着射线的方向以每秒2cm的速度移动．已知点和点同时出发，设它们运动的时间为秒．连接．下列结论正确的有（ ）个 ①； ②当时，； ③以点为圆心、为半径画，当时，与相切； ④当时，． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用锐角三角函数求出BC可判断①，利用勾股定理求AC，BD，AG，再用正切锐角三角函数定义求值可判断②，利用相似三角形判定与性质，可判断③，利用相似三角形判定与性质建构方程，解方程求解可判断④ 【详解】解：在中，． ， 故①正确； 作AG⊥BD于G， 在Rt△ABC中，， ∵AD=AB=5，AG⊥BD ∴CD=AD-AC=5-3=2，DG=BG， 在Rt△DCB中，， ∴DG=BG=， 在Rt△BGA中，， ∴， 故②当时，正确； AD=t，BE=2t，cosA=， 当时，，， ∴， ∵， ∴cosA=，∠DAE=∠BAC， ∴△ADE∽△ABC， ∴∠AED=∠ACB=90°， ∴∠DEB=90°， ∴与相切， 故③以点为圆心、为半径画，当时，与相切正确； 过E作EH⊥AC于H， 当时， ∵∠EHD=∠DCB=90°， ∴△EHD∽△DCB， ∴， ∵AE=5-2t， ∴AH=，EH=，，， ∴， 整理得， 因式分解得， ∴或（舍去）， 故④当时，正确； 正确的结论有4个． 故选择D． 【点睛】本题考查锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的切线判定，一元二次方程的解法，掌握锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的切线判定，一元二次方程的解法是解题关键． 6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝CA＝6，D为BC边的中点，点E是CA延长线上一点，把ACDE沿DE翻折，点C落在处，与AB交于点F，连接．当时，BC’的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接CC′，过点C′作C′H⊥EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT⊥EF于T，过点D作DM⊥EC于M．证明∠CC′B=90°，求出CC′，BC即可解决问题． 【详解】解：如图，连接CC′，过点C′作C′H⊥EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT⊥EF于T，过点D作DM⊥EC于M． ∵∠FAE=∠CAB=90°，， ∴EF：AF：AE=5：4：3， ∵C′H∥AF， ∴△EAF∽△EHC′， ∴EC′：C′H：EH=EF：AF：AE=5：4：3， 设EH=3k，C′H=4k，EC′=EC=5k，则CH =2k， 由翻折可知，∠AEN=∠TEN， ∵NA⊥EA，NT⊥ET， ∴∠NAE=∠NTE， ∵NE=NE， ∴△NEA≌△NET（AAS）， ∴AN=NT，EA=ET， 设AE=3m，AF=4m，EF=5m，AN=NT=x，则AE=ET=3m，TF=2m， 在Rt△FNT中，FN2=NT2+FT2， ∴（4mx）2=x2+（2m）2， 解得：， ∵AC=AB=，∠CAB=90°， ∴BC=AC=， ∴CD=BD=， ∵DM⊥CM，∠DCM=45°， ∴CM=DM=， ∵AN∥DM， ∴， ∴， ∴EM=， ∴EC=， ∴， ∴CH=，C′H=， ∴CC′=， ∵DC=DC′=DB， ∴∠CC′B=90°， ∴BC′=， 故选：D． 【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 7．如图， 正方形ABCD中，△绕点A逆时针转到，，分别交对角线BD于点E，F，若AE=4，则的值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】根据正方形性质和旋转性质得到∠BAC和∠EAF和∠ADB都等于45°，再加上公共角得到△AEF与△DEA相似，得到对应边成比例即可得到结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC=∠ADB=45°， ∵把△ABC绕点A逆时针旋转到， ∴∠EAF=∠BAC=45°， ∴∠EAF=∠ADB=45°， ∵∠AEF=∠DEA， ∴△AEF∽△DEA， ∴， ∴EF·ED=AE2， ∵AE=4， ∴EF·ED=16， 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出相关的相似三角形是解题的关键． 8．如图，矩形中，，，点为上一点，且，点为直线上一个动点，以为直角边，在下方作，其中，，连接，则线段长的最小值为___________． 【答案】 【分析】连接、连接，利用三角函数值相等可得，进而由旋转相似模型容易证明，得出点在过点，与成夹角等于的直线（矩形外部）上，再求点到直线的距离即可. 解题关键是根据瓜豆原理确定点在定直线上. 【详解】解：连接、连接，过点作， ∵矩形中， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点在过点，与成夹角等于的直线（矩形外部）上， ∵， ∴，当与点重合时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵. 9．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，和分别是轴正半轴和线段上的动点，满足，连接，则的最大值是___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形和函数综合，取点的坐标为，即，通过乘积式相等证明，进而可得、、、在以为直径的圆上，从而得出，设，再利用相似三角形的性质勾股定理列方程表示出，，从而可得，利用平方和完全平方公式变形求出分母最小值，得出分式最大值（分子一定，正数范围内）．解题关键是构造得出，再利用分式变形求出最大值． 【详解】解：取点的坐标为，即，连接，， ∵，即， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴、、、在以为直径的圆上， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 又∵在中，， ∴， ∴ 整理变形得：， ∵， ∴， ∴当最小时，即最大，即最大值， ∴， 故答案为． 10．如图，在中，，将绕直角顶点旋转至，点的对应点分别为．连接，与交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④在旋转过程中，若，则以为顶点的四边形面积最大值为．上述结论中，正确结论的序号有__________． 【答案】①②④ 【分析】①设，根据所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理求出的值，通过绕直角顶点旋转至，得出，得到，，证明，最后运用相似性质即可求解； ②由①的得，通过换角证明，即可求解； ③延长交与点，作交于点，作交于点，证明，得出，最后进行算出面积比较即可； ④通过，先求出和，再设，求出和的值，最后求出四边形的最大值即可． 【详解】解：①∵，，设， ∴， ∴． ∵绕直角顶点旋转至 ∴， ∴，，，． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 故①符合题意； ②∵由①得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 故②符合题意； ③延长交与点，作交于点，作交于点． ∵由①可得， ∴， ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵由①可得，，， 在和中， ， ∴， ∴． ∴， ∴． 故③不符合题意； ④∵由①得，， 又∵， ∴，． ∴． ∵由③得， 又∵设， ∴． ∴， ∴当时，四边形的面积有最大值，． 故④不符合题意． 综上符合题意得有：①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形的面积等，掌握旋转的性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 11．在中，，，，点D是边上的动点．连接，作，如图所示，，，连接．则的最小值是________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查相似三角形、轴对称下的线段最值问题以及勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． 根据题意中的，得出其它角度的等量关系，可证，可得，同理由角度等量关系，证，得线段比例关系，即，又可证，得角度等量关系，证得，即得到关键信息，确定出点E的运动轨迹，又经过证明了解到，故最值判断类似“将军饮马”模型，所以点B关于的对称点，连接，即的最小值为的长度，过点A作，由求边长，最终由勾股定理求得长度，得到得最小值． 【详解】解：连接，令，相交于点M，如下图所示： 在直角三角形中，∵，， ∴， ∵， 又∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∴， ∴， ∴， ∴，即， 所以点E在过点且垂直的射线上移动； ∵， ∴， 故求出的最小值即可， 作点B关于的对称点，连接， 即的最小值为的长度，过点A作，交于点F，如下图所示： 根据对称的性质，， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 12．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，在点E从A到D的运动过程中，点G的运动路径=________，△CEF面积的最小值是 ________． 【答案】 2 15 【分析】连接BD，取BD的中点M，AB的中点N，连接MN，因为GN为△ABE的中位线，故G的运动路径为线段MN；过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，则△FEH∽△EBA，设AE=x，可得出△CEF面积与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值． 【详解】解：连接BD，取BD的中点M，AB的中点N，连接MN， ∵E为边AD上一个动点，点E从A到D的运动，G是BE的中点 ∴当E在A点时，BE与AB重合，G与AB的中点N重合， 当E运动到D点时，BE与BD重合，G与BD的中点M重合， ∴E在从A到D的运动过程中，MN为△ABE的中位线， ∴． 故G的运动路径=2， 过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H， ∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°， ∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA， ∴△FEH∽△EBA， ∴ 为的中点， ∴ 设AE=x， ∵AB ∴HF       ∴当 时，△CEF面积的最小值 故答案为：2，15． 【点睛】本题通过构造K形图，考查了三角形的中位线和相似三角形的判定与性质，建立△CEF面积与AE长度的函数关系式是解题的关键． 13．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与AC相交于点H，连接DG．以下四个结论： ①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG； ②△ACF∽△ADG； ③； ④DG⊥AC． 其中正确的是_____．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】根据正方形的性质可知，有对顶角相等，可证∠EAB＝∠BFE，由可证∠EAB＝∠DAG，可判断结论①正确；由，，两边对应成比例且夹角相等即可得△ACF∽△ADG，可判断结论②正确；由结论②可知，可得DG平分，由正方形可知是等腰直角三角形，可推出DG⊥AC，结论④正确；利用两组角对应相等的两个三角形相似可得△ACF∽△AFH，根据相似的性质可得，则，又有，则结论③错误． 【详解】解：设AB与EF相交于点O，如图所示， ∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形， ∴，． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 故结论①正确； ∵AC、AF是正方形ABCD和正方形AEFG的对角线， ∴，， ∴． 又∵， ∴， 即． ∴△ACF∽△ADG． 故结论②正确； 由△ACF∽△ADG可知， ∴DG平分． ∵是等腰直角三角形， ∴DG⊥AC． 故结论④正确； ∵，， ∴△ACF∽△AFH， ∴， ∴． ∵在等腰直角中，， ∴， 故结论③错误， ∴正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理证明三角形相似是解题的关键． 14．【问题背景】通过轴对称的性质，我们可知：对称轴上的任意一点到对称点的距离相等．利用这个结论，我们可以找到任意一对成轴对称关系的图形的对称轴． (1)【操作】如图①，点和点关于直线l对称，请利用直尺和圆规作出直线l（保留作图痕迹，不必写作法），并在直线l上取一点P（点P不与点、点共线）、连结线段和线段，直接写出和的数量关系：______； (2)【探究】如图②，在矩形中，，，分别为边上的动点，且，将右侧的矩形沿所在直线进行翻折，的对应边记为，连接．交于点G，试判断与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展】如图③，在【探究】的条件下，连结，点在运动过程中，直接写出的最小值． 【答案】(1)，图见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据对称的性质知对称轴是线段的垂直平分线，画垂直平分线即可，利用垂直平分线的性质得； （2）根据矩形的性质可证，利用相似比求出答案； （3）根据相似的性质可得点是定点，则的长度是定值，通过轴对称的性质可知，，也是定值，所以点是在以点为圆心，长度为半径的圆上，利用点到圆上的最短距离求出答案． 【详解】（1）解：作图如下图所示，直线是所求直线． ∵点和点关于直线对称， ∴点和点到直线的距离相等，直线是线段的垂直平分线， 点是垂直平分线上的点， ∴． （2）解：，理由如下： 如下图所示， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （3）解：由（2）知， 在矩形中，， ∴在中，， 则， 则点为定点，如图所示，连接，过点作， 分别交于点； ∴， 同理可证，， ∴； 在和中， ， ∵点与点关于对称，点是上的点， ∴，点是在以点为圆心，半径为3的圆上， ∵， ∴的最小值为． 15．完成以下问题 (1)【问题发现】如图1，是正方形的边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交于点G．若，则线段的长是______； (2)【类比应用】如图2，是菱形的对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，交于点．若，，求线段的长； (3)【拓展探究】如图3，在四边形中，，且，，是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，射线交射线于点．当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）本题主要考查正方形，旋转的性质，勾股定理和相似三角形的判定和性质，通过，可得出长度，再得出长度． （2）本题主要考查菱形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．延长和相交于，通过两次相似（，）即可得出长度． （3）本题需分两种情况讨论：①在延长线上；②在线段上．通过作辅助线及锐角三角函数计算得出的长度． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ， ， , 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：四边形是菱形，， ，，， ，． 线段绕点逆时针旋转得到线段 ，， ， ， 在和中， ，， ，，共线． 延长和相交于，如图： ， ， ． ， ，， ，， ，． ， ， ， ． （3），， 四边形是等腰梯形， ， ，， 绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ． ①    当在延长线上时，如图： 作， ，， ，，． 作， 在和中 ， ， ②    当在线段上时，如图： 作于点 ，， ，，， ， ， ． 综上所述，线段的长为或． 16．综合与探究 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图1，在中，取的中点O，连接并延长，使得，连接、，四边形为平行四边形． 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将保持固定，绕点A按逆时针方向旋转，其中，若，当点E落在AB边上时，连接并延长，使得，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接、，取的中点P，连接交于点Q，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接，M是射线上的一点，连接，过点A作的垂线交于点G，若G是的三等分点，请直接写出的值． 【答案】(1)解：矩形，理由如下： ，，， ，， 点 落在 边上， 中，，， 是等边三角形， ，， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ∴E 是 中点，， 在 和 中： ，， （SAS）， ，， ∴， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． (2) 解：，且 ， 理由：延长至点 ，使 ， 连接， 是的中点， ， 在 和 中： ， ， ， （SAS）， ，， ， 是绕点 逆时针旋转 得到， ，， ， ∴C、B、F共线， ， 在 和 中： ， ， ， ， ，， ， ，即 ， ， ． (3)或2 【分析】（1）由旋转证明 是等边三角形，再证明，进而得到，证明，则四边形是平行四边形．证明 ，则问题可证； （2）延长至点 ，使 ，连接，证明，从而证明，C、B、F共线，再证明，得到，再由角度的互余关系证明，则问题可证； （3）延长交延长线于点F，证明，得到，再有，和证明，再证明，由 ，故得到，最后分别利用G是BE的三等分点，分类讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长交延长线于点F， 是绕点 逆时针旋转 得到， ，， ， ， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ， ， ∵ ， ， ∵G是的三等分点 ∴当 时，， 当 时，， 或 ． 【点睛】本题需要运用"倍长中线法"构造全等三角形和相似三角形， 通过证明全等三角形，转化边的数量关系是解题的关键． 17．【问题情景】 （1）如图①，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为_________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，小红把放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先利用含角的直角三角形的性质得到，再通过证明得到，即可得出结论； （2）过点作于，通过证明得到，求出的长，通过证明四边形是矩形得到，即可求出的长； （3）利用平行四边形和等腰三角形的性质推出，，得到，利用比例的性质即可求出的值． 【详解】解：（1），理由如下： 四边形是矩形， ， ， ，， ，， ，， ， ， ； （2）如图，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， （3），理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ，， 又， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，即， ． 【点睛】添加适当的辅助线构造“”型相似是解题的关键． 18．如图，在中，，，，点为中点，动点从点出发，沿方向向终点运动．连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)线段的长为 ； (2)当时，求点到的距离； (3)当点在边上运动，被的边平分时，的面积是 ； (4)当直线将面积分成两部分时，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)或． 【分析】（1）直接运用勾股定理即可求解； （2）先过点作交于点，将绕点顺时针旋转得到线段交于点，通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，再通过平行相似得到、，最后通过相似比求值即可； （3）先过点作交于点，过点作交于点，且与交于点，过点作交于点，连接，且交于点，通过平形相似证明、四边形为矩形，再结合旋转的性质证明，得到等量关系，最后再通过平行相似证明并求出长度算三角形的面积即可； （4）需要分类讨论，利用相似三角形的性质得出长度即可． 【详解】（1）解：∵中，，，， ∴． （2）过点作交于点，将绕点顺时针旋转得到线段交于点． ∵点为中点， ∴． ∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到线段， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）过点作交于点，过点作交于点，且与交于点，过点作交于点，连接，且交于点． ∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，． ∵将绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∵为中点， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵设， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （4）∵，， 又∵由（1）得， ∴． ①若点在上，直线与相交于点． ∵当直线将面积分成两部分， ∴， ∴． 作交于 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴点和点重合， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ②若点在上，直线与相交于点． ∵当直线将面积分成两部分， ∴， ∴． 作交于 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴点和点重合， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． 综上为或． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的面积等，熟练掌握数形结合是解决本题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $