专题02 矩形的性质与判定重难点十二大题型突破 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦矩形性质与判定，通过十二大题型系统覆盖从基础计算到综合应用，以题载法构建知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|题型1-4（18题）|角度、线段、面积计算及坐标求解|从矩形边、角、对角线性质出发，结合勾股定理、坐标系转化| |综合应用|题型5-6（10题）|折叠变换与直角三角形中线|性质延伸，关联轴对称与直角三角形性质| |判定应用|题型7-8（10题）|条件添加与证明|从平行四边形到矩形的判定条件推理| |高阶问题|题型9-12（24题）|性质判定综合、最值、动点|综合性质与判定，结合分类讨论、模型思想解决复杂问题|

专题02 矩形的性质与判定重难点十二大题型突破 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【题型2 利用矩形的性质求线段长度】 【题型3 利用矩形的性质求面积】 【题型4 求矩形在平面直角坐标系中的坐标】 【题型5 矩形与折叠综合应用】 【题型6 直角三角形斜边上的中线问题】 【题型7 添加条件对矩形的判定】 【题型8 矩形的判定-证明题】 【题型9 矩形的性质与判定综合】 【题型10 求矩形中最大值问题-梯子模型】 【题型11 求矩形中最小值问题】 【题型12 矩形中动点问题-分类讨论】 【题型1 利用矩形的性质求角度】 1．如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点，根据矩形的性质推出，，再结合，推出，最后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】如图，连接交于点， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴，即，． 2．如图，矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质可得，，，，，从而可得，，由等边对等角并结合题意可得，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在矩形中，，垂足为点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质得到，，则，再根据题意可求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，即可求出的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，且， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴． 4．如图，某同学在矩形中研究数学问题，他按如下步骤操作：①以点为圆心、以边长为半径画弧交于点；②分别以点，为圆心、以大于长为半径画弧，两弧交于点；③作射线交边于点，交边的延长线于点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得出，再根据尺规作图得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 根据作图可得， ． 5．如图，在矩形中，，依据尺规作图的痕迹，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质可得，由作法得：垂直平分，平分，即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 由作法得：垂直平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【题型2 利用矩形的性质求线段长度】 6．如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】先由矩形的性质证明，结合三角形中位线定理得到，，再利用勾股定理，得，求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， 是矩形的对角线的中点，， 是边的中点，是矩形的对角线的中点， ，， ， ， ， ． 7．如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，若，，则该矩形的周长（     ） A．32 B．24 C．48 D．50 【答案】C 【分析】连接，求出，根据勾股定理求出，即可求出结论． 【详解】解：连接， 由作图知，垂直平分， ， 在矩形中，， ， ， ， 则该矩形的周长． 8．如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，，则长是（     ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】先证明是等边三角形，得出，，再根据勾股定理求出结论即可． 【详解】解：在矩形中，， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，． 9．如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质得出线段之间的关系，利用勾股定理列出方程求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴由勾股定理得， 即， 由算术平方根的定义可解得， ∴． 【题型3 利用矩形的性质求面积】 10．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于，交于，根据矩形的性质可得即可求解. 【详解】解：作于，交于， 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ， ， ， 故选：C． 11．如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，根据折叠的性质和矩形的性质得出即到的距离为，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， ∵矩形， ∴，与的距离为，即到的距离为， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， . 12．如图，在矩形中，对角线与交于点，如果，，那么这个矩形的面积是__________． 【答案】 【分析】由题意易得，则有是等边三角形，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为． 13．如图，在矩形中，对角线、相交于点，为边上任意一点（不与点、重合），过点作，，垂足分别为、，若，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理，连接，由勾股定理得出，由矩形的性质得出，，，由可求得答案．掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型4 求矩形在平面直角坐标系中的坐标】 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点是的中点，可得出点的坐标，当，由等腰三角形的性质即可得出点的坐标． 【详解】解：过点作于点， ∵矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点， ∴点，点的纵坐标为， ∵，， ∴， 即点， ∴点． 15．如图，将面积为的矩形放在平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先作轴，利用、坐标算出长，结合矩形面积与三角形面积公式求出，得到点横坐标；再根据矩形性质得、，结合直角证明，推出，最后结合点纵坐标减去，求出点纵坐标． 【详解】解：过点作轴，垂足为． 点，点，两点均在轴上， ． 四边形是矩形，，矩形对角线将矩形分成面积相等的两部分， ． 轴，以为底，为底边对应的高， ． 将，代入得： ， 解得． 为点到轴的水平距离，由图可知点在轴右侧，横坐标为正数， 点的横坐标为． 四边形是矩形， ，，． ． 轴，轴轴， ． 在与中： ． ． ，原点， ， ． 轴，是垂足， 点与点纵坐标相等． ，线段，结合图形可知垂足在点的正下方， 点的纵坐标， 点的纵坐标为． 综上，点的坐标为． 16．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，对角线，交于点，，．将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时，点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，得出矩形向左平移2个单位，即可求出结论． 【详解】解：在矩形中，，， ， ，即， ∵将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时， ∴点的对应点坐标，即矩形向左平移2个单位， ∴平移后点的对应点的坐标为． 17．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C，D的坐标分别为，，，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接 交 于点 ，利用矩形对角线互相平分的性质结合中点坐标公式求出点 的坐标，再计算出点 的坐标． 【详解】解：如图，连接 交 于点 ， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵，， ∴点 的坐标为， ∵， ∴点 的坐标为，即． 18．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，顶点的坐标是，将矩形沿对角线进行翻折，点落在点的位置，交轴于点，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】先通过矩形的性质求出的长，再通过折叠结合矩形性质证明，推出，最后设，根据坐标距离公式建立关于的方程求解即可． 【详解】∵矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵矩形沿对角线进行翻折， ∴，，， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵，， ∴， 整理得：，解得：， ∴的坐标是． 【题型5 矩形与折叠综合应用】 19．如图，将矩形纸片沿折叠，使点B落在E处，，相交于点F，，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，可得，设，则，在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】解：∵在矩形中， ， ∵由折叠的性质可知：， ， 在和中 ， ， ， 设：，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ． 20．如图，在矩形中，,，点M,N分别在,上，且,,E为边上一动点，连接，将沿所在直线折叠得到，当点恰好落在线段上时，的长为(     ) A． B．5 C．3 D． 【答案】C 【分析】先依据矩形边长与线段比例算出、、的长度，判定四边形为矩形；再在中利用勾股定理求出，进而得到的长度；设，用含x的式子表达，在中列勾股方程解出x，最终计算出的长． 【详解】解：设，则， ∵矩形中，，， ∴，，， ∵点M，N分别在，上，且，， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，即， ∴． 21．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，点，将沿着折叠，点B恰好落在边的点F处，则点E的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，根据题意求得，，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，四边形是矩形 ∴，， 设，则， 由折叠可得，，， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得，， ∴点E的坐标为． 22．如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得出的长，由翻折变换的性质得出，，，在中利用勾股定理求出的长，设，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵是翻折而成， ∴，，， ∴，， 在中，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴． 23．如图，点E是矩形边的中点，将沿对折成，延长交于点G，若，，则的长（） A． B．7 C．9 D．10 【答案】A 【分析】连接，利用折叠的性质得出，再证明，得到，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由折叠的性质可知，， ， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴． 24．如图，在矩形中，点为的中点，点是的中点，连接，点是上一点，把沿翻折，使点落在上点处，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，证明四边形为矩形，可得三角形为等边三角形，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 在矩形中，， 点为的中点，点是的中点， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， 垂直平分， ， 根据翻折可得， ， 为等边三角形， ， ． 25．如图，在矩形中，为的中点，将沿翻折，使落在点处，连接并延长，交边于点．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质推出，设，则，，结合勾股定理计算即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵为的中点， ∴， 由折叠的性质知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴． 【题型6 直角三角形斜边上的中线问题】 26．如图，在中，，，，则斜边上的中线的长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求的长． 【详解】解：由勾股定理得， ∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴． 27．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接．若，，则的长为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】先根据菱形的性质，得到，，再根据勾股定理，求出，继而推导出，是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可． 【详解】解：在菱形中，，，， ∴，点O为的中点， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴． 28．如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且，若，则的长为（     ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据直角三角形的性质求出的长，则可求出的长，再由三角形中位线定理即可得到答案． 【详解】解：∵，点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 29．如图，菱形的对角线，交于点，于，连接．若，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形斜边上的中线的性质求解，结合菱形的性质与勾股定理先求解，进一步利用面积法求解. 【详解】解：菱形，， ，，， ，， ∴， ∴，， ， ∵， ． 30．如图，菱形的对角线与相交于点，点为的中点，于点，于点，若，，则的长为（     ） A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出，然后可得到，根据菱形的性质，可证四边形是矩形，连接，则． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，， ∵点为的中点， ∴， 如图所示： ∵于点E，于点F， ∴四边形是矩形，则． 【题型7 添加条件对矩形的判定】 31．如图，在中，对角线，相交于点．若要使成为矩形，需要添加的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意； B、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴平行四边形是矩形，符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意． 32．已知，添加下列条件后，能判定这个平行四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形、矩形的判定定理对各选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：选项A： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，不能判定为菱形，故A不符合题意； 选项B： 平行四边形本身对角相等，是平行四边形的固有性质，不能判定为菱形，故B不符合题意； 选项C： ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，不能判定为菱形，故C不符合题意； 选项D： ∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形，故D符合题意． 33．如图，中，D为边上一点，作，，若四边形为矩形，则应添加条件（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， 若添加，，，均无法证明四边形为矩形； 若添加，可证四边形为矩形． 34．如图所示，线段的端点在直线上，过线段上的一点作的平行线，分别交和的平分线于点，，连接，，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据角平分线和平行线的性质证得，再结合矩形的判定定理对各个选项进行分析即可． 【详解】解：， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ． A．无法判断四边形为矩形； B．已知条件，无法判断四边形为矩形； C．若添加条件， ， ，即为的中点， ， 四边形是矩形（对角线互相平分且相等的四边形是矩形）； D．无法判断四边形为矩形． 35．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件_________，使四边形BEFD为矩形．（填一个即可） 【答案】AB⊥BC 【分析】证DF、EF都是△ABC的中位线，得DF∥BC，EF∥AB，则四边形BEFD为平行四边形，当AB⊥BC时，∠B＝90°，即可得出结论． 【详解】解：∵D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点， ∴DF、EF都是△ABC的中位线， ∴DF∥BC，EF∥AB， ∴四边形BEFD为平行四边形， 当AB⊥BC时，∠B＝90°， ∴平行四边形BEFD为矩形， 故答案为：AB⊥BC． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形BEFD为平行四边形是解题的关键． 【题型8 矩形的判定-证明题】 36．如图，在四边形中，，，，求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形． 【分析】利用平行线的性质求得，再证明三个角都是直角，即可得到四边形为矩形． 【详解】略 37．已知四边形为菱形，于点H，延长至点E，使得，连接，交于点O，连接； (1)求证：四边形为矩形； (2)已知菱形的周长20，菱形的面积为24，试求线段的长； 【答案】(1)证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，   ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． (2) 【分析】（1）利用菱形的性质得出，再由，利用线段和差关系求出，从而得到，继而证明四边形为平行四边形，再由即可证得结论； （2）由菱形的周长求出其边长，再利用其面积，通过菱形的面积公式得出的长度，利用勾股定理求出的长度，最后通过线段和差关系即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为菱形，周长为20， ∴， ∵菱形的面积为24， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 38．如图，在中，，为边上一点，以、为邻边作，连接、，和相交于点． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明：， ． 四边形是平行四边形， ， ， ， ． (2) 四边形为矩形．理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ， 又， ， 四边形为平行四边形． 在中，，， ， ， 四边形为矩形． 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定定理． （1）利用平行四边形的性质，等腰三角形的性质证明，再利用等角对等边证明． （2）利用平行四边形的性质，等腰三角形的性质证明，再根据有一个角是直角的平行四边形为矩形来判定四边形是矩形． 【详解】（1）略． （2）略． 39．已知：如图，在等腰梯形中，，对角线与相交于点O， 点E、F分别在线段上，，．求证： (1)； (2)四边形是矩形． 【答案】(1)证明：∵四边形是等腰梯形，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是矩形． 【分析】（1）证明，得到，则可证明； （2）可证明，得到，由平行线的性质得到，则可证明，推出，进而可证明，据此可证明四边形是矩形． 【详解】（1）略 （2）略 40．如图，是的一条对角线，过中点O的直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)当与满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O为的中点， ∴， 在和中， ∴ (2)当时，四边形是矩形， 理由：连接，， 由得，又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【分析】（1）先利用平行四边形的性质得到，则，再利用、证明结论即可； （2）连接，，先由得，再证明四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 41．如图，菱形的对角线、相交于点，点是中点，延长线段至点，使，连接，，．求证：四边形为矩形． 【答案】证明：菱形， ，， 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ∵，即 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形． 【分析】由菱形的性质得到，，证明四边形是平行四边形，得到，，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形． 【详解】略 【题型9 矩形的性质与判定综合】 42．如图，在中，平分．已知交的延长线于点，交延长线于点． (1)证明：四边形为矩形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明：在平行四边形中，． ∵点，分别在，的延长线上， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵，即， ∴平行四边形是矩形； (2)． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，证明四边形是平行四边形，根据可知平行四边形是矩形； （2）根据平行四边形的性质得到，可知，根据平分得到，即，根据等角对等边得到，求出，根据的性质得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：在平行四边形中，， ∴， ∵平分， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在矩形中，， ∵， ∴平行四边形的面积为． 43．如图，在菱形中，对角线与相交于点O．过点C作，过点D作，与相交于点E，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）先由菱形的性质得到，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，即可证明其为矩形； （2）先根据菱形的性质，结合直角三角形的性质求解，再由矩形的性质求出，最后由勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 44．如图，平行四边形中，于点，于点， (1)求证：； (2)连结，若，，求长． 【答案】(1)因为， 所以， 因为四边形是平行四边形， 所以， 所以， 所以， 所以四边形是矩形， 所以， 所以， 即； (2) 【分析】（1）结合平行四边形对边平行且相等、垂直定义推出四边形三个内角为直角，判定其为矩形得到，再用等线段相减，证得． （2）先在中用勾股定理算出长度，结合得到长，再借助四边形是矩形的结论得，通过求出． 【详解】（1）略 （2）因为 在中，由勾股定理得： ， 因为， 所以， 因为四边形是矩形，， 所以， 所以． 45．如图，在中，点E、F分别是、的中点，过点F作，垂足为D，点M在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：点E、F分别是、的中点， 是的中位线， ，即， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； (2)15 【分析】（1）由三角形中位线定理可得，进而得出四边形是平行四边形，再结合垂直得到直角，即可得证； （2）由三角形中位线定理可得，设，在中，利用勾股定理列方程求出，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：点E、F分别是、的中点， 是的中位线，， ， 设，则， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， 解得：，即， ． 46．如图，在中，于点，延长至点，使，与交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； (2)． 【分析】由四边形是平行四边形可得，，再证明四边形是平行四边形，又，所以，则四边形是矩形； 由四边形是矩形，则，所以，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：四边形是矩形， ， ， ， ． 47．如图1，在中，，于点C，点E是的中点，连接并延长，使，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)如图2，点H为的中点，连接，若，，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． (2)4 【分析】（1）根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行证明即可； （2）根据中点的性质得出四边形的面积等于两个三角形的面积和，求出三角形面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∵，， ∴ ∵点E是的中点，点H为的中点， ∴，， 四边形的面积等于． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，解题关键是熟练运用矩形的判定定理进行推理证明，利用矩形和中点的性质求出面积． 48．如图，已知，过点作，垂足在的延长线上，过点作，垂足在的延长线上． (1)求证：四边形为矩形． (2)，交于点，若四边形为菱形，，求矩形的周长． 【答案】(1)证明：∵在中，， ∴． ∵，， ∴，． ∴， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）由已知，，，可证得，于是得到四边形是矩形； （2）由菱形的性质可知，，是含角的直角三角形，可解得与，即可求解矩形的周长． 【详解】（1）略 （2）解：∵在菱形中，平分， 又∵， ∴． ∵在中，， ∴，， ∴矩形周长． 49．如图，在中，，D是中点，是的外角的平分线，于E，连接交于F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)∵，D是中点， ∴，， ∵是的外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质求得，，根据是的外角的平分线，推得，再根据矩形的判定定理即可证明； （2）由（1）证明是等边三角形，求出，的长即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知四边形是矩形， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵D为的中点， ∴，， ∴， ∴． 【题型10 求矩形中最大值问题-梯子模型】 50．如图，在矩形中，，，点为直线下方一点，且以为斜边在矩形的外部作直角三角形，点是的中点，则的最大值为（   ） A．8 B．9 C．10 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，取中点，连接，根据矩形的性质可求的长，根据勾股定理可求的长，根据直角三角形的性质可求的长，根据三角形三边关系可求得当点，点，点共线时，有最大值，即． 【详解】解：如图，取中点，连接， 四边形是矩形， ， 点是中点，点是的中点， ， ， 点是的斜边的中点， ， 根据三角形三边关系可得：， 当点，点，点共线时，最大，最大值为． 故选：B． 51．如图，在平面直角坐标系中，，B为x轴正半轴上的动点，以为边在第一象限内作使得，，连接，则长的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】过点作，交过点平行于轴的直线于点，证明，得到，进而求出的长，取的中点，连接，斜边上的中线求出的长，勾股定理求出，根据，进行求解即可． 【详解】解：过点作，交过点平行于轴的直线于点， 则：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接，则：， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：； ∵， ∴长的最大值为8； 故选C． 【点睛】本题考查坐标与图形，勾股定理，斜边上的中线，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键． 52．如图，在中， ，，D是外一点，且，G是中点，连接，则的最大值为_______ ． 【答案】 【分析】取的中点O，连接，利用直角三角形斜边中线性质求出长；取的中点K，连接，利用三角形中位线定理求出的长，根据可得的最大值为．过点B作的垂线，利用勾股定理构建方程求出垂足位置，进而计算的长，最终求得的最大值． 【详解】解：如图：取的中点O，连接， ，O为中点 ， ． 取的中点K，连接，, ∵ G是中点，K是中点， 是的中位线 ， ， ∵， ∴的最大值为． 过点B作于点H，设，则， 在和中， 由勾股定理得： ， ∴ ，解得： ， ， ∵K是的中点，， ， ， 在中， ， 在中， ， 的最大值为． 【题型11 求矩形中最小值问题】 53．如图，矩形的长，宽，点是对角线上一动点，于点，于点，点在运动过程中，线段的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，先根据矩形得到，再根据，得到，根据垂线段最短可得的最小值为，最后证明四边形是矩形，得到，即可得到线段的最小值为． 【详解】解：连接， ∵矩形的长，宽， ∴，，，， 设中边上的高为， ∴， ∴， ∴根据垂线段最短可得的最小值为， ∵于点，于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∴线段的最小值为． 54．如图，在矩形中，，，点P是边AD上一点（不与点A，D重合），连接．M，N分别是的中点，连接，则的最小值是（     ） A． B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】斜边上的中线得到，，进而得到，即当的值最小时，有最小值，作点C关于直线的对称点，连接，，得到，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵，M，N分别是的中点， ∴，． ∴，即当的值最小时，有最小值． 如图，作点C关于直线的对称点，连接，，则， 即当B，P，三点共线时，的值最小，最小值就是的长． 在中，，， ∴． ∴的最小值． 55．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由三边长度判定为直角三角形，再根据、推出四边形是矩形，利用矩形对角线性质得，因此求最小值等价于求最小值；根据垂线段最短，当时最小，结合三角形面积求出最短，即可算出最小值． 【详解】解：已知，，， ， 即， ． ，，， ， 四边形是矩形． 连接，矩形对角线相等且互相平分，、为矩形对角线，是中点， 也是中点，即． 要使最小，只需最小． 根据垂线段最短，当时，长度最小． ， 代入边长：， 化简得：， 解得． ， 综上，的最小值为． 56．如图，在矩形内有一点，若，，，则的最小值是（     ） A． B． C．7 D．8 【答案】A 【分析】过作于，过作于，延长线交于，根据矩形的性质和等面积法可算得，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立坐标系， 作点关于直线的对称点，可得，最小值为的长度，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示，过作于，过作于，延长线交于， ∵四边形为矩形，，， ∴矩形面积， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∴点的轨迹是平行于、且到距离为2的定直线， 以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立坐标系， ∴，，点所在直线为， 作点关于直线的对称点， ∴，最小值为的长度， 由勾股定理： ， ∴的最小值为． 57．如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长到点H，使得，连接，可证明，得到，则当C、E、H三点共线时，有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到点H，使得，连接， 四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当C、E、H三点共线时，有最小值，最小值为的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 【题型12 矩形中动点问题-分类讨论】 58．如图，在长方形的中，已知，，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以，C，Q为顶点的三角形全等，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2或1 D．4或3 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，分类讨论全等三角形的对应边关系是解题的关键．设点P，Q运动的时间为，依题意得：，，得到，，①当，时，则当时，则，根据题意列方程即可得到结论 【详解】解：设点P，Q运动的时间为， 依题意得：， 四边形是长方形，且，， ， 当以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等时，有以下两种情况： ①当时，则， 由，得：， 解得：； ②当时，则， 由，得：， 解得：， 由， 得：， 将代入， 得：， 综上所述：的值为4或3． 故选：D． 59．动点以每秒的速度沿图1中的长方形按从的路径匀速运动，相应的三角形的面积与时间的关系图象如图2，已知，设点的运动时间为．当时，时间为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据图2函数分别分析出当点运动到点、、处的路程，求出，再求出当点在上时的面积，当三角形的面积为时，点在或上，分别计算求出高，再依题意求出路程即可． 【详解】解：由图2得，当时，随的增大而增大， 当点运动到点时，， ， 当时，的值不变， 当点运动到点时，， 此时， ∵， ∴当点在上时， ∴， ， ； 当点在上时，， ∴， ， ∴， ∴， ， 综上，点的运动时间为或． 60．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间为． (1)边的长度为_______，的取值范围为_______． (2)从运动开始，当取何值时，？ (3)从运动开始，当取何值时，？ (4)从运动开始，当取何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1)10， (2)当时，． (3)当或时，． (4)当取6或5或时，是等腰三角形． 【分析】（1）作辅助线，构建矩形，利用勾股定理可得的长，根据两动点P，Q运动路程和速度可得t的取值范围； （2）先说明四边形是平行四边形，即，据此列方程求解即可； （3）由，根据，可得，再结合（2）即可解答； （4）分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点D作于E，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得：； ∵点P从点A出发，以的速度向点D运动，， ∴点P运动到D的时间为， 同理得：点Q运动到点B的时间为：， ∴． （2）解：如图2，∵， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴当时，． （3）解：如图3，过点P作于F，过点D作于E，则，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，解得：； 由（2）可知：当时，． 综合，当或时，． （4）解：①如图：当时，过点D作于E，由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，是等腰三角形； ②如图：当时， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，是等腰三角形； ③如图：当时，过点D作于E，由（1）可知：，， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，是等腰三角形； 综上，当取6或5或时，是等腰三角形． 61．如图1，四边形是矩形，三点的坐标分别是，，．点P是矩形上的一点，点P从点D出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动，作，交边或边于点Q，当点Q与点C重合时，点P停止运动．连接，设运动时间为t秒（）． (1)当点P运动到点O时，求线段的长； (2)如图2，当点P在边上运动时，求证：是等腰直角三角形； (3)将沿直线翻折，当点D的对应点F落在矩形的边上时，求t的值． 【答案】(1) (2)证明：如图，过P作于H， 则四边形是矩形， ∴， ∵三点的坐标分别是，，，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形； (3)或或 【分析】（1）先作出当点P运动到点O时的图形，根据两点的坐标得，在中，根据勾股定理得，计算即可求的长； （2）过P作于H，得四边形是矩形，根据三点的坐标计算得，根据证明，得，结合，证明是等腰直角三角形，题目得证； （3）分三种情况讨论，分别是：①当P在上时，点D的对应点F落在上；②当P在上时，点重合；③当P在上时，点重合，点重合，按照以上三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：当点P运动到点O时，如图， 四边形是矩形，， 四边形是矩形， ， 两点的坐标分别是，， ， 在中，， ； （2）略 （3）解：①当P在上时，点D的对应点F落在上，如图所示， 由翻折得，， 在中，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴，即， 解得：， ∴当时，点D的对应点F落在矩形的边上，符合题意； ②当P在上时，折叠后，则点重合，如图所示， ， 由翻折得， 在中，，即， 解得，， ∴当时，点D的对应点F落在矩形的边上，符合题意； ③当P在上时，折叠后，点重合，点重合，如图所示， 则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴当时，点D的对应点F落在矩形的边上，符合题意； 综上当或或时，点D的对应点F落在矩形的边上． 62．如图，矩形位于平面直角坐标系中，O为原点，点A，C在坐标轴上，点B的坐标为，点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿边运动，当点P到达点B时，运动停止，设运动时间为t． (1)当时，求直线的解析式． (2)当t为何值时，直线平分矩形的面积． (3)在运动过程中，当是等腰三角形时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）当时，写出 P、Q坐标，因为两点确定一条直线，所以用待定系数法求直线的解析式． （2）因为过矩形中心的直线平分矩形面积，所以点P在边上，用t的式子表示 P、Q的坐标，根据梯形面积公式和矩形面积公式列方程，求解t的值． （3）分P在段、P在段两种情况，每种情况再分、、三类等腰情况分别求解． 【详解】（1）解：四边形为矩形，， ，． 当时，可得，， ∴， ，， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为． （2）解：∵过矩形中心的直线平分矩形面积， ∴当直线平分矩形的面积时，点P在边上， ，， ∵ ∴， 解得． （3）解：当P在上时， ∵， ∴只能， 则， 解得； 当在上时， ∵，， 若，即点P在的垂直平分线上， 得， 解得； ∵, , ,， ∴不存在 , 的情况． 综上，当或时，是等腰三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 矩形的性质与判定重难点十二大题型突破 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【题型2 利用矩形的性质求线段长度】 【题型3 利用矩形的性质求面积】 【题型4 求矩形在平面直角坐标系中的坐标】 【题型5 矩形与折叠综合应用】 【题型6 直角三角形斜边上的中线问题】 【题型7 添加条件对矩形的判定】 【题型8 矩形的判定-证明题】 【题型9 矩形的性质与判定综合】 【题型10 求矩形中最大值问题-梯子模型】 【题型11 求矩形中最小值问题】 【题型12 矩形中动点问题-分类讨论】 【题型1 利用矩形的性质求角度】 1．如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（     ）． A． B． C． D． 2．如图，矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，垂足为点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．如图，某同学在矩形中研究数学问题，他按如下步骤操作：①以点为圆心、以边长为半径画弧交于点；②分别以点，为圆心、以大于长为半径画弧，两弧交于点；③作射线交边于点，交边的延长线于点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，，依据尺规作图的痕迹，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型2 利用矩形的性质求线段长度】 6．如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，若，，则该矩形的周长（     ） A．32 B．24 C．48 D．50 8．如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，，则长是（     ） A．2 B．3 C． D．4 9．如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【题型3 利用矩形的性质求面积】 10．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 11．如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 12．如图，在矩形中，对角线与交于点，如果，，那么这个矩形的面积是__________． 13．如图，在矩形中，对角线、相交于点，为边上任意一点（不与点、重合），过点作，，垂足分别为、，若，，则_______． 【题型4 求矩形在平面直角坐标系中的坐标】 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 15．如图，将面积为的矩形放在平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 16．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，对角线，交于点，，．将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时，点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 17．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C，D的坐标分别为，，，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 18．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，顶点的坐标是，将矩形沿对角线进行翻折，点落在点的位置，交轴于点，则点的坐标是______． 【题型5 矩形与折叠综合应用】 19．如图，将矩形纸片沿折叠，使点B落在E处，，相交于点F，，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 20．如图，在矩形中，,，点M,N分别在,上，且,,E为边上一动点，连接，将沿所在直线折叠得到，当点恰好落在线段上时，的长为(     ) A． B．5 C．3 D． 21．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，点，将沿着折叠，点B恰好落在边的点F处，则点E的坐标为（     ） A． B． C． D． 22．如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 23．如图，点E是矩形边的中点，将沿对折成，延长交于点G，若，，则的长（） A． B．7 C．9 D．10 24．如图，在矩形中，点为的中点，点是的中点，连接，点是上一点，把沿翻折，使点落在上点处，则的度数为（     ） A． B． C． D． 25．如图，在矩形中，为的中点，将沿翻折，使落在点处，连接并延长，交边于点．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【题型6 直角三角形斜边上的中线问题】 26．如图，在中，，，，则斜边上的中线的长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．10 27．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接．若，，则的长为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 28．如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且，若，则的长为（     ） A．7 B．8 C．10 D．12 29．如图，菱形的对角线，交于点，于，连接．若，，则的长是（     ） A． B． C． D． 30．如图，菱形的对角线与相交于点，点为的中点，于点，于点，若，，则的长为（     ） A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5 【题型7 添加条件对矩形的判定】 31．如图，在中，对角线，相交于点．若要使成为矩形，需要添加的条件是（     ） A． B． C． D． 32．已知，添加下列条件后，能判定这个平行四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 33．如图，中，D为边上一点，作，，若四边形为矩形，则应添加条件（     ） A． B． C． D． 34．如图所示，线段的端点在直线上，过线段上的一点作的平行线，分别交和的平分线于点，，连接，，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 35．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件_________，使四边形BEFD为矩形．（填一个即可） 【题型8 矩形的判定-证明题】 36．如图，在四边形中，，，，求证：四边形是矩形． 37．已知四边形为菱形，于点H，延长至点E，使得，连接，交于点O，连接； (1)求证：四边形为矩形； (2)已知菱形的周长20，菱形的面积为24，试求线段的长； 38．如图，在中，，为边上一点，以、为邻边作，连接、，和相交于点． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并说明理由． 39．已知：如图，在等腰梯形中，，对角线与相交于点O， 点E、F分别在线段上，，．求证： (1)； (2)四边形是矩形． 40．如图，是的一条对角线，过中点O的直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)当与满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由． 41．如图，菱形的对角线、相交于点，点是中点，延长线段至点，使，连接，，．求证：四边形为矩形． 【题型9 矩形的性质与判定综合】 42．如图，在中，平分．已知交的延长线于点，交延长线于点． (1)证明：四边形为矩形； (2)若，，求的面积． 43．如图，在菱形中，对角线与相交于点O．过点C作，过点D作，与相交于点E，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 44．如图，平行四边形中，于点，于点， (1)求证：； (2)连结，若，，求长． 45．如图，在中，点E、F分别是、的中点，过点F作，垂足为D，点M在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 46．如图，在中，于点，延长至点，使，与交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 47．如图1，在中，，于点C，点E是的中点，连接并延长，使，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)如图2，点H为的中点，连接，若，，求四边形的面积． 48．如图，已知，过点作，垂足在的延长线上，过点作，垂足在的延长线上． (1)求证：四边形为矩形． (2)，交于点，若四边形为菱形，，求矩形的周长． 49．如图，在中，，D是中点，是的外角的平分线，于E，连接交于F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【题型10 求矩形中最大值问题-梯子模型】 50．如图，在矩形中，，，点为直线下方一点，且以为斜边在矩形的外部作直角三角形，点是的中点，则的最大值为（   ） A．8 B．9 C．10 D． 51．如图，在平面直角坐标系中，，B为x轴正半轴上的动点，以为边在第一象限内作使得，，连接，则长的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 52．如图，在中， ，，D是外一点，且，G是中点，连接，则的最大值为_______ ． 【题型11 求矩形中最小值问题】 53．如图，矩形的长，宽，点是对角线上一动点，于点，于点，点在运动过程中，线段的最小值为（     ） A． B． C． D． 54．如图，在矩形中，，，点P是边AD上一点（不与点A，D重合），连接．M，N分别是的中点，连接，则的最小值是（     ） A． B．5 C．6 D．7 55．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 56．如图，在矩形内有一点，若，，，则的最小值是（     ） A． B． C．7 D．8 57．如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【题型12 矩形中动点问题-分类讨论】 58．如图，在长方形的中，已知，，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以，C，Q为顶点的三角形全等，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2或1 D．4或3 59．动点以每秒的速度沿图1中的长方形按从的路径匀速运动，相应的三角形的面积与时间的关系图象如图2，已知，设点的运动时间为．当时，时间为（    ） A． B． C． D．或 60．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间为． (1)边的长度为_______，的取值范围为_______． (2)从运动开始，当取何值时，？ (3)从运动开始，当取何值时，？ (4)从运动开始，当取何值时，是等腰三角形？ 61．如图1，四边形是矩形，三点的坐标分别是，，．点P是矩形上的一点，点P从点D出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动，作，交边或边于点Q，当点Q与点C重合时，点P停止运动．连接，设运动时间为t秒（）． (1)当点P运动到点O时，求线段的长； (2)如图2，当点P在边上运动时，求证：是等腰直角三角形； (3)将沿直线翻折，当点D的对应点F落在矩形的边上时，求t的值． 62．如图，矩形位于平面直角坐标系中，O为原点，点A，C在坐标轴上，点B的坐标为，点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿边运动，当点P到达点B时，运动停止，设运动时间为t． (1)当时，求直线的解析式． (2)当t为何值时，直线平分矩形的面积． (3)在运动过程中，当是等腰三角形时，求t的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $