1.3 矩形的性质与判定第一课时教学设计2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦矩形性质及直角三角形斜边上中线定理，通过复习矩形概念与菱形知识，类比菱形“性质—判定—应用”研究路径，以平行四边形为基础支架，引导学生自然过渡到矩形性质探究。 特色在于以“观察—猜想—证明—应用”为主线，学生通过测量实物、推理论证矩形性质，构造矩形证明直角三角形定理，发展几何直观与推理能力。分层作业结合实践操作，助学生深化知识应用，为教师提供清晰教学逻辑与素养培养路径。

3 矩形的性质与判定（第1课时） 一、学习任务分析 本节研究矩形的性质与判定，既是平行四边形知识的延伸，又为后面正方形的学习提供了相应的研究方法和学习策略，也为进一步研究其他图形奠定基础。因此，它在教材中起着承上启下的重要作用。本节教材安排了2个课时，设计思路与第2节类似，仍然按“性质—判定—应用”的路径展开。 第1课时，基于学生对平行四边形的认识，提出了具体学习任务。首先，对矩形的性质进行探索，因为矩形是学生比较熟悉的图形，所以教材先引导学生进行理性思考，得到猜想后，再进行证明。之后，根据矩形的性质定理探索“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理，并鼓励学生自己完成证明过程，进一步发展学生的推理能力。第2课时在第1课时学习的基础上，类比菱形的判定的学习过程，从判断逆命题的真假出发，研究矩形的判定定理。教材首先引导学生自己探索并证明“有三个角是直角的四边形是矩形”，接着再研究“对角线相等的平行四边形是矩形”，通过推理论证确认结论的正确性。通过两个课时的学习，学生会形成对矩形的完整知识链条。在教学实操时，也可以根据实际情况，先提出一个较为开放的问题，放手让学生探索矩形的各种判定方法，形成猜想，然后在此基础上进行证明。 二、学生起点分析 学生知识技能基础：学生在小学已经学习过矩方形相关知识，对于矩形，学生已有较丰富的感性认识。在前面的学习中，学生已经掌握了平行四边形、菱形的性质和判定。学生对矩形有一定的知识基础，也具备初步的逻辑推理能力和有条理的表达能力，这都为本节课的学习打下了良好的基础。 学生活动经验基础：在前面的学习中，学生经历了很多几何图形的探究以及合作学习的过程，积累了一定的几何图形学习的经验，具备了一定的合作交流能力，具有一定的探究数学问题的能力。尤其在学习菱形时，学生已经体会过从一般到特殊的数学方法，具有一定的类比学习的经验。 三、教学目标 1.经历探索矩形的性质定理、直角三角形的性质定理的过程，发展推理能力。 2.能应用矩形的性质、直角三角形的性质解决一些简单的问题，发展应用意识，提升解决问题的能力。 3.进一步体会探索与证明过程中所蕴含的类比、抽象、转化、推理等数学思想。 四、教学重点 1.掌握矩形的性质定理（四个角都是直角、对角线相等）； 2.掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半定理； 3.能够运用矩形性质进行简单计算与推理证明。 五、教学难点 1.矩形特殊性质的逻辑证明； 2.直角三角形斜边上中线定理的推导； 3.灵活把矩形问题转化为直角三角形、等腰三角形问题求解。 六、教学过程设计 【第一环节】知识回顾，引入新课 1.活动内容 带领学生回顾矩形的概念和菱形的相关知识，并提出问题：矩形也是特殊的平行四边形，类比菱形的学习，你认为需要研究矩形的哪些问题？怎样研究呢？与同伴进行交流。 矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 类比菱形的研究方法，我们需要研究矩形的性质与判定。可以通过观察、动手操作、思考交流、类比迁移、猜想并证明等方法来研究。 2.活动目的 通过复习交流，让学生体会从菱形到矩形研究方法的类比迁移。矩形和菱形一样，都是特殊的平行四边形，研究方法和研究角度相似。从而自然过渡到本节课要研究的问题：矩形的性质（自然引出课题）。 3.注意事项 在这个活动中，教师要给予学生充分的复习时间，为下一个活动的实施奠定基础。 【第二环节（一）】推理论证，探究新知 1.活动内容 尝试•思考 矩形具有平行四边形的所有性质。除此之外，你认为矩形有哪些特殊的性质？你是怎样发现的？能证明这些性质吗？先独立思考，再以小组为单位交流讨论，得出结论。 在学生回答的基础上进行归纳，如下表： 图形 性质 边 角 对角线 对称性 矩形 对边平行 且相等 对角相等 对角线互相平分 中心对称图形，轴对称图形 引导学生借助前面研究平行四边形、菱形获得的经验，分别从边、角、对角线三个方面探索矩形的特性。在此过程中，教师要注意提醒学生，这种探索是基于矩形“有一个角是直角”的概念。 探究方法多种多样，学生可以通过测量、观察、猜想和讨论的方式得出结论。比如，测量身边物体（如书本、课桌、铅笔盒等）矩形面的四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果。根据测量的结果，猜想结论。 结论：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。 教师在学生回答的基础上，进一步引导：当矩形的形状、大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？怎样证明你的猜想？ 师生共同写出已知、求证，再请学生分析自己的思路，教师板演，写出证明过程。 已知：如图1，四边形ABCD是矩形，∠ABC＝90°，对角线AC与DB相交于点O。图1 求证：①∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°； ②AC＝DB。 证明：①∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠CDA，∠BCD＝∠DAB（矩形的对角相等）， AB∥DC（矩形的对边平行）。 ∴∠ABC＋∠BCD＝180°。 又∵∠ABC＝90°， ∴∠BCD＝90°。 ∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°。 ②证明方法一：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC（矩形的对边相等）。 在△ABC和△DCB中， ∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB， ∴△ABC≌△DCB。 ∴AC＝DB。 证明方法二：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝DC， ∴AC²＝AB²＋BC²， DB²＝DC²＋BC²， ∴AC＝DB。 2.活动目的 学生通过分组探索、对比迁移、动手测量、动脑思考、观察猜想、动口讨论、推理证明等活动，自主发现矩形的性质。让学生体会矩形特殊性质的得出，可以是多渠道、多方法的，但实践操作或猜想获得的结论不一定正确，需要进行推理论证，进一步验证猜想的正确性和一般性。证明的过程很好地发展了学生的逻辑推理能力和有条理的表达能力。 3.注意事项 探究矩形的性质时，教师要引导学生多角度尝试，但最后的结论是否正确，必须经过严谨的证明。 在证明矩形的两条特有的性质时，其中第一条可以引导学生口头回答，教师板演；第二条则鼓励学生先独立思考，自主分析证明思路并完成证明。在此过程中，教师要及时帮助个别学有困难的学生，并请学生投影展示，师生共同评议。学生可能会出现多样的推理方法，教师纠正细节的同时，要鼓励学生，引导学生规范写出推理过程。教师要充分发挥引导者、合作者的角色作用。 【第二环节（二）】推理论证，探究新知 1.活动内容 引导学生归纳矩形的所有性质，并做适量的随堂练习，巩固新知。 矩形的性质： ①从边来说，矩形的对边平行且相等。 ②从角来说，矩形的四个角都是直角。 ③从对角线来说，矩形的对角线相等且互相平分。 几何语言： 在图1中，∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AC＝BD。 ④从对称性来说，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。 练习 （1）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 （ ）。 A.对角相等 B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分 （2）矩形具有而菱形不具有的性质是 （ ）。 A.四个角都是90° B.对边相等 C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直 2.活动目的 引导学生总结矩形的所有性质，以条目的形式呈现，帮助学生形成完整的知识链条。并通过练习题，将矩形的性质与平行四边形、菱形的性质对比，加强学生对矩形性质的理解。 3.注意事项 教师引导学生归纳矩形的性质，不拘泥于形式。对于练习题，口头回答即可。 【第三环节】建构新知，发展问题 1.活动内容 观察•思考 如图2，在矩形纸片ABCD中，对角线AC与BD相交于点E。将矩形纸片沿AC剪开，得到如图3所示的图形，BE是Rt△ABC中一条怎样的线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到什么结论？ 图2 图3 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 在探索出结论之后，教师板书写出此定理，要求学生写出已知、求证，并进行证明。 以下提供一种证明方法，以作参考： 已知：如图4，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E为斜边AC的中点。 求证：BE＝AC。 证明：如图5，延长BE到D，使得DE＝BE，连接AD，CD。 ∵点E为AC的中点，图4 ∴AE＝CE， ∵DE＝BE， ∴四边形ABCD是平行四边形。 ∵∠ABC＝90°，图5 ∴平行四边形ABCD是矩形（矩形的定义）， ∴AC＝BD（矩形的对角线相等）， ∴BE＝BD＝AC。 思考：这个定理与矩形的性质定理有什么关联？在学习的过程中你有什么思考？ 总结：矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形。 练习 已知：如图6，△ABC是直角三角形，，BD是斜边AC上的中线。 图6 （1）若，则AC＝ cm； （2）若，，则AC＝ cm，BD＝ cm。 2.活动目的 从矩形的对角线相关性质推出直角三角形的性质，达到“学数学，用数学”的目的。学生完成证明的过程，旨在通过应用新知加强推理训练，从而达到学以致用的目的，发展应用意识。 3.注意事项 “观察•思考”活动中，学生从剪纸的角度很容易理解这个定理。但“观察•思考”中问题的条件和该定理的条件不尽相同，要从直角三角形的角度入手，写出证明过程，还是会有点困难。证明这一定理的关键是构造辅助图形（矩形），将直角三角形问题转化为矩形问题。构造矩形的方法不唯一，比如，可以过点A作BC的平行线，与BE的延长线交于点D，连接CD。然后证明△BCE≌△DAE，得到BC＝AD，进而证明四边形ABCD是矩形。再利用“矩形的对角线相等且互相平分”即可证明结论。课堂上如果时间允许，教师应鼓励学生多角度进行探究，引导学生用多种方法进行证明，自然生成辅助线。亦可开展学生组内交流讨论，共同解决问题。 【第四环节】合作交流，解决问题 1.活动内容 例1 如图7，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，求这个矩形对角线的长。图7 分析：根据矩形的对角线相等且互相平分，可以得到OA＝OB＝OC＝OD。再利用等边三角形的性质，即可求解。 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°（矩形的四个角都是直角）， AC＝BD（矩形的对角线相等）， OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD（矩形的对角线互相平分）。 ∴OA＝OD。 ∵∠AOD＝120°， ∴∠ODA＝∠OAD＝。 ∴。 思考：对于例1，你还有其他解法吗？ 随堂练习图8 如图8，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，OA＝4，求BD与AD的长。 2.活动目的 例题是通过应用矩形的边和对角线的性质来解决问题；随堂练习侧重于应用矩形的直角和对角线的性质来解决问题。在学过矩形的性质后，如何熟练、灵活地应用矩形的性质解决实际问题是关键。两道题进一步巩固矩形的性质应用。随堂练习后要进行反思总结：矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；矩形的两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形。因此，有关矩形的问题往往可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决。 3.注意事项 学生刚学习了矩形的性质，在应用上尚显生涩，教师要耐心引导，给予学生充分的独立思考的时间和小组交流的空间，进行讨论、探索，多角度切入问题。教师要提倡解法的多样化，对学生的不同解法应予以鼓励。 【第五环节】反思交流，课堂小结 1.活动内容 本节课你学到了什么知识？它们之间有怎样的关联？用到了哪些研究方法？这些研究方法与平行四边形、菱形的研究方法有什么共同点？ 知识：（1）矩形的性质；（2）直角三角形的性质。 关联：由于性质的特殊性，矩形问题往往可以转化为直角三角形或等腰三角形来解决。 研究方法：类比、转化、迁移、猜想、验证、操作、几何直观……（学生交流、总结，叙述合理教师要给予鼓励） 与平行四边形、菱形的研究方法的共同点：都是从边、角、对角线、对称性这几个方面进行研究的。 课堂检测 （1）下列说法错误的是（ ）。 A.矩形的对角线互相平分 B.矩形的对角线相等 C.矩形有四条对称轴 D.有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）已知矩形的一条对角线长为10 cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 cm。 2.活动目的 通过小结，让学生梳理学习内容，明确本节课的重点知识以及需要掌握的解题方法和技巧，帮助学生建立知识框架。课堂检测可以反馈学生学习效果，体现教学评一致性，便于进行教学优化。 3.注意事项 知识与方法的小结，学生不能很快地总结完整，教师要适时引导，帮助学生建立知识体系，形成前后关联，让学生更好地应用新知，发展应用意识，提升解决问题的能力。 【第六环节】布置作业，能力提升 1.活动内容 （1）基础性作业：教科书习题1.3 第1，2，7题。 （2）发展性作业： 你能用哪些方法检查你家（或教室）门框的形状是不是矩形？如果仅有一根足够长的绳子，你想怎样检查？请与同伴合作，动手操作一下，并尝试说明检查方法的正确性。 2.活动目的 设置分层作业，帮助学生巩固所学知识。其中问题解决类作业，让学生通过实践操作，体会矩形的判定，为下节课的学习做铺垫。 学科网（北京）股份有限公司 $