第29章 三角函数 单元测试 2026--2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

**基本信息** 沪教版五四学制九上三角函数单元卷，120分钟150分，以机器狗、热气球等科技生活情境为载体，覆盖三角函数定义、解直角三角形等核心知识，适配单元复习，培养数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/24|三角函数定义（第2题）、网格三角函数（第3题）|基础概念与几何直观结合| |填空题|12/48|解直角三角形应用（第9题水坝坡比）、科技情境（第11题机器狗）|生活与科技情境真实，梯度分明| |解答题|7/78|综合应用（第22题测量建筑物）、几何推理（第24题证明与计算）|注重实际问题解决，体现应用意识与推理能力|

学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年九上单元测试—三角函数 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：沪教版五四学制2024九年级上册第29章—三角函数 一、单选题（共24分） 1．（本题4分）在中，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．9 2．（本题4分）的值等于（　　） A． B． C． D． 3．（本题4分）如图所示的网格是边长为1的正方形网格，点A，B，C是网格线交点，则（    ） A． B． C． D． 4．（本题4分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（    ）（参考数据：，，） A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm 5．（本题4分）已知，在平面直角坐标系中，，，现将绕点逆时针旋转，当线段第一次与轴平行时，点落在处，点落在处，求（    ） A． B． C． D． 6．（本题4分）把各边的长度都缩小得到，其中与A是对应顶点，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题（共48分） 7．（本题4分）在中，，的余弦值为 ___________________． 8．（本题4分）已知△ABC中，∠ABC＝90°，如果AC＝5，sinA＝，那么AB的长是____． 9．（本题4分）如图，某水坝的坡比为，坡长为30米，则该水坝的高度为___________米． 10．（本题4分）如图，在矩形中，对角线，相交于点．若，则的度数为_____ 11．（本题4分）最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，当机器狗下蹲时，站立时，且保持所在直线始终与地面垂直，则机器狗由下蹲到站立增高了________． 12．（本题4分）______． 13．（本题4分）如图，将一个直角三角形的楔子（）从木桩的底端点沿着水平方向打入木桩下，可以使木桩向上运动（如箭头所示）．已知楔子斜面的倾斜角，若木桩上升，则楔子沿水平方向前进大约 ______________（结果精确到．提示：，， ）． 14．（本题4分）热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高________（结果保留根号）． 15．（本题4分）已知：中，，，所对的边分别是，，，边，且满足，则边的长为______． 16．（本题4分）一天正午，太阳光与水平地面的夹角为．身高为的小明站在水平地面上，此时他的影长为________．（参考数据，，） 17．（本题4分）如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆的长为，点是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的．图中的座板与地面保持平行，变形前后两轴心的变化量为_________ cm．（参考数据：） 18．（本题4分）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为____________________． 三、解答题（共78分） 19．（本题10分）计算：． 20．（本题10分）图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得． (1)如图2，___________度； (2)如图2，求点到靠背的距离；（精确到） (3)如图3，靠背绕点旋转至与小桌板支架重合，已知杯托凹陷深度为，求乘客水杯（恰好放进杯托，空隙忽略不计）的最大高度． 21．（本题10分）如图．在中，于点D，若． (1)求的长； (2)求的值． 22．（本题10分）综合实践活动中，某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物和的高，因为这两栋建筑物高度相同，于是这个小组设计出一种简捷的方案，如图所示： （1）把直角尺的顶点放在两栋建筑物之间的地面上，调整位置使直角尺的两边，所在直线分别经过建筑物外立面的顶部和； （2）用皮尺度量和的长度； （3）通过计算得到建筑物的高度．若示意图中点A，，，，，，均在同一平面内．测得，．请求出这两栋建筑的高度． 23．（本题12分）计算：． 24．（本题12分）如图，在中，． (1)求证：． (2)若，求的值． 25．（本题14分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点均是格点．的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上找到点，连结，使为中边上的中线． (2)在图②中的边上找到点，连结，使： (3)在图③中的边上找到点，连结，使． 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年九上单元测试—三角函数 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：沪教版五四学制2024九年级上册第29章—三角函数 一、单选题（共24分） 1．（本题4分）在中，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形中锐角三角函数的定义（正弦函数），解题的关键是明确正弦函数的核心关系——，并准确对应直角三角形中的边（对边为，斜边为，代入已知条件计算． 在中，先根据确定的对边是、斜边是；再根据正弦定义列出的等式；最后将、代入等式，求解的长度，匹配选项得出答案． 【详解】解：在中，，． 已知，，代入得：． 解得． 故选：B． 2．（本题4分）的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是关键． 直接根据特殊角的三角函数值即可得出答案． 【详解】解：， 故选：D． 3．（本题4分）如图所示的网格是边长为1的正方形网格，点A，B，C是网格线交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数的知识解答．根据题意作出合适的辅助线，然后利用勾股定理可以求得的长，从而可以求得的值． 【详解】解：作交的延长线于点D，如图所示， 由图可知，， ， ， 故选：C． 4．（本题4分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（    ）（参考数据：，，） A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质及BC＝44cm，可得cm，根据等腰三角形的性质及，可得，在中，由，求得AD的长度． 【详解】解：∵等腰三角形ABC，AB＝AC，AD为BC边上的高， ∴， ∵BC＝44cm， ∴cm． ∵等腰三角形ABC，AB＝AC，， ∴． ∵AD为BC边上的高，， ∴在中， ， ∵，cm， ∴cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 5．（本题4分）已知，在平面直角坐标系中，，，现将绕点逆时针旋转，当线段第一次与轴平行时，点落在处，点落在处，求（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理和解直角三角形，过作轴于点，交于点，由旋转性质可知：， ，则由勾股定理得， 则，，最后用正切的定义即可解，熟练掌握知识点的运用是解题的关键． 【详解】如图，过作轴于点，交于点， ∵，， ∴， 由旋转性质可知：， ∴，，， ∴， ∴，则由勾股定理得： ∴，， ∴， 故选：． 6．（本题4分）把各边的长度都缩小得到，其中与A是对应顶点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数．根据各边的长度都缩小得到，则两个三角形相似，则，再根据正切三角函数即可求解． 【详解】解：∵把各边的长度都缩小得到， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题（共48分） 7．（本题4分）在中，，的余弦值为 ___________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了余弦．根据余弦的定义，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 故答案为：． 8．（本题4分）已知△ABC中，∠ABC＝90°，如果AC＝5，sinA＝，那么AB的长是____． 【答案】4 【分析】根据三角函数的定义，求得的长度，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由三角函数的定义可得： 又∵ ∴ 由勾股定理得 故答案为4 【点睛】此题考查了三角函数的定义以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的有关定义． 9．（本题4分）如图，某水坝的坡比为，坡长为30米，则该水坝的高度为___________米． 【答案】15 【分析】根据斜坡的坡比为，确定，利用特殊角的三角函数解答即可． 本题考查了解直角三角形的坡比计算，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：∵米， 斜坡的坡度为，， ∴, ∴， ∴， 故答案为：15． 10．（本题4分）如图，在矩形中，对角线，相交于点．若，则的度数为_____ 【答案】或度 【分析】本题考查了解直角三角形的计算，掌握锐角三角函数值的计算是关键． 根据题意得到，则，结合矩形的性质得到，则，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为： ． 11．（本题4分）最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，当机器狗下蹲时，站立时，且保持所在直线始终与地面垂直，则机器狗由下蹲到站立增高了________． 【答案】 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识．分别求出机器狗下蹲和机器狗站立时的高度，作差即可求出答案． 【详解】解： 当机器狗下蹲时， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 当机器狗站立时，如图，连接，作于点H， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴机器狗由下蹲到站立增高了 故答案为： 12．（本题4分）______． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值混合运算，把特殊角的三角函数值代入计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 13．（本题4分）如图，将一个直角三角形的楔子（）从木桩的底端点沿着水平方向打入木桩下，可以使木桩向上运动（如箭头所示）．已知楔子斜面的倾斜角，若木桩上升，则楔子沿水平方向前进大约 ______________（结果精确到．提示：，， ）． 【答案】 【分析】解即可． 【详解】解：由题意得，， 在中， ∴， 则锲子沿水平方向前进大约． 14．（本题4分）热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高________（结果保留根号）． 【答案】 【分析】在中，求出，在中，求出，根据即可求出楼的高度． 【详解】解：在中，，， ， 在中，，， ， 米． 15．（本题4分）已知：中，，，所对的边分别是，，，边，且满足，则边的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．先利用绝对值和完全平方的非负性得到，，求出，的度数，得出，再在中利用锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 在中，， ． 故答案为：． 16．（本题4分）一天正午，太阳光与水平地面的夹角为．身高为的小明站在水平地面上，此时他的影长为________．（参考数据，，） 【答案】 【分析】本题将实际问题转化为直角三角形问题，利用锐角正切的定义求解，小明身高垂直地面，影长为水平直角边，结合太阳光与地面的给定夹角，代入参考正切值即可计算出影长． 【详解】解：设此时小明的影长为， 由题意可得，小明身高垂直于水平地面，身高、影长与太阳光构成直角三角形，其中太阳光与水平地面的夹角为，该角的对边为小明身高，邻边为影长， 根据正切的定义得，将代入得， 解得． 17．（本题4分）如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆的长为，点是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的．图中的座板与地面保持平行，变形前后两轴心的变化量为_________ cm．（参考数据：） 【答案】4 【分析】首先在图2中，利用等腰三角形三线合一的性质和锐角三角函数求出的长，进而求出此时的长；然后在图3中，通过作辅助线构造矩形和直角三角形，利用锐角三角函数和勾股定理求出此时的长；最后计算两者的差值即可． 【详解】解：如图2，过点作于点， 由题意可知cm，为中点， cm． 又∵cm， ， ． 在中，， (cm)， (cm)， 图2中的长为(cm)． 如图3，过点作于点，过点作于点， ∴， ， ∴， 四边形是矩形， cm，． 在中，， (cm)， (cm)， cm． 在中，cm， 由勾股定理得(cm)， 图3中的长为(cm)， 变形前后两轴心的变化量为(cm)． 18．（本题4分）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为____________________． 【答案】 【分析】设，证明，可求得，根据的面积为，得到，求得，解方程得，根据勾股定理可得，从而可得的值． 【详解】解：如图，在图中标注，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都是， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，，（舍去）， ∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握以上性质． 三、解答题（共78分） 19．（本题10分）计算：． 【答案】 【分析】先计算算术平方根、特殊角的三角函数值并化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】解： ． 20．（本题10分）图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得． (1)如图2，___________度； (2)如图2，求点到靠背的距离；（精确到） (3)如图3，靠背绕点旋转至与小桌板支架重合，已知杯托凹陷深度为，求乘客水杯（恰好放进杯托，空隙忽略不计）的最大高度． 【答案】(1)； (2)点到靠背的距离约为； (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质、解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义以及将实际问题转化为直角三角形模型的方法是解题的关键． （1）根据垂直于地面，平行于地面，可知平行于，再利用平行线的性质求出的度数． （2）过点作于点，在中，利用正弦函数的定义求出的长度，即为点到靠背的距离． （3）过点作于点，先求出的度数，再利用正切函数的定义求出的长度，最后结合杯托凹陷深度计算水杯的最大高度． 【详解】（1）解：如图， 由题意可得，，， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）解：延长交于点， ∵，， ∴， ，， ， 答：点到靠背的距离约为； （3）解：过点作，则， ， ， ， ， 水杯的高为：， 乘客水杯的最大高度为． 21．（本题10分）如图．在中，于点D，若． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确求出的长是解题的关键． （1）直接在中根据正切的定义求解即可； （2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵在中，， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 22．（本题10分）综合实践活动中，某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物和的高，因为这两栋建筑物高度相同，于是这个小组设计出一种简捷的方案，如图所示： （1）把直角尺的顶点放在两栋建筑物之间的地面上，调整位置使直角尺的两边，所在直线分别经过建筑物外立面的顶部和； （2）用皮尺度量和的长度； （3）通过计算得到建筑物的高度．若示意图中点A，，，，，，均在同一平面内．测得，．请求出这两栋建筑的高度． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 由“等角的余角相等”得到，继而，代入求解即可． 【详解】如图，由题意得，，， ，， ， ， ， ， 即， 设，可得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：两栋楼的高度为． 23．（本题12分）计算：． 【答案】 【分析】利用、、、、这些特殊角的三角函数值，按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序进行计算． 本题主要考查了特殊角的三角函数值的运算，熟练掌握特殊角（、、）的三角函数值以及实数的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 24．（本题12分）如图，在中，． (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1) 证明如下： ∵中，， ∴，，， ∴，， ∴． (2) 【分析】本题考查锐角三角形函数的知识，解题的关键是掌握正弦，余弦的应用，勾股定理的应用，利用完全平方公式，对式子进行变形，进行解答，即可． （1）根据正弦，余弦，勾股定理，可得，，，通过变形可得，，，再进行计算即可； （2）根据题意，，变形可得，再根据，即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 25．（本题14分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点均是格点．的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上找到点，连结，使为中边上的中线． (2)在图②中的边上找到点，连结，使： (3)在图③中的边上找到点，连结，使． 【答案】(1)解：如图所示即为所求， (2)解：如图所示即为所求， (3)解：如图所示即为所求， 【分析】（1）因为三角形中线对应边的中点为分点，所以先找到的中点D，连接即可，利用网格格点可直接确定线段中点． （2）因为等高的两个三角形面积比等于底边长的比，所以要满足，需使，利用平行线分线段成比例的网格作图方法确定上的分点E． （3）因为意味着角所在直角三角形对边与邻边比为，所以先构造出正切值为且以B为顶点、一边为的角，该角的另一边与的交点即为F，可借助网格格点构造符合要求的直线． 【详解】（1）解：直接取的中点，即上距离B点2个单位的格点，连接，即为所求． （2）解：利用网格平行线分线段成比例找到上靠近的三等分点，连接，即为所求， 理由：取格点M，N， ∵， ∴， ∵和同高，高均为点到的距离，设为h， ∴， ∴． （3）解：过作横跨4格、纵升2格的直线，交于点，点F即为所求， 理由：连接， ∵， ∴是直角三角形，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $