21.2一元二次方程的解法 同步练习-2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程解法，通过三层梯度设计覆盖解法应用、根与系数关系及实际问题，适配新授课知识巩固与数学思维培养，体现运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|直接开平、配方等单一解法|选择填空基础题（如第1题直接开平条件）| |能力提升|解法综合与根的关系应用|解答题方法综合（如第19题根与系数关系）| |综合应用|实际问题与数学方法迁移|情境题与方法拓展（如第22题配方法求面积最值）|

21.2一元二次方程的解法 满分120分，时间120分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题4分，共48分） 1．如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 3．若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（     ） A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．是17的算术平方根 D．是17的算术平方根 4．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（     ）． A． B． C． D． 5．设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 6．是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 7．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 8．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 9．下列说法：①关于x的一元二次方程无实数解；②无论m为何值，关于x的一元二次方程都有两个不相等的实数根；③若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是且．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．若，且，，则=（     ） A． B． C． D． 11．设、是方程的两个实数根，实数、满足：，，则的值为（     ） A． B． C． D． 12．若直角三角形的两边长是方程的实根，则该直角三角形的面积是（     ） A．18 B．24或6 C．32 D．18或36 二、填空题（每小题4分，共16分） 13．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 14．若，当________时，的最大值是________． 15．若，则的值为___________． 16．已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 三、解答题（6个小题，共56分） 17．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．设是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 19．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 20．阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设 那么原方程可化为， 解得， 当时，，，； 当时，，，， 故原方程的解为． 上述解题过程中，将原方程中某个多项式视为整体，并用另一个未知数替换这个整体，从而把高次方程化为低次方程，实现降次的目的，这种解方程的方法称为“换元法”． 解答问题：请用换元法解下列方程： (1)； (2)． 21．用整式乘法的逆运算来进行因式分解，我们把这种方法叫作十字相乘法，即． 例如：分解因式时，，即： 这样我们就可以把分解为．试用十字相乘法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．【课内链接】 我们知道因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解． 【拓展新知】 利用完全平方公式，可以将多项式（、、是常数，且）变形成局部为完全平方式与一个常数的和的形式：，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法．配方法是一种重要的数学方法，运用多项式的配方法能对一些多项式进行“因式分解”与“求最值”． 【理解新知】 配方法的应用．例如： (1)将配方成的形式为：_________________________； (2)利用配方法分解因式：_________________________； (3)多项式的最小值为_________________________； (4)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_________________________． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C A A B B C B A 题号 11 12 答案 D B 13．3 14． 15．5或 16．， 17．（1）解： ∴或， 解得：． （2）解： ∵， ∴， ∴ （3）解 ∴或， 解得：． （4）解： ∴或， 解得：． 18．（1）解：∵，是一元二次方程的两个根 ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴． 19．（1）解：原方程有两个实数根， ，即． 解得． （2）解：且， 即． ， ． 20．（1）解：设， 原方程可化为， ， ，， 当时，， 经检验，是原方程的根； 当时，， 经检验，是原方程的根； 故原方程的解为． （2）解：设， 原方程可化为 ，， ， ， 舍去， 当时，，， 故原方程解为． 21．（1）解： 或 解得； （2）解： 或 解得； （3）解： 或 解得； （4）解： 或 解得． 22．（1）解：； ∴将配方成的形式为：； （2）解：； （3）解： ； ∵， ∴， ∴当时，多项式有最小值，最小值为2026； （4）解：如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，四边形面积有最大值，最大值为8． 学科网（北京）股份有限公司 $