21.2.6 根与系数的关系-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

【创新探究】 13.已知关于x的一元二次方程m,x2-(3m+2) x+2m+2=0(m>0). (1)求证：方程有两个不相等的实数根， (2)设方程的两个实数根分别为x1,x2(其中 x1<x2),若y是关于m的函数，且y=x2 2x1,求这个函数的解析式 (3)在(2)的条件下，结合函数的图象回答： 当自变量m的取值满足什么条件时，y ≤2m. 4 第21章一元二次方程 第6课时根与系数的关系 基础导学 1.关于x的一元二次方程x2+x十q=0 (p,q为常数)有两实根x1,x2,则：(1)2一4q 0;(2)01+2= ;(3)x012=_, 2.如果，x2为一元二次方程ax2+bx十c=0 (a≠0)的两实根，那么x十2= 20T2= ,△=b-4ac0. 3.若ac<0,则关于x的一元二次方程ax2 +bx+c=0一定 实根，这是因 为 注意：使用一元二次方程ax2十bx十c=0的 根与系数的关系的前提为 4.与一元二次方程根与系数的关系有关的 几种常见变形： (1)x12+x22=(01十x2)2-2x1x2; (2)(x1-x2)2=(x1十x2)2-4x1x2; (3)(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1; (4)1+1=西+2 (5)4+2=2+2_十22-22」 C2℃1 C12 C1.C2 (6)a一2=√（一22=√/(0十2）2-402. 典例探究 考点①已知方程一根，不解方程求另一根 【例1】已知方程3x2+mx-5=0的一根 为2，求另一根及m的值. 5 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 规律与方法：此类题解法有：一是让根“回 原”，即将已知根代入原方程即可；二是由根与系 数的关系建立另一根和待定系数的方程组，解之 即得，注意待定系数的值不能让二次项系数为0 或判别式△<0. 【变式训练1】（益阳中考）若x=-1是方 程x2+x+m=0的一个根，则此方程的另一个 根是 () A.-1 B.0 C.1 D.2 考点② 已知方程，求含有两根的代数式 的值 【例2】已知方程2x2+3x一1=0的两根 为x1,2, 求+ 规律与方法：利用根与系数的关系求含有两 根的代数式的值，关键是把代数式转化为含有x 十x2和x1x2的形式. 【变式训练2】(1)已知，22是方程x2一x 3-0的两根则片品 (2)已知一元二次方程x2-3x-4=0的两 根是m,n,则m2+n2= 考点3)已知两实根代数式的值，求待定系数 【例3】已知方程2x2-mx-2m+1=0的 两实根的平方和为架，求m的值。 规律与方法：已知方程两根满足某个条件， 求方程中字母系数m的值，求出m值后必须代入 b2一4ac中检验，看m的取值是否使方程有实根. 【变式训练3】（襄阳中考）关于x的一元 二次方程x2十2x十3一k=0有两个不相等的实 数根。 (1)求k的取值范围； (2)若方程的两个根为α，B,且2=a3+3k, 求k的值. 考点④已知方程两根，求作方程 【例4】求作一方程，使其两根分别为 11 3’5 规律与方法：已知方程两根求作方程，一般 设为x2+px十q=0的形式，只需求出p,g即可. 【变式训练4】已知一元二次方程的两根 分别是2和一3，则这个一元二次方程是() A.x2-6x+8=0 B.x2+2x-3=0 C.x2-x-6=0 D.x2+x-6=0 课后 演 练 【基础过关】 1.已知x1、x2是一元二次方程3x2=6-2x的两 根，则x1一c1x2十x2的值是 () A B.g c.-8 D. 2.（乐山中考)若关于x的一元二次方程x2-8x 十m=0两根为x1、x2,且x1=3x2,则m的值 为 () A.4 B.8 C.12 D.16 3.（内江中考)已知x1、x2是关于x的方程x2一 2x十k-1=0的两实数根，且2+=02+ 1℃2 2x2-1,则k的值为 4.若一元二次方程a.x2=b(ab>0)的两个根分 别是m+1与2m-4,则。 5.若矩形的边长是一元二次方程x2一6x+3=0 的两根，则矩形的周长为 ,面积为 ·47 第21章一元二次方程 6.(鄂州中考)若实数a、b分别满足a2一4a十3 =0,-4仍+3=0，且a≠，则2+方的值为 7.关于x的一元二次方程x2+2x-2m+1=0 的两实数根之积为负，则实数m的取值范围 是 8.(遂宁中考)已知关于x的一元二次方程x2一 (m+2)x+m-1=0. (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相 等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且x12十 22一x12=9,求m的值. 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 【能力提升】 9.若t为实数，关于x的方程x2一4x+t一2=0 的两个非负实数根为a、b,则代数式(a2一1) (62-1)的最小值是 10.(湖北中考)已知一元二次方程x2-3x十k= 0的两个实数根为1，x2,若x1x2+2x1+ 2x2=1,则实数k= 11.已知a,b是方程x2一x-3=0的两个根，则 代数式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值 为 12.(南充中考)已知x1,x2是关于x的方程x2 一2kx十k一k十1=0的两个不相等的实 数根， (1)求的取值范围. (2)若k<5,且，x1,x2都是整数，求 的值. 【创新探究】 13.我们在探究一元二次方程根与系数的关系 中发现：如果关于x的方程x2+x+g-0 的两个根是x1,x2,那么由求根公式可推出 十x2=一力，xx2=q,请根据这一结论，解 决下列问题： (1)若a,B是方程x2-3x+1=0的两根，则a +B=3,a3=1;若2,3是方程x2十mx+n=0 的两根，则m= ,n= (2)已知a,b满足a2-5a+3=0,b-5b+3 =0,求号+合的值； (3)已知a,b,c满足a十b十c=0,abc=5,求 正整数c的最小值 8·【例2】(1a==5,(2a=2,4=-号 1 (3)m==2;（4)原方程无实数解。 【变式训练1】2-98179十厘9-V回 4 【使武训练2】涵=2生5a2≥5 ②a-t区%-1 6 【例3】(1)m=3+5 ,235(2)x1=1+3,2一 5,(3=-2a=-9:0m=14a=-12 课后演练 1D2B3D4C5是 6号或-号 7.x1=-2,x2=4 80=1+9a=1-9 2 (2)1=为=35 9.1m=分%=-1(2)m=1+5,=15 2 ,2= (8a=18,=-号 10（①=%a=1（2m=2或3 11.a=-5+3 ,6=-5-37 6 6 第5课时根的判别式 基础导学 1.-4ac△=B-4ac 2.(1)两个实数根两个不相等的实数根 两个相等的实数根(2)无实根 典例探究 【例1】(1)此方程有两个相等的实数根 (2)此方程没有实数根 (3)此方程有两个不相等的实数根 (4)此方程有两个不相等的实数根【变式训练1】A 【例2】原方程可化为：x2-3x十2一m2=0,△=4m2十1> 0,结论成立. 【例3】(1)k<4且≠0.(2)k=4.(3)k>4. 【变式训练2】(1)B(2)2或-1(3)a≥-1 【变式训练3】(1)原方程总有两个实数根 37 指南针·课堂优化· (2)存在实数一10，一6，使原方程两个根为连续偶数 课后演练 1.A2.C3D4B5.(1m<号 (2)k≥-6 6.17.等腰三角形（非等边三角形） 8.(1)当m<1且m≠一1时，方程有两个不相等的实数根； (2)方程不可能有两个相等的实数根； (3)当m>1时，方程没有实数根， ,Qk≤是（②m的值为号 10.B11.a>-4 12.(1)m>3(2)-2 13.(1)证明略(2)y=2(m>0) m (3)在同-直角坐标系中分别画出y=2(m>0)与y 2m(m>0)的图象，由图象可得：当m≥1时，y≤2m. 第6课时根与系数的关系 基础导学 1.≥ -p92.-6日 ≥ 3.有两个不等a≠0且△>0a≠0且△≥≥0 典例探究 【例1】x2= 5 7 ,m=- 【变式训练1】B 【例2】13【变式训练2】1)-号 (2)17 【例3】m=3 【变式训练3】(1)k的取值范围是：k>2(2)k的值为=3 【例)所求方程为t-一是x十名=0【变式训练)D 课后演练 1D2.C32445.1236号7m> 8.(1)证明略(2)m的值为一2或1 9.一1510.一511.2312.(1)k>1(2)k的值为2 13.(1①m=-5,m=6(2)号或2(3)正整数c的最小值是3 专题练习2与一元一次方程 有关的阅读理解题 类型1 1.(1)1=√2，x2=-√2,3=3，x4=-√5 (2)5或45±7V厘 41 4 (3)15 九年级上册·数学(HS) 类型2 (3)设第一年用甲方案整理降低的Q值为x, 2.(1)AC(2)顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点，图略 第二年Q值因乙方案治理降低了100m=100×0.3=30, (3)可用函数观点认识二元一次方程组的解（答案不唯一）. (30-a)十2a=39.5,a=9.5,x=30-a=20.5. 类型3 12.(1)该商城4月份卖出125辆自行车 3.0)号 - 2号 (3)士√17 (2)该商城应进人A型车34辆，B型车13辆 第21章《一元二次方程》专题复习 21.3 实践与探究 【例1】A【例2】m=√2时，原方程为一元二次方程. 第1课时数字、面积问题 【例3】C【例4)a2+形=5. 基础导学 1.审题等量关系数学问题 【50✉=9&=专：2)a=3,=号； 典例探究 【例1】这三个奇数分别是：一3，一1,1或15,17,19. 【例2】这个两位数是68.【变式训练1】这个两位数为36 【例6)B【例7】a≥-1 【例3】道路的宽为2m 【例8】(1)证明略(2)△ABC的周长为a+b+c=10. 【变式训练2】羊圈的边长AB,BC分别是20米、20米 【例9】每周应限定参观的人数是2000人，门票价格是20元 课后演练 第21章章末测试 1.A2.B3.A4.A5.-3或516.97.28.24cm 1.C2.A3.D4.B5.B6.C7.B8.B 9.(1)长40m,宽20m(2)1500m2 9.=a=510.>-111.-412.-号 10.这个两位数为2411.(1)5s(2)1.6s或4.8s 12.分别在10s、15s、30s时，两只蚂蚁与O点组成的三角形 13.34号小号 的面积是450cm. 15.(10m=3+√页，2=3-(2)x1=8, 33=2 第2课时增长率问题 (3)=2m,x2=3m 4 基础导学 基数变动后的数增长（或降低）的百分率 16.四 x=-b土VF-4ac x=6,x2=-4 典例探究 2a 【例1】(1)2.6(1十x);(2)可变成本平均每年增长的百17.(1)4月份再生纸的产量为500吨 分率为10%. (2)m的值为20(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元 【例2】10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为20% 18.(1)1秒(2)2秒(3)不能 【变式训练1】每顶头盔应降价20元 第22章图形的相似 【变式训练2】(1)月平均增长率为20% (2)售价应降低 20元. 22.1 成比例线段 课后演练 第1课时成比例线段 1.A2.B3.B4.C5.200(1+x)2=401 基础导学 6.60+60(1+x)+60(1+x)2=2007.25% 1.成比例线段 2合=台34号 d 8.(1)从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长 典例探究 率为20%；(2)下调后每架无人机的售价为2万元 9.(1)y=一10x+1000(2)50万元/台10.30% 【a0-号②2-8÷13=0 169 11.(1)n=0.3 【例2】(1)(2)不是(3)(4)是 1 (2)m=2 第二年用乙方案新治理的工厂数量为60家 【变式训练】D【刚3】兰=子 38