专题15.1 图形的轴对称 讲义（考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦图形的轴对称核心知识点，系统梳理轴对称及成轴对称的概念与性质，补充轴对称与中心对称的对比拓展，详解线段垂直平分线的定义、性质及判定，构建从基础概念到拓展应用的递进知识支架。 资料通过16类典型题型（如折叠问题、将军饮马模型）和探究式学习，培养学生几何直观与空间观念（数学眼光），提升推理能力（数学思维）。课中助力教师分层教学，课后检测与复盘笔记帮助学生查漏补缺，强化应用意识（数学语言）。

简一数理 初中专题讲义 专题15.1 图形的轴对称 （新教材人教版） 知识点一、轴对称、成轴对称的概念和性质 2 知识点二、图形的轴对称与中心对称（补充拓展） 3 知识点三、线段的垂直平分线 3 【题型1 轴对称图形的识别】 4 【题型2 成轴对称的两个图形的识别】 5 【题型3 根据成轴对称图形的特征进行判断】 6 【题型4 根据成轴对称图形的特征进行求解】 7 【题型5 台球桌面上的轴对称问题】 8 【题型6 光线反射中的轴对称问题】 9 【题型7 折叠中的轴对称问题】 11 【题型8 线段垂直平分线的性质】 12 【题型9 线段垂直平分线的判定】 13 【题型10 写出命题的逆命题】 14 【题型11 判断是否为互逆命题】 14 【题型12 互逆定理】 15 【题型13 作已知线段的垂直平分线】 15 【题型14 作垂线（尺规作图）】 16 【题型15 画对称轴】 18 【题型16 对称轴条数】 20 【探究式学习】 21 【课后检测】 23 【复盘笔记】 29 知识点一、轴对称、成轴对称的概念和性质 1. 轴对称图形（单个图形自身对称） 定义：一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴。 例：等腰三角形、长方形、圆、线段、角。 2. 成轴对称（两个图形对称） 定义：两个平面图形沿一条直线折叠后能够重合，称这两个图形成轴对称，直线是对称轴。 两者区别与联系 · 区别：轴对称图形是1 个图形；成轴对称是2 个图形。 · 联系：把成轴对称的两个图形看成整体，就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴分开，得到两个成轴对称的图形。 3.轴对称核心性质（必考） · 成轴对称的两个图形全等（对应边、对应角相等）； · 任意一组对应点的连线，被对称轴垂直平分； · 对应线段、对应角分别相等；对应线段延长线的交点在对称轴上。 4.典型应用模型：将军饮马（最短路径） · 题型：直线同侧两点，求直线上动点P使PA+PB最小； · 作法：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，和直线交点即为P； · 原理：轴对称转化折线，利用 “两点之间线段最短”。 5.三角形拓展 · 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边上的高（中线、顶角角平分线）； · 三角形三边垂直平分线交于一点（外心），外心到三顶点距离相等； · 锐角△：外心在内部；直角△：外心在斜边中点；钝角△：外心在外部。 6.高频易错点 · 对称轴是直线，不是线段、射线； · 全等图形不一定轴对称，轴对称图形一定全等； · 作图不可省略垂线、圆弧痕迹，会扣分； · 混淆 x、y 轴对称坐标符号； · 判定垂直平分线，必须同时满足 “垂直 + 平分” 两个条件。 知识点二、图形的轴对称与中心对称（补充拓展） 一：轴对称与中心对称 类别 轴对称 中心对称 定义 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 性质 1）对应点的连线被对称轴垂直平分； 2）成轴对称的两个图形全等； 3）只有一条对称轴. 1）对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分； 2）成中心对称的两个图形全等； 3）只有一个对称中心. 二：轴对称图形与中心对称图形 类别 轴对称图形 中心对称图形 定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 性质 1）有对称轴; 2）将图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分完全重合. 1) 有对称中心; 2) 将图形绕对称中心旋转180°旋转后的图形能与原来的图形重合. 知识点三、线段的垂直平分线 1.定义 经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线（中垂线）。 两层要求：①平分线段；②与线段垂直。 2.两大核心定理（必考） (1) 性质定理（线上点→到两端距离相等） 线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言： 若直线l垂直平分AB，点P在l上，则 PA=PB。 (2) 判定定理（到两端等距→在垂直平分线上） 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言： 若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 3.集合意义 线段的垂直平分线，是所有到线段两端点距离相等的点的集合。 4.尺规作图：作已知线段的垂直平分线 5.三角形拓展考点 · 三角形三边垂直平分线交于同一点，这个点叫外心； · 外心到三角形三个顶点的距离相等（外接圆圆心）； · 锐角三角形：外心在三角形内部； · 直角三角形：外心在斜边中点； · 钝角三角形：外心在三角形外部。 6.常见题型 & 易错点 (1) 基础计算：利用PA=PB列线段等式求边长； (2) 作图题：补全轴对称图形、找对称轴、将军饮马作对称点； (3) 易错坑： ① 只平分线段不垂直，不是垂直平分线； ② 判定定理需两个端点距离同时相等，单一端相等不成立； ③ 作图半径不能小于二分之一线段长，否则无交点。 7.和轴对称的关联 两个成轴对称图形，对应点连线的垂直平分线，就是这两个图形的对称轴。 【题型1 轴对称图形的识别】 【例1】下列银行的标识中，是轴对称图形的是（     ） A．中国建设银行 B．招商银行 C．交通银行 D．中国农业银行 【变式1-1】如图，由两个大小不同的等边三角形组成的图形中，能构成轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列图形都是由一对全等三角形组成的，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【题型2 成轴对称的两个图形的识别】 【例2】下列说法正确的是（    ） A．成轴对称的图形是两个图，轴对称图形是一个图 B．若两线段互相垂直平分，则这两线段互为对称轴 C．所有直角三角形都不是轴对称图形 D．两个内角相等的三角形不是轴对称图形 【变式2-1】如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 【变式2-2】下列说法不正确的是（   ） A．两个关于某直线对称的图形一定全等 B．成轴对称的两个图形中，对称轴是对称点连线的垂直平分线 C．等腰三角形是轴对称图形，对称轴是角平分线所在直线 D．平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称 【变式2-3】如图，已知点，，，在一条直线上，并且，那么这两个全等三角形属于全等变换中的___． 【题型3 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【例3】如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，将一正方形纸片沿图1中的对角线对折一次得图2，再沿图2中的斜边上的中线对折一次得图3，然后用剪刀沿图3中的虚线剪去一个角得图4，将图4展开铺平后的平面图形是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，淇淇将第枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，与关于直线l对称，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．直线l垂直平分 【题型4 根据成轴对称图形的特征进行求解】 【例4】如图，与关于直线l对称，且，，则（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（     ） A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7 【变式4-3】如图，在中，，，，，D为上一点，，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A．2.4 B．3 C．4 D．5 【题型5 台球桌面上的轴对称问题】 【例5】小静同学观察台球比赛，从中受到启发，抽象成数学问题如下：如图，已知长方形，小球从出发，沿如图所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，小球第1次碰到长方形的边时的位置为，第2次碰到长方形的边时的位置为，第3次碰到长方形的边时的位置为若不考虑阻力，则小球第2026次碰到长方形的边时的位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，动点P从出发，沿所示的方向运动，到时记为第一次反弹，以后每当碰到矩形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角．那么点P第2019次反弹时碰到矩形边上的点的坐标为（　　） A． B． C． D． \【变式5-3】如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（    ） A．0 B．5 C．6 D．7 【题型6 光线反射中的轴对称问题】 【例6】平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】．如图①，物理学中把过入射点并且垂直于镜面的直线称为法线，入射光线与法线的夹角称为入射角，反射光线与法线的夹角称为反射角．光线经过平面镜反射，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分居在法线两侧，且反射角等于入射角，即，这就是光的反射定律．如图②，，为两块平面镜，一束光线从点射出，经过平面镜两次反射后经过点，两条光线，相交于点．若两条光线的夹角，则两块平面镜的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】．如图，一束光线从上的点发出，经过平面镜上的点反射后，其反射光线与平行，若测得，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列结论错误的个数是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型7 折叠中的轴对称问题】 【例7】如图，已知四边形纸片中，，点E，F分别在边，上，将纸片沿着折叠，点A落在点G处，交于点H．若比的4倍多，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】小颖同学热爱折纸，有一天她按照如下方法对一张长方形的纸片进行了折叠： 若图3中，，则（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，在长方形中，，，点、分别在、上，将长方形沿折叠，使点，分别落在长方形外部的点，处，则阴影部分图形的周长为（     ） A．12 B．24 C．48 D．56 【变式7-3】将一张两边互相平行的纸条折成如图所示的形状，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型8 线段垂直平分线的性质】 【例8】下列命题中，真命题是（     ） A．两个全等三角形一定关于某条直线对称； B．在同一平面内，一条线段有且仅有一条垂直平分线； C．腰长对应相等的两个等腰三角形全等； D．两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等． 【变式8-1】如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，且，则的周长是（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【变式8-3】如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【题型9 线段垂直平分线的判定】 【例9】如图所示，已知是的平分线，，点在线段上，下列结论：①；②；③平分；④是的垂直平分线．其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【变式9-1】如图，点A，B分别在射线上，以A为圆心，长为半径画弧，以O为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C（点C，B不重合），连接，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，点A在直线l外，以点A为圆心，a长为半径画弧，交直线l于B，C两点，分别以点B，C为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D，作直线．下列说法中，一定正确的是（     ） A． B． C．垂直平分 D．垂直平分 【变式9-3】如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1：以为圆心，为半径画弧①； 步骤2：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点； 步骤3：连结，交的延长线于点．下列叙述正确的是（    ） A．垂直平分线段 B．平分 C． D． 【题型10 写出命题的逆命题】 【例10】下列说法错误的是（    ） A．一个真命题的逆命题可能是真命题 B．一个定理不一定有逆定理 C．任何一个定理都有逆定理 D．若，则的逆命题是若，则 【变式10-1】下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．若，则 C．直角三角形的两个锐角互余 D．若，则 【变式10-2】下列命题的逆命题为真命题的是（     ） A．对顶角相等 B．等边三角形的三个内角相等 C．四边形是多边形 D．全等三角形的面积相等 【变式10-3】下列命题中，逆命题是真命题的为（     ） A．全等三角形的对应边相等 B．若，则 C．对顶角相等 D．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 【题型11 判断是否为互逆命题】 【例11】命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【变式11-1】下列命题的逆命题正确的是(     ) A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等 【变式11-2】“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【变式11-3】判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【题型12 互逆定理】 【例12】下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形的对应边相等 C．对顶角相等 D．直角三角形的两个锐角互余 【变式12-1】下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（） A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题 B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题 C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行” D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理 【变式12-2】下列定理中，有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．两个全等三角形的面积相等 D．平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【变式12-3】定理“三角形的三条中线交于一点”的逆定理是（） A．三条线段交于一点，它们是三角形的中线 B．交于一点的三条线段是三角形的中线 C．这个定理没有逆定理 D．如果三条线段是三角形的中线，那么它们交于一点 【题型13 作已知线段的垂直平分线】 【例13】在如图三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（     ） A．图1 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3 【变式13-1】观察下列作图痕迹，所作线段能把三角形的面积分成相等的两部分的是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】在如图所示的方格图中，按下述要求画图并回答问题： (1)过点C画出线段的垂线，垂足为点D； (2)量出点C到线段所在直线的距离（精确到1）； (3)画出线段的垂直平分线． 【变式13-3】已知：锐角，求作：点P，使，且点P到边的距离与到边的距离相等．（不写作法，铅笔作图，保留作图痕迹） 【题型14 作垂线（尺规作图）】 【例14】如图，在中，，平分，点在上，． (1)用尺规作，垂足为（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【变式14-1】如图，已知，点在射线上，请用尺规作图法在射线上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式14-2】作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图所示，已知和点，，画一点，使得点到的两边距离相等，且． 【变式14-3】如图，在中，请用尺规作图法，在上求作一点，连接，使得最小．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型15 画对称轴】 【例15】不能用无刻度直尺直接准确画出下列轴对称图形的所有对称轴的是(    ) A．   B．   C．   D．   【变式15-1】下面的图形中对称轴最多的是（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】已知五边形是轴对称图形，是一组对称点，仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)若点在上，在图①中作出五边形的对称轴和点的对称点； (2)为平面内任意一点，直线是五边形的对称轴． ①若点在五边形内，在图②中作出点关于直线的对称点； ②若点在五边形外，用两种方法在图③中作出点关于直线的对称点． 【变式15-3】如图，已知线段与点，按要求用无刻度直尺与圆规作图： (1)若线段、线段关于直线l对称，点A与点重合，作出对称轴l．（在图1中完成作图）． (2)若线段沿直线n作轴对称变换，线段恰好能落在直线m上，作出对称轴n．（在图2中完成作图）． (3)平移线段，使点A与点重合，作出平移后的线段的端点．（在图3中完成作图）． 【题型16 对称轴条数】 【例16】中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列4个选项中分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材埋壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，有且只有一条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 【变式16-1】下列图形的对称轴最少的是（    ） A．菱形 B．正方形 C．圆 D．等边三角形 【变式16-2】下列图形中，对称轴最多的是（）． A． B． C． D． 【变式16-3】下列命题中，真命题的是（    ） A．面积相等的两个三角形全等 B．全等三角形的对应边相等 C．两个全等的三角形一定成轴对称 D．所有等腰三角形都只有一条对称轴 【探究式学习】 1．综合与探究． 【图形呈现】如图：，，点在的垂直平分线上， 【初步探究】的长度有什么关系？请你说明理由； 【探究发现】与有什么关系？说明理由； 【拓展探究】如果，求与间的数量关系． 2．一张直角三角形纸片，，其中，点，分别在边，上．将沿折叠，点的对应点为点．记为，记为，我们来探究和的数量关系． 先从特殊情况探究： (1)如图1，若，则_______，_______，由此可得：_______； 再探究一般情况： (2)如图2，若点落在直角三角形纸片内，请你猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若点落在直角三角形纸片外，请直接写出与的数量关系． 3．综合与探究 【问题呈现】如图1，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． 【问题解决】请判断之间具有怎样的数量关系？说明理由． 【问题探究】如图2，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E．请判断之间具有怎样的数量关系？说明理由． 【探究延伸】如图3，在等腰中，，，点E在边上，的垂直平分线交于点D，连接，．若，，则______． 【课后检测】 1．如图，在长方形纸片中，，点，分别在边，上，将纸片沿折叠，，两点的对应点分别为，．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 3．如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（     ） A． B． C． D． 4．如图，点C是内的一点，点，分别是点C关于的对称点，交于点D，交于点E．若，则的周长是（     ） A．12 B．13 C．15 D．18 5．数学活动中，学生通过折纸活动探究三角形的三条重要线段，如图是小明、小亮、小强三位同学的折纸示意图（C的对应点是），分析他们的折纸情况，下列说法正确的是（     ） A．小明折出的是中边上的中线 B．小亮折出的是中的平分线 C．小强折出的是中边上的高 D．上述说法都正确 6．如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，若，则（     ） A． B． C． D． 7．如图，将一条两边互相平行的纸带按如图所示折叠，则与满足的数量关系是（     ） A． B． C． D． 8．指出下列命题中的假命题（     ） A．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 B．三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 C．斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等 D．等腰梯形在同一底上的两个角相等 9．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在三角形外的点处，若，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 10．如图，在三角形纸片中，D，E分别是边，上的点，将三角形纸片沿折叠，使点A落在边上的点F处，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 11．把长方形沿着直线对折，折痕为，对折后的图形的边恰好经过点C．若，则______． 12．如图是小明制作的一个轴对称图形风筝，已知是对称轴，，，则_________． 13．如图，的边的长为，面积为，边的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一个动点，则的最小值为________． 14．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，． 求作：，使，点，分别在边，上，且点到边，的距离相等． 15．如图，，垂足为点，．求证：． 16．平分角仪器是工程中经常用到的工具，它利用了三角形全等的判定和性质以及轴对称等有关数学知识，请解决下列问题： (1)如图1，在仪器中，，，将仪器上的点与的顶点重合，调整，的夹角，使仪器的，分别与的两边重合，沿画射线．试说明平分； (2)如图2所示，仪器的两边都是刻度尺，在刻度尺上取，，将仪器上的点与的顶点重合，调整仪器的夹角，使仪器的两边分别与的两边重合，连接，交于点，沿画射线．试说明平分； (3)如图3所示，若点是的平分线上一点，点，分别为，上的点，且，，请先补全图形，再直接写出的度数（用含的代数式表示）． 17．如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． (1)若，，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 18．综合与探究 如图，将线段向右平移一段距离，得到线段（点，的对应点分别是点，），连接和．点是线段上一点，连接，将三角形沿折叠得到三角形（点的对应点是点）． (1)如图，当点落在线段上时，求证：； (2)如图，当在和之间时，猜想，，之间的关系，并说明理由； (3)如图，当在上方时， ①直接写出，，之间的关系． ②若恰好平分，，直接写出的度数．（用含的式子表示） 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 65 页 第 1 页 共 65 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题15.1 图形的轴对称 （新教材人教版） 知识点一、轴对称、成轴对称的概念和性质 2 知识点二、图形的轴对称与中心对称（补充拓展） 3 知识点三、线段的垂直平分线 3 【题型1 轴对称图形的识别】 4 【题型2 成轴对称的两个图形的识别】 6 【题型3 根据成轴对称图形的特征进行判断】 8 【题型4 根据成轴对称图形的特征进行求解】 10 【题型5 台球桌面上的轴对称问题】 12 【题型6 光线反射中的轴对称问题】 16 【题型7 折叠中的轴对称问题】 19 【题型8 线段垂直平分线的性质】 22 【题型9 线段垂直平分线的判定】 24 【题型10 写出命题的逆命题】 27 【题型11 判断是否为互逆命题】 29 【题型12 互逆定理】 30 【题型13 作已知线段的垂直平分线】 32 【题型14 作垂线（尺规作图）】 35 【题型15 画对称轴】 38 【题型16 对称轴条数】 43 【探究式学习】 45 【课后检测】 51 【复盘笔记】 66 知识点一、轴对称、成轴对称的概念和性质 1. 轴对称图形（单个图形自身对称） 定义：一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴。 例：等腰三角形、长方形、圆、线段、角。 2. 成轴对称（两个图形对称） 定义：两个平面图形沿一条直线折叠后能够重合，称这两个图形成轴对称，直线是对称轴。 两者区别与联系 · 区别：轴对称图形是1 个图形；成轴对称是2 个图形。 · 联系：把成轴对称的两个图形看成整体，就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴分开，得到两个成轴对称的图形。 3.轴对称核心性质（必考） · 成轴对称的两个图形全等（对应边、对应角相等）； · 任意一组对应点的连线，被对称轴垂直平分； · 对应线段、对应角分别相等；对应线段延长线的交点在对称轴上。 4.典型应用模型：将军饮马（最短路径） · 题型：直线同侧两点，求直线上动点P使PA+PB最小； · 作法：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，和直线交点即为P； · 原理：轴对称转化折线，利用 “两点之间线段最短”。 5.三角形拓展 · 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边上的高（中线、顶角角平分线）； · 三角形三边垂直平分线交于一点（外心），外心到三顶点距离相等； · 锐角△：外心在内部；直角△：外心在斜边中点；钝角△：外心在外部。 6.高频易错点 · 对称轴是直线，不是线段、射线； · 全等图形不一定轴对称，轴对称图形一定全等； · 作图不可省略垂线、圆弧痕迹，会扣分； · 混淆 x、y 轴对称坐标符号； · 判定垂直平分线，必须同时满足 “垂直 + 平分” 两个条件。 知识点二、图形的轴对称与中心对称（补充拓展） 一：轴对称与中心对称 类别 轴对称 中心对称 定义 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 性质 1）对应点的连线被对称轴垂直平分； 2）成轴对称的两个图形全等； 3）只有一条对称轴. 1）对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分； 2）成中心对称的两个图形全等； 3）只有一个对称中心. 二：轴对称图形与中心对称图形 类别 轴对称图形 中心对称图形 定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 性质 1）有对称轴; 2）将图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分完全重合. 1) 有对称中心; 2) 将图形绕对称中心旋转180°旋转后的图形能与原来的图形重合. 知识点三、线段的垂直平分线 1.定义 经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线（中垂线）。 两层要求：①平分线段；②与线段垂直。 2.两大核心定理（必考） (1) 性质定理（线上点→到两端距离相等） 线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言： 若直线l垂直平分AB，点P在l上，则 PA=PB。 (2) 判定定理（到两端等距→在垂直平分线上） 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言： 若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 3.集合意义 线段的垂直平分线，是所有到线段两端点距离相等的点的集合。 4.尺规作图：作已知线段的垂直平分线 5.三角形拓展考点 · 三角形三边垂直平分线交于同一点，这个点叫外心； · 外心到三角形三个顶点的距离相等（外接圆圆心）； · 锐角三角形：外心在三角形内部； · 直角三角形：外心在斜边中点； · 钝角三角形：外心在三角形外部。 6.常见题型 & 易错点 (1) 基础计算：利用PA=PB列线段等式求边长； (2) 作图题：补全轴对称图形、找对称轴、将军饮马作对称点； (3) 易错坑： ① 只平分线段不垂直，不是垂直平分线； ② 判定定理需两个端点距离同时相等，单一端相等不成立； ③ 作图半径不能小于二分之一线段长，否则无交点。 7.和轴对称的关联 两个成轴对称图形，对应点连线的垂直平分线，就是这两个图形的对称轴。 【题型1 轴对称图形的识别】 【例1】下列银行的标识中，是轴对称图形的是（     ） A．中国建设银行 B．招商银行 C．交通银行 D．中国农业银行 【答案】D 【分析】轴对称图形定义：沿一条直线折叠后，直线两侧部分能完全重合的图形为轴对称图形． 依次观察每个银行标识，判断是否存在对称轴，筛选出符合定义的图形． 【详解】解：轴对称图形沿对称轴折叠后两边完全重合． A、中国建设银行标识无对称轴，不是轴对称图形，此选项不符合题意； B、招商银行标识无对称轴，不是轴对称图形，此选项不符合题意； C、交通银行标识无对称轴，不是轴对称图形，此选项不符合题意； D、中国农业银行标识存在竖直对称轴，是轴对称图形，此选项符合题意． 【变式1-1】如图，由两个大小不同的等边三角形组成的图形中，能构成轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 【变式1-2】下列图形都是由一对全等三角形组成的，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 【变式1-3】下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的定义识别．根据轴对称图形定义，依次判断各选项图形能否沿一条直线对折后完全重合，风车图案无符合条件的直线． 【详解】解：轴对称图形定义：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合的图形． A（雪花）：有多条对称轴，是轴对称图形． B（风车）：无论沿哪条直线对折，两边都无法重合，只有旋转对称性，不是轴对称图形． C：有3条对称轴，是轴对称图形． D（太阳图案）：有多条对称轴，是轴对称图形． 【题型2 成轴对称的两个图形的识别】 【例2】下列说法正确的是（    ） A．成轴对称的图形是两个图，轴对称图形是一个图 B．若两线段互相垂直平分，则这两线段互为对称轴 C．所有直角三角形都不是轴对称图形 D．两个内角相等的三角形不是轴对称图形 【答案】A 【详解】解：A、成轴对称的图形是两个图，轴对称图形是一个图，正确，故本选项符合题意； B、若两线段互相垂直平分，则这两线段互为对称轴，说法错误，对称轴是直线而不是线段，故本选项不符合题意； C、所有直角三角形都不是轴对称图形，说法错误，等腰直角三角形是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、两个内角相等的三角形不是轴对称图形，说法错误，两个内角相等的三角形是等腰三角形，是轴对称图形，故本选项不符合题意． 【变式2-1】如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成轴对称图形的相关概念，掌握成轴对称图形的概念是解答本题的关键．根据成轴对称图形的相关概念逐项判断即可解答． 【详解】解：A、不符合成轴对称图形的相关概念，故A不符合题意； B、不符合成轴对称图形的相关概念，故B不符合题意； C、符合成轴对称图形的相关概念，故C符合题意； D、不符合成轴对称图形的相关概念，故D不符合题意； 故选：C． 【变式2-2】下列说法不正确的是（   ） A．两个关于某直线对称的图形一定全等 B．成轴对称的两个图形中，对称轴是对称点连线的垂直平分线 C．等腰三角形是轴对称图形，对称轴是角平分线所在直线 D．平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称的性质、成轴对称的性质、等腰三角形的性质、全等和轴对称的关系等知识，根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A. 两个关于某直线对称的图形一定全等，说法正确，不合题意； B. 成轴对称的两个图形中，对称轴是对称点连线的垂直平分线，说法正确，不合题意； C. 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角的角平分线所在直线，选项说法不正确，符合题意； D. 平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称，说法正确，不合题意； 故选：C 【变式2-3】如图，已知点，，，在一条直线上，并且，那么这两个全等三角形属于全等变换中的___． 【答案】轴对称变换 【分析】本题考查了全等三角形的性质，全等变换，解题关键是能够识别全等三角形理解全等变换的概念； 由全等三角形的性质及全等变换的意义直接解答即可． 【详解】解：∵， 有图可知：，， ， ∴这两个全等三角形属于全等变换中轴对称变换， 故答案为：轴对称变换． 【题型3 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【例3】如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据成轴对称的两个图形全等，对应点的连线被对称轴垂直平分，逐一判断即可． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，对应点的连线被对称轴垂直平分， ∴，，，故选项A，C，D正确； 与不一定平行，故选项B不正确． 【变式3-1】如图，将一正方形纸片沿图1中的对角线对折一次得图2，再沿图2中的斜边上的中线对折一次得图3，然后用剪刀沿图3中的虚线剪去一个角得图4，将图4展开铺平后的平面图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由折叠可知，图3中剪去的切口是斜向的，且没有经过折叠的顶点（即正方形的中心）．由于剪裁的斜线不是垂直或平行于折痕的，展开后的四边形是菱形，不会是正方形，将图4展开铺平后的平面图形是一个正方形中间有一个倾斜的菱形空洞．而且剪下的菱形的对角线与正方形的对角线共线，只有选项C符合． 【变式3-2】嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，淇淇将第枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定平面直角坐标系，再根据轴对称图形的定义画出淇淇放的方形棋子的位置，即可解决问题． 【详解】解：建立平面直角坐标系如图所示，淇淇放的方形棋子的位置如图，坐标为． 【变式3-3】如图，与关于直线l对称，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．直线l垂直平分 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 根据轴对称的性质，逐一判断即可解答求解． 【详解】解：A、与关于直线l对称，，选项A正确，不符合题意； B、，，选项B正确，不符合题意； C、和关于直线对称，，不一定等于，选项C错误，符合题意； D、和△关于直线对称，垂直平分，选项D正确，不符合题意． 故选：C． 【题型4 根据成轴对称图形的特征进行求解】 【例4】如图，与关于直线l对称，且，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据成轴对称图形的性质及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵与关于直线l对称，且， ∴， ∴． 【变式4-1】如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称的性质得到，结合周长的计算即可求解． 【详解】解：∵、分别是P关于、的对称点， ∴， ∵的周长， ∴的周长 ． 【变式4-2】如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（     ） A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7 【答案】B 【分析】利用轴对称性质，得出线段相等关系，进而通过线段的和差计算出的长度． 【详解】解：∵点关于的对称点是， ∴垂直平分， ∴ ∵点关于的对称点是， ∴垂直平分， ∴ ∵， ∴ ∴ 【变式4-3】如图，在中，，，，，D为上一点，，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A．2.4 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】作点D关于的对称点G，则，当三点共线，且时，取得最小值，推出，根据等面积法计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 作点D关于的对称点G，连接， 则，， ∴， 当三点共线，且时，取得最小值， 此时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即的最小值为3． 【题型5 台球桌面上的轴对称问题】 【例5】小静同学观察台球比赛，从中受到启发，抽象成数学问题如下：如图，已知长方形，小球从出发，沿如图所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，小球第1次碰到长方形的边时的位置为，第2次碰到长方形的边时的位置为，第3次碰到长方形的边时的位置为若不考虑阻力，则小球第2026次碰到长方形的边时的位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照反弹时反射角等于入射角，画出图形，可以发现每六次反射一个循环，最后回到起始点，然后计算2026有几个6即可求出对应点的坐标． 【详解】解：按照反弹时反射角等于入射角，画出图形，如下图： ，，，，，，，…， 通过以上变化规律，可以发现每六次反射一个循环， ∵， ∴的坐标与的坐标相同， ∴点的坐标是． 【变式5-1】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 【变式5-2】如图，动点P从出发，沿所示的方向运动，到时记为第一次反弹，以后每当碰到矩形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角．那么点P第2019次反弹时碰到矩形边上的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了规律型中点的坐标，根据部分点的坐标找出变化规律是解题的关键．设点P第n次反弹时碰到矩形边上的点为Pn（n为自然数），根据反弹补充图形，根据坐标的变化找出变化规律“次反弹一个循环”，依此规律即可得出结论． 【详解】解：设点P第n次反弹时碰到矩形边上的点为（n为自然数），如图， 观察，发现规律：， ∴次反弹一个循环， ∵， ∴和相同， 故选：D． 【变式5-3】如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（    ） A．0 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是P关于直线l的对称点， ∴直线l是的垂直平分线， ∴ ∵是P关于直线m的对称点， ∴直线m是的垂直平分线， ∴ 当不在同一条直线上时， 即 当在同一条直线上时， 故选：B 【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键 【题型6 光线反射中的轴对称问题】 【例6】平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反射规律得出，利用平角定义求出，再根据平行线性质求出，最后利用平角定义及反射规律求出． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意，得， ∵， ∴， ∴． 【变式6-1】．如图①，物理学中把过入射点并且垂直于镜面的直线称为法线，入射光线与法线的夹角称为入射角，反射光线与法线的夹角称为反射角．光线经过平面镜反射，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分居在法线两侧，且反射角等于入射角，即，这就是光的反射定律．如图②，，为两块平面镜，一束光线从点射出，经过平面镜两次反射后经过点，两条光线，相交于点．若两条光线的夹角，则两块平面镜的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作垂直；过点作垂直，根据三角形的内角和与入射角与反射角的关系求出的度数，再利用余角的性质求出的度数，最后利用三角形的内角和求解． 【详解】解：如图所示，过点作垂直垂足为点，过点作垂直垂足为点，两个垂线交于点， 由题意知：， ∵在中，， 则， ∴， 即， 又， ∴， 在中，． 【变式6-2】．如图，一束光线从上的点发出，经过平面镜上的点反射后，其反射光线与平行，若测得，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质得出，结合反射性质，再利用三角形外角性质建立方程求解即可． 【详解】解：， （两直线平行，同位角相等）， 由光的反射性质可知， ， 是的外角， ， ， ， ． 【变式6-3】如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列结论错误的个数是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，不能得出，故③错误，符合题意； D、∵， ∴， ∵，， ， ∴，故④正确，不符合题意； 综上，错误的个数为1个． 【题型7 折叠中的轴对称问题】 【例7】如图，已知四边形纸片中，，点E，F分别在边，上，将纸片沿着折叠，点A落在点G处，交于点H．若比的4倍多，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质可得，利用平角的定义可得，进而得出，解得，，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得，， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴． 【变式7-1】小颖同学热爱折纸，有一天她按照如下方法对一张长方形的纸片进行了折叠： 若图3中，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将纸片展开，得到长方形．根据三角形的内角和定理求出，根据折叠求出，从而根据角的和差得到，因此，再由三角形的内角和求出，根据折叠的特点与角的和差即可求解． 【详解】解：如图，将纸片展开，得到长方形． 则，， ∵， ∴， 由折叠可得， ∴， 即 ∴由折叠可得， ∴， ∴由折叠可得， ∴． 【变式7-2】如图，在长方形中，，，点、分别在、上，将长方形沿折叠，使点，分别落在长方形外部的点，处，则阴影部分图形的周长为（     ） A．12 B．24 C．48 D．56 【答案】C 【分析】利用折叠的性质得到对应线段相等，将阴影部分周长中的线段等量代换，转化为长方形的周长，代入数值计算得到结果． 【详解】解：根据折叠的性质，得，，， ∴阴影部分图形的周长 ． 【变式7-3】将一张两边互相平行的纸条折成如图所示的形状，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设，根据平行线的性质得，再还原纸条可得，进而求得． 【详解】解：如图，设， ∵纸条两边互相平行， ∴， 如图，还原该纸条， 可得， 解得， ∴， 【题型8 线段垂直平分线的性质】 【例8】下列命题中，真命题是（     ） A．两个全等三角形一定关于某条直线对称； B．在同一平面内，一条线段有且仅有一条垂直平分线； C．腰长对应相等的两个等腰三角形全等； D．两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等． 【答案】B 【分析】本题考查了命题、全等三角形的性质与判定、垂直平分线的性质、平行线的性质，依次判断选项即可． 【详解】解：A、全等三角形仅形状大小完全相同，位置无特殊要求，不一定关于某条直线对称，是假命题； B、同一平面内，线段的中点唯一，过中点且垂直于该线段的直线唯一，故一条线段有且仅有一条垂直平分线，是真命题； C、腰长对应相等的两个等腰三角形，顶角不一定相等，不满足全等判定条件，不一定全等，是假命题； D、只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，未说明两直线平行时同位角不一定相等，是假命题． 【变式8-1】如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质，结合已知条件，等量代换，即可得线段的长． 【详解】解：∵的周长是， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 【变式8-2】如图，是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，且，则的周长是（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【详解】解：∵是的边的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的周长是：． 【变式8-3】如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可得，垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ∴， ∴的周长为． 【题型9 线段垂直平分线的判定】 【例9】如图所示，已知是的平分线，，点在线段上，下列结论：①；②；③平分；④是的垂直平分线．其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质与判定，证明，可得，，进而可得垂直平分，则，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴，，即平分；故①③正确， 又∵， ∴垂直平分，故④正确， ∵在上， ∴，故②正确， 故①②③④正确． 【变式9-1】如图，点A，B分别在射线上，以A为圆心，长为半径画弧，以O为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C（点C，B不重合），连接，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，进而得到是的垂直平分线，再利用直角三角形的性质即可解答. 【详解】解：如图，连接， 根据题意可得：， ∴是的垂直平分线， 即， ∵， ∴. 【变式9-2】如图，点A在直线l外，以点A为圆心，a长为半径画弧，交直线l于B，C两点，分别以点B，C为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D，作直线．下列说法中，一定正确的是（     ） A． B． C．垂直平分 D．垂直平分 【答案】D 【分析】根据作图痕迹可知，，即可得出结论． 【详解】根据作图痕迹可以判断作图过程为过点作直线的垂线，且，， 所以垂直平分一定正确． 故选：D． 【变式9-3】如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1：以为圆心，为半径画弧①； 步骤2：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点； 步骤3：连结，交的延长线于点．下列叙述正确的是（    ） A．垂直平分线段 B．平分 C． D． 【答案】A 【分析】根据已知作法可知、，则点、在的垂直平分线上． 【详解】解：如图：连接， 以为圆心，为半径画弧 以为圆心，为半径画弧② 点、在的垂直平分线上．即垂直平分线段，故A正确 ∴ ∴，故C错误 不能得出平分，故B，D错误 【题型10 写出命题的逆命题】 【例10】下列说法错误的是（    ） A．一个真命题的逆命题可能是真命题 B．一个定理不一定有逆定理 C．任何一个定理都有逆定理 D．若，则的逆命题是若，则 【答案】C 【详解】解：∵选项A中，真命题的逆命题可能为真，例如“两直线平行，同位角相等”的逆命题也为真，∴A说法正确． ∵“对顶角相等”是定理，其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，该定理没有逆定理，∴一个定理不一定有逆定理，B说法正确． ∵举例“对顶角相等”是定理，其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，该定理没有逆定理，因此不是任何定理都有逆定理，∴C说法错误． ∵原命题“若，则”交换条件和结论得到逆命题“若，则”，与D描述一致，∴D说法正确． 【变式10-1】下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．若，则 C．直角三角形的两个锐角互余 D．若，则 【答案】C 【分析】先写出每个选项的逆命题，再判断原命题和逆命题的真假，即可得到结果． 【详解】解：选项A：原命题“全等三角形的对应角相等”是真命题，逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”，是假命题，不符合要求； 选项B：原命题“若，则”是真命题，逆命题为“若，则”，是假命题，例如时但，不符合要求； 选项C：原命题“直角三角形的两个锐角互余”是真命题，逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题，符合要求； 选项D：原命题“若，则”是假命题，时也可以是，不符合要求； 【变式10-2】下列命题的逆命题为真命题的是（     ） A．对顶角相等 B．等边三角形的三个内角相等 C．四边形是多边形 D．全等三角形的面积相等 【答案】B 【分析】先根据逆命题定义交换原命题的条件和结论得到各选项的逆命题，再判断逆命题的真假，即可选出正确答案． 【详解】解：A、原命题为对顶角相等，逆命题为相等的角是对顶角，∵相等的角不一定是对顶角，∴逆命题为假命题，A错误； B、原命题为等边三角形的三个内角相等，逆命题为三个内角相等的三角形是等边三角形，∵三角形内角和为，三个内角相等则每个内角为，∴三个内角相等的三角形是等边三角形，逆命题为真命题，B正确； C、原命题为四边形是多边形，逆命题为多边形是四边形，∵多边形可以是边数大于4的多边形，∴逆命题为假命题，C错误； D、原命题为全等三角形的面积相等，逆命题为面积相等的三角形是全等三角形，∵面积相等的三角形形状不一定相同，不一定全等，∴逆命题为假命题，D错误． 【变式10-3】下列命题中，逆命题是真命题的为（     ） A．全等三角形的对应边相等 B．若，则 C．对顶角相等 D．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 【答案】A 【分析】先分别写出每个选项的逆命题，再逐项判断真假即可． 【详解】解：A．原命题的逆命题为“如果两个三角形的三条对应边分别相等，那么这两个三角形全等”，根据全等三角形的判定定理，三边对应相等的三角形全等，∴该逆命题是真命题，符合题意； B．原命题的逆命题为“若，则”，反例：当，时，，但，∴该逆命题是假命题，不符合题意； C．原命题的逆命题为“相等的角是对顶角”，∵相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的两个底角相等但不是对顶角，∴该逆命题是假命题，不符合题意； D．原命题的逆命题为“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”，反例：∵和的绝对值相等，但，∴该逆命题是假命题，不符合题意． 【题型11 判断是否为互逆命题】 【例11】命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 【变式11-1】下列命题的逆命题正确的是(     ) A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等 【答案】B 【分析】先分别写出第个选项的逆命题，再判断其是否正确． 【详解】解：A的逆命题是：相等的角是对顶角，假命题； B的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，真命题； C的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题； D的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，假命题； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了学生对逆命题以及真假命题的定义的理解，要求学生对常用的基础知识牢固掌握，比较简单． 【变式11-2】“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 【变式11-3】判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般一个命题可以写成如果那么的形式． 根据对顶角的定义对①进行判断；根据平行线的判定定理对②进行判断；根据全等三角形的判定方法对③④进行判断． 【详解】解：①对顶角相等没有逆定理； ②两直线平行，同位角相等的逆定理为：同位角相等，两直线平行； ③全等三角形的各边对应相等的逆定理为：各边对应相等的三角形全等； ④全等三角形的各角对应相等没有逆定理． 其中有逆定理的是：②③． 故选：D． 【题型12 互逆定理】 【例12】下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形的对应边相等 C．对顶角相等 D．直角三角形的两个锐角互余 【答案】C 【分析】本题考查了逆定理的定义，掌握判断定理是否有逆定理的方法是解题的关键． 判断每个定理的逆命题是否为真命题，逆命题为假的定理没有逆定理． 【详解】解：∵A的逆命题内错角相等，两直线平行为真命题， ∴A有逆定理，不符合题意； ∵B的逆命题对应边相等的三角形全等为真命题， ∴B有逆定理，不符合题意； ∵C的逆命题相等的角是对顶角为假命题， ∴C没有逆定理，符合题意； ∵D的逆命题两个锐角互余的三角形是直角三角形为真命题， ∴ D有逆定理，不符合题意． 故选：C． 【变式12-1】下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（） A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题 B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题 C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行” D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理 【答案】B 【分析】本题考查了逆命题与逆定理，根据已知，把各选项条件与结论互换写出逆命题，再判定结果是否是真命题即可． 【详解】解：A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题为“两锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题，故该选项正确，不符合题意； B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等”，是假命题，故该选项不正确，符合题意； C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行”，故该选项正确，不符合题意； D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【变式12-2】下列定理中，有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．两个全等三角形的面积相等 D．平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查逆定理的定义；判断每个定理的逆命题是否成立，若成立则有逆定理. 【详解】解：A、其逆命题为“相等的角是对顶角”，可举“等腰三角形的两个底角相等，但不是对顶角”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故A不符合题意； B、其逆命题为“对应角相等的两个三角形是全等三角形”，可举“大小不一样的等边三角形所有的角都相等，但不是全等三角形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故B不符合题意； C、其逆命题为“面积相等的两个三角形是全等三角形”，可举“面积相同，但形状不一样的两个三角形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故C不符合题意； D、其逆命题为“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，逆命题成立，有逆定理，故D符合题意. 故选：D. 【变式12-3】定理“三角形的三条中线交于一点”的逆定理是（） A．三条线段交于一点，它们是三角形的中线 B．交于一点的三条线段是三角形的中线 C．这个定理没有逆定理 D．如果三条线段是三角形的中线，那么它们交于一点 【答案】C 【分析】本题考查了逆定理．原定理的逆命题成立，则原定理有逆定理，否则没有；原定理的逆定理需将条件与结论互换，但互换后的命题不成立． 【详解】解：∵原定理“三角形的三条中线交于一点”的逆命题为“如果三条线段交于一点，那么它们是三角形的中线”，但此逆命题为假， 例如三角形的三条角平分线交于一点，但对于非等边三角形，角平分线不是中线， ∴该定理没有逆定理， 故选：C． 【题型13 作已知线段的垂直平分线】 【例13】在如图三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（     ） A．图1 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3 【答案】C 【分析】利用基本作图可对图1和图2进行判断；利用基本作图性质和全等三角形的判定与性质可对图3进行判断． 【详解】解：由基本作图可知，图1为作的角平分线的标准作法；图2是利用垂直平分线作的边的中线． 在图3中，设两条弧与的交点分别为和，如图所示， 由作图可知，，， ． 在和中， ， ， ． ∵在和中， ， ， ， ∵在和中， ， ， ， 平分． 图1和图3能判断射线平分． 【变式13-1】观察下列作图痕迹，所作线段能把三角形的面积分成相等的两部分的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．由作图可知D为中点，即所作线段能把三角形的面积分成相等的两部分； B．由作图可知，无法判断两部分面积是否相等； C．由作图可知平分，无法判断两部分面积是否相等； D．由作图可知，无法判断两部分面积是否相等． 【变式13-2】在如图所示的方格图中，按下述要求画图并回答问题： (1)过点C画出线段的垂线，垂足为点D； (2)量出点C到线段所在直线的距离（精确到1）； (3)画出线段的垂直平分线． 【答案】(1)解：所作垂足点D如图所示； (2)（若网格边长为） (3)解：所作线段的垂直平分线如图所示； 【分析】（1）借助网格特点作，再将向下平移个单位得到，记交于点，则，垂足为点D； （2）直接测量并按要求取精确值即可； （3）结合网格特点取线段中点，过点作，延长交网格于格点，则得到线段的垂直平分线． 【详解】（1）略 （2）解：若网格边长为，用直尺测量得点C到线段所在直线的距离为； （3）略 【变式13-3】已知：锐角，求作：点P，使，且点P到边的距离与到边的距离相等．（不写作法，铅笔作图，保留作图痕迹） 【答案】解：如图所示，点P即为所求点的位置， 【分析】根据，即作线段的垂直平分线，根据点P到边的距离与到边的距离相等，即作的角平分线，两线交点即为所求点的位置． 【详解】略． 【题型14 作垂线（尺规作图）】 【例14】如图，在中，，平分，点在上，． (1)用尺规作，垂足为（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2)证明：平分，，于， ， ， ， ． 【分析】（1）根据尺规作垂直平分线的方法求解即可； （2）根据角平分线的性质可求得，进而可证得，即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式14-1】如图，已知，点在射线上，请用尺规作图法在射线上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图，点即为所求， 理由：由作图可知， ∴， ∴， ∴点即为所求． 【分析】过作，交于点，则点即为所求． 【详解】略． 【变式14-2】作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图所示，已知和点，，画一点，使得点到的两边距离相等，且． 【答案】 【分析】作线段的垂直平分线，作的平分线，两线交点即为点P． 【详解】略 【变式14-3】如图，在中，请用尺规作图法，在上求作一点，连接，使得最小．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图即为所求 【分析】作与交于点，根据垂线段最短可得最小； 【详解】略 【题型15 画对称轴】 【例15】不能用无刻度直尺直接准确画出下列轴对称图形的所有对称轴的是(    ) A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查无刻度直尺绘图——画对称轴，先找出所有对称轴，再结合相关理论知识尝试作图，找出所有对称轴是解题的关键． 【详解】解：A、本选项图形对称轴只有1条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下：    则直线m即为所求做的对称轴，故此选项不符合题意； B、本选项图形对称轴只有1条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下：    则直线m即为所求做的对称轴，故此选项不符合题意； C、本选项图形对称轴只有3条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下：    则直线l、m、n即为所求做的对称轴，故此选项不符合题意； D、本选项图形对称轴只有4条，其中可用无刻度直尺直接准确画出的有2条，作图如下：    则直线m、n即为所求做的对称轴， 但是还有如下两条对称轴不能用无刻度直尺直接准确画出：    故此选项符合题意； 故选D． 【变式15-1】下面的图形中对称轴最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别作出各个图形的对称轴，进行比较即可得到答案． 【详解】 A选项图形有2条对称轴； B选项图形有2条对称轴； C选项图形有3条对称轴； D选项图形有1条对称轴； 所以，C选项图形的对称轴最多． 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称变换，正确得出每个图形的对称轴是解题的关键． 【变式15-2】已知五边形是轴对称图形，是一组对称点，仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)若点在上，在图①中作出五边形的对称轴和点的对称点； (2)为平面内任意一点，直线是五边形的对称轴． ①若点在五边形内，在图②中作出点关于直线的对称点； ②若点在五边形外，用两种方法在图③中作出点关于直线的对称点． 【答案】(1) (2)① ② 【分析】（1）连接交于点，过点、点作直线，直线即为所求对称轴，连接交直线于点，连接并延长交于点，点即为点的对称点； （2）①作射线交直线于点，作射线交直线于点，连接交于点，点即为点关于直线的对称点； ②连接交直线于点，连接交直线于点，作射线和射线，交于点，点即为点关于直线的对称点． 【详解】（1）解：连接交于点，过点、点作直线，直线即为所求对称轴， 连接交直线于点，连接并延长交于点，点即为点的对称点； 理由：是一组对称点， 由图，也是一组对称点，点在对称轴上， 对称轴经过的交点， 直线即直线为所求对称轴； 点和点关于直线对称，点在上， 点在上， 则连接交直线于点，连接并延长交于点，即可确定点的位置； （2）解：①作射线交直线于点，作射线交直线于点，连接交于点，点即为点关于直线的对称点； 理由：点关于直线对称， ， ， 同理得，， ， ， ， 点和点关于直线的对称； ②连接交直线于点，连接交直线于点，作射线和射线，交于点，点即为点关于直线的对称点； 理由：如图，记直线与交于点， 点关于直线对称， ， ， ， ，即， 同理得，， ， ， ， 点和点关于直线的对称． 【变式15-3】如图，已知线段与点，按要求用无刻度直尺与圆规作图： (1)若线段、线段关于直线l对称，点A与点重合，作出对称轴l．（在图1中完成作图）． (2)若线段沿直线n作轴对称变换，线段恰好能落在直线m上，作出对称轴n．（在图2中完成作图）． (3)平移线段，使点A与点重合，作出平移后的线段的端点．（在图3中完成作图）． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线即可； （2）延长与直线m相交，作夹角的平分线即可； （3）分别以点B为圆心，以为半径和以为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点． 【详解】（1）解：如图1所示，直线即为所求 （2）解：如图2所示，直线即为所求 （3）解：如图3所示，点即为所求 【题型16 对称轴条数】 【例16】中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列4个选项中分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材埋壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，有且只有一条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和对称轴的定义，逐一分析选项． 【详解】解：选项A（圆中方形）：该图形是轴对称图形，共有4条对称轴，不符合题意； 选项B（方形圆径）：该图形是轴对称图形，共有4条对称轴，不符合题意； 选项C（圆材埋壁）：该图形是轴对称图形，只有过图形中点的水平1条对称轴，符合题意； 选项D（勾股容圆）：该图形的直角三角形两条直角边长度不相等，不是轴对称图象，不符合题意． 【变式16-1】下列图形的对称轴最少的是（    ） A．菱形 B．正方形 C．圆 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：菱形有条对称轴，正方形有条对称轴，圆有无数条对称轴，等边三角形有条对称轴， 对称轴最少的是菱形， 故答案为：A． 【变式16-2】下列图形中，对称轴最多的是（）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称图形，根据对称轴的概念判断各个图形中的对称轴的条数，得到答案，掌握对称轴的概念是解题的关键． 【详解】 解：A、有无数条对称轴； B、只有条对称轴； C、有条对称轴； D、有条对称轴， ∴图形中对称轴最多的是选项图形， 故选：A． 【变式16-3】下列命题中，真命题的是（    ） A．面积相等的两个三角形全等 B．全等三角形的对应边相等 C．两个全等的三角形一定成轴对称 D．所有等腰三角形都只有一条对称轴 【答案】B 【分析】分别利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：A、面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题； B、全等三角形的对应边相等，是真命题； C、两个全等三角形不一定成轴对称，原命题是假命题； D、所有等腰三角形不一定都只有一条对称轴，如等边三角形有三条对称轴，原命题是假命题． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了命题与定理、全等三角形的性质、轴对称等知识点，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 【探究式学习】 1．综合与探究． 【图形呈现】如图：，，点在的垂直平分线上， 【初步探究】的长度有什么关系？请你说明理由； 【探究发现】与有什么关系？说明理由； 【拓展探究】如果，求与间的数量关系． 【答案】 初步探究：，理由如下： ∵，， ∴， 又∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴： 探究发现：，理由如下： ∵，， ∴， 即； 拓展探究： 【分析】初步探究：根据线段的垂直平分线的性质即可解答； 探究发现：利用等式的性质即可求解； 拓展探究：由直角三角形的性质得，再结合探究发现的结论即可求解； 本题考查了线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：初步探究：略 探究发现：略 拓展探究：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即． 2．一张直角三角形纸片，，其中，点，分别在边，上．将沿折叠，点的对应点为点．记为，记为，我们来探究和的数量关系． 先从特殊情况探究： (1)如图1，若，则_______，_______，由此可得：_______； 再探究一般情况： (2)如图2，若点落在直角三角形纸片内，请你猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若点落在直角三角形纸片外，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)，， (2)，理由如下： 如图，延长交于点F， ∵，， 由折叠知， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）由折叠得，结合，利用同旁内角互补求得，．对顶角相等得，在中，故，最终． （2）延长交于点，由三角形外角性质得，且．由折叠知，代入得，故． （3）由折叠得，，．根据平角定义得，，结合，得．将两式相加整理得． 【详解】（1）解：如图， 由题意可得，，， 由折叠可得，， ， ， ，， ， ， ， ． （2）略 （3）解：如图， 由折叠的性质可得，，， 由题意知， ①， ②， , ， ， ①+②整理得，， ． 3．综合与探究 【问题呈现】如图1，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． 【问题解决】请判断之间具有怎样的数量关系？说明理由． 【问题探究】如图2，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E．请判断之间具有怎样的数量关系？说明理由． 【探究延伸】如图3，在等腰中，，，点E在边上，的垂直平分线交于点D，连接，．若，，则______． 【答案】 [问题解决]解：，理由如下： ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ [问题探究]解： ．理由如下： ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； [探究延伸]3 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与技巧，理解全等三角形的对应边相等． [问题解决] 先证，进而可依据“”判定和全等，从而得，，据此可得出，，之间的数量关系； [问题探究]先判定和全等，从而得，，据此可得出，，之间的数量关系； [问题探究]设，则，先证，再根据线段的垂直平分线得，进而可依据“”判定和全等，从而得，，然后再根据可求出的长． 【详解】解：[问题解决]略 [问题探究]略 [探究延伸]设，则， ， ， ， ， ， ， 为的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 【课后检测】 1．如图，在长方形纸片中，，点，分别在边，上，将纸片沿折叠，，两点的对应点分别为，．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质可得，，由折叠的性质可得，从而得出，再结合计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， 由折叠的性质可得， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2．如图，在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质得，进而可得的周长为，即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 3．如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由长方形的性质可知，由此可得出，再根据折叠的性质求得图2中，由此即可算出图3中度数． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴， ． 由折叠的性质可知： 图2中，， ∴， ∴图3中，． 4．如图，点C是内的一点，点，分别是点C关于的对称点，交于点D，交于点E．若，则的周长是（     ） A．12 B．13 C．15 D．18 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质可得，再由三角形的周长公式可得答案． 【详解】解：由轴对称的性质可得， ∴的周长． 5．数学活动中，学生通过折纸活动探究三角形的三条重要线段，如图是小明、小亮、小强三位同学的折纸示意图（C的对应点是），分析他们的折纸情况，下列说法正确的是（     ） A．小明折出的是中边上的中线 B．小亮折出的是中的平分线 C．小强折出的是中边上的高 D．上述说法都正确 【答案】B 【分析】由折叠方式，并结合三角形高线的定义、角平分线的定义、线段垂直平分线的定义逐项分析即可得出结果． 【详解】解：由折叠方式可得，小明折出的是中边上的高线；小亮折出的是中的平分线；小强折出的是中边上的垂直平分线； 故说法正确的是小亮折出的是中的平分线． 6．如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由折叠的性质可得，则，再由平角的定义可得，则，据此可得到，再由平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．如图，将一条两边互相平行的纸带按如图所示折叠，则与满足的数量关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质可知折叠前后的对应角相等，根据平行线的性质，得到，结合平角的定义即可得出与的数量关系． 【详解】解：如图 由平行可知，， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴． 8．指出下列命题中的假命题（     ） A．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 B．三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 C．斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等 D．等腰梯形在同一底上的两个角相等 【答案】B 【详解】解：对于选项A：符合三角形外角性质，是真命题； 对于选项B：根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，不是到边的距离相等，是假命题； 对于选项C：符合直角三角形的全等判定，是真命题； 对于选项D：符合等腰梯形性质，是真命题． 9．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在三角形外的点处，若，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用三角形内角和求出，再根据折叠性质得到，结合三角形外角和内角关系建立角度等式，求出． 【详解】解：在中， ， ， 由折叠性质可知：，， ∴， ， ， ． 10．如图，在三角形纸片中，D，E分别是边，上的点，将三角形纸片沿折叠，使点A落在边上的点F处，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠对应角相等，结合条件得出、的度数，再利用三角形内角和求出的度数． 【详解】解：∵折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．把长方形沿着直线对折，折痕为，对折后的图形的边恰好经过点C．若，则______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质，平行线的性质，进行求解即可. 【详解】解：∵长方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴. 12．如图是小明制作的一个轴对称图形风筝，已知是对称轴，，，则_________． 【答案】/115度 【分析】先由轴对称性质得到，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：由轴对称性质得， ∵， ∴． 13．如图，的边的长为，面积为，边的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，则，当点，点，点共线且时，有最小值，即有最小值为垂线段的长，再由面积公式可求解． 【详解】解：连接，， 垂直平分， ， ， 当点，点，点共线且时，有最小值，即有最小值为垂线段的长， 此时， ． 14．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，． 求作：，使，点，分别在边，上，且点到边，的距离相等． 【答案】解：如图，为所求． 【分析】由于点到边，的距离相等，则点D在的平分线上，因此根据作角平分线的尺规作图的方法作出的角平分线，交于点D．由于，则，根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图的方法，过点D作的垂线，交于点E，则为所求． 【详解】略 15．如图，，垂足为点，．求证：． 【答案】证明：∵，垂足为点，， ∴垂直平分， ∴，， ∴． 【分析】由题意可得垂直平分，再结合线段垂直平分线的性质证明即可． 【详解】略． 16．平分角仪器是工程中经常用到的工具，它利用了三角形全等的判定和性质以及轴对称等有关数学知识，请解决下列问题： (1)如图1，在仪器中，，，将仪器上的点与的顶点重合，调整，的夹角，使仪器的，分别与的两边重合，沿画射线．试说明平分； (2)如图2所示，仪器的两边都是刻度尺，在刻度尺上取，，将仪器上的点与的顶点重合，调整仪器的夹角，使仪器的两边分别与的两边重合，连接，交于点，沿画射线．试说明平分； (3)如图3所示，若点是的平分线上一点，点，分别为，上的点，且，，请先补全图形，再直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)在和中， ， ， ，     点与点重合，点，分别在射线，上，点在射线上， ， 是的平分线； (2)在和中， ， ， ，     ，， ∴， ，     在和中， ， ， ，     在和中， ， ， ， 点与点重合，射线过点， 平分； (3)，或 【分析】（1）证明得出，即可得证； （2）先证明得出，再证明得出，最后证明得出，即可得证； （3）根据题意补全图形即可，由角平分线的定义并结合轴对称的性质解答即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：图略， ∵点是的平分线上一点，， ∴由轴对称的性质得到， ∴， ∴， 综上所述， 或． 17．如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． (1)若，，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，根据垂直平分线的性质得出，，即可证明，得出，，根据平行线的性质得出，，，根据平角的定义即可求出的度数； （2）根据的周长为，结合得出，根据的周长为得出，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵垂直平分， ∴，， 在与中，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为，， ∴， ∵的周长为， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 18．综合与探究 如图，将线段向右平移一段距离，得到线段（点，的对应点分别是点，），连接和．点是线段上一点，连接，将三角形沿折叠得到三角形（点的对应点是点）． (1)如图，当点落在线段上时，求证：； (2)如图，当在和之间时，猜想，，之间的关系，并说明理由； (3)如图，当在上方时， ①直接写出，，之间的关系． ②若恰好平分，，直接写出的度数．（用含的式子表示） 【答案】(1)证明：由平移得，， ， 由旋转的性质得，， ， ； (2)，理由如下： 过点作，如图， ， ， 又∵， ，， ； (3)①；② 【分析】（1）由平移性质得，故；由折叠性质得，等量代换得，根据同旁内角互补、两直线平行，证得； （2）过点作，由得；根据平行线的性质得，，则； （3）①过点作，由得，故，；由，等量代换得；②由折叠得，；设，则．由得，在中由内角和得，解得；由，邻补角得，代入得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①过点作，如图， 由题意可得，， ， ，， ， ∵， ∴； ②由折叠可得，，，， 平分， ， 设，则， ， ， ， 在中， 解得， ∵， ， ， ∴． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 65 页 第 1 页 共 65 页 学科网（北京）股份有限公司 $