专题 15.3 画轴对称的图形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦初中数学“画轴对称的图形”核心知识点，系统梳理作图原理（对应点连线被对称轴垂直平分）、坐标规律（关于谁对称谁不变另一个变号）及坐标系作图流程，构建从基础原理到实际应用的学习支架，衔接轴对称概念与坐标变换的综合运用。 资料特色在于结构化设计，知识梳理用口诀和三步法强化理解，题型精析通过例题变式覆盖基础到综合，如“将军饮马”题型培养几何直观（数学眼光），坐标规律应用提升运算推理能力（数学思维）。课中辅助教师系统教学，课后检测帮助学生查漏补缺，巩固核心素养。

专题 15.3 画轴对称的图形（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识目标与重难点 1 【知识目标】 1 【重难点】 1 二.知识梳理与解读 1 【知识点一】画轴对称图形的原理与步骤 2 【知识点二】坐标系中点的对称坐标规律（必考） 2 【知识点三】坐标系内画轴对称图形流程 2 三.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】求坐标轴对称点坐标 2 【题型 2】求某条直线对称点坐标 4 【题型 3】尺规作图——将军饮马 8 【题型 4】坐标与图形的变换 11 四.同步检测 16 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 16 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 20 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 24 一.知识目标与重难点 【知识目标】 1. 知识目标：掌握画轴对称图形的基本原理与通用作图步骤；熟练掌握平面直角坐标系中，点关于轴、轴对称的坐标变化规律；学会利用坐标规律绘制轴对称图形。 2. 能力目标：能独立画出几何图形关于任意直线的轴对称图形；快速准确求解坐标系内对称点坐标；具备结合坐标变换完成图形对称作图、参数求解的能力。 3. 素养目标：建立图形变换的几何思维，深化数形结合思想，提升几何作图、逻辑推理与坐标运算的核心素养，养成规范作图的解题习惯。 【重难点】 1. 重点：轴对称图形的作图方法与步骤；平面直角坐标系中点关于坐标轴的对称坐标规律。 2. 难点：复杂多边形的轴对称作图；利用对称坐标规律求解参数、解决综合题型。 二.知识梳理与解读 【知识点一】画轴对称图形的原理与步骤 核心原理：轴对称图形中，任意一组对应点的连线被对称轴垂直平分。 通用作图三步法 1. 找关键点：找出原图形的顶点、端点等所有决定图形形状的关键点； 2. 作对称点：过每个关键点作对称轴的垂线，延长垂线并截取等长线段，得到各关键点的对称点； 3. 顺次连线：按照原图形顶点的排列顺序，依次连接所有对称点，得到完整的轴对称图形。 【知识点二】坐标系中点的对称坐标规律（必考） 设平面内任意一点坐标为 ，对称规律口诀：关于谁对称，谁不变，另一个变号。 1. 关于 轴对称：横坐标不变，纵坐标取相反数，对称点坐标为 ； 2. 关于 轴对称：纵坐标不变，横坐标取相反数，对称点坐标为 。 【知识点三】坐标系内画轴对称图形流程 1. 提取原图形所有顶点坐标； 2. 根据对称规律，计算所有顶点的对称点坐标； 3. 在坐标系中精准描出全部对称点； 4. 按原图顺序依次连线，得到轴对称图形。 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】求坐标轴对称点坐标 【例题1】（24-25八年级下·贵州铜仁·阶段检测）已知点关于x轴的对称点在第一象限，试化简． 【答案】 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征，结合对称点在第一象限确定a的取值范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号化简即可． 解：∵点关于x轴的对称点在第一象限， ∴点在第四象限， 可得不等式组，解得，即， ∴，，则， 由此可知，，， ∴ ． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃武威·阶段检测）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可直接求解． 解：∵关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数， 又∵点的坐标为，其横坐标为，纵坐标为，的相反数为， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 【变式2】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2026次变换后所得的点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2026除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可． 解：点A第一次关于y轴对称后在第一象限，所得A点的坐标是； 点A第二次关于x轴对称后在第四象限，所得A点的坐标是； 点A第三次关于y轴对称后在第三象限，所得A点的坐标是； 点A第四次关于x轴对称后在第二象限，即点A回到原始位置，所得A点的坐标是； 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ∵， ∴经过第2026次变换后所得的A点与第二次变换的位置相同，在第四象限，坐标为． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知点，． （1）若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； （2）若点A，B关于y轴对称，求的值． 【答案】（1），；（2）1 【分析】（1）根据两点关于x轴对称，“ x值相同，y值互为相反数”，列方程求解即可； （2）根据两点关于y轴对称，“y值相同，x值互为相反数”，列方程求解，再代入求值即可． （1）解：∵点，关于x轴对称， ∴，，解得，； （2）解：∵点，关于y轴对称， ∴，，解得，． ∴． 【题型 2】求某条直线对称点坐标 【例题2】（25-26八年级上·重庆江津·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，，直线是第一、三象限的角平分线所在的直线． （1）作出关于直线对称的对称图形，并写出、、的坐标； （2）连接，则直线与线段的关系是__________； （3）在直线上找一点，连接，使平分的面积，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求； 、、；（2）直线垂直平分线段；（3）． 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，线段垂直平分线，轴对称的性质，掌握作轴对称图形的基本作法是解题的关键． （）利用轴对称变换的性质分别作出的对应点，然后顺次连接，再根据点的位置写出坐标即可； （）根据轴对称性质即可求解； （）先找出中点，延长，交直线于点，根据网格即可求出点的坐标． 解：（1）略 （2）解：如图，连接， 由轴对称性质可知，则直线与线段的关系是直线垂直平分线段， 故答案为：直线垂直平分线段； （3）解：如图，先找出中点，延长，交直线于点， 由网格可得：点的坐标． 【变式1】（25-26七年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，关于直线的对称点为，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称变换．先利用关于y轴对称的点的坐标特征求出的坐标，再利用关于直线对称的点的坐标特征求出的坐标即可． 解：∵点关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数， ∴， ∵关于直线对称的点，坐标满足变为， ∴点关于直线对称点为， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·上海·期末）点关于y轴对称的点的坐标是____________． 【答案】 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特征，利用关于轴对称的点（纵坐标不变，横坐标互为相反数）的坐标规律即可求解． 解：已知点的坐标为，关于轴对称的点，可得点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为． 【变式3】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）按要求完成下列各题： （1）如图，在图中画出关于x轴对称的；（图中网格每个小正方形的边长均为1） （2）在图中画出关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的，观察三点的坐标，归纳规律：坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的点的坐标是_____； （3）猜想坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是）对称的点的坐标是_____． 【答案】（1）解：如图，即为所求；（2）解：如图，即为所求： 设，根据对称性质得，则， ∴的坐标是； （3） 【分析】本题考查坐标与图形--轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答的关键． （1）根据轴对称的性质得到对应点的位置，再顺次连接可得图形； （2）根据轴对称的性质得到对应点的位置，再顺次连接可得图形；根据成轴对称图形的对应点到对称轴的距离相等可得对称点坐标； （3）根据成轴对称图形的对应点到对称轴的距离相等可得对称点坐标． 解：（1）略 （2）略 （3）解：猜想坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是）对称的点的坐标是， 理由：设，根据对称性质得，则， ∴的坐标是． 故答案为：． 【题型 3】尺规作图——将军饮马 【例题3】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，已知的三个顶点分别为，，． （1）画出关于轴对称的． （2）在轴上找一点，使得的周长最小（保留画图痕迹，不写作法），并求出点的坐标． 【答案】（1）如图：即为所求， （2）如图：点即为所求， 由图可得：； 【分析】本题考查了轴对称变换的性质，轴对称最短路线问题，解题关键是熟练掌握轴对称变换的性质． （1）根据轴对称变换的性质，找出的对应顶点，然后依次连接，即可求解； （2）将点关于轴的对称点与点连接交轴于点，则点即为所求．再根据图形直接得出点的坐标即可． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）某区计划在公路旁修建一座新能源汽车充电站，使充电站到、两个小区之间的距离之和最短的方案是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称的性质，结合两点之间，线段最短，即可求解． 解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 根据两点之间，线段最短，可知选项中的汽车充电站到、两个小区之间的距离之和最短． 【变式2】（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）坐标原点关于直线对称后的点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查坐标系中点的对称，掌握对称的性质并转化为坐标关系是解题关键． 设出对称点的坐标，通过对称的性质构建方程组求解即可． 解：设对称点的坐标为，原点O与其对称点P连线的中点为A，则， 令，得， ∴直线经过点， 由对称的性质可知，点A在直线上，， 可列方程组，得 解得或 当时，在y轴上，显然不与直线垂直，不满足对称的条件，故舍去， 故答案为：． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，的内部有一点P，在射线上各取一点，，使得的周长最小，作出点，，叙述作法，保留作图痕迹． 【答案】即为所求． 【分析】本题主要考查了根据轴对称求线段和最小问题， 作点P关于射线，的对称点E，点F，连接交于点，交于点，依次连接可得答案，再根据轴对称可知的周长为，然后根据“两点之间，线段最短”，可知此时的周长最小． 解：∵，， ∴的周长为． 根据两点之间，线段最短，可知此时的周长最小． 【题型 4】坐标与图形的变换 【例题4】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）在图中画出关于轴对称的，并写出点，，的坐标． （2）将平移，使移动至与原点重合，画出平移后的． （3）在中有一点，经过以上两次变换后点的对应点的坐标为 ． 【答案】（1）如图，即为所求， ，，； （2）如图，即为所求， （3） 【分析】（1）根据轴对称的性质作图，再结合图形写出点的坐标即可； （2）由题意可得平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，再结合平移的性质画图即可； （3）根据轴对称变换和平移变换的性质求解即可． 解：（1）略； （2）解：∵将平移，使移动至与原点重合， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， 图略； （3）解：在中有一点，经过第一次变换后坐标为，再经过第二次变换后的坐标为， 故在中有一点，经过以上两次变换后点的对应点的坐标为． 【变式1】（24-25七年级下·山西太原·期中）如图，直线l，m相交于点O，点P为这两直线外一点，且，若点P关于直线l，m的对称点分别是点交直线l与点A，交直线m与点B，则A，B之间的距离可能是（   ）    A．3 B．2.7 C．1.8 D．0 【答案】C 如图：连接，根据轴对称的性质和三角形三边关系及轴对称的性质可得结论． 【分析】解：如图，连接，    ∵是P关于直线l的对称点， ∴直线l是的垂直平分线，点A为的中点， ∴， ∵是P关于直线m的对称点， ∴直线m是的垂直平分线，点B为的中点， ∴，为的中位线，即， ∴，只有选项C符合题意． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了轴对称变换、三角形三边关系等知识点，熟练掌握轴对称变换的性质是解答本题的关键． 【变式2】（25-26八年级下·湖南·期中）如图，在平面直角坐标系中，依次作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点，关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为____________． 【答案】 【分析】根据题意，依次求出点，，，，的坐标，可推出从点开始，每6次变换为一个循环，求出2025除以6的余数即可得到答案． 解：如图， ∵点的坐标为， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于轴的对称点的坐标为， ∴关于轴的对称点的坐标为， ∴关于直线的对称点的坐标为， ∴关于轴的对称点的坐标为， ∴关于轴的对称点的坐标为， ， 以此类推，可知，从点开始，每6次变换为一个循环，变换后的点的坐标依次为，，，，， ∴， ∴点的坐标为． 【变式3】（24-25八年级下·山东德州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （1）作出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）． （2）直接写出，，三点的坐标． （3）在轴上求作一点，使的值最小（保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】（1）利用轴对称的作图方法作图即可； （2）利用所画图形，进而得出、、三点的坐标； （3）利用轴对称求最短路径求出P点即可． （1）解：如图所示，即为所求； （2）解：根据（1）中图形可得． （3）解：如图所示，点即为所求． 找到点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，此时的值最小． 四.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（23-24八年级上·吉林松原·期末）下列作图，是作点A关于直线l的对称点B的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了利用轴对称变换作图，掌握轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质即可求解． 解：∵A，B关于直线l对称， ∴直线l垂直平分线段， 故选项C符合题意， 故选：C． 2．（2026·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标规律，利用“关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数”即可求解． 解：∵关于轴对称的点的坐标特征为：横坐标相等，纵坐标互为相反数， 已知点， ∴点关于轴对称的点的横坐标为，纵坐标为，即． 3．（2026·上海·三模）已知平面内不同的两点，点，点，关于直线叙述一定正确的是（     ） A．直线轴 B．直线轴 C．直线轴 D．直线轴 【答案】B 【分析】根据两点坐标特征结合平行、垂直的定义判断即可，需注意重合不满足平行关系． 解：∵点，点是平面内不同的两点， ∴两点横坐标相等，纵坐标不相等， 可得直线上所有点的横坐标都为， ∴直线一定垂直于轴， 当时，直线与轴重合，不满足平行于轴，因此C不一定正确， 综上，一定正确的是B选项． 4．（25-26八年级下·湖南永州·期末）点关于轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平面直角坐标系中，点关于轴对称时，纵坐标不变，横坐标变为原横坐标的相反数． 解：点关于轴对称的点的坐标为． 5．（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）已知点的坐标是，则点关于轴的对称点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标规律，以及平面直角坐标系中象限内点的坐标特征，先求出对称点的坐标，再根据坐标特征判断所在象限即可． 解：∵关于轴对称的点的坐标规律为：横坐标不变，纵坐标互为相反数，点坐标为， ∴点关于轴的对称点坐标为， 又∵平面直角坐标系中，第三象限内点的横纵坐标均小于零， ∴点在第三象限． 6．（23-24八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，是线段的中点，，是线段外的两点，若是线段上的一个动点，且的周长随点的运动逐渐增大，则点的运动路径可能是（　　） A．从点运动到点 B．从点运动到点 C．从点运动到点 D．从点运动到点 【答案】D 【分析】本题主要考查点关于线的对称和三角形三边的关系，作点B关于的对称点，连接、、和，可知，由于线段为定长，则要逐渐增大，点M运动要逐渐远离线段，即可求得答案． 解：连接、和，作点B关于的对称点，连接，如图， 由点的对称性可得，， ∵线段为定长，随点的运动逐渐增大， ∴要逐渐增大， ∴点M运动要逐渐远离线段（此时周长最短），只有D符合题意． 故选：D． 7．（25-26七年级下·广西桂林·期末）已知和直线，求作关于直线对称的图形，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果如下，其中正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 解：根据轴对称的性质可知，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果中正确的是乙． 8．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴负半轴上的一点，平分，则点关于轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，平面直角坐标系中点的对称，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点B作于上于点D， 则，证明，由全等三角形的性质进一步写出点B坐标，最后求出关于轴的对称点的坐标． 解：过点B作于上的点D， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴B点的纵坐标为3，即， ∴， ∴， ∴点关于轴的对称点是， 故选D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（24-25七年级下·全国·周测）欢欢用四块相同的三角板拼成了如图所示的形状，图中与_______（填序号）成轴对称，整个图形共有_____条对称轴． 【答案】 和 【分析】本题考查了轴对称和轴对称图形，如果两个图形沿着每条直线折叠后，两个图形可以完全重合，那么这两个图形关于这条直线轴对称；如果一个图形沿着某条直线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线就是对称轴．解决本题的关键是根据轴对称和轴对称图形的定义进行判断． 解：根据轴对称的定义可知与成轴对称、知与成轴对称； 如下图所示，整个图形共有条对称轴． 故答案为：和； ． 10．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）已知点和点关于轴对称，则___________． 【答案】 【分析】本题考查关于轴对称的两点的坐标特征，求代数式的值，关键是掌握两点关于轴对称的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数.根据特征求出与的值，再代入所求代数式计算即可. 解：关于轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数， ∵点和点关于轴对称， ∴，， ∴. 11．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）在如图所示的方格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在格点上．建立如图所示平面直角坐标系，点的坐标为．在轴上确定点，使得与之和最小．点的坐标为_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了轴对称的性质，作出点关于轴的对称点，再连接、，与轴的交点即为所求． 解：如图所示，点即为所求，点的坐标为， 故答案为：． 12．（2025八年级上·云南保山·）已知点与点关于轴对称，则________． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，先求解，的值，再代入计算代数式的值即可． 解：∵点与点关于轴对称， ∴，， 解得：，， ∴． 13．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，将点向左平移3个单位长度，得到点，则点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【分析】先根据点的平移规律得到平移后点的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标特征计算所求点的坐标即可． 解：已知点，将点向左平移个单位长度， 根据点的平移规律：向左平移横坐标减，纵坐标不变，可得点的坐标为：，即， 关于轴对称的点的坐标特征为：横坐标相等，纵坐标互为相反数， 因此点关于轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 14．（25-26八年级下·上海·阶段检测）点沿轴翻折后与点重合，那么点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求解即可． 解：∵点沿轴翻折后与点重合， ∴点的坐标为． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）四盏灯笼的位置如图．已知灯笼，，，的坐标分别是，，，，平移轴右侧的一盏灯笼，使得轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是__________．（请填写序号） ①将灯笼向左平移3个单位长度；    ②将灯笼向左平移4个单位长度； ③将灯笼向左平移5.2个单位长度；    ④将灯笼向左平移4.2个单位长度． 【答案】③ 【分析】根据题意注意到A，B关于y轴对称，要使得轴两侧的灯笼对称，只需要C，D关于y轴对称，再结合平移的性质分析讨论即可解题． 解：∵，，，这四个灯笼的纵坐标都是， ∴这四个灯笼在一条直线上，且这条直线平行于x轴， ∵，的坐标分别是，， ∴A，B关于y轴对称， 要使得轴两侧的灯笼对称， 只需要C，D关于y轴对称即可， ∵，的坐标分别是，， ∴可以将灯笼向左平移到，平移5.2个单位， 或可以将灯笼向左平移到，平移5.2个单位， 综上，平移的方法可以是③． 16．（25-26七年级上·山东淄博·期末）若点和点关于轴对称，则的立方根是_____． 【答案】3 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征以及立方根的计算．根据关于轴对称的点的坐标规律求出和的值，再代入计算立方根即可． 解：∵点和点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴， ∵27的立方根为3， ∴的立方根是3， 故答案为：3． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，以为对称轴，作出所给图形的对称图形． 【答案】如图，即为所求． 【分析】根据轴对称的性质，找到点C，D，E，F，G的对应点，即可． 解：略 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图是一个轴对称图形的一半，直线是这个轴对称图形的对称轴，请画出这个图形的另一半． 【答案】 解：略 19．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，正方形网格的每个小正方形的边长为1．的三个顶点均在格点上． （1）画出关于直线对称的； （2）在直线上找一点，使的值最小． （3）找到格点，连接，满足与平行且相等． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，点P即为所求； （3）如图，点、即为所求； 【分析】（1）根据轴对称的性质作出点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）连接交于点P，则点P即为所求； （3）根据格点特点找出符合条件的点D即可． 解：（1）略 （2）解：连接，如图所示： 根据轴对称可得：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小； （3）略 20．（24-25七年级下·山东青岛·期末）探究（一） 如图①，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品，免费车只能在公路l上行驶，你认为停在哪里，到两村庄距离相等？ 请通过尺规作图表达你的观点．    探究（二） 如图②，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品，免费车只能在公路l上行驶，你认为停在哪里，到两村庄距离和最短？请借助刻度尺、直角三角板或圆规等，通过画图表达你的观点；也可以文字叙述你的做法． 探究（三） 如图③，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品，免费车只能在公路l上行驶，你认为停在哪里，最大？ 请借助刻度尺、直角三角板或圆规等，通过画图表达你的观点；也可以文字叙述你的做法．      拓展应用 如图④，中，，，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为___________； 【答案】探究（一）：线段的垂直平分线与直线l的交点P即为所求：    探究（二）：点Q即为所求：    探究（三）：点P即为所求：    拓展应用：6 【分析】探究（一）：作线段的垂直平分线与直线l的交点即为所求； 探究（二）：作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于 Q，点Q即为所求； 探索（三）：延长交直线l于P，点P即为所求； 拓展应用：如图所示，作点A关于直线的对称点F，连接交于G，连接，则当三点共线时最小，即，此时最小值为，点P与点G重合，根据含30度角的直角三角形的性质得到，进而证明，得到，则的最小值为6． 解：探究（一）：略 探究（二）：如图所示，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于 Q， 探索（三）：如图所示，延长交直线l于P，点P即为所求； 在直线l上任取一点不与点P重合的点， ∵， ∴， 又∵， ∴当点与点P重合时，， ∴直线l上任意一点一定满足， ∴点P即为所求； 拓展应用：如图所示，作点A关于直线的对称点F，连接交于G，连接， ∴， ∴， ∴当三点共线时最小，即，此时最小值为，点P与点G重合 ∵中，，， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的最小值为6， 故答案为：6．    【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的实际应用，轴对称最短路径问题，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系等等，利用轴对称的性质去构造最短路径的情形是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 15.3 画轴对称的图形（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识目标与重难点 1 【知识目标】 1 【重难点】 1 二.知识梳理与解读 1 【知识点一】画轴对称图形的原理与步骤 2 【知识点二】坐标系中点的对称坐标规律（必考） 2 【知识点三】坐标系内画轴对称图形流程 2 三.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】求坐标轴对称点坐标 2 【题型 2】求某条直线对称点坐标 3 【题型 3】尺规作图——将军饮马 4 【题型 4】坐标与图形的变换 5 四.同步检测 7 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 7 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 8 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 10 一.知识目标与重难点 【知识目标】 1. 知识目标：掌握画轴对称图形的基本原理与通用作图步骤；熟练掌握平面直角坐标系中，点关于轴、轴对称的坐标变化规律；学会利用坐标规律绘制轴对称图形。 2. 能力目标：能独立画出几何图形关于任意直线的轴对称图形；快速准确求解坐标系内对称点坐标；具备结合坐标变换完成图形对称作图、参数求解的能力。 3. 素养目标：建立图形变换的几何思维，深化数形结合思想，提升几何作图、逻辑推理与坐标运算的核心素养，养成规范作图的解题习惯。 【重难点】 1. 重点：轴对称图形的作图方法与步骤；平面直角坐标系中点关于坐标轴的对称坐标规律。 2. 难点：复杂多边形的轴对称作图；利用对称坐标规律求解参数、解决综合题型。 二.知识梳理与解读 【知识点一】画轴对称图形的原理与步骤 核心原理：轴对称图形中，任意一组对应点的连线被对称轴垂直平分。 通用作图三步法 1. 找关键点：找出原图形的顶点、端点等所有决定图形形状的关键点； 2. 作对称点：过每个关键点作对称轴的垂线，延长垂线并截取等长线段，得到各关键点的对称点； 3. 顺次连线：按照原图形顶点的排列顺序，依次连接所有对称点，得到完整的轴对称图形。 【知识点二】坐标系中点的对称坐标规律（必考） 设平面内任意一点坐标为 ，对称规律口诀：关于谁对称，谁不变，另一个变号。 1. 关于 轴对称：横坐标不变，纵坐标取相反数，对称点坐标为 ； 2. 关于 轴对称：纵坐标不变，横坐标取相反数，对称点坐标为 。 【知识点三】坐标系内画轴对称图形流程 1. 提取原图形所有顶点坐标； 2. 根据对称规律，计算所有顶点的对称点坐标； 3. 在坐标系中精准描出全部对称点； 4. 按原图顺序依次连线，得到轴对称图形。 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】求坐标轴对称点坐标 【例题1】（24-25八年级下·贵州铜仁·阶段检测）已知点关于x轴的对称点在第一象限，试化简． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃武威·阶段检测）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2026次变换后所得的点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知点，． （1）若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； （2）若点A，B关于y轴对称，求的值． 【题型 2】求某条直线对称点坐标 【例题2】（25-26八年级上·重庆江津·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，，直线是第一、三象限的角平分线所在的直线． （1）作出关于直线对称的对称图形，并写出、、的坐标； （2）连接，则直线与线段的关系是__________； （3）在直线上找一点，连接，使平分的面积，请直接写出点的坐标． 【变式1】（25-26七年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，关于直线的对称点为，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·上海·期末）点关于y轴对称的点的坐标是____________． 【变式3】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）按要求完成下列各题： （1）如图，在图中画出关于x轴对称的；（图中网格每个小正方形的边长均为1） （2）在图中画出关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的，观察三点的坐标，归纳规律：坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的点的坐标是_____； （3）猜想坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是）对称的点的坐标是_____． 【题型 3】尺规作图——将军饮马 【例题3】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，已知的三个顶点分别为，，． （1）画出关于轴对称的． （2）在轴上找一点，使得的周长最小（保留画图痕迹，不写作法），并求出点的坐标． 【变式1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）某区计划在公路旁修建一座新能源汽车充电站，使充电站到、两个小区之间的距离之和最短的方案是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）坐标原点关于直线对称后的点的坐标是______． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，的内部有一点P，在射线上各取一点，，使得的周长最小，作出点，，叙述作法，保留作图痕迹． 【题型 4】坐标与图形的变换 【例题4】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）在图中画出关于轴对称的，并写出点，，的坐标． （2）将平移，使移动至与原点重合，画出平移后的． （3）在中有一点，经过以上两次变换后点的对应点的坐标为 ． 【变式1】（24-25七年级下·山西太原·期中）如图，直线l，m相交于点O，点P为这两直线外一点，且，若点P关于直线l，m的对称点分别是点交直线l与点A，交直线m与点B，则A，B之间的距离可能是（   ）    A．3 B．2.7 C．1.8 D．0 【变式2】（25-26八年级下·湖南·期中）如图，在平面直角坐标系中，依次作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点，关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为____________． 【变式3】（24-25八年级下·山东德州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （1）作出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）． （2）直接写出，，三点的坐标． （3）在轴上求作一点，使的值最小（保留作图痕迹） 四.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（23-24八年级上·吉林松原·期末）下列作图，是作点A关于直线l的对称点B的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·上海·三模）已知平面内不同的两点，点，点，关于直线叙述一定正确的是（     ） A．直线轴 B．直线轴 C．直线轴 D．直线轴 4．（25-26八年级下·湖南永州·期末）点关于轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）已知点的坐标是，则点关于轴的对称点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（23-24八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，是线段的中点，，是线段外的两点，若是线段上的一个动点，且的周长随点的运动逐渐增大，则点的运动路径可能是（　　） A．从点运动到点 B．从点运动到点 C．从点运动到点 D．从点运动到点 7．（25-26七年级下·广西桂林·期末）已知和直线，求作关于直线对称的图形，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果如下，其中正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴负半轴上的一点，平分，则点关于轴的对称点是（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（24-25七年级下·全国·周测）欢欢用四块相同的三角板拼成了如图所示的形状，图中与_______（填序号）成轴对称，整个图形共有_____条对称轴． 10．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）已知点和点关于轴对称，则___________． 11．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）在如图所示的方格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在格点上．建立如图所示平面直角坐标系，点的坐标为．在轴上确定点，使得与之和最小．点的坐标为_____． 12．（2025八年级上·云南保山）已知点与点关于轴对称，则________． 13．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，将点向左平移3个单位长度，得到点，则点关于轴对称的点的坐标是______． 14．（25-26八年级下·上海·阶段检测）点沿轴翻折后与点重合，那么点的坐标为______． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）四盏灯笼的位置如图．已知灯笼，，，的坐标分别是，，，，平移轴右侧的一盏灯笼，使得轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是__________．（请填写序号） ①将灯笼向左平移3个单位长度；    ②将灯笼向左平移4个单位长度； ③将灯笼向左平移5.2个单位长度；    ④将灯笼向左平移4.2个单位长度． 16．（25-26七年级上·山东淄博·期末）若点和点关于轴对称，则的立方根是_____． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，以为对称轴，作出所给图形的对称图形． 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图是一个轴对称图形的一半，直线是这个轴对称图形的对称轴，请画出这个图形的另一半． 19．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，正方形网格的每个小正方形的边长为1．的三个顶点均在格点上． （1）画出关于直线对称的； （2）在直线上找一点，使的值最小． （3）找到格点，连接，满足与平行且相等． 20．（24-25七年级下·山东青岛·期末）探究（一） 如图①，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品，免费车只能在公路l上行驶，你认为停在哪里，到两村庄距离相等？ 请通过尺规作图表达你的观点．    探究（二） 如图②，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品，免费车只能在公路l上行驶，你认为停在哪里，到两村庄距离和最短？请借助刻度尺、直角三角板或圆规等，通过画图表达你的观点；也可以文字叙述你的做法． 探究（三） 如图③，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品，免费车只能在公路l上行驶，你认为停在哪里，最大？ 请借助刻度尺、直角三角板或圆规等，通过画图表达你的观点；也可以文字叙述你的做法．      拓展应用 如图④，中，，，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为___________； 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $