专题14.2（2） 全等三角形的判定（尺规作图和证明问题）（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦全等三角形判定与尺规作图核心知识点，先系统梳理五种基本作图（作线段、角、角平分线、垂线、垂直平分线），再提炼尺规作图关键及证明全等四步解题步骤（找条件、补条件、定定理、写证明），通过7类题型（结合作图的全等问题、线段和差证明等）构建从基础到应用的学习支架。 资料以探究式学习（如等腰直角三角形动态问题）引导学生主动发现，培养创新意识（数学眼光），规范证明步骤与隐含条件总结提升推理能力（数学思维），题型变式与复盘笔记助力课中教学实施和课后查漏补缺，强化应用意识（数学语言）。

简一数理 初中专题讲义 专题14.2（2） 全等三角形的判定（尺规作图和证明问题） （新教材人教版） 知识点一、五种基本作图 2 知识点二、尺规作图的关键 5 知识点三、证明全等的通用解题步骤 5 【题型1 结合尺规作图的全等问题】 6 【题型2 证明一条线段等于两条线段的和或差】 10 【题型3 作一个角等于已知角（尺规作图）】 16 【题型4 过直线外一点作已知直线的平行线】 19 【题型5 尺规作图---作三角形】 23 【题型6 利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形）】 25 【题型7 全等三角形综合问题】 28 【探究式学习】 35 【课后检测】 46 【复盘笔记】 68 知识点一、五种基本作图 定义：最基本、最常用的尺规作图，通常称作基本作图, （一）作一条线段等于已知线段 已知 线段 a 求作 线段0A，使OA等于a 作法 1）任作一条射线OP； 2）以点0为圆心，a的长为半径画弧，交0P于点A，则线段OA 即为所求 依据 圆上的点到圆心的距离等于半径. （二）作一个角等于已知角 已知 ∠AOB 求作 ∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB 作法 1）作射线O'A'； 2）以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A于点C，交OB于点 D； 3）以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交O'A'于点E； 4）以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F； 5）经过点F作射线O'B',ㄥA'0'B'即为所求. 依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线. （三）作已知角的角平分线 已知 ∠AOB 求作 射线OP，使∠AOP=∠BOP 作法 1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M，交0B于点N； 2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； 3）作射线OP，射线OP即为所求. 依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线. （四）过一点作已知直线的垂线 已知 直线AB和AB上的一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 作平角ㄥACB的平分线MF.直线MF就是所求作的垂线. 已知 直线AB和AB外一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 1）任意取一点P，使点P和点M在AB的两旁； 2）以点M为圆心，MP的长为半径作弧，交AB于点C和点D； 3）分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E； 4）作直线EM，直线EM就是所求作的垂线. 依据 1）等腰三角形“三线合一”； 2）两点确定一条直线. （五）作线段的垂直平分线 已知 线段AB 求作 线段AB的垂直平分线 作法 1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N； 2）作直线MN，直线MN就是线段AB的垂直平分线. 依据 1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 2）两点确定一条直线. 知识点二、尺规作图的关键 （一）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； （二）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题； （三）切记作图中一定要保留作图痕迹； （四）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键. 知识点三、证明全等的通用解题步骤 （一）标准答题模板，适配所有考试题型，逻辑严谨不丢分 1.找条件：梳理题干已知的边、角相等关系，标注图形中的公共边、公共角、对顶角（隐含条件）； 2.补条件：若条件不足，通过平行线性质、垂直定义、角平分线、中点、等式性质等推导缺失边角； 3.定定理：根据已知条件，匹配SSS/SAS/ASA/AAS/HL其中一种判定定理； 4.写证明：规范书写格式，先列条件，再证全等，最后用全等性质推导所求结论（边等、角等、平行、垂直等）。 （二）高频隐含条件（解题关键） 1.题干未直接给出，但图形天然存在的等量关系，是大部分题目的解题突破口： 2.公共边：两个三角形共用的边，天然对应相等； 3.公共角：两个三角形共用的角，天然对应相等； 4.对顶角：相交直线形成的对顶角相等； 5.等角/等边推导：同角的余角相等、同角的补角相等、等式加减性质（长边减短边、大角减小角）。 【题型1 结合尺规作图的全等问题】 【例1】在课堂上，李老师发给每人一张印有RtABC（如图）的卡片，要求学生们画一个，使得，小海和小华先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中，错误的是（    ） A．小海作图判定的依据是直角三角形全等的判定定理 B．小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小华作图判定的依据是 D．小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】D 【分析】本题考查了用圆规作图和全等三角形判定的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法逐选项进行判断，即可求解； 【详解】解：由图示知，小海第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为；小华第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为． 选项D表述为“小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长”明显错误，符合题意， 故选：D． 【变式1-1】如图，用尺规作出了，其作图依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：由作法可知：，， ， ． 故选：A． 【变式1-2】已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（   ） A． B． C．若，则 D．点在的平分线上 【答案】C 【分析】根据题意可知，即可推断结论A；先证明，再证明即可证明结论B；连接OP，可证明可证明结论D；由此可知答案． 【详解】解：由题意可知， ， ， 故选项A正确，不符合题意； 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， 故选项B正确，不符合题意； 连接OP， ， ， 在和中， ， ， ， 点在的平分线上， 故选项D正确，不符合题意； 若，， 则， 而根据题意不能证明， 故不能证明， 故选项C错误，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，明确以某一半径画弧时，准确找到相等的线段是解题的关键． 【变式1-3】如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺和圆规按要求作图．（注意求作的图形用实线） (1)在图1中，画出边上的中线； (2)在图2中，找一个点D，使得与全等（点D不能与点A重合）． 【答案】(1)解：如图即为所作， (2)解：如图即为所作， 【分析】（1）找出的中点，连接即可； （2）根据三边对应相等找出点，即可得． 【详解】（1）略 （2）解：图略 由图可得， ． 【题型2 证明一条线段等于两条线段的和或差】 【例2】如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 解：，理由如下： 分别是、的角平分线， ， ， ， ， ， ， ； (2)5 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）先根据角平分线得，再根据就可得出，即可得出结论； （2）在上截取，先证，再证，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，在上截取，连接， 分别是、的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式2-1】（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 【答案】（1）①； ②问题①中结论仍然成立，理由如下： ， ， ， 又，， ， ，， ； （2）G是的中点，理由如下： 如图，作于M，于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴点G是的中点． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握相关判定方法及性质是解题的关键． （1）①由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； ②由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）作于M，于N，先证，根据全等三角形的性质得到，同理，由此可得，再由此证明，由全等三角形的性质得到，于是得到点G是的中点． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：； ②略 （2）略 【变式2-2】如图，在中，，平分交于点D．求证：． 【答案】 证明：如图，在上截取，连接． 的平分线交边于点， ， 在与中， ， ∴， ，， ，， ， ， ， ， ∵ ， ． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，在上截取，连接，利用已知条件求证，然后可得，，再利用三角形外角的性质求证，然后问题可解． 【详解】 略 【变式2-3】如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ，     ∴ ， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形的外角，全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截长或补短”的方法． （1）利用三角形的内角和求出的度数，再利用角平分线得到、的大小，最后求出外角的度数； （2）在上，构造，再利用条件证明，从而得到解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线，交于点 ∴,， ∵是的外角， ∴； （2）略 【题型3 作一个角等于已知角（尺规作图）】 【例3】如图，用直尺和圆规作，使． 【答案】如图，即为所求 【分析】根据尺规作图—作相等角：以角的顶点为圆心作圆，与角的两边分别交于一点，用圆规截取这两点间的距离，在射线上作同样的圆，与射线交于一点，以该点为圆心，以所截取的距离为半径作圆，与之前的圆交于一点，以所在射线上的端点和该交点作射线，即可得到相等角（原理：的全等三角形的判定和性质）和作相等线段，利用的全等三角形的判定方法确定． 【详解】解：略． 【变式3-1】如图，已知线段a，b，，有一个三角形的两条边长分别是a和b，一个内角等于． (1)请你用尺规作一个满足条件的三角形． (2)你是否还能作出既满足条件，又与（1）中所作的三角形不全等的三角形？若能，请你用尺规作出这样的三角形；若不能，请你说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作，以点O为圆心，为半径画弧交于点C，以点O为圆心，为半径画弧交于点D，连接，则即为所求； （2）作，以点O为圆心，为半径画弧交于点C，以点C为圆心，为半径画弧交于点E，连接，则即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3-2】如图，在△ABC中，点D在BC延长线上． (1)尺规作图：在BD上方，过点C作射线； (2)请利用上图证明三角形的内角和定理． 【答案】(1)如图所示， (2)证明：， ， ，即的内角和为． 【详解】（1）作法如下： ①以点为圆心，任意半径画圆弧交于点，交于点； ②以点为圆心，为半径画圆弧交于点； ③以点为圆心，为半径画圆弧，与②的圆弧交点记为 则连接，有． （2）略 【变式3-3】用无刻度直尺和圆规作图．如图，已知，点E在上． (1)在上作一点F，使；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）条件下，判断与是否平行，并说明理由． 【答案】(1)解：如图所示，点F即为所求作的点； (2)解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据要求作图即可； （2）根据平行线的性质得到，可知，即可证明． 【详解】（1）略； （2）略． 【题型4 过直线外一点作已知直线的平行线】 【例4】如图，已知平面上三点．画线段、射线，并用直尺和圆规过点作直线． 【答案】解：如图，直线即为所求 【分析】线段两端不出头，射线的C处出头，B处不出头，利用同位角相等两直线平行，在点C处借助射线作与相等的角即可得到直线（直线两端均出头）． 【详解】解：略． 【变式4-1】如图，在中，点D是边上的点，请用尺规作图法在边上找一点E，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 点E即为所求． 【分析】作交于点，根据同位角相等两直线平行即可得到． 【详解】略 【变式4-2】如图，在中，已知点为边上中点，点为边上一点，连接． (1)尺规作图：过点作交延长线于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，请求出的长度． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)8 【分析】（1）作即可； （2）由作图可知，证明，得到即可． 【详解】（1）略； （2）解：由作图可知， ，， ， 点为边上中点， ， ， ， ∵， ， ， 即的长度为8． 【变式4-3】学习了平行线后，数学兴趣小组的同学们针对“过直线外一点作已知直线的平行线”的方法开展了交流研讨． 已知：如图1，直线和直线外一点，过点作直线，使直线． (1)如图2所示，小明利用直尺和三角尺画图，小明的作图依据是：______． (2)小丽和小亮发现还可以利用直尺和圆规来解决这个问题： 小丽 小亮 作法：（如图3） ①在直线上取一点，连接并延长（与直线不垂直）； ②在的延长线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点； ③连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点， ④作直线 则直线为所求作的直线． 作法：（如图4） ①在直线上取一点，连接； ②作线段的垂直平分线，分别交直线、线段于点、； ③以点为圆心，长为半径作弧，交直线于另一点； ④作直线 则直线为所求作的直线． 判断小丽和小亮的方法是否正确（     ） A．小丽正确，小亮不正确        B．小丽不正确，小亮正确 C．小丽和小亮都正确                 D．小丽和小亮都不正确 (3)请你用不同于材料中的方法，在图1中过点作出直线的平行线． （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)同位角相等，两直线平行 (2) (3)如图即为： 【分析】（1）利用同位角相等判定两直线平行； （2）根据同位角相等两直线平行证明小丽正确，根据内错角相等两直线平行证明小亮正确； （3）尺规作一组相等内错角，依据内错角相等两直线平行画出平行线． 【详解】（1）解：据图可知，小明作图的依据为：同位角相等，两直线平行． （2）解：小丽： ，， ，， ，， ，， ， ， 故小丽正确； 小亮： 垂直平分， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故小亮正确． （3）解：在直线上任取一点，连接并延长， 以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交直线和直线于点、， 以点为圆心，长为半径作弧，交于点， 再以点为圆心，长为半径作弧，与上一弧交于点， 作直线即为所求； 证明：， ． 【题型5 尺规作图---作三角形】 【例5】如图，已知与线段a，请用尺规作图法作，使得，，．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，即为所求．（作法不唯一） 【分析】根据作一个角等于已知角、作一条线段等于已知线段及线段的和的作法即可完成． 【详解】解：略． 【变式5-1】请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．一块三角形状的玻璃破碎成如图所示的三块，求作，使得和原来的三角形全等． 【答案】如图所示：即为所求． 【分析】按照作一个角等于已知角，截一条线段等于已知线段的作图步骤作图即可． 【详解】略 【变式5-2】已知：如图，，点在边上．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．求作：，使，并满足点在的延长线上，． 【答案】即为所求， 【分析】先作，再分别截取线段，使得，，则即为所求． 【详解】略． 【变式5-3】中国农民丰收节，是第一个在国家层面专门为农民设立的节日，节日时间为每年“秋分”．该节日的设立提升了亿万农民的荣誉感、幸福感、获得感．工作人员小张在丰收节展览会上不慎打碎一个如图所示的三角形玻璃展台（）． (1)小张只要从两块碎片中选择第____块（填“①”或“②”）就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台（）的形状和大小完全相同的新展台（），理由是____（填“”或“”或“”或“”）． (2)求作，使得（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)②； (2)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理，可得只有第②块有完整的两角及夹边，符合ASA； （2）分别作，即可求解． 【详解】（1）解：因为只有第②块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的． 所以小张只要从两块碎片中选择第②块（填“①”或“②”）就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台（）的形状和大小完全相同的新展台（），理由是 （2）如图所示：为所求 【题型6 利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形）】 【例6】如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长 至点 ，使 ，延长 至点 ，使 ，构造全等三角形，得到，由外角的性质可得． 再由，直角三角形的两锐角互余结合角的等量代换即可得到，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，延长 至点 ，使 ，延长 至点 ，使 ． 由图可知：，，， ， ． 是 的外角， ，即． ， ，即， ，即． ， ． 【变式6-1】如图，点A，点B，点C，点D均在格点上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形的外角性质， 由题意可得：，，即可证明，从而得出，根据三角形的外角可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， , ， ， ． 故选：C． 【变式6-2】如图所示是一个的正方形，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形全等的性质的运用：由三角形全等得角相等．认真观察图形，发现并利用全等三角形是正确解决本题的关键． 由图可找出多对全等三角形，对应多对角的和是，再相加即可． 【详解】解：根据全等三角形的性质可知， 与的余角相等，也就是与互余， 同理：与互余．与互余，与互余，与互余，与互余，又， 、、、、、、， ． 【变式6-3】如图，△ABC的三个顶点均在格点处． (1)过点B画AC的垂线BD； (2)过点A画BC的平行线AE．（请用黑水笔描清楚） 【答案】(1) 画图如下： (2) 画图如下： 【分析】(1)过点B作格点直角三角形与以AC为斜边的直角格点三角形全等，即可画得； (2)过点A画正方形的对角线，即可画得． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了格点作图，平行线与垂线，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【题型7 全等三角形综合问题】 【例7】如图，已知在四边形中，，，，，点E为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向D运动．要使与全等，点Q的运动速度为（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论当或时，根据全等三角形的性质计算即可． 【详解】解：由题意知，，设运动时间为，点Q的运动速度为， 则，，， ∵， ∴要使与全等，则有或， 当时，， 即，解得； 当时，， 即， 解得， 综上所述，点Q的运动速度为或． 【变式7-1】如图，，，，垂足分别为E，F，与交于点D，有下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和得到，由全等三角形的判定定理得到，故①选项正确，由，得，于是得到，选项④正确；同时可证明，选项②正确，根据全等三角形的性质得到， 则，选项④正确连接，证得，根据全等三角形的性质得到，即点D在的平分线上，选项③正确， 【详解】解：∵， ， 在中，，在中， ， 在和中， ， ∴，故①选项正确； ， ， 得， ∴，选项④正确； 在和中， ， ∴，选项②正确； 连接， 在和中， ， ∴， ，即点D在的平分线上，选项③正确； 故正确的为①②③④． 【变式7-2】数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 (1)如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)，理由：∵点、、在直线上， ∴， 由三角形内角和定理知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得； （2）同（1）可证明，得，可得答案； （3）过点A作于F，可证明，得到；再分和两种情况，利用全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图所示，过点A作于F， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵E是中点， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点Q的运动速度为或． 【变式7-3】已知，． (1)如图1，连接，若，于点，、关于轴对称，是线段上的一点，且，连接，试判断线段与之间的位置和数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，在（1）的条件下，若N是线段上的一个动点，P是延长线上的一点，且，连接交y轴于点Q，过点N作轴于点H，当N点在线段上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)结论：．理由如下： ， ， ， ， ，， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ； (2) 是定值，定值为4 【分析】（1）由得，因此有，根据可证，从而得证； （2）过作轴于，过作轴于，由“全等三角形的对应高相等”得，先根据可证，从而得，进而得，再根据可证，得，即可得的面积． 【详解】（1）解：略； （2）解：过作轴于，过作轴于，如图3， 轴， ， 由（1）知，，， 、关于轴对称，点A在轴上，， ，（全等三角形对应高相等）， 又， ， ， 又， ，即， 在与中， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，全等三角形的判定与性质．通过全等三角形的性质及判定来证明线段的位置和数量关系，以及添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 【探究式学习】 1．根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． (2)①； 理由：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． ②4 【分析】（1）利用同角的余角相等证得，证明即可； （2）①利用同角的余角相等证得，根据证明；②利用同角的余角相等证得，根据证明，再利用等量代换即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：①略 ②∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 2．如图，、均为等边三角形，当三点在同一条直线上时，连接交于点，易证：．聪明的小明将绕点旋转的过程中发现了一些不变的结论，让我们一起开启小明的探索之旅！ 【探究一】如图，当三点不在同一条直线上时，小明发现的大小没有发生变化，请你帮他求出的度数； 【探究二】阅读材料：在平时的练习中，我们曾探究得到这样一个正确的结论：两个全等三角形的对应边上的高相等．例如：如图，如果，分别是的边上的高，那么容易证明．小明带着这样的思考又有了新的发现：如图，若连接，则平分，请你帮他说明理由． 【探究三】在探究二的基础上，小明又进一步研究发现，线段之间还存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系； 【探究四】在和中，，，，点在内部，直线与交于点．灵活应用小明的探究结果，请直接写出图中线段之间存在的数量关系． 【答案】【探究一】； 【探究二】 证明：如图，过点作，，垂足分别为点，， ． 由探究一得： ， ∴， 又∵，， ∴平分； 【探究三】； 【探究四】． 【分析】【探究一】先证明，推出，再根据对顶角相等，得出，进而可求得的度数； 【探究二】过点作，，垂足分别为点，，可证，根据，，可得平分； 【探究三】在上取一点，使得，先证明，推出，根据探究一、二得：，推出 为等边三角形，通过等量代换即可得结论； 【探究四】过点作交于点，先后证明，，推出，，推出是等腰直角三角形，通过等量代换即可得结论； 本题考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形等知识，理解题意，证明三角形全等是解题的关键． 【探究一】解：如图，和交于点， ∵均为等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴； 【探究二】略 【探究三】解：如图在上取一点，使得， 由探究一得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由探究一、二得：， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 即； 【探究四】解：如图，过点作交于点， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∴， ∵， ∴． 3．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形中，分别是直线上的点． (1)如图1，若，分别在线段，上，且满足，试探究线段，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为    ___________． (2)如图2，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，之间的数量关系，并请说明理由． (3)如图3，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) ，理由如下： 在上截取，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． (3)， 理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 即， ． 【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论； （2）如图2：在上截取，连接，先判定，进而得出，再判定，可得结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：结论：． 理由：如图 1，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）略 （3）略 4．在探究图形变化规律的过程中，结合数学知识之间的内在联系，通过类比、迁移，可以获得宝贵的数学经验．    【探究1】 如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点B，E，F在同一条直线上，则 ； 【探究2】 如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，延长交于点D，则 ． 【探究3】 如图3，和均为等腰三角形，，，连接，，延长交于点D，若，则 （用含m的式子表示）． 【探究4】 如图4，和均为等腰三角形，，，连接，，延长交的延长线于点D，若，则 ． 【答案】探究1：90；探究2：90；探究3：m；探究4：60 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理： （1）证明，得出，再由三角形内角和定理即可得出答案； （2）证明，得出，即可得出答案； （3）证明，得出，即可得出答案； （4）证明，得出，即可得出答案． 【详解】探究1 解：∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：90； 探究2：∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：90； 探究3：同（2）可得， ∴， ∴ ， 故答案为：m； 探究4：∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60． 【课后检测】 1．已知，下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图痕迹，该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作图-基本作图，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．作图过程可得，，利用判定，可得． 【详解】解：由作图得，， 在和中， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图中尺规作图的痕迹，可得，进而判定，再根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：根据图中尺规作图的痕迹，可得，故B选项正确； ∴， ∴，，故选项A、D正确； ∵，，而和的关系不确定， ∴和的关系不确定，故C选项错误． 3．过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图中的“过直线外一点作直线的平行线”，解题关键是掌握平行线的判定定理，以及基本的尺规作图方法． 分析每个选项的作图，再根据平行线的判定定理一一判断即可． 【详解】解：A、作图中只是截取了两条相等的线段，不能判定两直线平行，作图不正确； B、本选项作了角的平分线与等腰三角形，能得到一组内错角相等，从而可证两直线平行，作图正确； C、由作图可知，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，作图正确； D、本选项作了一个角等于已知角，根据同位角相等两直线平行，能判断是过点P且与直线l的平行直线，作图正确． 故选：B． 4．要求过直线外一点，作直线，使得，嘉嘉和淇淇尺规作图的过程如图所示，下列判断正确的是（　　） A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．两人的都不正确 D．两人的都正确 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图的基本操作、平行线的判定定理、全等三角形的判定与性质，解读两人尺规作图对应的几何逻辑是解题关键． 根据直线平行的判定法则对嘉嘉和淇淇的尺规作图过程进行分析． 【详解】解：嘉嘉的作法正确．理由：由作图可知， ∴； 淇淇的作法正确．理由：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：． 5．如图是“过直线外一点作的平行线”的尺规作图．根据该作图方法，可以证明，证明过程中判定的依据是（    ） A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等 【答案】D 【分析】本题考查作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，根据作图痕迹判断作图过程是作一个角等于已知角，据此求解即可. 【详解】解：由作图可知，，， ∴判定的依据是， 故选：D． 6．已知：如图，，垂足分别是E，F，，求证：．下列证明思路正确的是（    ） A．连接，直接证明，得 B．过点A作于点M，证明，再证明，得 C．连接，证明，再证明，得 D．过点A作于点M，直接证明，得 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定条件进行逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、连接AM，由AB=AC可以得到∠B=∠C， △ABM和△ACM中有两条边对应相等，一个角对应相等（不是两条相等对应边的夹角）， 由SSA不能证明全等，故不符合题意； B、过点A作AM⊥BC于M，但是题目已知的M点与A点的连线与BC并不知道是否垂直， 即辅助线的垂足M与题目已知的M不一定是同一个点， 故不能由此作出辅助线证明全等， 此选项不符合题意； 同理D选项也不符合题意； C、连接AM，则EM=FM，AM=AM，∠AEM=∠AFM， 可以用HL证明△AEM≌△AFM得到AE=AF， 从而得到BE=CF， 再由EM=NF，∠BEM=∠CFM，BE=CF 即可证明△BEM≌△CFM 得到BM=CM，故此选项符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 7．如图，在中，为边上一点，给出如下关系：①平分；②于点；③为的中点．甲：如果①②同时成立，可证明③成立；乙：如果②③同时成立，可证明①成立；丙：如果①③同时成立，可证明②成立．正确的说法是（    ） A．乙正确，甲、丙错误 B．甲正确，乙、丙错误 C．甲、乙正确，丙错误 D．甲、乙、丙都正确 【答案】D 【分析】利用三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质解答即可，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的中点， 故甲的说法正确； ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 故乙的说法正确； 如图，过点C作，交的延长线于点E， 则， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故丙说法正确． 故选D． 8．某节数学课中，老师请同学自行证明等腰三角形一条性质：等腰三角形的两底角相等，下面三位同学的证明过程正确的有（    ）个． 小明：如图1，已知AB＝AC，取BC的中点D，连接AD，可证明△ABD≌△ACD，则∠B＝∠C，性质得证． 小花：选取某一等腰三角形，通过折叠的方法，可以将两底角重合，故两底角相等，性质得证． 小帅：如图2，分别过点B，C作AB，AC的垂线，垂足分别为点M，N，因为AB＝AC，而△ABC面积不变，所以CM＝BN，可证明Rt△BNC≌Rt△CMB，则∠ABC＝∠ACB，性质得证． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用全等三角形的判定与性质进行判断即可． 【详解】解：小明证明过程正确，利用SSS证明△ABD≌△ACD，可得结论； 小明的证明过程正确，如图1 ∵折叠， ∴∠BAD=∠CAD， 再利用SAS证明△BAD≌△CAD，可得∠B=∠C， 小帅的证明过程正确， ∵AB×CM=AC×BN，AB=AC， ∴CM=BN， ∵BC=BC， ∴Rt△BNC≌Rt△CMB（HL）， ∴∠ABC=∠ACB， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，翻折的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 9．如图，在中，点D为上一点，给出如下关系：①平分；②于D；③D为的中点． 嘉嘉说：若①②同时成立，可证明； 淇淇说：若②③同时成立，也可以证明． 针对两人的说法，下列判断正确的是（    ） A．只有嘉嘉说的对 B．只有淇淇说的对 C．两人的说法都对 D．两人的说法都不对 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线，全等三角形的判定与性质是解题的关键．若①②同时成立，可证，进而可判断嘉嘉的正误；若②③同时成立，可证，进而可判断淇淇的正误． 【详解】解：若①②同时成立， ∴， ∵，，， ∴， ∴，嘉嘉正确，故符合要求； 若②③同时成立， ∴， ∵，，， ∴， ∴，淇淇正确，故符合要求； 故选：C． 10．如图，在中，，现要证明“等边对等角”这一结论．以下是小明解答该问题的思路片段： 如图，取的中点，连接， ． 在和中， （）， ．    关于以上证明过程，下列选项错误的是（    ） A．依据@表示SSS B．依据★表示全等三角形的对应角相等 C．图中辅助线也可以是作的平分线，全等的依据是 D．图中辅助线还可以是作于点，全等的依据是 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法及性质判断A、B；根据题意可得，，，可判断C；根据题意可得，由，，可判断D． 【详解】解：A.结论正确，不符合题意； B. 结论正确，不符合题意； C. 作的平分线，，，，可用判定，故结论错误，符合题意； D. 作于点，可得，，，可用判定，故结论正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了利用三角形全等的不同方法证明“等边对等角”，掌握判定方法及性质是解题的关键． 11．如图，已知． （1）若用“”证明，还需添加条件______________． （2）若用“”证明，还需添加条件______________． （3）若用“”证明，还需添加条件______________． 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． （1）要判定，已知是公共角，具备了一组边、一组角相等，根据可添加； （2）要判定，已知是公共角，具备了一组边、一组角相等，根据可添加； （3）要判定，已知是公共角，具备了一组边、一组角相等，根据可添加． 【详解】解：（1）添加， 在和中， ， ∴； （2）添加， 在和中， ， ∴； （3）添加， 在和中， ， ∴； 故答案为：；；． 12．如图，在四边形中，连接，平分，添加一个条件后，能证明的是________． 【答案】（答案不唯一，填或亦可） 【分析】根据角平分线的定义可得，结合图形中的公共边，根据全等三角形的判定定理、或添加相应的条件即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵在和中，， 若添加， ∴； 若添加， ∴； 若添加， ∴． 13．问题情境：如图1，在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使DG＝，连接，先证明，再证明，可得出，，之间的数量关系． 实际应用：如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化，四周修有步行小径，且，，在小径，上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，米，米，试在小王同学研究的基础上，求两凉亭之间的距离_______． 【答案】25米/ 【分析】本题主要考查的是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形并两次证全等是解题的关键．延长至，使，连接，可证得进而证得，进一步求得，即可得出最后结果． 【详解】如图，延长至，使，连接，   ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 米，米， 米． 故答案为：25米． 14．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为___________厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 【答案】3或 【分析】设点P运动的时间为t秒，则，，分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度． 【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则，， ，点E为线段的中点，． ， ①当，时，与全等， 此时，， 解得：， ， 点Q的运动速度为厘米/秒； ②当，时，与全等， 此时，， 解得：， 点Q的运动速度为厘米/秒； 点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 15．如图，，，．求证：． 以下是合作小组三名同学关于此题的讨论： 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理证明两个三角形全等，从而得到．” 小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理证明两个三角形全等，从而得到．” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．” (1)看了他们的讨论，请你选择一位同学的方法写出证明过程． (2)相信你一定也有了自己的主意，请用不同于三位同学的方法来证明． 【答案】(1) 小丽的方法， 在和 中， ， ∴， ∴，， ∴， 即； 小颖的方法： 连接， 在和中， ， ∴， ∴； 小雨的方法： 连接， 在和 中， ， ∴， ∴， ∴，即， 又，， ∴， ∵， ∴； (2) 证明：连接， 在和 中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练地运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （）对于小丽的方法，根据垂线的知识可得，再结合证明，最后根据全等三角形的性质可得；对于小颖的方法，连接，根据证明即可；对于小雨的方法，连接，根据，可得，再结合三角形面积计算方法证明即可； （）连接，根据，可得，，根据等腰三角形的性质得到，进而得到，根据证明即可， 【详解】（1）略 （2）略 16．已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段 的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①，当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明________；即可得出线段 之间的数量关系是________． (2)如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． 【答案】(1)；； (2) 解：（1）中的结论仍然成立，证明如下： 如图，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， 又∵ ∴， ∴， ∵ ∴； 【分析】（1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长到点G，使，连接，先证明，再同（1）求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，延长到点，使，连接， ∵ ， ∴， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， 又∵ ∴， ∴， ∵ ∴； （2）略 17．全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】 (1)构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在中，已知，可证，小聪同学的作法是作边上的高线．现在请你完成小聪同学的证明过程： 【类比分析】 (2)通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在中，已知，点为边上一点，点为边延长线上一点，连结与边交于点，若点恰为线段中点，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 (3)如图3，在中，，，分别为的角平分线和中线，过点作与线段的延长线交于点，与边的延长线交于点，已知的面积是30，线段的长为8，求的长． 【答案】(1) 证明：过作于， ． ，， ． ． (2) 解：， 理由：如图，过作交于， ，，． ∵点恰为线段中点， ． ． ． ，， ． ． ． (3)2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等角对等边、三角形面积公式、平行线的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证明，即可得证； （2）过作交于，利用中点证，得到，最后通过等线段转化即可得证； （3）参考（2）的方法构造全等，设，则，，由的面积是30，即可求出的值，即为的长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长交于点，过作， 是角平分线， ． ， ． ， ． ，． ， ，． 是中线， ． ． ， ． ． 设，则，， ． ， 整理得：， ． ， ． ． 18．问题：如图①，在直角三角形中，，于点，可知（不需要证明）； (1)探究：如图②，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点．证明：； (2)证明：如图③，点、在的边、上，点、在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：； (3)应用：如图④，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】（1）根据同角的余角相等，得出相等的角，再利用证明三角形全等即可； （2）利用证明三角形全等即可； （3）利用（2）的结论得出全等三角形，然后利用三角形的面积与底边的关系求解． 【详解】（1）证明：∵于点，于点， ∴， ∵， ∴， 又， ∴； （2）证明：∵，且， ∴， ∵，且， ∴， 又∵， ∴； （3）解：同（2）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴与的面积之和为5． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 68 页 第 1 页 共 68 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题14.2（2） 全等三角形的判定（尺规作图和证明问题） （新教材人教版） 知识点一、五种基本作图 2 知识点二、尺规作图的关键 5 知识点三、证明全等的通用解题步骤 5 【题型1 结合尺规作图的全等问题】 6 【题型2 证明一条线段等于两条线段的和或差】 8 【题型3 作一个角等于已知角（尺规作图）】 9 【题型4 过直线外一点作已知直线的平行线】 11 【题型5 尺规作图---作三角形】 14 【题型6 利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形）】 15 【题型7 全等三角形综合问题】 16 【探究式学习】 19 【课后检测】 23 【复盘笔记】 31 知识点一、五种基本作图 定义：最基本、最常用的尺规作图，通常称作基本作图, （一）作一条线段等于已知线段 已知 线段 a 求作 线段0A，使OA等于a 作法 1）任作一条射线OP； 2）以点0为圆心，a的长为半径画弧，交0P于点A，则线段OA 即为所求 依据 圆上的点到圆心的距离等于半径. （二）作一个角等于已知角 已知 ∠AOB 求作 ∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB 作法 1）作射线O'A'； 2）以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A于点C，交OB于点 D； 3）以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交O'A'于点E； 4）以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F； 5）经过点F作射线O'B',ㄥA'0'B'即为所求. 依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线. （三）作已知角的角平分线 已知 ∠AOB 求作 射线OP，使∠AOP=∠BOP 作法 1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M，交0B于点N； 2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； 3）作射线OP，射线OP即为所求. 依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线. （四）过一点作已知直线的垂线 已知 直线AB和AB上的一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 作平角ㄥACB的平分线MF.直线MF就是所求作的垂线. 已知 直线AB和AB外一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 1）任意取一点P，使点P和点M在AB的两旁； 2）以点M为圆心，MP的长为半径作弧，交AB于点C和点D； 3）分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E； 4）作直线EM，直线EM就是所求作的垂线. 依据 1）等腰三角形“三线合一”； 2）两点确定一条直线. （五）作线段的垂直平分线 已知 线段AB 求作 线段AB的垂直平分线 作法 1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N； 2）作直线MN，直线MN就是线段AB的垂直平分线. 依据 1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 2）两点确定一条直线. 知识点二、尺规作图的关键 （一）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； （二）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题； （三）切记作图中一定要保留作图痕迹； （四）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键. 知识点三、证明全等的通用解题步骤 （一）标准答题模板，适配所有考试题型，逻辑严谨不丢分 1.找条件：梳理题干已知的边、角相等关系，标注图形中的公共边、公共角、对顶角（隐含条件）； 2.补条件：若条件不足，通过平行线性质、垂直定义、角平分线、中点、等式性质等推导缺失边角； 3.定定理：根据已知条件，匹配SSS/SAS/ASA/AAS/HL其中一种判定定理； 4.写证明：规范书写格式，先列条件，再证全等，最后用全等性质推导所求结论（边等、角等、平行、垂直等）。 （二）高频隐含条件（解题关键） 1.题干未直接给出，但图形天然存在的等量关系，是大部分题目的解题突破口： 2.公共边：两个三角形共用的边，天然对应相等； 3.公共角：两个三角形共用的角，天然对应相等； 4.对顶角：相交直线形成的对顶角相等； 5.等角/等边推导：同角的余角相等、同角的补角相等、等式加减性质（长边减短边、大角减小角）。 【题型1 结合尺规作图的全等问题】 【例1】在课堂上，李老师发给每人一张印有RtABC（如图）的卡片，要求学生们画一个，使得，小海和小华先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中，错误的是（    ） A．小海作图判定的依据是直角三角形全等的判定定理 B．小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小华作图判定的依据是 D．小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【变式1-1】如图，用尺规作出了，其作图依据是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（   ） A． B． C．若，则 D．点在的平分线上 【变式1-3】如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺和圆规按要求作图．（注意求作的图形用实线） (1)在图1中，画出边上的中线； (2)在图2中，找一个点D，使得与全等（点D不能与点A重合）． 【题型2 证明一条线段等于两条线段的和或差】 【例2】如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 【变式2-1】（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 【变式2-2】如图，在中，，平分交于点D．求证：． 【变式2-3】如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 【题型3 作一个角等于已知角（尺规作图）】 【例3】如图，用直尺和圆规作，使． 【变式3-1】如图，已知线段a，b，，有一个三角形的两条边长分别是a和b，一个内角等于． (1)请你用尺规作一个满足条件的三角形． (2)你是否还能作出既满足条件，又与（1）中所作的三角形不全等的三角形？若能，请你用尺规作出这样的三角形；若不能，请你说明理由． 【变式3-2】如图，在△ABC中，点D在BC延长线上． (1)尺规作图：在BD上方，过点C作射线； (2)请利用上图证明三角形的内角和定理． 【变式3-3】用无刻度直尺和圆规作图．如图，已知，点E在上． (1)在上作一点F，使；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）条件下，判断与是否平行，并说明理由． 【题型4 过直线外一点作已知直线的平行线】 【例4】如图，已知平面上三点．画线段、射线，并用直尺和圆规过点作直线． 【变式4-1】如图，在中，点D是边上的点，请用尺规作图法在边上找一点E，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式4-2】如图，在中，已知点为边上中点，点为边上一点，连接． (1)尺规作图：过点作交延长线于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，请求出的长度． 【变式4-3】学习了平行线后，数学兴趣小组的同学们针对“过直线外一点作已知直线的平行线”的方法开展了交流研讨． 已知：如图1，直线和直线外一点，过点作直线，使直线． (1)如图2所示，小明利用直尺和三角尺画图，小明的作图依据是：______． (2)小丽和小亮发现还可以利用直尺和圆规来解决这个问题： 小丽 小亮 作法：（如图3） ①在直线上取一点，连接并延长（与直线不垂直）； ②在的延长线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点； ③连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点， ④作直线 则直线为所求作的直线． 作法：（如图4） ①在直线上取一点，连接； ②作线段的垂直平分线，分别交直线、线段于点、； ③以点为圆心，长为半径作弧，交直线于另一点； ④作直线 则直线为所求作的直线． 判断小丽和小亮的方法是否正确（     ） A．小丽正确，小亮不正确        B．小丽不正确，小亮正确 C．小丽和小亮都正确                 D．小丽和小亮都不正确 (3)请你用不同于材料中的方法，在图1中过点作出直线的平行线． （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【题型5 尺规作图---作三角形】 【例5】如图，已知与线段a，请用尺规作图法作，使得，，．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式5-1】请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．一块三角形状的玻璃破碎成如图所示的三块，求作，使得和原来的三角形全等． 【变式5-2】已知：如图，，点在边上．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．求作：，使，并满足点在的延长线上，． 【变式5-3】中国农民丰收节，是第一个在国家层面专门为农民设立的节日，节日时间为每年“秋分”．该节日的设立提升了亿万农民的荣誉感、幸福感、获得感．工作人员小张在丰收节展览会上不慎打碎一个如图所示的三角形玻璃展台（）． (1)小张只要从两块碎片中选择第____块（填“①”或“②”）就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台（）的形状和大小完全相同的新展台（），理由是____（填“”或“”或“”或“”）． (2)求作，使得（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【题型6 利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形）】 【例6】如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，点A，点B，点C，点D均在格点上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图所示是一个的正方形，求的度数． 【变式6-3】如图，△ABC的三个顶点均在格点处． (1)过点B画AC的垂线BD； (2)过点A画BC的平行线AE．（请用黑水笔描清楚） 【题型7 全等三角形综合问题】 【例7】如图，已知在四边形中，，，，，点E为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向D运动．要使与全等，点Q的运动速度为（     ） A．或 B．或 C． D． 【变式7-1】如图，，，，垂足分别为E，F，与交于点D，有下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【变式7-2】数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 (1)如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 【变式7-3】已知，． (1)如图1，连接，若，于点，、关于轴对称，是线段上的一点，且，连接，试判断线段与之间的位置和数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，在（1）的条件下，若N是线段上的一个动点，P是延长线上的一点，且，连接交y轴于点Q，过点N作轴于点H，当N点在线段上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 【探究式学习】 1．根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 2．如图，、均为等边三角形，当三点在同一条直线上时，连接交于点，易证：．聪明的小明将绕点旋转的过程中发现了一些不变的结论，让我们一起开启小明的探索之旅！ 【探究一】如图，当三点不在同一条直线上时，小明发现的大小没有发生变化，请你帮他求出的度数； 【探究二】阅读材料：在平时的练习中，我们曾探究得到这样一个正确的结论：两个全等三角形的对应边上的高相等．例如：如图，如果，分别是的边上的高，那么容易证明．小明带着这样的思考又有了新的发现：如图，若连接，则平分，请你帮他说明理由． 【探究三】在探究二的基础上，小明又进一步研究发现，线段之间还存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系； 【探究四】在和中，，，，点在内部，直线与交于点．灵活应用小明的探究结果，请直接写出图中线段之间存在的数量关系． 3．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形中，分别是直线上的点． (1)如图1，若，分别在线段，上，且满足，试探究线段，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为    ___________． (2)如图2，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，之间的数量关系，并请说明理由． (3)如图3，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，试探究与的数量关系，并说明理由． 4．在探究图形变化规律的过程中，结合数学知识之间的内在联系，通过类比、迁移，可以获得宝贵的数学经验．    【探究1】 如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点B，E，F在同一条直线上，则 ； 【探究2】 如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，延长交于点D，则 ． 【探究3】 如图3，和均为等腰三角形，，，连接，，延长交于点D，若，则 （用含m的式子表示）． 【探究4】 如图4，和均为等腰三角形，，，连接，，延长交的延长线于点D，若，则 ． 【课后检测】 1．已知，下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图痕迹，该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 2．如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 3．过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．要求过直线外一点，作直线，使得，嘉嘉和淇淇尺规作图的过程如图所示，下列判断正确的是（　　） A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．两人的都不正确 D．两人的都正确 5．如图是“过直线外一点作的平行线”的尺规作图．根据该作图方法，可以证明，证明过程中判定的依据是（    ） A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等 6．已知：如图，，垂足分别是E，F，，求证：．下列证明思路正确的是（    ） A．连接，直接证明，得 B．过点A作于点M，证明，再证明，得 C．连接，证明，再证明，得 D．过点A作于点M，直接证明，得 7．如图，在中，为边上一点，给出如下关系：①平分；②于点；③为的中点．甲：如果①②同时成立，可证明③成立；乙：如果②③同时成立，可证明①成立；丙：如果①③同时成立，可证明②成立．正确的说法是（    ） A．乙正确，甲、丙错误 B．甲正确，乙、丙错误 C．甲、乙正确，丙错误 D．甲、乙、丙都正确 8．某节数学课中，老师请同学自行证明等腰三角形一条性质：等腰三角形的两底角相等，下面三位同学的证明过程正确的有（    ）个． 小明：如图1，已知AB＝AC，取BC的中点D，连接AD，可证明△ABD≌△ACD，则∠B＝∠C，性质得证． 小花：选取某一等腰三角形，通过折叠的方法，可以将两底角重合，故两底角相等，性质得证． 小帅：如图2，分别过点B，C作AB，AC的垂线，垂足分别为点M，N，因为AB＝AC，而△ABC面积不变，所以CM＝BN，可证明Rt△BNC≌Rt△CMB，则∠ABC＝∠ACB，性质得证． A．0 B．1 C．2 D．3 9．如图，在中，点D为上一点，给出如下关系：①平分；②于D；③D为的中点． 嘉嘉说：若①②同时成立，可证明； 淇淇说：若②③同时成立，也可以证明． 针对两人的说法，下列判断正确的是（    ） A．只有嘉嘉说的对 B．只有淇淇说的对 C．两人的说法都对 D．两人的说法都不对 10．如图，在中，，现要证明“等边对等角”这一结论．以下是小明解答该问题的思路片段： 如图，取的中点，连接， ． 在和中， （）， ．    关于以上证明过程，下列选项错误的是（    ） A．依据@表示SSS B．依据★表示全等三角形的对应角相等 C．图中辅助线也可以是作的平分线，全等的依据是 D．图中辅助线还可以是作于点，全等的依据是 11．如图，已知． （1）若用“”证明，还需添加条件______________． （2）若用“”证明，还需添加条件______________． （3）若用“”证明，还需添加条件______________． 12．如图，在四边形中，连接，平分，添加一个条件后，能证明的是________． 13．问题情境：如图1，在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使DG＝，连接，先证明，再证明，可得出，，之间的数量关系． 实际应用：如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化，四周修有步行小径，且，，在小径，上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，米，米，试在小王同学研究的基础上，求两凉亭之间的距离_______． 14．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为___________厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 15．如图，，，．求证：． 以下是合作小组三名同学关于此题的讨论： 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理证明两个三角形全等，从而得到．” 小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理证明两个三角形全等，从而得到．” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．” (1)看了他们的讨论，请你选择一位同学的方法写出证明过程． (2)相信你一定也有了自己的主意，请用不同于三位同学的方法来证明． 16．已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段 的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①，当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明________；即可得出线段 之间的数量关系是________． (2)如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． 17．全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】 (1)构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在中，已知，可证，小聪同学的作法是作边上的高线．现在请你完成小聪同学的证明过程： 【类比分析】 (2)通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在中，已知，点为边上一点，点为边延长线上一点，连结与边交于点，若点恰为线段中点，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 (3)如图3，在中，，，分别为的角平分线和中线，过点作与线段的延长线交于点，与边的延长线交于点，已知的面积是30，线段的长为8，求的长． 18．问题：如图①，在直角三角形中，，于点，可知（不需要证明）； (1)探究：如图②，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点．证明：； (2)证明：如图③，点、在的边、上，点、在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：； (3)应用：如图④，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 68 页 第 1 页 共 68 页 学科网（北京）股份有限公司 $