专题 15.4 等腰三角形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦初中数学等腰三角形核心知识点，系统梳理概念、性质（等边对等角、三线合一）、判定（等角对等边）及尺规作图，构建“概念理解-性质应用-判定推理-实践操作”的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料亮点在于分层题型设计，夯实基础题型（如方程思想求角度）与综合提升题型（边角分类讨论）结合，融入逻辑推理与数学运算素养。同步检测覆盖多样题型，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化几何直观与规范表达能力。

专题 15.4 等腰三角形（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识目标与重难点 1 【知识目标】 1 【重难点】 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】等腰三角形相关概念 2 【知识点二】等腰三角形的性质 2 【知识点三】等腰三角形的判定 2 【知识点四】尺规作图（作等腰三角形） 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】利用等边对等角求角度（方程思想） 3 【题型 2】三线合一基础证明应用 4 四.题型精析（综合提升） 5 【题型 3】等角对等边证明等腰三角形 5 【题型 4】等腰三角形角度分类讨论（高频考点） 6 【题型 5】等腰三角形边长分类讨论 7 五.同步检测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 9 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 12 一.知识目标与重难点 【知识目标】 1. 知识目标：了解等腰三角形的有关概念；掌握等腰三角形“等边对等角”、“三线合一”两大核心性质；掌握“等角对等边”判定定理；熟练掌握已知底边和底边上的高，尺规作等腰三角形的方法。 2. 能力目标：能利用等腰三角形性质完成角度、线段的计算；能运用判定定理证明三角形为等腰三角形；结合三角形内角和、平行线、全等三角形完成几何证明；熟练运用方程思想、分类讨论思想解决等腰三角形典型题型。 3. 素养目标：依托轴对称图形知识理解等腰三角形，培养几何直观、逻辑推理和数学运算核心素养，养成规范书写几何证明步骤的良好习惯。 【重难点】 1. 重点：等腰三角形的性质；等腰三角形的判定定理。 2. 难点：“三线合一”性质的灵活综合运用；性质与判定定理的区分使用；等腰三角形边角问题的分类讨论。 二.知识梳理与解读 【知识点一】等腰三角形相关概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 在等腰三角形中，相等的两条边称为腰，另一条边称为底边；两腰的夹角为顶角，腰与底边的夹角为底角。 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为：底边上的高（顶角平分线、底边上的中线）所在的直线。 【知识点二】等腰三角形的性质 性质1：等边对等角 文字语言：等腰三角形的两个底角相等。 几何语言：在三角形ABC中，AB=AC，则∠B=∠C。 性质2：三线合一（核心考点） 文字语言：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 几何语言（三种通用形式） ① 在三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，则AD⊥BC，BD=CD； ② 在三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，则AD⊥BC，AD平分∠BAC； ③ 在三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，则BD=CD，AD平分∠BAC。 【知识点三】等腰三角形的判定 判定定理：等角对等边 文字语言：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 几何语言：在三角形ABC中，∠B=∠C，则AB=AC。 定义法判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 【知识点四】尺规作图（作等腰三角形） 已知：线段a（底边）、线段h（底边上的高），求作：等腰三角形ABC。 作图步骤： ① 作水平线段AB=a； ② 作线段AB的垂直平分线MN，交AB于点D； ③ 在垂直平分线MN上，截取DC=h； ④ 依次连接AC、BC，所得三角形ABC即为所求等腰三角形。 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】利用等边对等角求角度（方程思想） 【例题1】（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，于点D，E为上一点，且，连接．若，求的度数． 【变式1】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，直线，点A在直线m上，点B、C在直线n上，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，交于点，则的度数为_____°． 【变式3】（25-26八年级上·广西柳州·期末）如图，在中，，，，试求的度数． 技巧总结：多层等腰三角形角度计算，优先设最小角为未知数，利用等边对等角、外角性质、内角和定理列方程求解。 【题型 2】三线合一基础证明应用 【例题2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，平分交于点E，于点D．求证：平分． 【变式1】（2026·云南普洱·二模）如图，等腰三角形中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，D是的中点，E在边上，，若F在边上，满足，则四边形的面积是_______． 【变式3】（25-26八年级上·江苏·阶段检测）如图，在中，，平分，是的垂直平分线，交于点，连接．求证：． 结论：等腰三角形底边中线，兼具高、顶角平分线的双重性质。 四.题型精析（综合提升） 【题型 3】等角对等边证明等腰三角形 【例题3】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点M，点E在线段上，连接，，且． （1）求的度数； （2）求证：是等腰三角形． 【变式1】（25-26八年级下·陕西宝鸡·阶段检测）如图，在中，，和的平分线分别交于点F，G，若，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）把一张长方形纸片如图折叠，则的形状是_________． 【变式3】（25-26八年级下·江西新余·阶段检测）如图，在中，平分内角，平分外角． （1）若，求证：为等腰三角形． （2）若，求的度数． 【题型 4】等腰三角形角度分类讨论（高频考点） 【例题4】（24-25八年级上·全国·期末）结合等腰三角形相关知识，解决以下问题： （1）已知等腰三角形的一个角是，则另外两角为 （2）已知等腰三角形的一个角是，则另外两角为 （3）中，当 时，是等腰三角形． 【变式1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数为（     ） A． B．或 C． D．或 【变式2】（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）如果一个等腰三角形中，有两条边的长度分别是，那么这个三角形的周长是___；如果一个等腰三角形中，有一个角是，那么这个三角形的顶角是_____°． 【变式3】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，平分，交于点，连接．若是以为腰的等腰三角形，求的度数． 【题型 5】等腰三角形边长分类讨论 【例题5】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，B、C两点分别在x轴、直线上运动．若以为直角边的为等腰直角三角形，求点C的坐标． 【变式1】（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的腰长是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）已知等腰三角形周长为25． （1）若一边长为9，则另两边长分别为 ． （2）若一边长为1，则另两边长分别为 ． 【变式3】（24-25八年级上·全国·期末）如图，的图象与x轴、y轴交于点A、B，以线段为边在第一象限内作等边三角形． （1）求的面积； （2）在x轴上，是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 技巧总结：边长类分类讨论，必须验证三角形三边关系，舍去无法构成三角形的情况。 【题型 6】等腰三角形性质与判定综合 【例题6】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，点D、C在上，连接、，，，过点F作于E． （1）求证：是等腰三角形； （2）求证：． 【变式1】（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为（） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）如下图，有一个长方形纸片，厘米，厘米，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点，的面积是（ ）平方厘米． 【变式3】（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，． （1）尺规作图：过点A作射线平分交于点D，保留作图痕迹． （2）过点D作交于点E，求证：． （3）在（2）的条件下求证：． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）已知一个等腰三角形的顶角为，则它的底角的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰中，，于点，，则点到所在直线的距离是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江西新余·阶段检测）在中，，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，是一块三角形木板的残余部分，量得，，，则这块三角形木板另外一边的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．无法确定 5．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 6．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，点是边上一点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，中，已知，，，分别平分，，，，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 8．（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，垂足为，且，若，则的长为（     ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 9．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在锐角中，平分，，若、分别是、上的动点，当最小时，的度数为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·山东泰安·期末）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，其中一组同学的作法如图所示，以为圆心，以任意长为半径画弧，交，于点，点是上任一点，以为圆心，以同样长为半径画弧交于点，以为圆心，以长为半径画弧交前弧于点，作射线，然后以为圆心，以长为半径画弧交于点，连接，即为的角平分线．根据作图过程，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·河南周口·模拟预测）等腰中，顶角，则一个底角______ 度． 12．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，，是边的中点，若，则的度数为________． 13．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，若，，平分，则图中共有______个等腰三角形． 14．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，交于点，则的长是______． 15．（25-26八年级上·广西柳州·阶段检测）若实数，满足等式，且，恰好是等腰三角形的两条边长，则的周长是________． 16．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，分别作两个内角的角平分线，过点作直线，分别交、于点、．若，，则的周长为___________． 17．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均为格点，连接，，，，则________． 18．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在中，，为边上的高，平分，点F在上，连接并延长交于点G，若，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填序号） （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图，从A处观测C处的仰角，现以点D为圆心，长为半径画弧，交于点B． （1）求的度数．（2）从C处观测A，B两处的视角是多少度？ 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，根据已知条件，填写由此得出的结论和理由． （1）∵中，， ∴________（________）． （2）∵中，，， ∴垂直平分________（________）． （3）∵中，，， ∴________（________） （4）∵中，，， ∴________（________）． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·全国·期中）已知∶如图． （1）求证：平分． （2）三角形是什么三角形？ 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·全国·期末）在中，，平分，平分． （1）你能得到什么结论呢？ （2）过点A作于D，你能得到什么结论？ 23．（本小题满分10分）（2026·河北唐山·二模）如图，在中，，点D是边上一点，连接，先以点A为圆心，长为半径画弧，再以点D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E，连接、，交于点F，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期末）（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，BC、DE分别是底边．求证：； （2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接． 请直接写出线段、、之间的数量关系______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 15.4 等腰三角形（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识目标与重难点 1 【知识目标】 1 【重难点】 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】等腰三角形相关概念 2 【知识点二】等腰三角形的性质 2 【知识点三】等腰三角形的判定 2 【知识点四】尺规作图（作等腰三角形） 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】利用等边对等角求角度（方程思想） 3 【题型 2】三线合一基础证明应用 5 四.题型精析（综合提升） 8 【题型 3】等角对等边证明等腰三角形 8 【题型 4】等腰三角形角度分类讨论（高频考点） 11 【题型 5】等腰三角形边长分类讨论 14 五.同步检测 17 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 21 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 27 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 33 一.知识目标与重难点 【知识目标】 1. 知识目标：了解等腰三角形的有关概念；掌握等腰三角形“等边对等角”、“三线合一”两大核心性质；掌握“等角对等边”判定定理；熟练掌握已知底边和底边上的高，尺规作等腰三角形的方法。 2. 能力目标：能利用等腰三角形性质完成角度、线段的计算；能运用判定定理证明三角形为等腰三角形；结合三角形内角和、平行线、全等三角形完成几何证明；熟练运用方程思想、分类讨论思想解决等腰三角形典型题型。 3. 素养目标：依托轴对称图形知识理解等腰三角形，培养几何直观、逻辑推理和数学运算核心素养，养成规范书写几何证明步骤的良好习惯。 【重难点】 1. 重点：等腰三角形的性质；等腰三角形的判定定理。 2. 难点：“三线合一”性质的灵活综合运用；性质与判定定理的区分使用；等腰三角形边角问题的分类讨论。 二.知识梳理与解读 【知识点一】等腰三角形相关概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 在等腰三角形中，相等的两条边称为腰，另一条边称为底边；两腰的夹角为顶角，腰与底边的夹角为底角。 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为：底边上的高（顶角平分线、底边上的中线）所在的直线。 【知识点二】等腰三角形的性质 性质1：等边对等角 文字语言：等腰三角形的两个底角相等。 几何语言：在三角形ABC中，AB=AC，则∠B=∠C。 性质2：三线合一（核心考点） 文字语言：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 几何语言（三种通用形式） ① 在三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，则AD⊥BC，BD=CD； ② 在三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，则AD⊥BC，AD平分∠BAC； ③ 在三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，则BD=CD，AD平分∠BAC。 【知识点三】等腰三角形的判定 判定定理：等角对等边 文字语言：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 几何语言：在三角形ABC中，∠B=∠C，则AB=AC。 定义法判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 【知识点四】尺规作图（作等腰三角形） 已知：线段a（底边）、线段h（底边上的高），求作：等腰三角形ABC。 作图步骤： ① 作水平线段AB=a； ② 作线段AB的垂直平分线MN，交AB于点D； ③ 在垂直平分线MN上，截取DC=h； ④ 依次连接AC、BC，所得三角形ABC即为所求等腰三角形。 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】利用等边对等角求角度（方程思想） 【例题1】（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，于点D，E为上一点，且，连接．若，求的度数． 【答案】 【分析】先根据垂直定义可得：，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得：，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 解：，， ， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，直线，点A在直线m上，点B、C在直线n上，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的定义得到，再利用平角的定义即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∵， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，交于点，则的度数为_____°． 【答案】65 【分析】由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再由，根据直角三角形两锐角互余即可求解． 解：∵，， ∴， ∵，即， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·广西柳州·期末）如图，在中，，，，试求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理，关键是通过设未知数，利用等腰三角形的性质和外角性质将各角用同一个未知数表示，再根据内角和定理列方程求解． 解：设， ∵，，， ∴，，． ∴， ∴． ∴， ∴． ∵在中，， ∴，解得， ∴． 技巧总结：多层等腰三角形角度计算，优先设最小角为未知数，利用等边对等角、外角性质、内角和定理列方程求解。 【题型 2】三线合一基础证明应用 【例题2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，平分交于点E，于点D．求证：平分． 【答案】证明：∵平分 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三线合一，等角对等边，解题的关键是掌握以上性质． 根据角平分线得出角的度数，根据等角对等边得出，然后根据三线合一即可得出结论． 解：略 【变式1】（2026·云南普洱·二模）如图，等腰三角形中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：∵等腰三角形中，，， ∴平分 ∴． 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，D是的中点，E在边上，，若F在边上，满足，则四边形的面积是_______． 【答案】15 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形中线的性质．连接，由，，求得，因为D为边的中点，所以，求得，点F与点重合，再根据，求得，根据，计算即可得到问题的答案． 解：连接，如图所示： ∵，， ∴，， ∵D为边的中点， ∴，， ∵F在边上，满足， ∴点F与点重合或点F与点重合， ∵四边形， ∴只有点F与点重合一种情况， ∵， ∴， ∴， 故答案为：15． 【变式3】（25-26八年级上·江苏·阶段检测）如图，在中，，平分，是的垂直平分线，交于点，连接．求证：． 【答案】证明：连接， ∵在中，，平分， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质． 连接，由等腰三角形的性质，可得，，可得，由线段垂直平分线的性质，可得，等量代换，即可证得结论． 解： 略 结论：等腰三角形底边中线，兼具高、顶角平分线的双重性质。 四.题型精析（综合提升） 【题型 3】等角对等边证明等腰三角形 【例题3】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点M，点E在线段上，连接，，且． （1）求的度数； （2）求证：是等腰三角形． 【答案】（1）；（2）证明：，， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【分析】（1）根据直角三角形的性质，可求，再根据垂直平分线的性质，可得，从而，，最后计算即可求解； （2）根据三角形外角的性质，先求，，再证即可． （1）解：在中，，， ， 点M在边的垂直平分线上， ， ， ， ， 则的度数为． （2）略 【变式1】（25-26八年级下·陕西宝鸡·阶段检测）如图，在中，，和的平分线分别交于点F，G，若，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】由和角平分线的性质可得，根据等角对等边得出，再由线段的和差关系可得的值． 解：∵， ∴， ∵和的平分线分别交于点F，G， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴. 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）把一张长方形纸片如图折叠，则的形状是_________． 【答案】等腰三角形 【分析】该题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握折叠前后角度不变是解题的关键．根据折叠的性质得到，而，即可得，证得，从而得到的形状． 解：在长方形纸片中， ∴， 根据折叠可得， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 【变式3】（25-26八年级下·江西新余·阶段检测）如图，在中，平分内角，平分外角． （1）若，求证：为等腰三角形． （2）若，求的度数． 【答案】（1）∵平分外角． ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2） 【分析】（1）根据平行线得到，，结合角平分线得到，最后根据等角对等边得到等腰三角形； （2）根据三角形的外角和角平分线得到，据此求解即可． 解：（1）略 （2）解：∵平分内角，平分外角． ∴，， 由三角形的外角可得，， ∴， ∵， ∴． 【题型 4】等腰三角形角度分类讨论（高频考点） 【例题4】（24-25八年级上·全国·期末）结合等腰三角形相关知识，解决以下问题： （1）已知等腰三角形的一个角是，则另外两角为 （2）已知等腰三角形的一个角是，则另外两角为 （3）中，当 时，是等腰三角形． 【答案】（1），或，；（2），；（3）或或 【分析】（1）分两种情况，根据等腰三角形的性质并结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （2）分两种情况，根据等腰三角形的性质并结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （3）分三种情况，根据等腰三角形的性质并结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （1）解：∵等腰三角形的一个角是， ∴当的角是顶角时，则底角为，此时另外两角为，； 当的角是底角时，则顶角为，此时另外两角为，； 综上所述，等腰三角形的一个角是，则另外两角为，或，； （2）解：∵等腰三角形的一个角是， ∴当的角是顶角时，则底角为，此时另外两角为，； 当的角是底角时，此时，故不符合题意； 综上所述，等腰三角形的一个角是，则另外两角为，； （3）解：当时，此时是等腰三角形； 当，此时是等腰三角形，则； 当时，此时是等腰三角形，则； 综上所述，中，当或或时，是等腰三角形． 【变式1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】分外角为顶角的外角、底角的外角两种情况讨论，结合三角形内角和舍去不成立的情况，求解顶角度数． 解：若是等腰三角形顶角的外角，则顶角的度数为． 若是等腰三角形底角的外角，则底角的度数为，两底角和为，不符合三角形内角和，舍去． 综上，顶角的度数为． 【变式2】（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）如果一个等腰三角形中，有两条边的长度分别是，那么这个三角形的周长是___；如果一个等腰三角形中，有一个角是，那么这个三角形的顶角是_____°． 【答案】 19 20或80 【分析】先根据等腰三角形的定义以及三角形三边关系求出三边长，即可求解周长；然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解顶角即可． 解：∵等腰三角形中，有两条边的长度分别是， ∴这个等腰三角形的三边分别为：或， ∵ ∴这个等腰三角形的三边长只能为， ∴这个等腰三角形的周长为； ∵如果一个等腰三角形中，有一个角是， 当角为底角时，则顶角为； 当角为顶角时，则底角为 ∴这个三角形的顶角度数为或． 【变式3】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，平分，交于点，连接．若是以为腰的等腰三角形，求的度数． 【答案】或 【分析】先根据等腰的边长和角度条件，计算出底角和的度数，设的度数为，利用折叠的性质得到对应边、对应角相等的关系，用表示出、，进而表示出的度数，根据角平分线的性质，得到和的度数表达式，结合角度和差关系推导和的全等条件，得到的度数，用表示出三个内角的度数，再分两种情况讨论等腰的腰的对应关系，分别列方程求解． 解：设， ∵，， ∴， ∵折叠， ∴，，， 又∵， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 当时， ∴，即， 解得， 当时， ∴，， 即， 解得， ∴的度数为或． 【题型 5】等腰三角形边长分类讨论 【例题5】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，B、C两点分别在x轴、直线上运动．若以为直角边的为等腰直角三角形，求点C的坐标． 【答案】或或． 【分析】分两种情况讨论：和，根据坐标两点的距离以及等腰直角三角形的定义分别求解即可． 解：当时，， 点A的坐标为， 点的横坐标为， 将代入，得， ； 当时，， 设，则， ，， ， 解得：或， 或， 综上可知，点C的坐标为或或． 【变式1】（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的腰长是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】B 【分析】未明确的边是腰还是底，需分类讨论并验证三角形三边关系. 解：当为腰长时，底边长为， ∵，不能构成三角形， ∴此情况不成立； 当为底边长时，腰长为， ∵，能构成三角形， ∴腰长为. 【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）已知等腰三角形周长为25． （1）若一边长为9，则另两边长分别为 ． （2）若一边长为1，则另两边长分别为 ． 【答案】（1），或，；（2）， 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形三边关系计算即可得出结果； （2）根据等腰三角形的性质和三角形三边关系计算即可得出结果． （1）解：当腰长为时，底边长为，此时三边分别为，，，符合三角形三边关系； 当底边长为时，腰长为，此时三边长为，，，符合三角形三边关系； 综上所述，若一边长为9，则另两边长分别为，或，； （2）解：当腰长为1时，底边长为，此时三边分别为，，，不符合三角形三边关系； 当底边长为时，腰长为，此时三边长为，，，符合三角形三边关系； 综上所述，若一边长为1，则另两边长分别为，． 【变式3】（24-25八年级上·全国·期末）如图，的图象与x轴、y轴交于点A、B，以线段为边在第一象限内作等边三角形． （1）求的面积； （2）在x轴上，是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，、、或 【分析】（1）先求出、，根据勾股定理得到，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理得到，即可求出的面积； （2）设，根据等腰三角形的定义分三种情况结合勾股定理计算即可． （1）解：令，得，即； 令，得，即． 在中，由勾股定理得：． 如图，作交于点D， ∵等边三角形， ∴， ∴， ； （2）解：设， 当时：， 解得或， 即或； 当时：， 解得（舍去）或， 即； 当时：， 解得， 即； 综上，点的坐标为：、、或． 技巧总结：边长类分类讨论，必须验证三角形三边关系，舍去无法构成三角形的情况。 【题型 6】等腰三角形性质与判定综合 【例题6】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，点D、C在上，连接、，，，过点F作于E． （1）求证：是等腰三角形； （2）求证：． 【答案】（1）证明：是的外角， ， ，，， ， ， 是等腰三角形． （2）证明：由（1）得， ， ． 【分析】（1）根据三角形外角的性质可得，再由，可证明，得到，则是等腰三角形 （2）由三线合一定理即可证明． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一性质及线段垂直平分线性质得出及的度数，进而求解. 解：连接， ，， ，， 平分， ， 垂直平分， ， ， ，平分， 垂直平分， ， ， 【变式2】（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）如下图，有一个长方形纸片，厘米，厘米，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点，的面积是（ ）平方厘米． 【答案】32 【分析】根据折叠易得，长，利用等腰直角三角形的性质求得的长度，的面积． 解：由折叠的性质知，第二个图中，， ∴， 第三个图中， ∴，则， ∴， ∴的面积（平方厘米）． 【变式3】（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，． （1）尺规作图：过点A作射线平分交于点D，保留作图痕迹． （2）过点D作交于点E，求证：． （3）在（2）的条件下求证：． 【答案】（1）如图，射线即为所求； （2）证明：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴； （3）证明：在和中， ， ∴， ∴， 由（2）得， ∴． 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）由已知求出，则，再根据角平分线的性质得，即可证明； （3）证明得到，再结合（2）的结论即可证明． 解：（1）略 （2）略 （3）略 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）已知一个等腰三角形的顶角为，则它的底角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理进行计算即可． 解：∵等腰三角形顶角为， ∴底角度数为． 2．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰中，，于点，，则点到所在直线的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：，， ，即点到所在直线的距离是． 3．（25-26八年级下·江西新余·阶段检测）在中，，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用“等角对等边”即可直接求出的长． 解：∵在中，， ∴由等角对等边可得， 又∵， ∴． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，是一块三角形木板的残余部分，量得，，，则这块三角形木板另外一边的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和为，可得，则是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质，即可求解． 解：，， ， ，即是等腰三角形， ， ． 5．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，进行判断即可． 解：∵， ∴是等腰三角形； ， ∴是等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形有：， 故选：A． 6．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，点是边上一点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 解：，， ， ， 又， ， ， 点是边上一点， ，选项符合题意． 7．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，中，已知，，，分别平分，，，，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，等角对等边，角平分线的定义，先根据，，以及，分别平分，，得出，则，，则的周长，即可作答． 解：∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴，， ∴的周长， 故选：A 8．（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，垂足为，且，若，则的长为（     ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【答案】C 【分析】在上取一点使得，可证，则，则题目可解． 解：在上取一点使得， ， ， ，     ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 9．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在锐角中，平分，，若、分别是、上的动点，当最小时，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称性得到和，再利用两点之间线段最短和垂线段最短得到时最小，根据同角的余角相等得到，最后利用外角性质得到的度数． 解：作点C关于直线的对称点，过点作于点，交于点，延长交于点H， ∵点C和点关于直线对称， ∴，， ∴， 当、、三点共线且时，最小，最小值为线段的长， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（25-26七年级下·山东泰安·期末）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，其中一组同学的作法如图所示，以为圆心，以任意长为半径画弧，交，于点，点是上任一点，以为圆心，以同样长为半径画弧交于点，以为圆心，以长为半径画弧交前弧于点，作射线，然后以为圆心，以长为半径画弧交于点，连接，即为的角平分线．根据作图过程，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图步骤得到，，结合平行线判定及等腰三角形性质逐项判断即可 解：由作图过程可知，是作出的等于的角， ，故A选项结论正确； ， （同位角相等，两直线平行），故B选项结论正确； 由作图过程可知，， （等边对等角），故C选项结论正确； ， （两直线平行，内错角相等）， ， 即平分， ， 又， ，故D选项结论错误． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·河南周口·模拟预测）等腰中，顶角，则一个底角______ 度． 【答案】70 【分析】已知等腰的顶角度数，利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理即可计算底角的度数． 解：∵是等腰三角形，是顶角， ∴， ∵三角形内角和为，， ∴． 12．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，，是边的中点，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】由等腰三角形的性质可得，，再由三角形内角和定理计算即可得出结果． 解：∵屋顶钢架外框是等腰三角形，，是边的中点， ∴，， ∴． 13．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，若，，平分，则图中共有______个等腰三角形． 【答案】/三 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理的应用，根据题意分别求得，进而根据等角对等边判断等腰三角形，即可求解． 解：∵，， ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴，即是等腰三角形， ∴， ∴，即是等腰三角形， 又∵ ∴，即是等腰三角形． 综上所述，共有个等腰三角形， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，交于点，则的长是______． 【答案】3 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 根据得到，然后根据含30度角的直角三角形的性质可得，再由等腰三角形的判定可得，即可求解． 解：∵， ∴， ∵，即， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：3 15．（25-26八年级上·广西柳州·阶段检测）若实数，满足等式，且，恰好是等腰三角形的两条边长，则的周长是________． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形三边关系，解决本题的关键是要能根据非负数的性质求出的值，再根据或作为腰进行分类讨论．根据绝对值和算术平方根的非负性，由等式求出和的值，再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系讨论可能的边长组合，并计算周长． 解：∵，，且， ∴，， 解得：，． ∵是等腰三角形，且，是两条边的边长， ∴分两种情况讨论： ①当腰长为时，三角形三边为，，， 满足三角形三边关系（，，），周长为． ②当腰长为时，三角形三边为，，， 满足三角形三边关系（，，），周长为． 故答案为：或． 16．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，分别作两个内角的角平分线，过点作直线，分别交、于点、．若，，则的周长为___________． 【答案】21 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明，，再根据的周长，从而得出答案． 解：平分， ， ， ， ， ， 同理， 的周长， 故答案为：． 17．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均为格点，连接，，，，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．根据平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，然后求出结果即可． 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 18．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在中，，为边上的高，平分，点F在上，连接并延长交于点G，若，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】过点作于点，证明，得出，说明，判断③正确；根据，得出，证明，判断①正确；证明，得出，判断④正确；证明，根据，得出，判断②正确． 解：过点作于点，如图所示： ，， ，，， ， ， ， ， ， ，故③正确； 为边上的高， ， ， ， ， ， ，故①正确； 在和中， ， ， ，故④正确； ，， ， 平分， ， ，故②正确； 综上分析可知，①②③④正确． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图，从A处观测C处的仰角，现以点D为圆心，长为半径画弧，交于点B． （1）求的度数． （2）从C处观测A，B两处的视角是多少度？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）由题意得，，再根据等边对等角和三角形内角和定理可得答案； （2）根据三角形外角的性质求解即可． （1）解：由题意得，， 又∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，根据已知条件，填写由此得出的结论和理由． （1）∵中，， ∴________（________）． （2）∵中，，， ∴垂直平分________（________）． （3）∵中，，， ∴________（________） （4）∵中，，， ∴________（________）． 【答案】（1）；等边对等角；（2）；三线合一 ；（3）；三线合一；（4）；三线合一 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，利用三线合一和等边对等角逐题完善几何语言，熟知相关性质是解题的关键． 解：（1）∵中，， ∴（等边对等角）； （2）∵中，，， ∴垂直平分（三线合一）； （3）∵中，，， ∴（三线合一）； （4）∵中，，， ∴（三线合一）； 故答案为： ；等边对等角；；三线合一 ；；三线合一；；三线合一． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·全国·期中）已知∶如图． （1）求证：平分． （2）三角形是什么三角形？ 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （2）等腰三角形 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质，等角对等边是解题的关键： （1）平行线的性质，得到，等量代换，得到，即可得到平分； （2）等角对等边，得到，即可得出结论． 解：（1）略 （2）∵， ∴， ∴三角形是等腰三角形． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·全国·期末）在中，，平分，平分． （1）你能得到什么结论呢？ （2）过点A作于D，你能得到什么结论？ 【答案】（1）是等腰三角形；是等腰三角形；（2），，，． 【分析】（1）由等角对等边得到，则是等腰三角形；由角平分线的定义推出，则可证明，得到是等腰三角形； （2）由三线合一定理可得，，则可推出，． （1）解：∵， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：如图所示， ∵， ∴，， 又∵， ∴，． 23．（本小题满分10分）（2026·河北唐山·二模）如图，在中，，点D是边上一点，连接，先以点A为圆心，长为半径画弧，再以点D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E，连接、，交于点F，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：由题意得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴； （2）． 【分析】（1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，然后利用定理即可得证； （2）先根据等腰三角形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质求解即可得． 解：（1）证明：略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）已证：，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期末）（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，BC、DE分别是底边．求证：； （2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接． 请直接写出线段、、之间的数量关系______． 【答案】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． （2） 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出． （2）首先根据和均为等腰直角三角形，可得，，，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出， 根据，，，可得，所以，据此判断出即可． 解：（1）略 （2）和均为等腰直角三角形， ，，，， ， 即，， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $