13.2.1 三角形的边 导学案2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦“三角形的边”，核心知识点包括三角形三边关系、线段组成三角形的判断、等腰三角形边长分类讨论与检验及三角形稳定性。通过前置补偿复习三角形定义、线段基本事实等旧知，以“两点之间线段最短”为支架推导三边关系，衔接课本探究与例题，构建新旧知识脉络。 导学案以自主探究为主线，通过动手实验感知稳定性，分类讨论等腰三角形边长培养推理意识，强调解的检验渗透严谨思维。分层作业满足不同需求，合作研讨促进深度学习，助力学生用数学思维分析问题，提升应用意识与创新意识。

13.2.1 三角形的边 导学案【解析版】 【学习目标】 1. 通过课本探究，借助 “两点之间，线段最短”，理解三角形三边之间的数量关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，发展推理意识。 2. 会利用三边关系判断三条线段能否组成三角形；已知三角形两边，会求第三边的取值范围。 3. 会处理等腰三角形边长相关习题，做题后利用三边关系检验解的合理性，体会分类讨论思想。 4. 通过动手实验探究三角形的稳定性，知道三角形具有稳定性、四边形不具有稳定性，能解释生活当中相关实例。 学习重点：三角形三边关系；三角形的稳定性；利用三边关系解决简单问题。 学习难点：等腰三角形边长分类讨论后检验；利用稳定性解释实际现象。 【前置补偿】 1. 三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段，首尾顺次相接组成的图形。 2. 线段的基本事实：两点之间，线段最短。 3. 等腰三角形：有两条边相等的三角形；等边三角形是特殊的等腰三角形。 【学生自学】 阅读课本，了解课本整体编排顺序与探究思路： ①课本探究：利用两点之间线段最短，推导三角形三边大小关系； ②课本例题：判断给定长度的三条线段能否组成三角形； ③课本思考：已知等腰三角形两边长，求周长； ④课本探究实验：动手操作探究三角形的稳定性，对比四边形； ⑤课本练习：巩固三边关系判断、稳定性实例辨析。 探究一 ：三角形三边关系 如图△ABC，从点 B 到点 C 有两条路径： 路径 1：直接走线段 BC； 路径 2：B→A→C，走线段 BA+AC。 依据 “两点之间，线段最短”，可得：BA+AC > BC。 同理可得： AB+BC > AC； AC+BC > AB。 归纳定理：三角形任意两边之和大于第三边。 推论：三角形任意两边之差小于第三边。 简化判断技巧：判断三条线段能否构成三角形，只需比较：较短两条线段之和＞最长线段。 思考：已知三角形两边为 6 和 9，则第三边长 x 的取值范围：3＜x＜15。 探究二 例题自学 例 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1) 3，4，8； (2) 5，6，10； (3) 5，6，11。 解： (1) 不能，因为 3+4＜8，不满足两边之和大于第三边； (2) 能，5+6＞10，满足三角形三边关系； (3) 不能，5+6=11，不满足两边之和大于第三边。 小组思考：为什么只需要看较短两条线段的和大于最长线段，就可以判断？ 答：最长线段已经大于另外两条线段，剩下两组不等式会自动成立。 探究三 ：等腰三角形边长问题 已知一个等腰三角形的两边长分别为 5 和 6，求这个三角形的周长。 解： ①当腰长为 5，底边长为 6：三边 5，5，6。5+5＞6，可以构成三角形，周长 = 5+5+6=16； ②当腰长为 6，底边长为 5：三边 6，6，5。6+5＞6，可以构成三角形，周长 = 6+6+5=17。 综上，三角形周长为 16 或者 17。 探究四 ：三角形的稳定性（课本动手实验） 动手做一做： 1. 把三根木条钉成三角形木架，扭动木架，它的形状不会（填 “会” 或 “不会”）改变； 2. 把四根木条钉成四边形木架，扭动木架，它的形状会（填 “会” 或 “不会”）改变； 3. 在四边形木架斜钉一根木条，把四边形分成两个三角形，再扭动木架，形状不会改变。 归纳：三角形具有稳定性；四边形不具有稳定性。 思考 1：木工师傅在窗框未安装好之前，斜钉一根木条，这是利用什么原理？ 答：利用三角形的稳定性，防止窗框变形。 思考 2：请你写出两个生活中利用三角形稳定性的实例： 答：自行车车架、屋顶三角钢架。 【自学小测】 1. 判断下列各组线段能否组成三角形，能打√，不能打 × (1) 15，10，7（√） (2) 4，5，10（×） (3) 3，8，5（×） 2. 已知等腰三角形两边长 4 和 9，则周长为22。 解析：4、4、9 不能构成三角形；只能取 4，9，9，周长 = 4+9+9=22。 3. 判断正误：自行车三角车架利用了四边形的不稳定性。（×） 【合作学习，课堂研讨】 1. “三角形任意两边之和大于第三边” 中 “任意” 二字能不能去掉，举例说明。 答：不能；例如 3，4，8，4+8>3，3+8>4，但是 3+4<8，不能组成三角形，必须全部满足。 2. 等腰三角形边长问题分类讨论之后，为什么一定要检验三边关系？ 答：分类得到的边长组合，有可能不满足三边关系，必须舍去无效解。 3. 四边形不具有稳定性，如果要让四边形不变形，可以怎么做？ 答：添加木条，把四边形分割成三角形，利用三角形稳定性。 小组疑问记录：________________________________________________ 【精讲点拨】 🔔课本重点易错警示 1. 三边关系：三角形任意两边之和大于第三边；做题可简化：较短两边之和＞最长边。 2. 已知等腰三角形两边求周长：①分情况讨论；②代入三边关系检验；③舍去不能构成三角形的解。 3. 第三边取值范围：两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和。 4. 三角形具有稳定性；四边形没有稳定性；要使多边形稳定，把多边形分割成三角形。 课堂笔记： 【总结提升】（课本知识体系梳理） 1. 课本探究路径：两点之间线段最短→推导三角形三边关系→课本例题判断线段能否组成三角形→等腰三角形分类计算→动手实验探究三角形稳定性→练习巩固。 2. 核心知识点：三角形任意两边之和大于第三边；已知两边求第三边范围；等腰三角形边长分类 + 检验；三角形的稳定性。 3. 数学思想：推理、分类讨论、模型思想。 【课内自测】 1. 已知三角形两边长 3 和 8，第三边 x 取值范围：5＜x＜11。 2. 下列各组线段，可以组成三角形的是（B） A.2，3，5 B.4，4，7 C.3，6，10 D.5，3，1 3. 等腰三角形一边长 7，一边长 3，求三角形周长。 解： ①腰为 3，底边 7：3+3＜7，不能构成三角形，舍去； ②腰为 7，底边 3：三边 7，7，3，周长 = 17。 答：周长为 17。 4. 下列实例中，利用三角形稳定性的是（C） A. 伸缩晾衣架 B. 活动铁门 C. 起重机三角支架 D. 折叠推拉门 【分层作业】（取材课本习题，A 基础必做；B 选做综合；C 拓广探索培优） A 组【基础过关】 1. 判断下面各组小木棒长度，能否摆成三角形。 (1) 8，6，14；6+8=14，不能； (2) 13，12，20；12+13＞20，能； (3) 5，5，8；5+5＞8，能。 2. 在△ABC 中，AB=4，BC=6，则 AC 的取值范围？ 解：64 ＜ AC ＜6+4，得2＜AC＜10。 3. 举出生活中两个利用三角形稳定性的例子。 解：自行车车架、起重机三角支架。 B 组【能力提升】 1. 三角形三边长为 3，x2，6，求 x 的取值范围。 解：63 ＜ x2 ＜6+3，5＜x＜11。 2. 等腰三角形周长为 22 cm，一边长 8 cm，求另外两边长。 解： ①8 cm 为腰：底边 = 2288=6，三边 8，8，6，成立；另两边 8 cm，6 cm； ②8 cm 为底边：腰 =(228)÷2=7，三边 7，7，8，成立；另两边 7 cm，7 cm。 C 组【拓广探索・培优】 1. 三角形三边都是整数，已知两边为 5 和 9，求满足条件的三角形一共有多少个，写出所有第三边。 解：95＜x＜9+5，4＜x＜14；整数 x 可取 5，6，7，8，9，10，11，12，13；一共 9 个。 2. 用一条长 30 cm 的铁丝围成等腰三角形。 （1）如果腰长是底边长的 2 倍，求各边长； （2）能围成一边长 7 cm 的等腰三角形吗？说明理由。 解： (1) 设底边长为 x cm，则腰长 2x cm。 x+2x+2x=30，x=6；三边长：6 cm，12 cm，12 cm。 (2) 情况 1：7 cm 作为底边，则腰 =(307)÷2=11.5；三边 7，11.5，11.5，可以围成； 情况 2：7 cm 作为腰，则底边 = 3077=16；7+7＜16，不能围成。 综上：可以围成底边长 7 cm 的等腰三角形，不能围成腰长 7 cm 的等腰三角形。 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.2.1 三角形的边 导学案 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 【学习目标】 1. 过课本探究，借助 “两点之间，线段最短”，理解三角形三边之间的数量关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，发展推理意识。 2. 会利用三边关系判断三条线段能否组成三角形；已知三角形两边，会求第三边的取值范围。 3. 会处理等腰三角形边长相关习题，做题后利用三边关系检验解的合理性，体会分类讨论思想。 学习重点：三角形三边关系；利用三边关系解决简单问题。 学习难点：等腰三角形边长分类讨论后检验；实际情景中三边关系说理。 【前置补偿】 1. 三角形定义：由________________________的三条线段，首尾顺次相接组成的图形。 2. 线段的基本事实：________________________。 3. 等腰三角形：有________相等的三角形；________三角形是特殊的等腰三角形。 【学生自学】 阅读课本，了解课本整体编排顺序与探究思路： ①课本探究：利用两点之间线段最短，推导三角形三边大小关系； ②课本例题：判断给定长度的三条线段能否组成三角形； ③课本思考：已知等腰三角形两边长，求周长； ④课本练习：巩固三边关系判断、简单计算。 探究一 课本探究：三角形三边关系 如图△ABC，从点 B 到点 C 有两条路径： 路径 1：直接走线段 BC； 路径 2：B→A→C，走线段 BA+AC。 依据 “两点之间，线段最短”，可得：BA+AC ____ BC。 同理可得： AB+BC ____ AC； AC+BC ____ AB。 归纳定理：三角形________________________________________。 推论：三角形任意两边之差____________第三边。 简化判断技巧：判断三条线段能否构成三角形，只需比较：__________＞最长线段。 思考：已知三角形两边为 6 和 9，则第三边长 x 的取值范围：________________。 探究二 例题自学 例 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1) 3，4，8； (2) 5，6，10； (3) 5，6，11。 解题书写： 小组思考：为什么只需要看较短两条线段的和大于最长线段，就可以判断？ 探究三 等腰三角形边长问题 已知一个等腰三角形的两边长分别为 5 和 6，求这个三角形的周长。 提示：没有说明哪条是腰，需要分类讨论，求出边长后，必须用三边关系检验。 书写过程： 探究四 三角形的稳定性（课本动手实验） 动手做一做： 1. 把三根木条钉成三角形木架，扭动木架，它的形状________（填 “会” 或 “不会”）改变； 2. 把四根木条钉成四边形木架，扭动木架，它的形状________（填 “会” 或 “不会”）改变； 3. 在四边形木架斜钉一根木条，把四边形分成两个三角形，再扭动木架，形状____改变。 归纳：三角形________稳定性；四边形________稳定性。 思考 1：木工师傅在窗框未安装好之前，斜钉一根木条，这是利用什么原理？ 思考 2：请你写出两个生活中利用三角形稳定性的实例： 【自学小测】 1. 判断下列各组线段能否组成三角形，能打√，不能打 × (1) 15，10，7（） (2) 4，5，10（） (3) 3，8，5（） 2. 已知等腰三角形两边长 4 和 9，则周长为________。 【合作学习，课堂研讨】 1. “三角形任意两边之和大于第三边” 中 “任意” 二字能不能去掉，举例说明。 2. 等腰三角形边长问题分类讨论之后，为什么一定要检验三边关系？ 小组疑问记录：________________________________________________ 【精讲点拨】 🔔课本重点易错警示 1. 三边关系：三角形任意两边之和大于第三边；做题可简化：较短两边之和＞最长边。 2. 已知等腰三角形两边求周长：①分情况讨论；②代入三边关系检验；③舍去不能构成三角形的解。 3. 第三边取值范围：两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和。 课堂笔记： 【总结提升】 1. 课本探究路径：两点之间线段最短→推导三角形三边关系→课本例题判断线段能否组成三角形→等腰三角形分类计算→练习巩固。 2. 核心知识点：三角形任意两边之和大于第三边；已知两边求第三边范围；等腰三角形边长分类 + 检验。 3. 数学思想：推理、分类讨论。 【课内自测】 1. 已知三角形两边长 3 和 8，第三边 x 取值范围：________________。 2. 下列各组线段，可以组成三角形的是（） A.2，3，5 B.4，4，7 C.3，6，10 D.5，3，1 3. 等腰三角形一边长 7，一边长 3，求三角形周长。 【分层作业】 A 组【基础过关・必做】 1. 判断下面各组小木棒长度，能否摆成三角形。 (1) 8，6，14； (2) 13，12，20； (3) 5，5，8。 2. 在△ABC 中，AB=4，BC=6，则 AC 的取值范围？ B 组【能力提升・选做】 3. 三角形三边长为 3，x2，6，求 x 的取值范围。 4. 等腰三角形周长为 22 cm，一边长 8 cm，求另外两边长。 C 组【拓广探索・培优】 5. 三角形三边都是整数，已知两边为 5 和 9，求满足条件的三角形一共有多少个，写出所有第三边。 6. 用一条长 30 cm 的铁丝围成等腰三角形。 （1）如果腰长是底边长的 2 倍，求各边长； （2）能围成一边长 7 cm 的等腰三角形吗？说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $