13.2.1 三角形的边 暑期预习导学案 -2026-2027学年人教版数学八年级上册

13.2.1 三角形的边 一、学习目标 1、熟记三角形顶点、边、内角的概念，熟练使用符号书写三角形；掌握三角形按边长的分类方式；牢记三角形三边关系定理，会判断三条线段能否围成三角形，能求解第三边取值范围、等腰三角形边长与周长问题。 2、借助路线选择探究三边关系，学会把生活语言转化成几何定理，掌握分类讨论的解题思想，规范几何答题步骤。 3、培养几何直观、严谨的逻辑推理能力，规避边长计算的常见陷阱，学会分类讨论等腰三角形的多解问题。 二、学习重难点 重点：三角形三边的数量关系定理，判断三边能否组成三角形的方法 难点：利用三边关系求第三边的取值范围；等腰三角形边长的分类讨论，舍去不符合三边关系的错误答案 三、学法指导 1、课前自主研读课本，独立完成预习填空； 2、画图辅助理解，不要死记公式； 3、遇到等腰三角形的题型，一定要分情况讨论，最后检验是否符合三边关系； 4、小组合作探究定理的由来，总结最简判断技巧。 第一部分：课前自主预习 （一）旧知回顾 1、线段的基本性质：两点之间， 最短。 2、三角形的定义：由 的三条线段，首尾顺次相接围成的封闭图形叫做三角形。 （二）新知自学填空 知识点 1：三角形的元素与表示方法 1、组成三角形的三条线段叫作三角形的边；相邻两条边的公共端点是顶点；相邻两边组成的角叫作三角形的内角。 2、顶点记作 A、B、C 的三角形，写作：△ABC，读作：三角形 ABC。 3、惯用记法：在△ABC 中，BC 边（∠A 的对边）用小写字母 a 表示；AC 边记作 b；AB 边记作 c。 知识点 2：三角形按边长分类 1、不等边三角形：三条边长度全部不相等； 2、等腰三角形：有两条边长度相等；相等的两条边叫腰，剩下的边叫作底边；两腰的夹角是顶角，腰和底边的夹角是底角； 3、等边三角形（正三角形）：三条边全都相等； 重要结论：等边三角形是特殊的等腰三角形，不能和等腰三角形并列分类。 知识点 3：三角形三边关系（核心定理） 1、定理内容：三角形任意两边之和大于第三边； 2、推论：三角形任意两边的差小于第三边； 3、最简判定口诀：只需要找出三条线段里较短的两条，把它们相加，只要和大于最长的那条线段，就可以组成三角形。 第二部分：课堂合作探究 探究活动 1：定理推导 从点 B 走到点 C，有两条路径：① 直接走线段 BC；② 经过点 A，走 BA+AC。 根据两点之间线段最短，可得：AB+AC ＞ BC。 同理可以推出： AB+BC ＞ AC AC+BC ＞ AB 由此总结出：三角形任意两边之和大于第三边。 探究活动 2：概念辨析（判断对错，并写明理由） 1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等边三角形不属于等腰三角形。（ ） 理由： 2、长度为 2cm、3cm、5cm 的三根小棒，可以拼成一个三角形。（ ） 理由： 3、已知三角形两条边长分别是 4 和 7，第三条边长的取值范围是大于 3、小于 11。（ ） 探究活动 3：例题精讲（课堂板书例题） 例题：用一根长 20cm 的细绳围成一个等腰三角形，其中一条边长 6cm，求三角形的周长。 解题思路：分两种情况讨论 情况 1：6cm 的边为腰； 情况 2：6cm 的边为底边； 两种结果全部要用三边关系检验，舍去不合理的答案。 小组总结解题步骤： ① 分类列举所有可能性； ② 利用三边关系检验； ③ 保留符合条件的答案，计算周长。 第三部分：分层当堂练习题（10 分钟） 【基础必做题】 1、下列各组线段，能够构成三角形的是（） A、2，3，6 B、3，4，5 C、2，2，4 D、1，2，3 2、在△DEF 中，边 DE 所对的角是 ，∠F 的对边是 。 3、已知三角形两边长为 5 和 8，则第三条边最小的整数值是 ，最大的整数值是 。 【中档选做题】 1、等腰三角形的两边分别为 4cm 和 9cm，求这个三角形的周长。 2、判断：三条线段的长度分别为 6、6、10，能不能组成三角形，写出判断过程。 【拔高拓展题】 化简代数式：已知 a、b、c 是△ABC 的三边长，化简 |a+b-c| + |b-a-c|。 第四部分：课堂小结、易错点整理 1、本节课知识框架 三角形定义及符号表示 → 三角形按边分类 → 三边关系定理（和大于第三边、差小于第三边）→ 边长取值范围、等腰三角形分类计算 2、高频易错点（背诵） ①判断三边时，不要两两相加对比，只需要计算短边之和与最长边比较即可； ②等腰三角形必须分两种情况，算完一定要检验三边关系，很多时候其中一种情况不成立； ③第三边的取值范围：两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和，不可以取等号； ④等边三角形属于等腰三角形，分类时不可分开。 课后作业布置 1、教材课后习题，规范写在作业本上； 2、自行画出等腰三角形，标注腰、底边、顶角、底角； 3、预习下一节：三角形的高、中线与角平分线。 同步作业 一．选择题 1．已知三角形两边的长度分别是5和9，则第三边的长可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．14 2．为估计池塘两岸A，B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得OA＝10m，OB＝6.5m，那么A，B间的距离可能是（　　） A．3m B．12m C．17m D．20m 3．已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 4．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm 5．如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（　　） A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性 6．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．10 7．一个三角形的两边长分别为3和4，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 8．已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 9．若三角形的三边长分别为3，1+2x，8，则x的取值范围是（　　） A．2＜x＜5 B．3＜x＜8 C．4＜x＜7 D．5＜x＜9 10．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值（　　） A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不能确定 二．填空题 1．如图，长治漳泽湿地公园的网红桥（神农湖大桥），在修建时采用三角形钢架结构，这是利用了三角形的　 　 ． 2．已知△ABC的三边长a、b、c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是 　 　 ． 3．在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是　 　 ． 4．若一个三角形的三边长分别是m+2，10，2m﹣1，则m的取值范围为　 　 ． 5．等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为 　 　 ． 三．解答题 1．已知：a、b、c为三角形的三边长 化简：|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|﹣|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c| 2．已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设三角形的周长是x． （1）直接写出c及x的取值范围； （2）若x是小于18的偶数 ①求c的长； ②判断△ABC的形状． 3．如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA+PB+PC（AB+BC+AC）． 4．a，b，c分别为△ABC的三边，且满足a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6． （1）求c的取值范围； （2）若△ABC的周长为18，求c的值． 参考答案与试题解析 一．选择题 1．【解答】解：设三角形第三边的长是x， 由三角形三边关系定理得到：9﹣5＜x＜9+5， ∴4＜x＜14， ∴三角形第三边的长可能是5． 故选：C． 2．【解答】解：由三角形三边关系定理得到：10﹣6.5＜AB＜10+6.5， ∴3.5＜AB＜16.5， ∴A、B间的距离可得是12m． 故选：B． 3．【解答】解：由三角形三边关系可得， ， 解得2＜n＜10， ∴正整数n有7个：3，4，5，6，7，8，9． 故选：D． 4．【解答】解：A、∵5+4＝9，9＝9， ∴该三边不能组成三角形，故此选项错误； B、8+8＝16，16＞15， ∴该三边能组成三角形，故此选项正确； C、5+5＝10，10＝10， ∴该三边不能组成三角形，故此选项错误； D、6+7＝13，13＜14， ∴该三边不能组成三角形，故此选项错误； 故选：B． 5．【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性． 故选：B． 6．【解答】解：已知4条木棍的四边长为2、3、4、6； ①选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；5﹣4＜6＜5+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6； ②选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6﹣2＜7＜6+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7； ③选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情况不成立； ④选6+2、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4；而3+4＜8，不能构成三角形，此种情况不成立； 综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7． 故选：C． 7．【解答】解：设第三边为a， 根据三角形的三边关系，得：4﹣3＜a＜3+4， 即1＜a＜7， ∵a为整数， ∴a的最大整数值为6， 则三角形的最大周长为3+4+6＝13． 故选：C． 8．【解答】解：设第三边为x， 根据三角形的三边关系，得：4﹣1＜x＜4+1， 即3＜x＜5， ∵x为整数， ∴x的值为4． 三角形的周长为1+4+4＝9． 故选：C． 9．【解答】解：根据三角形的三边关系可得：8﹣3＜1+2x＜3+8， 解得：2＜x＜5． 故选：A． 10．【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣c2＝（a﹣b）2﹣c2＝（a+c﹣b）[a﹣（b+c）]． ∵a，b，c是三角形的三边． ∴a+c﹣b＞0，a﹣（b+c）＜0． ∴a2﹣2ab+b2﹣c2＜0． 故选：C． 二．填空题 1．【解答】解：在修建时采用三角形钢架结构，这是利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 2．【解答】解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c， ∴a+b＞c，b﹣a＜c， ∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0， ∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|＝a+b﹣c﹣（﹣b+a+c）＝a+b﹣c+b﹣a﹣c＝2b﹣2c； 故答案为：2b﹣2c 3．【解答】解：作△ABC的外接圆，如图所示： ∵∠BAC＞∠ABC，AB＝4， 当∠BAC＝90°时，BC是直径最长， ∵∠C＝60°， ∴∠ABC＝30°， ∴BC＝2AC，ABAC＝4， ∴AC， ∴BC； 当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4， ∵∠BAC＞∠ABC， ∴BC长的取值范围是4＜BC； 故答案为：4＜BC． 4．【解答】解：当m≤3时，三边从小到大依次为2m﹣1，m+2，10，只要满足2m﹣1+m+2＞10，即m＞3，此时不存在m的值． 当3＜m时，三边从小到大依次为m+2，2m﹣1，10，只要满足2m﹣1+m+2＞10，即m＞3，此时3＜m． 当m＜8时，三边从小到大依次为m+2，10，2m﹣1只要满足m+2+10＞2m﹣1，即m＜13，此时m＜8． 当m≥8时，三边从小到大依次为10，m+2，2m﹣1，只要满足10+m+2＞2m﹣1，即m＜13，此时8≤m＜13． 综上所述，满足条件的m的值为3＜m＜13． 5．【解答】解：由三角形的三边关系可知，由于等腰三角形两边长分别是3和6， 所以其另一边只能是6， 故其周长为6+6+3＝15． 故答案为15． 三．解答题 1．【解答】解：∵a、b、c为三角形三边的长， ∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a， ∴原式＝|（b+c）﹣a|+|b﹣（c+a）|﹣|c﹣（a+b）|﹣|（a+c）﹣b| ＝b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c+b﹣a﹣c ＝2c﹣2a． 2．【解答】解：（1）因为a＝4，b＝6， 所以2＜c＜10． 故周长x的范围为12＜x＜20． （2）①因为周长为小于18的偶数， 所以x＝16或x＝14． 当x为16时，c＝6； 当x为14时，c＝4． ②当c＝6时，b＝c，△ABC为等腰三角形； 当c＝4时，a＝c，△ABC为等腰三角形． 综上，△ABC是等腰三角形． 3．【解答】证明：在△ABP中：AP+BP＞AB． 同理：BP+PC＞BC，AP+PC＞AC． 以上三式分别相加得到： 2（PA+PB+PC）＞AB+BC+AC， 即PA+PB+PC（AB+BC+AC）． 4．【解答】解：（1）∵a，b，c分别为△ABC的三边，a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6， ∴， 解得：2＜c＜6； （2）∵△ABC的周长为18，a+b＝3c﹣2， ∴a+b+c＝4c﹣2＝18， 解得c＝5． 学科网（北京）股份有限公司 $