13.2.2三角形的中线、角平分线、高 学案 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦三角形中线、角平分线、高，通过画图操作引导学生认识三线定义、掌握画法，结合已学角平分线等知识，以定义解析、性质探究、即学即练为支架，构建三线概念及交于一点的知识脉络。 资料特色在于自学探究与分层练习结合，通过动手画图培养几何直观，性质推导强化推理意识，达标测试提升模型应用能力，助力学生自主构建知识，发展数学思维，便于教师教学评估与针对性指导。

13.2.2 三角形中线、角平分线、高班级： 姓名： 【学习目标】1.经历画图的过程，认识三角形的中线、角平分线和高； 2.会画三角形的中线、角平分线和高； 3.了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线分别交于一点 【学习重点】三角形的高、中线与角平分线 【学习难点】三角形的角平分线与角的平分线的区别，画钝角三角形的高 【自学探究】 探究点一 三角形的中线 1. 定义：如下图连接△ABC的顶点 和它对边 所得的线段 叫做△ABC的边BC上的中线。 注意：(1) 任意三角形的中线一定都在三角形的 ； （2）三角形的三条中线相交于 点，这个交点叫做三角形的 心 2.三角形中线的性质 ∵AD是△ABC的中线 = = 【即学即练1】如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则BD= ， AE= ，AB=2 . 探究点二 三角形的角平分线 1. 定义：如下图，作∠A的平分线 交∠A所对的边 于点 ，所得线段AD叫做△ABC的角平分线。 2. 三角形角平分线的性质 （1）∵AD是△ABC的角平分线 = = 注意：任意三角形的三条角平分线都相交于_______，且都在三角形________． 【即学即练2】如图，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则∠1= ， ∠3= ，∠ACB=2 . 探究点三 三角形的高 1. 定义：如下图从△ABC的顶点 向它所对的边 所在的直线作 ，垂足为 ，所得的线段 叫做△ABC的边BC上的高. 2. 角形高的性质 ∵AD是△ABC的高 ADBC于点D（或 = =90º） 3.分别在锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高，观察这些高所在的直线是否交于一点.(注意：画三角形的高时要标明垂直符号和垂足的字母) 知识归纳：(1) 三角形的三条高所在的直线相交于 点 (2) 锐角三角形的三条高的交点在三角形的 部； (3) 直角三角形的三条高的交点在三角形的 (4) 钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的 部. 【典例解析】 例1：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，AB与AC的长度和为11cm，求AC的长． 例2：如图在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC（∠B>∠C）. 若∠B=80°，∠C=30°，求∠DAE. 【达标测试】 1.如图，若CD是△ABC的中线，AB=10，则AD=(　　) A.5　 B.6 C.8　 D.4 2.(2025深圳二模改编)三角形一边上的中线把原三角形分成两个(　　) A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形 C.直角三角形 D.周长相等的三角形 3.如图，AD是△ABC的角平分线，则(　　) A.　 B. C.∠1=∠BAC　 D.∠1=∠ABC　 4.(2025河北一模)下列画△ABC的边BC上的高正确的是(　　) 5.(2024佛山模拟)如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是(　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定 6.如图，在△ABC中，BC边上的高为(　　) A.BF　 B.CF C.BD　 D.AE 7.如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E，F为AB上的一点，CF⊥AD于H.下列判断正确的是(　　) A.AD是△ABE的角平分线 B.BE是△ABD边AD上的中线 C.CH为△ACD边AD上的高 D.AH为△ABC的角平分线 8.如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是中线，AF是高，如果BC=10 cm，那么BE=　　　　；如果∠ABC=40°，∠ACB=60°，∠BAC=80°，那么∠BAD=　　　　，∠AFD= 　　　　.  第6题 第7题 第8题 第9题 第10题 9.(2024广州期中)如图，BD是△ABC的中线，AB=5 cm，BC=3 cm，则△ABD和△BCD的周长差为 . 10.已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4 cm2，则阴影部分的面积为 　 　 cm2． 11.如图，在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长。 12.如图，在△ABC 中，E 是 BC 上的一点，EC＝2BE，点 D 是 AC 的中点，设△ABC，△ADF 和△BEF 的面积分别为 S△ABC，S△ADF 和 S△BEF，且 S△ABC ＝12，求 S△ADF－S△BEF 的值. 【参考答案】 【自学探究】 探究点一 三角形的中线 1. 定义：A；中点 D；AD；(1) 内部；(2) 一；重 2. 中线性质：∵AD 是△ABC 的中线，BD=CD=1/2BC；S△ABC=2S△ACD 【即学即练 1】BD=CD；AE=1/2AC；AB=2AF 探究点二 三角形的角平分线 1. 定义：AD；BC；D 2. 性质：∵AD 是△ABC 的角平分线，∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC；一点；内部 【即学即练 2】∠1=∠2；∠3=1/2∠ABC；∠ACB=2∠4 探究点三 三角形的高 1. 定义：A；BC；垂线；D；AD 2. 高的性质：∵AD 是△ABC 的高，AD⊥BC 于点 D；∠ADB=∠ADC=90° 知识归纳：(1) 一；(2) 内；(3) 直角顶点处；(4) 外 【典例解析】 例 1：解：∵AD 是 BC 边上中线，∴BD=CD。C△ADC−C△ABD=(AC+AD+CD)−(AB+AD+BD)=AC‑AB=3cm，又 AC+AB=11cm，联立 {AC‑AB=3，AC+AB=11}，解得 AC=7cm。 例 2：解：∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−80°−30°=70°，∵AE 平分∠BAC，∴∠BAE=1/2∠BAC=35°，∵AD⊥BC，∴∠BAD=90°−∠B=90°−80°=10°，∠DAE=∠BAE−∠BAD=35°−10°=25° 【达标测试】 1.A 2.B 3.B 4. 从 A 向 BC 作垂线段，垂足落在 BC 直线上的图形 5.C 6.A 7.C 8.5cm；40°；90° 9.2cm 10.1 11. 解：设 AD=CD=x，则 AB=AC=2x，分两种情况。①AB+AD=12，即 2x+x=12，x=4，CD=4，BC=15‑4=11；三边 AB=AC=8cm，BC=11cm；②AB+AD=15，即 2x+x=15，x=5，CD=5，BC=12‑5=7；三边 AB=AC=10cm，BC=7cm。综上：三边长为 8cm、8cm、11cm 或 10cm、10cm、7cm。 12. 解：∵D 是 AC 中点，S△ABC=12，∴S△ABD=1/2S△ABC=6；∵EC=2BE，∴S△ABE=1/3S△ABC=4；S△ABD−S△ABE=(S△ADF+S△ABF)−(S△BEF+S△ABF)=S△ADF−S△BEF，S△ADF−S△BEF=6‑4=2。 学科网（北京）股份有限公司 $