2.4.1竖直上抛运动 讲义-2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第一册

本讲义聚焦竖直上抛运动核心知识点，从定义（初速度竖直上抛、只受重力）出发，系统梳理运动规律（速度、位移公式及速度位移关系），通过分段（匀减速与自由落体）和全程（匀变速及矢量性）处理方法构建理解框架，结合对称性（速度、时间对称）分析，延伸至相遇问题（与自由落体、两个竖直上抛的临界条件），形成从基础到应用的学习支架。 该资料突出物理观念与科学思维培养，以分段与全程处理对比、对称性分析深化运动和相互作用观念，通过相遇问题临界条件推导训练科学推理与模型建构能力。例题覆盖单选、多选、解答题，从概念辨析到综合应用，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升问题解决能力。

竖直上抛运动 知识点一、竖直上抛运动 1.定义:将物体以一定初速度竖直向上抛出,只在重力作用下的运动。 2.运动规律 (1)速度公式:v=v0-gt。 (2)位移公式:h=。 (3)速度位移关系式:v2-=-2gh。 3.竖直上抛运动的图像 v⁃t图像　　　　　　　h⁃t图像 知识点二、对竖直上抛运动的理解 1．处理竖直上抛问题的方法 (1)分段处理 将全程分为两个阶段，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动． (2)全程统一处理 为初速度为v0(设为正方向)、加速度a＝－g的匀减速直线运动．,必须注意物理量的矢量性。习惯上取v0的方向为正方向,则v>0时,物体正在上升;v<0时,物体正在下降;h>0时,物体在抛出点上方;h<0时,物体在抛出点下方 2．竖直上抛运动的上升阶段和下降阶段具有对称性 (1)速度对称：上升和下降过程经过同一位置时速度等大、反向． (2)时间对称：上升和下降过程经过同一段高度的上升时间和下降时间相等． (3)竖直上抛运动的实质是匀变速运动，但又具有自身的特点，如对称性． 【提示】若物体在上升或下落中还受到空气阻力，则物体的运动不再是自由落体和竖直上抛运动，分别计算上升a上和下降a下的加速度(此时a上与a下不相等)，利用匀变速运动公式同样可以得到解决． 知识点三、自由落体运动和竖直上抛运动的相遇问题 1.竖直上抛运动与自由落体运动相遇问题 (1)两球同时运动,设相遇时间为t,则有gt2+(v0t-gt2)=H,解得t=。 (2)上升、下降过程中相遇的临界条件 ①若在a球上升时两球相遇,临界条件:t<,即,解得v0>; ②若在a球下降时两球相遇,临界条件:,即,解得。 2.两个竖直上抛运动相遇问题 例:a、b两球先后相隔时间Δt以相同速度竖直上抛,要在空中相遇,Δt应满足什么条件? 相遇时位移相等:va(t+Δt)-g(t+Δt)2=vbt-gt2,求出时间t。要在空中相遇,必须满足条件:0<t<,求出Δt范围即可。 例题： 一、单选题 1．物体做竖直上抛运动后又落回地面，则（　　） A．上升过程中，加速度方向向上，速度方向向上，相对于抛出点的位移方向向上 B．下落过程中，加速度方向向下，速度方向向下，相对于抛出点的位移方向向下 C．在最高点，加速度大小为零，速度大小为零 D．到达最高点后，加速度方向不变，速度方向改变 2．某兴趣小组自制了一个如图所示的水火箭。在发射过程中，水火箭由静止从地面以的加速度竖直向上运动了，然后失去动力做竖直上抛运动，重力加速度取，不计空气阻力。在整个过程中，下列说法中正确的是（     ） A．水火箭失去动力时速度为 B．水火箭向上做减速运动的时间为 C．水火箭做竖直上抛运动的最大高度为 D．水火箭到达最高点后下落的时间为 3．在地面上某处将一金属小球竖直向上抛出，上升一定高度后再落回原处，若不考虑空气阻力，则下列图像能正确反映小球的速度v、加速度a、位移x和速率v′随时间变化关系的是(取向上为正方向)（     ） A． B． C． D． 4．以的初速度从地面竖直上抛一石子，该石子两次经过小树顶端的时间间隔为，取，不计空气阻力，则小树高约为（　　） A． B． C． D． 5．在距地面高处竖直向上抛出一个小球，小球的初速度，不计小球在运动过程中的空气阻力（取），以下说法正确的是（     ） A．上升过程与下降过程，小球的速度方向发生了改变，全程不是匀变速直线运动 B．小球离地面的最大高度为 C．小球从抛出到落地的总时间为 D．小球在落地时的速度为 6．一架模型飞机从地面以的速度匀速竖直上升至距离地面时，一颗螺丝突然由飞机上脱落，若不计空气阻力，则螺丝从脱落至落到地面所需的时间为 A． B． C． D． 7．音乐喷泉随着音乐变换，竖直向上喷出的水柱可以高达几十米，现有一音乐喷泉，喷出的水经 2s 到达最高点，把水喷射的总高度分成四等份，水通过第一个等份高度用时记为 t₁，通过最后一个等份高度用时记为 t₂，不计空气阻力，则 满足（　　） A． B． C． D． 8．如图所示，两根长度均为的细杆、，两杆不在同一竖直线上图中未体现 杆从高处自由下落，杆同时从地面以的初速度竖直上抛，两杆开始运动前杆的下端和杆的上端相距，在运动过程中两杆始终保持竖直。。则以下说法正确的是（     ） A．经过，两杆刚好相遇 B．经过，两杆恰好分离 C．两杆相遇但不相碰到分离的时间是 D．两杆相遇但不相碰时，杆已经开始下降 二、多选题 9．小明站在地面将一个小球以初速度竖直上抛，不计空气阻力，重力加速度取，则小球到达距离抛出点的地方所需的时间为（     ） A．1s B．3s C． D． 10．如图所示，小球甲从距离地面高度为h=15m处以速度v0 =10m/s竖直向上抛出，同时小球乙从同一高度处以速度v0=10m/s竖直向下抛出。已知小球运动的过程中均不计空气阻力，重力加速度取g=10m/s2。若两小球落地后均能原速率反弹，当二者处于同一高度时视为相遇，则下列说法中正确的是（     ） A．小球乙落地前，乙球的速度和甲球的速度变化快慢不相同 B．小球乙落地后，两小球的高度差一直增大 C．从一开始到小球乙落地前，两小球的速度差始终不变 D．在之后的运动过程中，两小球每隔2s都会相遇一次 11．节日夜晚，礼花弹从35 m高的楼顶边缘以某一初速度竖直向上飞出，到达最高点距楼顶45 m处时未炸开，最后落在地面上，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是（     ） A．礼花弹飞出时的速度大小为30 m/s B．礼花弹在空中运动时间为7 s C．礼花弹在上升阶段最后1 s内的位移大小为15 m D．礼花弹在落地前1 s内的平均速度大小为35 m/s 12．甲物块在离地面高度为的位置由静止释放，同时在甲物块正下方的乙物块以的速度从地面开始竖直向上抛出，忽略空气阻力，取重力加速度。下列判断正确的是（     ） A．两物块在空中不会相遇 B．在乙物块下降的过程中，两物块相遇 C．经过，两物块的速度大小相等 D．乙物块上升的最大高度为 三、解答题 13．学校一课外活动小组自制一枚水火箭。设水火箭（可视为质点）发射后以5 m/s的初速度从地面竖直向上做匀加速直线运动，经过2 s到达离地面35 m高处时“燃料”恰好用完。不计空气阻力，取g=10 m/s2，求： (1)“燃料”恰好用完时火箭的速度大小； (2)火箭离地面的最大高度； (3)火箭从发射到落回地面过程的总时间。 14．如图所示，小球从地面上方距地面的高度处静止释放，落地后反弹上升的最大高度，不计空气阻力。重力加速度g取， (1)求小球落地反弹后离开地面的速度与落地瞬间速度大小的比值； (2)求小球从开始下落到第二次落地，小球运动到距地面10m高度处经过的时间。 15．如图所示，位于空中同一竖直线上、完全相同的甲、乙两球，离水平地面的高度分别为h甲=20m、h乙=10m。两球同时由静止释放，甲、乙两球与地面碰撞前后速率不变，碰撞时间不计，重力加速度g=10m/s2，空气阻力不计。 (1)求甲、乙两球第一次碰撞时距离地面的高度。 (2)若在乙球第一次反弹过程中，两球刚好在乙球原释放的位置发生碰撞，则甲球比乙球滞后多长时间释放？ (3)若甲球由静止释放的同时，乙球以速度v0竖直向上抛出，两球刚好在释放点连线的中点发生碰撞，求速度v0的大小。 答案第10页，共12页 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 竖直上抛运动 知识点一、竖直上抛运动 1.定义:将物体以一定初速度竖直向上抛出,只在重力作用下的运动。 2.运动规律 (1)速度公式:v=v0-gt。 (2)位移公式:h=。 (3)速度位移关系式:v2-=-2gh。 3.竖直上抛运动的图像 v⁃t图像　　　　　　　h⁃t图像 知识点二、对竖直上抛运动的理解 1．处理竖直上抛问题的方法 (1)分段处理 将全程分为两个阶段，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动． (2)全程统一处理 为初速度为v0(设为正方向)、加速度a＝－g的匀减速直线运动．,必须注意物理量的矢量性。习惯上取v0的方向为正方向,则v>0时,物体正在上升;v<0时,物体正在下降;h>0时,物体在抛出点上方;h<0时,物体在抛出点下方 2．竖直上抛运动的上升阶段和下降阶段具有对称性 (1)速度对称：上升和下降过程经过同一位置时速度等大、反向． (2)时间对称：上升和下降过程经过同一段高度的上升时间和下降时间相等． (3)竖直上抛运动的实质是匀变速运动，但又具有自身的特点，如对称性． 【提示】若物体在上升或下落中还受到空气阻力，则物体的运动不再是自由落体和竖直上抛运动，分别计算上升a上和下降a下的加速度(此时a上与a下不相等)，利用匀变速运动公式同样可以得到解决． 知识点三、自由落体运动和竖直上抛运动的相遇问题 1.竖直上抛运动与自由落体运动相遇问题 (1)两球同时运动,设相遇时间为t,则有gt2+(v0t-gt2)=H,解得t=。 (2)上升、下降过程中相遇的临界条件 ①若在a球上升时两球相遇,临界条件:t<,即,解得v0>; ②若在a球下降时两球相遇,临界条件:,即,解得。 2.两个竖直上抛运动相遇问题 例:a、b两球先后相隔时间Δt以相同速度竖直上抛,要在空中相遇,Δt应满足什么条件? 相遇时位移相等:va(t+Δt)-g(t+Δt)2=vbt-gt2,求出时间t。要在空中相遇,必须满足条件:0<t<,求出Δt范围即可。 例题： 一、单选题 1．物体做竖直上抛运动后又落回地面，则（　　） A．上升过程中，加速度方向向上，速度方向向上，相对于抛出点的位移方向向上 B．下落过程中，加速度方向向下，速度方向向下，相对于抛出点的位移方向向下 C．在最高点，加速度大小为零，速度大小为零 D．到达最高点后，加速度方向不变，速度方向改变 【答案】D 【详解】A．上升过程中，加速度方向向下，速度方向向上，相对于抛出点的位移方向向上，A错误； B．下落过程中，加速度方向向下，速度方向向下，当运动的位置在抛出点上方时相对于抛出点的位移方向向上，B错误； C．在最高点，加速度大小仍然为g，速度大小为零，C错误； D．到达最高点后，加速度方向不变，速度方向改变，D正确。 故选D。 2．某兴趣小组自制了一个如图所示的水火箭。在发射过程中，水火箭由静止从地面以的加速度竖直向上运动了，然后失去动力做竖直上抛运动，重力加速度取，不计空气阻力。在整个过程中，下列说法中正确的是（     ） A．水火箭失去动力时速度为 B．水火箭向上做减速运动的时间为 C．水火箭做竖直上抛运动的最大高度为 D．水火箭到达最高点后下落的时间为 【答案】C 【详解】A．水火箭由静止开始加速，已知加速度，位移 由匀变速公式 得失去动力时的速度，故A错误； B．失去动力后，水火箭做竖直上抛运动，加速度大小为，到最高点时速度减为0，由 得减速时间，故B错误； C．由 得，即竖直上抛运动的最大上升高度为，故C正确； D．最高点距离地面总高度 下落为自由落体运动，由 得，故D错误。 故选C。 3．在地面上某处将一金属小球竖直向上抛出，上升一定高度后再落回原处，若不考虑空气阻力，则下列图像能正确反映小球的速度v、加速度a、位移x和速率v′随时间变化关系的是(取向上为正方向)（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A．小球向上做竖直上抛，速度与时间的关系满足 根据公式可知图像应该是一条截距为正，斜率为负的直线，故A错误； B．竖直上抛运动中加速度不变，由于规定竖直向上为正方向，所以，故B错误； C．根据直线运动公式，位移与时间关系满足 图像应该是一条开口向下的抛物线，不是直线，故C错误； D．做竖直上抛的小球速率先均匀减小，上升到最高点时减小为0，再以相同大小的加速度随时间均匀增大，故D正确。 故选D。 4．以的初速度从地面竖直上抛一石子，该石子两次经过小树顶端的时间间隔为，取，不计空气阻力，则小树高约为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】石子上升到最高点时速度为0，取竖直向上为正方向，由匀变速直线运动的速度与位移关系得，其中，所以 代入， 整理得 无空气阻力时，竖直上抛运动上升和下降过程关于最高点对称，两次经过树顶的时间间隔为，故石子从最高点下落到树顶的时间为。由自由落体位移公式得，代入数据得 树高满足 代入前述结果得 故选C。 5．在距地面高处竖直向上抛出一个小球，小球的初速度，不计小球在运动过程中的空气阻力（取），以下说法正确的是（     ） A．上升过程与下降过程，小球的速度方向发生了改变，全程不是匀变速直线运动 B．小球离地面的最大高度为 C．小球从抛出到落地的总时间为 D．小球在落地时的速度为 【答案】B 【详解】A．匀变速直线运动的判定依据是加速度恒定，小球运动全程只受重力，加速度恒为，大小和方向均不变，因此全程是匀变速直线运动，故A错误； B．小球上升到最高点时速度为0，小球相对于抛出点的上升最大高度满足 可得 离地面最大高度，故B正确； C．小球上升时间 从最高点下落过程由 得 总时间，故C错误； D．小球落地时速度满足 代入数据解得，故D错误。 故选B。 6．一架模型飞机从地面以的速度匀速竖直上升至距离地面时，一颗螺丝突然由飞机上脱落，若不计空气阻力，则螺丝从脱落至落到地面所需的时间为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】规定向上为正方向，根据竖直上抛规律有 题意可知 联立解得 故选D。 7．音乐喷泉随着音乐变换，竖直向上喷出的水柱可以高达几十米，现有一音乐喷泉，喷出的水经 2s 到达最高点，把水喷射的总高度分成四等份，水通过第一个等份高度用时记为 t₁，通过最后一个等份高度用时记为 t₂，不计空气阻力，则 满足（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】竖直上抛运动到最高点的逆过程为初速度为0的自由落体运动，二者时间、位移对称。 总上升时间 总高度 将总高度四等分后每份高度为 根据初速度为0的匀加速直线运动规律，通过连续相等位移的时间比为 逆过程下落第1份的时间对应原上抛通过最后1份高度的时间，对应比例项为1； 逆过程下落第4份的时间对应原上抛通过第1份高度的时间，对应比例项； 则有 满足；故选C。 8．如图所示，两根长度均为的细杆、，两杆不在同一竖直线上图中未体现 杆从高处自由下落，杆同时从地面以的初速度竖直上抛，两杆开始运动前杆的下端和杆的上端相距，在运动过程中两杆始终保持竖直。。则以下说法正确的是（     ） A．经过，两杆刚好相遇 B．经过，两杆恰好分离 C．两杆相遇但不相碰到分离的时间是 D．两杆相遇但不相碰时，杆已经开始下降 【答案】C 【详解】A．取开始时端的位置为坐标原点、竖直向上为正方向。刚开始相遇时端和端等高，由、 有，解得，故A错误； B．取开始时端的位置为坐标原点、竖直向上为正方向。恰好分离时端和端等高，由、 有，解得，故B错误； C．两杆各点的加速度相同，故端相对端向上做速度为的匀速直线运动。相遇的起止相对位移分别为、故起止时刻分别为、 相遇持续时间为，故C正确； D．刚开始相遇时 杆的速度为，仍向上运动，故D错误。 故选C。 二、多选题 9．小明站在地面将一个小球以初速度竖直上抛，不计空气阻力，重力加速度取，则小球到达距离抛出点的地方所需的时间为（     ） A．1s B．3s C． D． 【答案】AB 【详解】根据匀变速直线运动的位移与时间关系公式 解得两个时间结果， 当时，小球处于上升阶段，恰好经过距离抛出点的位置；当时，小球已经达到最高点并处于下降阶段，再次经过距离抛出点的位置，故选AB。 10．如图所示，小球甲从距离地面高度为h=15m处以速度v0 =10m/s竖直向上抛出，同时小球乙从同一高度处以速度v0=10m/s竖直向下抛出。已知小球运动的过程中均不计空气阻力，重力加速度取g=10m/s2。若两小球落地后均能原速率反弹，当二者处于同一高度时视为相遇，则下列说法中正确的是（     ） A．小球乙落地前，乙球的速度和甲球的速度变化快慢不相同 B．小球乙落地后，两小球的高度差一直增大 C．从一开始到小球乙落地前，两小球的速度差始终不变 D．在之后的运动过程中，两小球每隔2s都会相遇一次 【答案】CD 【详解】A．小球乙落地前，两球加速度相同，两球速度变化一样快，A错误； C．取向下为正方向，小球乙落地前，两球速度差为 从一开始到小球乙落地前，两小球的速度差始终不变，C正确； BD．小球甲上升到最高点的时间为 小球乙落地时间为 解得 小球乙落地时，小球甲恰好上升到最高点，小球乙落地后以20m/s的速率反弹向上运动时，小球甲向下自由落体运动，小球乙到达最高点时，小球甲落地，两个小球总是一个落地时，另一个一定位于最高点；两个小球都是上升2s、下降2s，做往复运动，两小球每隔2s都会相遇一次；小球乙落地后，两小球的高度差，有时增大，有时减小；故B错误，D正确。 故选CD。 11．节日夜晚，礼花弹从35 m高的楼顶边缘以某一初速度竖直向上飞出，到达最高点距楼顶45 m处时未炸开，最后落在地面上，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是（     ） A．礼花弹飞出时的速度大小为30 m/s B．礼花弹在空中运动时间为7 s C．礼花弹在上升阶段最后1 s内的位移大小为15 m D．礼花弹在落地前1 s内的平均速度大小为35 m/s 【答案】ABD 【详解】A．设礼花弹飞出时速度为v0，竖直上抛的最大高度 解得，故A正确； B．礼花弹在空中运动时间为t，则 其中位移 解得，故B正确； C．逆向思维，上升阶段最后1s的运动等效为从最高点开始的自由落体第1s的位移，因此礼花弹在上升阶段最后1s内的位移，故C错误； D．礼花弹落地时 则落地前1s的速度为 则礼花弹在落地前1 s内的平均速度大小为，故D正确。 故选ABD。 12．甲物块在离地面高度为的位置由静止释放，同时在甲物块正下方的乙物块以的速度从地面开始竖直向上抛出，忽略空气阻力，取重力加速度。下列判断正确的是（     ） A．两物块在空中不会相遇 B．在乙物块下降的过程中，两物块相遇 C．经过，两物块的速度大小相等 D．乙物块上升的最大高度为 【答案】AC 【详解】AB．以地面为原点，向上为正方向建立一维坐标系，甲做自由落体，位置坐标 乙做竖直上抛，位置坐标 相遇时有 联立解得相遇时间 乙落地时 代入得 解得乙空中运动的总时间 说明乙落地前两物块没有相遇，因此两物块在空中不会相遇，故A正确，B错误； C．甲速度大小 乙速度大小 令甲、乙速度大小相等，解得 且， 因此两物块都在空中，即经过，两物块的速度大小相等，故C正确； D．竖直上抛最大高度公式，故D错误。 故选AC。 三、解答题 13．学校一课外活动小组自制一枚水火箭。设水火箭（可视为质点）发射后以5 m/s的初速度从地面竖直向上做匀加速直线运动，经过2 s到达离地面35 m高处时“燃料”恰好用完。不计空气阻力，取g=10 m/s2，求： (1)“燃料”恰好用完时火箭的速度大小； (2)火箭离地面的最大高度； (3)火箭从发射到落回地面过程的总时间。 【答案】(1)30m/s (2)80m (3)9s 【详解】（1）设燃料用完时火箭的速度为，所用时间为。火箭的上升运动分为两个过程，第一个过程做匀加速上升运动，第二个过程做竖直上抛运动至最高点。 对第一个过程，自制火箭做匀加速运动有     解得 由速度公式得     代入得     （2）对第二个过程做竖直上抛运动，由位移与速度关系公式得     代入数据解得 所以火箭上升离地面的最大高度     解得    （3）从燃料用完到运动至最高点的过程中，由     得 从最高点落回地面的过程中     代入得 总时间     14．如图所示，小球从地面上方距地面的高度处静止释放，落地后反弹上升的最大高度，不计空气阻力。重力加速度g取， (1)求小球落地反弹后离开地面的速度与落地瞬间速度大小的比值； (2)求小球从开始下落到第二次落地，小球运动到距地面10m高度处经过的时间。 【答案】(1)3:4 (2)、 和 【详解】（1）根据可得小球落地时的速度 反弹的速度 可知小球落地反弹后离开地面的速度与落地瞬间速度大小的比值为3：4 （2）小球从开始下落到落地的时间 小球从开始下落到第一次运动到距地面上方10m高度处经过的时间 小球从地面反弹后第二次经过距地面上方10m高度处经过的时间 第二次经过距地面上方10m高度处到第三次距离地面10m处，再次经过的时间 则小球从开始下落到运动到距地面上方10m高度处经过的时间分别为、和。 15．如图所示，位于空中同一竖直线上、完全相同的甲、乙两球，离水平地面的高度分别为h甲=20m、h乙=10m。两球同时由静止释放，甲、乙两球与地面碰撞前后速率不变，碰撞时间不计，重力加速度g=10m/s2，空气阻力不计。 (1)求甲、乙两球第一次碰撞时距离地面的高度。 (2)若在乙球第一次反弹过程中，两球刚好在乙球原释放的位置发生碰撞，则甲球比乙球滞后多长时间释放？ (3)若甲球由静止释放的同时，乙球以速度v0竖直向上抛出，两球刚好在释放点连线的中点发生碰撞，求速度v0的大小。 【答案】(1)m (2)s (3)10m/s 【详解】（1）乙球做自由落体运动，则有 解得 乙球落地时，甲球的速度大小 乙球反弹后做竖直上抛运动，设经过时间t1与甲球发生第一次碰撞，则有 解得 则此时两球距地面的高度 （2）若两球在乙球的释放点相遇，则乙球运动的时间 甲球下落至乙球的释放点所用的时间 所以甲球比乙球滞后释放的时间 （3）两球在两抛出点的中点处发生碰撞，对甲、乙两球分别有， 解得v0=10 m/s。 答案第10页，共12页 2 学科网（北京）股份有限公司 $