第2章 匀变速直线运动（复习讲义）物理人教版必修第一册

该高中物理匀变速直线运动单元复习讲义通过表格系统梳理复习要点与重难点，将实验操作、基本公式、推论应用、图像分析等模块分层呈现，构建“定义-规律-实验-应用”的知识脉络，突出匀变速直线运动公式、v-t图像、追及相遇问题等核心内容的内在联系。 讲义亮点在于“基础-难点-考点”三级练习设计，如通过刹车问题、自由落体运动实例培养科学思维，实验模块结合打点计时器数据处理强化科学探究能力。例题与迁移练覆盖不同难度，基础题巩固公式应用，综合题提升多过程分析能力，助力学生自主复习，也为教师提供精准分层教学的资源支持。

第二章 匀变速直线运动 复习要点 1.会完成小车速度随时间变化的实验，掌握打点计时器纸带的数据处理方法，会绘制、分析 v‑t 图像，会由图像判断匀变速直线运动。 2.理解匀变速直线运动定义：加速度恒定的直线运动，区分匀加速、匀减速直线运动；熟练掌握三大核心公式，能合理选择公式进行计算。 3.掌握推论：中间时刻瞬时速度、中间位置瞬时速度、逐差法、连续相等时间位移差公式，会用推论简化运算。 4.能够处理多过程运动、刹车问题、追及相遇问题，会结合 v‑t 图像分析运动过程。 5.掌握自由落体运动规律，知道自由落体条件、重力加速度，熟练应用自由落体公式解题。 6.能辨析本章易错陷阱，建立分段处理多过程问题的思维，规范物理计算题书写格式。 复习重难点 重点： 1.匀变速直线运动的定义和特点，能从 v-t 图像或运动描述中识别匀变速直线运动。 2.匀变速直线运动的速度公式、位移公式、速度位移关系式，能根据已知条件合理选用公式求解运动学问题。 3.自由落体运动的条件和规律（，，），能运用规律解决相关问题。 4.探究小车速度随时间变化规律的实验操作、数据处理和图像分析。 难点： 1.利用 v-t 图像面积推导位移公式，理解 "分割→近似→累加→取极限" 的微元法思维过程，深化极限思想。 2.匀变速直线运动常用推论（中间时刻速度、逐差法、初速度为零的比例关系等）的推导和适用条件，避免死记硬背、滥用推论。 3.多过程运动问题的分析，明确各阶段的运动特点和衔接条件。 4.追及相遇问题的分析，理解 "速度相等" 这一临界条件的物理意义，能建立位移关系和速度关系方程。 要点 匀变速直线运动的基本公式 一、匀变速直线运动速度与时间的关系 1.定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动。 2.v－t图像：匀变速直线运动的v－t图像是一条倾斜的直线。 3.特点：(1)运动轨迹是直线。 (2)在相等时间内的速度变化量相等，即＝常量，即加速度恒定不变。 4.分类 (1)匀加速直线运动：速度随时间均匀增加。 (2)匀减速直线运动：速度随时间均匀减小。 5.速度与时间的关系式：v＝v0＋at。 二、匀变速直线运动的位移 1.利用图v－t图像求位移： v－t图像与时间轴所围的梯形面积表示位移，如图所示，x＝(v0＋v)t。 2.匀变速直线运动位移与时间的关系式：x＝v0t＋at2，当初速度为0时，x＝at2。 3.速度与位移关系：v2－v＝2ax 要点速测 1．质点做直线运动的位移与时间的关系为（各物理量均采用国际单位），则该质点下列说法不正确的是（　　） A．初速度大小是4m/s B．前2s内的平均速度大小是8m/s C．加速度大小是2m/s2 D．任意相邻的1s内位移差大小都是4m 【答案】C 【详解】AC．根据运动学公式 对比题干中表达式 可知质点做匀变速直线运动，初速度大小，加速度大小，故A正确，C错误； B．由位移与时间的关系式可知，前物体的位移为 故质点在前内的平均速度大小，故B正确； D．匀变速直线运动中相邻的位移差满足 因此，该质点在任意相邻的1s内位移差大小，故D正确。 本题选不正确的，故选C。 2．无人驾驶技术在复杂道路上推广应用，还有诸多难题亟待解决，速度的变化需要时间，汽车在这段时间内会发生位移，汽车紧急刹车，会在路面上留下刹车痕迹，某次汽车紧急刹车后测得的刹车痕迹长为25m，假设制动后汽车做加速度大小恒为的匀减速直线运动直到停止，则关于该汽车的运动下列说法正确的是（     ） A．刚刹车时，汽车的初速度大小为 B．刹车后汽车第4秒内的位移大小为 C．刹车后汽车6秒内的位移大小为 D．刹车后汽车第1秒和第3秒内的位移之比为5∶1 【答案】B 【详解】A．根据题意，由运动学公式可得 可得汽车的初速度大小为，故A错误； BCD．根据题意，由运动学公式可得，刹车后汽车停止的时间为 刹车后汽车已经停止，则刹车后汽车6秒内的位移大小为。刹车后内的位移为 刹车后内的位移为 则第4秒内位移 第1秒内位移 刹车后内的位移为 第3秒内位移 则刹车后汽车第1秒和第3秒内的位移之比为9∶5，故B正确，CD错误。 故选B。 要点 自由落体运动 1.特点： (1)运动特点：初速度等于零。 (2)受力特点：只受重力作用。 2.自由落体加速度 (1)方向：竖直向下。 (2)大小：①g值随纬度升高而增大，随高度增加而减小。 ②一般计算中g可以取9.8 m/s2或10 m/s2。 3.自由落体运动规律 (1)速度公式：v＝gt (2)位移公式：h＝gt2 (3)速度—位移公式：v2＝2gx 要点速测 3．关于自由落体运动，下列说法中正确的是（　　） A．做自由落体运动的物体不受任何外力作用 B．物体受到的重力越大，下落的速度就越快 C．加速度为自由落体加速度的运动就是自由落体运动 D．在空气中从静止释放物体，若阻力相比于重力可以忽略，可以视为自由落体运动 【答案】D 【详解】A．做自由落体运动的物体只受重力作用，并非不受任何外力，故A错误； B．自由落体运动的加速度g是恒定的，与物体重力大小无关，轻、重物体下落一样快，故B错误； C．自由落体运动不仅要求加速度为自由落体加速度，还要求初速度为0且只受重力，故C错误； D．在空气中从静止释放物体，若阻力相比于重力可以忽略，物体就近似只受重力，初速度为0，可以视为自由落体运动，故D正确。故选D。 4．利用落体运动规律可估测人的反应时间。如图，甲同学捏住直尺顶端，使直尺保持竖直状态，乙同学用一只手在直尺0刻线位置做捏住直尺的准备，但手不碰到直尺。当乙看到甲放开直尺后立即捏住直尺。若乙捏住位置的刻度为h，下列说法正确的是（　　） A．h越大，说明反应时间越短 B．测得乙同学抓住尺子h=20cm处，则可得乙同学的反应时间约为0.2s C．若乙同学手指张开的角度太大，则测得的乙同学的反应时间偏小 D．若以相等的时间间隔在该直尺的另一面重新标记出表示反应时间的刻度线，则时间刻度线在直尺上的分布是均匀的 【答案】B 【详解】A．直尺下降的时间即为自由落体运动的时间，根据 可知刻度读数越大，即位移越大，时间越长，反应时间越长，故A错误； B．根据代入h=20cm得t=0.2s故B正确； C.若乙同学手指张开的角度太大，捏住尺的时间比反应时间长，所以测得的反应时间偏大，故C错误； D．根据匀加速直线运动的规律可知，在相等时间间隔通过的位移是不断增加的，所以每个时间间隔在直尺上对应的长度是不相等的，即时间刻度线在直尺上的分布是不均匀的，故D错误。故选B。 要点 实验：探究小车速度随时间变化的规律 1.实验原理 (1)利用纸带计算瞬时速度：以纸带上某点为中间时刻取一小段位移，用这段位移的平均速度表示这点的瞬时速度。 (2)用v－t图像表示小车的运动情况：以速度v为纵轴、时间t为横轴建立直角坐标系，用描点法画出小车的v－t图像，图线的倾斜程度表示加速度的大小，如果v－t图像是一条倾斜的直线，说明小车的速度是均匀变化的。 2.瞬时速度的求解方法：时间间隔很短时，可用某段时间的平均速度表示这段时间内中间时刻的瞬时速度，即vn＝。 3.求解加速度方法 (1)逐差法：Δx＝aT2，只要小车做匀变速直线运动，它在任意两个连续相等的时间间隔内的位移之差就一定相等。 要点速测 5．某学生利用“研究匀变速直线运动”的实验装置来测量一个质量为的重锤下落时的加速度值，该学生将重锤固定在纸带下端，让纸带穿过打点计时器，实验装置如图甲所示。 (1)以下是该同学正确的实验操作和计算过程，请填写其中的空白部分： ①实验操作：器材安装完毕，____________，再释放纸带，让重锤自由落下，待纸带全部通过打点计时器后，关闭电源。 ②取下纸带，取其中一段清晰的点，每隔一个点标出计数点如图乙所示，测出相邻计数点间的距离分别为，，，，已知实验时每隔打一个点，则重锤运动的加速度的代数表达式为____________（用和T的字母代数表达式表示）。 ③打点计时器打下C点时纸带的速度________（结果保留3位有效数字）。 (2)如果实验时交变电压频率稍有波动，从变成，而做实验的同学并不知道，仍按进行数据处理，那么③中算得的与实际值相比__________。（选填：“偏大”、“偏小”或“不变”） 【答案】(1) 先接通电源 1.61 (2)偏小 【详解】（1）[1]实验中为了节约纸带同时获取更多的数据点，应先接通电源再释放纸带 [2]根据频率与周期之间的关系，可得打点周期为    根据逐差相等公式可得加速度     [3]匀变速直线运动某段位移的平均速度等于该段位移所用时间中间时刻的瞬时速度，由此可得 （2）若电源的频率从变成，而做实验的同学并不知道，仍按进行数据处理，则实际周期小于，实验时所用时间大于实际时间，因此③中算得的与实际值相比将偏小。 6．打点计时器是高中物理实验中常用的实验器材，请你完成下列有关问题： (1)如图甲、乙所示是两种打点计时器的图片，其中甲是___________打点计时器，使用的电源为___________（选填“交流”或“直流”）电源；图乙是 ___________打点计时器，采用的电源为___________V。 (2)在“测定匀变速直线运动加速度”的实验中，下列选项符合实验操作规范的是___________。 A．释放小车前，将小车置于远离打点计时器的位置 B．安装器材时需要调节定滑轮使细线与木板平行 C．使用打点计时器时，接通电源后立即释放小车 D．打点结束后，先关闭电源再取下纸带备用 (3)某次实验过程中，用打点计时器打出的纸带如图所示，从某一清晰点开始，标出7个计数点A、B、C、D、E、F、G（相邻两计数点之间还有四个点未画出），相邻两计数点的间距如图所示，已知纸带左端与小车相连接，电源的频率为50Hz，则小车做___________（填“加速”或“减速”）直线运动，相邻两计数点之间的时间间隔T=___________s，打下B点时小车运动的速度大小为vB=___________m/s，小车的加速度大小为a=______ m/s2。（计算结果均保留2位有效数字） 【答案】(1) 电磁 交流 电火花 220 (2)BD (3) 加速 0.10 0.40 0.80 【详解】（1）[1][2] 甲是电磁打点计时器，使用的电源为低压4~6V的交流电源； [3][4] 乙是电火花打点计时器，采用的电源为220V的交流电源。 （2）A C．在“测定匀变速直线运动加速度”的实验中，为了充分利用纸带，且让打点计时器能在纸带上打出较为清晰的点，释放小车前应将小车靠近打点计时器，先接通电源，待稳定打点后，再释放小车，故选AC错误； B．在组装器材时，为了保证小车在木板上做匀加速直线运动，且受到的拉力恒定，连接小车的细线必须与木板表面平行，故B正确； D．打点结束后，为了保护打点计时器（特别是电磁打点计时器的振针）并节约用电，应该先关闭电源，待打点停止后，再取下纸带进行数据处理，故D正确。故选BD。 （3）[1][2]所用电源的频率为50Hz，相邻两个计数点间有四个点未画出，则计数点间的时间间隔，已知纸带的左端与小车相连接，纸带从右到左运动的过程中，通过纸带可看出，在连续相等时间内，相邻计数点间的距离在逐渐增大，所以可判断小车做加速直线运动； [3] 打下B点时小车运动的速度大小 [4] 小车的加速度大小 难点 匀变速直线运动推论 1.中点时刻的速度：＝== 2.中点位置的速度：v＝ 注意：不论物体做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动，总有中点位置速度大于中点时刻的速度。 3.逐差法：公式Δx＝aT2 (1)判断物体是否做匀变速直线运动 如果Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。 (2)求加速度：利用Δx＝aT2，可求得a＝。 (3)推论：xm－xn＝(m－n)aT2。 4.初速度为零的匀加速直线运动的比例关系 (1)初速度为零的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T) ①1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n ②1T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比：x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶4∶9∶…∶n2 ③第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比： xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1) (2)初速度为零的匀加速直线运动，按位移等分(设相等的位移为x0) ①通过x0、2x0、3x0、…、nx0所用时间之比：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶ ②通过连续相同的位移所用时间之比：tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tN＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－) ③通过位移x0、2x0、3x0、…、nx0的瞬时速度之比：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶ (3)注意：①比例式解题适用于初速度为零的匀加速直线运动。 ②对末速度为零的匀减速直线运动，可逆向分析应用比例关系解答。 难点 运动学常见的图像 1.v-t图像 物理意义 表示物体速度随时间变化的规律 识图五要素 线 直线表示匀变速直线运动或者匀速直线运动；曲线表示非匀变速直线运动 斜 （切线）直线斜率表示物体（瞬时）加速度；上倾为正，下斜为负；陡缓示大小 面 阴影部分的面积表示物体某段时间内发生的位移；t轴上为正，t轴下为负 点 两图线交点，说明两物体此时刻速度相等 截 纵截距表示物体初速度 2.x-t图像 物理意义 表示物体位置随时间变化的规律，不是物体运动的轨迹 识图五要素 线 直线表示物体做匀速直线运动或物体静止；抛物线表示物体做匀变速直线运动 斜 （切线、割线）直线斜率表示物体（瞬时、平均）速度；上倾为正，下斜为负；陡缓示大小 面 图线与坐标轴所围图形面积无意义 点 两图线交点，说明两物体此时刻相遇 截 纵截距表示开始计时物体位置 3.x/t-t图像 物理意义 表示物体x/t这一物理量随时间变化的规律 识图五要素 线 倾斜直线表示物体做匀变速直线运动；平行于t轴的直线表示物体做匀速直线运动 斜 倾斜直线斜率；上倾为正，下斜为负；陡缓示大小 面 图线与坐标轴所围图形面积不都表示物体某段时间发生的位移 点 两图线交点，说明两物体此时刻相遇 截 纵截距表示物体初速度 4.v2-x和x-v2图像 物理意义 表示物体v2随位移变化的规律 识图五要素 线 倾斜直线表示物体做匀变速直线运动 斜 v2-x图线斜率k=2a；x-v2图线斜率；上倾为正，下斜为负；陡缓示大小 面 图线与坐标轴所围图形面积无意义 点 两图线交点，表示某一位置的速度平方值相同 截 在v2-x图线中纵截距表示物体初速度平方；在x-v2图线中横截距表示物体的初速度平方 5.v-x和x-v图像 物理意义 表示物体速度随位移变化的规律 识图五要素 线 曲线为抛物线表示物体做匀变速直线运动 斜 v-x图线斜率；x-v图线斜率；上倾为正，下斜为负 面 图线与坐标轴所围图形面积无意义 点 两图线交点，表示某一位置的速度相同 截 在v-x图线中纵截距表示物体初速度；在x-v图线中横截距表示物体的初速度 6.a-t图像 物理意义 表示物体加速度随时间变化的规律 识图五要素 线 倾斜直线表示a均匀变化；平行与t轴直线表示a恒定；曲线表示a非均匀变化；a方向：t上为正，t下为负 斜 斜率表示物体加速度变化率，即加速度变化的快慢 面 图线与坐标轴所围图形面积表示物体某段时间内速度变化量；t上为正，t下为负 点 两图线交点，说明两物体此时刻加速度相等 截 纵截距表示物体初加速度 难点 竖直上抛运动 1.实质：初速度v0≠0、加速度a＝－g的匀变速直线运动(通常规定初速度v0的方向为正方向，g为重力加速度的大小)。 2.规律： 基本公式 推论 3.特点 ①对称性：时间对称性：对同一段距离，上升过程和下降过程所用时间相等。 速度对称性：上升过程和下降过程通过同一点时速度大小相等，方向相反。 ②多解性：通过某一点可能对应两个时刻，即物体可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段。 难点 追及相遇问题 1.两个分析技巧:可概括为“一个临界条件”“两个等量关系” (1)一个临界条件:速度相等。它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件,也是分析判断问题的切入点。 (2)两个等量关系:时间等量关系和位移等量关系。通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口。 2.能否追上的判断方法 物体B追赶物体A:开始时,两个物体相距x0,到vA=vB时,若xA+x0<xB,则能追上;若xA+x0=xB,则恰好能追上或恰好不能追上;若xA+x0>xB,则不能追上。 3.三种分析方法 (1)分析法：应用运动学公式,抓住一个条件、两个关系,列出两物体运动的时间、位移、速度及其关系方程,再求解。 (2)极值法：设相遇时间为t,根据条件列出方程,得到关于t的一元二次方程,再利用数学求极值的方法求解。在这里,常用到配方法、判别式法、重要不等式法等。 (3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像。位移图像的交点表示相遇,速度图像抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系。 考点 匀变速直线运动基本规律和推论的应用 ▌例1-1一物体以初速度做匀减速直线运动，第1s内通过的位移为，第2s内通过的位移为，又经过位移物体的速度减小为0，则下列说法中正确的是（　　） A．初速度的大小为2.5m/s B．加速度a的大小为 C．位移的大小为1m D．位移内的平均速度大小为0.75m/s 【答案】D 【详解】AB．根据可得 根据解得，故AB错误； C．第2s末的速度 则，故C错误； D．位移内的平均速度大小为，故D正确。 故选D。 ▌例1-2一物体做匀加速直线运动，某段过程的初速度大小为，末速度大小为。关于此段过程，下列说法正确的是（　　） A．中间时刻的速度大小为 B．中间位置的速度大小为 C．前一半位移与后一半位移所用的时间之比为 D．前一半时间与后一半时间通过的位移大小之比为 【答案】D 【详解】A．匀加速直线运动中，中间时刻的速度等于初速度和末速度的平均值，故A错误； B．匀加速直线运动中，中间位置的速度公式为，故B错误。 C．设总位移为x，加速度为a，则有 根据上述分析可知，前一半位移的末速度，则有 后一半位移初速度为，则有 联立解得前一半位移与后一半位移所用的时间之比为 即，故C错误； D．设总时间为，则有 前一半时间的位移 后一半时间的初速度为中间时刻速度 位移 联立解得，故D正确。 故选D。 ▌例1-3如图所示，三块由同种材料制成的木块A、B、C固定在水平地面上，一颗水平飞行的子弹以速度击中木块A，并恰好能穿过全部木块。假设子弹穿过木块过程中受到的阻力大小不变，下列说法中错误的是（     ） A．若三块木块的长度相等，则依次穿过三块木块的时间之比为 B．若三块木块的长度相等，则穿出第二块时的速度为 C．若穿过三块木块所用的时间相等，则三块木块的长度之比为 D．若穿过三块木块所用的时间相等，则穿出第二块时的速度为 【答案】A 【详解】A．子弹通过三块由同种材料制成的木块A、B、C，做的是末速度为零的匀减速直线运动，利用逆向思维，则子弹由C经过B向A做初速度为零的匀加速直线运动；根据子弹通过连续相等的位移所用时间之比为 故若三块木块的长度相等，则依次穿过三块木块A、B、C的时间之比为，故A错误； B．利用逆向思维，则子弹由C经过B向A做初速度为零的匀加速直线运动；设木块的长度为L，穿出第二块时的速度为v，根据运动学规律有， 解得，故B正确； CD．由题意，利用逆向思维，则子弹由C经过B向A做初速度为零的匀加速直线运动，若穿过三块木块所用时间相等，则子弹通过C、B、A的位移之比为，故三块木块A、B、C的长度之比为设穿过第二块时的速度大小为v1，穿过一块木块所用时间为t，则有， 解得，故CD正确。由于本题选择错误的，故选A。 ▌迁移练1-1 从固定斜面上的点每隔0.1s由静止释放一个同样的小球，释放后小球做匀加速直线运动。某一时刻，拍下小球在斜面滚动的照片，如图所示，测得小球相邻位置间的距离，。已知点距离斜面底端的长度为，由以上数据可以得出（     ） A．小球的加速度大小为 B．小球在点的速度为 C．斜面上最多有5个小球在滚动 D．该照片是位于位置的小球释放后拍摄的 【答案】C 【详解】A．根据逐差法，小球的加速度大小为，故A错误； BD．根据平均速度法，小球在B点的速度为 小球在点的速度为 根据，可得t=0.05s，可知该照片是位于位置的小球释放后拍摄的，故BD错误； C．在斜面上运动的总时间为 由于每隔0.1s由静止释放一个同样的小球，所以斜面上的小球最多是5个，故C正确。 故选C。 ▌迁移练1-2 如图所示，冰壶比赛中，运动员将冰壶以某一速度沿冰面掷出，冰壶沿虚线做匀减速直线运动，垂直进入四个完全相同的矩形区域，离开第四个矩形区域边缘的E点时速度恰好为零。则（　　） A．冰壶在B点和D点的速度之比为3∶1 B．冰壶在C点速度大于AE过程的平均速度 C．冰壶在C点的时刻是AE过程的时间中点 D．冰壶在AC和CE过程的时间之比为1∶2 【答案】B 【详解】A．冰壶从A到E做匀减速直线运动，到E点速度为零，利用逆向思维，看作从E开始的匀加速直线运动，根据可得，B点和D点的速度比为，故A错误； B．同理利用逆向思维，根据DE与DA的位移比为1：3，所以两段时间相同，根据中间时刻速度等于平均速度可得，，根据逆向匀加速直线运动来看，vC＞vD，所以C点速度大于AE过程的平均速度，故B正确； C．由B的分析可得，DE和DA时间相等，所以D点是中间时刻点，故C错误； D．因为AC与CE的位移相同，根据相同位移内的时间比可得（-1）：1，故D错误。 故选B。 ▌迁移练1-3 如图所示，某列车在一次运行测试中，从点开始做匀减速直线运动，通过连续四段相等的位移，运动到点时速度减为零，列车可视为质点。下列说法正确的是（　　） A．段和段所用时间之比为 B．段的平均速度等于通过点的瞬时速度 C．段和段的平均速度大小之比为 D．、点时的速度大小之比为 【答案】C 【详解】AB．将列车运动的逆过程看作是反向的初速度为零的匀加速运动，因段和段位移之比为3:1，可知d点是ae的中间时刻，即ad段的时间与de段的时间之比为1:1，段的平均速度等于通过d点的瞬时速度，AB错误； C．根据 可得段和段的平均速度大小之比为，C正确； D．、点时的速度大小之比为，D错误。故选C。 考点 运动学常见图像问题 ▌例2-1一玩具小车在平直路面上做性能测试，图像如图所示。时刻物体从原点开始运动，取向右为速度v的正方向，则（     ） A．时，小车的加速度为零 B．0∼6s内，小车距原点最大位移为6m C．0∼6s内小车一直做匀变速直线运动 D．时，小车的加速度大小为，方向向左 【答案】D 【详解】ACD．根据图线的斜率表示加速度可知，0~2s内物体的加速度为0，做匀速直线运动2~6s内物体做匀变速运动，加速度 即加速度大小为，方向向左则在0~6s内物体不是一直做匀变速直线运动，故AC错误，D正确； B．根据图线与坐标轴所围面积表示位移可知，0~4s内物体的位移为 方向向右；4~6s内物体的位移为 即4~6s内物体的位移大小为3m，方向向左，物体反向折返，因此在0~6s内物体距原点最大位移为9m，故B错误。故选D。 ▌例2-2A、B两个物体在同一直线上运动，其x－t图像分别为曲线a和直线b，其中直线b与曲线a相切于点（6，18），a、b与纵轴相交于－6m和12m点。已知A做匀变速直线运动，下列说法正确的是（　　） A．A、B两物体运动方向相反 B．前6s内A的平均速度是B的平均速度的4倍 C．t＝0时刻，A的速度为－7 m/s D．A的加速度为1 m/s2 【答案】B 【详解】A．x－t图象的斜率的正负表示运动的方向，故A、B两物体运动方向相同，均为正方向，故A错误； B．前6s内A的位移为 B的位移为 根据平均速度的计算公式可知，A的平均速度是B的平均速度的4倍，故B正确； C．由图可知B做匀速直线运动，速度为对A，根据位移与时间的公式有解得故C错误； D．根据加速度的定义式有故D错误；故选B。 ▌例2-3某国产电动汽车进行制动测试实验，在平直道路上急踩刹车，用传感器记录位移与时间的比值随刹车时间t变化的规律，其图像如图所示，下列说法正确的是（     ） A．刹车过程中加速度大小为 B．4s时车速大小为28m/s C．自刹车开始4s内汽车位移为128m D．自刹车开始10s内该车的位移大小为162m 【答案】D 【详解】A．根据匀变速直线运动位移时间公式有整理得由图像可知，纵截距即初速度大小为，斜率为解得可知刹车过程中加速度大小为，故A错误； B．设，根据速度时间公式可得时车速大小为代入数据解得，故B错误； C．根据匀变速直线运动位移时间公式可知，汽车自刹车开始内的位移为 代入数据解得，故C错误； D．设汽车从刹车到停止的总时间为，根据速度时间公式有解得由于，可知汽车在时已经停止运动，故自刹车开始内该车的位移等于内的刹车总位移，根据速度位移公式有代入数据解得，故D正确。故选D。 ▌例2-4近期特斯拉电动车刹车问题成为媒体热点，为检测某新能源动力车的刹车性能，如图所示是一次在平直公路上实验时，某新能源动力车整个刹车过程中位移与速度平方之间的关系图像，下列说法正确的是（　　） A．刹车过程经过6s时新能源动力车的位移为30m B．刹车过程新能源动力车的加速度大小为5m/s2 C．刹车过程持续的时间为10s D．新能源动力车的初速度为40m/s 【答案】B 【详解】A．刹车过程中6 s内的位移等于4 s内的位移，则故A错误； B．根据得图线斜率可知解得刹车过程中加速度的大小故B正确； C．刹车过程持续的时间故C错误； D．由题图可知，新能源动力车的初速度的平方则，D错误；故选B。 ▌例2-5一汽车在平直的水平路面上以的速度匀速行驶，突然发现正前方有一障碍物而紧急刹车，刹车过程可视为匀减速直线运动，其位移x与速度v的关系图像如图所示。则汽车（　　） A．刹车时间为1.25s B．刹车时间为5s C．停止前1s内的位移为2m D．停止前1s内的位移为4m 【答案】D 【详解】AB．由图像可知，汽车的初速度v0=20m/s，刹车位移为x=25m，则刹车时间选项AB错误。 CD．研究刹车的逆过程可得，停止前1s内的位移为选项C错误，D正确。故选D。 ▌例2-6手机装上app后可测磁场、加速度、纬度等多种物理量。小明买车时用手机来测试新车的性能。时刻启动车辆后，手机记录了60s内车运动的加速度随时间变化图像如图，可知（　　） A．010s内汽车的速度计示数保持不变 B．20s时汽车速度计指在示数0位置 C．40s时汽车速度计指在示数72km/h的位置 D．50s后汽车停下 【答案】C 【详解】A．由图可知，内，汽车做加速度不变的匀加速运动，所以内汽车的速度计示数持续增加，故A错误； B．根据图线与坐标轴所围面积表示速度变化量可知，20s时汽车的速度变化量不为0，所以此时汽车速度计不会指在示数0位置，故B错误； C．根据图线与坐标轴所围面积表示速度变化量可知，40s时汽车的速度变化量所以此时汽车速度计指在示数72km/h的位置，故C正确； D．根据图线与坐标轴所围面积表示速度变化量可知，50s时汽车的速度变化量所以，此时汽车还未停下，故D错误。故选C。 ▌迁移练2-1 高速公路不停车电子收费系统简称ETC，如图为某汽车经过ETC通道过程中的图像。下列关于该汽车运动状态的判断正确的是（　　） A．内汽车平均速度为 B．内汽车处于静止状态 C．内汽车加速度大小为 D．内汽车总位移大小为 【答案】C 【详解】A．内汽车平均速度为，A错误； B．内汽车速度恒为，汽车做匀速运动，B错误； C．内汽车加速度大小为，C正确； D．内汽车位移大小为 内汽车位移大小为 内汽车位移大小为 故内汽车总位移大小为，D错误。 故选 C。 ▌迁移练2-2 如图所示为一质点做直线运动的位置x随时间t变化的规律图像。已知物体在0~1s做匀速直线运动，在1~4s做匀变速直线运动，则由图可知下列说法中正确的是（  　） A．质点在3s时的瞬时速度大小为3m/s B．0~4s内质点的平均速率为1.75m/s C．0~1s内质点运动速度为3m/s D．0~4s内质点的平均速度大小为1.75m/s 【答案】B 【详解】A．中间时刻速度等于平均速度，2s～4s质点做初速度为0的匀加速直线运动，3s时的瞬时速度大小为，故A错误； B．0~4s内质点的路程为s=7m，则平均速率为，B正确； C．2s～4s内根据可得 1s～2s内由逆向思维，可得1s末的速度 即0~1s内质点运动速度为2m/s，C错误； D．0~4s内质点的位移为x=1m，则平均速度大小为，D错误。故选B。 ▌迁移练2-3 一小球从固定斜面顶端由静止释放，下滑一小段距离后，开始计时。采集从计时位置开始下滑位移与时间的相关数据，并作出的图像如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．计时开始时小球的速度大小为0 B．小球下落的加速度大小为 C．从计时开始，小球在第内的平均速度大小为 D．从计时开始经后小球恰好下滑至斜面底端，则斜面长度为 【答案】D 【详解】AB．根据解得由图像可知v0=2m/s，，a=8m/s2 选项AB错误； C．从计时开始，小球在第内的平均速度大小等于t=1.5s时刻的瞬时速度，则为 选项C错误； D．开始计时时小球已经下滑的时间则斜面长度为选项D正确。故选D。 ▌迁移练2-4 某自主品牌的一款无人驾驶汽车在直线测试时的速度平方与位移关系图像如图所示。自经过x=0位置时开始计时，下列说法正确的是（  ） A．汽车在2s内的位移为20m B．汽车做匀减速直线运动，且加速度大小为10m/s2 C．汽车停下来所用时间为1.2s D．汽车共运行了4m 【答案】C 【详解】ABC．根据图像，由可知图像斜率故小车加速度大小为由图可知初速度大小汽车停下来所用时间为汽车在2s内的位移为故AB错误，C正确； D．汽车共运行了3.6m，故D错误。故选C。 ▌迁移练2-5 一质点做初速度为零的匀加速直线运动，x-v（位移-速度）图像如图所示，由此可知（　　） A．质点的加速度为1m/s2 B．质点的位移为16m时运动时间为5s C．质点的位移为6m时，速度大小为4.5m/s D．0~10s内质点的位移为100m 【答案】D 【详解】A.根据匀变速直线运动速度位移公式得由题图可知解得质点的加速度为，A错误； B.质点的位移为时，对应的速度为，由速度公式可得，B错误； C.质点的位移为时，由速度位移公式得速度大小为，C错误； D.质点在内的位移由位移公式得，D正确。故选D。 ▌迁移练2-6 物理兴趣小组将遥控小车置于水平地面上，使遥控小车从静止开始沿直线运动，从开始运动开始计时，通过加速度传感器记录下了0~12s内遥控小车在运动方向上的加速度随时间变化的图像，如图所示，则12s末遥控小车的速度大小为（　　） A．4m/s B．6m/s C．8m/s D．10m/s 【答案】A 【详解】根据可知a-t图像与坐标轴围成的面积等于速度的变化量，可知因初速度为零，可知12s末遥控小车的速度大小为4m/s。 故选A。 考点 自由落体运动和竖直上抛运动 ▌例3-1高空作业的电业工人，在操作时不慎将一螺母由静止从高处脱落，它在落到地面前的1s内下落了35m，不计空气阻力，g取，则螺母（　　）。 A．在空中下落的总时间为4s B．在空中下落的总时间为3s C．在脱落后的第1s内与第2s内的位移之比为1∶2 D．在脱落后的第1s末与第2s末的速度之比为 【答案】A 【详解】AB．设螺母下落总时间为秒 总下落高度 前 秒下落高度 落地前1s内下落距离为 m，即 解得，故 A 正确，B错误； C．第1s内位移 第2s内位移 位移比，故C错误； D．第1s末速度 第2s末速度 速度比，故D错误。 故选A。 ▌例3-2小球以某一速度竖直上抛，在上升过程中，小球在最初1s内的上升高度是其上升过程正中间1s内上升高度的倍，不计空气阻力，重力加速度，则下列说法正确的是（　　） A．小球上升的时间为5s B．小球上升的最大高度为 C．小球中间1s内上升的高度为 D．小球最初1s内上升的高度为 【答案】B 【详解】A．最初1s上升高度为，由匀变速位移公式得 代入、，得 上升过程正中间1s的位移为，匀变速运动中一段时间的平均速度等于对应中间时刻的瞬时速度，上升全程中间时刻的速度为因此中间1s位移又联立解得 设小球竖直上抛初速度为，上升时间，故A错误； B．小球上升最大高度，故B正确； C．中间1s位移，故C错误； D．小球最初1s上升高度，故D错误。故选B。 ▌迁移练3-1 如图是必修第一册封面上的沙漏照片，为了进一步研究，小林同学找到一个沙漏，设点为出沙口，点在点正下方处（高于沙粒的堆积高度），若近似认为沙粒下落的初速度为0，忽略空气阻力，不计沙粒间的相互影响，设沙粒随时间均匀漏下，重力加速度。下列说法正确的是（    ）    A．沙粒下落到点时的速度大小为 B．沙粒从点下落到点的时间为 C．沙粒从点下落和内的位移之比为 D．沙粒从点下落和时的速度之比为 【答案】A 【详解】A．沙粒下落到点时，根据解得，故A正确； B．沙粒从点下落到点的时间为，故B错误； C．根据可得沙粒从点下落的位移大小为沙粒从点下落的位移大小为则，故C错误； D．根据可得沙粒从点下落的速度大小为沙粒从点下落的速度大小为则，故D错误。故选A。 ▌迁移练3-2 如图所示，小球B（视为质点）以速度从地面开始做竖直上抛运动，到达最高点（位于虚线上）时，小球A（视为质点）也以速度从地面开始做竖直上抛运动，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则（　　） A．A、B落地的时间差为 B．A上升过程的平均速度小于B下降过程的平均速度 C．A抛出后经过时间与B位于同一水平面 D．A抛出后经过时间与B位于同一水平面 【答案】C 【详解】AB．由题意可知A、B两小球皆做竖直上抛运动，B小球下落的过程可以看作A小球上抛过程的逆过程，根据竖直上抛运动的对称性原理，可知A上升过程与B下落过程的时间相等，位移大小相等，故A上升过程与B下落过程的平均速度相等，当B球落地点，A球刚好上到最高点，之后A球再向下运动至落地，A球上抛到最高点的时间为故A、B落地的时间差为，故AB错误； C．分析过程可知，A抛出后经过时间到达高度为，B到达高度为其中解得可得故时间时A、B处于同一水平面，故C正确； D．因时间，此时A球从最高点向下做自由落体运动，B球已落地，故D错误。故选C。 考点 追及与相遇问题 ▌例4-1高速公路应急车道是为工程抢险、医疗救护等应急车辆设置的专用通道，是一条“生命通道”，没有特殊情况，普通车辆不能违规占用。某次节假日期间，高速公路拥堵，一救护车执行急救任务，在应急车道上以108km/h的速度匀速行驶，一段时间后发现前方100m处有车辆违规占用应急车道，该违规车辆匀速行驶，速度大小为36km/h。设该段应急车道路面平直，为了避免和违规车辆相撞，救护车被迫开始刹车的加速度大小至少为（　　） A．0.5 m/s² B．1 m/s² C．1.5 m/s² D．2 m/s² 【答案】D 【详解】救护车速度违规车辆速度为避免相撞，当救护车速度减至与违规车辆速度相等时，其位移应不大于违规车辆的位移与初始距离之和。设刹车加速度大小为，则速度减至所需时间 在此时间内救护车位移在此时间内违规车辆位移 为避免相撞，需满足 解得 故选D。 ▌例4-2甲驾驶新能源小汽车在斑马线外等待绿灯，绿灯亮起时由静止开始向前行驶，此时乙骑共享单车刚好从小汽车旁经过，甲乙两车沿直线运动的图像如图，两车可视为质点，则下列说法正确的是（　　） A．甲做匀速直线运动 B．时，甲乙两车相遇 C．若出发前乙在甲前方处，则甲、乙在末相遇 D．在甲追上乙之前，两者间最远距离为 【答案】C 【详解】A．由图像可知甲是做匀加速直线运动，故A错误； B．由图像可知在时速度大小相等，位移不相等，故两车没有相遇，故B错误； C．设经时间两车相遇，则有代入数据解得，故C正确； D．在时两车共速，两车相距最远，根据图像与时间轴围成的面积表示位移，则有， 故两者间最远距离为，故D错误。故选C。 ▌迁移练4-1 在平直公路上，自行车与同方向行驶的一辆汽车在t=0时同时经过某一个路标，它们的位移随时间t（s）变化的规律为：汽车为x=10t－t2，自行车为x=5t，（x的单位为m，t的单位是s）则下列说法不正确的是（　　） A．汽车做匀减速直线运动，自行车做匀速直线运动 B．经过路标后的较短时间内汽车在前，自行车在后 C．当两者再次同时经过同一位置时，它们距路标12.5m D．在t=2.5s时，自行车和汽车相距最远 【答案】C 【详解】A．汽车位移随时间变化的规律为，对应匀变速直线运动公式 可得初速度，加速度，汽车做匀减速直线运动。自行车位移随时间变化的规律为，对应匀速直线运动，速度为，故A不符合题意； B．在时，汽车初速度，大于自行车速度，因此短时间内汽车在前，自行车在后，故B不符合题意； C．两者位移相等时，有解得可得位移即距路标25m，而非12.5m，故C符合题意； D．当两车速度相等时相距最远，汽车速度令，解得此时两车距离最远，故D不符合题意。故选C。 ▌迁移练4-2 甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t=0时刻同时经过公路旁的同一个路标。在描述两车运动的v-t图中，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0~20s的运动情况。关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是（　　） A．在0~10s内两车逐渐靠近 B．在10~20s内两车逐渐远离 C．t=10s时两车相距最远，最远相距25m D．在t=20s时，乙追上甲，两车相遇 【答案】C 【详解】A．两车在0时刻经过同一位置，根据图像可知0~10s内乙车的速度一直大于甲车，所以在0~10s内两车逐渐远离，在10s时相距最远。故A错误； B．两车在10s时相距最远，此时乙车在甲车前方。在10~20s内，甲车的速度大于乙车的速度，甲乙两车开始靠近，故B错误； C．两车在10s时速度相等，相距最远。此时根据图像求面积，可得到甲乙两车的位移分别为 所以两车相距，故C正确； D．根据图像可知，在20s内甲车位移为乙车的位移为 所以甲乙两车在20s时相遇，此时是甲车追上乙车，故D错误。故选C。 基础达标 1．汽车制动后做匀减速直线运动，经速度减小为0。这段时间内，汽车在四个连续内前进的距离分别是、、、，下列说法正确的是（　　） A．汽车的加速度大小为 B．汽车的初速度大小为 C．汽车前内的平均速度大小为 D．汽车第内的平均速度大小为 【答案】A 【详解】A．根据逐差相等公式可得 其中，由题意可知， 解得，故A正确； B．根据 其中， 解得，故B错误； C．汽车前内的平均速度大小为，故C错误； D．汽车第3s内的平均速度大小为，故D错误。 故选A。 2．随着人工智能技术的发展，无人驾驶汽车已经成为智能科技的焦点。某品牌无人驾驶汽车进行刹车性能测试，得到汽车在平直路面上紧急刹车（车轮抱死）过程中的位移随时间变化的规律为（x的单位是的单位是s），则下列说法不正确的是（　　） A．该汽车刹车的初速度为 B．该汽车刹车的加速度为 C．刹车后末的速度为 D．刹车后内的位移为 【答案】D 【详解】AB．匀变速直线运动位移与时间关系为，结合题目给出的分析，对比系数可得初速度，对比系数得，解得加速度，故AB正确，不符合题意； C．先计算汽车刹车到停止的总时间 2s末汽车未停止，速度，故C正确，不符合题意； D．5s时汽车已经停止1s，刹车后5s内的位移等于4s内的位移，代入公式得，故D错误，符合题意。 本题选不正确的，故选D。 3．一辆肇事汽车在紧急刹车后停了下来，路面上留下了一条车轮滑动的磨痕。警察测出路面上车轮磨痕的长度为。根据对车轮和路面材料的分析可以知道，车轮在路面上滑动时汽车做匀减速直线运动的加速度大小是，则下列说法中正确的是（　　） A．汽车刚开始刹车时的速度大小是 B．汽车做匀减速直线运动的最后1秒内的位移为 C．汽车刹车后内的位移为 D．汽车刹车后第1秒内的位移为 【答案】D 【详解】A． 根据匀变速直线运动的速度位移公式 ，代入末速度 、位移 和加速度 ，得 ，故A错误； B． 最后1秒的位移可逆向看作初速度为0的匀加速运动，第1秒的位移，故B错误； C．刹车总时间由 得 刹车总时间 刹车4秒时车已停止，汽车刹车后内的位移为22.5m，故C错误； D． 第1秒内的位移为 ，故D正确。 故选D。 4．在“探究小车速度随时间变化的规律”实验中，打印出的纸带情况如图所示，图中A、B、C、D、E为相邻的计数点，相邻两计数点之间还有4个点未画出，所用交流电的频率为f，测得间距离为x1，间距离为x2，题中物理量的单位均为国际单位制中的单位。则下列说法正确的是（　　） A．一定是纸带的右端与小车相连 B．小车运动的加速度大小为 C．打点计时器打A点与E点时间间隔为 D．打点计时器在打C点时小车的瞬时速度大小为 【答案】B 【详解】A．由纸带可知，从左到右纸带上的点间距逐渐增加，可知一定是纸带的左端与小车相连，选项A错误； B．小车运动的加速度大小为 选项B正确； C．打点计时器打A点与E点时间间隔为 选项C错误； D．打点计时器在打C点时小车的瞬时速度大小为 选项D错误。 故选B。 5．如图所示，滑雪轨道由光滑的倾斜直轨道AB和粗糙的水平轨道BC组成。t=0时运动员从A点由静止开始匀加速下滑，经过B点前后速度大小不变，之后在BC上做匀减速直线运动，最后停在C点。若第2 s末和第6 s末速度大小均为8 m/s，第4 s末速度大小为12 m/s，则（     ） A．运动员在第4 s末恰好经过B点 B．运动员在第8 s末恰好停在C点 C．运动员从A到B的距离大于从B到C的距离 D．运动员在A到B的过程中平均速度大小为 【答案】D 【详解】A．运动员在AB段做匀加速直线运动，BC段做匀减速直线运动：0~2 s运动员在AB段，由得AB段加速度 若4 s末仍在AB段，速度应为 大于题目给出的，说明4 s末已在BC段。由4 s末、6 s末，得BC段加速度，减速加速度大小为 设运动员经过时间到达B点，B点速度 4 s末速度满足 代入得 即运动员末到达B点，故A错误； B．由A分析可得B点速度 从A点减速到0的总时间为 即10 s末才停在C点，故B错误； C．AB段位移 BC段位移 则运动员从A到B的距离小于从B到C的距离，故C错误； D．AB段为匀加速直线运动，平均速度等于初末速度的平均值，故D正确。 故选D。 6．将一物体自某一高度由静止释放，忽略空气阻力，落到地面之前瞬间的速度大小为v。在运动过程中（　　） A．物体通过前一半位移和后一半位移所用时间之比为 B．物体在前一半时间和后一半时间发生位移之比为1∶2 C．物体在位移中点的速度等于v D．物体在中间时刻的速度等于v 【答案】A 【详解】A．由初速度为零的匀变速直线运动规律可知物体通过前一半位移和后一半位移所用时间之比为 故A正确； B．由初速度为零的匀变速直线运动规律可知物体在前一半时间和后一半时间发生位移之比为，故B错误； C．匀变速直线运动位移中点的速度为 故C错误； D．匀变速直线运动中间时刻的速度为 故D错误。 故选A。 7．某兴趣小组利用内部气压为（可视为真空）、高的亚克力管做落体实验，将亚克力管按距离等分为四段，羽毛由静止开始从最高点A下落，经过段速度的增加量为，经过段速度的增加量为，则（　　） A．羽毛经过各点的速率之比为 B． C．羽毛经过四段位移的时间之比为 D．羽毛从A到E的平均速度比羽毛经过B点的瞬时速度更大 【答案】B 【详解】A．设段距离为h，根据速度—位移公式 可知羽毛经过各点的速率之比为 故A错误； BC．由题意可知，小球所在的管内空气阻力可以忽略不计，即小球做自由落体运动，两段相同距离h的时间之比为 由 可知 则 故B正确，C错误； D．由羽毛经过各段时间之比可知AB段时间为AE段时间的一半，则羽毛从A到E的平均速度与羽毛经过B点的瞬时速度相等，故D错误； 故选B。 8．舞狮作为我国传统节目，在我国广受人们欢迎。某次舞狮表演中，两位表演者需先后从高台跃下，为保证舞狮道具不因拉扯而损坏，要求两位表演者默契配合，在一定时间间隔内相继跳下。已知高台距离地面h=3.2m，两人之间的舞狮道具长L=1.95m，表演者可认为由静止下落，设表演者落地后速度立刻减速为零，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2，完成该表演动作（从第一位表演者开始跳下到第二位表演者落地）经历的总时间最长为（　　） A．1.4s B．1.1s C．1.0s D．0.8s 【答案】B 【详解】已知高台高度 ，道具长度 ，重力加速度 由自由落体运动公式 故第一位表演者落地时间为 为保证舞狮道具不因拉扯而损坏，此时第二位表演者下落距离至少为 设第二位下落到该点的时间为，由自由落体公式 即第二位表演者已下落 因此第二位跳下与第一位跳下的时间间隔最大为 第二位表演者从跳下到落地的时间与第一位相同（同高度） 所以完成表演动作的最长总时间为 故选B。 9．矿井中的升降机以的速度竖直向上匀速运行，某时刻一螺钉从升降机底板松脱，经过升降机底板上升至井口，此时松脱的螺钉刚好落到井底，不计空气阻力，重力加速度g取，下列说法正确的是（　　） A．螺钉松脱后做自由落体运动 B．矿井的深度为 C．螺钉落到井底时的速度大小为 D．螺钉随升降机从井底出发到落回井底共用时 【答案】C 【详解】A．螺钉松脱时具有与升降机相同的初速度（5 m/s竖直向上），因此其运动为竖直上抛而非自由落体，故A错误； B．升降机在3秒内匀速上升的位移为 螺钉在3秒内做竖直上抛运动的位移为（取向上为正方向） 矿井深度为升降机上升位移与螺钉下落位移绝对值之和，故B错误； C．螺钉落到井底时的速度为 速度大小为25 m/s，方向向下，故C正确； D．螺钉松脱前，升降机从井底到松脱点的时间为 螺钉总运动时间为松脱前时间与松脱后时间之和，故D错误。 故选C。 10．如图甲所示，在一条平直公路上，甲、乙两车（看成质点）分别在各自的车道上做直线运动。时刻，甲从静止开始做加速度大小为的匀加速直线运动，乙做初速度大小为的匀加速直线运动，两车运动的图像如图乙所示。两车分别在和时并排行驶（相当于相遇），时刻两车达到共同速度，则下列说法错误的是（　　） A．两车速度相等的时刻为 B．乙的加速度大小为1m/s2 C．两车的共同速度大小为10m/s D．时刻、两车的距离为13.5m 【答案】C 【详解】AB．由题意，两车在和时并排行驶，说明在到时间内两车的位移相等。甲在该段时间内的位移 乙在该段时间内的位移 由 解得 两车速度相等时 即 代入数据解得，故AB正确； C．两车的共同速度，故C错误； D．时，甲的位移 乙的位移 因为此时两车并排，所以时刻两车的距离，故D正确。 本题选择错误的，故选C。 11．带传感器的A、B两个小车同时从同一位置沿同一方向运动，通过计算机进行数据处理，得到了它们的图像如图中A、B直线所示。已知两个小车可视为质点，小车在发动机作用下加速，在摩擦阻力作用下减速。下列说法中正确的是（     ） A．A、B两个小车均做匀减速直线运动 B．B小车的加速度大小为 C．A、B两个小车在2s时相遇 D．相遇前两个小车间的最大距离为4m 【答案】D 【详解】AB．由图像可知A、B两个小车的为直线，所以有 整理有 所以A小车的位移 B小车的位移 结合匀变速直线运动的位移时间关系 可知，，， 所以A小车做匀减速直线运动，B小车做匀加速直线运动，故AB错误； C．A、B两个小车相遇时有 即 解得 但此时 由题意可知小车A在阻力作用下减速运动，最终速度为0，所以 解得，故C错误。 D．当A、B两个小车速度相等时距离最大，所以有 即 解得 此时，故D正确； 故选D。 12．A、B两辆汽车同时从坐标原点沿同一方向做直线运动，A车做刹车运动，它们速度的平方v2随位置x变化的图像如图所示，分别对应直线A和直线B，在A车停止前，下列说法正确的是（　　） A．汽车A、B的加速度大小相等 B．汽车B先到达x=9m处 C．汽车A、B之间最大距离为6m D．汽车A、B在x=6m处相遇 【答案】C 【详解】A．汽车B的加速度大小为 斜率为 解得 汽车A的初速度大小为，根据 可得汽车A的加速度大小为 ， 可知汽车A、B的加速度大小不相等，A错误； BD．汽车A到达9m处的时间 汽车B到达9m处的时间 解得 汽车A先到达x=9m处，可知两车将在x=9m处相遇，BD错误； C．速度相等时所用的时间 解得， 两辆汽车的位移分别为 ， 最大距离为   汽车A、B之间最大距离为6m，C正确； 故选C。 13．我国（电子不停车收费系统）已实现全国联网，大大缩短了车辆通过收费站的时间。一辆汽车以20m/s的速度驶向高速收费口，到达自动收费装置前开始做匀减速直线运动，经4s的时间速度减为5m/s且收费完成，司机立即加速，产生的加速度大小为，假设汽车可视为质点。则下列说法正确的是（　　） A．汽车加速4s后速度恢复到20m/s B．汽车开始减速时距离自动收费装置110m C．汽车由于通过自动收费装置耽误的时间为3.75s D．汽车从开始减速到速度恢复到20m/s通过的总路程为120m 【答案】C 【详解】A．汽车加速过程的时间为，有 解得，故A项错误； B．汽车减速过程的位移为，有 解得，故B项错误； D．设汽车的加速位移为，有 解得 所以总路程为，故D项错误； C．由上述分析可知，汽车经过收费过程的位移为125m，若匀速通过，则有 解得 则通过自动收费装置耽误的时间为，故C项正确。 故选C。 14．某物体由静止开始做变速直线运动，加速度a与时间t的图像如图所示，关于此运动（　　） A．这是匀变速直线运动 B．这是加速度变大的加速运动 C．经过5秒物体的速度达到37.5m/s D．10s后物体停止运动 【答案】C 【详解】AB．由图可知，物体的加速度不断减小，不是匀变速直线运动，故AB错误； C．t=5s时，0~5s的a-t图像为梯形，面积绝对值代表速度的变化，大小为 初速度为0，因此5s末速度为37.5 m/s，故C正确； D．10s末的速度等于0~10s三角形面积的绝对值，大小为 速度不为零；10s后加速度为0，物体做匀速直线运动，不会立即停止，故D错误。 故选C。 15．上世纪50年代，ABS“防抱死系统”开始应用于飞机和火车．现在，ABS系统几乎已经成为民用汽车的标准配置．一实验小组做了某型民用汽车在有、无ABS的情况下“60~0km/h全力制动刹车距离测试”，测试结果如图所示．由图推断，两种情况下汽车的平均加速度之比a有：a无 为 A． B．3 : 4 C．4 : 3 D． 【答案】C 【详解】据得，， 故C项正确，ABD三项错误． 能力进阶 16．（多选）如图所示，时，一物体从光滑斜面上的A点由静止开始沿斜面向下做匀加速直线运动，经过B点后进入水平面做匀减速直线运动（经过B点前后速度大小不变），最后停在C点。每隔物体的瞬时速度记录在下表中，则下列说法中正确的是（     ） 0 2 4 6 0 12 18 12 A．A、B间的距离等于B、C间的距离 B．段与段平均速度大小不相等 C．物体运动过程中的最大速度为20m/s D．物体运动过程中总路程为 【答案】CD 【详解】AB．由速度变化规律得斜面运动的加速度 水平面运动的加速度 设物体到达点的时刻为，速度为，由斜面段匀变速直线运动的速度与时间关系得 在时，水平段的速度为，由速度与时间关系得 联立得， 由匀变速直线运动的位移与时间关系得 由匀变速直线运动的速度与位移关系得 解得 由，可知、间、与间距离不等。由匀变速直线运动的平均速度公式得，，故AB错误； C．物体在点前做匀加速直线运动、在点后做匀减速直线运动，由前述计算得，故C正确； D．由前述计算得，故D正确。 故选CD。 17．（多选）如图所示，一列火车由36节紧密连接的相同车厢组成，站台上某同学位于第1节车厢前端的观察点观察火车的运动。火车从静止开始做匀加速直线运动，从第5节车厢的前端刚到达观察点时开始计时，经18s第17节车厢的前端恰好到达观察点，下列说法正确的是（　　） A．前4节车厢通过观察点的时间为9s B．全部车厢通过观察点的时间为54s C．前9节车厢通过观察点的时间为全部车厢通过观察点的时间的一半 D．前18节车厢和后18节车厢通过观察点的时间之比为 【答案】BC 【详解】A．根据初速度为零匀加速比例关系可知，每节车厢经过的时间之比为 设比例系数为k，第5节车厢的前端刚到达观察点时开始计时，经18s第17节车厢的前端恰好到达观察点，则 解得 前4节车厢通过观察点的时间为，故A错误； B．全部车厢通过观察点的时间为，故B正确； C．前9节车厢通过观察点的时间为，是总时间的一半，故C正确； D．前18节车厢和后18节车厢通过观察点的时间之比为，故D错误。 故选BC。 18．（多选）一根长L=0.8m的棒，上端悬挂在天花板上的O点，在棒的正下方，距棒的下端也为L=0.8m处固定着一个高H=3.4m的空心圆筒。如图所示，现将棒由静止释放（视为自由落体运动），重力加速度g取10m/s2，则（　　） A．棒的上端到达圆筒上端时棒的速度v1=4m/s B．棒的上端穿出圆筒瞬间棒的速度v2=10m/s C．棒穿过圆筒所用的时间t=0.6s D．若改用长L=1.6m棒，则从O点静止释放到穿出圆筒过程所用时间更短 【答案】BC 【详解】A．棒的上端到达圆筒上端时，棒的位移为2L，根据自由落体运动速度-位移公式 可得，故A错误； B．棒的上端穿出圆筒瞬间，棒的位移为2L+H，根据自由落体运动速度-位移公式 可得，故B正确； C．棒的下端到达圆筒上端时，棒的位移为L，根据自由落体运动位移-时间公式 解得； 棒的上端穿出圆筒瞬间速度，根据自由落体运动速度-时间公式 解得； 棒穿过圆筒所用的时间，故C正确； D．若改用长L=1.6m棒，从O点静止释放到穿出圆筒过程，棒的位移仍为1.6m+3.4m=5m，根据自由落体运动位移-时间公式 解得，故D错误； 故选BC。 19．（多选）某人在离地面高为30米处以的速度竖直向上抛出一个小球，小球运动到离抛出点15m处所经历的时间是（不计空气阻力，g取）（　　） A．1s B．3s C．5s D． 【答案】ABD 【详解】以抛出点为原点，竖直向上为正方向，初速度，加速度，小球位移公式为 情况1：小球在抛出点上方处，即 即 解得， 情况2：小球在抛出点下方处，即 即 解得 取正值 故选ABD。 20．一辆汽车A沿水平车道以的速度向东做匀速直线运动，发现在相邻车道前方相距处有以的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车，其刹车的加速度大小，从此刻开始计时，若汽车A不采取刹车措施，汽车B刹车直到静止后保持不动，求： (1)B车刹车末的瞬时速度大小； (2)汽车A追上汽车B前，A、B两汽车间的最远距离； (3)汽车A恰好追上汽车B所需要的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意知，B车刹车的加速度大小为，故末B车的瞬时速度大小为 （2）在B车刹车的初始阶段，由于B车的速度比A车大，故两车间距增大；当两车速度相等时相距最远，由（1）问可知，末B车的瞬时速度大小为 即时刻，两车速度大小相等，此时汽车A的位移为 汽车B的位移为 此时A、B两汽车间的距离为 （3）汽车B从开始减速直到静止经历的时间为 由速度位移公式有 代入数据，解得汽车B从开始减速直到静止的位移大小为 在该段时间内汽车A的位移大小为 故B从开始减速直到静止两车的距离为 可知汽车B停止时汽车A还未追上，之后汽车A做匀速直线运动，追上汽车B还需用时 故汽车A恰好追上汽车B所需要的时间 21．一辆警车停在平直公路旁，突然接到指令，在离警车的另一足够长的平直公路（两公路相互垂直）上，一辆交通肇事的货车正在逃窜，要求警车拦截。接到指令后，警车启动后以大小的加速度匀加速行驶前往拦截，当警车刚启动时，以大小的速度匀速逃窜的货车到两路交叉口的距离，如图所示。已知警车达到最大速度后匀速行驶，警车在路口转弯的速度大小不变，不计转弯时间，两车均视为质点。 (1)证明警车不能在路口拦截到货车（要求写出相关的计算过程）； (2)若其他情况不变，当警车到达路口时，货车发现警车，此后货车以大小的加速度匀加速逃窜，达到最大速度后匀速行驶，求警车启动后追上货车所用的时间t。 【答案】(1)见解析 (2)40s 【详解】（1）设货车到达路口所用的时间为，有 解得 警车加速到最大速度所用的时间 设警车到达路口所用的时间为，有 解得 因为，所以警车不能在路口拦截到货车。 （2）设从警车到达路口至货车刚达到最大速度的时间为，有 解得 在这段时间内，警车与货车行驶的距离分别为， 因为 所以当货车刚达到最大速度时，警车尚未追上货车，设从货车刚达到最大速度至警车追上货车的时间为，有 解得 警车启动后追上货车所用的时间 22．跳伞运动员在时从某一高度跳伞，开始一段时间由于降落伞没有打开，可近似看作做自由落体运动，时打开降落伞（打开时间不计），之后看做匀减速直线运动，又经过到达地面，此时速度，重力加速度。求： (1)跳伞运动员做匀减速直线运动的加速度； (2)跳伞运动员开始跳伞时距地面的高度； (3)跳伞运动员的速度为时距地面的高度。 【答案】(1)，方向竖直向上 (2) (3)或 【详解】（1）自由落体末速度为 跳伞运动员做匀减速直线运动的加速度 负号表示方向竖直向上。 （2）跳伞员自由下落下落的高度为 打开伞时距地面的高度 则跳伞运动员开始跳伞时距地面的高度 （3）跳伞运动员在自由落体阶段速度为时，自由下落的高度为 则有 解得 此时距地高度 跳伞运动员在匀减速阶段速度为时，有运动学公式 求得 此时距地高度 23．ETC是电子不停车收费系统的简称。汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流程如图所示。假设汽车以行驶，如果过ETC通道，需要在收费站中心线前处减速至，以速度匀速行驶通过中心线，再加速至行驶；如果过人工收费通道，需要在收费站中心线处停车，经时间缴费后，再加速至行驶。设汽车加速和减速过程的加速度大小均为求： (1)通过ETC通道的车辆从开始减速到恢复初始速度所经历的时间； (2)若两辆汽车一开始在两个车道并排行驶，一辆通过人工收费通道，另一辆通过ETC通道，到两辆汽车都恢复正常行驶的过程中，二者之间的最大距离； (3)汽车通过ETC通道比通过人工收费通道节约多长时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据对称性可知，通过ETC通道的车辆加速和减速的时间均为 车辆匀速过程的时间为 则通过ETC通道的车辆从开始减速到恢复初始速度所经历的时间为 （2）通过ETC通道的车辆从开始减速到恢复初始速度所通过的位移大小为 通过人工收费通道的汽车减速过程和加速过程所用时间均为 通过人工收费通道的汽车减速过程和加速过程通过的位移大小均为 通过人工收费通道的汽车从开始减速到恢复原来速度所用的总时间为 通过ETC通道的车辆在60s内通过的总位移大小为 则二者之间的最大距离为 （3）通过人工收费通道的汽车从减速到恢复原来速度通过的总位移大小为 在400m内，通过ETC通道的汽车以初速度匀速运动的时间为 则汽车通过ETC通道比通过人工收费通道节约的时间为 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 匀变速直线运动 复习要点 1.会完成小车速度随时间变化的实验，掌握打点计时器纸带的数据处理方法，会绘制、分析 v‑t 图像，会由图像判断匀变速直线运动。 2.理解匀变速直线运动定义：加速度恒定的直线运动，区分匀加速、匀减速直线运动；熟练掌握三大核心公式，能合理选择公式进行计算。 3.掌握推论：中间时刻瞬时速度、中间位置瞬时速度、逐差法、连续相等时间位移差公式，会用推论简化运算。 4.能够处理多过程运动、刹车问题、追及相遇问题，会结合 v‑t 图像分析运动过程。 5.掌握自由落体运动规律，知道自由落体条件、重力加速度，熟练应用自由落体公式解题。 6.能辨析本章易错陷阱，建立分段处理多过程问题的思维，规范物理计算题书写格式。 复习重难点 重点： 1.匀变速直线运动的定义和特点，能从 v-t 图像或运动描述中识别匀变速直线运动。 2.匀变速直线运动的速度公式、位移公式、速度位移关系式，能根据已知条件合理选用公式求解运动学问题。 3.自由落体运动的条件和规律（，，），能运用规律解决相关问题。 4.探究小车速度随时间变化规律的实验操作、数据处理和图像分析。 难点： 1.利用 v-t 图像面积推导位移公式，理解 "分割→近似→累加→取极限" 的微元法思维过程，深化极限思想。 2.匀变速直线运动常用推论（中间时刻速度、逐差法、初速度为零的比例关系等）的推导和适用条件，避免死记硬背、滥用推论。 3.多过程运动问题的分析，明确各阶段的运动特点和衔接条件。 4.追及相遇问题的分析，理解 "速度相等" 这一临界条件的物理意义，能建立位移关系和速度关系方程。 要点 匀变速直线运动的基本公式 一、匀变速直线运动速度与时间的关系 1.定义：沿着一条直线，且加速度 的运动。 2.v－t图像：匀变速直线运动的v－t图像是一条 。 3.特点：(1)运动轨迹是直线。 (2)在相等时间内的速度变化量 ，即＝常量，即加速度恒定不变。 4.分类 (1)匀加速直线运动：速度随时间 。 (2)匀减速直线运动：速度随时间 。 5.速度与时间的关系式：v＝ 。 二、匀变速直线运动的位移 1.利用图v－t图像求位移： v－t图像与时间轴所围的梯形 表示位移，如图所示，x＝(v0＋v)t。 2.匀变速直线运动位移与时间的关系式：x＝ ，当初速度为0时，x＝ 。 3.速度与位移关系：v2－v＝ 要点速测 1．质点做直线运动的位移与时间的关系为（各物理量均采用国际单位），则该质点下列说法不正确的是（　　） A．初速度大小是4m/s B．前2s内的平均速度大小是8m/s C．加速度大小是2m/s2 D．任意相邻的1s内位移差大小都是4m 2．无人驾驶技术在复杂道路上推广应用，还有诸多难题亟待解决，速度的变化需要时间，汽车在这段时间内会发生位移，汽车紧急刹车，会在路面上留下刹车痕迹，某次汽车紧急刹车后测得的刹车痕迹长为25m，假设制动后汽车做加速度大小恒为的匀减速直线运动直到停止，则关于该汽车的运动下列说法正确的是（     ） A．刚刹车时，汽车的初速度大小为 B．刹车后汽车第4秒内的位移大小为 C．刹车后汽车6秒内的位移大小为 D．刹车后汽车第1秒和第3秒内的位移之比为5∶1 要点 自由落体运动 1.特点： (1)运动特点：初速度等于 。 (2)受力特点： 作用。 2.自由落体加速度 (1)方向： 。 (2)大小：①g值随纬度升高而 ，随高度增加而 。 ②一般计算中g可以取9.8 m/s2或10 m/s2。 3.自由落体运动规律 (1)速度公式：v＝ (2)位移公式：h＝ (3)速度—位移公式：v2＝ 要点速测 3．关于自由落体运动，下列说法中正确的是（　　） A．做自由落体运动的物体不受任何外力作用 B．物体受到的重力越大，下落的速度就越快 C．加速度为自由落体加速度的运动就是自由落体运动 D．在空气中从静止释放物体，若阻力相比于重力可以忽略，可以视为自由落体运动 4．利用落体运动规律可估测人的反应时间。如图，甲同学捏住直尺顶端，使直尺保持竖直状态，乙同学用一只手在直尺0刻线位置做捏住直尺的准备，但手不碰到直尺。当乙看到甲放开直尺后立即捏住直尺。若乙捏住位置的刻度为h，下列说法正确的是（　　） A．h越大，说明反应时间越短 B．测得乙同学抓住尺子h=20cm处，则可得乙同学的反应时间约为0.2s C．若乙同学手指张开的角度太大，则测得的乙同学的反应时间偏小 D．若以相等的时间间隔在该直尺的另一面重新标记出表示反应时间的刻度线，则时间刻度线在直尺上的分布是均匀的 要点 实验：探究小车速度随时间变化的规律 1.实验原理 (1)利用纸带计算瞬时速度：以纸带上某点为中间时刻取一小段位移，用这段位移的 速度表示这点的瞬时速度。 (2)用v－t图像表示小车的运动情况：以速度v为纵轴、时间t为横轴建立直角坐标系，用描点法画出小车的v－t图像，图线的倾斜程度表示 度的大小，如果v－t图像是一条倾斜的直线，说明小车的速度是均匀变化的。 2.瞬时速度的求解方法：时间间隔很短时，可用某段时间的平均速度表示这段时间内 时刻的瞬时速度，即vn＝。 3.求解加速度方法 (1)逐差法：Δx＝ ，只要小车做匀变速直线运动，它在任意两个 的时间间隔内的位移之差就一定 。 要点速测 5．某学生利用“研究匀变速直线运动”的实验装置来测量一个质量为的重锤下落时的加速度值，该学生将重锤固定在纸带下端，让纸带穿过打点计时器，实验装置如图甲所示。 (1)以下是该同学正确的实验操作和计算过程，请填写其中的空白部分： ①实验操作：器材安装完毕，____________，再释放纸带，让重锤自由落下，待纸带全部通过打点计时器后，关闭电源。 ②取下纸带，取其中一段清晰的点，每隔一个点标出计数点如图乙所示，测出相邻计数点间的距离分别为，，，，已知实验时每隔打一个点，则重锤运动的加速度的代数表达式为____________（用和T的字母代数表达式表示）。 ③打点计时器打下C点时纸带的速度________（结果保留3位有效数字）。 (2)如果实验时交变电压频率稍有波动，从变成，而做实验的同学并不知道，仍按进行数据处理，那么③中算得的与实际值相比__________。（选填：“偏大”、“偏小”或“不变”） 6．打点计时器是高中物理实验中常用的实验器材，请你完成下列有关问题： (1)如图甲、乙所示是两种打点计时器的图片，其中甲是___________打点计时器，使用的电源为___________（选填“交流”或“直流”）电源；图乙是 ___________打点计时器，采用的电源为___________V。 (2)在“测定匀变速直线运动加速度”的实验中，下列选项符合实验操作规范的是___________。 A．释放小车前，将小车置于远离打点计时器的位置 B．安装器材时需要调节定滑轮使细线与木板平行 C．使用打点计时器时，接通电源后立即释放小车 D．打点结束后，先关闭电源再取下纸带备用 (3)某次实验过程中，用打点计时器打出的纸带如图所示，从某一清晰点开始，标出7个计数点A、B、C、D、E、F、G（相邻两计数点之间还有四个点未画出），相邻两计数点的间距如图所示，已知纸带左端与小车相连接，电源的频率为50Hz，则小车做___________（填“加速”或“减速”）直线运动，相邻两计数点之间的时间间隔T=___________s，打下B点时小车运动的速度大小为vB=___________m/s，小车的加速度大小为a=______ m/s2。（计算结果均保留2位有效数字） 难点 匀变速直线运动推论 1.中点时刻的速度：＝== 2.中点位置的速度：v＝ 注意：不论物体做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动，总有中点位置速度 中点时刻的速度。 3.逐差法：公式Δx＝aT2 (1)判断物体是否做 直线运动 如果Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做 直线运动。 (2)求加速度：利用Δx＝aT2，可求得a＝。 (3)推论：xm－xn＝(m－n)aT2。 4.初速度为零的匀加速直线运动的比例关系 (1)初速度为零的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T) ①1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n ②1T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比：x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶4∶9∶…∶n2 ③第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比： xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝ (2)初速度为零的匀加速直线运动，按位移等分(设相等的位移为x0) ①通过x0、2x0、3x0、…、nx0所用时间之比：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶ ②通过连续相同的位移所用时间之比：tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tN＝ ③通过位移x0、2x0、3x0、…、nx0的瞬时速度之比：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶ (3)注意：①比例式解题适用于初速度为零的匀加速直线运动。 ②对末速度为零的匀减速直线运动，可 分析应用比例关系解答。 难点 运动学常见的图像 1.v-t图像 物理意义 表示物体速度随时间变化的规律 识图五要素 线 直线表示匀变速直线运动或者匀速直线运动；曲线表示非匀变速直线运动 斜 （切线）直线斜率表示物体（瞬时） ；上倾为 ，下斜为 ；陡缓示大小 面 阴影部分的面积表示物体某段时间内发生的位移；t轴上为 ，t轴下为 点 两图线交点，说明两物体此时刻速度 截 纵截距表示物体初速度 2.x-t图像 物理意义 表示物体位置随时间变化的规律，不是物体运动的轨迹 识图五要素 线 直线表示物体做匀速直线运动或物体静止；抛物线表示物体做匀变速直线运动 斜 （切线、割线）直线斜率表示物体 ；上倾为 ，下斜为 ；陡缓示大小 面 图线与坐标轴所围图形面积无意义 点 两图线交点，说明两物体此时刻 截 纵截距表示开始计时物体位置 3.x/t-t图像 物理意义 表示物体x/t这一物理量随时间变化的规律 识图五要素 线 倾斜直线表示物体做匀变速直线运动；平行于t轴的直线表示物体做匀速直线运动 斜 倾斜直线斜率；上倾为 ，下斜为 ；陡缓示大小 面 图线与坐标轴所围图形面积 表示物体某段时间发生的位移 点 两图线交点，说明两物体此时刻 截 纵截距表示物体初速度 4.v2-x和x-v2图像 物理意义 表示物体v2随位移变化的规律 识图五要素 线 倾斜直线表示物体做匀变速直线运动 斜 v2-x图线斜率 ；x-v2图线斜率；上倾为 ，下斜为 ；陡缓示大小 面 图线与坐标轴所围图形面积无意义 点 两图线交点，表示某一位置的速度平方值相同 截 在v2-x图线中纵截距表示物体初速度平方；在x-v2图线中横截距表示物体的初速度平方 5.v-x和x-v图像 物理意义 表示物体速度随位移变化的规律 识图五要素 线 曲线为抛物线表示物体做匀变速直线运动 斜 v-x图线斜率；x-v图线斜率；上倾为 ，下斜为 面 图线与坐标轴所围图形面积无意义 点 两图线交点，表示某一位置的速度相同 截 在v-x图线中纵截距表示物体初速度；在x-v图线中横截距表示物体的初速度 6.a-t图像 物理意义 表示物体加速度随时间变化的规律 识图五要素 线 倾斜直线表示a均匀变化；平行与t轴直线表示a恒定；曲线表示a非均匀变化；a方向：t上为正，t下为负 斜 斜率表示物体 ，即加速度变化的快慢 面 图线与坐标轴所围图形面积表示物体某段时间内 ；t上为正，t下为负 点 两图线交点，说明两物体此时刻加速度相等 截 纵截距表示物体初加速度 难点 竖直上抛运动 1.实质：初速度v0≠0、加速度a＝－g的 直线运动(通常规定初速度v0的方向为正方向，g为重力加速度的大小)。 2.规律： 基本公式 推论 3.特点 ①对称性：时间对称性：对同一段距离，上升过程和下降过程所用 相等。 速度对称性：上升过程和下降过程通过同一点时速度大小相等，方向 。 ②多解性：通过某一点可能对应两个时刻，即物体可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段。 难点 追及相遇问题 1.两个分析技巧:可概括为“一个临界条件”“两个等量关系” (1)一个临界条件： 。它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件,也是分析判断问题的切入点。 (2)两个等量关系： 等量关系和 等量关系。通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口。 2.能否追上的判断方法 物体B追赶物体A:开始时,两个物体相距x0,到vA=vB时,若xA+x0<xB,则能追上;若xA+x0=xB,则恰好能追上或恰好不能追上;若xA+x0>xB,则不能追上。 3.三种分析方法 (1)分析法：应用运动学公式,抓住一个条件、两个关系,列出两物体运动的时间、位移、速度及其关系方程,再求解。 (2)极值法：设相遇时间为t,根据条件列出方程,得到关于t的一元二次方程,再利用数学求极值的方法求解。在这里,常用到配方法、判别式法、重要不等式法等。 (3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像。位移图像的交点表示相遇,速度图像抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系。 考点 匀变速直线运动基本规律和推论的应用 ▌例1-1一物体以初速度做匀减速直线运动，第1s内通过的位移为，第2s内通过的位移为，又经过位移物体的速度减小为0，则下列说法中正确的是（　　） A．初速度的大小为2.5m/s B．加速度a的大小为 C．位移的大小为1m D．位移内的平均速度大小为0.75m/s ▌例1-2一物体做匀加速直线运动，某段过程的初速度大小为，末速度大小为。关于此段过程，下列说法正确的是（　　） A．中间时刻的速度大小为 B．中间位置的速度大小为 C．前一半位移与后一半位移所用的时间之比为 D．前一半时间与后一半时间通过的位移大小之比为 ▌例1-3如图所示，三块由同种材料制成的木块A、B、C固定在水平地面上，一颗水平飞行的子弹以速度击中木块A，并恰好能穿过全部木块。假设子弹穿过木块过程中受到的阻力大小不变，下列说法中错误的是（     ） A．若三块木块的长度相等，则依次穿过三块木块的时间之比为 B．若三块木块的长度相等，则穿出第二块时的速度为 C．若穿过三块木块所用的时间相等，则三块木块的长度之比为 D．若穿过三块木块所用的时间相等，则穿出第二块时的速度为 ▌迁移练1-1 从固定斜面上的点每隔0.1s由静止释放一个同样的小球，释放后小球做匀加速直线运动。某一时刻，拍下小球在斜面滚动的照片，如图所示，测得小球相邻位置间的距离，。已知点距离斜面底端的长度为，由以上数据可以得出（     ） A．小球的加速度大小为 B．小球在点的速度为 C．斜面上最多有5个小球在滚动 D．该照片是位于位置的小球释放后拍摄的 ▌迁移练1-2 如图所示，冰壶比赛中，运动员将冰壶以某一速度沿冰面掷出，冰壶沿虚线做匀减速直线运动，垂直进入四个完全相同的矩形区域，离开第四个矩形区域边缘的E点时速度恰好为零。则（　　） A．冰壶在B点和D点的速度之比为3∶1 B．冰壶在C点速度大于AE过程的平均速度 C．冰壶在C点的时刻是AE过程的时间中点 D．冰壶在AC和CE过程的时间之比为1∶2 ▌迁移练1-3 如图所示，某列车在一次运行测试中，从点开始做匀减速直线运动，通过连续四段相等的位移，运动到点时速度减为零，列车可视为质点。下列说法正确的是（　　） A．段和段所用时间之比为 B．段的平均速度等于通过点的瞬时速度 C．段和段的平均速度大小之比为 D．、点时的速度大小之比为 考点 运动学常见图像问题 ▌例2-1一玩具小车在平直路面上做性能测试，图像如图所示。时刻物体从原点开始运动，取向右为速度v的正方向，则（     ） A．时，小车的加速度为零 B．0∼6s内，小车距原点最大位移为6m C．0∼6s内小车一直做匀变速直线运动 D．时，小车的加速度大小为，方向向左 ▌例2-2A、B两个物体在同一直线上运动，其x－t图像分别为曲线a和直线b，其中直线b与曲线a相切于点（6，18），a、b与纵轴相交于－6m和12m点。已知A做匀变速直线运动，下列说法正确的是（　　） A．A、B两物体运动方向相反 B．前6s内A的平均速度是B的平均速度的4倍 C．t＝0时刻，A的速度为－7 m/s D．A的加速度为1 m/s2 ▌例2-3某国产电动汽车进行制动测试实验，在平直道路上急踩刹车，用传感器记录位移与时间的比值随刹车时间t变化的规律，其图像如图所示，下列说法正确的是（     ） A．刹车过程中加速度大小为 B．4s时车速大小为28m/s C．自刹车开始4s内汽车位移为128m D．自刹车开始10s内该车的位移大小为162m ▌例2-4近期特斯拉电动车刹车问题成为媒体热点，为检测某新能源动力车的刹车性能，如图所示是一次在平直公路上实验时，某新能源动力车整个刹车过程中位移与速度平方之间的关系图像，下列说法正确的是（　　） A．刹车过程经过6s时新能源动力车的位移为30m B．刹车过程新能源动力车的加速度大小为5m/s2 C．刹车过程持续的时间为10s D．新能源动力车的初速度为40m/s ▌例2-5一汽车在平直的水平路面上以的速度匀速行驶，突然发现正前方有一障碍物而紧急刹车，刹车过程可视为匀减速直线运动，其位移x与速度v的关系图像如图所示。则汽车（　　） A．刹车时间为1.25s B．刹车时间为5s C．停止前1s内的位移为2m D．停止前1s内的位移为4m ▌例2-6手机装上app后可测磁场、加速度、纬度等多种物理量。小明买车时用手机来测试新车的性能。时刻启动车辆后，手机记录了60s内车运动的加速度随时间变化图像如图，可知（　　） A．010s内汽车的速度计示数保持不变 B．20s时汽车速度计指在示数0位置 C．40s时汽车速度计指在示数72km/h的位置 D．50s后汽车停下 ▌迁移练2-1 高速公路不停车电子收费系统简称ETC，如图为某汽车经过ETC通道过程中的图像。下列关于该汽车运动状态的判断正确的是（　　） A．内汽车平均速度为 B．内汽车处于静止状态 C．内汽车加速度大小为 D．内汽车总位移大小为 ▌迁移练2-2 如图所示为一质点做直线运动的位置x随时间t变化的规律图像。已知物体在0~1s做匀速直线运动，在1~4s做匀变速直线运动，则由图可知下列说法中正确的是（  　） A．质点在3s时的瞬时速度大小为3m/s B．0~4s内质点的平均速率为1.75m/s C．0~1s内质点运动速度为3m/s D．0~4s内质点的平均速度大小为1.75m/s ▌迁移练2-3 一小球从固定斜面顶端由静止释放，下滑一小段距离后，开始计时。采集从计时位置开始下滑位移与时间的相关数据，并作出的图像如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．计时开始时小球的速度大小为0 B．小球下落的加速度大小为 C．从计时开始，小球在第内的平均速度大小为 D．从计时开始经后小球恰好下滑至斜面底端，则斜面长度为 ▌迁移练2-4 某自主品牌的一款无人驾驶汽车在直线测试时的速度平方与位移关系图像如图所示。自经过x=0位置时开始计时，下列说法正确的是（  ） A．汽车在2s内的位移为20m B．汽车做匀减速直线运动，且加速度大小为10m/s2 C．汽车停下来所用时间为1.2s D．汽车共运行了4m ▌迁移练2-5 一质点做初速度为零的匀加速直线运动，x-v（位移-速度）图像如图所示，由此可知（　　） A．质点的加速度为1m/s2 B．质点的位移为16m时运动时间为5s C．质点的位移为6m时，速度大小为4.5m/s D．0~10s内质点的位移为100m ▌迁移练2-6 物理兴趣小组将遥控小车置于水平地面上，使遥控小车从静止开始沿直线运动，从开始运动开始计时，通过加速度传感器记录下了0~12s内遥控小车在运动方向上的加速度随时间变化的图像，如图所示，则12s末遥控小车的速度大小为（　　） A．4m/s B．6m/s C．8m/s D．10m/s 考点 自由落体运动和竖直上抛运动 ▌例3-1高空作业的电业工人，在操作时不慎将一螺母由静止从高处脱落，它在落到地面前的1s内下落了35m，不计空气阻力，g取，则螺母（　　）。 A．在空中下落的总时间为4s B．在空中下落的总时间为3s C．在脱落后的第1s内与第2s内的位移之比为1∶2 D．在脱落后的第1s末与第2s末的速度之比为 ▌例3-2小球以某一速度竖直上抛，在上升过程中，小球在最初1s内的上升高度是其上升过程正中间1s内上升高度的倍，不计空气阻力，重力加速度，则下列说法正确的是（　　） A．小球上升的时间为5s B．小球上升的最大高度为 C．小球中间1s内上升的高度为 D．小球最初1s内上升的高度为 ▌迁移练3-1 如图是必修第一册封面上的沙漏照片，为了进一步研究，小林同学找到一个沙漏，设点为出沙口，点在点正下方处（高于沙粒的堆积高度），若近似认为沙粒下落的初速度为0，忽略空气阻力，不计沙粒间的相互影响，设沙粒随时间均匀漏下，重力加速度。下列说法正确的是（    ）    A．沙粒下落到点时的速度大小为 B．沙粒从点下落到点的时间为 C．沙粒从点下落和内的位移之比为 D．沙粒从点下落和时的速度之比为 ▌迁移练3-2 如图所示，小球B（视为质点）以速度从地面开始做竖直上抛运动，到达最高点（位于虚线上）时，小球A（视为质点）也以速度从地面开始做竖直上抛运动，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则（　　） A．A、B落地的时间差为 B．A上升过程的平均速度小于B下降过程的平均速度 C．A抛出后经过时间与B位于同一水平面 D．A抛出后经过时间与B位于同一水平面 考点 追及与相遇问题 ▌例4-1高速公路应急车道是为工程抢险、医疗救护等应急车辆设置的专用通道，是一条“生命通道”，没有特殊情况，普通车辆不能违规占用。某次节假日期间，高速公路拥堵，一救护车执行急救任务，在应急车道上以108km/h的速度匀速行驶，一段时间后发现前方100m处有车辆违规占用应急车道，该违规车辆匀速行驶，速度大小为36km/h。设该段应急车道路面平直，为了避免和违规车辆相撞，救护车被迫开始刹车的加速度大小至少为（　　） A．0.5 m/s² B．1 m/s² C．1.5 m/s² D．2 m/s² ▌例4-2甲驾驶新能源小汽车在斑马线外等待绿灯，绿灯亮起时由静止开始向前行驶，此时乙骑共享单车刚好从小汽车旁经过，甲乙两车沿直线运动的图像如图，两车可视为质点，则下列说法正确的是（　　） A．甲做匀速直线运动 B．时，甲乙两车相遇 C．若出发前乙在甲前方处，则甲、乙在末相遇 D．在甲追上乙之前，两者间最远距离为 ▌迁移练4-1 在平直公路上，自行车与同方向行驶的一辆汽车在t=0时同时经过某一个路标，它们的位移随时间t（s）变化的规律为：汽车为x=10t－t2，自行车为x=5t，（x的单位为m，t的单位是s）则下列说法不正确的是（　　） A．汽车做匀减速直线运动，自行车做匀速直线运动 B．经过路标后的较短时间内汽车在前，自行车在后 C．当两者再次同时经过同一位置时，它们距路标12.5m D．在t=2.5s时，自行车和汽车相距最远 ▌迁移练4-2 甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t=0时刻同时经过公路旁的同一个路标。在描述两车运动的v-t图中，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0~20s的运动情况。关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是（　　） A．在0~10s内两车逐渐靠近 B．在10~20s内两车逐渐远离 C．t=10s时两车相距最远，最远相距25m D．在t=20s时，乙追上甲，两车相遇 基础达标 1．汽车制动后做匀减速直线运动，经速度减小为0。这段时间内，汽车在四个连续内前进的距离分别是、、、，下列说法正确的是（　　） A．汽车的加速度大小为 B．汽车的初速度大小为 C．汽车前内的平均速度大小为 D．汽车第内的平均速度大小为 2．随着人工智能技术的发展，无人驾驶汽车已经成为智能科技的焦点。某品牌无人驾驶汽车进行刹车性能测试，得到汽车在平直路面上紧急刹车（车轮抱死）过程中的位移随时间变化的规律为（x的单位是的单位是s），则下列说法不正确的是（　　） A．该汽车刹车的初速度为 B．该汽车刹车的加速度为 C．刹车后末的速度为 D．刹车后内的位移为 3．一辆肇事汽车在紧急刹车后停了下来，路面上留下了一条车轮滑动的磨痕。警察测出路面上车轮磨痕的长度为。根据对车轮和路面材料的分析可以知道，车轮在路面上滑动时汽车做匀减速直线运动的加速度大小是，则下列说法中正确的是（　　） A．汽车刚开始刹车时的速度大小是 B．汽车做匀减速直线运动的最后1秒内的位移为 C．汽车刹车后内的位移为 D．汽车刹车后第1秒内的位移为 4．在“探究小车速度随时间变化的规律”实验中，打印出的纸带情况如图所示，图中A、B、C、D、E为相邻的计数点，相邻两计数点之间还有4个点未画出，所用交流电的频率为f，测得间距离为x1，间距离为x2，题中物理量的单位均为国际单位制中的单位。则下列说法正确的是（　　） A．一定是纸带的右端与小车相连 B．小车运动的加速度大小为 C．打点计时器打A点与E点时间间隔为 D．打点计时器在打C点时小车的瞬时速度大小为 5．如图所示，滑雪轨道由光滑的倾斜直轨道AB和粗糙的水平轨道BC组成。t=0时运动员从A点由静止开始匀加速下滑，经过B点前后速度大小不变，之后在BC上做匀减速直线运动，最后停在C点。若第2 s末和第6 s末速度大小均为8 m/s，第4 s末速度大小为12 m/s，则（     ） A．运动员在第4 s末恰好经过B点 B．运动员在第8 s末恰好停在C点 C．运动员从A到B的距离大于从B到C的距离 D．运动员在A到B的过程中平均速度大小为 6．将一物体自某一高度由静止释放，忽略空气阻力，落到地面之前瞬间的速度大小为v。在运动过程中（　　） A．物体通过前一半位移和后一半位移所用时间之比为 B．物体在前一半时间和后一半时间发生位移之比为1∶2 C．物体在位移中点的速度等于v D．物体在中间时刻的速度等于v 7．某兴趣小组利用内部气压为（可视为真空）、高的亚克力管做落体实验，将亚克力管按距离等分为四段，羽毛由静止开始从最高点A下落，经过段速度的增加量为，经过段速度的增加量为，则（　　） A．羽毛经过各点的速率之比为 B． C．羽毛经过四段位移的时间之比为 D．羽毛从A到E的平均速度比羽毛经过B点的瞬时速度更大 8．舞狮作为我国传统节目，在我国广受人们欢迎。某次舞狮表演中，两位表演者需先后从高台跃下，为保证舞狮道具不因拉扯而损坏，要求两位表演者默契配合，在一定时间间隔内相继跳下。已知高台距离地面h=3.2m，两人之间的舞狮道具长L=1.95m，表演者可认为由静止下落，设表演者落地后速度立刻减速为零，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2，完成该表演动作（从第一位表演者开始跳下到第二位表演者落地）经历的总时间最长为（　　） A．1.4s B．1.1s C．1.0s D．0.8s 9．矿井中的升降机以的速度竖直向上匀速运行，某时刻一螺钉从升降机底板松脱，经过升降机底板上升至井口，此时松脱的螺钉刚好落到井底，不计空气阻力，重力加速度g取，下列说法正确的是（　　） A．螺钉松脱后做自由落体运动 B．矿井的深度为 C．螺钉落到井底时的速度大小为 D．螺钉随升降机从井底出发到落回井底共用时 10．如图甲所示，在一条平直公路上，甲、乙两车（看成质点）分别在各自的车道上做直线运动。时刻，甲从静止开始做加速度大小为的匀加速直线运动，乙做初速度大小为的匀加速直线运动，两车运动的图像如图乙所示。两车分别在和时并排行驶（相当于相遇），时刻两车达到共同速度，则下列说法错误的是（　　） A．两车速度相等的时刻为 B．乙的加速度大小为1m/s2 C．两车的共同速度大小为10m/s D．时刻、两车的距离为13.5m 11．带传感器的A、B两个小车同时从同一位置沿同一方向运动，通过计算机进行数据处理，得到了它们的图像如图中A、B直线所示。已知两个小车可视为质点，小车在发动机作用下加速，在摩擦阻力作用下减速。下列说法中正确的是（     ） A．A、B两个小车均做匀减速直线运动 B．B小车的加速度大小为 C．A、B两个小车在2s时相遇 D．相遇前两个小车间的最大距离为4m 12．A、B两辆汽车同时从坐标原点沿同一方向做直线运动，A车做刹车运动，它们速度的平方v2随位置x变化的图像如图所示，分别对应直线A和直线B，在A车停止前，下列说法正确的是（　　） A．汽车A、B的加速度大小相等 B．汽车B先到达x=9m处 C．汽车A、B之间最大距离为6m D．汽车A、B在x=6m处相遇 13．我国（电子不停车收费系统）已实现全国联网，大大缩短了车辆通过收费站的时间。一辆汽车以20m/s的速度驶向高速收费口，到达自动收费装置前开始做匀减速直线运动，经4s的时间速度减为5m/s且收费完成，司机立即加速，产生的加速度大小为，假设汽车可视为质点。则下列说法正确的是（　　） A．汽车加速4s后速度恢复到20m/s B．汽车开始减速时距离自动收费装置110m C．汽车由于通过自动收费装置耽误的时间为3.75s D．汽车从开始减速到速度恢复到20m/s通过的总路程为120m 14．某物体由静止开始做变速直线运动，加速度a与时间t的图像如图所示，关于此运动（　　） A．这是匀变速直线运动 B．这是加速度变大的加速运动 C．经过5秒物体的速度达到37.5m/s D．10s后物体停止运动 15．上世纪50年代，ABS“防抱死系统”开始应用于飞机和火车．现在，ABS系统几乎已经成为民用汽车的标准配置．一实验小组做了某型民用汽车在有、无ABS的情况下“60~0km/h全力制动刹车距离测试”，测试结果如图所示．由图推断，两种情况下汽车的平均加速度之比a有：a无 为 A． B．3 : 4 C．4 : 3 D． 能力进阶 16．（多选）如图所示，时，一物体从光滑斜面上的A点由静止开始沿斜面向下做匀加速直线运动，经过B点后进入水平面做匀减速直线运动（经过B点前后速度大小不变），最后停在C点。每隔物体的瞬时速度记录在下表中，则下列说法中正确的是（     ） 0 2 4 6 0 12 18 12 A．A、B间的距离等于B、C间的距离 B．段与段平均速度大小不相等 C．物体运动过程中的最大速度为20m/s D．物体运动过程中总路程为 17．（多选）如图所示，一列火车由36节紧密连接的相同车厢组成，站台上某同学位于第1节车厢前端的观察点观察火车的运动。火车从静止开始做匀加速直线运动，从第5节车厢的前端刚到达观察点时开始计时，经18s第17节车厢的前端恰好到达观察点，下列说法正确的是（　　） A．前4节车厢通过观察点的时间为9s B．全部车厢通过观察点的时间为54s C．前9节车厢通过观察点的时间为全部车厢通过观察点的时间的一半 D．前18节车厢和后18节车厢通过观察点的时间之比为 18．（多选）一根长L=0.8m的棒，上端悬挂在天花板上的O点，在棒的正下方，距棒的下端也为L=0.8m处固定着一个高H=3.4m的空心圆筒。如图所示，现将棒由静止释放（视为自由落体运动），重力加速度g取10m/s2，则（　　） A．棒的上端到达圆筒上端时棒的速度v1=4m/s B．棒的上端穿出圆筒瞬间棒的速度v2=10m/s C．棒穿过圆筒所用的时间t=0.6s D．若改用长L=1.6m棒，则从O点静止释放到穿出圆筒过程所用时间更短 19．（多选）某人在离地面高为30米处以的速度竖直向上抛出一个小球，小球运动到离抛出点15m处所经历的时间是（不计空气阻力，g取）（　　） A．1s B．3s C．5s D． 20．一辆汽车A沿水平车道以的速度向东做匀速直线运动，发现在相邻车道前方相距处有以的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车，其刹车的加速度大小，从此刻开始计时，若汽车A不采取刹车措施，汽车B刹车直到静止后保持不动，求： (1)B车刹车末的瞬时速度大小； (2)汽车A追上汽车B前，A、B两汽车间的最远距离； (3)汽车A恰好追上汽车B所需要的时间。 21．一辆警车停在平直公路旁，突然接到指令，在离警车的另一足够长的平直公路（两公路相互垂直）上，一辆交通肇事的货车正在逃窜，要求警车拦截。接到指令后，警车启动后以大小的加速度匀加速行驶前往拦截，当警车刚启动时，以大小的速度匀速逃窜的货车到两路交叉口的距离，如图所示。已知警车达到最大速度后匀速行驶，警车在路口转弯的速度大小不变，不计转弯时间，两车均视为质点。 (1)证明警车不能在路口拦截到货车（要求写出相关的计算过程）； (2)若其他情况不变，当警车到达路口时，货车发现警车，此后货车以大小的加速度匀加速逃窜，达到最大速度后匀速行驶，求警车启动后追上货车所用的时间t。 22．跳伞运动员在时从某一高度跳伞，开始一段时间由于降落伞没有打开，可近似看作做自由落体运动，时打开降落伞（打开时间不计），之后看做匀减速直线运动，又经过到达地面，此时速度，重力加速度。求： (1)跳伞运动员做匀减速直线运动的加速度； (2)跳伞运动员开始跳伞时距地面的高度； (3)跳伞运动员的速度为时距地面的高度。 23．ETC是电子不停车收费系统的简称。汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流程如图所示。假设汽车以行驶，如果过ETC通道，需要在收费站中心线前处减速至，以速度匀速行驶通过中心线，再加速至行驶；如果过人工收费通道，需要在收费站中心线处停车，经时间缴费后，再加速至行驶。设汽车加速和减速过程的加速度大小均为求： (1)通过ETC通道的车辆从开始减速到恢复初始速度所经历的时间； (2)若两辆汽车一开始在两个车道并排行驶，一辆通过人工收费通道，另一辆通过ETC通道，到两辆汽车都恢复正常行驶的过程中，二者之间的最大距离； (3)汽车通过ETC通道比通过人工收费通道节约多长时间。 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $