第1章 一元二次方程巩固提升卷 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 苏科版九年级数学上册第2章一元二次方程单元复习卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三梯度设计，融合数学抽象、运算推理与模型意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|方程定义、根的性质|结合“倍根方程”创新定义，考查数学抽象能力| |填空题|6/18|配方、根与系数关系|以植物分支问题体现模型意识，强化实际应用| |解答题|8/72|解方程、几何与利润应用|动态几何（矩形面积）与一元二次方程结合，凸显运算推理与数学思维|

一元二次方程巩固提升卷答案解析 一、选择题 1. 答案：A 解析：一元二次方程需满足两个条件：最高次项次数为 2，且二次项系数不为 0。 对于方程： 次数条件：，解得； 系数条件：二次项系数，即。 综上，，故选 A。 2. 答案：B 解析：一元二次方程有两个不相等的实数根，需满足： 二次项系数不为 0：； 判别式：对于方程，，解得。 综上，的取值范围是且，故选 B。 3. 答案：A 解析：“倍根方程” 的定义是方程的两个根中，一个根是另一个根的 2 倍，逐个验证选项： 选项 A：，因式分解得，根为，满足，是倍根方程； 选项 B：，根为，不存在 2 倍关系； 选项 C：，根为，不存在 2 倍关系； 选项 D：，根为，不存在 2 倍关系。 故选 A。 4. 答案：A 解析：设所求方程的根为，根据题意，，即。 将代入原方程，得： 整理得，即所求方程为， 故选 A。 5. 答案：B 解析：设周瑜去世时年龄的十位数为，则个位数为，这个两位数可表示为。 根据 “个位数的平方等于去世时的年龄”，可列方程： 故选 B。 6. 答案：C 解析：是方程的根，因此满足。 结合选项的整数结果，代数式应为5，代入得： 故选 C。 7. 答案：A 解析：方程的平移变换： 已知方程的解为， 对于方程，令，则方程可转化为，因此的解为。 回代得：，，即方程的解为，故选 A。 8. 答案：C 解析：该新运算为，代入： 展开整理： 解得，即或，与选项完全匹配，故选 C。 9. 答案：C 10. 答案：A 解析：设运动时间为秒，根据题意： ，因此； ，由于到达的时间为秒，因此。 的面积为： 令面积为 4，得，整理得，解得或。 由于，超出运动时间，舍去，因此运动时间为 1 秒，故选 A。 二、填空题 11. 答案：8 解析：对配方： 即，因此，。 12. 答案：9 解析：方程有两个相等的实数根，判别式： 解得。 13. 答案：10 解析：矩形的边长为方程的两根 2 和 3，因此周长为。 14. 答案：9 15. 答案：1 解析：已知，，两式相减得： 分两种情况： 若，则； 若，代入原式得，解得或，因此或。 因为，则 16. 答案：或． 【解析】解：∵， 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 三、解答题 17. 解方程 (1) 因式分解得：， 解得。 (2) 配方法： 解得。 (3) 移项因式分解： 解得。 18. 解方程纠错与配方法 (1) 纠错 ① 小东的解法从第一步开始出错，因为不能直接在方程两边同时除以可能为 0 的式子，会丢失根。 ② 正确解法： 移项得，因式分解： 解得。 (2) 配方法解方程 配方： 解得。 19. 一元二次方程根的关系 (1) 求的取值范围 方程有两个不相等的实数根，判别式： 解得。 (2) 求的值 根据韦达定理，，。 由题意，代入得： 整理得，解得或。 结合，舍去，因此。 20. 方程根与直角三角形 (1) 证明有两个实数根 计算判别式： 因此无论取何值，判别式恒非负，方程总有两个实数根。 (2) 求的值 方程因式分解得，因此两根为和，即直角三角形的两边为 2、5、，分两种情况： 若为斜边，则，解得； 若 5 为斜边，则，解得。 21. 篱笆围建苗圃问题 (1) 图 1 的情况 此时篱笆围三边，平行于墙的边长为，则垂直于墙的边长为，面积为 60，因此： 整理得，解得或。 由于墙长 8m，，因此舍去，得。 (2) 图 2 的情况 此时篱笆包含补墙的部分，因此垂直于墙的边长为，面积为 60，因此： 整理得，解得或。 由于（需要补墙），因此舍去，得。 22. 配方法求最值 (1) 求的最小值 配方： 由于， 因此当时，代数式取得最小值，最小值为。 (2) 求的最值 配方： 由于， 因此当时，代数式取得最大值，最大值为。 23. 无理方程的求解 (1) 解方程 使用换元法，设， 则，代入方程： 整理得，解得或。 由于，舍去，因此， 回代得。 检验：代入原方程， 左边右边，解正确。 (2) 疑惑与解决 求解无理方程时，换元后需要注意新变量的取值范围（本题中）， 同时解完后必须检验，因为平方操作可能会产生增根， 比如本题中对应的，代入原方程不成立，需要舍去。 24. 纪念品订购问题 (1) 求订购单价 总资金 25000 元，购买 A、B 的资金比为 3:2，因此 A 的资金为 15000 元，B 的资金为 10000 元。 设 B 的单价为，则 A 的单价为，A 的数量为，B 的数量为。 根据 A 比 B 多 50 件，得： 解得，因此 B 的单价为 200 元，A 的单价为元。 (2) 求的值 原利润：A 的成本为，每件利润 25 元；B 的成本为，每件利润 40 元。原总利润为元。 降价后，A 的利润为，数量为；B 的利润为，数量为，总利润为元，因此： 整理得，解得或，舍去负数，得。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026苏科版九年级数学上册 第2章一元二次方程单元复习卷 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1、若是一元二次方程，则 m 的值为（ ） A. -3 B. 3 C. ±3 D. 9 2、若关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 3、定义：如果关于 x 的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 2 倍，那么称这样的方程为 “倍根方程”。下列方程是 “倍根方程” 的是（ ） A. B. C. D. 4、已知关于 x 的一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为（ ） A. B. C. D. 5、苏轼在《念奴娇・赤壁怀古》中提到，周瑜去世时年龄是两位数，个位数比十位数大 3，个位数的平方等于去世时的年龄。若设周瑜去世时年龄的十位数为 x，则根据题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 6、已知 m 是一元二次方程的一个根，则代数式2的值为（ ） A. 2027 B. 2028 C. 2029 D. 2030 7、已知关于 x 的方程的两个解是，，则方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8、我们规定一种新运算 “★”，其意义为，若，则 x 的值为（ ） A. -2 B. C. -2 或 D. 2 或 9、已知关于 x 的一元二次方程，△ABC 的两边 AB、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5，当△ABC 是等腰三角形时，k 的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 或 4 D. 5 10、在△ABC 中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，当点 Q 到达点 C 时，P，Q 均停止运动，若△PBQ 的面积等于 4cm²，则运动时间为（ ） A. 1 秒 B. 4 秒 C. 1 秒或 4 秒 D. 1 秒或 27.4 秒 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11、已知方程，把它化成的形式，则的值为 。 12、已知关于 x 的一元二次方程有两个相等的实数根，则 m 的值为 。 13、已知关于 x 的一元二次方程的两根为 2 和 3，那么，以这两个根为边长的矩形的周长为 。 14、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 小分支． 15、已知实数 m、n 满足，，时，则的值为 。 16、定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17、（9分）解方程： （1）。 （2）。 （3）。 18、（9分）下面是小东同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的解答． 解：方程两边同除以，得．    第一步 移项、合并同类项，得．    第二步 系数化为1，得．        第三步 任务： (1)①小东的解法从第______步开始出现错误； ②该一元二次方程的正确解为______． (2)用配方法解方程：． 19、（9分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程的两实数根，满足，求k的值． 20、（8分）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 21、（9分）学校课外兴趣活动小组准备利用长为8m的墙AB和一段长为26m的篱笆围建一个矩形苗圃园，设平行于墙一边CD长为m． （1）如图1，如果矩形花园的一边AB，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为时，求的值； （2）如图2，如果矩形苗圃园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为时，求的值． 22、（9分）学习的本质是自学．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式x2+4x+6进行了配方，发现x2+4x+6＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2，小睿发现（x+2）2是一个非负数，即（x+2）2≥0，他继续探索，利用不等式的基本性质得到（x+2）2+2≥0+2＝2，即（x+2）2+2≥2，所以，他得出结论是（x+2）2+2的最小值是2，即x2+4x+6的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． （1）求代数式m2﹣6m+10的最小值． （2）求代数式﹣2x2﹣4x+3的最值． 23、（9分）我们已探索过二元一次方程组、分式方程及一元二次方程方程的解法，在学习过程中感受到转化数学思想及检验反思的数学方法． (1)你能否用这些数学思想方法来探索方程的解？ (2)在求解的过程中，你有何疑惑，请尝试解决这些疑惑？ 24、（10分）为庆祝我校建校60周年，学校计划用25000元为从世界各地归来参加校庆的校友在某商场订购A、B两种纪念品．已知A纪念品的订购单价是B纪念品订购单价的，用于购买A纪念品的资金与购买B纪念品的资金之比为3:2，且订购的A纪念品比B纪念品多50件． （1）求A、B两种纪念品的订购单价各是多少？ （2）商场按订购单价计算，A纪念品的利润率为，B纪念品的利润率．但在实际购买时，由于学校需求量增加，且无法追加资金，商场考虑到A、B两种纪念品的库存足够多，为尽快减少库存，于是同意将A、B两种纪念品在原订购单价的基础上，分别每件都降价a元出售，学校也在原计划订购量的基础上各追加购买2a件．这样，商场按降价后的价格和数量售出这两种纪念品获得的总利润比按原订购单价和订购数量售出所获得的总利润少200元，求a的值． 学科网（北京）股份有限公司 $