第1章 一元二次方程全章高频重点题型突破（11大高频+3大重难题型，专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程全章高频重点，分基础、核心、综合三层次系统归纳题型，覆盖定义、解法、根的判别式及实际应用，注重从概念到综合应用的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|11题型|含定义求参数、解方程、根的判别式及增长率等应用|从概念辨析到基本运算，再到简单实际问题，培养运算能力与模型意识| |核心提升|3题型|涉及代数式求值、分式方程、存在性问题|深化根与系数关系及判别式综合应用，发展推理能力| |综合攻坚|综合题组|整合多知识点，含新定义及跨情境问题|构建知识网络，提升数学思维与问题解决能力|

第1章 一元二次方程全章高频重点题型突破 ◆题型01由一元二次方程的定义求参数 1．【答案】C 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 2．【答案】C 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴． 3．【答案】B 【详解】解：∵原方程是一元二次方程，其二次项系数为， ∴， 解得． 4．【答案】 【详解】解：∵原方程是一元二次方程， ∴未知数最高次数满足，且二次项系数， 解得，即或， 由得， ∴． ◆题型02由一元二次方程的根求参数 5．【答案】D 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴， ∴． 6．【答案】3 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得， 整理得，即， 解得. 7．【答案】9 【详解】解：∵根据题意，是方程的一个根， ∴ ，变形得 ， ∵， ∴， 将代入所求代数式 ， ∵， ∴原式． 8．【答案】 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， 解得． ◆题型03解一元二次方程 9．【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 10．【答案】 【详解】解：， ， ， ∴． 11．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴． （2）解：， ， 或， ∴． （3）解：， ∵， ∴． ∴． ∴． 12．【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ． （2）解：， ， ， ， ， ∴， ． 13．【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：， 直接开平方，得． 即或， 解得． （2）解：， 移项，得． 因式分解，得， 即， 解得． ◆题型04判断一元二次方程根的情况 14．【答案】C 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 15．【答案】A 【详解】解：一元二次方程为， ，，， ． 为实数， ，即． 方程必有实根． 16．【答案】B 【详解】解：A选项：方程，，无实数根； B选项：方程，，有实数根； C选项：方程，，无实数根； D选项：方程，，无实数根． 17．【答案】C 【详解】解：根据图示可得，函数中，， 关于的一元二次方程， ∴， ∴有两个不相等的实数根． 18．【答案】(1)时，方程有一个实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根 (2)这个根为3 【分析】 【详解】（1）解：当时，方程为，解得， 当时 ∵ ， 若，，则方程有两个相等的实数根； 若且，，则方程有两个不相等的实数根， 综上，当时，方程有一个实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当且时，方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根， 又∵， ∴，且 解得， ∴无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，这个根为3． ◆题型05根据一元二次方程根的情况求参数 19．【答案】B 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵ 方程有实数根， ∴，即， 解得； 综上，且． 20．【答案】A 【详解】解：当时，方程为，解得，故方程有实数根，符合题意； 当时，∵ 方程有实数根， ∴，即，解得且， 综上，的取值范围是，故选项A符合题意． 21．【答案】A 【详解】解：当，即时，原方程为， 解得，符合题意； 当，即时， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得， ∴且， 综上，． 22．【答案】D 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴． ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 两边同除以，得 ， 整理得 ． 当时，， ∴， 则 ，可能小于1也可能大于1，故A、B均不成立． 当时，， ∴， ∴，故C错误，D正确． 23．【答案】C 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， ∴， ∴， 又∵与不一定相等， ∴是直角三角形，不一定是等腰直角三角形． ◆题型06根据根与系数的关系求值 24．【答案】D 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵， ∴， 解得． 25．【答案】 【详解】解：关于x的方程的两实数根为，， 则， ，， ． 即，解得． 经检验，是原方程的解． 26．【答案】 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴． 27．【答案】或 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 解得或， ∵，即方称恒有解， ∴的值为或． ◆题型07增长率问题 28．【答案】D 【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，2月份营业额为万元，3月份营业额为万元， ∵1月、2月、3月总营业额为万元， ∴ 29．【答案】B 【详解】解：设每亩产量的年平均增长率为， ∵两年前每亩产量为吨， ∴一年后产量为吨，两年后产量为吨， ∵现在每亩产量比旧技术多吨，即现在产量为吨， ∴根据题意可列方程． 30．【答案】(1)40元 (2) 【分析】 【详解】（1）解：设售价应定为元，则每个利润为元， 由题意得， 解得：，， ∵更大程度让利消费者， ∴， 答：商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度让利消费者，售价应定为40元； （2）解：由（1）得：当售价为40元时，销量为400个， 设这两周的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这两周的平均增长率为． ◆题型08图形面积问题 31．【答案】D 【详解】解：如图，将图形补全为大矩形， ∴， ∵直线将原图形分成面积相等的两部分， ∴， ∴， 解得或6． 32．【答案】24 【详解】解：设一条直角边长为， ∵铁丝总长为，斜边长为， ∴另一条直角边长为， 根据勾股定理得， 解得，， ∴两直角边长分别为和， ∴直角三角形的面积为． 33．【答案】3 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴，，， 由平移可知，， ∴， 设与交于点G ， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴重叠部分四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形的高为， ∴， 解得：， ∴移动的距离等于3． 34．【答案】道路宽度为1m 【详解】解：设道路宽度为，依题意得 ， 解得，（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． 35．【答案】(1)平方米 (2)长为60米，宽为40米 【分析】 【详解】（1）解：∵两条人行横道的长分别为a米和b米，宽均为2米， ∴人行横道的面积为平方米； （2）解：∵， ∴设，则， 根据题意，得 解得或（舍去） ∴，， 答：原长方形的长为60米，宽为40米． ◆题型09商品销售问题 36．【答案】(1)（，且x为整数） (2) 【分析】 【详解】（1）解：， ∵日销量不能为负数，即， ∴， ∴y与x的函数关系式为（，且x为整数）． （2）解：∵单件利润为元，销售量为件， ∴ 整理得：， ， 解得， ∵， ∴． 37．【答案】(1)每台电暖器应降价15元或20元 (2)不能．理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根． ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元． 【分析】 【详解】（1）解：设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 解得． 答：每台电暖器应降价15元或20元． （2）略 38．【答案】该泥塑的售价上涨10元/件 【详解】解：根据题意得：， 解得，， 又要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该泥塑的售价上涨10元/件． 39．【答案】(1) 礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元 (2) 礼盒甲每件降价元 【分析】 【详解】（1）解：设上一周礼盒乙的销售单价为元，则礼盒甲的销售单价为元， ∵两款礼盒销售量相等， ∴，解得， 检验：当时，， 故是原分式方程的解且符合实际意义， ∴ 礼盒甲的销售单价为（元）． 答：上一周礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元． （2）解：∵上周礼盒乙的销售额为元，单价为元， ∴上周两款礼盒的销售量均为（件）， 设礼盒甲每件降价元， ∵调整价格后两款礼盒总销售额比上周多元， ∴， 整理得 ， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：礼盒甲每件降价元． ◆题型10数字问题 40． 【答案】D 【详解】解：设这个数为， 则，移项可得， 因式分解可得，解得，． 故有这样的数，为1或4． 41．【答案】和 【详解】解：设两数中一个数为，则另一个数为， 根据题意得， 解得，， 当时，另一个数为； 当时，另一个数为； 所以这两个数为和． 42．【答案】16 【详解】解：根据题意，可得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 因式分解，得， 解得，， ∵个小方格中的正整数互不相等， ∴，即的值是16． 43．【答案】9 【详解】解：设四个数中最小数为，则最大数为 由题意得：， 整理得：， ， 即， 解得：（舍）， 答：最小数为9． 44．【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵每行的后一个数比前一个数大，每列的下一个数比上一个数大， ∴中间的数可用表示为， 最大的数可用表示为； （2）解：设最小数为，最大数为，根据题意可列方程：， ， 解得或（舍去）， 最小数为，最大数为， 个数为， 其和为． ◆题型11工程问题 45．【答案】(1)乙分拣机至少工作小时 (2)的值为 【分析】 【详解】（1）解：设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时， 根据题意列不等式， 解得 答：乙分拣机至少工作小时； （2）根据题意，甲分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时；乙分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时， 根据题意列方程，， 解得（不符合题意，故舍去）， 答：的值为． 46．【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 47．【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键．◆题型1 利用一元二次方程的根求代数式的值 1．【答案】A 【详解】解：一元二次方程中，，， 由根与系数的关系得． 2．【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：原方程有两个实数根， ，即． 解得． （2）解：且， 即． ， ． 3．【答案】D 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，t最大，． 4．【答案】 【详解】解：一元二次方程的两根为、， ，， ． 5．【答案】 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴由根与系数的关系可得，； 对所求代数式因式分解得， 将，代入， 得原式． 6．【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴，， ∴， 解得，． ∵方程有两个实数根， ∴，解得， ∴． ◆题型2 解分式方程 7．【答案】 【详解】解：方程两边同时乘最简公分母得：， 整理得， 解得，， 检验：把代入最简公分母得：， ∴是原方程的增根， 把代入最简公分母得：， ∴是原方程的解． 8．【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的增根，舍去， ∴原方程的解为． 9．【答案】原计划每天加工个零件 【详解】解：设原计划每天加工个零件， 根据题意可列方程：， 整理得：， 解得， 经检验，当时，最简公分母，是原分式方程的解， ∵不合题意，舍去， ∴取， 答：原计划每天加工个零件. ◆题型3 利用根与系数的关系及根的判别式解决存在性问题 10．【答案】(1)且 (2)不存在满足条件的实数 【分析】 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，． ∴且， ∵， ∴， 解得：， ∴k的取值范围为且； （2）解：假设存在实数使得， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根，， ∴，， ∴ 解得， 由（1）得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 不存在实数使得． 11．【答案】(1)；4 (2)存在使得成立 【分析】 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：∵是原方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴存在使得成立． 12．【答案】(1) 证明：，，， ， 所以该方程总有实数根； (2)存在， 【分析】 【详解】（1）略 （2）存在实数m，使得代数式的值为，理由如下： 由根与系数的关系可知， ， ， ， ， ． 13．【答案】(1)且； (2) 不存在 理由：假设存在，设方程的两根分别为、，则，． ， ． 且， 不符合题意，舍去． 假设不成立，即不存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0． 【分析】 【详解】（1）解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且； （2）略 14．【答案】存在， 【详解】解：存在，使得等于44，理由如下： ∵方程的两个实数根为， 则 ∴ 令，即 解得： ∵方程有实数根， ∴ 即： 综上所述： 一、单选题 1．【答案】D 【详解】解：A、方程含，两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； B、方程含分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； C、当时，方程为，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、整理方程得，符合一元二次方程的定义，故选项符合题意． 2．【答案】C 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 3．【答案】B 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴， ∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴原方程为． 4．【答案】B 【详解】解：设两次数据扩容的平均增长率为， 由题意得， 整理得， ∵， ∴， 解得， ∴这两次数据扩容的平均增长率为． 5．【答案】A 【详解】解：将原方程整理为一般形式，得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 6．【答案】B 【详解】解：， ， 解得，． 关于的一元二次方程是“倍根方程”， 分两种情况：①当时，即，此时， ②当时，即，此时． 综上所述，代数式的值为或． 二、填空题 7．【答案】8 【详解】解：设参加小组赛的球队有支， ∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为， 根据题意，得， 解得，， ∵球队数量为正整数， ∴舍去， ∴， 故参加小组赛的球队有7支． 8．【答案】 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式，即， 解得． 9．【答案】或 【详解】解：∵关于的分式方程有增根，且， ∴， 解得或， ∵两个根都能使原方程的最简公分母为， ∴增根可能是或． 10．【答案】 【详解】解：∵一元二次方程的两根为、， ∴， ∴ = = = =． 11．【答案】 或1 6 【分析】 【详解】【小题1】当时， ∴， 整理， ， 解得：或； 【小题2】联立方程组， 将得：， 整理得：， 将得：， 整理得：， ∴， 又∵， ∴，即④， 将④代入③，得，即， 又∵， ∴， ∴． 三、解答题 12．【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， 移项得， 开方得， 解得； （2）解：， 因式分解得， 即， 整理得， 解得； （3）解：， 整理得， 配方得， 即， 开方得， 解得； （4）解：， 因式分解得， ∴或， 解得． 13．【答案】(1)，方程的解为， (2)方程的解为， 【分析】 【详解】（1）解：由得， ∵方程不含的一次项， ∴，解得， ∴，则， ∴，； （2）解：当时，方程为 移项，得 配方，得 即 开方，得 ∴，． 14．【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：设的长为，则， 由矩形，得， 整理，得， 解得， ， 舍去； ， ． （2）解：设长为，则， 由矩形，得， 由题意，得， 整理，得， 解得， 由长度不能为负数， 故舍去， 故， 故的长为． 15．【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； （3）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 一元二次方程全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型01由一元二次方程的定义求参数 题型02由一元二次方程的根求参数 题型03解一元二次方程 题型04判断一元二次方程根的情况 题型05根据一元二次方程根的情况求参数 题型06根据根与系数的关系求值 题型07增长率问题 题型08图形面积问题 题型09商品销售问题 题型10数字问题 题型11工程问题 核心提升：重难题型归纳 题型1 利用一元二次方程的根求代数式的值 题型2 解分式方程 题型3 利用根与系数的关系及根的判别式解决存在性问题 综合攻坚·知能拔高 ◆题型01由一元二次方程的定义求参数 1．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 2．若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 3．若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若关于x的方程是一元二次方程，则_____． ◆题型02由一元二次方程的根求参数 5．已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 6．已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 7．若m是方程的一个根，则代数式的值为______． 8．一元二次方程的一个根为，则m的值为_______． ◆题型03解一元二次方程 9．用配方法解一元二次方程得，则b的值为________． 10．用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 11．用合适的方法解方程： (1)． (2)． (3)． 12．用适当的方法解下列方程． (1)． (2)． 13．解方程： (1)； (2)． ◆题型04判断一元二次方程根的情况 14．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 15．k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 16．下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 17．函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 18．已知关于x的方程． (1)试讨论该方程的根的情况并说明理由； (2)无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根． ◆题型05根据一元二次方程根的情况求参数 19．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 20．关于x的方程有实数根，则k的值可以是下列哪个数（     ） A． B． C． D． 21．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． 且 C． 且 D． 22．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 23．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 ◆题型06根据根与系数的关系求值 24．已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 25．已知关于x的方程的两实数根为，，若，则____________． 26．设、是方程的两个实数根，且，则______． 27．已知关于的一元二次方程，若方程的两个实数根为，，且，求k的值． ◆题型07增长率问题 28．郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 29．随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量比旧技术多吨．设每亩产量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 30．一商场以20元的进价购进纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度地让利消费者，售价应定为多少钱? (2)因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． ◆题型08图形面积问题 31．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线将它分成面积相等的两部分，则x的值是（    ） A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6 32．用一根长的铁丝围成一个斜边长是的直角三角形，则这个直角三角形的面积为________． 33．如图，将边长为6的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的图形面积为9时，它移动的距离等于_______． 34．新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的个小矩形，求道路的宽度． 35．某镇政府规划在新城区政府大楼前建设一块长a米，宽b米的长方形草坪，并计划在该草坪上修筑宽都为2米的两条互相垂直的人行道（如图）． (1)用含a，b的代数式表示两条人行道的总面积； (2)若已知，并且四块草坪的面积之和为2204平方米，试求原长方形的长与宽各为多少米？ ◆题型09商品销售问题 36．某商店销售一种商品，每件进价40元．当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件．设售价为x元，日销售量为y件． (1)求y与x的函数关系式； (2)若日利润为1800元，求售价x的值． 37．随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 38．凤翔泥塑是我国一种独特的民间艺术，经过翻拼、封合、缝洗、阴干、钩勒、上彩、上光等十几道工序做成，作品简洁艳丽，夸张传神，表现出浓郁的西府特色．某种泥塑的制作成本为30元/件，泥塑店销售一段时间后发现，当该泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件泥塑的售价每上涨1元，则该泥塑月销售量将减少10件，设该泥塑的售价上涨x元/件．该店为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价上涨多少元/件？ 39．西安非遗关中剪纸享誉四方，某文创店铺售卖两款剪纸礼盒：礼盒甲、礼盒乙．已知礼盒甲每件售价比礼盒乙贵元．上一周，礼盒甲销售总额为元，礼盒乙销售总额为元，且两款礼盒销售量相等． (1)上一周，礼盒甲、乙的销售单价分别是多少元？（列分式方程求解） (2)本周店铺开展促销，礼盒甲每降价元，销量增加件；礼盒乙每件提价元，销量和上周一样．调整价格后，两款礼盒总销售额比上周多元，求礼盒甲每件降价多少元？ ◆题型10数字问题 40．根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（     ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，运算结果是这个数的2倍？ A．1 B．4 C． D．1或4 41．若两数的和是，两数的平方和是，则这两数为________． 42．“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 43．2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 44．月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） ◆题型11工程问题 45．某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 46．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 47．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． ◆题型1 利用一元二次方程的根求代数式的值 1．已知是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A．0 B．2 C． D．4 2．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 3．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 4．已知一元二次方程的两根为、，则_____． 5．已知，是一元二次方程的两根，则的值为________． 6．关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． ◆题型2 解分式方程 7．解分式方程：． 8．解方程：． 9．某工厂承接一批零件加工任务，原计划每天加工相同数量零件，预定工期完成；实际每天比原计划多加工个零件，结果提前天完成任务．已知这批零件总数为个，求原计划每天加工多少个零件． ◆题型3 利用根与系数的关系及根的判别式解决存在性问题 10．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，． (1)求k的取值范围； (2)是否存在实数k，使得？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 11．已知关于x的方程有两个不相等的实数根 (1)求k的取值范围并化简 (2)设是原方程的两个实数根，是否存在这样的实数，使成立？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 12．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有实数根； (2)设，是该方程的两个实根，是否存在实数m，使得代数式的值为？若存在求出实数m的值，若不存在，请说明理由． 13．已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使此方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 14．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，是否存在实数，使等于44？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若是方程的根，则的值为（     ） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 3．甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 4．模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为325万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到468万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率（     ） A． B． C． D． 5．已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 6．新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 7．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 8．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 9．若关于的方程有增根，则增根可能是______． 10．已知一元二次方程的两根为、，则_____． 11．数学活动课上，聪明的小颖和小亮在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：已知实数a，b同时满足，，求代数式的值． 结合他们的对话，请解答下列问题： （1）当时，a的值是_____________． （2）当时，代数式的值是_____________． 三、解答题 12．解一元二次方程 (1) (2) (3) (4) 13．已知关于的一元二次方程． (1)若方程不含的一次项，求的值和方程的解； (2)当时，求方程的解． 14．在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长的墙建造面积为的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为的篱笆，并提供以下两种方案： (1)如图1，若选取墙的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙上借用的的长度为多少? (2)如图2，若全部借用的长度，并在的延长线上拓展，构成矩形，篱笆由、、和构成，求的长． 15．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 一元二次方程全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型01由一元二次方程的定义求参数 题型02由一元二次方程的根求参数 题型03解一元二次方程 题型04判断一元二次方程根的情况 题型05根据一元二次方程根的情况求参数 题型06根据根与系数的关系求值 题型07增长率问题 题型08图形面积问题 题型09商品销售问题 题型10数字问题 题型11工程问题 核心提升：重难题型归纳 题型1 利用一元二次方程的根求代数式的值 题型2 解分式方程 题型3 利用根与系数的关系及根的判别式解决存在性问题 综合攻坚·知能拔高 ◆题型01由一元二次方程的定义求参数 1．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 2．若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 【答案】C 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴． 3．若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵原方程是一元二次方程，其二次项系数为， ∴， 解得． 4．若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 【答案】 【详解】解：∵原方程是一元二次方程， ∴未知数最高次数满足，且二次项系数， 解得，即或， 由得， ∴． ◆题型02由一元二次方程的根求参数 5．已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴， ∴． 6．已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 【答案】3 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得， 整理得，即， 解得. 7．若m是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】9 【详解】解：∵根据题意，是方程的一个根， ∴ ，变形得 ， ∵， ∴， 将代入所求代数式 ， ∵， ∴原式． 8．一元二次方程的一个根为，则m的值为_______． 【答案】 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， 解得． ◆题型03解一元二次方程 9．用配方法解一元二次方程得，则b的值为________． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 10．用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ∴． 11．用合适的方法解方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴． （2）解：， ， 或， ∴． （3）解：， ∵， ∴． ∴． ∴． 12．用适当的方法解下列方程． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ． （2）解：， ， ， ， ， ∴， ． 13．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：， 直接开平方，得． 即或， 解得． （2）解：， 移项，得． 因式分解，得， 即， 解得． ◆题型04判断一元二次方程根的情况 14．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 15．k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 【答案】A 【详解】解：一元二次方程为， ，，， ． 为实数， ，即． 方程必有实根． 16．下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：方程，，无实数根； B选项：方程，，有实数根； C选项：方程，，无实数根； D选项：方程，，无实数根． 17．函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：根据图示可得，函数中，， 关于的一元二次方程， ∴， ∴有两个不相等的实数根． 18．已知关于x的方程． (1)试讨论该方程的根的情况并说明理由； (2)无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根． 【答案】(1)时，方程有一个实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根 (2)这个根为3 【分析】 【详解】（1）解：当时，方程为，解得， 当时 ∵ ， 若，，则方程有两个相等的实数根； 若且，，则方程有两个不相等的实数根， 综上，当时，方程有一个实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当且时，方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根， 又∵， ∴，且 解得， ∴无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，这个根为3． ◆题型05根据一元二次方程根的情况求参数 19．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵ 方程有实数根， ∴，即， 解得； 综上，且． 20．关于x的方程有实数根，则k的值可以是下列哪个数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当时，方程为，解得，故方程有实数根，符合题意； 当时，∵ 方程有实数根， ∴，即，解得且， 综上，的取值范围是，故选项A符合题意． 21．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． 且 C． 且 D． 【答案】A 【详解】解：当，即时，原方程为， 解得，符合题意； 当，即时， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得， ∴且， 综上，． 22．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴． ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 两边同除以，得 ， 整理得 ． 当时，， ∴， 则 ，可能小于1也可能大于1，故A、B均不成立． 当时，， ∴， ∴，故C错误，D正确． 23．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， ∴， ∴， 又∵与不一定相等， ∴是直角三角形，不一定是等腰直角三角形． ◆题型06根据根与系数的关系求值 24．已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵， ∴， 解得． 25．已知关于x的方程的两实数根为，，若，则____________． 【答案】 【详解】解：关于x的方程的两实数根为，， 则， ，， ． 即，解得． 经检验，是原方程的解． 26．设、是方程的两个实数根，且，则______． 【答案】 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴． 27．已知关于的一元二次方程，若方程的两个实数根为，，且，求k的值． 【答案】或 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 解得或， ∵，即方称恒有解， ∴的值为或． ◆题型07增长率问题 28．郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，2月份营业额为万元，3月份营业额为万元， ∵1月、2月、3月总营业额为万元， ∴ 29．随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量比旧技术多吨．设每亩产量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设每亩产量的年平均增长率为， ∵两年前每亩产量为吨， ∴一年后产量为吨，两年后产量为吨， ∵现在每亩产量比旧技术多吨，即现在产量为吨， ∴根据题意可列方程． 30．一商场以20元的进价购进纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度地让利消费者，售价应定为多少钱? (2)因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【答案】(1)40元 (2) 【分析】 【详解】（1）解：设售价应定为元，则每个利润为元， 由题意得， 解得：，， ∵更大程度让利消费者， ∴， 答：商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度让利消费者，售价应定为40元； （2）解：由（1）得：当售价为40元时，销量为400个， 设这两周的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这两周的平均增长率为． ◆题型08图形面积问题 31．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线将它分成面积相等的两部分，则x的值是（    ） A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6 【答案】D 【详解】解：如图，将图形补全为大矩形， ∴， ∵直线将原图形分成面积相等的两部分， ∴， ∴， 解得或6． 32．用一根长的铁丝围成一个斜边长是的直角三角形，则这个直角三角形的面积为________． 【答案】24 【详解】解：设一条直角边长为， ∵铁丝总长为，斜边长为， ∴另一条直角边长为， 根据勾股定理得， 解得，， ∴两直角边长分别为和， ∴直角三角形的面积为． 33．如图，将边长为6的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的图形面积为9时，它移动的距离等于_______． 【答案】3 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴，，， 由平移可知，， ∴， 设与交于点G ， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴重叠部分四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形的高为， ∴， 解得：， ∴移动的距离等于3． 34．新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的个小矩形，求道路的宽度． 【答案】道路宽度为1m 【详解】解：设道路宽度为，依题意得 ， 解得，（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． 35．某镇政府规划在新城区政府大楼前建设一块长a米，宽b米的长方形草坪，并计划在该草坪上修筑宽都为2米的两条互相垂直的人行道（如图）． (1)用含a，b的代数式表示两条人行道的总面积； (2)若已知，并且四块草坪的面积之和为2204平方米，试求原长方形的长与宽各为多少米？ 【答案】(1)平方米 (2)长为60米，宽为40米 【分析】 【详解】（1）解：∵两条人行横道的长分别为a米和b米，宽均为2米， ∴人行横道的面积为平方米； （2）解：∵， ∴设，则， 根据题意，得 解得或（舍去） ∴，， 答：原长方形的长为60米，宽为40米． ◆题型09商品销售问题 36．某商店销售一种商品，每件进价40元．当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件．设售价为x元，日销售量为y件． (1)求y与x的函数关系式； (2)若日利润为1800元，求售价x的值． 【答案】(1)（，且x为整数） (2) 【分析】 【详解】（1）解：， ∵日销量不能为负数，即， ∴， ∴y与x的函数关系式为（，且x为整数）． （2）解：∵单件利润为元，销售量为件， ∴ 整理得：， ， 解得， ∵， ∴． 37．随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)每台电暖器应降价15元或20元 (2)不能．理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根． ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元． 【分析】 【详解】（1）解：设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 解得． 答：每台电暖器应降价15元或20元． （2）略 38．凤翔泥塑是我国一种独特的民间艺术，经过翻拼、封合、缝洗、阴干、钩勒、上彩、上光等十几道工序做成，作品简洁艳丽，夸张传神，表现出浓郁的西府特色．某种泥塑的制作成本为30元/件，泥塑店销售一段时间后发现，当该泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件泥塑的售价每上涨1元，则该泥塑月销售量将减少10件，设该泥塑的售价上涨x元/件．该店为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价上涨多少元/件？ 【答案】该泥塑的售价上涨10元/件 【详解】解：根据题意得：， 解得，， 又要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该泥塑的售价上涨10元/件． 39．西安非遗关中剪纸享誉四方，某文创店铺售卖两款剪纸礼盒：礼盒甲、礼盒乙．已知礼盒甲每件售价比礼盒乙贵元．上一周，礼盒甲销售总额为元，礼盒乙销售总额为元，且两款礼盒销售量相等． (1)上一周，礼盒甲、乙的销售单价分别是多少元？（列分式方程求解） (2)本周店铺开展促销，礼盒甲每降价元，销量增加件；礼盒乙每件提价元，销量和上周一样．调整价格后，两款礼盒总销售额比上周多元，求礼盒甲每件降价多少元？ 【答案】(1) 礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元 (2) 礼盒甲每件降价元 【分析】 【详解】（1）解：设上一周礼盒乙的销售单价为元，则礼盒甲的销售单价为元， ∵两款礼盒销售量相等， ∴，解得， 检验：当时，， 故是原分式方程的解且符合实际意义， ∴ 礼盒甲的销售单价为（元）． 答：上一周礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元． （2）解：∵上周礼盒乙的销售额为元，单价为元， ∴上周两款礼盒的销售量均为（件）， 设礼盒甲每件降价元， ∵调整价格后两款礼盒总销售额比上周多元， ∴， 整理得 ， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：礼盒甲每件降价元． ◆题型10数字问题 40．根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（     ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，运算结果是这个数的2倍？ A．1 B．4 C． D．1或4 【答案】D 【详解】解：设这个数为， 则，移项可得， 因式分解可得，解得，． 故有这样的数，为1或4． 41．若两数的和是，两数的平方和是，则这两数为________． 【答案】和 【详解】解：设两数中一个数为，则另一个数为， 根据题意得， 解得，， 当时，另一个数为； 当时，另一个数为； 所以这两个数为和． 42．“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 【答案】16 【详解】解：根据题意，可得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 因式分解，得， 解得，， ∵个小方格中的正整数互不相等， ∴，即的值是16． 43．2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 【答案】9 【详解】解：设四个数中最小数为，则最大数为 由题意得：， 整理得：， ， 即， 解得：（舍）， 答：最小数为9． 44．月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵每行的后一个数比前一个数大，每列的下一个数比上一个数大， ∴中间的数可用表示为， 最大的数可用表示为； （2）解：设最小数为，最大数为，根据题意可列方程：， ， 解得或（舍去）， 最小数为，最大数为， 个数为， 其和为． ◆题型11工程问题 45．某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 【答案】(1)乙分拣机至少工作小时 (2)的值为 【分析】 【详解】（1）解：设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时， 根据题意列不等式， 解得 答：乙分拣机至少工作小时； （2）根据题意，甲分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时；乙分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时， 根据题意列方程，， 解得（不符合题意，故舍去）， 答：的值为． 46．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 47．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． ◆题型1 利用一元二次方程的根求代数式的值 1．已知是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A．0 B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】解：一元二次方程中，，， 由根与系数的关系得． 2．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：原方程有两个实数根， ，即． 解得． （2）解：且， 即． ， ． 3．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，t最大，． 4．已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】 【详解】解：一元二次方程的两根为、， ，， ． 5．已知，是一元二次方程的两根，则的值为________． 【答案】 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴由根与系数的关系可得，； 对所求代数式因式分解得， 将，代入， 得原式． 6．关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴，， ∴， 解得，． ∵方程有两个实数根， ∴，解得， ∴． ◆题型2 解分式方程 7．解分式方程：． 【答案】 【详解】解：方程两边同时乘最简公分母得：， 整理得， 解得，， 检验：把代入最简公分母得：， ∴是原方程的增根， 把代入最简公分母得：， ∴是原方程的解． 8．解方程：． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的增根，舍去， ∴原方程的解为． 9．某工厂承接一批零件加工任务，原计划每天加工相同数量零件，预定工期完成；实际每天比原计划多加工个零件，结果提前天完成任务．已知这批零件总数为个，求原计划每天加工多少个零件． 【答案】原计划每天加工个零件 【详解】解：设原计划每天加工个零件， 根据题意可列方程：， 整理得：， 解得， 经检验，当时，最简公分母，是原分式方程的解， ∵不合题意，舍去， ∴取， 答：原计划每天加工个零件. ◆题型3 利用根与系数的关系及根的判别式解决存在性问题 10．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，． (1)求k的取值范围； (2)是否存在实数k，使得？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)且 (2)不存在满足条件的实数 【分析】 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，． ∴且， ∵， ∴， 解得：， ∴k的取值范围为且； （2）解：假设存在实数使得， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根，， ∴，， ∴ 解得， 由（1）得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 不存在实数使得． 11．已知关于x的方程有两个不相等的实数根 (1)求k的取值范围并化简 (2)设是原方程的两个实数根，是否存在这样的实数，使成立？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；4 (2)存在使得成立 【分析】 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：∵是原方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴存在使得成立． 12．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有实数根； (2)设，是该方程的两个实根，是否存在实数m，使得代数式的值为？若存在求出实数m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 证明：，，， ， 所以该方程总有实数根； (2)存在， 【分析】 【详解】（1）略 （2）存在实数m，使得代数式的值为，理由如下： 由根与系数的关系可知， ， ， ， ， ． 13．已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使此方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)且； (2) 不存在 理由：假设存在，设方程的两根分别为、，则，． ， ． 且， 不符合题意，舍去． 假设不成立，即不存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0． 【分析】 【详解】（1）解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且； （2）略 14．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，是否存在实数，使等于44？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】存在， 【详解】解：存在，使得等于44，理由如下： ∵方程的两个实数根为， 则 ∴ 令，即 解得： ∵方程有实数根， ∴ 即： 综上所述： 一、单选题 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、方程含，两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； B、方程含分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； C、当时，方程为，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、整理方程得，符合一元二次方程的定义，故选项符合题意． 2．若是方程的根，则的值为（     ） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 【答案】C 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 3．甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴， ∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴原方程为． 4．模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为325万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到468万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设两次数据扩容的平均增长率为， 由题意得， 整理得， ∵， ∴， 解得， ∴这两次数据扩容的平均增长率为． 5．已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将原方程整理为一般形式，得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 6．新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：， ， 解得，． 关于的一元二次方程是“倍根方程”， 分两种情况：①当时，即，此时， ②当时，即，此时． 综上所述，代数式的值为或． 二、填空题 7．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 【答案】8 【详解】解：设参加小组赛的球队有支， ∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为， 根据题意，得， 解得，， ∵球队数量为正整数， ∴舍去， ∴， 故参加小组赛的球队有7支． 8．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式，即， 解得． 9．若关于的方程有增根，则增根可能是______． 【答案】或 【详解】解：∵关于的分式方程有增根，且， ∴， 解得或， ∵两个根都能使原方程的最简公分母为， ∴增根可能是或． 10．已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】 【详解】解：∵一元二次方程的两根为、， ∴， ∴ = = = =． 11．数学活动课上，聪明的小颖和小亮在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：已知实数a，b同时满足，，求代数式的值． 结合他们的对话，请解答下列问题： （1）当时，a的值是_____________． （2）当时，代数式的值是_____________． 【答案】 或1 6 【分析】 【详解】【小题1】当时， ∴， 整理， ， 解得：或； 【小题2】联立方程组， 将得：， 整理得：， 将得：， 整理得：， ∴， 又∵， ∴，即④， 将④代入③，得，即， 又∵， ∴， ∴． 三、解答题 12．解一元二次方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， 移项得， 开方得， 解得； （2）解：， 因式分解得， 即， 整理得， 解得； （3）解：， 整理得， 配方得， 即， 开方得， 解得； （4）解：， 因式分解得， ∴或， 解得． 13．已知关于的一元二次方程． (1)若方程不含的一次项，求的值和方程的解； (2)当时，求方程的解． 【答案】(1)，方程的解为， (2)方程的解为， 【分析】 【详解】（1）解：由得， ∵方程不含的一次项， ∴，解得， ∴，则， ∴，； （2）解：当时，方程为 移项，得 配方，得 即 开方，得 ∴，． 14．在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长的墙建造面积为的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为的篱笆，并提供以下两种方案： (1)如图1，若选取墙的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙上借用的的长度为多少? (2)如图2，若全部借用的长度，并在的延长线上拓展，构成矩形，篱笆由、、和构成，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：设的长为，则， 由矩形，得， 整理，得， 解得， ， 舍去； ， ． （2）解：设长为，则， 由矩形，得， 由题意，得， 整理，得， 解得， 由长度不能为负数， 故舍去， 故， 故的长为． 15．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； （3）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $