第2章 一元二次方程 单元综合练习-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 本章同步练习围绕一元二次方程，通过选择（6题）、填空（7题）、解答（5题）三级题型构建分层体系，覆盖定义、解法、应用全知识点，强化从概念理解到实际问题解决的思维进阶，适配单元复习巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|一元二次方程定义、解法（配方法/因式分解法）、直接开平方法条件|以选择1-3、填空1-2为例，聚焦单一概念与基本运算，夯实抽象能力| |能力提升|根的判别式、根与系数关系、简单应用（增长率/几何面积）|如选择5、填空4-5，结合具体情境考查运算能力与推理意识，衔接课时目标| |综合应用|新定义“倍根方程”、跨知识整合（等腰三角形/利润问题）、数形结合|以选择4、解答3-5为例，通过复杂情境与模型构建，发展应用意识与创新思维|

第2章 一元二次方程 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）若关于x的方程（3﹣a）x2﹣x＝0是一元二次方程，则a的取值范围（　　） A．a≠0 B．a≠3 C．a＜3 D．a＞3 2．（4分）用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝10 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣6）2＝10 D．（x﹣1）2＝1 3．（4分）将一元二次方程x（x+1）＝2化为一般形式，正确的是（　　） A．x2+x＝2 B．x2﹣x+2＝0 C．x2+x﹣2＝0 D．x2+2x﹣2＝0 4．（4分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法：①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；②若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；③若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0．其中正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（4分）“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年64万字增加到九年级的每年144万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（　　） A．64（1+x）2＝144 B．64（1+x%）2＝144 C．64（1+2x）＝144 D．64+64（1+x）+64（1+x）2＝144 6．（4分）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝a2﹣2ab，例如：3⊗2＝32﹣2×3×2＝﹣3，则关于x的方程x⊗（k+1）＝﹣2k的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分） 1．（4分）（1）若（m﹣2）x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 　 　 ． （2）一元二次方程（m+1）x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m＝　 　 ． 2．（4分）已知关于x的一元二次方程（x+1）2+m＝0可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是　 　 ． 3．（4分）若x1是二次方程x2+ax+1＝0的一个根，则a＝　 　 ，该方程的另一个根x2＝　 　 ． 4．（4分）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则的值为 　 　 ． 5．（4分）如图，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝8cm，动点P从点A出发沿边AB向点B移动，过点P作PQ∥AC，PR∥BC，则当AP＝　 　 cm时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2． 6．（4分）已知代数式M＝x2+3，N＝2x+1，则M　 　 N．（填“＞”“＜”或“＝”） 7．（4分）已知等腰三角形三边分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两个根，则m的值是 　 　 ． 三．解答题（共5小题，满分68分） 1．（24分）用适当的方法求解下列方程： （1）2（x+1）2﹣4＝0； （2）x2﹣2x+3＝0； （3）（x﹣1）（2x+3）＝x﹣1； （4）3x2﹣6x+5＝7； （5）； （6）． 2．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣bx﹣1＝0． （1）求证：方程必有两个不相等的实数根； （2）已知实数m，n满足m2﹣mb＝1，4n2﹣2nb＝1，且m≠2n，求mn的值． 3．（12分）水蜜桃是人们非常喜爱的水果之一，每年七、八月份我市水蜜桃大量上市，今年某水果商以16.5元/千克的价格购进一批水蜜桃进行销售，运输过程中质量损耗5%，运输费用是0.6元/千克，假设不计其他费用． （1）水果商要把水蜜桃售价至少定为多少才不会亏本？ （2）在销售过程中，根据市场调查与预测，水果商发现每天水蜜桃的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润是220元？ 4．（8分）如果关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+1）x+k＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若x1、x2分别是一元二次方程kx2﹣（2k+1）x+k＝0的两个实数根，是否存在实数k，使得，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由． 5．（12分）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图2中阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：　 　 ；图2：　 　 ． 【例题解析】：如图3，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 方法一：从“数”的角度解： ∵a+b＝3，∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9； 又∵ab＝1，∴a2+b2＝7． 方法二：从“形”的角度解： ∵a+b＝3，∴S大正方形＝9，又∵ab＝1，∴S2＝S3＝ab＝1， ∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7． 其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题． 【类比迁移】： （2）若（3﹣x）（x+1）＝3，则（3﹣x）2+（x+1）2＝　 　 ． （3）如图4，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝7，两正方形的面积和S1+S2＝29，求图中阴影部分面积． 参考答案 一．选择题 1．【解答】解：∵关于x的方程（3﹣a）x2﹣x＝0是一元二次方程， ∴3﹣a≠0， 解得a≠3． 故选：B． 2．【解答】解：移项得x2﹣6x＝1， 配方得x2﹣6x+9＝1+9， （x﹣3）2＝10， 故选：A． 3．【解答】解：去括号得x2+x＝2， 移项得x2+x﹣2＝0． 故选：C． 4．【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， ∴x﹣2＝0或x+1＝0， 解得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2， ∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程； 故①不正确； ②∵pq＝2，则：px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0， ∴，x2＝﹣q， ∴， 因此是倍根方程， 故②正确； ③若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2， 因此x2＝1或x2＝4， 当x2＝1时，m+n＝0， 当x2＝4时，4m+n＝0， ∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0， 故③正确； 故选：C． 5．【解答】解：根据题意得：64（1+x）2＝144． 故选：A． 6．【解答】解：∵a⊗b＝a2﹣2ab， ∴x⊗（k+1）＝﹣2k， x2﹣2x（k+1）＝﹣2k， x2﹣（2k+2）x+2k＝0， Δ＝[﹣（2k+2）]2﹣4×2k ＝（2k+2）2﹣8k ＝4k2+8k+4﹣8k ＝4k2+4＞0， ∴关于x的方程x⊗（k+1）＝﹣2k有两个不相等的实数根， 故选：A． 二．填空题 1．【解答】解：（1）∵方程（m﹣2）x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程， ∴m﹣2≠0，解得m≠2． 故答案为：m≠2； （2）将x＝0代入（m+1）x2+x+m2﹣1＝0， ∴m2﹣1＝0， ∴m＝1或m＝﹣1， ∵m+1≠0， ∴m＝1， 故答案为：1． 2．【解答】解：∵（x+1）2+m＝0， ∴（x+1）2＝﹣m， ∵方程（x+1）2+m＝0可以用直接开平方法求解 ∴﹣m≥0， ∴m≤0． 故答案为m≤0． 3．【解答】解：设方程的另一个根为x2， ∵x1是二次方程x2+ax+1＝0的一个根， ∴x1•x2＝1，即（）x2＝1， ∴x2， ∴x1+x2＝﹣a，即a，解得a＝4， 故答案为4，． 4．【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2， 所以（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13． 故答案为：13． 5．【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝BC， ∴∠A＝∠C＝45°， ∵PQ∥AC，PR∥BC， ∴∠ARP＝∠C＝45°，四边形PRCQ是平行四边形， ∴∠A＝∠ARP＝45°， ∴AP＝PR， 设AP＝PR＝xcm，则PB＝（8﹣x）cm， 由题意可得，x（8﹣x）＝16， 解得x1＝x2＝4， 即当AP＝4cm时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2， 故答案为：4． 6．【解答】解：由题意，∵M＝x2+3，N＝2x+1， ∴M﹣N＝x2+3﹣2x﹣1 ＝x2﹣2x+2 ＝（x﹣1）2+1， ∵（x﹣1）2≥0， ∴M﹣N＝（x﹣1）2+1≥1＞0． ∴M＞N． 故答案为：＞． 7．【解答】解：当a＝4时， ∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根， ∴4+b＝12， ∴b＝8， 而4+4＝8，不符合题意； 当b＝4时， ∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根， ∴4+a＝12， 而4+4＝8，不符合题意； 当a＝b时， ∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根， ∴12＝a+b，解得a＝b＝6， ∴m+2＝36， ∴m＝34， 故m的值为34， 故答案为34． 三．解答题 1．【解答】解：（1）2（x+1）2﹣4＝0， 2（x+1）2＝4， （x+1）2＝2， ， ，； （2）x2﹣2x+3＝0， a＝1，b＝﹣2，c＝3， Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3 ＝4﹣12 ＝﹣8＜0， ∴此方程无实数根； （3）（x﹣1）（2x+3）＝x﹣1， （x﹣1）（2x+3）﹣（x﹣1）＝0， （x﹣1）（2x+3﹣1）＝0， （x﹣1）（2x+2）＝0， x﹣1＝0或2x+2＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣1； （4）3x2﹣6x+5＝7， 3x2﹣6x+5﹣7＝0， ∴3x2﹣6x﹣2＝0， a＝3，b＝﹣6，c＝﹣2， Δ＝b2﹣4ac ＝（﹣6）2﹣4×3×（﹣2） ＝36+24 ＝60， ， ，； （5）， ， 解得：； （6）， ， 8﹣2x2＝﹣x（x﹣2） 8﹣2x2＝﹣x2+2x， x2+2x﹣8＝0， （x+4）（x﹣2）＝0， x+4＝0或x﹣2＝0， 解得：x＝﹣4或x＝2， 检验，当x＝2时，x（x﹣2）＝0，是增根，舍去； 当x＝﹣4时，x（x﹣2）＝0， ∴原方程的解是x＝﹣4． 2．【解答】（1）证明：Δ＝（﹣b）2﹣4×1×（﹣1）＝b2+4， ∴b2+4＞0，即Δ＞0． ∴方程必有两个不相等的实数根． （2）解：由条件可得m2﹣mb﹣1＝0， 由4n2﹣2nb＝1得，（2n）2﹣b•（2n）﹣1＝0． ∴m和2n是方程x2﹣bx﹣1＝0的两个根，且m≠2n． 由根与系数的关系得m•（2n）＝﹣1． ∴． 3．【解答】解：（1）设购进水蜜桃a千克，水蜜桃定价每千克x元水果商才不亏本． ax（1﹣5%）≥a（16.5+0.6）x≥18 答：至少每千克18元； （2）由（1）可知，每千克水蜜桃的平均成本为18元， 求出y与销售单价x之间的函数关系为y＝﹣5x+210， 由题意得：y＝﹣5x+210， （x﹣18）（﹣5x+210）＝220 X1＝20，x2＝40 答：当销售单价定为20元或40元时，每天获得的利润是220元． 4．【解答】解：（1）∵k≠0且Δ≥0， ∴Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4•k•k＝4k+1≥0解得， ∴且k≠0； （2）不存在． ∵，， ∴， 解得k＝﹣1， ∵， ∴满足条件的k值不存在． 5．【解答】解：（1）图1是边长为（a+b）的正方形，因此面积为（a+b）2，图1也可以看作是四个部分的面积和，即a2+2ab+b2，因此（a+b）2＝a2+2ab+b2； 图2是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，所以面积为（a+b）（a﹣b），如图阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即a2﹣b2，因此（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （2）设3﹣x＝m，x+1＝n，则m+n＝4，mn＝（3﹣x）▪（x+1）＝3， 所以（3﹣x）2+（x+1）2 ＝m2+n2 ＝（m+n）2﹣2mn ＝16﹣6 ＝10； 故答案为：10； （3）设AC＝p，BC＝q，则p+q＝AC+BC＝AB＝7，p2+q2＝S1+S2＝29， ∵（p+q）2﹣2pq＝p2+q2，即49﹣2pq＝29， ∴2pq＝49﹣29＝20， ∴pq＝5， 即阴影部分的面积为5． 学科网（北京）股份有限公司 $