3.3相似三角形判定定理的证明第2课时（教学课件）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形判定定理的证明与应用，通过知识回顾（平行线分线段成比例）和情境引入（上节探索命题需理论证明），搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于以推理意识贯穿证明过程，通过作辅助线构建图形关系培养几何直观，典例分析与分层练习强化应用意识。教学方法注重定理证明步骤规范和系统归纳，学生能提升逻辑思维，教师可高效开展教学。

第三章 图形的相似 3.3 相似三角形判定定理的证明 第2课时 学 习 目 标 1.会证明相似三角形判定定理；（重点） 2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点） 2.平行线分线段成比例的推论： 与其他两边相交，截得的 成比例。 1.平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组 所截，所得的 成比例. 则有 ， ， . 符号语言： 如图所示，DE∥BC， A D B E C 知识回顾 平行线 对应线段 平行于三角形一边的直线 对应线段 你还有什么发现？ 情境引入 但是，我们都是通过动手画图、测量、探索得出的，在理论上是不是一定正确，还需要进行证明，这节课我们就来对它们进行证明. 在上一节中，我们通过探索得到了相似三角形的三个判定命题： ①两角分别相等的两个三角形相似. ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. ③三边对应成比例的两个三角形相似. 已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，∠A = ∠A'，∠B =∠B'. 求证：△ABC ∽△A'B'C'． A′ B′ C′ A B C 新知探究 探究：相似三角形判定定理的证明 (1)证明：两角分别相等的两个三角形相似. 几何语言 证明思路：先在 △ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取AD =A'B'，作DE∥BC；然后根据相似三角形的定义证明△ADE ∽△ABC，最后证明△ADE ∽△A'B'C'. E D F 1 2 新知探究 证明：在△ABC的边 AB(或它的延长线)上截取AD =A'B'，过点D作BC的平行线，交 AC 于点E，则 ∠1=∠B，∠2 =∠C，. 过点D作AC的平行线,交BC于点 F，则 . ∴. ∵ DE∥BC, DF∥AC, ∴ 四边形 DFCE 是平行四边形, ∴ DE = CF. ∴， ∴. ∵∠1=∠B,∠ DAE = ∠BAC,∠2=∠C, ∴ △ADE ∽ △ABC. ∵ ∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'，AD = A'B'， ∴ △ADE≌△A' B ' C ' ， ∴ △ABC ∽△A'B'C. A′ B′ C′ A B C E D F 1 2 新知探究 证明文字命题的步骤： 知识归纳 第一步：根据文字命题画图； 第二步：根据图形和文字命题写出已知、求证； 第三步：根据已知对求证进行证明. 1.如图，在△ABC中，∠AED=∠B，则下列等式成立的是( ) A. B. C. D. 新知探究 C 已知：如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠A =∠ A'，. 求证：△ABC ∽ △A'B'C'. A′ B′ C′ A B C 新知探究 证明：在△ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 AD = A'B'，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则 (2)证明：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 几何语言 E D 1 2 新知探究 则∠ B = ∠ 1， ∠ C = ∠ 2， ∴ △ABC ∽ △ADE， ∴ . ∵，AD = A'B'， ∴ . ∴. ∴ AE =A'C'. 而∠A=∠A'， ∴△ADE ≌ △A'B'C'. ∴△ABC ∽ △A'B'C'. A′ B′ C′ A B C E D 1 2 新知探究 2.已知△ABC 与△DEF，下列各组条件中，可以判定△ABC∽△DEF的是( ) A.，∠A =∠D B.，∠B =∠E C.，∠B =∠F D.，∠C =∠F B 新知探究 (3)证明：三边成比例的两个三角形相似. 已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，. 求证：△ABC ∽ △A'B'C' . A′ B′ C′ A C B 证明：在△ABC 的边 AB，AC(或它们的延长线)上分别截取 AD = A'B'， AE = A'C'，连接DE. 几何语言 E D 新知探究 ∵，AD = A'B'，AE = A'C'， ∴ 而∠ BAC =∠ DAE， ∴ △ABC ∽△ADE， ∴ 又，AD = A'B'， ∴. ∴ ∴ DE = B'C'. ∴ △ADE ≌ △A'B'C' ， ∴ △ABC ∽△A'B'C' . A′ B′ C′ A C B E D 新知探究 3.如下图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是 . ①③ 新知探究 相似三角形的判定定理： 知识归纳 事实上，我们证明了相似三角形的三个判定定理. 定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 定理3：三边对应成比例的两个三角形相似. 新知探究 回顾相似三角形判定定理的证明过程，你对几何证明有哪些新的认识? 几何证明是逻辑严谨、方法可总结、能深化图形认知的推理过程. 如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AC，AB交于点D，E，连接BD.求证：△ABC∽△BDC. 例1 典例分析 证明：∵ DE是AB的垂直平分线， ∴ AD＝BD. ∵ ∠BAC＝40°， ∴ ∠ABD＝∠BAC＝40°. ∵ ∠ABC＝80°， ∴ ∠DBC＝40°， ∴ ∠DBC＝∠BAC. ∵ ∠C＝∠C， ∴ △ABC∽△BDC. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长. 例2 A B C D 典例分析 解: ∵ AB=6，BC=4，AC=5，CD =. ∴ 又∠B =∠ACD, ∴△ABC∽△DCA， ∴ ∴AD=. 巩固练习 1.如图，在△ABC中，如果DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE与△ABC相似的是(    ) A.∠ADE＝∠C       B.∠AED＝∠B C. D. C 2.如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E.若AD＝4，DB＝2，则DE∶BC的值为(      ) A. B. C. D. A 4.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，连接CE并延长，与BA的延长线交于点F，若AE＝2ED，CD＝3 cm，则AF的长为( ) A．5 cm B．6 cm　　 C．7 cm　 D．8 cm 巩固练习 3.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD延长线上一点，连接BE，AC，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论中错误的是(      ) A.△ABE∽△DGE   B.△CGB∽△DGE C.△BCF∽△EAF   D.△ACD∽△GCF D B 5.物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法。如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A'B'.设AB=36 cm，A'B'= 24 cm。小孔 O到 AB 的距离为 30cm,则小孔O到 A'B'的距离为 cm. 巩固练习 6.如图，点E在线段AB上，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，AC＝1，AB＝5，EB＝2，点P是射线BD上的一个动点，则当BP＝_________时，△CEA与△EPB相似. 或6 20 巩固练习 7.已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB. C D A B 解： ∵ ∠ A= ∠ A , ∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB , ∴ AB : AC = AD : AB, ∴ AB2 = AD · AC. ∵ AD = 2 , AC = 8, ∴ AB = 4. 8.如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE. 巩固练习 证明： 在△ABC中，AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC， ∵CE⊥AB， ∴∠ADB=∠CEB=90°， 又∵∠B=∠B， ∴△ABD∽△CBE. 9.如图，AD是直角△ABC斜边上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB、AC于E、F.求证： 巩固练习 证明： ∵△ABC是直角三角形， ∴∠BAC=90°, ∴∠BAD+∠FAD=90°, ∴∠B= ∠FAD, ∴∠B+∠BAD=90°, ∵AD⊥BC, ∵DE⊥DF, ∴∠EDA+∠FDA=90°, ∵AD⊥BC, ∴∠EDA+∠BDE= 90°, ∴∠BDE= ∠ADF, ∴△BED∽△AFD. ∴. 课堂小结 相似三角形判定定理的证明-第2课时 判定定理的证明 定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 定理3：三边对应成比例的两个三角形相似. 定理的运用 作业布置 1.必做题：习题3.3第3，4，5题。 2.探究性作业：习题3.3第8题。 感谢聆听! $