3.3 相似三角形判定定理的证明第2课时课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形判定定理的证明，通过复习导入环节回顾两角、两边夹角、三边成比例的判定方法，引导学生思考证明思路，搭建从已知判定到严谨证明的学习支架。 其亮点在于定理证明过程逻辑清晰，通过作辅助线、比例推导及全等转化培养推理意识，应用举例结合矩形、等腰直角三角形等图形发展几何直观，规范的几何语言表达提升数学语言能力。学生能深化推理与应用能力，教师可获得系统的证明教学案例。

第3章　图形的相似 3 相似三角形判定定理的证明 第2课时　 相似三角形判定定理的证明 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 1 素养目标 2.能综合利用相似三角形的判断定理判定两个三角形相似并解决问题. 1.会证明相似三角形的判定定理； 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 2 复习导入 判定两个三角形相似的方法有哪些？ 你能对它们进行证明吗？ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 探究新知 定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，∠A = ∠A'，∠B =∠B'. 求证：△ABC ∽△A'B'C'． A B C A′ B′ C′ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 4 探究新知 A B C A′ B′ C′ D E 证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′， 过点D作BC的平行线，交AC于点E， 则∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， （平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 5 F A B C A′ B′ C′ D E 过点D作AC的平行线，交BC于点F， 则= （平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） ∴= ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DFCE是平行四边形. ∴DE＝CF. ∴= ∴ == 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 F A B C A′ B′ C′ D E 而∠ADE＝∠B，∠DAE＝∠BAC，∠AED＝∠C ∴△ADE∽△ABC ∵∠A＝∠A′，∠ADE＝∠B＝∠B′，AD＝A′B′ ∴△ADE≌△A′B′C′ ∴△ABC∽△A'B'C' 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 7 探究新知 定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. A B C A′ B′ C′ 已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，∠A = ∠A'， . 求证：△ABC ∽△A'B'C'． 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 8 探究新知 A B C A′ B′ C′ D E 证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′， 过点D作BC的平行线，交AC于点E， 则∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED， ∴△ABC∽△ADE（两角分别相等的两个三角形相似） 而∠A＝∠A′， ∴△ADE≌△A′B′C′， ∴△ABC∽△A'B'C' ，AD= A′B′， ，∴AE= A′C′ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 9 A B C A′ B′ C′ D E 证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′， 过点D作BC的平行线，交AC于点E， 则∠B＝∠ADE， ∠C＝∠AED， 已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中，∠A=∠A′， = ∴△ABC∽△ADE （两角分别相等的两个三角形相似） 求证 ：△ABC∽△A'B'C' 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 A B C A′ B′ C′ D E = ∵， ， = = 而∠A＝∠A′， ∴△ADE≌△A′B′C′ ∴△ABC∽△A'B'C' 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 几何语言： A B C A′ B′ C′ ∵= = ∴△ABC∽△A′B′C′ 你要如何 证明呢？ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 探究新知 定理3：三边成比例的两个三角形相似. A B C A′ B′ C′ 已知：如图，在 △ABC 和△ A'B'C'中， . 求证：△ABC∽△A'B'C'． 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 13 探究新知 A B C A′ B′ C′ D E 证明 ：在△ABC的边AB，AC（或它们的延长线）上截取AD＝A′B′，AE＝A′C′，连接DE. ，AD= A′B′，AE= A′C′ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 14 A B C A′ B′ C′ 求证 ：△ABC∽△A'B'C' D E 证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′， AE＝A′C′ 连接DE. 已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中， = = ∵，AD = A′B′，AE＝A′C′ ， ∴= 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 A B C A′ B′ C′ D E 而∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似） ∴= 又=， ∴= ∴= ∴， ∴△ADE≌△A′B′C′ ∴△ABC∽△A'B'C' 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 探究新知 A B C A′ B′ C′ D E 而∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似） ，AD= A′B′， 又 ，∴DE=B′C′ ∴△ADE≌△A′B′C′， ∴△ABC∽△A'B'C' 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 17 探究新知 问题1：定理2，3的证明过程与定理1的证明过程共同点是什么？ 作平行线→相似→相等→相似 问题2：定理2，3的证明过程与定理1的证明过程的不同点是什么？ 定理2，3只作了1条辅助线，它在已证定理的基础上证明的，简单一些. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 18 总结 综上，我们证明了三角形相似的三个判定定理。 定理 两角分别相等的两个三角形相似。 定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 定理 三边成比例的两个三角形相似。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 应用举例 【例1】如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F。求证：△ABF∽△EAD。 【方法指导】根据两角对应相等的两个三角形相似可解。 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠D＝90°，∴∠BAF＝∠AED。 ∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°。 ∴∠AFB＝∠D， ∴△ABF∽△EAD。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 A 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 21 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 22 【例2】如图，D为△ABC内一点，连接BD，AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，连接DE。求证：△DBE∽△ABC。 【方法指导】由已知条件∠ABD＝∠CBE，所以∠DBE＝∠ABC，要证得△DBE∽△ABC，有一对角相等，可再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可得△CBE∽△ABD，即得成比例的线段，则可证明。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 【例2】如图，D为△ABC内一点，连接BD，AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，连接DE。求证：△DBE∽△ABC。 证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD， ∴△CBE∽△ABD， ∴ =即＝ 。 ∵∠CBE＝∠ABD，∴∠DBE＝∠ABC。 又∵ ＝ ，∴△DBE∽△ABC。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 25 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 26 随堂练习 1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值 ( ) A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上但有限 D．有无数个 B 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD＝2，DE＝1， 则BC的长为_____。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 小结 相似三角形判定定理的证明 两角分别相等的两个三角形相似. 定理的运用 定理证明 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 三边成比例的两个三角形相似. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 Generate By BIYOO ChatPPT. HomePage：www.chat-ppt.com AIGC 2026/3/2 14:13:45 [AI生成内容仅供参考，请注意甄别准确性] 29 练习1 如图,点D、E分别在 边 、 上, ,且 ,那么 的值为( ) A. B. C. D. 解析：∵ , ,∴ , ∴ , ∵ ,∴ , ,∴ ∴ ,∴ ,∴ ,∴ (负值舍去) ∴ .故选：A. 练习2 如图, , , , ,则 ______. 解析： , , , EMBED Equation.DSMT4 ,即 ,解得, . 练习3 将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点、线都在同一平面内），若 ， ，则 . 解析：∵ ， 是等腰直角三角形， ∴ ， ， ， ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ . $