专题03 一元一次方程的构造（题型专练）数学新教材浙教版七年级上册

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03 一元一次方程的构造 (题型突破举一反三) 题型01根据一元一次方程的定义构造 E 典例精析 【典例1】 【答案】2或1 三 举一反三 【变式1】 【答案】B 【变式2】D 【变式3】 【答案】(1)m=3 2 (2)x= 3 题型02根据相反数、倒数的性质构造 典例精析 【典例2】D E 举一反三 【变式1】A 【变式2】A 【变式3】 【答案】 8 1.5 1 题型03根据同类项的概念构造 典例精析 1/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【典例3】 【答案】 3 2.5 E 举一反三 【变式】1 B 【变式2】A 【变式3】B 【题型04根据一元一次方程解的定义构造 典例精析 【典例4】A 举一反三 【变式1】C 【变式2】 【答案】2 【变式3】 【答案】2027 【变式4】 【答案】y=-2 题型05根据一元一次方程解的情况构造 E 典例精析 【典例5】 【答案】5 举一反王 【变式1】 【答案】-2 【变式2】 【答案】-1 2/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式3】 【答案】12 题型06巧设辅肋未知数构造 三典例精析 【典例6】 【答案】31.5 举一反三 【变式1】 【答案】3：5 【变式2】 【答案】3 题型07 根据图形之间的等量关系构造 典例精析 【典例7】 【答案】0.5cm 举一反三 【变式1】 【答案】2 【变式2】 【答案】B 【变式3】 80 【答案】7 题型08根据新定义构造 E 典例精析 【典例8】 3/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】0 举一反三 【变式1】 【答案】5 【变式2】 【答案】-2 【变式3】 【答案】(1)3,3,19,9 (2) 解：“★”运算中交换律仍适用，结合律不一定适用，理由如下： 由题意得a★b=2a+2b-1,b★a=2b+2a-1, .:2a+2b-1=2b+2a-1, .a★b=b★a, ∴“★”运算中交换律仍适用： (a★b)★c =(2a+2b-1)★c =2(2a+2b-1)+2c-1 =4a+4b-2+2c-1 =4a+4b+2c-3. a★(b★c) =a★(2b+2c-1) =2a+2(2b+2c-1)-1 =2a+4b+4c-2-1 =2a+4b+4c-3. 当a=c时，4a+4b+2c-3=2a+4b+4c-3,即(a★b)★c=a★(b★c). 当a≠c时，4a+4b+2c-3≠2a+4b+4c-3,即(a★b)★c≠a★(b★c). ∴.“★”运算中结合律不一定适用 (3)x=9 题型09看错系数（错解复原）构造方程 4/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 典例精析 【典例9】 【答案】x=一 举一反目 【变式】 【答案】 -17 2.5 【变式2】 【答案】(1)2 (2)x=4 【变式3】 【答案】x=一 【变式4】 【答案】(1)a=2 (2)x=14 题型10根据表格信息构造一元一次方程 典例精析 【典例10】 【答案】0 举一反三 【变式1】 【答案】(1)-5,10,8，-2 14 2)点4表示的数为5或14 【变式2】 【答案】(1)5x+48 (2) 解：所覆盖的5个数之和不能等于2025，理由如下： 5/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 假设所覆盖的5个数之和能等于2025 设“塔尖”的值为少，则另外4个数分别为y+7,y+9,y+14,y+18 根据题意得：y+y+7+y+9+y+14+y+18=2025 1977 解得：y= 5 又·y需为整数， :ys1977 5不符合题意，舍去， .假设不成立，即所覆盖的5个数之和不能等于2025 【变式3】 【答案】(1)乙地增加人数：30-x,增加后人数：49-x (2)应调往甲地25人，调往乙地5人 题型11根据天平/实物等量关系构造方程 典例精析 【典例11】A 举一反三 【变式1】D 【变式2】 【答案】 c=a+l 5t+k 【变式3】 2x-5 【答案】 3 【变式41 【答案】2 题型12根据数轴上点的运动构造一元一次方程 典例精析 【典例12】D 举一反三 6/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式1】 【答案】 30 40 【变式2】 【答案】(1)-6：-1：4：-6+t (2)-1:5 (3)4或6 (4)t最小值为7，最大值为10 【变式3】 【答案】(119 1 (2)动点P在数轴上所对应的数为5或3 (3)它们在数轴上对应的数是38 7/7 专题03 一元一次方程的构造 （题型突破·举一反三） 题型01 根据一元一次方程的定义构造 题型02 根据相反数、倒数的性质构造 题型03 根据同类项的概念构造 题型04 根据一元一次方程解的定义构造 题型05 根据一元一次方程解的情况构造 题型06 巧设辅助未知数构造 题型07 根据图形之间的等量关系构造 题型08 根据新定义构造 题型09 看错系数（错解复原）构造方程 题型10 根据表格信息构造一元一次方程 题型11 根据天平/实物等量关系构造方程 题型12 根据数轴上点的运动构造一元一次方程 ▌题型01 根据一元一次方程的定义构造 【典例1】（25-26七年级上·浙江金华·期中）若是关于x的一元一次方程，则m等于______． 【答案】2或1 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值方程，根据一元一次方程的定义，未知数x的指数必须为1，因此，解此绝对值方程可得m的值． 【详解】解：是关于x的一元一次方程， 或， 解得或， 故答案为：2或1． 【变式1】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D．或1 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为0，则这个整式方程是一元一次方程，根据定义可得关于m的方程，求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴ ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上浙江杭州·阶段检测）已知是以为未知数的一元一次方程，且，那么的值为（    ） A．1 B．或1 C．5 D．或5 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值，正确求出m的值是解题的关键． 由题得出，，即可求出m的值，再根据绝对值的性质即可求出a的值． 【详解】解：∵方程为一元一次方程， ∴， 解得或， 且， ∴， 代入， 即， ∴或， 解得或， 综上，的值为或5， 故选：D． 【变式3】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）若关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)解这个一元一次方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的定义与解一元一次方程，掌握好相关知识是关键． （1）一元一次方程是指最高次数为1的整式方程，根据定义求出的值； （2）先移项，然后系数化为“1”即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，且， 由得：或， ，即， ∴； （2）解：∵， ∴原方程为， 移项，得， 解得：． ▌题型02 根据相反数、倒数的性质构造 【典例2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知与互为相反数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义和代数式求值，熟练掌握相反数的意义是解题的关键； 根据相反数的定义求出m的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 解得：， ∴． 故选：D． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）若式子和互为相反数，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，相反数和解一元一次方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 由题意解一元一次方程可得：，再根据代数式求值的知识，即可求解； 【详解】解：∵和互为相反数， ∴， 解得：， ∵， 把代入，即， 故选：A； 【变式2】（2025七年级上·浙江·专题练习）若整式的值与互为倒数，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了倒数的定义，一元一次方程的应用．根据“乘积是的两个数互为倒数”即可得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：与互为倒数， ， 解得：． 故选： ． 【变式3】（24-25七年级上浙江杭州·阶段检测）（1）若式子与互为倒数，则________． （2）若与互为相反数，则a的值为 __________________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，相反数，倒数，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）由题意得方程，按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答； （2）由题意得方程，按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）由题意得：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为一得：， 故答案为：； （2）由题意得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为一得：， 故答案为：． ▌题型03 根据同类项的概念构造 【典例3】（21-22七年级上·浙江台州·期中）单项式3x4y2m﹣1与是同类项，则m＝_____，n＝_____． 【答案】 3 2.5 【分析】根据同类项的定义（如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么这两个单项式是同类项）即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故答案为：3，． 【点睛】本题考查了同类项的定义、一元一次方程的应用，熟记同类项的定义是解题关键． 【变式】1（25-26七年级上浙江绍兴·阶段检测）如果单项式与是同类项，那么关于x的方程的解是（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了同类项的定义，解一元一次方程，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此求出a、b的值，再把a、b的值代入对应的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， ∴， ∴方程即为方程， 解得， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）若和是同类项，且它们的和为0， 则的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类项的定义，代数式求值，由于两个单项式是同类项，因此对应字母的指数相等；又因为它们的和为0，所以系数之和为0，据此可求出m和n的值，再计算的值即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 解得：， 又∵它们的和为0， ∴， 解得：， ∴． 故选：A． 【变式3】（24-25七年级上浙江杭州·阶段检测）若单项式与是同类项，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类项和解一元一次方程，根据同类项定义得出，求出，把m、n的值代入方程得出，再根据等式的性质求出方程的解即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ， ， 代入方程得：， ， ， ， ， 故选：B． ▌题型04 根据一元一次方程解的定义构造 【典例4】（25-26七年级上·浙江台州·期末）关于的方程的解为，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的解及其解法，先将代入已知方程中得到关于a的方程，然后解方程可得答案． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴，解得． 故选：A． 【变式1】（25-26七年级上·浙江金华·期末）小慧同学用尝试检验法估计关于的方程的解，部分数据如表所示，则下列可能是该方程的解的是（    ） 1 2 3 1 5 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解．根据表格数据判断与的大小关系变化，确定方程解的取值范围，再匹配选项得出答案． 【详解】解：∵当时，，，此时； 当时，，，此时； ∴方程的解在的范围内； ∵选项中只有满足； 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，把代入方程得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知是关于的方程的解，则式子的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的定义、代数式求值，关键是整体代入思想的应用； 将 代入方程，得到与的关系式，再整体代入求值． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴ 即， 整理得， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4】（25-26七年级上·浙江台州·阶段检测）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，通过换元法，将第二个方程转化为与第一个方程相同的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解： ，解为， 可化为； 设，则 ， 化为， 所以， 此方程与第一个方程形式相同，因此， 即， 解得 故答案为． ▌题型05 根据一元一次方程解的情况构造 【典例5】（25-26七年级上·浙江金华·期末）关于的方程与的解相同，则的值为___________． 【答案】5 【分析】本题考查了一元一次方程同解问题．先解方程得到，再将代入方程中即可求解． 【详解】解：解，得， ∵关于的方程与的解相同， ∴把代入方程得，， 解得，， 故答案为：5． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）关于x的方程，无论k为何值，此方程的解总是，则____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解；把代入方程，即可得到一个关于k的方程，从而求得n的值和m的值，代入求解即可． 【详解】把代入方程， 得， 即 根据题意得， 解得， 则． 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级上·浙江台州·期末）若关于的一元一次方程和的解互为相反数，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，解解方程得：，故的解为：；将代入即可求解. 【详解】解：解方程得：， ∵方程和的解互为相反数， ∴的解为： 将代入得： ， 解得： 故答案为： 【变式3】（23-24七年级上·浙江宁波·阶段检测）若关于x的一元一次方程的解是整数，则符合条件的所有整数k的值的和为________． 【答案】12 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的拓展，先解方程得到，根据原方程的解是整数，得到是整数，则或或，据此求出符合题意的k的值，然后求和即可． 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， ∵原方程的解是整数， ∴， ∴， ∵原方程的解是整数， ∴是整数， ∴或或， ∴或或或或或， ∴符合条件的所有整数k的值的和为， 故答案为：12． ▌题型06 巧设辅助未知数构造 【典例6】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，一般情况下，天头长和地头长的比为3∶2，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．若某副对联长为，宽为，装裱后的周长与装裱前的周长比为．则天头长为_______cm． 【答案】31.5 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，算出装裱后的周长，设设地头长为，天头长为，则左右边宽为，根据题意列出关于x的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：装裱前的周长为：， ∵装裱后的周长与装裱前的周长比为， ∴装裱后的周长为：， 设地头长为，天头长为，则左右边宽为：， 根据题意有：， 整理得：， 即， 故答案为： 【变式1】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，用9个等边三角形（边长均相等的三角形）无缝隙不重叠地拼成一个六边形．现将其中两个等边三角形分别标为①②，其周长分别记作，，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是正确设出未知数，构造方程求解． 设等边三角形①的边长为，最中间最小的等边三角形边长为，然后表示出等边三角形③④⑤⑥②⑦⑧的边长，再由等边三角形⑧的边长等于等边三角形①与④的边长之和建立方程求解，即可求解比值． 【详解】解：如图， 设等边三角形①的边长为，最中间最小的等边三角形边长为， 则等边三角形③④⑤⑥②⑦⑧的边长依次为：， 因为等边三角形⑧的边长等于等边三角形①与④的边长之和， 所以， 解得， 所以等边三角形①的边长为，等边三角形②的边长为， 所以， 故答案为：． 【变式2】（2024七年级上·浙江·专题练习）长方形是有7个小相同的长方形组成的，长方形的周长是19，每一个小长方形的面积是_________． 【答案】3 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，长方形恰好可分成7个形状大小相同的小长方形，上面4个，下面3个，说明小长方形的长的三倍等于宽的四倍；长方形的周长为19等于小长方形的5个长加6个宽的总和． 【详解】解：如图， 假设小长方形的长为x，则小长方形的宽为， ∴长方形的周长等于小长方形的5个长加6个宽的总和， 由此列方程得：， ， ， ， 则小长方形的长是2，宽为， 则每个小长方形的面积， 故答案为：3． ▌题型07 根据图形之间的等量关系构造 【典例7】（25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图1，一个装有一定量水的量筒，内底面半径为，量筒内水的高度为．如图2，当把一根长度超过量筒的圆柱形玻璃棒垂直插到底，水面上升了，则该玻璃棒的半径为________． 【答案】 【分析】根据题意，得等量关系为：容器的底面积容器中水的原来高度玻璃棒的截面积（容器中水的高度水增加的高度）容器的底面积（容器中水原来的高度＋水增加的高度）． 【详解】解：设玻璃棒的半径为， 根据题意得：， 解得， 答：玻璃棒的半径为． 【变式1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）底面积为，高为的圆柱形容器内有若干水，水位高度为，现将一个边长为的立方体铁块水平放入容器底部，立方体完全沉没入水中（如图甲）．再将一个边长为的立方体铁块水平放在第一个立方体上面，若第二个立方体只有一半没入水中（如图乙）．此时水位高度为，若，则_____．    【答案】2 【分析】本题主要考查正方体的体积公式，圆柱的体积和方程的应用，解题的关键是找准等量关系列方程．根据圆柱的体积和正方体的体积公式列方程，再由求解即可． 【详解】解：根据题意得， 即， 整理得， ， ， 故答案为：2． 【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）如图1，有一个圆柱形水桶，水位高度为．如图2，现将一棱长为的正方体铁块放入水中，液面上升了．如图3，如果再叠放一个同样的正方体铁块，那么液面会再上升（    ）cm． A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意并列出方程是解决本题的关键． 设圆柱水桶的底面积为S，液面从图2的再上升，再根据水的体积浸入铁块的体积圆柱总体积列方程求解即可 【详解】解：设圆柱水桶的底面积为S，根据题意得，正方体铁块的体积为， 而水上升的体积为， ∴， 图3中，再叠放一个相同的正方体（总铁块高度）， 设液面从图2的再上升， ∴此时液面总高度为（且，铁块未完全露出）， ∴两个正方体浸入水中的总体积为， ∴水和浸入铁块的总体积（圆柱体积）为； 根据题意得，原来图1的水体积为， 根据“水的体积浸入铁块的体积圆柱总体积”，列方程： ， ∴液面会再上升， 故选B． 【变式3】（23-24七年级上·浙江温州·期中）现有一个长、宽、高分别为，，的长方形容器内装有高的水，和一个高为的空的圆柱形水杯．把长方形容器内的水第一次倒入圆柱形水杯内，当圆柱形水杯内水的高度为时，与倒出水后的长方形容器内水的高度一样高，若第二次继续把长方形容器内的水倒入圆柱形水杯内，当圆柱形水杯内水的高度是倒出水后的长方形容器内水的高度的倍时，则此时圆柱形水杯内水的高度是_____．（取，容器的厚度不计）    【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及认识立体图形，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：第一次倒入后，当圆柱形水杯内水的高度为时，与倒出水后的长方形容器内水的高度一样高， ∴倒入圆柱形水杯水的体积为：， ∴圆柱形水杯的底面积为：， 设长方形水杯内剩余水的高度为，则圆柱形水杯的高度为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ▌题型08 根据新定义构造 【典例8】（2025·浙江宁波·模拟预测）定义，若，则_______． 【答案】0 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确理解新定义是解题的关键． 根据新定义可得，进而列出方程，即可解得． 【详解】解：由题意可知，得． 故答案为：0． 【变式1】（2026·浙江温州·三模）将四个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成．若定义，则中的值为______． 【答案】5 【详解】解：根据题意得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）对于有理数a、b定义一种新运算，如，；若，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据新运算的定义，分两种情况讨论：当时，；当时，；分别解方程即可得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴， 解得，不符合题意； 当时， ∵， ∴， 解得，符合题意； 综上所述，， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）我们规定：对于任意有理数a，b，定义新运算“”为：． 请根据定义完成下列问题： (1)计算：______；______．______；______． (2)观察（1）的结果，请判断在有理数的“”运算中交换律和结合律是否仍适用？若适用，请说明理由； (3)若，求有理数x的值． 【答案】(1)3，3，19，9 (2) 解：“”运算中交换律仍适用，结合律不一定适用，理由如下： 由题意得，， ∵， ∴， ∴“”运算中交换律仍适用； ∵ ， ． 当时，，即， 当时，，即， ∴“”运算中结合律不一定适用． (3) 【分析】（1）依次根据题目中的定义新运算的规则进行计算即可； （2）根据题目中的定义新运算的规则分别计算和可得；和不一定相等．因此“”运算中交换律仍适用，结合律不一定适用． （3）根据题目中的定义新运算的规则可得，由此可得方程，解方程即可． 【详解】（1）解：； ； ； ． 故答案为：3，3，19，9 （2）略 （3）解：由题意得， 又∵， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查定义新运算，整式的运算，以及一元一次方程，掌握新运算的运算法则是解题的关键． ▌题型09 看错系数（错解复原）构造方程 【典例9】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）某同学在解关于的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得为，则原方程正确的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程解得定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．先把代入求出m的值，再把m的值代入求解即可． 【详解】把代入，得 ， ∴， 把代入，得 ， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）某同学解关于x的方程，，在去分母时，漏乘方程右边的常数项，求得错误的解为， 则________，该方程正确的解为________． 【答案】 【分析】此题考查解一元一次方程，正确掌握解法是解题的关键，先根据题意去分母，将代入求出a的值，再将a代回原方程求出方程的解． 【详解】解：∵方程，在去分母时，漏乘方程右边的常数项， ∴去分母得， 将代入，得， 解得， ∴原方程为， 解得 故答案为，． 【变式2】（22-23七年级上·河南商丘·期末）七（3）班数学老师在批改小红的作业时发现，小红在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了． (1)请你帮小红求出“”处的数字． (2)请你正确地解出原方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入中，进而求出“”处的数字； （2）将（1）中的值代入原方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意将代入中， 得：， 即：， 解得：， ∴“”处的数字为； （2）将代入原方程得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为得：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解本题的关键． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）小强在解方程时，将中的抄漏了，得出，则原方程的正确的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能求出k的值是解此题的关键．把代入方程求出的值，确定出正确的方程，求出解即可． 【详解】解：由条件可知：， 解得， 原方程为：， 解这个方程，得． 故答案为：． 【变式4】（25-26七年级下·浙江台州·期中）小芳同学在解关于的一元一次方程时，误将抄成，求得方程的解为，请帮小芳求出原方程正确的解． (1)求的值； (2)求方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解的定义，把代入误抄后的方程即可求出a的值； （2）把a的值代入原方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：依题意可知方程的解为． 把代入，得． ， ， ； （2）解：把代入，可得原方程为． 去分母，得 ． 去括号，得 ． 移项，得 ． 合并同类项，得 ． ▌题型10 根据表格信息构造一元一次方程 【典例10】（23-24七年级上·浙江台州·期末）下面表格中有12个方格，每个方格内都有一个数，若任意相邻三个数的和都是6，则A的值为 _____． 1 x A 【答案】0 【分析】本题考查解一元一次方程，根据题意，推出和中的数字为1，进而得到，求出的值，进而推出的值即可． 【详解】解： 1 a b c d e x f g h A 由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：0． 【变式1】（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）已知两动点，均在数轴上匀速运动，运动规律如下表： 运动时间（秒） 0 1 5 10 … 点表示的数 25 … 点表示的数 6 … (1)补全表格中数据． (2)当点，重合时，求点表示的数． 【答案】(1)，10，8， (2)点表示的数为或 【分析】本题考查了数轴，数形结合和方程思想是解题的关键． （1）根据路程，速度和时间的关系求解； （2）根据两点之间的距离公式求解． 【详解】（1）解：点的移动速度为：， ，， 点的移动速度为：， ，， 故答案为：，10，8，； （2）设、两点的移动秒时重合， 则：， 解得：或， 当时，表示的数为：， 当时，表示的数为：． 点表示的数为或． 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）将正整数，，，，，排列成如下的数表： (1)将表格中的个阴影格子看成一座“塔”，设“塔尖”的值为，用式子表示“塔”中个数的和； (2)将“塔”平移，所覆盖的个数之和能否等于？若能，请写出这五个数中的最大数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：所覆盖的个数之和不能等于，理由如下： 假设所覆盖的个数之和能等于， 设“塔尖”的值为，则另外个数分别为，，，， 根据题意得：， 解得：， 又需为整数， ∴不符合题意，舍去， ∴假设不成立，即所覆盖的个数之和不能等于． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及规律型：数字的变化类，根据题意列方程是解题的关键； （1）设“塔尖”的值为，则另外四个数分别为，，，，将个数相加，即可用含的代数式表示出“塔”中个数的和； （2）假设所覆盖的个数之和能等于，设“塔尖”的值为，则另外个数分别为，，，，根据个数之和为，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出的值，再结合需为整数，可得出不符合题意，舍去，进而可得出假设不成立，即所覆盖的个数之和不能等于． 【详解】（1）解：设“塔尖”的值为，则另外个数分别为，，，， ∴“塔”中个数的和为； （2）略 【变式3】（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）学校组织植树活动，已知在甲地植树的有23人，在乙地植树的有19人．现调30人去支援，使在甲地植树的人数是乙地植树人数的2倍，问：应调往甲、乙两地各多少人？ 分析：设应调往甲地x人，题中所涉及的有关数量及其关系可以用下表表示： 地名 甲地 乙地 原有人数 23 19 增加人数 x ________ 增加后人数 ________ 甲地增加后人数乙地增加后人数： (1)完成分析中的表格填空； (2)解决上述未完成的任务． 【答案】(1)乙地增加人数：，增加后人数： (2)应调往甲地25人，调往乙地5人 【分析】（1）设调往甲地x人，则调往乙地人，增加后乙地人数为，化简即可． （2）根据甲地增加后人数是乙地增加后人数的2倍列方程求解即可． 本题主要考查了列一元一次方程解应用题，找等量关系，正确的列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设调往甲地x人，则调往乙地人，则增加后乙地人数为（人）， 故答案为： ， （2）解：设应调往甲地x人，根据题意，得 ， ， ， ， 解得， ∴， ∴应调往甲地25人，调往乙地5人． ▌题型11 根据天平/实物等量关系构造方程 【典例11】（2025七年级上·浙江·专题练习）在天平的“？”处添加下列物品后，天平不能保持平衡的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的性质，从图中可知，1个球的质量相当于2个正方体的质量，那么3个球的质量相当于6个正方体的质量；图中天平的右端已有2个正方体，再添加4个正方体，天平能保持平衡；否则天平不能保持平衡． 【详解】 解：A．天平右端原有2个正方体，再添加6个正方体，则右端有个正方体，天平不能保持平衡，故A符合题意； B．天平右端原有2个正方体，再添加，相当于添加个正方体，则右端有个正方体，天平能保持平衡，故B不符合题意； C．天平右端原有2个正方体，再添加，相当于添加个正方体，则右端有个正方体，天平能保持平衡，故C不符合题意； D．天平右端原有2个正方体，再添加4个正方体，则右端有个正方体，天平能保持平衡，故D不符合题意． 故选：A． 【变式1】（22-23七年级下·浙江金华·期中）设“〇”“▱”“△”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“〇”的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】设“〇”表示的数为x，“▱”表示的数是y，“△”表示的数为z，根据题意得出，求出即可． 【详解】解：设“〇”表示的数为x，“▱”表示的数是y，“△”表示的数为z， 根据题意得：， ， 即， 即“？”处应该放“〇”的个数为2， 故选：D． 【点睛】本题考查了等式的性质，能求出是解此题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知， （1）若，则与的等量关系是________． （2）若，则________．（用含，的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． （1）根据题意列出等式，然后利用等式的性质即可得出答案； （2）根据题意列出等式，然后利用等式的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知方程，用含x的代数式表示y，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的性质，将含x的项移到等号右边，再把等式两边同时除以3即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）已知等式“”中的运算为乘法，“”内的数字相同，且为到的整数，则“”内的数字为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设内的数字为，将等式转化为方程，通过展开和移项求解． 【详解】解：设内的数字为，则等式可写为． ∴， 移项得， 即， 解得． 经检验，满足原等式． 故答案为：． ▌题型12 根据数轴上点的运动构造一元一次方程 【典例12】（22-23七年级上·浙江温州·阶段检测）如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点，，，对应的有理数都是整数，若点对应有理数，点对应有理数，且，则数轴上原点应是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的特点，根据题意可得代入等式计算可得点对应的有理数是，由此即可确定数轴上的原点，即可求解，掌握代数式的计算，数轴的特点是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， ∴， 解得，， ∴数轴上原点应是点D， 故选：D ． 【变式1】（23-24七年级上·浙江金华·阶段检测）如图1，数轴上，O点与C点对应的数分别是0、90（单位：单位长度），将一根质地均匀的直尺放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．    （1）直尺的长为_______个单位长度． （2）如图2，以为边搭一个横截面为长方形的不透明的篷子，将直尺放入篷内的数轴上的某处（看不到直尺的任何部分，A在B的左边），将直尺沿数轴以5个单位/秒的速度分别向左、向右移动，直到完全看到直尺，所经历的时间为、，若（秒），求直尺放入篷内，A点对应的数为_______． 【答案】 30 40 【分析】（1）首先根据题意得到，然后结合求解即可； （2）设A点对应的数为，向左移动所用的时间，向右移动所用的时间，根据列式计算即可． 【详解】（1）由题意得：， ∵， ∴， ∴直尺的长为30个单位长度； （2）设A点对应的数为， 则 解得， 答：A点对应的数为40． 【点睛】考查有理数与数轴，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． 【变式2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系．某数学小组在一张白纸上画了一条数轴，点、、对应的数分别为、、，且、满足，是16的算术平方根．动点从点出发沿数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，设点运动的时间为秒． (1)填空：________，________，________，点在数轴上所表示的数为________（用含的代数式表示）； 操作一： (2)以点为折点，向右折叠数轴，使，两点重合，此时所表示的数为________，________； 操作二： (3)以点为折点，向右折叠数轴，若折叠后，两点之间的距离为2，此时________； 操作三： (4)以点为折点，向右折叠数轴，再将第一次折叠后的数轴沿某点继续向右折叠一次，有没有这样的时间使得，两点重合，且点与数轴上的数11重合？若有，请求出符合条件的时间的最大值和最小值；若无，请说明理由． 【答案】(1)；；； (2)；5 (3)4或6 (4)最小值为7，最大值为10 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，非负性的性质，求一个数的算术平方根，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据非负数的性质可求出a、b的值，根据算术平方根的定义可得c的值，再用点A表示的数加上点P运动的路程即可得到点P表示的数； （2）点P为折叠前的中点，据此根据中点计算公式求解即可； （3）分折叠后点A在点C左侧和折叠后点A在点C右侧两种情况，分别求出折叠后点C表示的数，进而根据中点计算公式求出点P表示的数，则可得到答案； （4）分P在（不与点重合）上、P在上、P在点C的右边三种情况，根据第二次折叠后C与A的折痕，B与11的折痕是同一点列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵是16的算术平方根， ∴； ∵动点从点出发沿数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，且点运动的时间为秒， ∴点P表示的数为； （2）解：∵以点为折点，向右折叠数轴，使，两点重合， ∴点P为折叠前的中点， ∴点P表示的数为， ∴， ∴； （3）解：当折叠后点A在点C左侧时，则折叠后点A表示的数为， ∴点P表示的数为， ∴， 解得； 当折叠后点A在点C右侧时，则折叠后点A表示的数为， ∴点P表示的数为， ∴， 解得； 综上所述，或； （4）解：①当在线段上时（不与点重合），则第一次折叠后点A的对应点表示的数小于，若第二次折叠后与点重合，折痕对应的数小于6，若点与11重合，折痕为，故这种情况不可能； ②当点在线段上时（包含，两点），如图，则， ∵点P表示的数为， ∴点表示的数为   点表示的数为 若点与点重合，则第二次折痕表示的数为， 若点与11重合，则第二次折痕表示的数为，折痕一致， ∴均符合题意； ③当点在点右侧时，如图，则， 同理可得点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 若点与点重合，则第二次折痕表示的数为， 若点与11重合，则第二次折痕表示的数为， 则， 解得（舍） 综上所述，符合条件的最小值为7，最大值为10． 【变式3】（25-26七年级上·浙江·期末）如图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为17，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为秒，问： (1)动点P从点A运动至D点需要时间为______秒； (2)P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数； (3)当Q点到达终点A后，立即调头加速去追P，“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了1个单位/秒，当点Q追上点P时，求出它们在数轴上对应的数． 【答案】(1)19 (2)动点P在数轴上所对应的数为或 (3)它们在数轴上对应的数是38 【分析】此题主要考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、数轴上的动点问题的求解等知识，解题的关键是用含t的代数式表示动点在“水平路线”和“上坡路段”、“下坡路段”上运动的距离． （1）先计算出线段、、的长，再根据点P在“水平路线”上的速度、在“上坡路段”的速度求出点P从点A到点D所需要的时间； （2）由题意可知，点P在“上坡路段”的速度为1个单位长度/秒，点Q在“下坡路段”的速度为4个单位长度/秒，P、Q两点到原点O的距离相同分为两种情况，一是P、Q两点重合，二是P、Q两点分别在原点O的两侧，列方程求出t的值，再计算出点P对应的数即可； （3）先计算出点Q到点A需要秒，点Q调头后在“水平路线”上的速度为3个单位/秒，在“上坡路段”上的速度为2个单位/秒，再计算出点Q从出发到返回点C共需要秒，根据点Q追上点P时它们在射线上运动的距离相等列方程求出t的值，再计算出它们对应的数即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，，，，， ∴（秒），（秒），（秒）， ∴点P从点A到点B需要5秒，从B到点C需要10秒，从点C到点D需要4秒， （秒）， ∴动点P从点A运动至D点需要19秒． 故答案为：19． （2）解：点P从A到点B需要5秒，点Q从点D到点C需要4秒，点Q从点C到点B需要秒，由题意可知，点P在“上坡路段”的速度为1个单位长度/秒，点Q在“下坡路段”的速度为4个单位长度/秒， 当P、Q两点重合时，P、Q两点到原点O的距离相同， 则， 解得，经检验，符合题意， ∴， 此时动点P对应的数是； 当点P、Q在原点O的两侧，且P、Q两点到原点O的距离相同， 则， 解得，经检验，符合题意， ∴， 此时动点P对应的数是， 综上所述，动点P在数轴上所对应的数为或． （3）解：（秒）， ∴点Q到点A需要秒， 由题意可知，点Q调头后在“水平路线”上的速度为3个单位/秒，在“上坡路段”上的速度为2个单位/秒， ，， 点Q调头加速后从点A到点B需要秒，从点B到点C需要5秒， （秒）， ∴点Q从出发到返回点C共需要秒， 当点Q追上点P时，则， 解得， ∴， ∴它们在数轴上对应的数是38． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次方程的构造 （题型突破·举一反三） 题型01 根据一元一次方程的定义构造 题型02 根据相反数、倒数的性质构造 题型03 根据同类项的概念构造 题型04 根据一元一次方程解的定义构造 题型05 根据一元一次方程解的情况构造 题型06 巧设辅助未知数构造 题型07 根据图形之间的等量关系构造 题型08 根据新定义构造 题型09 看错系数（错解复原）构造方程 题型10 根据表格信息构造一元一次方程 题型11 根据天平/实物等量关系构造方程 题型12 根据数轴上点的运动构造一元一次方程 ▌题型01 根据一元一次方程的定义构造 【典例1】（25-26七年级上·浙江金华·期中）若是关于x的一元一次方程，则m等于______． 【变式1】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D．或1 【变式2】（24-25七年级上浙江杭州·阶段检测）已知是以为未知数的一元一次方程，且，那么的值为（    ） A．1 B．或1 C．5 D．或5 【变式3】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）若关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)解这个一元一次方程． ▌题型02 根据相反数、倒数的性质构造 【典例2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知与互为相反数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）若式子和互为相反数，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025七年级上·浙江·专题练习）若整式的值与互为倒数，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级上浙江杭州·阶段检测）（1）若式子与互为倒数，则________． （2）若与互为相反数，则a的值为 __________________． ▌题型03 根据同类项的概念构造 【典例3】（21-22七年级上·浙江台州·期中）单项式3x4y2m﹣1与是同类项，则m＝_____，n＝_____． 【变式】1（25-26七年级上浙江绍兴·阶段检测）如果单项式与是同类项，那么关于x的方程的解是（   ） A． B． C．3 D．2 【变式2】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）若和是同类项，且它们的和为0， 则的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式3】（24-25七年级上浙江杭州·阶段检测）若单项式与是同类项，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． ▌题型04 根据一元一次方程解的定义构造 【典例4】（25-26七年级上·浙江台州·期末）关于的方程的解为，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【变式1】（25-26七年级上·浙江金华·期末）小慧同学用尝试检验法估计关于的方程的解，部分数据如表所示，则下列可能是该方程的解的是（    ） 1 2 3 1 5 A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是______． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知是关于的方程的解，则式子的值为________． 【变式4】（25-26七年级上·浙江台州·阶段检测）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________． ▌题型05 根据一元一次方程解的情况构造 【典例5】（25-26七年级上·浙江金华·期末）关于的方程与的解相同，则的值为___________． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）关于x的方程，无论k为何值，此方程的解总是，则____． 【变式2】（23-24七年级上·浙江台州·期末）若关于的一元一次方程和的解互为相反数，则______． 【变式3】（23-24七年级上·浙江宁波·阶段检测）若关于x的一元一次方程的解是整数，则符合条件的所有整数k的值的和为________． ▌题型06 巧设辅助未知数构造 【典例6】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，一般情况下，天头长和地头长的比为3∶2，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．若某副对联长为，宽为，装裱后的周长与装裱前的周长比为．则天头长为_______cm． 【变式1】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，用9个等边三角形（边长均相等的三角形）无缝隙不重叠地拼成一个六边形．现将其中两个等边三角形分别标为①②，其周长分别记作，，则___________． 【变式2】（2024七年级上·浙江·专题练习）长方形是有7个小相同的长方形组成的，长方形的周长是19，每一个小长方形的面积是_________． ▌题型07 根据图形之间的等量关系构造 【典例7】（25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图1，一个装有一定量水的量筒，内底面半径为，量筒内水的高度为．如图2，当把一根长度超过量筒的圆柱形玻璃棒垂直插到底，水面上升了，则该玻璃棒的半径为________． 【变式1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）底面积为，高为的圆柱形容器内有若干水，水位高度为，现将一个边长为的立方体铁块水平放入容器底部，立方体完全沉没入水中（如图甲）．再将一个边长为的立方体铁块水平放在第一个立方体上面，若第二个立方体只有一半没入水中（如图乙）．此时水位高度为，若，则_____．    【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）如图1，有一个圆柱形水桶，水位高度为．如图2，现将一棱长为的正方体铁块放入水中，液面上升了．如图3，如果再叠放一个同样的正方体铁块，那么液面会再上升（    ）cm． A． B． C． D．1 【变式3】（23-24七年级上·浙江温州·期中）现有一个长、宽、高分别为，，的长方形容器内装有高的水，和一个高为的空的圆柱形水杯．把长方形容器内的水第一次倒入圆柱形水杯内，当圆柱形水杯内水的高度为时，与倒出水后的长方形容器内水的高度一样高，若第二次继续把长方形容器内的水倒入圆柱形水杯内，当圆柱形水杯内水的高度是倒出水后的长方形容器内水的高度的倍时，则此时圆柱形水杯内水的高度是_____．（取，容器的厚度不计）    ▌题型08 根据新定义构造 【典例8】（2025·浙江宁波·模拟预测）定义，若，则_______． 【变式1】（2026·浙江温州·三模）将四个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成．若定义，则中的值为______． 【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）对于有理数a、b定义一种新运算，如，；若，则________． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）我们规定：对于任意有理数a，b，定义新运算“”为：． 请根据定义完成下列问题： (1)计算：______；______．______；______． (2)观察（1）的结果，请判断在有理数的“”运算中交换律和结合律是否仍适用？若适用，请说明理由； (3)若，求有理数x的值． ▌题型09 看错系数（错解复原）构造方程 【典例9】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）某同学在解关于的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得为，则原方程正确的解为______． 【变式1】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）某同学解关于x的方程，，在去分母时，漏乘方程右边的常数项，求得错误的解为， 则________，该方程正确的解为________． 【变式2】（22-23七年级上·河南商丘·期末）七（3）班数学老师在批改小红的作业时发现，小红在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了． (1)请你帮小红求出“”处的数字． (2)请你正确地解出原方程． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）小强在解方程时，将中的抄漏了，得出，则原方程的正确的解是______． 【变式4】（25-26七年级下·浙江台州·期中）小芳同学在解关于的一元一次方程时，误将抄成，求得方程的解为，请帮小芳求出原方程正确的解． (1)求的值； (2)求方程正确的解． ▌题型10 根据表格信息构造一元一次方程 【典例10】（23-24七年级上·浙江台州·期末）下面表格中有12个方格，每个方格内都有一个数，若任意相邻三个数的和都是6，则A的值为 _____． 1 x A 1 a b c d e x f g h A 【变式1】（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）已知两动点，均在数轴上匀速运动，运动规律如下表： 运动时间（秒） 0 1 5 10 … 点表示的数 25 … 点表示的数 6 … (1)补全表格中数据． (2)当点，重合时，求点表示的数． 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）将正整数，，，，，排列成如下的数表： (1)将表格中的个阴影格子看成一座“塔”，设“塔尖”的值为，用式子表示“塔”中个数的和； (2)将“塔”平移，所覆盖的个数之和能否等于？若能，请写出这五个数中的最大数；若不能，请说明理由． 【变式3】（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）学校组织植树活动，已知在甲地植树的有23人，在乙地植树的有19人．现调30人去支援，使在甲地植树的人数是乙地植树人数的2倍，问：应调往甲、乙两地各多少人？ 分析：设应调往甲地x人，题中所涉及的有关数量及其关系可以用下表表示： 地名 甲地 乙地 原有人数 23 19 增加人数 x ________ 增加后人数 ________ 甲地增加后人数乙地增加后人数： (1)完成分析中的表格填空； (2)解决上述未完成的任务． ▌题型11 根据天平/实物等量关系构造方程 【典例11】（2025七年级上·浙江·专题练习）在天平的“？”处添加下列物品后，天平不能保持平衡的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（22-23七年级下·浙江金华·期中）设“〇”“▱”“△”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“〇”的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知， （1）若，则与的等量关系是________． （2）若，则________．（用含，的代数式表示） 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知方程，用含x的代数式表示y，则_______． 【变式4】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）已知等式“”中的运算为乘法，“”内的数字相同，且为到的整数，则“”内的数字为___________． ▌题型12 根据数轴上点的运动构造一元一次方程 【典例12】（22-23七年级上·浙江温州·阶段检测）如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点，，，对应的有理数都是整数，若点对应有理数，点对应有理数，且，则数轴上原点应是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】（23-24七年级上·浙江金华·阶段检测）如图1，数轴上，O点与C点对应的数分别是0、90（单位：单位长度），将一根质地均匀的直尺放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．    （1）直尺的长为_______个单位长度． （2）如图2，以为边搭一个横截面为长方形的不透明的篷子，将直尺放入篷内的数轴上的某处（看不到直尺的任何部分，A在B的左边），将直尺沿数轴以5个单位/秒的速度分别向左、向右移动，直到完全看到直尺，所经历的时间为、，若（秒），求直尺放入篷内，A点对应的数为_______． 【变式2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系．某数学小组在一张白纸上画了一条数轴，点、、对应的数分别为、、，且、满足，是16的算术平方根．动点从点出发沿数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，设点运动的时间为秒． (1)填空：________，________，________，点在数轴上所表示的数为________（用含的代数式表示）； 操作一： (2)以点为折点，向右折叠数轴，使，两点重合，此时所表示的数为________，________； 操作二： (3)以点为折点，向右折叠数轴，若折叠后，两点之间的距离为2，此时________； 操作三： (4)以点为折点，向右折叠数轴，再将第一次折叠后的数轴沿某点继续向右折叠一次，有没有这样的时间使得，两点重合，且点与数轴上的数11重合？若有，请求出符合条件的时间的最大值和最小值；若无，请说明理由． 【变式3】（25-26七年级上·浙江·期末）如图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为17，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为秒，问： (1)动点P从点A运动至D点需要时间为______秒； (2)P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数； (3)当Q点到达终点A后，立即调头加速去追P，“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了1个单位/秒，当点Q追上点P时，求出它们在数轴上对应的数． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $