5.5一元一次方程的应用题型分类解答题专题训练2026-2027学年浙教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程应用，通过销售盈亏、日历、工程三大模块，系统提炼建模方法，强化从实际问题抽象数量关系的逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |销售盈亏问题|6题|设未知数表示售价/销量/利润，依据“利润=单件利润×销量”列方程|从基础盈利计算到含降价/折扣的动态关系，逐步提升建模复杂度| |日历问题|6题|利用月历数字规律（横行差1、竖列差7），设中间数表示框内数字|从简单L形框到复杂“回”字/X型框，深化数字位置关系的代数表达| |工程问题|6题|设工作时间/效率，依据“工作量=效率×时间”及总量关系列方程|从单人工作到合作/中途退出情境，构建工作效率叠加模型|

5.5一元一次方程的应用 题型分类解答题专题训练 一、销售盈亏问题 1．水果批发商进口一种高档水果，售出水果每千克盈利（毛利润）元，每天可售出千克，经市场调查后发现，在进价不变的情况下，若每千克售价降低1元，每天多售出千克． (1)若以每千克盈利元的价钱出售，能卖出多少千克？ (2)若以每千克盈利元的价钱出售，此时能盈利多少元？ (3)若水果店要保证每天销售这种水果的毛利润为元，同时又要价格尽可能低，则每千克水果应降价多少元？ 2．林叔叔向商店订购每件定价为100元的某种商品80件，林叔叔对商店经理说：“你每降价1元，我就多订购4件．”商店经理算了一下，如采用降价，订单增多，获得的利润反而比原来多100元．请你算一算这种商品的成本是多少元？ 3．某超市先后以每千克元和每千克元的价格两次共购进苹果千克，且第二次付款是第一次付款的倍． (1)求第一次购进苹果多少千克？ (2)该超市以每千克元的标价销售这批苹果，售出千克后，受市场影响，把剩下的苹果打8折全部售出．求该超市销售这批苹果共获得的利润是多少？（总利润销售总额总成本） 4．一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售，将亏本20元．如果按标价的八折出售，将盈利40元． (1)每件服装的标价是多少元？ (2)打几折销售能恰好保证收支平衡？ 5．某商场购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同． (1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场购进了A、B两种商品共100件，所用资金为6900元，出售时，A种商品按标价出售，每件的利润率为，B种商品按标价出售，每件可获利15元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完商场共可获利多少元？ 6．某中学购进甲、乙两类图书若干套．已知1套甲类图书比1套乙类图书的进价高30元，买3套甲类图书和2套乙类图书一共需要540元． (1)甲、乙两类图书每套的进价分别是多少元？ (2)根据实际需要，学校决定购买甲、乙两类图书共100套，其中甲类图书的数量不少于乙类图书的，且甲类图书购买的数量不超过45套．共有几种购买方案？ (3)若购买甲类图书套，学校购买这批图书的总费用为元，在（2）的条件下，哪种方案的最小？求出的最小值． 二、日历问题 7．如图1是2025年1月的月历表，用图2所示的L形框去框其中的四个数．    (1)设被框住的四个数中从上往下数第二个数为，用含的代数式表示出被框住的这四个数的和； (2)被框住的四个数的和能等于72吗？如果能，求出最大数；如果不能，说明理由． 8．如图，将所有的奇数按照从小到大的顺序七个一行排列成一个数列表，在该数列表上面放置一个“中”字框． (1)求图中“中”字框框住的七个数字的平均值 (2)“中”字框可以在该数列表中上下左右移动，但总保持可以框住七个数字，随着“中”字框的移动，是否可以使其框住的七个数字之和为？并说明你的理由． 9．下图是2026年1月的月历表．在月历表上，可以用一个正方形框任意圈出相邻的4个数（例如：2，3，9，10）． (1)若圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为_____．（用含的代数式表示） (2)小丽计算得到圈出的4个数之和为45．小丽算对了吗？说明理由． (3)对于任意一组这样圈出的四个数，一定能整除它们之和的最大整数是_____． 10．如图是某月的月历． (1)带阴影的十字框中的个数的和与十字框中间的数有什么关系？ (2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？若将十字框中间的数设为x，请用含有的式子表示十字框中五个数的和． (3)在该月的月历上用十字框框出个数，能使这个数的和为吗？ 11．小颖同学积极参加“垃圾分类”宣传，为防止遗忘，她把要参加的日期在月历表上涂黑．已知这个月她要参加8天，将要参加的日期涂黑后恰好得到如图中的一个“回”字型． (1)若涂黑的8个数中最小数与最大数的积为161，求这8个数字的和； (2)这8个数字的和能否是192？请简要说明理由． 12．下图给出某月的日历表，“X”型框中有5个数，设这5个数中间的数为． (1)用含的代数式表示其余4个数为_____、_____、_____和_____； (2)用“X”型框任意框5个数．对于这5个数的和，小明的计算结果有，，，60，小华说有结果是错误的．请通过计算，说明小明的计算结果中哪些是错误的？ (3)若“X”型框中5个数的和不小于110，试求可能取的值． 三、工程问题 13．（1）一个两位数的十位数字和个位数字之和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调之后组成的两位数．求这个两位数． （2）加工某种工件，甲单独作要20天完成，乙只要10天就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任务．问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务? 14．一项工程，甲队单独做完成，乙队单独做完成，丙队单独做完成，开始时三队合作．中途乙队另有任务，由甲、丙两队完成剩余部分，从开始到工程完成共用了，问乙队实际做了几个小时？（用方程求解） 15．一项工程，甲先单独做天，然后与乙合作天，这样才完成全部工程的一半．已知甲、乙工作效率的比为．如果这项工程由乙单独做，需要多少天才能完成？ 16．高速公路在我国建设得越来越多，百姓出行越来越便捷，对地区的经济发展起到了很大的促进作用．已知两个工程队共同参与某项筑路工程，甲队单独施工一个月完成总工程的，这时增加乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成．问： (1)哪个工程队的施工速度快？ (2)若甲、乙两队同时施工，需多少时间完成整项工程？ 17．某工厂计划加工一批零件，若单独加工，甲车间需要10天完成，乙车间需要15天完成． (1)若两车间合作，需要多少天完成？ (2)若甲车间先加工3天，再由两车间合作，还需要多少天完成？ 18．某校需将新购买的一批图书按要求分类整理后再放入图书室收藏．如果这批图书由管理员一个人单独整理需要，学校为加快进度，减轻管理员的负担，先安排一部分人整理，再增加5人和他们一起整理，这样恰好完成分类整理工作．假设每个人的工作效率相同，那么先安排分类整理的人有多少个？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)千克 (2)元 (3)5元 【分析】本题考查了销售盈亏(一元一次方程的应用)，营销问题(一元二次方程的应用) ，有理数四则混合运算的实际应用等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设降价元，可用表示出盈利，由此列出方程求解，从而可求出销量； （2）每千克盈利元，乘以（1）中算出的销量即可； （3）设每千克应降价元，根据题意，列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设降价元， 盈利（元/千克）， 每千克盈利元， 则， 解得：， 销量千克； （2）以每千克盈利元的价钱出售， 此时能盈利元； （3）设每千克应降价元， 则， 解得：，， 因为同时又要价格尽可能低， 所以每千克水果应降价5元． 2．这种商品的成本是70元． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，重点在于准确理解降价带来的售价与销量双重变化，并正确列出利润表达式．通过设成本为未知数，根据降价前后利润的关系列出方程，求解得到成本． 【详解】解：原价100元，降价，即降价元，降价后每件价格元， 每降价1元多订购4件，降价5元多订购件，降价后订购件， 设该商品的成本价为元，列方程为： ， 整理得：， 解得：， 答：这种商品的成本是70元． 3．(1)千克 (2)元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，仔细审题，找准等量关系是解题关键． （1）设第一次购进的数量为x千克，则第二次购进千克，从而根据“第二次付款是第一次付款的1.5倍”列方程求解即可； （2）用销售总额减去总成本求解即可． 【详解】（1）解：设第一次购进的数量为x千克，则第二次购进千克， 解得：， ∴第一次购进350千克； （2）解：，即第二次购进450千克 元． ∴该超市销售这批苹果共获得的利润是元． 4．(1)每件服装的标价为200元 (2)打六折销售能恰好保证收支平衡 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题； （1）设每件服装的标价为x元，利用衣服的进价相同即可列出方程； （2）设打y折销售能保证收支平衡，收支平衡即衣服的售价等于进价，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：设每件服装的标价为x元， 则， 解得． 答：每件服装的标价为200元． （2）解：由（1）可知进价为（元） 设打y折销售能恰好保证收支平衡， 则， 解得． 答：打六折销售能恰好保证收支平衡． 5．(1)A种商品每件的进价是80元，B种商品每件的进价是60元 (2)全部售完商场共可获利1725元 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，根据已知条件设出合适的未知数和列出方程是解题的关键． （1）根据已知条件设出A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是元，再根据购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同，列出方程求解即可； （2）根据已知条件设出购进A种商品a件，则购进B商品件，首先解出商场购进两种商品各多少件，再计算总利润即可． 【详解】（1）解：设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是元， 由题意得：， 解得， ∴（元）， 答：A种商品每件的进价是80元，B种商品每件的进价是60元； （2）解：设购进A种商品a件，则购进B商品件， 由题意得， 解得， ∴， ∴（元）， 答：全部售完共可获利1725元． 6．(1)甲、乙两类图书每套的进价分别是120元、90元． (2)共有6种购买方案 (3)购买甲类图书套，乙类图书套时，最小，最小值为元． 【分析】（1）设甲类图书元每套，由“套甲类图书比套乙类图书的进价高元”可知乙类图书为元每套，再根据“买套甲类图书和套乙类图书一共需要元”列出方程，即可解答 （2）设甲类图书购买了套，则乙类图书购买了套，根据甲类图书购买的数量不少于乙类图书数量的，且甲类图书购买的数量不超过套，列出不等式，求出的取值范围，由为正整数，即可解答； （3）由（2）表示出总费用，利用一次函数的性质，即可确定的取值，即可确定最小值． 【详解】（1）解：设甲类图书每套进价为元，则乙类图书每套进价为元． 依题意，得， 解得， 则（元）． 故甲、乙两类图书每套的进价分别是120元、90元． （2）解：设甲类图书购买了套，则乙类图书购买了套． 由题意，得， 解得， ∵ ， 可取40，41，42，43，44，45， 共有6种购买方案． （3）解：由（2）可知， 化简，得． ， 随的增大而增大， 当时，取最小值，最小值为． 即购买甲类图书套，乙类图书套时，最小，最小值为元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解决本题的关键是根据已知条件，列出一元一次方程和一元一次不等式，应用一次函数的性质解决问题． 7．(1) (2)被框住的四个数的和能等于72，最大数是24． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式、规律型：数字的变化类以及整式的加减． （1）根据各数位置间的关系，可得出另外三个数分别为，，，再将四个数相加，即可得出被框住的这四个数的和； （2）根据被框住的四个数的和等于72，可列出关于a的一元一次方程，解之可得出a的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：若被框住的四个数中从上往下数第二个数为a，则另外三个数分别为，，， ∴被框住的这四个数的和为； （2）解：被框住的四个数的和能等于72， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：被框住的四个数的和能等于72，最大数是24． 8．(1) (2)没有可能和为，理由如下： 设中心为数字，则“中”字的数字为，，，，，，， 解得， ，位于倒数第二列（行）， 由于至少为倒数第列，故没有可能和为． 【分析】本题考查了求平均数，一元一次方程的应用． （1）求出图中“中”字框框住的七个数字的平均值即可； （2）设中心为数字，根据上下相邻的数：上面的数比下面的数小，左右相邻的数：左边的数比右边的数小，根据特点写出个数，再列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：图中“中”字框框住的七个数字的平均值为． （2）略 9．(1) (2) 小丽算错了，理由如下： 设圈出的4个数中最小的数为x，则其他三个数分别为， ∵圈出的4个数之和为45， ∴， 解得：， 根据题意得：x为整数， ∴不符合题意， ∴小丽算错了； (3)4 【分析】（1）根据月历表的特点列式即可． （2）设圈出的4个数中最小的数为x，则其他三个数分别为，根据题意列出方程，解方程即可得到答案． （3）设圈出的4个数中最小的数为x，则其他三个数分别为，进一步求和，结合分配律即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为． （2）略 （3）解：设圈出的4个数中最小的数为x，则其他三个数分别为， ∴， ∴对于任意一组这样圈出的四个数，一定能整除它们之和的最大整数是． 10．(1)带阴影的十字框中的个数的和是十字框中间的数的倍； (2)成立，； (3)不能是． 【分析】本题主要考查了日历表中数字的排列规律、一元一次方程的实际运用，根据日历表中的数字排列规律解决问题． 根据有理数的加法法则计算即可； 设十字框中间的数为，则上面的数是，下面的数是，左面的数是，右面的数是，根据整式的加法法则计算即可得到十字框中五个数的和为； 设该月的月历上用十字框框出个数中间的一个数是，可列方程，解方程求出，由图可知，在日历的最右边一列，所以这个数的和不能是． 【详解】（1）解：， 带阴影的十字框中的个数的和是， ， 带阴影的十字框中的个数的和是十字框中间的数的倍； （2）解：中的结论对于任何一个月的月历都成立， 设十字框中间的数为，则上面的数是，下面的数是，左面的数是，右面的数是， 十字框中五个数的和为：； （3）解：设该月的月历上用十字框框出个数中间的一个数是， 根据题意可得：， 解得：， 由图可知，在日历的最右边一列， 不可能是中间的数字， 用十字框框出个数的和不可能是． 11．(1)120 (2) 设最小的数为，则这个数的和为 化简得． 若和为192，则 解得． 此时最大的数为，但月历中最大日期为31，不符合实际， 所以这个数字的和不能是192． 【分析】本题考查了一元二次方程在月历日期问题中的应用，解题的关键是找出月历中“回”字型8个数的数量关系，通过设未知数建立方程求解． （1）设最小数为，则最大数为，根据最小数与最大数的积为161列一元二次方程，求解得最小数，进而确定8个数并求和． （2）设最小数为，表示出8个数的和为，令其等于192，求解，再根据月历最大日期判断是否符合实际． 【详解】（1）解：设最小的数为，则最大的数为． 根据题意，， 解得或（日期不能为负，舍去）． 所以这个数分别是、、、14、16、21、22、23． 它们的和为． （2）略 12．(1)、、、 (2)当计算结果是40时，中间数为8，左上角的数字在1的左侧，实际框住的只有4个数字（，，，），不符合题意；当计算结果是50时，，而10在日历中最后一列，不符合题意 (3)可能取的值为22和23 【分析】（1）结合图形，找出数字规律即可解答； （2）由题意建立方程求解x，再根据x的位置判断即可； （3）根据题意列不等式求解，再根据5个数中间的数不能是最后一列和最后一行的数，判断即可． 【详解】（1）解：用含的代数式表示其余4个数为、、和， （2）解：框住的5个数的和为， 当计算结果是40时，则， 解得， 中间数为8，左上角的数字在1的左侧，实际框住的只有4个数字（,,,），不符合题意； 当计算结果是45时，则， 解得，符合题意； 当计算结果是50时，则， 解得， 由图可知10在日历中最后一列，不符合题意； 当计算结果是60时，则， 解得，符合题意； （3）解：根据题意得：， 解得， 因为5个数中间的数不能是最后一列和最后一行的数， 所以可能取的值为22和23． 13．（1）这个两位数为16；（2）乙需工作8天后甲再继续加工才可正好按期完成任务 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，找出等量关系列方程是解题关键， （1）设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为，根据这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调之后组成的两位数列方程解决即可； （2）设乙需工作x天后甲再继续加工才可正好按期完成任务，则甲做了天，根据要求二人在12天内完成任务列方程解决即可． 【详解】（1）解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为， 由题意列方程得，， 解得：， ∴， ∴这个两位数为16； （2）解：设乙需工作x天后甲再继续加工才可正好按期完成任务，则甲做了天， 根据题意可得： 解得：． 答：乙需工作8天后甲再继续加工才可正好按期完成任务． 14．2 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设乙队实际做了个小时，根据各劳动分量之和等于工作总量，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设乙队实际做了小时，由题意，得： ， 解得； 答：乙队实际做了2小时． 15．乙单独完成这项工程需要天 【分析】根据甲、乙工作效率比为设出两人的工作效率，再结合“甲先单独做天，再与乙合作天完成工程的一半”列出方程，进而求出乙的工作效率，最后算出乙单独完成工程的时间． 【详解】解：设全部工程量为，甲每天完成的工程量为，则乙每天完成的工程量为， 则， 即， ， 则乙每天完成的工程量为， （天）， 答：乙单独完成这项工程需要天． 16．(1)乙工程队的施工速度快 (2)若甲、乙两队同时施工需要2.4个月完成整项工程 【分析】（1）设乙队单独施工需x个月完成整项工程，根据工作总量等于1建立分式方程求解； （2）设若甲、乙两队同时施工需要y个月完成整项工程，根据工作总量等于1建立一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设乙队单独施工需x个月完成整项工程， 根据题意得：， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∵甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，且， ∴乙工程队的施工速度快； （2）解：设若甲、乙两队同时施工需要y个月完成整项工程， 根据题意得：， 解得：． 答：若甲、乙两队同时施工需要2.4个月完成整项工程． 17．(1)天 (2)天 【分析】（1）设两车间合作，需要天完成，根据题意列方程求解即可； （2）设还需要天完成，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设两车间合作，需要天完成， 根据题意列方程得， 解得， 答：两车间合作，需要天完成． （2）解：设还需要天完成， 根据题意列方程得， 解得， 答：还需要天完成． 18．先安排分类整理的有8个人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设先安排分类整理的有个人，根据“一个人单独整理需要”及“先安排一部分人整理，再增加5人和他们一起整理，这样恰好完成分类整理工作”列方程求解即可． 【详解】解：设先安排分类整理的有个人，由题意得：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 答：先安排分类整理的有8个人． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $