第五章 一元一次方程全章高频重点题型突破（五大高频+四大重难题型，专项训练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程全章高频题型，构建"概念-运算-应用-综合"四层递进训练体系，强化抽象能力与模型意识 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|5类35题|概念辨析/性质应用/基本求解|从方程定义到等式性质，夯实运算能力| |核心提升|4类24题|参数综合/分段计费/解的判定|立足方程求解，拓展实际应用与参数思想| |综合攻坚|4类26题|新定义问题/动态几何/跨知识综合|融合创新情境，发展推理能力与模型观念|

第五章 一元一次方程全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 方程与一元一次方程的概念辨析 题型2 等式的性质与方程变形 题型3 解一元一次方程 题型4 含参方程与同解问题 题型5 实际问题与一元一次方程 核心提升·重难题型归纳 题型1 同解方程与参数综合 题型2 分段计费问题 题型3 由解的正负性定参数范围 题型4 动点问题 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 方程与一元一次方程的概念辨析 1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）下列各式中，属于方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、是等式，但不含未知数，不是方程，不符合题意； B、不是等式，不是方程，不符合题意； C、含有未知数，但不是等式，不是方程，不符合题意； D、既含有未知数，又是等式，是方程，符合题意． 2．（25-26七年级下·河南南阳·期中）下列各式中是一元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A中未知数的最高次数为，不符合要求，A错误； 选项C不是等式，不属于方程，不符合要求，C错误； 选项D分母含有未知数，不是整式方程，不符合要求，D错误； 选项B是等式，只含一个未知数，的次数为，且是整式方程，满足一元一次方程的所有条件，B正确． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知是一元一次方程的解，则的值为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 4．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知是关于的方程的解，则的值是_____． 【答案】1 【详解】解：把代入得：， 解得：． 5．（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知是关于的一元一次方程，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：由题意得，，且． 解得，即或． 又． 因此． ◆题型2 等式的性质与方程变形 6．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如果，那么根据等式的性质下列变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、∵， ∴，原式变形不正确，不符合题意； B、∵， ∴，原式变形正确，符合题意； C、∵， ∴， ∴，原式变形不正确，不符合题意； D、∵， ∴，原式变形不正确，不符合题意． 7．（25-26七年级下·北京顺义·期末）把方程写成用含x的代数式表示y的形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵原方程为 ，移项得 ，将y的系数化为1，等式两边同乘，得；故A正确，其余都是错误的； 8．（25-26七年级下·福建泉州·期末）下列等式的变形错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解：根据等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立． A. , 等式两边同时减, 可得, 变形正确． B. , 等式两边同时加, 可得, 变形正确． C. , 等式两边同时乘, 可得, 不是, 变形错误． D. , 等式两边同时乘, 可得, 变形正确． 故选C． 9．（25-26七年级下·福建泉州·期末）下列方程的变形正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】A 【详解】解：选项A：∵，等式两边同时减3，得，变形正确，符合题意； 选项B：∵，等式两边同时除以7，得，原式变形错误，不符合题意； 选项C：∵，等式两边同时乘2，得，原式变形错误，不符合题意； 选项D：∵，移项得，原式变形错误，不符合题意． ◆题型3 解一元一次方程 10．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）解下列方程： (1) (2) 【详解】（1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：； （2）解：移项得：， 整理得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：． 11．（25-26七年级上·陕西西安·期末）解下列方程： (1)． (2)． 【详解】（1）解：去括号，得． 移项、合并同类项，得． 方程两边都除以6，得． （2）解：去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 方程两边都除以，得． 12．（25-26七年级上·陕西商洛·期中）解方程： (1)． (2)． 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为得． 13．（25-26七年级下·山东淄博·期末）解方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解： 移项，得， 合并同类项，得， 方程的两边都除以，得； （2）解：． 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 方程的两边都除以3，得． 14．（25-26六年级下·山东泰安·期末）解方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）解：， 整理得，， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，． 15．（25-26六年级下·山东泰安·期末）解下列方程 (1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． ◆题型4 含参方程与同解问题 16．已知关于y的方程与方程的解相同，求m的值． 【答案】 【详解】解：由方程 ∵关于y的方程与方程的解相同 ∴将代入得 解得. 17．已知方程和方程的解相同，求m的值． 【答案】16 【详解】解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， ∵方程和方程的解相同， ∴把代入方程得， 解得． 18．已知关于的方程与有相同的解，求的值． 【答案】的值为 【详解】解：由， 得 由， 得 两个方程的解是相同的， ， 解得 故的值为． 19．已知关于的方程与的解相同，求的值． 【答案】 【详解】解： ， 由题意，把代入中， ， 答：的值为． ◆题型5 实际问题与一元一次方程 20．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）某加工厂有名工人，平均每人每天加工桌面个或桌腿个，已知1个桌面与4个桌腿配成一套，问需分别安排多少名工人加工桌面、桌腿，才能使每天生产的桌面桌腿刚好配套？设安排x名工人加工桌面，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：安排名工人加工桌面，则加工桌腿的工人人数为名，依题意得 21．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文—明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，对应，，．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到的密文7，18，15，则解密得到的明文为（    ） A．4，5，6 B．6，7，2 C．2，6，7 D．7，2，2 【答案】B 【详解】解：由题意知，，， 解得，，． 22．（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．图①是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，长为，则这个正方形纸板的边长为（    ）． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】解：设长方体的高为，则盒子的宽为， 根据题意得，， 解得：， ∴这个正方形纸板的边长为． 23．（25-26七年级上·河北邯郸·开学考试）一种石灰与水混合后的石灰浆，石灰与水的质量比是．现在向石灰浆中加入120千克水，要使石灰与水的质量比不变，还应加入（    ）千克石灰． A．150 B．90 C．80 【答案】B 【详解】解：根据比例关系，设原有石灰和水的质量分别为和千克，加入120千克水后，总水量变为千克，设需加入x千克石灰，使石灰与水的质量比不变，根据题意得： ， 解这个方程得：， 要使石灰与水的质量比不变，还应加入90千克石灰， 故选：B． 24．（25-26七年级下·山西晋城·期末）在如图的2026年4月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（     ） A．27 B．51 C．69 D．75 【答案】D 【详解】解：根据月历表可设竖列上中间的数为，则上面的数为，下面的数为， 这三个数的和为． A、当时，解得，则，，符合月历表中数的特点，故A选项不符合题意； B、当时，解得，则，，符合月历表中数的特点，故B选项不符合题意； C、当时，解得，则，，符合月历表中数的特点，故C选项不符合题意； D、当时，解得，则，，，不符合月历表中数的特点，故D选项符合题意． 25．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目，其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设木长尺，则 绳子长为尺，根据题意得 . 26．（25-26七年级下·江苏南京·开学考试）如图，根据图中的信息，可列方程为______________________________． 【答案】 【详解】解：根据圆柱体积公式，容器内原来有水，加入小球后总体积为， 由体积相等，可列方程：． 27．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）某班共有50名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少10人．  若设女生人数为x，则可列方程为______．   【答案】 【详解】解：设女生人数为， ∵男生人数比女生人数的倍少，班级总共有学生人， ∴男生人数可表示为， ∵总人数等于男生人数加女生人数， ∴可列方程为． 28．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）实施乡村振兴战略是新时代“三农”工作总抓手，安徽作为农业大省，正在奋力推动乡村振兴走在全国前列．某村制定农户养殖奖励方案，每平方米每月补助金为10元．如图，王大爷计划利用长35米的竹篱笆，围成一个长边靠墙的长方形养鸡场，墙的长度为14米，围成的养鸡场的长比宽多2米，王大爷每月能领取养殖补助金为__________． 【答案】元 【详解】解：设垂直于墙的一边长为x米，则另一条边长为米，根据题意得： ， 解得：， （米）， ∵， ∴此时长方形符合题意， （元）， 答：王大爷每月能领取养殖补助金为1430元． 故答案为：1430元． 29．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）某车间计划加工一批产品．如果每小时加工产品10个，就可以在预定时间完成任务；实际加工两个小时后，提高了加工速度，每小时多加工2个，结果提前1小时完成任务，求该产品一共有多少个？ 【答案】80个 【详解】解：设每小时加工产品10个时，总加工小时，则实际加工小时， ， 整理得，解得， （个）， 答：该产品一共有80个． 30．（25-26七年级下·山西临汾·期末）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的八折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低40元销售16件的销售额相等，求这种服装每件的标价． 【答案】这种服装每件的标价是80元 【详解】解：设这种服装每件的标价是元， 由题意得：， 解得， 答：这种服装每件的标价是80元． 31．（25-26七年级下·福建泉州·期中）用方程（组）解决下列问题： 某中学举办了足球比赛，计分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某班参加了11场比赛，并始终保持不败的记录，共得25分，求该班胜了多少场比赛？ 【答案】该班胜了7场比赛 【详解】解：设该班胜了x场比赛，则平场，依题意得： 解得： 答：该班胜了7场比赛． 32．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）某地居民用水收费标准如下表： 家庭每年用水量 收费标准 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 4元 超过的部分 6元 小亮家去年缴水费980元，他家去年实际用水量是多少？ 【答案】 【详解】解：（元） （元） （元） ， 小亮家去年实际用水量应为“超过但不超过”这种情况． 设小亮家去年实际用水量为，根据题意可知： 解得 答：小亮家去年的实际用水量是． 33．（24-25七年级下·山东济宁·期中）为备战济宁马拉松比赛，小彬和小强每天坚持在学校的环形跑道上跑步，小彬每秒跑，小强每秒跑．如果两人在跑道上相距处，同时“背对背”出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ 【答案】 【详解】解：设经过两人首次相遇， 根据题意，得， 解得． 答：经过两人首次相遇． 34．（25-26七年级上·江西宜春·期末）七年级开展演讲比赛，学校决定购买一些笔记本和钢笔作为奖品．现有甲、乙两家商店出售两种同样的笔记本和钢笔．他们的定价相同：笔记本定价为每本25元，钢笔每支定价5元，但是他们的优惠方案不同，甲店每买一本笔记本赠一支钢笔；乙店全部按定价的9折优惠．已知七年级需笔记本20本，钢笔x支（大于20支）．问： (1)若，通过计算说明此时到哪家商店购买较为合算？ (2)当购买钢笔多少支时，甲店和乙店的费用一样？ (3)当时，请设计一种方案，使购买最省钱？算出此时需要付款多少元？ 【答案】(1)甲店 (2)100支 (3)在甲店购买20本笔记本（获赠20支钢笔），再在乙店购买剩余的20支钢笔，总共需要付款590元 【详解】（1）解：在甲店购买需付款元，在乙店购买需付款元， 当时，在甲店需付款元． 在乙店需付款元，， 所以在甲店购买合算． （2）解：，解得， 当购买钢笔100支时，甲店和乙店的费用一样． （3）解：当时，全部在甲店购买需付款元， 全部在乙店购买需付款元， 在甲店购买20本笔记本，可获赠20支钢笔。由于总共需要40支钢笔，故还需额外购买20支。在乙店购买钢笔的价格为元/支，比在甲店单独购买（5元/支）更便宜，所以剩余的20支钢笔应在乙店购买， 所需金额为元， 当时，最省方案为：在甲店购买20本笔记本，在乙店购买20支钢笔，总共需要付款590元． 35．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在数轴上点表示的数是，点在点的右侧，且到点的距离是16，点在点，之间，且到点的距离与到点的距离相等． (1)点B表示的数是_____；点C表示的数是_____． (2)若点从点出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为秒，在运动过程中，当为何值时，点与点相遇？ (3)在（2）的条件下，是否存在符合条件的值，使得？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【详解】（1）解：由题意得，点B表示的数是， 点C表示的数是， 故答案为：，； （2）解：由题意得，， 解得， ∴当时，点与点相遇； （3）解：存在， 由题意得，， 解得或． ◆题型1 同解方程与参数综合 36．我们把解相同的两个方程称为“同解方程”，例如：方程与方程的解都为，所以它们为“同解方程”． (1)若方程与关于的方程为“同解方程”，求的值． (2)若关于的方程与为“同解方程”，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：方程去分母，得， 去括号，得， 移项，得，   合并同类项，得， 两边都除以5，得． 把代入，得，所以． （2）由方程，得．把 代入，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边都除以11，得． 37．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）已知关于的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于的方程的解相同． (1)求，的值． (2)若关于的方程无解，求的值． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：∵是关于的一元一次方程， ∴ 解得， 则原一元一次方程为， 解得， ∵两个方程同解， ∴， 解得； （2）解：把，代入， 得：， 即， ∵关于的方程无解， ∴ 解得． 38．（25-26七年级上·河北廊坊·阶段检测）若是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)若该方程与关于的方程的解相同，求的值； (3)若表示不大于的最大整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由题意得且， 所以． 答：的值为． （2）解：由（1）可知，， 则方程可化为， 解得，． 将代入方程， 得， 即， 解得，． 答：的值为． （3）解：， ． 答：的值为． 39．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段检测）解方程： (1)； (2)； (3)若方程与方程的解相同，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ∴； （2） ， ∴； （3）解，得：， 把代入，得：， 解得：， ∴． 40．（25-26七年级下·福建泉州·阶段检测）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程． (1)填空：方程与方程______同解方程（填“是”或“不是”）； (2)若方程与关于x的方程是同解方程，求m的值； (3)若关于x的两个方程与是同解方程，求符合要求的正整数m，n的值． 【答案】(1)是 (2) (3)，或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴方程与方程是同解方程； （2）解：∵， ∴， ∵方程与关于x的方程是同解方程， ∴方程的解为， ∴， ∴； （3）解：解方程得：， 解方程得：； ∵关于x的两个方程与是同解方程， ∴， ∴， ∵m，n都是正整数， ∴是正整数， ∴或， 当时，； 当时，． ◆题型2 分段计费问题 41．（25-26七年级上·四川成都·开学考试）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 【详解】（1）解：∵用电200度未超过240度，属第1档， ∴，解得， 用电420度时，分三档计费： 第1档费用：（元）， 第2档费用：（元）， 第3档费用：（元）， 总电费：（元）； （2）解：用电240度时，电费为（元）， 用电400度时，电费为（元）， ∵， ∴11月份用电量在第2档， 设11月份用电量为度， 则， 解得， 答：老李家11月份的用电量为300度． 42．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费，每月用电不超过180度时，按每度元计费；每月用电量超过180度但又不超过280度时，超过部分按每度元计费，每月用电超过280度的部分按每度元计费．收费标准如下表： 月用量 不超过180度 超过180度不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)如果小李家每月交电费y元，每月用电量为x度，用含x的代数式表示电费y为： 当时， ； 当时， ； 当时， ． (2)小李家6月份交电费138元，求小李家6月份用多少度电？ 【答案】(1) (2)260度 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时， ． （2）解：当时，（元）； 当时，（元）； ， 故用电量处于第二段， 由时，得到， 解得：． 小李家6月份用电260度． 43.（25-26七年级下·河南周口·期中）为鼓励居民节约用水，某市居民生活用水推行每月阶梯水费收费制度，具体执行方案如下： 类别 每户每月用水量 阶梯价格/（元） 第一阶梯 小于或等于 a 第二阶梯 大于且小于或等于 4 第三阶梯 大于 5 该市某户居民2025年12月份的用水量为，缴纳水费18元． (1)表格中a的值为________． (2)若该户居民2026年1月份的用水量为，应缴纳水费多少元？ (3)若该户居民2026年2月份缴纳水费56元，求该户居民2月份的用水量． 【答案】(1)3 (2)39 (3)该户居民2月份的用水量为． 【详解】（1）解：（元）； （2）解：用水量属于第二阶梯(大于且小于或等于)，需分段计算： 第一阶梯：元， 第二阶梯：元， 总水费：元； （3）解：第一阶梯水费：元， 第二阶梯水费：元， 前两阶梯总水费：元， 因为，所以用水量超过，进入第三阶梯， 设该户居民2月份的用水量为， 根据题意，得， 解得． 答：该户居民2月份的用水量为． 44．（25-26七年级上·福建漳州·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水，长泰区采用价格调控的手段达到节水的目的，自来水收费的价目表如下表：（注：水费按月计算） 价目表 每月用水量 单价 不超出20吨的部分（含20吨） 元/吨 超出20吨不超出30吨的部分（含30吨） 元/吨 超出30吨的部分 元/吨 注：每月随征垃圾处理费9元． (1)若小明家1月份用水22吨，应缴费用多少元？ (2)若小明家2月份用水吨（），用含的代数式表示小明家2月应缴纳的费用． (3)若小明家3月份缴纳费用89元，求小明家3月份用水量． 【答案】(1)1月份应缴费用元 (2)2月份应缴费用元 (3)3月份用水量为35吨 【详解】（1）解：1月份用水22吨，因为， 所以应缴费用：（元）． 答：1月份应缴费用元． （2）解：因为， 所以2月份应缴费用：元． 答：2月份应缴费用元． （3）解：因为当用水为30吨时，应缴费用元． 因为，所以3月份用水量超过30吨． 由（2）得 解得 答：3月份用水量为35吨． 45．（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格见价目表．（注：水费按月结算） 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出，不超出的部分 3元 超出的部分 4元 (1)若某户居民2月份用水4立方米，则应缴纳水费______元； (2)若某户居民3月份用水立方米，则该户居民3月份应缴纳水费多少元（用含的代数式表示，并化成最简形式）？ (3)若某户居民4，5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），合计缴纳水费34元，求该户居民5月份用水多少？ 【答案】(1) (2)元 (3) 【详解】（1）解：由价目表可知，当时，则应缴纳水费元； （2）解：由价目表可知，当用水立方米时，则应缴纳水费元； （3）解：设该户居民5月份用水，则4月份用水， 5月份用水量多于4月份， ，即 则由价目表可知，分三种情况： ①5月份用水超出且不超出，4月份用水不超出，则 ， 解得； ②5月份用水超出且不超出，4月份用水超出且不超出，则 ， 方程无解，不符合题意； ③5月份用水超出，4月份用水不超出，则 ， 解得，与条件矛盾，不符合题意； 综上所述，该户居民5月份用水． 46．（25-26七年级上·广东惠州·阶段检测）小阳同学在查看家里的电费账单时发现账单上有“第一档电费，第二档电费，峰时段用电量、谷时段用电量、⋯⋯”等信息，引起了小阳同学的好奇．通过查询国家电网福建电力公司官网知道了电力公司对居民用电设定如下两种计费方式供居民选择： 计费方式一：“分档”计算电费（如表1），即按用电量先计算第一档，超过第一档的部分再计算第二档，依次类推，总电费等于各挡电费的总和； 计费方式二：“分档＋分时”计算电费（如表1、表2），总电费等于分档电费、峰时段增加的电费、谷时段减少的电费的总和． 居民用电分档 用电量（单位：度） 电价（单位：元/度） 第一档 不超过230 第二档 超过230且不超过420 第三档 超过420 表1 峰谷时段 电价差额（单位：元/度） 峰时段（） （每度电在各挡电价基础上加价元） 谷时段（次日） （每度电在各挡电价基础上降低元） 表2 (1)若小阳同学家选择计费方式一，1月份用电量为330度，求1月份应缴电费； (2)设小阳同学家某月的用电量为x度，，且峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，请用含x的式子表示两种计费方式应缴电费； (3)小阳同学家在2025年某月的电费为元，若采用计费方式一和计费方式二应缴电费相同，求该月峰时段的用电量是谷时段的几倍？ 【答案】(1)170元 (2)“分档”计算电费：，“分档+分时”计算电费： (3)倍 【详解】（1）解：由题意得： （元）， 答：1月份应缴电费170元； （2）解：， 当时，则“分档”计算电费：； 当时，则“分档”计算电费：， “分档”计算电费：， 峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，则峰时段用电量是，谷时段用电量是， 当时，则“分档+分时”计算电费：； 当时，则“分档+分时”计算电费：， “分档+分时”计算电费：； （3）解：（元），（元），（元），， （度）， 小阳同学家在这个月的用电量为：（度）， 设峰时段用电量为y度，则谷时段的用电量为度， 由题意得：， 解得：， 则（度）， ， 答：该月峰时段的用电量是谷时段的倍． 47．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）居民生活用水通常按户计费，下表是某城市居民生活用水的收费标准，称这样的收费方式为阶梯计价． 收费方式 年用水量（） 收费标准（元） 第一阶梯 （含） 第二阶梯 （含） 第三阶梯 以上 （例如：该城市某户家庭年用水量为，则水费为元） (1)若该城市小明家年的年用水量为，则小明家这一年的水费是______元； (2)已知该城市小颖家年的年用水量为，水费为元，求的值； (3)若该城市某户居民年的年用水量为，这户居民的水费是多少元?（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)这户居民的水费为： 【详解】（1）解：∵小明家年用水量为，处于第二阶梯， ∴水费为：元​； 故答案为：； （2）解：小颖家年用水量为，跨越三个阶梯： 第一阶梯：元， 第二阶梯：元， 第三阶梯：元， ∵总水费为元， ∴可列方程为， 解得：； ∴的值为； （3）解：根据年用水量的范围分情况讨论： 当时， 水费为， 当时， 水费​为， 当时，代入， 水费​为， ∴这户居民的水费为：． 48．（25-26七年级上·四川成都·期末）年月日我国正式启动海南封关，将海南岛全岛建成一个自由化便利化政策制度的特殊区域，意义重大．某商场嗅到商机搞促销活动，活动方案如下表： 一次性购物(原价) 优惠方案 不超过元 不给优惠 超过元，不超过元 超过元的部分按9折优惠 超过元 所购商品全部给予8折优惠 (1)按照商场的活动方案，小石在该超市购买原价元的商品，应付款________元；小天在该超市购买原价元的商品，应付款________元； (2)小石在该超市购买了某种商品，实际付款元，请求出该商品的原价是多少元？ (3)若小石、小天在该超市共购买原价元的商品，其中小石顾客购买商品的原价超过元且不足元，实际两人各自付款共元，请求出小石、小天购买的商品的原价各为多少元？若两人拼单购买，与各自付款相比，小石、小天两人之中谁更省钱？省多少元钱？ 【答案】(1)；； (2)元或元； (3)小石购买的商品原价为元，小天购买的商品原价为元；小石更省钱，省元． 【详解】（1）解：∵， ∴应付款(元)； ∵， ∴应付款(元)； 故答案为：；． （2）解：设该商品的原价为元． ①当时， 根据优惠方案，列方程得：， 解得，符合； ②当时，列方程得：， 解得，符合； 故该商品的原价是元或元． （3）解：设小石购买的商品原价为元，则小天购买的商品原价为元， ∵， ∴，即小天的商品原价超过元． 根据题意列方程：， 解得， 则小天的商品原价为(元)； ∵独自购买时，小石享受的优惠方案是超过元的部分按9折优惠，小天享受的优惠方案是所购商品全部给予8折优惠， 两人拼单购买，享受的优惠方案是所购商品全部给予8折优惠， ∴小石更省钱． 小石原来的付款金额：(元)， 拼单后小石的付款金额：(元)， ∴小石节省的金额为(元)； 答：小石购买的商品原价为元，小天购买的商品原价为元．小石更省钱，省元． 49．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）苏州市区居民用管道燃气收费标准如下： 用户类型 档次 气价（元/） 备注 居民用户 第一阶梯年用气量为（含） 3．02 以居民户籍人口4人（含4人）为计价单位，以年度为计量周期； 对居民户籍人口超过4人的，每增加1人，在户籍人口4人（含4人）用量的基础上，每档相应增加年用气量． 第二阶梯年用气量为（含） 3．62 第三阶梯年用气量为以上 4．53 (1)已知甲、乙两个家庭2025年度的年用气量均为． ①甲家庭户籍人口为3人，应付燃气费__________元； ②乙家庭户籍人口为5人，应付燃气费__________元； (2)某家庭户籍人口为4人，2025年度共缴纳燃气费1932元，该家庭的年用气量是多少？ 【答案】(1)； (2)该家庭的年用气量是 【详解】（1）解：∵人口数（3人）未超过4人， ∴直接按原始阶梯标准计算， ∵用量中，前属于第一阶梯，后属于第二阶梯， ∴应付燃气费（元）， 故答案为：； 解：∵乙家庭户籍人口为5人超过4人，增加了1人， ∴各阶梯气量上限需增加， 调整后的阶梯标准为： 第一阶梯：， 第二阶梯：， 第三阶梯：以上， 乙家庭用气量，落在调整后的第二阶梯内（）， ∴前按第一阶梯气价计算，超出的按第二阶梯气价计算， ∴应付燃气费（元）， 故答案为：； （2）解：设该家庭的年用气量为 x立方米．由于人口为4人，按原始阶梯标准计算． 首先判断 x所在阶梯： 若全部为第一阶梯（），最高费用为元，小于元， 故． 若全部在第二阶梯内（），则费用由第一阶梯部分和第二阶梯部分组成． 若进入第三阶梯（），费用会显著增高．我们可以先按在第二阶梯内计算． 根据​的情况列方程： 第一阶梯费用：元， 第二阶梯费用：元， 则， 解得：， 答：该家庭的年用气量是． ◆题型3 新定义与参数问题 50．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定，解答下列问题． (1)下列关于的一元一次方程是“和解方程”的是______（填序号）． ①；②；③． (2)若关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值． 【答案】(1)③ (2) 【详解】（1）解：由方程，解得：， ∵， ∴方程不是“和解方程”； 由方程，解得：， ∵， ∴方程不是“和解方程”； 由方程，解得：， ∵， ∴方程是“和解方程”； 故：③是“和解方程”． （2）解：由方程， 解得． ∵一元一次方程是“和解方程”， ∴， 解得． 51．（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：解方程得， 解方程，得， 关于x的方程与方程是“美好方程”， ， 解得； （2）解：由条件可知另一个方程的解为：， 又两个方程解的差为8， 得： 或， 或． 52．（25-26七年级上·河北衡水·期末）规定：若两个一元一次方程所含未知数相同，并且其中一个方程的解是另一个方程解的倍，则这个方程叫作另一个方程的倍解方程．如一元一次方程的解是，的解是．是的倍，因此一元一次方程是的倍解方程． (1)写出一个方程：的倍解方程： ； (2)已知关于的一元一次方程是的倍解方程，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【详解】（1）解：一元一次方程的解是， 根据倍解方程的定义，其倍解方程的解为， 一元一次方程的倍解方程是． 故答案为：(答案不唯一)； （2）解：解一元一次方程， 可得：， 解一元一次方程， 可得：， 一元一次方程是的倍解方程， ， 解得：． 53．（25-26七年级上·云南昆明·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”． (1)方程与方程___________“美好方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，且比大2，求和的值． 【答案】(1)不是 (2) 【知识点】已知方程的解，求参数、一元一次方程解的关系 【详解】（1）解：方程的解为；方程的解为 ， 由，不符合定义， 故方程与方程不是“美好方程”， 故答案为：不是； （2）解：， ， ， 解得； 又， ， 解得， 由关于的方程与方程是“美好方程”， 故即， 又比大2， 故，代入上式，得，整理得， 解得， 故． 54．（25-26七年级上·河南安阳·期末）我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”，例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于x的两个方程与为“互反方程”，求a的值； (3)已知m为整数，若关于x的方程的解是正整数，且其与方程互为“互反方程”，直接写出m的值． 【详解】（1）解：方程的解为， 方程的解为， ， 方程与为“互反方程”； （2）解：方程的解为， 方程的解为， 这两方程为“互反方程”， ， 解得：； （3）解：方程的解为， 为整数，且为正整数， ，1， 当时，原方程的解为，方程的解为，满足题意； 当时，原方程的解为，方程的解为，不满足题意， 综上，． 55．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）若关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． (1)①，②，③三个方程中，为“友好方程”的是______（填写序号）； (2)若关于x的一元一次方程：是“友好方程”，求b的值； (3)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求m与n的值． 【答案】(1)① (2) (3)， 【详解】（1）解：①解方程得，由知，方程是“友好方程”； ②解方程得，由知，方程不是“友好方程”； ③解方程得，由知，方程不是“友好方程”， 故答案为：①； （2）解：解方程，得． 根据题意，得．解得； （3）解：因为的解为，所以． 因为，所以． 因为是“友好方程”， 所以，即． 所以．所以． 将代入，得，解得． 所以，． 56．（25-26七年级上·江西赣州·期末）定义：如果两个关于的方程形如与（，均为不等于0的常数），那么我们就称这两个方程互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则____________． (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)5 (2) (3) 【详解】（1）解：由题可知，与方程（a，b均为不等于0的常数）称它们互为“反对方程”， ∵方程与方程互为“反对方程”， ∴． （2）解：方程可变为， 方程可变为， ∵关于的方程与方程互为“反对方程”， ∴， 解得：， ∴； （3）解：的“反对方程”为， 由得，， 由，得， ∵与的解均为整数， ∴与都为整数， ∵c也为整数， ∴当时，，，都为整数， 当时，，，都为整数， ∴c的值为． 57．（25-26七年级上·广东中山·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“相反方程”．例如：方程的解为，的解为，其中2和互为相反数，我们就称方程和为“相反方程”． (1)请说明方程和是“相反方程”； (2)若关于x的方程和是“相反方程”，求m的值； (3)若关于y的方程的“相反方程”的解，也是关于y的方程的解，求n的值． 【详解】（1）解：解方程，得， 解方程，得， ∵3与是相反数， ∴方程与是“相反方程”． （2）解：解方程，得． ∵关于x的方程和是“相反方程”， ∴是方程的解， 将代入，得， 解得． （3）解：解方程：，得， ∴的“相反方程”的解是， 将代入方程，得， 解得． 58．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）我们规定关于x的一元一次方程（）的解满足，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： (1)下面方程中是差解方程的是______． ①；②；③；④． (2)已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，它的解为a，求的值． (3)已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 【答案】(1)①③④ (2) (3) 【详解】（1）解：对于方程 ，差解方程需满足 ． ① ，，，，，相等． ② ，，，，，不相等． ③ ，，，，，相等． ④ ，，，，，相等． 故差解方程为①③④． （2）解：方程 是差解方程，且解为 ． 差解方程要求解 且 ． 给定解为 ，所以 由第二式得 ，即 ． 代入第一式，， 解得 ，． 则 ． 所以 ． （3）解：方程 和 都是差解方程． 对于 ，设 ，则 解得 ，即 ． 对于 ， 设 ，则 解得 ，即 ． 由 和 ，相减得 ． 所以 ． 59．（25-26七年级上·北京·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程_____“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于的方程与关于的方程是“和谐方程”，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（a，b为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，则的值为_____． 【答案】(1)是 (2)2 (3) 【详解】（1）解：解方程得：， 解方程得： ∵与3互为相反数， ∴方程与方程是“和谐方程”． 故答案为：是． （2）解：解方程得：， 解方程得：， ∵关于的方程与关于的方程是“和谐方程”， ∴，解得：． （3）解：解方程得：， ∵关于的方程（a，b为常数）与关于的方程都是“和谐方程”， ∴方程的解为：， 将代入方程，得， 整理得：， ∵无论m取任何有理数，上式都成立， ∴，，解得：，， ． ◆题型4 动点问题 60．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示，且A，B两点之间的距离为．数轴上A，B两点对应的数分别为，2，P为数轴上一动点，且表示的数为m． (1)【发现问题】A，B两点之间的距离是_____________； (2)【解决问题】 ①若，则_____________， ②若点P到、两点的距离比为，则点P表示的数为_____________． (3)【创新应用】现在点P从A点处出发以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时Q从点B处出发，以个单位长度/秒的速度向左运动，当点P与点Q之间的距离是2个单位长度时，直接写出点P表示的数． 【答案】(1) (2)①或②或 (3)或 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：①由题意得， ， ， 或， 或； ②点P到、两点的距离比为， ， ， ， 或， 或； （3）解：设移动了秒时，点P与点Q之间的距离是2个单位长度， 由题意得， ， 化简得或， 解得或， ，， 点P表示的数为或． 61．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）如图，数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，．现有动点P，Q都从点A出发，点P 以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；当点P移动到点B时，点Q才从点A出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，点Q到达点C后立即返回，并以原来的速度向左移动．当点P到达点C时，点Q停止移动．设点P移动的时间为． (1)填空： ， ； (2)请求出当t不低于，且不超过时，线段的长；（用含t的代数式表示） (3)当线段的长为个单位长度时，求t的值． 【答案】(1)； (2) (3)、、 【详解】（1）解：∵数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，， ∴，； （2）解：P表示的数：， 当时，点Q的运动时间为秒，Q未到达点C， Q表示的数：， 两点距离：， ∵， ∴， ∴； （3）解：①当时，Q还未出发，Q在点A处， ， 令，得，满足， ②当时，Q向右运动，未折返， ， ，解得（，舍去）， ，解得，满足， ③当时，Q到达C后向左折返， Q表示的数：， ， ，解得（，舍去）， ，解得，满足， 综上所述，t的值为、、． 62．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探究“折线数轴” 素材 如图，将一条数轴在原点、点、点处折一下，得到一条“折线数轴”（原对应关系不变）．图中点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是．在“折线数轴”上，两点之间的“友好距离”定义为这两点表示数之差的绝对值，如：点与点在“折线数轴”上的“友好距离”为：，并表示为，计算距离是沿折线路径累加，而非直线距离．    素材 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的倍，经过点后立刻恢复初始速度． 素材 在动点运动的同时，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向负方向运动，且经过折点，，时速度始终保持不变． 问题解决 (1)探究 与点的“友好距离”等于的点在线段 上．动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探究 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数．（用含的代数式表示） (3)探究 当，两点分别同时从点、点出发，求，两点正好相遇时的时间，并且直接写出此时相遇点在数轴上所表示的数． 【答案】(1)或； (2) (3)，两点正好相遇时的时间为秒，此时相遇点在数轴上所表示的数为 【详解】（1）解：设该点表示的数为，则， 解得或， ∵点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ∴在线段上，在线段上， ∴与点的“友好距离”等于的点在线段或上； ∵动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的， ∴动点从点运动至点需要（秒）； （2）解：∵动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的倍， ∴由（1）可得， ∴当点从点出发时，运动时间为秒， ∴点表示的数为； （3）解：当时，点在上运动，点在上运动，不会相遇； 当时，点在上运动，点在上运动，不会相遇； 当时，点在上运动，点在上运动，会相遇； 由（2）可得点表示的数为， ∵动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向负方向运动，且经过折点，，时速度始终保持不变， ∴此时点表示的数为， ∴， 解得， 此时相遇点在数轴上所表示的数为； 当时，点在上运动，点在或或上运动，不会相遇； 综上所述，，两点正好相遇时的时间为秒，此时相遇点在数轴上所表示的数为． 63．（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图1，点是线段上一点，若，我们称为点在线段上的“分割值”，记为．例如点在上，，则；反之当，则． (1)如图2，数轴、两点对应的数为、，且分别满足和． ①求出 ； ；②请在图的数轴上画出、两点． (2)为数轴上一个动点，从点向终点匀速运动．①若点表示的数为，则 ． ②如图3，数轴上另一个点从点出发向点运动，到达点后立即以原速返回点，当点到达点时，，都停止运动．若点和点的运动速度分别为每秒个单位和每秒个单位，且点和点同时出发，运动秒后，是否存在，若存在，求出的值；不存在，请说明理由． (3)如图4，在四边形中，，，，，点，同时从点出发向终点匀速运动，点沿折线运动，点沿线段运动．设点，的速度分别为和且满足，若，当点运动到线段上时，则 ．（用含有的代数式表示） 【答案】(1)①；； ②点和点如图所示， (2)①；②或； (3) 【详解】（1）①，， ，， ，； ②略 （2）解：①由（1）可得， 点表示的数为， ， ， ； ②第一种情况：当点到达点之前时， 此时，， ， ，， ，解得； 第二种情况：当点到达点后，返回点时，此时，， ，， ， 解得； 综上，的值为或； （3）解：， ∴设点速度为，点速度为， 设运动时间为t，则， ，即， ， （点的运动路程）， ． 64．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，．点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿的路径向终点C运动；点P出发的同时点Q从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿的路径向点B运动．当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间是t秒． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当点P在线段上运动，Q在线段上运动时，若，求t的值； (3)当的面积等于面积的时，求t的值； (4)当线段将的周长分成两部分的比为时，直接写出t的值． 【答案】(1)，；， (2) (3)t的值为8或 (4)t的值为或 【详解】（1）解：∵， ∴点P运动的总时间为18秒， ∴当时，点P在上，时，点P在上， ∴当时，； 当时，； （2）解：根据题意，点P在线段上，，点Q在边上时，， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）解：根据题意得：， ∵的面积等于面积的， ∴， 由题意可分：当时，点在线段上，此时， ∴， 解得：； 当时，点在线段上，此时， ∴， 解得：； 综上，t的值为8或； （4）解：根据题意得的周长为， 当在上，点在上（），则有， ∵线段将的周长分成两部分的比为， ∴或， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当在上，点在上（），则有， ∵线段将的周长分成两部分的比为， ∴或， 解得：或（都不符合题意，舍去）； 当在上，点在上（），则有， ∵线段将的周长分成两部分的比为， ∴或， 解得：（不符合题意，舍去）或； 综上，当线段将的周长分成两部分的比为时，t的值为或． 65．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示-8，点表示6，点表示12，我们称点和点在“折线数轴”上相距20个单位长度．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，当点到达终点时停止运动；点出发的同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后也立刻恢复原速．当点停止运动时，点也随之停止．设点的运动的时间为秒． (1)动点从点运动至点需要 秒： (2)当时，点在“折线数轴”上所对应的数是 ，P、Q两点在“折线数轴”上相距 个单位长度： (3)当P、Q两点在“折线数轴”上相遇时，求的值； (4)当O、P两点在“折线数轴”上相距的长度小于B、Q两点在“折线数轴”上相距的长度时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3) (4)或 【详解】（1）段：长度，时间秒； 段：长度，时间秒； 段：长度，时间秒； 总时间：秒． （2）对：用秒到达，剩余秒在段运动，走了个单位，对应数为； 对：用秒到达，剩余秒在段运动，走了个单位，对应数为； 距离：； （3）相遇时、路程和为总长，分区间讨论： ①当点在上运动时，且点在上运动，即时， 故无法相遇，舍去； ②当点在上运动时，且点在上运动时，即时， 故无法相遇，舍去； ③当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ∴， 解得； 当时，不再相遇； 故． （4）①当点在上运动时，且点在上运动，即时， ，， ∴， 解得， ∴； ②当点在上运动时，且点在上运动，即时， ，， ， 解得， ∴； ③当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴， 解得， ∴； ④当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴，恒成立， 故； ⑤当点在上运动时，且点在上运动时，即时， ，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或 一、单选题 1．（25-26七年级上·广东清远·阶段检测）已知关于x的方程 是一元一次方程，m的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．0 【答案】B 【详解】∵方程是一元一次方程， ∴，且， 由，得，即， 又∵，∴， ∴． 因此，的值为． 故选：B． 2．（25-26七年级上·河南信阳·期末）下列利用等式的基本性质变形，错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【详解】解：A、由两边除以，得，A选项变形正确，不符合题意； B、，即，由两边乘，得，B选项变形正确，不符合题意； C、由两边减6，得，C选项变形正确，不符合题意； D、当时，成立，但此时，故由直接得出是错误的，D选项变形错误，符合题意． 故选：D． 3．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）爱动脑筋的小青同学设计了一种“幻圆”游戏，将、、、、、、、分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，他已经将、、、这四个数填入了圆圈，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） 结论Ⅰ：的值为： 结论Ⅱ：的值为． A．Ⅰ对Ⅱ不对 B．Ⅰ不对Ⅱ对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对 【答案】A 【详解】解：如下图所示，设两个空白位置的数分别为、， 根据题意可得：， 解得：， 、、可能是、、， 当、、时， 可得：，， ， 不成立； 当、、时， 可得：，，，， 成立， ，； 当、、时， 可得：，， ， 不成立； 当、、时， 可得：，，，， 成立， ，； 当、、时， 可得：，， ， 不成立； 当、、时， 可得：，， ， 不成立； 综上所述，，或， Ⅰ对Ⅱ不对． 4．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，一个长方形内部恰好能用一些大小不等的正方形纸片、、铺满（每两个正方形纸片之间既不重叠，也无空隙），如果长方形的周长为，那么正方形纸片的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设正方形纸片的边长为，由图形可知，正方形纸片、的边长为和， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴正方形纸片的面积为． 二、填空题 5．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）张先生向商店订购了每件定价为100元的某种商品80件，张先生对商店经理说：“如果你肯降价，那么每降价1元，我就多订购4件．”商店经理算了下，若减价则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元，这种商品的一件成本是_____元． 【答案】 【详解】解：根据题意，计算得减价金额为：（元） 因为每降价1元多订购4件，所以多订购的件数为：（件） 降价后一共订购的件数为：（件） 设这种商品的一件成本是元， 根据利润关系列方程得： 解得 答：这种商品的一件成本是70元． 6．（25-26七年级下·重庆·开学考试）一行数从左到右，一共2026个，任意相邻三个数的和都是116，第19个数是15，第29个数是，第2025个数是，则________． 【答案】 【详解】解：∵任意相邻三个数的和都是， ∴第个数和第个数相等，即位置序号除以3余数相同的数相等； ∵， ∴第个数是余数为1的位置上的数，即余数为1的位置的数为； ∵， ∴第个数是余数为2的位置上的数，即余数为2的位置的数为； ∵， ∴第个数是能被3整除的位置上的数，即该类位置的数为； ∵相邻三个数的和为， ∴， 解得． 7．（25-26七年级上·四川成都·开学考试）仓库大米比面粉多，当大米和面粉都减少5吨后，面粉比大米少，问：仓库原来大米有_______吨． 【答案】 【详解】解：设仓库原来面粉有吨， ∵原来大米比面粉多， ∴原来大米的重量为吨， 大米和面粉各减少吨后，大米重量为吨，面粉重量为吨， ∵此时面粉比大米少，即面粉重量是减少后大米重量的， ∴列方程得， 两边同乘去分母得， 展开，得， 移项整理，得， 解得， 将代入，得原来大米重量为吨． 8．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，已知等边三角形的边长为，有一点P从点A出发沿的方向以的速度匀速移动，另有一点Q从点B出发沿的方向以的速度匀速移动，若点P、Q同时出发，经过 ________ 秒后，两点第2次同时到达等边三角形的同一顶点． 【答案】30 【详解】解：设点P、Q同时出发，经过秒后两点第1次同时到达等边三角形的同一顶点， 由题意得，， 解得； 设再经过y秒后两点第2次同时到达等边三角形的同一顶点， 由题意得，， 解得， ， 即经过 30秒后，两点第2次同时到达等边三角形的同一顶点． 三、解答题 9．（25-26六年级下·山东泰安·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ， ， ． （4）解：， ，     ， ， ， ． 10．（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）一项工程，甲先单独做天，然后与乙合作天，这样才完成全部工程的一半．已知甲、乙工作效率的比为．如果这项工程由乙单独做，需要多少天才能完成？ 【答案】乙单独完成这项工程需要天 【详解】解：设全部工程量为，甲每天完成的工程量为，则乙每天完成的工程量为， 则， 即， ， 则乙每天完成的工程量为， （天）， 答：乙单独完成这项工程需要天． 11．（25-26八年级下·山东淄博·阶段检测）下表是篮球联赛中比赛积分表的一部分： 球队 比赛场数 胜场 负场 积分 敬业 诚信 (1)求胜一场积多少分？负一场积多少分？ (2)若某队比赛场数为场，胜场总积分与负场总积分相等，那么这支球队胜了几场？ 【答案】(1)胜一场积分，负一场积分 (2)这支球队胜了场 【详解】（1）解：设胜一场积分，负一场积分， 根据表格积分信息列二元一次方程组：， 两式相加化简得，即， 代入第一个方程：， 解得， ∴， ∴胜一场积分，负一场积分； （2）解：设这支球队胜了场，总场数为场，则负了场， 根据胜场总积分等于负场总积分列方程：， 整理得， 解得． 12．（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）某地区有A、B两家票务中心售卖机票，优惠活动如下： A票务中心：机票按原价打七五折销售，每张票额外加收手续费35元； B票务中心：机票按原价优惠，免收任何手续费． (1)张老师从潍坊飞往成都，机票原价为930元．在哪家票务中心购票实际付款更少？请计算说明； (2)李叔叔要从潍坊飞往某地，他核算后发现两家票务中心购票实付款一样多，请算一算这张飞机票原价是多少元？ 【详解】(1)在A票务中心购票实际付款更少， 理由：（元）， （元）， （元）， ， 所以在A票务中心购票实际付款更少； （2）解：设飞机票原价是元， 根据题意，得， 解得， 答：这张飞机票原价是700元． 13．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·开学考试）A，B两地相距，甲乙两位老人分别同时从A地与B地出发，步行前往另一地．已知甲老人走路的速度为，乙老人走路的速度为． (1)经过多长时间，甲乙老人相遇？ (2)一天，当两位老人出发时，一只狗与甲老人一同出发跑向乙老人，当狗与乙老人相遇时，立刻回头跑向甲老人，当狗与甲老人相遇时再立刻回头跑向乙老人……，当甲乙两位老人相遇时，狗停止运动．已知狗跑动的速度是．问：当狗停止运动时，狗已经跑了多少米？ 【答案】(1)经过300秒，甲乙老人相遇. (2)狗已经跑了2400米. 【详解】（1）解：设经过秒甲乙两位老人相遇， ∵ 甲的速度为，乙的速度为，相向而行相遇时路程和等于两地距离 ， ∴， 解得； 答：经过300秒甲乙两位老人相遇； （2）解：∵狗从出发到停止的总时间等于甲乙两人的相遇时间，即，狗的速度为， ∴狗跑的总路程为 ； 答：狗已经跑了2400米． 14．（26-27七年级·全国·小升初衔接）某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 【答案】(1)1133.20元 (2)500立方米 【详解】（1）解：（元） 答：李强家需交燃气费1133.20元． （2）解：600立方米用气量的总费用：（元） 平均每立方米的费用：（元） ，因此用气量不足600立方米． 设赵刚家用气量为立方米． 答：赵刚家年用气量是500立方米． 15．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在数轴上点O是数轴原点，A到O的距离为10，B到O的距离为6． (1)点A表示的数为________，点B表示的数为________，A，B两点之间的距离为________． (2)点C是数轴上一点，且满足点A与点C之间的距离是点B与点C之间距离的2倍，则点C在数轴上表示的数为________． (3)在点B处有两只电子蚂蚁P、Q，蚂蚁P以每秒2个单位长度的速度向右移动，当蚂蚁P移动到O点时，蚂蚁Q才从B点出发，并以每秒4个单位长度的速度向右移动，设蚂蚁P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两只蚂蚁相距4个单位长度？ 【答案】(1)点A表示的数为10，点B表示的数为，A，B两点之间的距离为16 (2)C在数轴上表示的数为或 (3)当为秒、秒或秒时，P、Q相距4个单位长度 【详解】（1）解：∵ A在原点右侧，， 表示10； 在原点左侧，， 表示； ． ∴点A表示的数为10，点B表示的数为，A，B两点之间的距离为16． （2）解：设点表示的数为，由题意得 ． ① 当时：， ， ∴； ② 当时：， ， ， ∴； ③ 当时：， ， （舍去，不在此区间）． 故C在数轴上表示的数为或． （3）解：从到用时：秒，分两段讨论． 秒时，对应的数：． ① ，未出发，在： ， ， （）， ∴； ② ，出发时长为秒，对应数：， ， ， 或 ， 解得：或 综上，当为秒、秒或秒时，P、Q相距4个单位长度． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 方程与一元一次方程的概念辨析 题型2 等式的性质与方程变形 题型3 解一元一次方程 题型4 含参方程与同解问题 题型5 实际问题与一元一次方程 核心提升·重难题型归纳 题型1 同解方程与参数综合 题型2 分段计费问题 题型3 由解的正负性定参数范围 题型4 动点问题 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 方程与一元一次方程的概念辨析 1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）下列各式中，属于方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南南阳·期中）下列各式中是一元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知是一元一次方程的解，则的值为（   ） A．4 B． C．8 D． 4．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知是关于的方程的解，则的值是_____． 5．（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知是关于的一元一次方程，则的值为__________． ◆题型2 等式的性质与方程变形 6．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如果，那么根据等式的性质下列变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·北京顺义·期末）把方程写成用含x的代数式表示y的形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·福建泉州·期末）下列等式的变形错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（25-26七年级下·福建泉州·期末）下列方程的变形正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 ◆题型3 解一元一次方程 10．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）解下列方程： (1) (2) 11．（25-26七年级上·陕西西安·期末）解下列方程： (1)． (2)． 12．（25-26七年级上·陕西商洛·期中）解方程： (1)． (2)． 13．（25-26七年级下·山东淄博·期末）解方程： (1)； (2)． 14．（25-26六年级下·山东泰安·期末）解方程： (1)； (2)． 15．（25-26六年级下·山东泰安·期末）解下列方程 (1) (2) ◆题型4 含参方程与同解问题 16．已知关于y的方程与方程的解相同，求m的值． 17．已知方程和方程的解相同，求m的值． 18．已知关于的方程与有相同的解，求的值． 19． 已知关于的方程与的解相同，求的值． ◆题型5 实际问题与一元一次方程 20．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）某加工厂有名工人，平均每人每天加工桌面个或桌腿个，已知1个桌面与4个桌腿配成一套，问需分别安排多少名工人加工桌面、桌腿，才能使每天生产的桌面桌腿刚好配套？设安排x名工人加工桌面，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 21．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文—明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，对应，，．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到的密文7，18，15，则解密得到的明文为（    ） A．4，5，6 B．6，7，2 C．2，6，7 D．7，2，2 22．（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．图①是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，长为，则这个正方形纸板的边长为（    ）． A．5 B．6 C．7 D．8 23．（25-26七年级上·河北邯郸·开学考试）一种石灰与水混合后的石灰浆，石灰与水的质量比是．现在向石灰浆中加入120千克水，要使石灰与水的质量比不变，还应加入（    ）千克石灰． A．150 B．90 C．80 24．（25-26七年级下·山西晋城·期末）在如图的2026年4月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（     ） A．27 B．51 C．69 D．75 25．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目，其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 26．（25-26七年级下·江苏南京·开学考试）如图，根据图中的信息，可列方程为______________________________． 27．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）某班共有50名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少10人．  若设女生人数为x，则可列方程为______．   28．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）实施乡村振兴战略是新时代“三农”工作总抓手，安徽作为农业大省，正在奋力推动乡村振兴走在全国前列．某村制定农户养殖奖励方案，每平方米每月补助金为10元．如图，王大爷计划利用长35米的竹篱笆，围成一个长边靠墙的长方形养鸡场，墙的长度为14米，围成的养鸡场的长比宽多2米，王大爷每月能领取养殖补助金为__________． 29．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）某车间计划加工一批产品．如果每小时加工产品10个，就可以在预定时间完成任务；实际加工两个小时后，提高了加工速度，每小时多加工2个，结果提前1小时完成任务，求该产品一共有多少个？ 30．（25-26七年级下·山西临汾·期末）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的八折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低40元销售16件的销售额相等，求这种服装每件的标价． 31．（25-26七年级下·福建泉州·期中）用方程（组）解决下列问题： 某中学举办了足球比赛，计分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某班参加了11场比赛，并始终保持不败的记录，共得25分，求该班胜了多少场比赛？ 32．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）某地居民用水收费标准如下表： 家庭每年用水量 收费标准 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 4元 超过的部分 6元 小亮家去年缴水费980元，他家去年实际用水量是多少？ 33．（24-25七年级下·山东济宁·期中）为备战济宁马拉松比赛，小彬和小强每天坚持在学校的环形跑道上跑步，小彬每秒跑，小强每秒跑．如果两人在跑道上相距处，同时“背对背”出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ 34．（25-26七年级上·江西宜春·期末）七年级开展演讲比赛，学校决定购买一些笔记本和钢笔作为奖品．现有甲、乙两家商店出售两种同样的笔记本和钢笔．他们的定价相同：笔记本定价为每本25元，钢笔每支定价5元，但是他们的优惠方案不同，甲店每买一本笔记本赠一支钢笔；乙店全部按定价的9折优惠．已知七年级需笔记本20本，钢笔x支（大于20支）．问： (1)若，通过计算说明此时到哪家商店购买较为合算？ (2)当购买钢笔多少支时，甲店和乙店的费用一样？ (3)当时，请设计一种方案，使购买最省钱？算出此时需要付款多少元？ 35．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在数轴上点表示的数是，点在点的右侧，且到点的距离是16，点在点，之间，且到点的距离与到点的距离相等． (1)点B表示的数是_____；点C表示的数是_____． (2)若点从点出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为秒，在运动过程中，当为何值时，点与点相遇？ (3)在（2）的条件下，是否存在符合条件的值，使得？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． ◆题型1 同解方程与参数综合 36．我们把解相同的两个方程称为“同解方程”，例如：方程与方程的解都为，所以它们为“同解方程”． (1)若方程与关于的方程为“同解方程”，求的值． (2)若关于的方程与为“同解方程”，求的值． 37．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）已知关于的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于的方程的解相同． (1)求，的值． (2)若关于的方程无解，求的值． 38．（25-26七年级上·河北廊坊·阶段检测）若是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)若该方程与关于的方程的解相同，求的值； (3)若表示不大于的最大整数，求的值． 39．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段检测）解方程： (1)； (2)； (3)若方程与方程的解相同，求的值． 40．（25-26七年级下·福建泉州·阶段检测）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程． (1)填空：方程与方程______同解方程（填“是”或“不是”）； (2)若方程与关于x的方程是同解方程，求m的值； (3)若关于x的两个方程与是同解方程，求符合要求的正整数m，n的值． ◆题型2 分段计费问题 41．（25-26七年级上·四川成都·开学考试）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 42．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费，每月用电不超过180度时，按每度元计费；每月用电量超过180度但又不超过280度时，超过部分按每度元计费，每月用电超过280度的部分按每度元计费．收费标准如下表： 月用量 不超过180度 超过180度不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)如果小李家每月交电费y元，每月用电量为x度，用含x的代数式表示电费y为： 当时， ； 当时， ； 当时， ． (2)小李家6月份交电费138元，求小李家6月份用多少度电？ 43.（25-26七年级下·河南周口·期中）为鼓励居民节约用水，某市居民生活用水推行每月阶梯水费收费制度，具体执行方案如下： 类别 每户每月用水量 阶梯价格/（元） 第一阶梯 小于或等于 a 第二阶梯 大于且小于或等于 4 第三阶梯 大于 5 该市某户居民2025年12月份的用水量为，缴纳水费18元． (1)表格中a的值为________． (2)若该户居民2026年1月份的用水量为，应缴纳水费多少元？ (3)若该户居民2026年2月份缴纳水费56元，求该户居民2月份的用水量． 44．（25-26七年级上·福建漳州·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水，长泰区采用价格调控的手段达到节水的目的，自来水收费的价目表如下表：（注：水费按月计算） 价目表 每月用水量 单价 不超出20吨的部分（含20吨） 元/吨 超出20吨不超出30吨的部分（含30吨） 元/吨 超出30吨的部分 元/吨 注：每月随征垃圾处理费9元． (1)若小明家1月份用水22吨，应缴费用多少元？ (2)若小明家2月份用水吨（），用含的代数式表示小明家2月应缴纳的费用． (3)若小明家3月份缴纳费用89元，求小明家3月份用水量． 45．（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格见价目表．（注：水费按月结算） 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出，不超出的部分 3元 超出的部分 4元 (1)若某户居民2月份用水4立方米，则应缴纳水费______元； (2)若某户居民3月份用水立方米，则该户居民3月份应缴纳水费多少元（用含的代数式表示，并化成最简形式）？ (3)若某户居民4，5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），合计缴纳水费34元，求该户居民5月份用水多少？ 46．（25-26七年级上·广东惠州·阶段检测）小阳同学在查看家里的电费账单时发现账单上有“第一档电费，第二档电费，峰时段用电量、谷时段用电量、⋯⋯”等信息，引起了小阳同学的好奇．通过查询国家电网福建电力公司官网知道了电力公司对居民用电设定如下两种计费方式供居民选择： 计费方式一：“分档”计算电费（如表1），即按用电量先计算第一档，超过第一档的部分再计算第二档，依次类推，总电费等于各挡电费的总和； 计费方式二：“分档＋分时”计算电费（如表1、表2），总电费等于分档电费、峰时段增加的电费、谷时段减少的电费的总和． 居民用电分档 用电量（单位：度） 电价（单位：元/度） 第一档 不超过230 第二档 超过230且不超过420 第三档 超过420 表1 峰谷时段 电价差额（单位：元/度） 峰时段（） （每度电在各挡电价基础上加价元） 谷时段（次日） （每度电在各挡电价基础上降低元） 表2 (1)若小阳同学家选择计费方式一，1月份用电量为330度，求1月份应缴电费； (2)设小阳同学家某月的用电量为x度，，且峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，请用含x的式子表示两种计费方式应缴电费； (3)小阳同学家在2025年某月的电费为元，若采用计费方式一和计费方式二应缴电费相同，求该月峰时段的用电量是谷时段的几倍？ 47．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）居民生活用水通常按户计费，下表是某城市居民生活用水的收费标准，称这样的收费方式为阶梯计价． 收费方式 年用水量（） 收费标准（元） 第一阶梯 （含） 第二阶梯 （含） 第三阶梯 以上 （例如：该城市某户家庭年用水量为，则水费为元） (1)若该城市小明家年的年用水量为，则小明家这一年的水费是______元； (2)已知该城市小颖家年的年用水量为，水费为元，求的值； (3)若该城市某户居民年的年用水量为，这户居民的水费是多少元?（用含的代数式表示） 48．（25-26七年级上·四川成都·期末）年月日我国正式启动海南封关，将海南岛全岛建成一个自由化便利化政策制度的特殊区域，意义重大．某商场嗅到商机搞促销活动，活动方案如下表： 一次性购物(原价) 优惠方案 不超过元 不给优惠 超过元，不超过元 超过元的部分按9折优惠 超过元 所购商品全部给予8折优惠 (1)按照商场的活动方案，小石在该超市购买原价元的商品，应付款________元；小天在该超市购买原价元的商品，应付款________元； (2)小石在该超市购买了某种商品，实际付款元，请求出该商品的原价是多少元？ (3)若小石、小天在该超市共购买原价元的商品，其中小石顾客购买商品的原价超过元且不足元，实际两人各自付款共元，请求出小石、小天购买的商品的原价各为多少元？若两人拼单购买，与各自付款相比，小石、小天两人之中谁更省钱？省多少元钱？ 49．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）苏州市区居民用管道燃气收费标准如下： 用户类型 档次 气价（元/） 备注 居民用户 第一阶梯年用气量为（含） 3．02 以居民户籍人口4人（含4人）为计价单位，以年度为计量周期； 对居民户籍人口超过4人的，每增加1人，在户籍人口4人（含4人）用量的基础上，每档相应增加年用气量． 第二阶梯年用气量为（含） 3．62 第三阶梯年用气量为以上 4．53 (1)已知甲、乙两个家庭2025年度的年用气量均为． ①甲家庭户籍人口为3人，应付燃气费__________元； ②乙家庭户籍人口为5人，应付燃气费__________元； (2) 某家庭户籍人口为4人，2025年度共缴纳燃气费1932元，该家庭的年用气量是多少？ ◆题型3 新定义与参数问题 50．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定，解答下列问题． (1)下列关于的一元一次方程是“和解方程”的是______（填序号）． ①；②；③． (2)若关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值． 51．（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 52．（25-26七年级上·河北衡水·期末）规定：若两个一元一次方程所含未知数相同，并且其中一个方程的解是另一个方程解的倍，则这个方程叫作另一个方程的倍解方程．如一元一次方程的解是，的解是．是的倍，因此一元一次方程是的倍解方程． (1)写出一个方程：的倍解方程： ； (2)已知关于的一元一次方程是的倍解方程，求的值． 53．（25-26七年级上·云南昆明·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”． (1)方程与方程___________“美好方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，且比大2，求和的值． 54．（25-26七年级上·河南安阳·期末）我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”，例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于x的两个方程与为“互反方程”，求a的值； (3)已知m为整数，若关于x的方程的解是正整数，且其与方程互为“互反方程”，直接写出m的值． 55．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）若关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． (1)①，②，③三个方程中，为“友好方程”的是______（填写序号）； (2)若关于x的一元一次方程：是“友好方程”，求b的值； (3)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求m与n的值． 56．（25-26七年级上·江西赣州·期末）定义：如果两个关于的方程形如与（，均为不等于0的常数），那么我们就称这两个方程互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则____________． (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 57．（25-26七年级上·广东中山·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“相反方程”．例如：方程的解为，的解为，其中2和互为相反数，我们就称方程和为“相反方程”． (1)请说明方程和是“相反方程”； (2)若关于x的方程和是“相反方程”，求m的值； (3)若关于y的方程的“相反方程”的解，也是关于y的方程的解，求n的值． 58．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）我们规定关于x的一元一次方程（）的解满足，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： (1)下面方程中是差解方程的是______． ①；②；③；④． (2)已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，它的解为a，求的值． (3)已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 59．（25-26七年级上·北京·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程_____“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于的方程与关于的方程是“和谐方程”，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（a，b为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，则的值为_____． ◆题型4 动点问题 60．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示，且A，B两点之间的距离为．数轴上A，B两点对应的数分别为，2，P为数轴上一动点，且表示的数为m． (1)【发现问题】A，B两点之间的距离是_____________； (2)【解决问题】 ①若，则_____________， ②若点P到、两点的距离比为，则点P表示的数为_____________． (3)【创新应用】现在点P从A点处出发以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时Q从点B处出发，以个单位长度/秒的速度向左运动，当点P与点Q之间的距离是2个单位长度时，直接写出点P表示的数． 61．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）如图，数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，．现有动点P，Q都从点A出发，点P 以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；当点P移动到点B时，点Q才从点A出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，点Q到达点C后立即返回，并以原来的速度向左移动．当点P到达点C时，点Q停止移动．设点P移动的时间为． (1)填空： ， ； (2)请求出当t不低于，且不超过时，线段的长；（用含t的代数式表示） (3)当线段的长为个单位长度时，求t的值． 62．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探究“折线数轴” 素材 如图，将一条数轴在原点、点、点处折一下，得到一条“折线数轴”（原对应关系不变）．图中点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是．在“折线数轴”上，两点之间的“友好距离”定义为这两点表示数之差的绝对值，如：点与点在“折线数轴”上的“友好距离”为：，并表示为，计算距离是沿折线路径累加，而非直线距离．    素材 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的倍，经过点后立刻恢复初始速度． 素材 在动点运动的同时，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向负方向运动，且经过折点，，时速度始终保持不变． 问题解决 (1)探究 与点的“友好距离”等于的点在线段 上．动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探究 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数．（用含的代数式表示） (3)探究 当，两点分别同时从点、点出发，求，两点正好相遇时的时间，并且直接写出此时相遇点在数轴上所表示的数． 63．（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图1，点是线段上一点，若，我们称为点在线段上的“分割值”，记为．例如点在上，，则；反之当，则． (1)如图2，数轴、两点对应的数为、，且分别满足和． ①求出 ； ；②请在图的数轴上画出、两点． (2)为数轴上一个动点，从点向终点匀速运动．①若点表示的数为，则 ． ②如图3，数轴上另一个点从点出发向点运动，到达点后立即以原速返回点，当点到达点时，，都停止运动．若点和点的运动速度分别为每秒个单位和每秒个单位，且点和点同时出发，运动秒后，是否存在，若存在，求出的值；不存在，请说明理由． (3)如图4，在四边形中，，，，，点，同时从点出发向终点匀速运动，点沿折线运动，点沿线段运动．设点，的速度分别为和且满足，若，当点运动到线段上时，则 ．（用含有的代数式表示） 64．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，．点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿的路径向终点C运动；点P出发的同时点Q从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿的路径向点B运动．当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间是t秒． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当点P在线段上运动，Q在线段上运动时，若，求t的值； (3)当的面积等于面积的时，求t的值； (4)当线段将的周长分成两部分的比为时，直接写出t的值． 65．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示-8，点表示6，点表示12，我们称点和点在“折线数轴”上相距20个单位长度．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，当点到达终点时停止运动；点出发的同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后也立刻恢复原速．当点停止运动时，点也随之停止．设点的运动的时间为秒． (1)动点从点运动至点需要 秒： (2)当时，点在“折线数轴”上所对应的数是 ，P、Q两点在“折线数轴”上相距 个单位长度： (3)当P、Q两点在“折线数轴”上相遇时，求的值； (4)当O、P两点在“折线数轴”上相距的长度小于B、Q两点在“折线数轴”上相距的长度时，直接写出的取值范围． 一、单选题 1．（25-26七年级上·广东清远·阶段检测）已知关于x的方程 是一元一次方程，m的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．0 2．（25-26七年级上·河南信阳·期末）下列利用等式的基本性质变形，错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）爱动脑筋的小青同学设计了一种“幻圆”游戏，将、、、、、、、分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，他已经将、、、这四个数填入了圆圈，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） 结论Ⅰ：的值为： 结论Ⅱ：的值为． A．Ⅰ对Ⅱ不对 B．Ⅰ不对Ⅱ对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对 4．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，一个长方形内部恰好能用一些大小不等的正方形纸片、、铺满（每两个正方形纸片之间既不重叠，也无空隙），如果长方形的周长为，那么正方形纸片的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）张先生向商店订购了每件定价为100元的某种商品80件，张先生对商店经理说：“如果你肯降价，那么每降价1元，我就多订购4件．”商店经理算了下，若减价则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元，这种商品的一件成本是_____元． 6．（25-26七年级下·重庆·开学考试）一行数从左到右，一共2026个，任意相邻三个数的和都是116，第19个数是15，第29个数是，第2025个数是，则________． 7．（25-26七年级上·四川成都·开学考试）仓库大米比面粉多，当大米和面粉都减少5吨后，面粉比大米少，问：仓库原来大米有_______吨． 8．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，已知等边三角形的边长为，有一点P从点A出发沿的方向以的速度匀速移动，另有一点Q从点B出发沿的方向以的速度匀速移动，若点P、Q同时出发，经过 ________ 秒后，两点第2次同时到达等边三角形的同一顶点． 三、解答题 9．（25-26六年级下·山东泰安·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）一项工程，甲先单独做天，然后与乙合作天，这样才完成全部工程的一半．已知甲、乙工作效率的比为．如果这项工程由乙单独做，需要多少天才能完成？ 11．（25-26八年级下·山东淄博·阶段检测）下表是篮球联赛中比赛积分表的一部分： 球队 比赛场数 胜场 负场 积分 敬业 诚信 (1)求胜一场积多少分？负一场积多少分？ (2)若某队比赛场数为场，胜场总积分与负场总积分相等，那么这支球队胜了几场？ 12．（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）某地区有A、B两家票务中心售卖机票，优惠活动如下： A票务中心：机票按原价打七五折销售，每张票额外加收手续费35元； B票务中心：机票按原价优惠，免收任何手续费． (1)张老师从潍坊飞往成都，机票原价为930元．在哪家票务中心购票实际付款更少？请计算说明； (2)李叔叔要从潍坊飞往某地，他核算后发现两家票务中心购票实付款一样多，请算一算这张飞机票原价是多少元？ 13．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·开学考试）A，B两地相距，甲乙两位老人分别同时从A地与B地出发，步行前往另一地．已知甲老人走路的速度为，乙老人走路的速度为． (1)经过多长时间，甲乙老人相遇？ (2)一天，当两位老人出发时，一只狗与甲老人一同出发跑向乙老人，当狗与乙老人相遇时，立刻回头跑向甲老人，当狗与甲老人相遇时再立刻回头跑向乙老人……，当甲乙两位老人相遇时，狗停止运动．已知狗跑动的速度是．问：当狗停止运动时，狗已经跑了多少米？ 14．（26-27七年级·全国·小升初衔接）某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 15．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在数轴上点O是数轴原点，A到O的距离为10，B到O的距离为6． (1)点A表示的数为________，点B表示的数为________，A，B两点之间的距离为________． (2)点C是数轴上一点，且满足点A与点C之间的距离是点B与点C之间距离的2倍，则点C在数轴上表示的数为________． (3)在点B处有两只电子蚂蚁P、Q，蚂蚁P以每秒2个单位长度的速度向右移动，当蚂蚁P移动到O点时，蚂蚁Q才从B点出发，并以每秒4个单位长度的速度向右移动，设蚂蚁P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两只蚂蚁相距4个单位长度？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $