专题04 与一元一次方程有关的10种含参问题（题型专练）数学新教材浙教版七年级上册

专题04 与一元一次方程有关的10种含参问题 （题型突破·举一反三） 题型01 根据一次方程的定义求参数 题型02 根据方程的解求参数 题型03 无论参数取何值，解恒为定值 题型04 同解方程 题型05 一元一次方程的整数解问题 题型06 错解一元一次方程含参问题 题型07 已知两个一元一次方程解的关系求参数 题型08 根据一元一次方程解的情况求参数 题型09 解一元一次方程有关的新定义问题 题型10 解一元一次方程有关的阅读理解类问题 ▌题型01 根据一次方程的定义求参数 【典例1】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D．或1 【变式1】（25-26七年级上·浙江台州·期中）如果关于的方程是一元一次方程．那么，应满足的条件是（  ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知是关于x的一元一次方程，则__________． 【变式3】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）若关于x的方程是一元一次方程，则代数式：_______． ▌题型02 根据方程的解求参数 【典例2】（25-26七年级上·浙江温州·期末）方程“”中的“”表示被覆盖的常数．若该方程的解为，则这个被覆盖的常数是___________． 【变式1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是______． 【变式2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）已知为定值，关于的方程，无论为何值，1总是它的解，则___________，___________ 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知是关于的方程的解，则式子的值为________． ▌题型03 无论参数取何值，解恒为定值 【典例3】（2023九年级下·浙江·竞赛）如果a，b为定值时，关于x的方程，它的根总是2，则的值为（   ） A．18 B．15 C．12 D．10 【变式1】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）当和为定值时，代数式的值随着的取值的变化而变化．下表是当取不同的值时对应的代数式的值：则关于的方程的解是（   ） 0 1 0 3 6 A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江衢州·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，a为某个定值，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（22-23七年级下·浙江杭州·阶段检测）甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其周长分别为、．    (1)用含m的代数式表示、； (2)若与的差为12，求m的值； (3)若存在常数a，使得不论m为何值，的值始终为一个定值，试求出该定值及a的值． ▌题型04 同解方程 【典例4】（21-22七年级上·浙江台州·期末）已知关于的方程的解与方程的解相同，则______． 【变式1】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）已知关于的方程与的解相同，则代数式的值为_________． 【变式2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图是一个正方体的展开图，若正方体的各个相对面上的数字相同，则x的值为______． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）关于x一元一次方程①与②的解相同． (1)当相同解为时，求a和b的值； (2)小丽在解方程①时，误把“”看成“”，得到的解为，求原方程中a实际值，并求出原方程①的解； (3)在（2）的条件下，，求x的值． 【变式4】（21-22七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知关于的方程和有相同解，求与这个相同解． ▌题型05 一元一次方程的整数解问题 【典例5】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）若关于x的方程的解是整数，且多项式是关于y的二次三项式，则所有满足条件的整数a的值之和是（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【变式1】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）若关于的方程的解为大于4的整数 ，则整数的值为（　　） A．3或5 B．3或7 C．5或7 D．以上答案都不对 【变式2】（21-22七年级下·浙江金华·开学考试）已知为整数，关于的方程有负整数解，则满足条件的的值有(        ) A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）若关于的一元一次方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值（   ） A．1 B．1或 C．0或 D．0或1或 【变式4】（23-24七年级上·浙江宁波·阶段检测）若关于x的一元一次方程的解是整数，则符合条件的所有整数k的值的和为________． ▌题型06 错解一元一次方程含参问题 【典例6】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）某同学解关于x的方程，，在去分母时，漏乘方程右边的常数项，求得错误的解为， 则________，该方程正确的解为________． 【变式1】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）小芳同学在解关于的一元一次方程时，误将抄成，求得方程的解为，请帮小芳求出原方程正确的解． (1)求的值； (2)求方程正确的解． 【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知关于的方程，某同学在解这个方程时，不小心把方程右边的加7抄成了减7，解得方程的解为“”，求原方程的解． 【变式3】（24-25七年级上·浙江台州·阶段检测）在数学实践课上，某学习小组针对相关问题进行探究，拟定项目式学习表： 任务 解决解方程问题中的“看错抄错”问题 示例 解方程①时，去分母时方程左边的1没有乘10，从而求得方程的解为．求原方程的解．（此处不作答） 通关三步 （1）将错纠错 依据“去分母时方程左边的1没有乘10”，可将①仅去分母为：__________②； （2）数据回代 将代入式子②，求的值；（写过程） （3）方程消参 将的值代入①解方程．（写过程） ▌题型07 已知两个一元一次方程解的关系求参数 【典例7】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称为这两个方程为“致真方程”．如方程和为“致真方程”． (1)若关于x的方程与方程是“致真方程”，求m的值； (2)若关于x的方程和是“致真方程”，求这两个方程的解． 【变式1】（25-26七年级上·浙江·课后作业）（1）已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． （2）已知关于x的方程的解比关于x的方程的解大2，求m的值． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知：关于x的方程与有相同的解，求以y为未知数的方程的解． 【变式3】（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）已知关于的方程①：的解比方程②： 的解大2，求的值以及方程②的解． 【变式4】（25-26七年级上·浙江衢州·期末）当为何值时，关于的方程的解是方程的解的3倍？ ▌题型08 根据一元一次方程解的情况求参数 【典例8】（21-22七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知关于x的方程，当k为何值时，方程有解？ 【变式1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）阅读：关于的方程在不同的条件下解的情况如下：（1）当时，有唯一解；（2），时，有无数解；（3）当，时，无解．请你根据以上知识作答：已知关于的方程无解，则的值为_____． 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）若关于x的方程与均无解，求代数式的值． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知是关于x的方程，当k、m为何值时，使得： (1)方程只有一个解； (2)方程无解； (3)方程有无数个解． 【变式4】（2025七年级上·浙江·专题练习）已知方程． (1)当取何值时，方程无解？ (2)当取何值时，方程有无穷多个解？ (3)当取何值时，方程有唯一解？ ▌题型09 解一元一次方程有关的新定义问题 【典例9】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）定义：若关于x的一元一次方程（m，n为已知数）的解为，则称该方程为“和合”方程．例如，一元一次方程的解为，则方程为“和合”方程．若关于x的一元一次方程是“和合”方程，则（    ） A．16 B． C． D． 【变式1】（2024·浙江宁波·二模）对于整数，，定义一种新的运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．已知，其中是负数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段检测）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．关于x的方程是“立信方程”，则符合要求的正整数k为________ 【变式3】（21-22七年级上·浙江台州·阶段检测）定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为0，那么称这个两位数为“互异数”，将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以，根据以上定义，回答下列问题 (1)填空 ①下列两位数：60，63，66中，“互异数”为 ． ②计算： ． (2)如果一个“互异数”b的十位数字是k，个位数字是，且，求“互异数”b的值． (3)如果m，n都是“互异数”，且，求 ． 【变式4】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）定义一种新运算“☆”：当时，；当时，． 例如：，． (1)计算； (2)已知，求的值； (3)若关于的方程的解为，求的值． ▌题型10 解一元一次方程有关的阅读理解类问题 【典例10】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）数学探究课上，老师布置的任务如下： 任务一：自学阅读材料． 我们定义：如果两个有理数的差等于这两个有理数的商，那么这两个有理数就叫做“差商等数对”．即：如果，那么a与b就叫做“差商等数对”，记为． 例如：，，则称数对，是“差商等数对”． 任务二：根据自学阅读材料，尝试解决下列问题： (1)下列数对中，是“差商等数对”的是______．（填序号） ①；② (2)若是“差商等数对”，求出m的值． (3)若是“差商等数对”，求的值． 【变式1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）阅读材料，回答下列问题： 素材： 怎样将循环小数表示成分数？ 设① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (1)根据材料，判断______有理数；（填“是”或“不是”） (2)从步骤①到步骤②，变形的依据是______； (3)仿照上述探求过程，请你将表示成分数形式． 【变式2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）阅读以下信息，解决问题； 信息 1：“作差法”是比较两个数或两个代数式大小的常用方法．如比较a、b两数的大小，若，则；若，则；若，则． 信息2：类似于运算符号“、、、”，新定义一种运算符号“”，规定： (1)若，求x的值． (2)若，，比较m与n的大小，并说明理由． 【变式3】（2025七年级上·浙江·专题练习）【阅读材料】在学习一元一次方程后，数学老师给出一个新定义：若x是关于x的一元一次方程的解，y是关于y的方程的解或所有解的其中一个解，且x，y满足，则称关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”． (1)已知关于y的方程：①；②．请通过计算说明哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？ (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”，求a的值． 【变式4】（2025七年级上·浙江·专题练习）知识回顾： 若，则，所以若已知非零有理数的绝对值，则有两个值，一个正数，一个负数． 阅读材料： 解方程． 解：当为正数时，，解得； 当为负数时，，解得． 所以原方程的解是或． 解决问题： (1)解方程：； (2)若方程的解也是方程的解，求的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 与一元一次方程有关的10种含参问题 （题型突破·举一反三） 题型01 根据一次方程的定义求参数 题型02 根据方程的解求参数 题型03 无论参数取何值，解恒为定值 题型04 同解方程 题型05 一元一次方程的整数解问题 题型06 错解一元一次方程含参问题 题型07 已知两个一元一次方程解的关系求参数 题型08 根据一元一次方程解的情况求参数 题型09 解一元一次方程有关的新定义问题 题型10 解一元一次方程有关的阅读理解类问题 ▌题型01 根据一次方程的定义求参数 【典例1】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D．或1 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为0，则这个整式方程是一元一次方程，根据定义可得关于m的方程，求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴ ∴， 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·浙江台州·期中）如果关于的方程是一元一次方程．那么，应满足的条件是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，能根据一元一次方程的定义得出且是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫一元一次方程． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， 且， 且． 故选：C 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知是关于x的一元一次方程，则__________． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元一次方程的定义，正确求出的值．根据一元一次方程的定义，令且，即可解答． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程 ∴且， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）若关于x的方程是一元一次方程，则代数式：_______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程定义，求代数式的值；只含有一个未知数，且未知数的次数最高为一次的整式方程叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义求得的值，再整体代入即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∴， ∴， 故答案为：． ▌题型02 根据方程的解求参数 【典例2】（25-26七年级上·浙江温州·期末）方程“”中的“”表示被覆盖的常数．若该方程的解为，则这个被覆盖的常数是___________． 【答案】1 【分析】本题考查方程的解，将方程的解代入原方程，进行求解即可． 【详解】解：把代入方程，得：， 解得； 故答案为：1 【变式1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，把代入方程得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）已知为定值，关于的方程，无论为何值，1总是它的解，则___________，___________ 【答案】 【分析】本题主要考查方程解的定义，由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．将代入方程，化简后得到关于 k 的方程，由无论 k 为何值方程都成立，可得 k 的系数和常数项均为零，从而求出 a 和 b． 【详解】解：将 代入方程 ，得 ， 两边同时乘以 6 得 ，， 化简得 ， 移项得 ，即 ， 由于无论 k 为何值方程都成立， 所以 且 ， 解得 ． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知是关于的方程的解，则式子的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的定义、代数式求值，关键是整体代入思想的应用； 将 代入方程，得到与的关系式，再整体代入求值． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴ 即， 整理得， ∴， ∴． 故答案为：． ▌题型03 无论参数取何值，解恒为定值 【典例3】（2023九年级下·浙江·竞赛）如果a，b为定值时，关于x的方程，它的根总是2，则的值为（   ） A．18 B．15 C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 先将方程的根代入原方程并化简得，由题可知，当a，b为定值时，对任意的k成立，因此可得，易求a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：将，代入原方程并化简得， ∵当a，b为定值时，对任意的k成立， ∴，解得：， ∴． 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）当和为定值时，代数式的值随着的取值的变化而变化．下表是当取不同的值时对应的代数式的值：则关于的方程的解是（   ） 0 1 0 3 6 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程 转化为 ，然后从表格中找出当时对应的值即可． 【详解】解：∵ 方程 ， 两边乘以 2 得：， 移项得：， 从表格中，当 时，， ∴ 方程的解为 . 故选：D 【变式2】（24-25七年级上·浙江衢州·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，a为某个定值，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，根据是的解得出，再将代入得出，再解关于y的一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：∵是的解， ∴， 解得：， 把代入可得出： ， 解得： 故选：B． 【变式3】（22-23七年级下·浙江杭州·阶段检测）甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其周长分别为、．    (1)用含m的代数式表示、； (2)若与的差为12，求m的值； (3)若存在常数a，使得不论m为何值，的值始终为一个定值，试求出该定值及a的值． 【答案】(1)， (2) (3)该定值为， 【分析】（1）根据长方形周长公式进行列式求解即可； （2）根据（1）所求结合题意建立方程求解即可； （3）先根据整式的加减计算法则求出，再根据题意可得，由此求出a的值，进而求出对应的定值即可． 【详解】（1）解：由题意得，； ； （2）解：∵与的差为12， ∴， 解得； （3）解： ， ∵不论m为何值，的值始终为一个定值， ∴， ∴， ∴， ∴存在，使得不论m为何值，的值始终为一个定值，该定值为． 【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，整式的加减计算，解一元一次方程等等，熟知知识的相关计算法则是解题的关键． ▌题型04 同解方程 【典例4】（21-22七年级上·浙江台州·期末）已知关于的方程的解与方程的解相同，则______． 【答案】 【分析】先解第一个一元一次方程求出的值，根据两个方程解相同，将代入第二个方程. 即可求出的值． 【详解】解：， ， ， ， ∵的解与方程的解相同， ∴将代入方程中， ， ， ， ， ． 【变式1】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）已知关于的方程与的解相同，则代数式的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查根据方程的解求参数，代数式求值．熟练掌握解一元一次方程的步骤，以及方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键． 先解第一个方程得到的值，由于两个方程的解相同，将该解代入第二个方程求出，再计算代数式的值即可． 【详解】解：解方程，得 ， ∵两方程解相同， ∴满足方程， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图是一个正方体的展开图，若正方体的各个相对面上的数字相同，则x的值为______． 【答案】15 【分析】本题主要考查了正方体展开图的特点，解一元一次方程，根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共的顶点，据此找到对应面的相对面，再根据相对面上的数字相等进行求解即可． 【详解】解；由正方体展开图的特点可知，标有“”的面与标有“”的面是相对面，标有“”的面与标有“”的面是相对面，标有“”的面与标有“”的面是相对面， ∵正方体的各个相对面上的数字相同， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）关于x一元一次方程①与②的解相同． (1)当相同解为时，求a和b的值； (2)小丽在解方程①时，误把“”看成“”，得到的解为，求原方程中a实际值，并求出原方程①的解； (3)在（2）的条件下，，求x的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键． （1）将代入两个方程，解方程即可得的值； （2）先将代入方程求出的值，则可得原方程，再解一元一次方程即可得； （3）先根据两个方程的解相同求出的值，再根据绝对值的性质代入化简即可得． 【详解】（1）解：∵关于一元一次方程的解为， ∴， 解得； ∵关于一元一次方程的解为， ∴， 解得． （2）解：由题意得：关于一元一次方程的解为， ∴， 解得， ∴原方程①为， 解得． （3）解：由（2）可知，，原方程①为，它的解为， ∵关于一元一次方程①与②的解相同， ∴关于一元一次方程的解为， ∴， 解得， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【变式4】（21-22七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知关于的方程和有相同解，求与这个相同解． 【答案】， 【分析】根据题意分别将两个方程的x用a表示出来，根据同解建立方程可解得a，继而可得出x． 【详解】解：由，可得， 由，可得， 因为方程和有相同解， 所以，解得， 将代入，解得. 【点睛】本题考查同解一次方程求参数，解题的关键是能够求解关于x的方程，根据同解的定义建立方程． ▌题型05 一元一次方程的整数解问题 【典例5】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）若关于x的方程的解是整数，且多项式是关于y的二次三项式，则所有满足条件的整数a的值之和是（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的整数解，多项式的项以及次数的概念，解决本题的关键是得到满足条件的的值． 先解方程得到，根据解为整数推出是3的约数，得到；再根据多项式是二次三项式，要求且，即且，从而满足条件的为1和5，求和即可． 【详解】解：∵方程为， 去分母可得，， 合并同类项可得，， 移项并合并同类项可得，， 解得， ∵该方程的解为整数， ∴为整数，即是3的约数， ∴，，，， 即； 又∵多项式是二次三项式， ∴且，即且， ∴满足条件的的值为1和5， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）若关于的方程的解为大于4的整数 ，则整数的值为（　　） A．3或5 B．3或7 C．5或7 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解法、含参数方程的变形技巧及整数解条件的综合分析，解题关键在于将方程整理为的标准形式．将方程整理为的形式，根据解且为整数，建立不等式并分析整数k的整除特性即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵都是整数， ∴为15的因数． ． 又，∴=1或3， ∴或5． 故选A． 【变式2】（21-22七年级下·浙江金华·开学考试）已知为整数，关于的方程有负整数解，则满足条件的的值有(        ) A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个 【答案】B 【分析】先求解方程得到关于的表达式，再根据方程有负整数解，为整数，确定的可能取值，进而得到满足条件的的个数． 【详解】，方程有解 ，可得 方程的解为负整数，为整数 为整数，且， 是的负整数因数，的负整数因数只有和 当时，，符合要求 当时，，符合要求 满足条件的共有个． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）若关于的一元一次方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值（   ） A．1 B．1或 C．0或 D．0或1或 【答案】D 【分析】本题考查根据方程的解，求参数的值，先求出方程的解，再根据方程有非负整数解，列出方程求出的值即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 当时，方程无解， 当时，， ∵方程有非负整数解， ∴， ∴； 故选D． 【变式4】（23-24七年级上·浙江宁波·阶段检测）若关于x的一元一次方程的解是整数，则符合条件的所有整数k的值的和为________． 【答案】12 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的拓展，先解方程得到，根据原方程的解是整数，得到是整数，则或或，据此求出符合题意的k的值，然后求和即可． 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， ∵原方程的解是整数， ∴， ∴， ∵原方程的解是整数， ∴是整数， ∴或或， ∴或或或或或， ∴符合条件的所有整数k的值的和为， 故答案为：12． ▌题型06 错解一元一次方程含参问题 【典例6】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）某同学解关于x的方程，，在去分母时，漏乘方程右边的常数项，求得错误的解为， 则________，该方程正确的解为________． 【答案】 【分析】此题考查解一元一次方程，正确掌握解法是解题的关键，先根据题意去分母，将代入求出a的值，再将a代回原方程求出方程的解． 【详解】解：∵方程，在去分母时，漏乘方程右边的常数项， ∴去分母得， 将代入，得， 解得， ∴原方程为， 解得 故答案为，． 【变式1】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）小芳同学在解关于的一元一次方程时，误将抄成，求得方程的解为，请帮小芳求出原方程正确的解． (1)求的值； (2)求方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解的定义，把代入误抄后的方程即可求出a的值； （2）把a的值代入原方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：依题意可知方程的解为． 把代入，得． ， ， ； （2）解：把代入，可得原方程为． 去分母，得 ． 去括号，得 ． 移项，得 ． 合并同类项，得 ． 【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知关于的方程，某同学在解这个方程时，不小心把方程右边的加7抄成了减7，解得方程的解为“”，求原方程的解． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先把代入抄错的方程，求出的值，再将的值代入正确的方程，进而解方程即可． 【详解】由题意得的解为， ∴， 解得， ∴原方程为， 移项，合并同类项得， 解得． 【变式3】（24-25七年级上·浙江台州·阶段检测）在数学实践课上，某学习小组针对相关问题进行探究，拟定项目式学习表： 任务 解决解方程问题中的“看错抄错”问题 示例 解方程①时，去分母时方程左边的1没有乘10，从而求得方程的解为．求原方程的解．（此处不作答） 通关三步 （1）将错纠错 依据“去分母时方程左边的1没有乘10”，可将①仅去分母为：__________②； （2）数据回代 将代入式子②，求的值；（写过程） （3）方程消参 将的值代入①解方程．（写过程） 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为． （1）按照要求去分母即可； （2）将代入式子②，得，解方程即可求出的值； （3）将代入①，得，然后按照解一元一次方程的一般步骤解方程即可． 【详解】解：（1）依据“去分母时方程左边的1没有乘10”，可将①仅去分母为：， 故答案为：； （2）将代入式子②，得：， 整理，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； （3）将代入①，得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：． ▌题型07 已知两个一元一次方程解的关系求参数 【典例7】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称为这两个方程为“致真方程”．如方程和为“致真方程”． (1)若关于x的方程与方程是“致真方程”，求m的值； (2)若关于x的方程和是“致真方程”，求这两个方程的解． 【答案】(1) (2)方程的解为，方程的解为 【分析】本题考查根据方程的解的情况求参数的值，熟练掌握新定义是解题的关键． （1）求出两个方程的解，根据新定义，得到关于的方程，进行求解即可； （2）求出两个方程的解，根据新定义，得到关于的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：解，得； 解，得； 由题意，，解得； （2）解：解，得； 解，得， 由题意，，解得， ∴方程的解为，方程的解为． 【变式1】（25-26七年级上·浙江·课后作业）（1）已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． （2）已知关于x的方程的解比关于x的方程的解大2，求m的值． 【答案】（1）；（2）m 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． （1）求出第二个方程的解，根据两方程解互为相反数求出第一个方程的解，即可求出m的值； （2）分别求两个方程的解，根据已知可列出关于m的方程，可求出m的值． 【详解】解：（1）方程， 解得：， 把代入得：， 解得：； （2）， 移项得：， 系数化为一得：x， ， 移项得：， 系数化为一得：， ∴， 解得：m． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知：关于x的方程与有相同的解，求以y为未知数的方程的解． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的同解问题，掌握一元一次方程的解以及解法是解题关键． 先解方程，得到，再根据方程同解，将代入方程，解得，再代入方程，求出的值即可． 【详解】解：， 移项合并得：， 解得：， 关于x的方程与有相同的解， 将代入方程，可得， 解得：， 将代入，可得， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化1得：． 【变式3】（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）已知关于的方程①：的解比方程②： 的解大2，求的值以及方程②的解． 【答案】，方程②的解为 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．用含的式子分别表示出方程①和方程②的解，根据方程①的解比方程②的解大2列出关于的方程，求解可得的值，将的值代入方程②中即可解得的值． 【详解】解：解得：， 解得：， ∵方程①的解比方程②的解大2， ∴，解得：， 将代入方程②中得：， 解得：． 【变式4】（25-26七年级上·浙江衢州·期末）当为何值时，关于的方程的解是方程的解的3倍？ 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是关键．先求出两个方程的解，根据已知得出关于m的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得，， 系数化为1得，； 移项得， 系数化为1得，； 根据题意得， ∴ 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 故当时，关于x的方程的解是方程的解的3倍． ▌题型08 根据一元一次方程解的情况求参数 【典例8】（21-22七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知关于x的方程，当k为何值时，方程有解？ 【答案】． 【分析】先解含字母系数的方程，把方程化为：，根据时，方程有解，从而可得答案. 【详解】解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 当时，方程有解， 【点睛】本题考查的是含有字母系数的方程，含字母系数的方程，当 方程无解，当 方程有无数个解，当 方程有唯一解，掌握以上知识是解题的关键. 【变式1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）阅读：关于的方程在不同的条件下解的情况如下：（1）当时，有唯一解；（2），时，有无数解；（3）当，时，无解．请你根据以上知识作答：已知关于的方程无解，则的值为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解，将方程整理得：，结合题意得出，求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， ∵关于x的方程无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）若关于x的方程与均无解，求代数式的值． 【答案】9 【分析】本题考查了一元一次方程的解的情况求参数，代数式求值，先根据方程与均无解，求出m，n的值，再将m，n代入式子求解即可 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 因为方程无解， 所以， 所以，． 解方程， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 因为方程无解， 所以， 所以， 所以 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知是关于x的方程，当k、m为何值时，使得： (1)方程只有一个解； (2)方程无解； (3)方程有无数个解． 【答案】(1)，m为任意实数 (2) (3) 【分析】本题主要考查含参数的方程解的讨论，解题的关键是将方程化为形如的形式，即，然后对系数（即）是否为0进行分类讨论，以确定方程解的情况． （1）先化简得，再根据方程只有一个解，列式求解即可； （2）根据方程无解，列式求解即可； （3）根据方程有无数个解，列式求解即可． 【详解】（1）解：由，得 ， ∵方程只有一个解， ∴， 即，此时m可取任意实数， ∴当时，m为任意实数，方程只有一个解，即． （2）解：∵方程无解， ∴且， 解得． ∴当时，方程无解． （3）解：∵方程有无数个解 ∴且， 解得， ∴当时，方程有无数个解． 【变式4】（2025七年级上·浙江·专题练习）已知方程． (1)当取何值时，方程无解？ (2)当取何值时，方程有无穷多个解？ (3)当取何值时，方程有唯一解？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，化简绝对值等知识．熟练掌握一元一次方程的解，解一元一次方程，化简绝对值是解题的关键． （1）由题意知，方程整理得，，当，且时，方程无解，计算求解即可； （2）由题意知，当，且时，方程有无穷多个解，计算求解即可； （3）把代入，得，然后根据，，化简绝对值，然后求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：， 整理得，， 由题意知，当，且时，方程无解， 解得， ∴当时，方程无解； （2）解：由题意知，当，且时，方程有无穷多个解， 解得， ∴当时，方程有无穷多个解； （3）解：把代入，得， 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得， ∴当时，方程有唯一解． ▌题型09 解一元一次方程有关的新定义问题 【典例9】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）定义：若关于x的一元一次方程（m，n为已知数）的解为，则称该方程为“和合”方程．例如，一元一次方程的解为，则方程为“和合”方程．若关于x的一元一次方程是“和合”方程，则（    ） A．16 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查已知方程的解求参数、解一元一次方程，本题需根据“和合”方程的定义，先求出方程的解，再结合定义建立关于n的一元一次方程，进而求解n的值． 【详解】解：， ∵方程是“和合”方程，根据定义得， ， 两边同乘得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 故选：B． 【变式1】（2024·浙江宁波·二模）对于整数，，定义一种新的运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．已知，其中是负数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次方程，去绝对值，整式的加减运算，根据定义新运算的法则，列出一元一次方程，进行求解即可，注意进行分类讨论． 【详解】解：∵为偶数，是负数， ∴， ∴， 当为偶数时， 则：， ∴， 解得：； 当为奇数时， 则：， ∴， 解得：（舍去）； 故选C． 【变式2】（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段检测）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．关于x的方程是“立信方程”，则符合要求的正整数k为________ 【答案】4，6，18 【分析】本题考查解一元一次方程，方程的解．先求出方程的解，再根据“立信方程”的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， 解得：， ∵是“立信方程”， ∴是整数， ∴或， ∴或或或（舍去）； 故答案为：4，6，18． 【变式3】（21-22七年级上·浙江台州·阶段检测）定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为0，那么称这个两位数为“互异数”，将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以，根据以上定义，回答下列问题 (1)填空 ①下列两位数：60，63，66中，“互异数”为 ． ②计算： ． (2)如果一个“互异数”b的十位数字是k，个位数字是，且，求“互异数”b的值． (3)如果m，n都是“互异数”，且，求 ． 【答案】(1)①63，②5； (2)26； (3)19． 【分析】（1）①根据题目中“互异数”的定义进行判断； ②根据f（a）的计算方法求解即可； （2）根据列出关于k的方程，解方程求出k的值，即可得到“互异数”b的值； （3）设m＝10x＋y，则n＝10（9−x）＋（10−y），然后根据f（a）的定义计算f（m）＋f（n）的值． 【详解】（1）解：①由“互异数”的定义可知，两位数60，63，66中，“互异数”为63； ②由题意得：f（23）＝， 故答案为：①63，②5； （2）解：∵“互异数”b的十位数字是k，个位数字是，且， ∴， 整理得：， 解得：， ∴， ∴“互异数”b的值为26； （3）解：∵m，n都是“互异数”，且m＋n＝100， ∴设m＝10x＋y，则n＝10（9−x）＋（10−y）， ∴ ， 故答案为：19． 【点睛】本题考查了新定义、一元一次方程的应用、整式的加减运算，解答本题的关键是理解新定义及其运算方法． 【变式4】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）定义一种新运算“☆”：当时，；当时，． 例如：，． (1)计算； (2)已知，求的值； (3)若关于的方程的解为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，根据对应运算“☆”的定义计算即可； （2）分，两种情况分别列方程求解即可； （3）根据方程解的定义得，再根据对应运算“☆”的定义列出方程求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当时，， 解得：； 当时，， 解得：（不符合，舍去）， ∴的值为； （3）解：∵关于的方程的解为， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查新定义，解一元一次方程及一元一次方程的解，正确理解新定义、掌握一元一次方程的解法是解题的关键． ▌题型10 解一元一次方程有关的阅读理解类问题 【典例10】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）数学探究课上，老师布置的任务如下： 任务一：自学阅读材料． 我们定义：如果两个有理数的差等于这两个有理数的商，那么这两个有理数就叫做“差商等数对”．即：如果，那么a与b就叫做“差商等数对”，记为． 例如：，，则称数对，是“差商等数对”． 任务二：根据自学阅读材料，尝试解决下列问题： (1)下列数对中，是“差商等数对”的是______．（填序号） ①；② (2)若是“差商等数对”，求出m的值． (3)若是“差商等数对”，求的值． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】本题考查整式的化简求值及实数的运算； （1）根据定义列式计算后进行判断即可； （2）根据定义列得方程，解方程即可； （3）根据定义列得方程，整体化简求值计算即可． 【详解】（1）①，，故不是“差商等数对”； ②，，故是“差商等数对”； 故答案为：②； （2）∵是“差商等数对” ∴， 解得； （3）∵是“差商等数对”， ∴ ， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）阅读材料，回答下列问题： 素材： 怎样将循环小数表示成分数？ 设① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (1)根据材料，判断______有理数；（填“是”或“不是”） (2)从步骤①到步骤②，变形的依据是______； (3)仿照上述探求过程，请你将表示成分数形式． 【答案】(1)是 (2)等式的基本性质2 (3) 【分析】本题考查有理数的定义，等式的性质2，一元一次方程的应用，审清题意是解题的关键． （1）根据有理数的定义即可求解； （2）根据等式的基本性质2即可求解； （3）根据题意，设，依据等式的基本性质2，得，易得解方程即可． 【详解】（1）解：， 是有理数， 故答案为：是； （2）解：从步骤①到步骤②，是等式的左右两边同乘10， 等式的基本性质2， 故答案为：等式的基本性质2； （3）解：设 ， 则． 【变式2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）阅读以下信息，解决问题； 信息 1：“作差法”是比较两个数或两个代数式大小的常用方法．如比较a、b两数的大小，若，则；若，则；若，则． 信息2：类似于运算符号“、、、”，新定义一种运算符号“”，规定： (1)若，求x的值． (2)若，，比较m与n的大小，并说明理由． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了整式加减的应用，解一元一次方程，能灵活运用作差法进行计算是解此题的关键． （1）根据新定义，列式计算，得到结果； （2）先求出m、n的值，然后用作差法，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：∵，， ∴ ， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（2025七年级上·浙江·专题练习）【阅读材料】在学习一元一次方程后，数学老师给出一个新定义：若x是关于x的一元一次方程的解，y是关于y的方程的解或所有解的其中一个解，且x，y满足，则称关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”． (1)已知关于y的方程：①；②．请通过计算说明哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？ (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”，求a的值． 【答案】(1)②是的“友好方程” (2)或 【分析】本题主要考查新定义下解一元一次方程和一元一次方程的解的定义，正确理解题意是解题的关键． （1）首先解关于x的方程，求得x的值，再分别解关于y的方程求得y的值，进一步根据“友好方程”的定义判断即可； （2）首先解关于y的方程求得y的值，再分别求得与其“友好方程”的x的值，进一步求得a即可． 【详解】（1）解：解方程得， 解方程，解得， ∵， ∴①不是的“友好方程”． 解方程得或． 当时，，则②是的“友好方程”． （2）解：解方程得或， ∵关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”， ∴当时，由题意，得， 将代入，得，解得， 当时，由题意得， 将代入，得，解得． 则a的值为或． 【变式4】（2025七年级上·浙江·专题练习）知识回顾： 若，则，所以若已知非零有理数的绝对值，则有两个值，一个正数，一个负数． 阅读材料： 解方程． 解：当为正数时，，解得； 当为负数时，，解得． 所以原方程的解是或． 解决问题： (1)解方程：； (2)若方程的解也是方程的解，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程的求解，把含绝对值的一元一次方程化为不含绝对值的一元一次方程是解题关键． （1）根据绝对值的意义把原方程化为两个一元一次方程即可得解； （2）先求得的值然后代入，即可得到的值． 【详解】（1）解：由题意可得：， 或， 或； （2）解：， 或， 或， 当时，，， 当时，，， 或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04与一元一次方程有关的10种含参问题 (题型突破举一反三) 题型01根据一次方程的定义求参数 典例精析 【典例1】B E举一反目 【变式1】C 【变式2】 【答案】1 【变式3】 【答案】-2 题型02根据方程的解求参数 典例精析 【典例2】 【答案】1 举一反三 【变式1 【变式2】 【答案】 【变式3】 【答案】2027 题型03无论参数取何值，解恒为定值 三典例精析 【典例3】B 1/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 举一反三 【变式1】D 【变式2】B 【变式3】 【答案】(1)C=6m+6,C2=4m+14 (2)m=10 3 3)该定值为-15，a= 2 题型04同解方程 三典例精析 【典例4】 3 【答案】4 举一反王 【变式1】 17 【答案】- 【变式2】 【答案】15 【变式3】 【答案】(1)a=-2,b=14 2)a=24,x=4 4 *里 【变式4】 65 【答案】a= 11, *、3 1 题型05一元一次方程的整数解问题 2/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 典例精析 【典例5】B 举一反 【变式1】A 【变式2】B 【变式3】D 【变式4】 【答案】12 题型06错解一元一次方程含参问题 典例精析 【典例6】 【答案】 -17 2.5 举一反三 【变式1】 【答案】(1)a=2 (2)x=14 【变式2】 【答案】x=10 【变式3】 【答案】(1)2(2xr-1)+1=5(x+a) (2)-1 3)x=13 题型07已知两个一元一次方程解的关系求参数 典例精析 【典例7】 【答案】(1)m=-12 3/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2方程3x+m-2=0的解为x=7,方程x-5m+4=0的解为x=一7 E举一反目 【变式1】 5 【答案】(1) m 3: (2)m=-7 【变式2】 12 【答案】y= 13 【变式3】 【答案】m=5,方程②的解为x=2 【变式4】 17 【答案】m= 23 题型08根据一元一次方程解的情况求参数 典例精析 【典例8】 【答案】k 2. 举一反三 【变式1】 【答案】 4/-0.75 【变式2】 【答案】9 【变式3】 【答案】()k≠1，m为任意实数 (2)k=1,m≠-4 (3)k=1,m=-4 【变式4】 4/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)a=-2 (2)a-2 (3)a=-4 题型09解一元一次方程有送的新定义问题 典例精析 B 举一反三 【变式1】C 【变式2】 【答案】4,6,18 【变式3】 【答案】(1)①63，②5： (2)26: (3)19. 【变式4】 【答案】(1)-4 (2)-11 a旺 题型10解一元一次方程有关的阅读理解类问题 典例精析 【典例10】 【答案】(1)② (2)m= 36 5 3)2a+b=129 8 举一反三 【变式1】 5/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)是 (2)等式的基本性质2 品 【变式2】 【答案】(1)2 (2)m>n 【变式3】 【答案】(1)②川=3是3x-2x-13=0的“友好方程” 57 2)4或4 【变式4】 【答案】(1)x=2或x=-1 (2)n=8或6 6/6