1.5.1.1 全称量词与存在量词同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦“全称量词与存在量词”，通过“例题引领-基础巩固-能力提升”三层设计，强化符号意识与推理能力，实现从概念理解到综合应用的进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|全（特）称命题改写与真假判断|通过7个典型命题示范符号化表达与逻辑推理，奠定概念基础| |A组基础达标|量词符号表示、命题真假判断、简单综合应用|单选/多选/填空/解答题结合，覆盖基础考点，如符号表示（题10）、集合与命题综合（题12）| |B组能力提升|跨情境命题判断、新定义应用|以取整函数等新情境（题3）考查数学抽象与应用意识，深化逻辑思维|

1.5.1 全称量词与存在量词 （第1课时：全（特）称命题的改写与判断真假） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 【例题精练】 【例1】判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“”或“”表述下列命题. (1)对任意，成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 【答案】(1)全称量词命题，表示为， (2)全称量词命题，表示为，，方程恰有一个解 (3)存在量词命题，表示为，既能被2整除，又能被3整除 (4)存在量词命题，表示为，不是平行四边形 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义求解判断各小题即可. 【详解】（1）全称量词命题，表示为，. （2）全称量词命题，表示为，，方程恰有一解. （3）存在量词命题，表示为，既能被2整除，又能被3整除. （4）存在量词命题，表示为，不是平行四边形. 【例2】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)对每一个无理数x，也是无理数． (2)末位是零的整数，可以被5整除． (3)，有. (4)有的集合中不含有任何元素． (5)存在对角线不互相垂直的菱形． (6)，满足. (7)有些整数只有两个正因数． 【答案】(1)全称量词命题，假命题 (2)全称量词命题，真命题 (3)全称量词命题，假命题 (4)存在量词命题，真命题 (5)存在量词命题，假命题 (6)存在量词命题，真命题 (7)存在量词命题，真命题 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）利用全称量词命题和存在量词命题的定义及真假判断方法，逐一判断各个命题得解. 【详解】（1）是全称量词命题，因为是无理数，但是有理数， 所以“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题． （2）是全称量词命题，因为每一个末位是零的整数，都能被5整除， 所以“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题． （3）是全称量词命题，当时，不满足， 所以“，有”为假命题． （4）是存在量词命题，由于空集中不含有任何元素． 因此 “有的集合中不含有任何元素”为真命题． （5）是存在量词命题，由于所有菱形的对角线都互相垂直，所以不存在对角线不垂直的菱形， 因此“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题． （6）是存在量词命题，，有，因此“，”是真命题． （7）是存在量词命题，由于存在整数3只有正因数1和3， 所以“有些整数只有两个正因数”为真命题． 【A组基础达标】 一、单选题 1．命题“实数的平方不小于零”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】命题“实数的平方不小于零”表示对于任意实数，其平方满足. 【详解】，符合题意，A选项正确；   ，仅表示存在满足条件的实数，范围过小，B选项错误；   ，不包含的情况，C选项错误；   ，仅表示存在满足条件的实数，范围过小，D选项错误. 故选：A. 2．下列命题中，既是全称量词命题，又是真命题的是（    ） A． B． C．任何实数都有算术平方根 D．任意两个无理数之和仍为无理数 【答案】A 【分析】对于A，含有全称量词，再根据指数函数的值域即可判断；对于B，不含有全称量词，故可判断；对于C，含有全称量词，负数没有算术平方根即可判断；对于D，含有全称量词，举例说明即可判断. 【详解】对于A，含有全称量词，而，所以，故A正确； 对于B，不含有全称量词，故B错误； 对于C，含有全称量词，负数没有算术平方根即可判断，故C错误； 对于D，含有全称量词，是无理数，而，而是有理数，故D错误. 故选：A 3．下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据全称量词命题和存在量词命题的概念进行区分，再判断真假即可求出答案. 【详解】AC是全称量词命题，不符合题意，BD为存在量词命题， 对于B，当时，此时，，故为真命题，符合题意， 对于D，因为恒成立，故不存在，即为假命题，不符合题意. 故选：B. 4．已知命题，命题，则（    ） A．p是假命题，q是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p和q都是真命题 D．p和q都是假命题 【答案】B 【分析】解绝对值不等式和一元二次不等式判断命题真假，得到答案. 【详解】因为，所以或，解得或，所以命题是真命题， 因为，所以命题是假命题， 故选：B. 5．下列命题中是真命题的为（   ） A．，使 B．，使 C．， D．， 【答案】D 【分析】判断每个选项的命题的真假即可. 【详解】对于A：最小的自然数为0，不可能使，故A错误； 对于B：，解得，故B错误； 对于C：判别式，方程无实数解，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：D. 6．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据任意性和存在性的定义逐一判断即可. 【详解】A．例如，满足且，故选项A正确； B．因为集合中的元素都在集合中，所以不存在集合中的元素不属于集合，故选项B错误； C．属于集合，也属于集合，故选项C错误； D．属于集合，但不属于集合，故选项D错误． 二、多选题 7．下列命题是“，”的表述方法的有（    ） A．存在，使得成立 B．对有些，使得成立 C．任选一个，都有成立 D．至少有一个，使得成立 【答案】ABD 【分析】根据特称命题的定义即可得正确答案. 【详解】命题“，”中表示有些、有的、存在的意思，是特称命题，故ABD正确； 选项C中任选一个，表示对所有的，是全称命题，故C不正确. 故选：ABD. 8．下列选项中能证明命题“”为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】代入检验可得结果. 【详解】A：当时，，为真命题； B：当时，，为真命题； C：当时，，为假命题； D：当时，，为真命题； 故选：ABD. 三、填空题 9．能够说明“设，，是任意实数.若，则”是假命题的一组整数，，的值依次为______. 【答案】3，2，1(答案不唯一) 【解析】由题意举出反例即可得解. 【详解】由题意，整数，，满足，但不满足， 所以，，的值依次可以为3，2，1. 故答案为：3，2，1(答案不唯一). 10．用符号“”或“”表示含有量词的命题． （1）实数的平方大于等于，符号表示为___； （2）存在一对实数，，使成立，符号表示为___． 【答案】 ，有 使成立 【分析】将已知中的命题改用全称和特称量词表示，即可求得答案． 【详解】（1）实数的平方大于等于，符号表示为：，有； （2）存在一对实数，，使成立，符号表示为：使成立． 故答案为：，有；使成立． 【点睛】本题的解题关键是掌握全称和特称量词表示方法，考查了分析能力和理解能力，属于基础题． 四、解答题 11．判断下列命题的真假． (1)是偶数； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)真命题 (2)真命题 (3)假命题 (4)假命题 【分析】根据全称命题及特称命题的定义分别判断各个小题即可. 【详解】（1），均为偶数，是真命题． （2）0中，方程有两个不相等的实根，是真命题． （3）中，无解，是假命题． （4）时，是假命题． 12．已知集合， (1)若，求； (2)判断命题“，”的真假，并说明理由； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)真命题，理由如下： 若，则，解得， 因为，所以，命题“，”为真命题. (3) 【分析】（1）求出集合，当时，求出集合，再由交集的定义可求得集合； （2）根据求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论； （3）由题意可得，分、两种情况讨论，在时，直接求出实数的取值范围；在时，由可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）， 当时，，则或， 此时，. （2）真命题，理由略； （3）因为，则， 若，则，解得； 若，由可得，该不等式组无解. 综上所述，实数的取值范围是. 【B组能力提升】 1．（多选）下列命题中，是真命题的是（   ） A．必有算术平方根 B．是无理数 C．为奇数 D．是无理数 【答案】AD 【分析】根据算术平方根定义、命题的真假判断AD；举例判断BD； 【详解】对于A，必有算术平方根为，命题是真命题，A正确； 对于B，取，是有理数，命题是假命题，B错误； 对于C，因为，且是连续整数且其中必有一个是偶数， 所以一定是偶数，不可能是奇数，命题是假命题，C错误； 对于D，取是无理数，是无理数，故该命题是真命题，D正确； 故选：AD. 2．（多选）已知非空集合，满足，且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】根据真子集的概念结合条件即得. 【详解】 ，，又，集合是集合的真子集， 故若元素在集合里就一定在集合里，A正确； 若元素在集合里不一定在集合里，B错误； 所以，，CD正确. 故选：ACD. 3．（多选）取整函数：不超过x的最大整数，如，，.取整函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照"取整函数"进行计费的.以下关于“取整函数”的性质是真命题的有（    ） A．， B．， C．，，，则 D．， 【答案】BCD 【分析】判断特称命题正确，只要举出例子即可，判断全称命题错误，也只要举出例子即可.可以用特殊值法，举例判断. 【详解】对于A，根据新定义“取整函数”的意义知不一定成立，如x取1.5，，，故A错误； 对于B，x取1，，，B正确； 对于C，设，，若，则，因此，故C正确； 对于D，设，当时，，， 所以，当时，，，所以，即D正确. 故选：BCD. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5.1 全称量词与存在量词 （第1课时：全（特）称命题的改写与判断真假） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 【例题精练】 【例1】判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“”或“”表述下列命题. (1)对任意，成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 【例2】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)对每一个无理数x，也是无理数． (2)末位是零的整数，可以被5整除． (3)，有. (4)有的集合中不含有任何元素． (5)存在对角线不互相垂直的菱形． (6)，满足. (7)有些整数只有两个正因数． 【A组基础达标】 一、单选题 1．命题“实数的平方不小于零”可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．下列命题中，既是全称量词命题，又是真命题的是（    ） A． B． C．任何实数都有算术平方根 D．任意两个无理数之和仍为无理数 3．下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 4．已知命题，命题，则（    ） A．p是假命题，q是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p和q都是真命题 D．p和q都是假命题 5．下列命题中是真命题的为（   ） A．，使 B．，使 C．， D．， 6．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列命题是“，”的表述方法的有（    ） A．存在，使得成立 B．对有些，使得成立 C．任选一个，都有成立 D．至少有一个，使得成立 8．下列选项中能证明命题“”为真命题的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．能够说明“设，，是任意实数.若，则”是假命题的一组整数，，的值依次为______. 10．用符号“”或“”表示含有量词的命题． （1）实数的平方大于等于，符号表示为___； （2）存在一对实数，，使成立，符号表示为___． 四、解答题 11．判断下列命题的真假． (1)是偶数； (2)； (3)； (4)． 12．已知集合， (1)若，求； (2)判断命题“，”的真假，并说明理由； (3)若，求的取值范围. 【B组能力提升】 1．（多选）下列命题中，是真命题的是（   ） A．必有算术平方根 B．是无理数 C．为奇数 D．是无理数 2．（多选）已知非空集合，满足，且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（多选）取整函数：不超过x的最大整数，如，，.取整函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照"取整函数"进行计费的.以下关于“取整函数”的性质是真命题的有（    ） A．， B．， C．，，，则 D．， 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $