13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 同步练习 2026—2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 本练习通过三级难度分层设计，以概念辨析→性质应用→综合探究的路径巩固三角形中线、角平分线、高的知识，培养抽象能力、推理意识与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |★☆☆（10题）|概念定义与基础性质|选择题为主，如辨析中线、角平分线的几何属性，强化抽象能力| |★★☆（7题）|性质应用与简单计算|填空题结合图形，如利用中线分面积、等腰三角形三线合一，发展运算能力| |★★★（5题）|综合证明与复杂问题|解答题需多步推理，如中线与外角关系证明、面积法求线段长，提升推理意识与几何直观|

第十三章 三角形 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 难度：★☆☆ 1. 下列语句中，正确的是（ ） A. 三角形的角平分线是射线 B. 三角形的中线是线段 C. 三角形的高线是直线 D. 三角形的三条高线都在三角形内部 2. 在△ABC中，AD是BC边上的中线，则下列结论一定正确的是（ ） A. AB = AC B. BD = CD C. AD ⊥ BC D. ∠BAD = ∠CAD 3. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AE是△ACD的中线，若DE = 4，则BC的长为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 4. 下列哪个是三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 5. 如图，在△ABC中，AC > AB，AC = 2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成24和18两部分，则AC的长为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 6. 下列说法错误的是（ ） A. 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分 B. 三角形的角平分线把对边分成两条相等的线段 C. 三角形的高可能在三角形外部 D. 三角形的三条中线交于一点 7. 在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，则AD与BC的位置关系是（ ） A. 相交但不垂直 B. 垂直 C. 平行 D. 无法确定 8. 已知AD是△ABC的中线，若△ABD的面积为6，则△ABC的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 18 9. 三角形的三条角平分线交于一点，这个点到三角形三边的距离（ ） A. 相等 B. 不相等 C. 无法确定 D. 以上都不对 10. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，∠C的角平分线交AB于点D，则∠ACD的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 60° D. 80° 难度：★★☆ 11.如图，在 △ABC 中，AD、AE 分别是边 BC 上的中线和高，AE = 3 cm，S△ABC = 12 cm²，则DC 的长______。 12. 已知等腰三角形一腰上的中线将周长分为12和15两部分，则等腰三角形的腰长和底边长是______。 13. 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△ACD 中，BC 与 AD 相交于点 E，EF ⊥ BC 交 AC 于点 F。 则△ABC 中 BC 边上的高是______；△ACE 中 AE 边上的高是______； 14. 在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，若∠B=50°，则∠CAD的度数是______。 15. 如图，△ABC 的周长为 26，AC = 10，BC 边上的中线 AE = 4，△ABE 的周长为 17，则AB 的长为______。 16. 在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=70°，AD是角平分线，则∠ADB的度数为______。 17. 已知三角形的三边长分别为a、b、c，且a+b>c，a+c>b，b+c>a，则三条中线能否构成三角形？请说明理由。 难度：★★★ 18. 在△ABC中，D是BC上一点，E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F。已知S△ABC = 24，S△ABD = 16。 （1）求S△ACD； （2）求S△ABE。 19. 在△ABC中，∠A = 2∠B，CD是∠C的平分线，交AB于点D，且AC = 2BC，求∠C的度数。 20. 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，点 D 为 AC 上一点，过点 A 作 AE ⊥ BD 于点 E。 （1）当 BD 平分 ∠ABC，且 ∠ABC = 60° 时，求 ∠BAE 的度数； （2）当点 D 是 AC 中点，DB = 6，且 △ABC 的面积为 24，求 AE 的长。 21.如图，AD 是 △ABC 的中线，CE 是 △ACD 的中线。 （1）求证：∠AEC > ∠B； （2）若 S△ACE = 3 cm²，求 △ABC 的面积。 22. 如图，BE 和 CD 是 △ABC 的两条高线且相交于点 O。 （1）已知 ∠A = 70°，求 ∠BOC 的度数； （2）若 AB = 15，AC = 12，求 的值。 参考答案 1. B 解析：A错误，角平分线是线段（在三角形内部）；C错误，高是线段（从顶点到对边的垂线段）；D错误，钝角三角形的高有两条在外部。 2. B 解析：中线定义：连接顶点和对边中点的线段，所以BD=CD。 3.C 解析：∵ AD是BC边上的中线，∴ D是BC的中点，BD = DC = BC。又∵ AE是△ACD的中线，∴ E是CD的中点，DE = DC。∴ DE = DC = × BC = BC。已知DE = 4，∴ 4 = BC，∴ BC = 16。 4. C 解析：中线交点是重心，角平分线交点是内心，高线交点是垂心，外心是垂直平分线交点。 5. B 解析：设 BD = DC = x，则 BC = 2x，AC = 4x。∵ 两部分周长差为 24 − 18 = 6，且 AD 公共、BD = DC，∴ AC − AB = 6，即 AB = 4x − 6。尝试整数 x = 4 时：AC = 16，AB = 10，BC = 8，AD = 4。 验证：△ACD 周长 = 16 + 4 + 4 = 24，△ABD 周长 = 10 + 4 + 4 = 18，符合题意。所以 AC = 16，选 B。 6. B 解析：角平分线将对边分成两段，但不一定相等，只有等腰三角形底边上的角平分线才平分对边。 7. B 解析：等腰三角形三线合一，底边上的中线也是高线，故AD⊥BC。 8. C 解析：中线把三角形分成面积相等的两个三角形，所以S△ABC=2×6=12。 9. A 解析：角平分线上的点到角两边距离相等，三条角平分线交点到三边距离相等。 10. A 解析：∠C=180-50-70=60°，CD平分∠C，∠ACD=30°。 11. 4 cm 解析：∵ AE 是 BC 边上的高，S△ABC = 12 cm²，AE = 3 cm。由三角形面积公式 S = × BC × AE，得：12 = × BC × 3 12 = 1.5 × BC BC = 8 cm。又 ∵ AD 是 BC 边上的中线， ∴ D 是 BC 的中点，DC = × BC = × 8 = 4 cm。 12. 腰8底11或腰10底7 解析：设腰长a，底长b，分两种情况：(1) a+ =12，b+ =15，得a=8，b=11；(2) a+ =15，b+ =12，得a=10，b=7。 13. AB；CF 解析：（1）在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，即 AB ⊥ BC， ∴ 从顶点 A 向 BC 边作垂线，垂足为 B，垂线段为 AB， 故 △ABC 中 BC 边上的高是 AB。 （2）在 △ACE 中，AE 边上的高是过顶点 C 向 AE 所在直线作垂线。 ∵ EF ⊥ BC，且 F 在 AC 上，结合图形位置关系， CF 是 C 到 AE 的垂线段， 故 △ACE 中 AE 边上的高是 CF。 14. 40° 等腰三角形三线合一，AD平分∠BAC，∠B=∠C=50°，∠BAC=80°，∠CAD=40°。 15. 10 解析：设 AB = x，BC = y。 由 △ABC 周长：x + y + 10 = 26，得 x + y = 16 ① 由 △ABE 周长：AB + BE + AE = x + + 4 = 17，得 x + = 13 ② ① − ② 得： = 3，所以 y = 6。 代入①得：x + 6 = 16，所以 x = 10。 16. 105° 解析：∠C=180-60-70=50°，AD平分∠A，∠BAD=30°，在△ABD中，∠B=70°，∠BAD=30°，所以∠ADB=80°。 17. 能构成三角形。理由：设三条中线分别为ma、mb、mc，它们满足任意两边之和大于第三边，因此可以构成三角形。 18. （1）S△ACD = S△ABC − S△ABD = 24 − 16 = 8。 （2）∵ E是AD的中点，BE是△ABD的中线， ∴ S△ABE = S△ABD = × 16 = 8。 19. 设∠B = x，则∠A = 2x。 由三角形内角和：∠C = 180° − 3x。 由角平分线定理： = = 2。 又∠A = 2∠B，结合比例可求得x = 30°。 ∠C = 180° − 3×30° = 90°。 20. （1）解：∵ BD 平分 ∠ABC，∠ABC = 60°（已知） ∴ ∠ABE = 30°（角平分线的定义）， 又 ∵ AE ⊥ BD（已知） ∴ ∠AEB = 90°（垂直的定义）， ∴ ∠BAE = 90° − 30° = 60°（三角形内角和推论）； （2）解：∵ 点 D 是 AC 中点， ∴ AD = DC， ∴ S△ADB = ·AD·BC =·S△ABC = ·AC·BC， ∴ S△ADB = ·S△ABC = 12， ∴ S△ADB = ·BD·AE = ×6×AE = 3AE = 12， ∴ AE = 4。 21. （1）解：由图可知，∠ADC 是 △ABD 的一个外角， ∴ ∠ADC = ∠B + ∠BAD， ∴ ∠ADC > ∠B， 又 ∵ ∠AEC 是 △CDE 的一个外角， ∴ ∠AEC = ∠ADC + ∠DCE， ∴ ∠AEC > ∠ADC， ∴ ∠AEC > ∠B； （2）解：∵ CE 是 △ACD 的中线，S△ACE = 3 cm²， ∴ S△ACD = 2S△ACE = 6 cm²， 又 ∵ AD 是 △ABC 的中线， ∴ S△ABC = 2S△ACD = 12 cm²。 22. ∵ BE⊥AC，CD⊥AB， ∴ ∠AEB = 90°，∠ADC = 90°。 在四边形 ADOE 中，∠ADO = 90°，∠AEO = 90°。 ∠A = 70°，四边形内角和为 360°， ∴ ∠DOE = 360° − 90° − 90° − 70° = 110°。 又 ∵ ∠BOC 与 ∠DOE 是对顶角， ∴ ∠BOC = ∠DOE = 110°。 （2） = 解析：∵ BE 是 AC 边上的高，CD 是 AB 边上的高。 面积法：S△ABC = × AC × BE = × AB × CD。 将 AB = 15，AC = 12 代入： × 12 × BE = × 15 × CD = = 。 学科网（北京）股份有限公司 $