13.3.1 三角形的内角 第二课时 直角三角形的性质与判定 同步练习 2026—2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 本同步练以“直角三角形的性质与判定”为核心，通过三级分层设计，实现从单一知识点应用到综合推理的渐进式巩固，适配新授课基础夯实与能力初步提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |★☆☆（10题）|直角三角形两锐角互余、性质与判定基础|以选择填空为主，直接考查概念辨析与简单计算，如已知一角求另一角| |★★☆（7题）|角的比例关系、结合垂直平分线等简单综合|填空为主，需列方程或结合性质推理，如“∠A:∠B=1:2求角度”| |★★★（5题）|多性质综合应用、证明与计算|解答题为主，涉及角平分线、高、垂直平分线等综合推理，如证明△CFE为等腰三角形|

第十三章 三角形 13.3.1 三角形的内角 第二课时 直角三角形的性质与判定 难度：★☆☆ 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°，则∠B的度数为（ ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 2. 下列说法正确的是（ ） A. 直角三角形中，两个锐角互余 B. 直角三角形中，两个锐角相等 C. 直角三角形中，一个锐角与一个钝角互余 D. 直角三角形中，两个锐角互补 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A-∠B=20°，则∠A的度数为（ ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 4. 下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是（ ） A. ∠A=30°，∠B=50° B. ∠A=40°，∠B=50° C. ∠A=45°，∠B=55° D. ∠A=25°，∠B=70° 5. 如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=50°，则∠ABC的度数是（ ） A. 70° B. 80° C. 90° D. 100° 6. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=2∠B，则∠A的度数为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 80° 7. 如图，∠AOB=60°，点P在OA上，PC=PD，若OC=4cm，OD=6cm，则OP的长是（ ） A. 8cm B. 9cm C. 10cm D. 11cm 8. 下列说法中，错误的是（ ） A. 直角三角形两个锐角互余 B. 有两个角互余的三角形是直角三角形 C. 三角形中，若一个角等于另外两个角之和，则这个三角形是直角三角形 D. 三角形中，若一个角等于60°，则这个三角形是等边三角形 9. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=3∠B，则∠B的度数为（ ） A. 15° B. 22.5° C. 30° D. 45° 10. 如图，点 E 是 △ABC 中 AC 边上的一点，∠C=90°，过 E 作 ED⊥AB，垂足为点 D。若∠1=48°，则∠2 的度数为（ ） A. 42° B. 48° C. 52° D. 58° 难度：★★☆ 11. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A∶∠B=1∶2，则∠A=______，∠B=______。 12. 如图，在 △ABC 中，∠ABC = ∠C = 4∠A，BD ⊥ AC 于 D，则 ∠DBC 的度数为______。 13. 在 △ABC 中，∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 5，则 ∠B = ______。 14. 在△ABC中，∠A=2∠B=3∠C，则这个三角形是______三角形。（填“锐角”“直角”或“钝角”） 15. 如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，交 AB 于 E，CD=2，则 AD 的长度为______。 16. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=4∠B，则∠A=______，∠B=______。 17. 如图，在 △ABC 中，∠B = 30°，∠ACB = 100°，AE 平分 ∠BAC，AD ⊥ BC 交 BC 的延长线于点 D，求 ∠EAD 的度数。 难度：★★★ 18. 如图，Rt△ACB 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，BE 平分∠CBA 交 AC 于 E，交 CD 于点 F，若 ∠A − ∠EBA = 15°，求 ∠CFB 的度数。 19. 在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，CE是角平分线，∠A=40°。 （1）求∠DCE的度数； （2）判断△CDE的形状，并说明理由。 20. 在△ABC中，∠A=2∠B，∠C=3∠B。 （1）求∠A、∠B、∠C的度数； （2）判断△ABC的形状，并说明理由。 21. 如图，在△ABC中，点E为边AB上的一点，连接CE，过点A作AF⊥AB，交CE延长线于点F，过点A作AD⊥CE，垂足为D。已知AD=5，CD=12，AB=5，BC=12。 （1）求线段AC的长； （2）证明：∠BCE=∠DFA。 22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，分别交CD、CB于F、E。 （1）求证：∠BCD=∠A； （2）求证：△CFE是等腰三角形。 参考答案 1. C 考点：直角三角形两锐角互余 解析：∠B=90°-∠A=90°-35°=55°。 2. A 考点：直角三角形的性质 解析：直角三角形两锐角互余，即两个锐角之和为90°。B错误，互余不一定相等；C错误，钝角不存在于直角三角形中；D错误，两锐角互余而非互补。 3. C 考点：直角三角形两锐角互余 解析：∠A+∠B=90°，∠A−∠B=20°，两式相加得2∠A=110°，∠A=55°。 4. B 解析：根据三角形内角和为180°，分别求出第三个角： A. ∠C = 180° − 30° − 50° = 100°，为钝角三角形； B. ∠C = 180° − 40° − 50° = 90°，为直角三角形； C. ∠C = 180° − 45° − 55° = 80°，为锐角三角形； D. ∠C = 180° − 25° − 70° = 85°，为锐角三角形。 5. B 解析：∵ CD⊥BD， ∴ ∠BDC = 90°。 在△BCD中，∠C = 50°，∠BDC = 90°， ∴ ∠DBC = 180° − 50° − 90° = 40°。 ∵ BD平分∠ABC， ∴ ∠ABC = 2∠DBC = 2 × 40° = 80°。 6. C 考点：直角三角形两锐角互余 解析：设∠B=x，则∠A=2x，x+2x=90°，x=30°，∴ ∠A=60°。 7.C 解析：∵ PC = PD， ∴ 点P在CD的垂直平分线上， ∴ C和D关于点P到OB的垂足对称。 设CD的中点为M，则M在OB上，且OM = = = 5cm。 在Rt△POM中，∠POM = ∠AOB = 60°。 又 ∵ ∠PMO = 90°， ∴ ∠OPM = 30°。 ∴ OM = OP（30°角所对的直角边等于斜边的一半）， ∴ OP = 2OM = 2 × 5 = 10cm。 8. D 考点：直角三角形的性质与判定 解析：D错误，如三角形内角为30°、60°、90°，有一个角为60°，但不是等边三角形。 9. B 考点：直角三角形两锐角互余 解析：设∠B=x，则∠A=3x，x+3x=90°，x=22.5°。 10. B 解析： 在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ∴ ∠A + ∠B = 90°。 在 Rt△ADE 中，ED⊥AB， ∴ ∠ADE=90°， ∠1 + ∠A = 90°。 又 ∵ ∠A + ∠B = 90°， ∴ ∠B = ∠1 = 48°。 在 Rt△BDE 中，∠BDE=90°， ∠2 = 90° − ∠B = 90° − 48° = 42°。 11. 30°；60° 考点：直角三角形两锐角互余、比例分配 解析：设∠A=x，∠B=2x，x+2x=90°，x=30°，∠A=30°，∠B=60°。 12. 10° 解析：设 ∠A = x。 ∵ ∠ABC = ∠C = 4∠A = 4x， 由三角形内角和为 180° 得： x + 4x + 4x = 180° 9x = 180° x = 20° ∴ ∠C = 4x = 80°。 ∵ BD ⊥ AC， ∴ ∠BDC = 90°。 在 Rt△BCD 中，∠C = 80°，∠BDC = 90°， ∴ ∠DBC = 180° − 90° − 80° = 10°。 13. 54° 解析：设 ∠A = 2x，∠B = 3x，∠C = 5x。 由三角形内角和为 180°，得： 2x + 3x + 5x = 180° 10x = 180° x = 18° ∴ ∠B = 3x = 3 × 18° = 54°。 14. 钝角 考点：三角形内角和、三角形按角分类 解析：设∠C=x，则∠B=1.5x，∠A=3x，x+1.5x+3x=180°，5.5x=180°，x≈32.7°，∠A≈98°，是钝角三角形。 15. 4 解析：∵ DE 是 AB 的垂直平分线， ∴ AD = BD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。 在 Rt△ABC 中，∠A = 30°，∠C = 90°， ∴ ∠ABC = 60°。 ∵ AD = BD， ∴ ∠A = ∠ABD = 30°， ∴ ∠CBD = ∠ABC − ∠ABD = 60° − 30° = 30°。 在 Rt△BCD 中，∠C = 90°，∠CBD = 30°，CD = 2， ∴ BD = 2CD = 4（30°角所对的直角边等于斜边的一半）。 又 ∵ AD = BD， ∴ AD = 4。 16. 72°；18° 考点：直角三角形两锐角互余、比例分配 解析：设∠B=x，∠A=4x，x+4x=90°，x=18°，∠A=72°，∠B=18°。 17. ∵ ∠B = 30°，∠ACB = 100°， ∴ ∠BAC = 180° − 30° − 100° = 50°。 ∵ AE 平分 ∠BAC， ∴ ∠BAE = ∠EAC = × 50° = 25°。 ∵ AD ⊥ BC，且 D 在 BC 延长线上， ∴ ∠ACD = 180° − ∠ACB = 180° − 100° = 80°。 在 Rt△ACD 中，∠ADC = 90°， ∴ ∠CAD = 90° − 80° = 10°。 由图可知，∠EAD = ∠EAC − ∠CAD = 25° − 10° = 15°。 18.设 ∠EBA = x°。 ∵ BE 平分 ∠CBA， ∴ ∠CBA = 2x°。 在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°， ∴ ∠A + ∠CBA = 90°， 即 ∠A + 2x = 90°。 ① 又 ∵ ∠A − ∠EBA = 15°， ∴ ∠A − x = 15°， 即 ∠A = x + 15°。 ② 将②代入①： (x + 15°) + 2x = 90°， 3x = 75°， x = 25°。 ∴ ∠A = x + 15° = 40°，∠CBA = 2x = 50°。 在 Rt△BCD 中，∠CDB = 90°，∠CBD = ∠CBA = 50°， ∴ ∠BCD = 90° − 50° = 40°。 ∵ F 在 CD 上，BE 与 CD 交于点 F， 在 △BCF 中，∠CBF = ∠EBA = 25°，∠BCF = ∠BCD = 40°， ∴ ∠CFB = 180° − 25° − 40° = 115°。 19.（1）∠DCE=5°；（2）△CDE是等腰三角形 考点：直角三角形两锐角互余、角平分线性质 解析：（1）∠B=90°−40°=50°，∠ACD=∠B=50°，CE平分∠ACB，∠ACE=45°，∠DCE=∠ACD−∠ACE=50°−45°=5°。（2）在Rt△CDE中，∠DCE=5°，∠CDE=90°−5°=85°，不是等腰三角形。应判断△CDE为直角三角形。 20.（1）∠A=60°，∠B=30°，∠C=90°；（2）直角三角形 考点：三角形内角和、直角三角形的判定 解析：设∠B=x，则∠A=2x，∠C=3x，2x+x+3x=180°，6x=180°，x=30°，∠A=60°，∠B=30°，∠C=90°。由∠C=90°，故为直角三角形。 21.（1） ∵ AD⊥CE， ∴ ∠ADC = 90°。 在 Rt△ADC 中，AD = 5，CD = 12， 由勾股定理得： AC = = = = 13。 （2）在 △ABC 中，AB = 5，BC = 12，AC = 13， ∵ 5² + 12² = 13²，即 AB² + BC² = AC²， ∴ ∠ABC = 90°（勾股定理逆定理）。 ∴ AB⊥BC。 又 ∵ AF⊥AB（已知）， ∴ AF∥BC（垂直于同一条直线的两条直线平行）。 ∴ ∠BCE = ∠AFE（两直线平行，内错角相等）。 又 ∵ D、E、C、F 在同一直线上， ∴ ∠DFA = ∠AFE（同一个角）。 ∴ ∠BCE = ∠DFA。 22. （1）证明： ∵ CD⊥AB， ∴ ∠BCD + ∠B = 90°（直角三角形两锐角互余）。 又 ∵ ∠ACB = 90°， ∴ ∠A + ∠B = 90°（直角三角形两锐角互余）。 ∴ ∠BCD = ∠A（同角的余角相等）。 （2）证明： ∵ AE平分∠CAB， ∴ ∠CAE = ∠EAB。 又 ∵ CD⊥AB， ∴ ∠AFD = 90° − ∠EAB（在Rt△ADF中）。 又 ∵ ∠CFE = ∠AFD（对顶角相等）， ∴ ∠CFE = 90° − ∠EAB。 在△ACE中，∠CEF = ∠CAE + ∠ACE（三角形外角定理）， 又 ∠ACE = 90° − ∠BCD， 由（1）知∠BCD=∠A， ∴ ∠ACE = 90° − ∠A。 又 ∠CAE = ∠A， ∴ ∠CEF = ∠A + (90° − ∠A) = 90° − ∠A。 而 ∠EAB = ∠A， ∴ ∠CFE = 90° − ∠A。 ∴ ∠CEF = ∠CFE， ∴ △CFE是等腰三角形（等角对等边）。 学科网（北京）股份有限公司 $