13.3.1 三角形的内角 第二课时 直角三角形的性质和判定 分层训练 2026----2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦直角三角形性质与判定，分层设计从基础计算到综合应用，通过工具操作、图形变换深化知识理解，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|直角三角形锐角计算|直接应用两锐角互余，如已知一角求另一角| |中档层|三角板操作与翻折|结合平行线性质（三角板问题）、折叠性质（翻折问题）| |提高层|判定与综合应用|内角和定理判定直角三角形，新定义（友爱三角形）、多知识点综合|

13.3.1 三角形的内角 第2课时直角三角形的性质和判定 1、 求直角三角形锐角的度数 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝55°，则∠A的度数为（　　） A．35° B．45° C．135° D．145° 2.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,EF∥AB,∠1=40°,则∠B的度数为(　　) A.40° B.60° C.30° D.50° 3.如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍,那么这个直角三角形中较小锐角的度数是(　　) A.9° B.18° C.27° D.36° 4.如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高，∠A＝50°，则∠BOC＝（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 5.如图，△ABC中，ED∥AC，∠B＝55°，∠DEB＝90°，则∠A的度数为　　 ． 6.如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是边BC上的高,∠CAD=35°,则∠B=　 　.  二、与直角三角板有关的问题 1.将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 2.将一副三角尺按如图所示的方式放置，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3.一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（   ） A． B． C． D． 4.如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是 °． 5.将一副直角三角板如图放置，已知，，当时，______． 6.如图，将一个直角三角板DEF放置在锐角三角形ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C，若∠A＝50°，求∠ABD+∠ACD的度数． 三、直角三角形中的翻折问题 1.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,沿CD折叠,使点A落在边BC上的点E处,若∠B=26°,则∠CDE的度数为(　　) A.52° B.71° C.72° D.81° 2.如图，中，，点D在上，连接，将沿对折得到，点E恰好在上，若，则______． 3.如图，将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点落在处，若，，则的度数为________． 4.如图，在中，．第一步，将纸片折叠，使点A与点B重合，折痕与边的交点为点D；第二步，在边上找一点E，将纸片沿折叠，点A落在处；第三步，将纸片沿折叠，点E落在处，当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，的度数为 °． 四、直角三角形的判定 1.已知在△ABC中,∠A=∠B+∠C,则此三角形是(　　) A.等边三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.直角三角形 2.下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 3.在下列条件中：①∠A＝∠B；②∠A：∠B：∠C＝2：3：5；③∠A＝90°﹣∠B；④中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.如图，平分，，，，则是____三角形． 5.已知：如图1，在△ABC中，CD是高，若∠A＝∠DCB． （1）试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如图2，若AE是△ABC的角平分线，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF． 6.如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 五、与直角三角形有关的综合问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ABC的平分线BE交AC于点E，且AD与BE相交于点F，过点D作DG∥AB，过点B作BG⊥DG交DG于点G．下列结论中，不一定正确的是（　　） A．∠AFB＝135° B．∠BDG＝2∠CBE C．∠BEC＝∠FBG D．BC平分∠ABG 2.如图，知，，，．则下列结论：①；②平分；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3.定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 1.如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，则（    ） A． B． C．140° D．145° 2.将一副三角板和按照如图所示的方式放置，与交于点G．已知，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3.已知：在中，，比大，点M，N分别在边上，连接，将沿着折叠，得到，当所在直线与垂直时，的度数是__________ 4.已知在中，，D是上一点 (1)如图1，，求证：； (2)将沿所在直线翻折，点A落在边所在直线上，记为点． ①如图2，若，求的度数； ②若，则 的度数为 　　（用含α的代数式表示）． 5.定义：如果一个三角形有两个内角的差为90°，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．若△ABC是“准直角三角形”，且∠A＝40°，∠C＞90°，求∠B的度数． 1.（2024·西藏·中考真题）如图，已知直线，于点D，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2.（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，把一块直角三角板放置在直线、之间，点B、C分别落在直线、上，若，则（ ） A． B． C． D． 3.（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4.（2024·山西·中考真题）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 5.（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 13.3.1 三角形的内角 第2课时直角三角形的性质和判定 一、求直角三角形锐角的度数 1.A　 2.D　 3.B 4.C 5.35 6.35° 二、与直角三角板有关的问题 1.C　　 2.D   3.A   4.55 5. 6.解：如图所示，连接BC， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°， ∵∠BDC＝90°， ∴∠DBC+∠DCB＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠DBC+∠DCB）＝130°﹣90°＝40°， 三、直角三角形中的翻折问题 1.B　 2. 3.． 4.或 四、直角三角形的判定 1.D 2.D  3.C 4.直角 5.（1）解：△ABC是直角三角形，理由如下： ∵在△ABC中，CD是高，∠A＝∠DCB， ∴∠CDA＝90°， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠DCB+∠ACD＝90°， ∴∠ACB＝90°， ∴△ABC是直角三角形； （2）证明：∵AE是角平分线， ∴∠DAF＝∠BAE， ∵∠FDA＝90°，∠ACE＝90°， ∴∠DAF+∠AFD＝90°，∠CAE+∠CEA＝90°， ∴∠AFD＝∠CEA， ∵∠AFD＝∠CFE， ∴∠CFE＝∠CEA， 即∠CFE＝∠CEF． 6.解：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 五、与直角三角形有关的综合问题 1.D　 2.B   3.（1）解：①是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； ②、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ， 在中，， ， 为“友爱三角形”； 在中，， 为“友爱三角形”； （2）的度数为或． 1. B 2.C   3. 或 4.（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 解：①∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴； （3）或. 5.解：∵△ABC是“准直角三角形”， ∴∠C﹣∠A＝90°或∠C﹣∠B＝90°， 当∠C﹣∠A＝90°， 而∠A＝40°， ∴∠C＝90°+40°＝130°， ∵∠C+∠B+∠A＝180°， ∴∠B＝180°﹣130°﹣40°＝10°， 当∠C﹣∠B＝90°， ∵∠C+∠B+∠A＝180°， ∴∠C+∠B＝180°﹣40°＝140°， ∴2∠B＝50°， 解得∠B＝25°， 综上所述，∠B的度数为10°或25°． 1.A  2.C 3.C 4.C   5.C　 学科网（北京）股份有限公司 $