13.3.1三角形的内角（分层作业，7大题型）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 分层递进式设计，A组聚焦基础概念巩固，B组侧重综合能力提升，构建从单一知识点到多模块应用的完整巩固路径，培养推理意识与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|三角形内角和证明、直接求角、直角三角形性质与判定|基础题型为主，如证明步骤填空（例：内角和证明依据选择）、角度直接计算，强化运算能力与概念理解| |B组|内角和与平行线、角平分线、折叠的综合应用|综合题型为主，如多知识点结合的解答题（例：折叠中角度计算），培养空间观念与逻辑推理能力|

分层作业 13.3.1 三角形的内角 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶 目 录 A组 巩固过关 题型01 三角形内角和的证明 题型02 利用三角形内角和直接求角 题型03 直角三角形的性质 题型04 直角三角形的判定 B组 能力进阶 题型01 三角形内角和与平行线的综合 题型02 三角形内角和与角平分线的综合 题型03 利用三角形内角和解决折叠中的角度计算 三角形内角和的证明题型01 1．下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（    ） 已知：．求证：． 证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴★，■（①）． ∵（②）， ∴（等量代换）．    A．★处填2 B．■处填1 C．①内错角相等，两直线平行 D．②平角定义 【答案】D 【分析】根据题意结合平行线的性质进行证明判断即可． 【详解】证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴1，2（两直线平行，内错角相等）． ∵（平角定义）， ∴（等量代换）．    故选D 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，正确理解题意是解题的关键． 2．（24-25八年级上·山西大同·质检）“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决即可． 【详解】解：A．由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 B．由于D，则，无法证得“三角形内角和是”，符合题意． C．由，得，．由，得，，所以．由，得：，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 D．由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意． 故选B． 3．（25-26八年级·河南郑州·月考）在验证“三角形内角和定理”时，四位同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能验证“三角形的内角和是”的是（    ） A．过点作 B．延长到，过点作 C．过上一点作 D．过上一点作 【答案】D 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意． 4．（24-25七年级下·河北沧州·月考）如图，，，为三角形的内角，求：_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，过点作，可得，，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ，， ， ， 故答案为：． 5．著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗克洛斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明． (1)如图是欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请你根据欧几里得的思想写出证明过程； (2)聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交AB于点D，作交于点F．求证：． 【答案】(1) ∵ ∴， ∴； (2) ∵ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴． 【分析】（1）由平行线的性质得到，，然后等量代换证明即可； （2）由平行线的性质得到，，，，等量代换得到，然后结合平角的定义证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 6．（24-25八年级上·山西晋中·期末）课堂回顾 在学习《三角形内角和定理》时，张老师鼓励同学们用不同的方法证明三角形内角和定理． 已知：如图1，． 求证：． 下面是小明与小颖的想法． 小明的想法：把三个角“凑”到A处，他过点A作直线（如图2）．下面是他写的证明过程，请你在括号内填写依据． 证明：过点A作直线，则 ，（______） ，（平角的定义） ．（______） 小颖的想法：从之前撕角的验证过程中得到了思路启发（如图3），在线段的右侧作（如图4）．你认为她的想法可行吗？如果可行，请写出证明过程；如果不可行，请说明理由． 【答案】两直线平行，内错角相等；等量代换； 小颖的想法可行． 证明：如图，作， ∴， ， 即， ． 【分析】本题考查三角形内角和的证明，平行线的性质与判定；小明的想法逐步分析前后步骤之间的关系，再填上理由即可；小颖的想法由可得，即可得到，等量代换以后得到． 【详解】略 7．（25-26七年级下·河南濮阳·期末）【问题探究】 已知，点E，F分别为和上的点，点P是平面内一点．数学兴趣小组的同学们想探究与，的数量关系（，，均为大于且小于的角）． (1)当点P在直线和之间时． ①若点P在线段右侧，如图1，小明和小亮给出了不同的解决方法，请你将两位同学的过程补充完整． 小明：如图2，过点P作． ． （____________________） 小亮：如图3，过点F作交于点N．… ②若点P在线段左侧，如图4，请直接写出与，的数量关系． (2)若，，直接写出的度数． 【方法应用】 (3)上述两位同学都是过某个点作已知直线的平行线，利用平行线的性质来解决问题．请你利用上述方法解决下面的问题． 已知：如图5，三角形． 求证：． 【答案】(1)①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； 小亮：如图，过点F作交于点N． （两直线平行，同位角相等） （两直线平行，内错角相等） 又 ② (2)或 (3)证明：过点S作 ， 【分析】（1）①两直线平行，内错角相等；②两直线平行，同旁内角互补； （2）根据，，分类讨论进行求解； （3）两直线平行，内错角相等；三角形内角和为． 【详解】（1）①略 ②过点P作． ， ． ， ； （2）解：，， 当到的右侧且在之间时， ； 当到的右侧且在上方时， ， ， ； （3）略 8．（25-26八年级·河北保定·质检）是重要的几何定理，请根据所学证明此定理． 已知： 求证： （2）在欧几里得几何中，三角形的内角和定理与另一个命题等价：“所有三角形三内角之和都相同．”用“所有三角形三内角之和都相同．”可推出三角形的内角和定理． 如图2，在边上取一点D，连接，设任意三角形内角和为x，若（即），通过推导和的内角和关系，证明． 请完善以下内容： 证明：中，设，① 则内角和为，② 内角和为：________________③ ∵，④ ⑤ 并用代入，得（补充完整后面过程） 【答案】 （1）证明：如图，过点A作直线l，使． ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，，组成平角， ∴（平角定义）． ∴（等量代换）． （2）证明：中，设，① 则内角和为，② 内角和为：③ ∵，④ ⑤ 并用代入，得 解得． 【分析】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练利用平行线的性质及平角的定义是解决问题的关键． （1）过点A作直线l，使，作出辅助线，根据平行线的性质及平角的定义即可解答； （2）设三角形内角和为x， 由和内角和 等于，结合平角的定义即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 利用三角形内角和直接求角题型02 1．如图所示，已知直线，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质、邻补角的性质、三角形内角和定理等知识点，理清角之间的关系是解题的关键． 由平行线的性质可得，由邻补角的性质可得，最后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选A． 2．（24-25八年级上·吉林四平·期末）在中，，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理结合计算得出，即可得解，熟练掌握三角形内角和定理是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：D． 3．（24-25八年级上·重庆·月考）如图，M，N分别是的边，上一点，将沿折叠，使点A落在边上，若，则   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出，再求出的度数即可得到答案； 【详解】解：，，， ， 故选：D． 4．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）若等腰三角形一个角为，则顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；等腰三角形一内角为，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况讨论． 【详解】解：当角为顶角，顶角度数即为； 当为底角时，顶角； 综上，若等腰三角形一个角为，则顶角的度数是或， 故选：C． 5．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）在中，，，则的度数为______． 【答案】##50度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直接利用三角形内角和定理计算出的度数． 【详解】解：，    故答案为： 6．（24-25八年级上·贵州·月考）在中，，，则_________． 【答案】##32度 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，由三角形的内角和定理可得：，再结合所给的条件，可得，从而可求解． 【详解】解：∵，， ∴在中，， ∴， ， ． 故答案为：． 7．求出下列各图形中x的值： 【答案】图（1）中；图（2）中；图（3）中；图（4）中 【分析】本题考查三角形内角和定理，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：图（1）中：，即； 图（2）中：，解得：，即； 图（3）中：，解得：，即； 图（4）中：，解得：，即． 8．问题：如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=82°，则∠BEC=______；若∠A=a°，则∠BEC=______． 【探究】 （1）如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A=a°，则∠BEC=______； （2）如图3，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由； （3）如图4，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． 【答案】问题：131°；90°+a°；（1）60°+a° ；（2）∠BOC=∠A；（3）∠BOC=90°-∠A． 【详解】试题分析：问题：利用三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB，然后根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；将∠A的度数换成n°，然后求解即可； 探究：（1）利用三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再利用三等分角求出∠EBC+∠ECB，然后根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACD和∠OCD，再根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD，然后整理即可得解； （3）根据平角的定义以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，然后根据三角形的内角和定理列式表示出∠BOC，然后整理即可得解． 试题解析：【问题】解：∵∠A=80°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°， ∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB， ∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×100°=50°， ∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-50°=130°； 由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-n°， ∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB， ∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°-n°）=90°-n°， ∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-（90°-n°）=90°+n°； 探究：解：（1）由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-n°， ∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB， ∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB， ∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°-n°）=120°-n°， ∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-（120°-n°）=60°+n°； （2）∠BOC=∠A． 理由如下：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC， ∠OCD=∠BOC+∠OBC， ∵O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点， ∴∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD， ∴∠A+∠ABC=2（∠BOC+∠OBC）， ∴∠A=2∠BOC， ∴∠BOC=∠A； （3）∵O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点， ∴∠OBC=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC，∠OCB=（180°-∠ACB）=90°-∠ACB， 在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（90°-∠ABC）-（90°-∠ACB）=（∠ABC+∠ACB）， 由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A， ∴∠BOC=（180°-∠A）=90°-∠A． 直角三角形的性质题型03 1．在任意的一个直角三角形中，它的两个锐角一定满足的关系是（   ） A．不相等 B．互余 C．相等 D．互补 【答案】B 【分析】本题考查互余关系，根据直角三角形的两个锐角之和为90度，即可得出结论． 【详解】解：∵在任意的一个直角三角形中，它的两个锐角的和一定为90度， ∴两个锐角一定互余； 故选：B． 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=37°，则∠B的度数为 （    ） A．53° B．63° C．73° D．83° 【答案】A 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，∠A+∠B=90°求解即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°， ∵∠A＝37°， ∴∠B＝53° 故选：A． 【点睛】此题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键． 3．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在△中，，于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键．根据直角三角形的两锐角互余、同角的余角相等解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，，，，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，三角形内角和定理．根据三角形高的定义得到，再利用三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故选：C． 5．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为_______． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 先由三角形的内角和定理求出，然后分当时和当时两种情况分析即可． 【详解】解：∵，， ∴， 如图，当时， ∴； 如图，当时， ∴， ∴； 故答案为：或． 6．如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E．∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？ 【答案】 解：∠CAE与∠DBE相等． 理由如下：∵在△CAE和△DBE中，∠C=∠D=90°，∠CEA=∠DEB， ∴∠CAE=90°-∠CEA，∠DBE=90°-∠DEB， 即∠CAE=∠DBE． 【分析】根据对顶角相等可得∠CEA=∠DEB，再根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余和对顶角相等的性质，熟记性质是解题的关键． 7．如图，在中，分别是的高和角平分线． (1)若，求的度数； (2)若，直接写出的表达式（用α、β表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后求解即可． （2）同（1）即可得出结果． 【详解】（1）解：，， ， 是角平分线， ， 是高， ， ； （2）解：，， ， 是角平分线， ， 是高， ， ； 故答案为：． 8．（24-25八年级上·福建厦门·月考）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则___________°，___________°； (2)若（其中是固定值），当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？若有变化，说明理由；若不变化，求的度数（用的代数式表示）； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 【答案】(1)，； (2)； (3)或或或． 【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （3）设，由（）可知，．再由不变，即可分类讨论①当时，②当时，③当时和④当时，分别列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴； ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴，． ∵平分，平分， ∴，． ∴ ． ∴． 由（）可知不变， ∴． （3）解：设， 由（）可知，． ∵， ∴可分类讨论：①当时， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∴， 解得：， ∴； ③当时， ∴， 解得：， ∴； ④当时， ∴， 解得：， ∴． 综上可知或或或． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形的两锐角互余，三角形内角和定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 直角三角形的判定题型04 1．在中，，，则是（   ）三角形 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：B． 2．（24-25七年级下·山东聊城·月考）满足下列条件的不是直角三角形的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定逐项判断，即可得到结论． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形． B、∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴是直角三角形． C、∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． D、∵， ∴是直角三角形． 3．如图，平分，，，，则是____三角形． 【答案】直角 【分析】通过三角形的内角和等于，计算，再利用角平分线的定义得到，根据直角三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：， ∵平分， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 4．在直角三角形中，有一个锐角是另外一个锐角的5倍，则这个锐角的度数为______度． 【答案】##15度 【分析】设较小的锐角是x度，则另一角是度．再根据直角三角形的两个角互余列方程求解即可． 【详解】解：设较小的锐角是x度，则另一角是度． 则，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、一元一次方程的应用等知识点，掌握直角三角形的两锐角互余是解答本题的关键． 5．小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了轴对称变换，直角三角形两锐角互余，正确的作出图形是解题的关键．因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析求解即可． 【详解】解：将纸片沿折叠，点A落在处，将纸片沿折叠，点D落在处， ． 分两种情况讨论∶如图，当点恰好落在边上时， 则． ， ． 如图，当点恰好落在边上时， 根据轴对称的性质知， ， ． ， ． ， ． ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 6．如图，在中，，是的高． (1)图中有几个直角三角形？是哪几个？ (2)和有什么数量关系？并说明理由． 【答案】(1)图中有3个直角三角形，分别是，， (2) ，理由： ∆，，是直角三角形，且、、是直角， ，， ． 【分析】（1）由题中已知条件，是高，可以得到、、都是直角． （2）由（1）得到，，是直角三角形，且、、是直角，所以，由此可以得到． 【详解】（1） ，是高， ， 图中有个直角三角形，分别是，，； （2）略 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，三角形高的定义，熟练掌握直角三角形的定义是解题的关键． 7．已知：如图，在中，D是AB上一点，，．求证：是直角三角形． 【答案】 证明：在中，D是AB上一点，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴是直角三角形． 【分析】利用三角形内角和定理可得，据此即可证明是直角三角形． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，掌握“三角形三个内角和等于”是解题的关键． 8．如下图，在中，是边的中线，平分交于点，是边上的高，交的延长线于点．已知，，． (1)求证：是直角三角形． (2)求的度数． 【答案】(1) 见解析 (2)72° 【分析】（1）利用角平分线完成角度等量代换，得到，结合高的互余关系证； （2）利用直角三角形两锐角互余，结合进行角度推导，逐步算出各角，再用三角形内角求， 【详解】（1）证明：平分， ． ， ． ，， ． 是边上的高， ， ， ， 是直角三角形． （2）解：，， ，． ， ， ， ，， ． ， ． 三角形内角和与平行线的综合题型01 1．（24-25八年级上·山西大同·联考）如图，在证明“的内角和等于”时，延长到点，过点作，得到，．由，可得．这个证明方法体现的数学思想是（    ） A．转化思想 B．特殊到一般的思想 C．一般到特殊的思想 D．方程思想 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理的证明过程，可寻找到转化的解题思想，此题得解． 【详解】解：， ，， ， ． 此方法中用到了替换，将三角形的三个内角转化到一条直线上，利用平角的定义求解，体现了转化的思想． 故选：A． 2．如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（　　） A．76° B．78° C．80° D．82° 【答案】B 【详解】如图，分别过K、H作AB的平行线MN和RS， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥RS∥MN， ∴∠RHB=∠ABE=∠ABK，∠SHC=∠DCF=∠DCK，∠NKB+∠ABK=∠MKC+∠DCK=180°， ∴∠BHC=180°﹣∠RHB﹣∠SHC=180°﹣（∠ABK+∠DCK）， ∠BKC=180°﹣∠NKB﹣∠MKC=180°﹣（180°﹣∠ABK）﹣（180°﹣∠DCK）=∠ABK+∠DCK﹣180°， ∴∠BKC=360°﹣2∠BHC﹣180°=180°﹣2∠BHC， 又∠BKC﹣∠BHC=27°， ∴∠BHC=∠BKC﹣27°， ∴∠BKC=180°﹣2（∠BKC﹣27°）， ∴∠BKC=78°， 故选B． 3．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与平行线有关的三角形内角和问题，先根据平行线得到，再根据是三角形内角和求出的度数． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．（25-26七年级下·四川广元·期末）如图，，E为上一点，，过点E作于点G，平分，且， 则下列结论中： ①； ②；③； ④平分；其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行线的性质及垂直定义可得，结合及平行线性质求出，进而判断①②；利用角平分线及三角形内角和定理求出，即可判断③；通过已证结论即可判断④． 【详解】解：，， ，即，故①正确； ， ， ， ， ， ，即，， ， ， ，故②正确； 平分， ， 在中，，故③正确； ∵，若平分，则需， 但根据已知条件不能推出，因此不能推出平分，结论④错误； 综上所述，正确的结论有①②③，共3个． 5．在中，，，则为__________． 【答案】 【分析】根据三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：100° 【点睛】此题考查的是三角形的内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 6．（25-26八年级上·河南许昌·期中）在探索三角形内角和定理时，王老师启发同学们讨论． 如图，已知，，是的内角，求证： 小颖、小星、小红三位同学分别作出以下三种辅助线如图①②③，进而给予证明． 请从中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． 【答案】 证明： 对于①，作， 可得，，， ∵平角度数为，所以 即． 对于②，作， 可得，，， ∵平角度数为，所以 即． 对于③：作， 则， ， ， ， 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线之间的角度数量关系是解题的关键． 对于①，作，可得，，结合平角度数为，可证出． 对于②，作，可得，，结合平角度数为，可证出． 对于③，作，可得，结合角度之和为的等量关系，可证出． 【详解】略 7．如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则 ， ； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化?若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数用的代数式表示； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请求出的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． （1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （3）设，由（2）可知，．再由不变，即可分类讨论①当时，②当时，③当时和④当时，分别列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴； ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴，． ∵平分，平分， ∴，． ∴ ． ∴． 由（）可知不变， ∴． （3）解：设， 由（2）可知，． ∵， ∴可分类讨论：①当时， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∴， 解得：， ∴； ③当时， ∴， 解得：， ∴； ④当时， ∴， 解得：， ∴． 综上可知或或或． 8．如图，已知，直线交于点M，交于点N．点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，． (1)如图1，若，，，则_____，_____． (2)如图2，的角平分线与的角平分线相交于点F，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在第（2）问的条件下，当时，若，，过点P作交的延长线于点H．将直线绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线MN旋转后的对应直线为，同时绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线恰好平行于的边或边，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1)110，80 (2) (3)或或或 【分析】（1）根据平行线的性质和判定求解即可； （2）延长交于点G，设、交于点，设，则，根据可表示出，进而根据三角形内角和推论表示出，进而表示出，然后结合和内角和得出关系式，进一步得出结果； （3）分四种情况，分别画出图形，表示出各角，然后利用平行线的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：110，80； （2）解：，理由如下： 如图，延长交于点G，设、交于点， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴，即， ∴； （3）∵， ∴， 由（2）可知， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，则 ∴，， 由题意可知，， 如图，当时，， ， ∴， 如图，当时，， ， ∴， 如图，当时， ， ∴， 如图，当时，，     ， ∴； 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查平行线的判定与判定、三角形内角和定理及其推论、一元一次方程的几何应用，解题的关键是正确分类，找出相等关系列方程． 三角形内角和与角平分线的综合题型02 1．（24-25八年级上·贵州·月考）如图所示，、分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，三角形的高等，弄清楚各角之间的数量关系是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线定义求出，然后根据直角三角形内角和得出，即可得出答案． 【详解】解：在中，． ∵平分， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 故选：A． 2．（25-26八年级上·云南·期中）如图，在中，，的平分线相交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：三角形的内角和等于．先根据三角形的内角和求出的度数，再根据角平分线的定义得出，，进而求出的度数，最后再根据三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：， ， ∵，的平分线相交于点， ，， ， ． 故选：B． 3．如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及角平分线定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键．根据题意求出，根据角平分线的定理求出，即可得到答案． 【详解】解：， ， 和分别平分和， ， ， ． 故选C． 4．直线与直线 垂直相交于O，点A 在射线上运动，点B 在射线 上运动．如图，已知，分别是和的角平分线，点A，B 在运动的过程中，度数为（  ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义、角平分线的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 先根据垂直的定义可得，从而可得，再根据角平分线的定义、三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：， ， ， ，分别是和的角平分线， ， ， ， 故选：B． 5．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，，，，则______度． 【答案】140 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和等于是解题关键．由三角形内角和定理可得，再结合角平分线的定义求解即可． 【详解】解：， ， ，， ， ，即， 故答案为：140． 6．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图， 的两条内角平分线 ， 交于点 ， 是 边上的高，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义得到，即可得到答案； （2）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，由得到，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 平分，平分， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ， ， ． 7．如图，在中，是高线，，是角平分线，，相交于点O，，． (1)求的度数． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线、角之间的计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）根据题意易得到，根据角平分线的性质得到，根据进行计算求解即可； （2）根据题意易得到，根据角平分线的性质得到和，根据进行计算求解即可． 【详解】（1）解：， ． ， ． 平分，， ， ． （2）解：，， ． ，分别是，的平分线， ，， ． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图1，在中，是高，若．       (1)试判断的形状，并说明理由； (2)如图2，若是的角平分线，，相交于点F．求证：． 【答案】(1) 是直角三角形，理由如下： ∵在中，是高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (2) 证明：∵是的角平分线， ∴． 由（1）得 ，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 【分析】本题考查直角三角形的判定，高的定义，角平分线的性质，对顶角相等； （1）由题意得，即，，得即可解答； （2）由题意得，，，得即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 利用三角形内角和解决折叠中的角度计算题型03 1．（25-26八年级上·浙江·月考）如图，把沿折叠，使点落在点处，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形折叠中的角度问题，根据三角形的内角和定理，折叠的性质，推出的度数，再根据平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； 故选C 2．如图是一张直角三角形纸片，，，将折叠使点B和点A重合，折痕为，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形的内角和定理可求，由折叠的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将折叠，使点B与点A重合， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换，三角形内角和定理，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 3．如图，在中，，把沿着对折，使得点落在边上的点处，再把沿着翻折得到，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质得，，，根据平行线的性质求得，得到，据此求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．将三角形纸片沿边折叠，使点A落在边上，交边于点E，再将边沿边折叠，此时刚好与完全重合，得到如图所示的图形，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠得到，结合平角的定义即可得到答案； 【详解】解：∵沿边折叠，使点A落在边上，交边于点E，边沿边折叠刚好与完全重合， ∴， ∵， ∴， 故选：B； 【点睛】本题考查折叠有关计算，解题的关键是根据折叠的性质得到相等的角． 5．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，将一角折叠，若，则_______． 【答案】##144度 【分析】本题考查了折叠的性质，平角以及三角形内角和定理，掌握折叠的性质是解题关键．由翻折的性质可知，，，，求出的大小，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由翻折的性质可知，，，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6．如图甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图丙），则的大小为 _______． 【答案】72 【分析】本题主要考查了翻折变换、三角形的内角和定理等知识点，设，根据翻折不变性可知，，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题，解题的关键是学会用方程的思想思考问题． 【详解】设，根据翻折不变性可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：72． 7．如图，是的边的中点，分别是上一点，将分别沿翻折，顶点均落在点处，若，则的度数为______．    【答案】##度 【分析】根据折叠的性质得到，根据已知条件可得，据此利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟知图形折叠前后对应角相等是解题的关键． 8．如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．    (1)若，求的度数； (2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)不变， 【分析】本题主要考查了三角形的折叠问题，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，数形结合． （1）根据折叠得出，，根据，求出，即可求出结果； （2）根据，，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵将对折，得到折痕， ∴， ∵将对折，得到折痕， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：不变．理由如下： ∵，，， ∴， 即． ∴的大小不随点的运动而变化． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 13.3.1 三角形的内角 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶 目 录 A组 巩固过关 题型01 三角形内角和的证明 题型02 利用三角形内角和直接求角 题型03 直角三角形的性质 题型04 直角三角形的判定 B组 能力进阶 题型01 三角形内角和与平行线的综合 题型02 三角形内角和与角平分线的综合 题型03 利用三角形内角和解决折叠中的角度计算 三角形内角和的证明题型01 1．下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（    ） 已知：．求证：． 证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴★，■（①）． ∵（②）， ∴（等量代换）．    A．★处填2 B．■处填1 C．①内错角相等，两直线平行 D．②平角定义 2．（24-25八年级上·山西大同·质检）“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级·河南郑州·月考）在验证“三角形内角和定理”时，四位同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能验证“三角形的内角和是”的是（    ） A．过点作 B．延长到，过点作 C．过上一点作 D．过上一点作 4．（24-25七年级下·河北沧州·月考）如图，，，为三角形的内角，求：_______． 5．著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗克洛斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明． (1)如图是欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请你根据欧几里得的思想写出证明过程； (2)聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交AB于点D，作交于点F．求证：． 6．（24-25八年级上·山西晋中·期末）课堂回顾 在学习《三角形内角和定理》时，张老师鼓励同学们用不同的方法证明三角形内角和定理． 已知：如图1，． 求证：． 下面是小明与小颖的想法． 小明的想法：把三个角“凑”到A处，他过点A作直线（如图2）．下面是他写的证明过程，请你在括号内填写依据． 证明：过点A作直线，则 ，（______） ，（平角的定义） ．（______） 小颖的想法：从之前撕角的验证过程中得到了思路启发（如图3），在线段的右侧作（如图4）．你认为她的想法可行吗？如果可行，请写出证明过程；如果不可行，请说明理由． 7．（25-26七年级下·河南濮阳·期末）【问题探究】 已知，点E，F分别为和上的点，点P是平面内一点．数学兴趣小组的同学们想探究与，的数量关系（，，均为大于且小于的角）． (1)当点P在直线和之间时． ①若点P在线段右侧，如图1，小明和小亮给出了不同的解决方法，请你将两位同学的过程补充完整． 小明：如图2，过点P作． ． （____________________） 小亮：如图3，过点F作交于点N．… ②若点P在线段左侧，如图4，请直接写出与，的数量关系． (2)若，，直接写出的度数． 【方法应用】 (3)上述两位同学都是过某个点作已知直线的平行线，利用平行线的性质来解决问题．请你利用上述方法解决下面的问题． 已知：如图5，三角形． 求证：． 8．（25-26八年级·河北保定·质检）是重要的几何定理，请根据所学证明此定理． 已知： 求证： （2）在欧几里得几何中，三角形的内角和定理与另一个命题等价：“所有三角形三内角之和都相同．”用“所有三角形三内角之和都相同．”可推出三角形的内角和定理． 如图2，在边上取一点D，连接，设任意三角形内角和为x，若（即），通过推导和的内角和关系，证明． 请完善以下内容： 证明：中，设，① 则内角和为，② 内角和为：________________③ ∵，④ ⑤ 并用代入，得（补充完整后面过程） 利用三角形内角和直接求角题型02 1．如图所示，已知直线，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·吉林四平·期末）在中，，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 3．（24-25八年级上·重庆·月考）如图，M，N分别是的边，上一点，将沿折叠，使点A落在边上，若，则   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）若等腰三角形一个角为，则顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 5．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）在中，，，则的度数为______． 6．（24-25八年级上·贵州·月考）在中，，，则_________． 7．求出下列各图形中x的值： 8．问题：如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=82°，则∠BEC=______；若∠A=a°，则∠BEC=______． 【探究】 （1）如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A=a°，则∠BEC=______； （2）如图3，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由； （3）如图4，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． 直角三角形的性质题型03 1．在任意的一个直角三角形中，它的两个锐角一定满足的关系是（   ） A．不相等 B．互余 C．相等 D．互补 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=37°，则∠B的度数为 （    ） A．53° B．63° C．73° D．83° 3．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在△中，，于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，，，，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为_______． 6．如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E．∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？ 7．如图，在中，分别是的高和角平分线． (1)若，求的度数； (2)若，直接写出的表达式（用α、β表示）． 8．（24-25八年级上·福建厦门·月考）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则___________°，___________°； (2)若（其中是固定值），当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？若有变化，说明理由；若不变化，求的度数（用的代数式表示）； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 直角三角形的判定题型04 1．在中，，，则是（   ）三角形 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 2．（24-25七年级下·山东聊城·月考）满足下列条件的不是直角三角形的是（） A． B． C． D． 3．如图，平分，，，，则是____三角形． 4．在直角三角形中，有一个锐角是另外一个锐角的5倍，则这个锐角的度数为______度． 5．小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 6．如图，在中，，是的高． (1)图中有几个直角三角形？是哪几个？ (2)和有什么数量关系？并说明理由． 7．已知：如图，在中，D是AB上一点，，．求证：是直角三角形． 8．如下图，在中，是边的中线，平分交于点，是边上的高，交的延长线于点．已知，，． (1)求证：是直角三角形． (2)求的度数． 三角形内角和与平行线的综合题型01 1．（24-25八年级上·山西大同·联考）如图，在证明“的内角和等于”时，延长到点，过点作，得到，．由，可得．这个证明方法体现的数学思想是（    ） A．转化思想 B．特殊到一般的思想 C．一般到特殊的思想 D．方程思想 2．如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（　　） A．76° B．78° C．80° D．82° 3．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·四川广元·期末）如图，，E为上一点，，过点E作于点G，平分，且， 则下列结论中： ①； ②；③； ④平分；其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．在中，，，则为__________． 6．（25-26八年级上·河南许昌·期中）在探索三角形内角和定理时，王老师启发同学们讨论． 如图，已知，，是的内角，求证： 小颖、小星、小红三位同学分别作出以下三种辅助线如图①②③，进而给予证明． 请从中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． 7．如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则 ， ； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化?若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数用的代数式表示； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请求出的度数． 8．如图，已知，直线交于点M，交于点N．点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，． (1)如图1，若，，，则_____，_____． (2)如图2，的角平分线与的角平分线相交于点F，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在第（2）问的条件下，当时，若，，过点P作交的延长线于点H．将直线绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线MN旋转后的对应直线为，同时绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线恰好平行于的边或边，请直接写出所有满足条件的t的值． 三角形内角和与角平分线的综合题型02 1．（24-25八年级上·贵州·月考）如图所示，、分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·云南·期中）如图，在中，，的平分线相交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．直线与直线 垂直相交于O，点A 在射线上运动，点B 在射线 上运动．如图，已知，分别是和的角平分线，点A，B 在运动的过程中，度数为（  ） A． B． C． D．无法确定 5．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，，，，则______度． 6．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图， 的两条内角平分线 ， 交于点 ， 是 边上的高，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 7．如图，在中，是高线，，是角平分线，，相交于点O，，． (1)求的度数． (2)求的度数． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图1，在中，是高，若．       (1)试判断的形状，并说明理由； (2)如图2，若是的角平分线，，相交于点F．求证：． 利用三角形内角和解决折叠中的角度计算题型03 1．（25-26八年级上·浙江·月考）如图，把沿折叠，使点落在点处，若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图是一张直角三角形纸片，，，将折叠使点B和点A重合，折痕为，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在中，，把沿着对折，使得点落在边上的点处，再把沿着翻折得到，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．将三角形纸片沿边折叠，使点A落在边上，交边于点E，再将边沿边折叠，此时刚好与完全重合，得到如图所示的图形，则（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，将一角折叠，若，则_______． 6．如图甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图丙），则的大小为 _______． 7．如图，是的边的中点，分别是上一点，将分别沿翻折，顶点均落在点处，若，则的度数为______．    8．如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．    (1)若，求的度数； (2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $