1.6 线段的垂直平分线的性质 教学设计 2025--2026学年浙教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦线段垂直平分线的定义、性质定理、尺规作图及应用。课堂从弩箭发射装置实例切入，抽象出几何图形引出定义，结合全等三角形研究路径，搭建从生活到数学、已知到未知的学习支架。 特色在于情境创设渗透数学建模发展抽象能力，探究过程通过分情况证明性质定理培养推理能力，尺规作图用“化线为点”策略突破原理难点提升空间观念。助力学生发展数学眼光与思维，为教师提供结构化探究教学范例。

教学设计 课程基本信息 学科 初中数学 年级 八年级 学期 秋 季 课题 1.6线段垂直平分线的性质 教学目标 1.结合实例感知线段的垂直平分线,理解线段垂直平分线的概念，发展抽象能力。 2.通过观察、测量、实验、归纳推理等,探索线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,发展几何直观和推理能力。 3.能用尺规作一条线段的垂直平分线、过直线外一点作这条直线的垂线,并理解其作图原理与方法,发展空间观念和推理能力。 4.能运用线段垂直平分线的性质定理解决简单的几何问题,发展推理能力和应用意识。 教学重难点 教学重点：线段垂直平分线的性质定理。 教学难点：线段垂直平分线尺规作法正确性的证明。 教学过程 环节一：创设情境 · 提出问题 问题一 观察弩箭发射装置图（图示弓弦AB、AC与箭AD）， 思考：弓弦AB与AC有何关系？箭AD与弦BC有何关系？（AB=AC，AD⊥BC，AD=BC） 追问：能否从数学的角度解释这种结构的合理性？（对称性、力学稳定性） 师生活动：引导学生从实物中抽象出几何图形，发现AD既垂直于BC又平分BC，从而引出“垂直平分线”的定义。 设计意图：从生活实例出发，激发兴趣，渗透数学建模思想，自然引出定义。 环节二：定义辨析 · 明确内涵 问题二 类比全等三角形的研究路径（背景—定义—表示—性质—判定—应用），接下来应如何展开对线段垂直平分线的研究？ 师生活动：引导学生回顾几何图形研究的一般路径，共同明确本节课的研究思路：在明确定义后，下一步将用几何语言表示定义及探索性质。 设计意图：从宏观上建立研究框架，培养学生“先见森林，再见树木”的整体思维和科学的研究方法。 思考：根据定义作出线段AB的垂直平分线，并用几何语言描述这个定义。 师生活动：学生动手画图，教师板书规范图形和几何语言： ∵ 直线l ⊥ AB，且垂足O是AB的中点（即OA = OB）， ∴ 直线l是线段AB的垂直平分线（中垂线）。 设计意图：将文字语言转化为图形语言和符号语言，强化对定义的理解，为后续辨析、证明和应用打下基础。 环节三：观察猜想 · 证明性质 问题三 在直线l上任意取一点P，用圆规比较点P到点A、B的距离。你发现了什么？ 【猜想】线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 追问：如何证明这个猜想对任意一点都成立？ 师生活动：引导学生明确证明方向：要证明一个图形上所有点都具有某性质，只需在图形上任取一点，证明该点具有此性质即可。因此，我们在直线l上任意取一点C。 思考：点C是直线l上的任意一点，那么点C与线段AB的中点O可能存在哪几种位置关系？ 师生活动：引导学生思考并回答：点C可能与点O重合，也可能与点O不重合。教师板书并画出两种情况的示意图：情况一：点C与点O重合，情况二：点C与点O不重合。 追问：我们能否对这两种情况分别进行证明？ 想一想：要证明CA = CB，我们可以将其转化为证明什么？（证明两个三角形全等）哪两个三角形？如何构造？图中已经有哪些条件？ 师生活动：学生分组讨论或独立完成两种情况的证明，教师巡视指导。 ∵ O是AB的中点，∴ CA = CB，显然成立。 当点C与点O不重合时，∵ l ⊥ AB ∴ ∠COA = ∠COB = 90° ∵ O是AB的中点 ∴ OA = OB， ∴ △AOC ≌ △BOC（SAS） ∴ CA = CB。 设计意图：渗透“从特殊到一般”和“用任意点代表所有点”的数学证明思想，自然引出分类讨论的必要性，培养学生全面思考问题的习惯。将证明过程分解，化难为易，情况一的“显然成立”不容忽视，体现了数学的严谨，情况二引导学生自主构造全等三角形，巩固已学知识，提升推理能力。 问题四 我们是否已经完整地证明了我们的猜想？为什么？ 师生活动：教师引导学生回顾两种情况，并总结：由于点C是直线l上任意一点，且我们讨论了所有可能的位置关系（重合或不重合），都得到了CA=CB的结论，因此定理得证。 师生共同归纳线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 思考：将刚才证明的定理，用图形、文字和几何符号三种语言表示出来。 师生活动：学生表述，教师板书，完成知识的三维表征： 文字语言：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。图形语言：（保留之前的作图） 符号语言：∵ 点P在线段AB的垂直平分线上，∴ PA = PB。 想一想：以上性质定理的获得，我们经历了怎样的学习过程？ 我的收获：我们经历了“观察—实验—猜想—证明—表述”的完整闭环，这正是我们研究图形性质的主要方法和宝贵经验。 设计意图：通过回顾，让学生深刻理解分类讨论的完备性，从而确信定理的正确性，感受数学证明的逻辑力量。 环节四 尺规作图 · 析理明法 问题五 如果只给一把没有刻度的直尺和一个圆规，你能作出线段AB的垂直平分线吗？ 师生活动：教师抛出挑战性问题，激发学生思考。学生可能感到困难，教师引导其回顾定义。 思路一：基于定义的作图路径。根据定义，一条直线要成为AB的垂直平分线，必须同时满足哪两个条件？（①垂直；②平分）。我们能否先实现其中一个条件，再实现另一个？ 追问：如何仅用尺规找到线段AB的中点？ 师生活动：引导学生认识到，仅用尺规无法直接、精确地找到中点。这需要测量，而尺规无刻度。 追问：即便找到了中点，如何再过这个中点作一条严格的垂线？ 师生活动：学生思考后会发现，这同样需要像直角三角板那样的工具，仅用尺规操作也有难度。 教师总结：从定义出发“先找中点，再作垂线”的路径，依赖于测量和特定画直角工具，这与我们“仅用无刻度直尺和圆规”的尺规作图要求是不符的，我们需要另辟蹊径。 设计意图：通过追问，让学生主动认识到基于定义的作图思路在尺规作图限制下的局限性，从而为探索新思路做好铺垫。 思路二：基于性质定理的作图路径。 追问：线段垂直平分线是一条什么线？（一条直线）， 如何确定一条直线？ （经过两点确定一条直线），可以根据什么性质找到这两个点？能否利用圆规实现？（截取等长线段） 师生活动：学生很容易想到：以A为圆心，以某个长度为半径画弧；再以B为圆心，以相同的长度为半径画弧。两弧的交点（记为C、D）到A和B的距离就相等（CA=CB，DA=DB）！ 师生活动（归纳步骤）：师生共同总结尺规作图步骤：分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧在线段AB上下两侧分别交于点C和点D。过点C和点D作直线CD。直线CD即为所求的线段AB的垂直平分线。 追问：你能进一步说明为什么所作直线为线段AB垂直平分线？ 师生活动：再次回归定义，证明线段的垂直平分线，需要证明AO=BO ，∠AOC=∠BOC=90°，转化为证明三角形全等，联系作图痕迹，完成两次全等的证明。 设计意图：这是本环节的核心。通过一系列递进的问题链，引导学生将“作线”的问题转化为“找点”的问题，再利用刚学的性质定理和圆规的功能，自然生成作图方法。重点分析了原理（为什么能这样作）和关键细节（半径为何要大于AB），使学生真正“知其然，更知其所以 环节五 应用拓展 · 融会贯通 例2 性质定理的应用（周长转化） 如图，在△ABC中，AB比AC长3cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E。已知△ACD的周长是15cm，求AB和AC的长。 分析：（1）由已知BC的垂直平分线交AB于点D，可以推出什么结论？ （2） △ADC的周长是否可以转化为AB+AC？由此能够获得怎样的数量关系？ （3） 再根据什么条件可以求得AB和AC 的长？为什么？ 师生活动：教师板书思路，学生独立完成解答过程。 设计意图：本题旨在训练学生利用垂直平分线的性质进行线段等量转化，将未知线段转化为已知线段，是解决几何中周长、边长问题的常用策略。通过问题链引导学生一步步分析，渗透转化思想。 环节六 回顾展望 · 思溯行远 问题六 回顾这节课，请思考： 1.对于“线段垂直平分线”，你有哪些新的认识？ 2.我们是按照怎样的思路研究的？ 3.研究过程中我们应用了哪些思想和方法？ 师生活动：直接引导学生回顾本课最核心的知识点，强化定义的双重性和性质定理的表达，引导学生提炼几何图形研究的一般路径、分类讨论的证明方法、以及“化线为点”的尺规作图策略。同时深挖背后的数学思想——转化与化归思想（将新问题转化为已解决的三角形全等问题，将折线长度和转化为直线段长度）和数形结合思想。最后将学生的感性认识提升到核心素养的高度，点明本课在培养学生的逻辑推理能力、几何直观能力和科学严谨的态度。 学科网（北京）股份有限公司 $