2026-2027学年度山东省滕州市东郭中学第一学期周清试题八年级数学试题（第一章 勾股定理）

**基本信息** 聚焦勾股定理核心内容，融合数学文化（赵爽弦图、《九章算术》）与现实应用（台风折树、圆柱最短路径），通过基础判断、情境计算、规律探究梯度设计，适配周测巩固需求，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|直角三角形判定、折叠问题|第6题辨析勾股定理证明方法，强化推理意识| |填空题|6|勾股树面积规律、最短路径|第15题探究勾股树迭代规律，发展空间观念| |解答题|6|实际应用、定理证明|第22题通过拼图证明勾股定理，体现数学思维；第21题归纳勾股数公式，培养创新意识|

· 2026-2027学年度山东省滕州市东郭中学第一学期周清试题 · 八年级数学试题（第一章 勾股定理） 一、单选题 1．以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．6，12，13 D．6，9，10 2．如图，强台风时一棵大树在距离地面的点处折断，大树顶端的着地点与大树底端的距离为，则这棵树折断前的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图，中，，，，点是边上的动点，则长不可能是（     ） A． B．3 C．4 D．5 4．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒外面部分长度的最小值为（     ）． A． B． C． D． 5．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积为（     ） A．40 B．45 C．47 D．50 6．我国是最早了解勾股定理的国家之一．三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（     ）． A． B． C． D． 7．如图，中，，，，沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给了如图所示的图形：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，后世称之为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图所示的新图案．若图中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图中阴影部分的面积为，则的值为（     ） A．18 B．22 C．26 D．30 9．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号和“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行，“海天”号每小时航行．它们离开港口后分别位于点Q，R处，且相距．如果“远航”号沿北偏东方向航行，则“海天”号航行的方向是（     ） A．西北方向 B．北偏西 C．北偏西 D．北偏西 10．如图，顶点 ，， 在边长为1的正方形网格格点上，若于点 ，则的长为（     ）． A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为________． 12．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），则水的深度为_____． 13．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使C、A两点重合，点D落在点G处．已知，．则线段的长是_______． 14．如图，蚂蚁在所示的圆柱表面爬行，从点A爬到点B．若圆柱的高与底面周长均为，则蚂蚁爬行的最短路程为______cm． 15．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图依次是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，以此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为______． 16．如图，在中，，则表示线段的长度，受此启发，学生在求的最小值时，想到构造几何图形来解，如图2，点为上一动点．，，，，设． （1）______； （2）的最小值是______． 三、解答题 17．如图，在中，于点D，，，． (1)求的值； (2)判断的形状，并说明理由． 18．解答以下问题 (1)如图1，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米．（假设绳子是直的） (2)如图2，在中，，，，求的面积． 19．如图，东湖景区内有一块四边形空地，景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪，需要测量其面积，经测量，，，，． (1)请你计算出这块空地的面积； (2)观赏草坪每平方米的价格是30元，请你计算购买草坪需要花多少元． 20．不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性和便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） (1)求线段的长度； (2)安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 21．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中． 【探究1】 观察，，…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾为5时股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： (1)如果勾为7，则股___________，弦___________； (2)如果用n（，且n为奇数）表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___________，弦=___________； 【探究2】 观察，，，…，，…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从6起也没有间断过． (3)___________，___________； (4)如果用（m为正整数且）表示勾，请用含有m的式子表示股和弦，则股___________，弦___________． 22．[阅读理解]勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有种．如：美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为或者是，因此得到，运用乘法公式展开整理得到． [尝试探究] (1)其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图，用个全等的直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为，请你根据古人的拼图证明勾股定理． [实践应用] (2)如图，用个全等直角三角形拼成如图的正方形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为，直角三角形的两条直角边分别为，，求的值． 试卷第6页（共7页） 试卷第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A B C D D B C B 1．B 【详解】解：选项A：，不能构成三角形； 选项B：最长边为，，可以构成直角三角形； 选项C：最长边为，，，，不能构成直角三角形； 选项D：最长边为，，，，不能构成直角三角形． 2．B 【分析】根据勾股定理求出长度，即为这棵树折断的高度，再加上未折断的高度即可求出答案． 【详解】解：由图可知，，， 在中，， 这棵树折断前的高度为． 3．A 【分析】利用勾股定理可得，然后利用垂线段最短即可解答． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 根据垂线段最短，可知的长不可小于3，当P和C重合时，， 由，即长不可能是． 4．B 【分析】 铅笔在笔筒外面的长度=铅笔长度铅笔在笔筒内的长度；铅笔在笔筒外面的长度最小时，在笔筒内的长度最长，即斜放在圆柱形笔筒内的时候，用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图所示：铅笔斜放在圆柱形笔筒内的时候，铅笔在笔筒外面的长度最小， ，，， 由勾股定理得：， （负值已舍去）， ， 答：铅笔在笔筒外面部分长度的最小值是． 5．C 【详解】解：如图， 由题意得，， ． 6．D 【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的面积为：； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴， 故A选项能证明勾股定理； B、梯形的面积为：； 也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ∴， ∴， 故B选项能证明勾股定理； C、大正方形的面积为：； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴， 故C选项能证明勾股定理； D、大正方形的面积为：； 也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴D选项不能证明勾股定理． 7．D 【分析】根据勾股定理可知，根据折叠的性质得到，设，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵沿折叠，使点与点重合， ∴， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴． 8．B 【分析】分别求出三角形的面积，正方形的面积，计算即可． 【详解】解：如下图， 由题意得：， ， ， 同理， ． 9．C 【分析】根据路程=速度时间求出的长，利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再根据方位角的定义求解 【详解】解：由题意得：，， ， ，， ， 是直角三角形，且， “远航”号沿北偏东方向航行， ， ， “海天”号航行的方向是北偏西． 10．B 【分析】先利用勾股定理求得的长，然后运用等面积法求解即可． 【详解】解：由网格图可知，，点到所在直线的距离为3，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得： ． 11．5 【分析】由勾股定理可得，由题意可得，，，由此求出，结合图形即可得出结果． 【详解】解：由勾股定理可得：， 由题意可得：，，， ∴， ∵， ∴， 由图形可得：图中阴影部分的面积为． 12．12尺 【分析】根据题意可得芦苇长度，设水的深度为尺，然后在中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵水面是一个边长为10尺的正方形，点是的中点， ∴尺， 设水的深度为尺， ∵尺，， ∴尺， ∵， ∴尺， ∵在中，根据勾股定理可得：， ∴，整理得：，解得：， ∴尺． 13． 【分析】设 ，根据折叠性质可得 ， ，在 中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设， 四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得，即， 解得：， 线段的长是． 14． 【分析】将立体侧面展为平面，依据两点之间线段最短，构造直角三角形，再利用勾股定理求出线段长度即可． 【详解】解：∵求圆柱表面蚂蚁爬行最短路程，需把圆柱侧面沿母线展开成长方形． ∵ 底面周长为， ∴ 展开后两点水平相距长为底面周长的一半，即为． ∵ 圆柱高为， ∴ 两点连线与两条线段构成直角三角形，两直角边长分别为、． 由勾股定理可得 ． 15．2027 【分析】根据勾股定理可得第一代勾股树中所有正方形的面积和为2，再一次求出第二代、第三代勾股树中所有正方形的面积和，总结出一般规律，即可进行解答． 【详解】解：设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，则， 根据勾股定理可得：， ∴第一代勾股树中所有正方形的面积和为； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积和为； 第三代勾股树中所有正方形的面积和为； 第n代勾股树中所有正方形的面积和为； ∴第2026代勾股树中所有正方形的面积和为2027． 16． 10 【分析】本题考查利用轴对称确定最短路线问题，运用数形结合思想和利用勾股定理等几何知识直观求解代数问题是解题的关键．（1）由，，即可得到；（2）作点关于的对称点，连接，交于点，过点作，交延长线于点，当点与重合时，值最小，根据勾股定理求出． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）作点关于的对称点，连接，交于点，过点作，交延长线于点， 当与重合时，式子取等号，值最小． ， ． 17．(1)； (2)是直角三角形，理由如下： 由（1）可知，， ∴ 5， ∵， ∴是直角三角形，且． 【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出． （2）先求出，再利用勾股定理逆定理求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴AD； （2）解：略； 18．(1)船向岸边移动了9米 (2) 【分析】（1）在中，利用勾股定理求得，结合题意得知，再次利用勾股定理求得，根据求解即可； （2）过点作于点，在和中，利用勾股定理得到和，即可列出，解得，利用勾股定理求得，利用面积公式求解即可． 【详解】（1）解：在中： ∵，米，米， ∴（米）， ∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：船向岸边移动了9米． （2）解：过点作于点，如图， 在中，， 在中，， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， ∴ 19．(1)234平方米 (2)7020元 【分析】（1）连接，首先利用勾股定理求出，然后利用勾股定理的逆定理得到，然后利用求解； （2）用（1）中求出的面积乘以单价即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，由勾股定理得：（米）． 在中，， ． （平方米）． （2）解：购买草坪需要的总价为（元） 答：购买草坪需要花7020元． 20．(1)线段的长度为 (2)该车符合安全标准， 理由：∵，，， ∴， ∵， ∴，即该车符合安全标准． 【分析】通过勾股定理求出的长度，再利用勾股定理的逆定理判断与是否垂直即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，． （2）略 21．(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）仿照题中给出的样例直接代入即可； （2）观察样例的规律，总结出关于的规律即可； （3）观察样例的规律，总结出关于的规律，代入数值计算即可； （4）观察样例的规律，总结出关于的规律即可． 【详解】（1）勾为7时，，； （2）勾为3时，股=，弦=； 勾为5时，股=，弦=； 可归纳出规律： 当勾为奇数时，股，弦； （3）：，，； ：，，； ：，，； 可得规律：当勾为偶数为正整数）时，股=，弦=． ∵弦长为， ∴，解得， ∴勾，股； （4）由（3）可得规律：当勾为偶数为正整数）时，股=，弦=． 22．(1)证明：∵四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为， ∴大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，即， ∴． (2) 【分析】（1）根据图形面积的不同求法即可得到结论； （2）分别用、表示出正方形和正方形，根据两正方形的面积，利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）证明：略 （2）解：∵直角三角形的两条直角边分别为，， ∴，， ∵正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为， ∴，， ∴， ∴． 答案第10页（共10页） 答案第1页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $