专题1.7 勾股定理的应用-全等证明（三垂直）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题分类必刷清单（北师大版）

专题1.7 勾股定理的应用--三垂直全等（北师大新版） 1．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在△ABC外部且AD⊥CD． （1）如图1，若BE∥AD交CD于点E，求证：AD＝DE； （2）如图2，连接BD，点F在BD上且∠AFC＝90°，若AF＝3，求△ABF的面积； （3）在（2）的条件下，若3BF＝2DF，求AD的长． 2．如图，在△ABC中，AB⊥AD，AE⊥AC，且AB＝AD，AE＝AC，连接DE，过A点向BC作垂线AG．反向延长AG交DE于F．求证：DF＝EF． 3．在▱ABCD中，AC为对角线，∠D＝45°，AE⊥AD交BC于E，BF⊥AC于F，BF，AE交于点G． （1）如图1，若BG＝5，EC＝3，求AB的长； （2）如图2，过点A作AB的垂线，过点G作BG的垂线，两垂线交于点H，连接BH，求证AH＝EC． 4．如图1，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是射线BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG． （1）连接FC，观察并猜测tan∠FCN的值，并说明理由； （2）如图2，将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝m，BC＝n（m，n为常数），E是射线BC上一动点（不含端点B），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上，当点E沿射线CN运动时，请用含m，n的代数式表示tan∠FCN的值． 5．如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，E，F分别为边AB，BC，AC上的点． （1）连接DE，BF相交于点G，连接DF并延长交BC的延长线于点H．若BD＝BF，DE＝HE，求∠DGF的度数； （2）如图2，在（1）问的条件下，在平面内将线段DB绕点B顺时针旋转90°得线段PB，连接GP．求证：PG+DG＝AB； （3）如图3，若D为AB中点，DE⊥DF，连接EF，点M为EF中点，点K为线段CM上一点，将△CFK沿着直线FK翻折至△CFK所在平面内得到△NFK，连接CN，在点E、F运动的过程中，当线段CM取最小值且NK∥CE时，请直接写出的值． 6．已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．连接BD、CE，过点A作AH⊥CE于点H，反向延长线段AH交BD于点F． （1）如图1，当AB＝AD时 ①请直接写出BF与DF的数量关系：BF 　 　DF（填“＞”、“＜”、“＝”） ②求证：CE＝2AF （2）如图2，当AB≠AD时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 7．问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF相等吗？ （1）直接判断：AE 　 　BF（填“＝”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： （2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论； 问题拓展： （3）如图3，点E在边CD上，且MN⊥AE，垂足为H，当H在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△AHN沿着AN翻折，点H落在点H′处． ①四边形AHNH′是正方形吗？请说明理由； ②若AB＝6，点P在BD上，BD＝3BP，直接写出PH′+AN的最小值为 　 　． 8．如图，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上，仓库P和Q分别位于AD和DC上，且PD＝QC．问题：此时BP与AQ有怎样的关系？请说明理由． 9．如图1，在正方形ABCD中，，点E在边BC上，连接AE，且∠BAE＝30°，点F是AE的中点． （1）求AE的长； （2）过点F作直线GH，分别交AB，CD于点G，H，且GH＝AE，求AG的长； （3）如图2，过点F作AE的垂线，分别交AB，BD，CD于点M，O，N，连接OE，求∠AEO的度数． 10．如图，点E、F是正方形ABCD中CD、AD边上的点，BE＝CF，求证：DF＝CE． 11．如图1，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP＝CQ，连接AP、BQ交于点E． （1）求证：AP⊥BQ； （2）当P运动到BC中点处时（如图2），连接DE，请你判断线段DE与AD之间的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，过A点作AM⊥DE于点H，交BQ、CD于点N、M，若AB＝2，求QM的长度． 12．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，G为AB的中点，过点G作DG⊥AB交AC于点D． （1）如图1，连接CG，若CG＝，BC＝3，求DG的长； （2）如图2，过点D作DE⊥BD，连接AE，以点E为直角顶点，AE为直角边向外作等腰直角三角形AEF，使得点F刚好落在BD的延长线上，求证：BC＝DE+DF． 13．已知，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC． （1）如图1，若AB＝6，点D是AC边上的中点，求△BCD的面积； （2）如图2，若BD是∠ABC的角平分线，求证：BC＝AD+AB； （3）如图3，若D、E是AC边上两点，且AD＝CE，AF⊥BD，交BD、BC于F、G，连接BE、GE，猜想∠ADB与∠CEG的大小关系，并说明理由． 14．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为CB上一点，且满足CD＝CA，连接AD．过点C作CE⊥AB于点E． （1）若AB＝10，BD＝2，求CE的长； （2）如图2，若点F是线段CE延长线上一点，连接FD，若∠F＝30°，求证：CF＝AE+DF； （3）如图3，设D为BC延长线上一点，其它条件不变，直线CE与直线AD交于点F，若∠F＝30°，请直接写出线段CF，AE，DF之间的关系，不需要说明理由． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，AD＝BD，且AD⊥BD，连接CD．过点C作CE⊥BC交AD的延长线于点E，连接BE．过点D作DF⊥CD交BC于点F． （1）若BD＝DE＝，CE＝，求BC的长； （2）若BD＝DE，求证：BF＝CF． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.7 勾股定理的应用--三垂直全等（北师大新版） 1．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在△ABC外部且AD⊥CD． （1）如图1，若BE∥AD交CD于点E，求证：AD＝DE； （2）如图2，连接BD，点F在BD上且∠AFC＝90°，若AF＝3，求△ABF的面积； （3）在（2）的条件下，若3BF＝2DF，求AD的长． 【解答】（1）证明：如图1，过B作BM⊥DA交DA的延长线于M， 则∠M＝90°， ∴∠ABM+∠BAM＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠CAD+∠BAM＝90°， ∴∠ABM＝∠CAD， ∵AD⊥CD， ∴BM∥CD，∠D＝90°， 在△ABM和△CAD中， ， ∴△ABM≌△CAD（AAS）， ∴BM＝AD， ∵BM∥CD，BE∥AD， ∴四边形BMDE是平行四边形， ∴BM＝DE， ∴AD＝DE； （2）解：如图2，过B作BN⊥AF交AF的延长线于N， 则∠N＝90°， 同（1）得：△ABN≌△CAF（AAS）， ∴BN＝AF＝3， ∴S△ABF＝AF•BN＝×3×3＝； （3）解：如图3，过B作BM⊥DA交DA的延长线于M， 则∠M＝90°， 同（1）得：△ABM≌△CAD（AAS）， ∴BM＝AD， ∵3BF＝2DF， ∴BD＝BF， 由（2）可知，S△ABF＝， ∴S△ABD＝S△ABF＝×＝， 又∵S△ABD＝AD•BM＝AD2＝， ∴AD2＝， ∴AD＝＝． 2．如图，在△ABC中，AB⊥AD，AE⊥AC，且AB＝AD，AE＝AC，连接DE，过A点向BC作垂线AG．反向延长AG交DE于F．求证：DF＝EF． 【解答】证明：如图，过点D作DK⊥AG于点K，过点E作EH⊥AG于点H， ∵AB⊥AD，AE⊥AC， ∴∠DAK+∠BAG＝90°，∠EAH+∠CAG＝90°， ∵AG⊥BC，DK⊥AG，EH⊥AG， ∴∠AGB＝∠AGC＝∠DKA＝∠EHA＝90°， ∴∠ABG+∠BAG＝90°，∠ACG+∠CAG＝90°， ∴∠DAK＝∠ABG，∠EAH＝∠ACG， 在△DAK和△ABG中， ， ∴△DAK≌△ABG（AAS）， ∴DK＝AG， 在△EAH和△ACG中， ， ∴△EAH≌△ACG（AAS）， ∴EH＝AG， ∴DK＝EH， 在△DFK和△EFH中， ， ∴△DFK≌△EFH（AAS）， ∴DF＝EF． 3．在▱ABCD中，AC为对角线，∠D＝45°，AE⊥AD交BC于E，BF⊥AC于F，BF，AE交于点G． （1）如图1，若BG＝5，EC＝3，求AB的长； （2）如图2，过点A作AB的垂线，过点G作BG的垂线，两垂线交于点H，连接BH，求证AH＝EC． 【解答】（1）解：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D＝45°， ∵AE⊥BC， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AB＝BE＝5； （2）证明：如图2，过点H作HM⊥AE，交EA的延长线于点M， ∵BG⊥GH，AH⊥AB， ∴∠BGH＝∠BAH＝90°， ∴B、G、A、H四点共圆， ∴∠BHG＝∠BAG＝45°， ∴△BGH是等腰直角三角形， ∴BG＝GH， ∵∠BEG＝∠M＝∠BGH＝90°， ∴∠BGE+∠HGM＝90°，∠BGE+∠GBE＝90°， ∴∠HGM＝∠GBE， ∴△BGE≌△GHM（AAS）， ∴EG＝HM， ∵∠HAM＝180°﹣∠BAH﹣∠BAE＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∴△AHM是等腰直角三角形， ∴AH＝HM， ∵△ABE是等腰直角三角形， ∴AE＝BE， ∵∠AGF+∠CAE＝90°，∠BGE+∠GBE＝90°，∠AGF＝∠BGE， ∴∠CAE＝∠GBE， ∵∠AEC＝∠BEG＝90°， ∴△ACE≌△BGE（ASA）， ∴EC＝EG， ∴AH＝EC． 4．如图1，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是射线BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG． （1）连接FC，观察并猜测tan∠FCN的值，并说明理由； （2）如图2，将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝m，BC＝n（m，n为常数），E是射线BC上一动点（不含端点B），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上，当点E沿射线CN运动时，请用含m，n的代数式表示tan∠FCN的值． 【解答】解： （1）tan∠FCN＝1， 理由是：如图1，作FH⊥MN于H， ∵∠AEF＝∠ABE＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠FEH+∠AEB＝90°， ∴∠FEH＝∠BAE， 在△EHF和△ABE中 ， ∴△EHF≌△ABE（AAS）， ∴FH＝BE，EH＝AB＝BC， ∴CH＝BE＝FH， ∵∠FHC＝90°， ∴tan∠FCH＝＝1； （2）如图（2）作FH⊥MN于H． 由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90°， 结合（1）易得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG， 又∵G在射线CD上， ∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90°， 在△EFH和△AGD中 ， ∴△EFH≌△AGD（AAS）， ∵∠BAE＝∠FEH，∠ABE＝∠FHE， ∴△EFH∽△AEB， ∴EH＝AD＝BC＝n，∴CH＝BE， ∴＝＝， ∴在Rt△FEH中，tan∠FCN＝＝＝， ∴当点E沿射线CN运动时，tan∠FCN＝． 5．如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，E，F分别为边AB，BC，AC上的点． （1）连接DE，BF相交于点G，连接DF并延长交BC的延长线于点H．若BD＝BF，DE＝HE，求∠DGF的度数； （2）如图2，在（1）问的条件下，在平面内将线段DB绕点B顺时针旋转90°得线段PB，连接GP．求证：PG+DG＝AB； （3）如图3，若D为AB中点，DE⊥DF，连接EF，点M为EF中点，点K为线段CM上一点，将△CFK沿着直线FK翻折至△CFK所在平面内得到△NFK，连接CN，在点E、F运动的过程中，当线段CM取最小值且NK∥CE时，请直接写出的值． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠CBA＝∠CAB＝45°， ∵BD＝BF， ∴∠BFD＝∠BDF＝∠EDH+∠EDB， ∵DE＝HE， ∴∠EHD＝∠EDH， ∵∠BFD＝∠FHB+∠HBF， ∴∠EDH+∠EDB＝∠FHB+∠HBF， ∴∠EDB＝∠HBF， ∴∠DGF＝∠GDB+∠GBD＝∠HBF+∠GBD＝∠CBA＝45°． （2）如图2，作DN⊥BF于N，FM⊥AB于M，PQ⊥FB于Q，连接DP． 则∠AM＝∠FMB＝∠DNB＝∠BQP＝90°， ∴∠MFB+∠FBM＝∠NDB+∠DBN＝∠PBQ+∠BPQ＝90° ∵∠DBP＝90°， ∴∠DBN+∠PBQ＝90°， ∴∠PBQ＝∠BDN＝∠BFM， ∵BP＝BD＝BF， ∴△BDN≌△BFM≌△PBQ（AAS）， ∴BQ＝DN＝FM，PQ＝BM＝BN， ∵∠FAM＝45°， ∴△AMF是等腰直角三角形， ∴AM＝FM＝DN＝BQ， ∵∠DGN＝45°， ∴△DNG是等腰直角三角形， ∴DG＝DN＝AM， ∵BD＝BP且∠DBP＝90°， ∴∠DPB＝∠PDB＝45°＝∠DGF， ∴D、G、B、P四点共圆， ∴∠PGQ＝∠PDB＝45°， ∴PG＝PQ＝BM， ∴AB＝AM+BM＝DN+PQ＝PG+DG． 解法二：连接DP，作DK⊥BF交PG的延长线于点K． ∵∠DGF＝∠DPB＝45°， ∴D，G，P，B四点共圆， ∴∠DGP＝∠DBP＝90°，∠DPK＝∠ABF， ∵∠K＝∠KDG＝45°＝∠A， ∴△KDP∽△AFB， ∴＝＝， ∴PK＝AB， ∴PG+DG＝PG+GK＝PK＝AB； （3）如图3，连接MD、CD． ∵CM＝EF＝DF， ∴DF最小时，CM的值最小，此时SBX CEDF是正方形， 此时，若KN∥CE，如图4， ∵NK∥CB， ∴∠MKN＝∠DCB＝45°， ∵∠FCK＝∠FNK＝45°， ∴∠NMK＝90°， ∴点N落在EF上， 设AC＝BC＝4，则FC＝FN＝2，FM＝CM＝，MN＝2﹣， ∴CN2＝CM2+MN2＝8﹣4， ∴＝＝4+2． 6．已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．连接BD、CE，过点A作AH⊥CE于点H，反向延长线段AH交BD于点F． （1）如图1，当AB＝AD时 ①请直接写出BF与DF的数量关系：BF 　＝　DF（填“＞”、“＜”、“＝”） ②求证：CE＝2AF （2）如图2，当AB≠AD时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，AB＝AD， ∴AC＝AE， ∵AH⊥CE， ∴∠CAH＝∠EAH， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠CAH+∠BAF＝90°，∠EAH+∠DAF＝90°， ∴∠BAF＝∠DAF， 在△BAF和△DAF中， ， ∴△BAF≌△DAF（SAS）， ∴BF＝DF， 故答案为：＝； ②∵AC＝AE，AH⊥CE， ∴CH＝EH＝CE， ∴CE＝2CH， ∵∠BAC＝∠AHC＝90°， ∴∠BAF+∠CAH＝90°，∠ACH+∠CAH＝90°， ∴∠BAF＝∠ACH， ∵△BAF≌△DAF， ∴∠AFB＝∠AFD＝90°， ∴∠AFB＝∠CHA， 在△AFB和△CHA中， ， ∴△AFB≌△CHA（AAS）， ∴AF＝CH， ∴CE＝2AF； （2）成立，证明如下： 作BM⊥AF于点M，作DN⊥AF交AF的延长线于点N， ∴∠BMA＝∠N＝90°， ∴∠BAM+∠ABM＝90°，∠DAN+∠ADN＝90°， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAM+∠CAH＝90°，∠DAN+∠EAH＝90°， ∴∠ABM＝∠CAH，∠ADN＝∠EAH， ∵AH⊥CE， ∴∠AMB＝∠CHA＝∠N＝∠EHA＝90°， 在△AMB和△CHA中， ， ∴△AMB≌△CHA（AAS）， ∴MB＝AH， 同理可证△AND≌△EHA（AAS）， ∴DN＝AH， ∴BM＝DN， 在△BMF和△DNF中， ， ∴△BMF≌△DNF（AAS）， ∴BF＝DF，MF＝NF， ∴AM＝AF﹣MF，AN＝AF+NF＝AF+MF， ∴AM+AN＝AF﹣MF+AF+MF＝2AF， ∵△AMB≌△CHA，△AND≌△EHA， ∴AM＝CH，AN＝EH， ∴CH+EH＝AM+AN＝2AF， ∵CE＝CH+EH， ∴CE＝2AF， 即BF＝DF，CE＝2AF． 7．问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF相等吗？ （1）直接判断：AE 　＝　BF（填“＝”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： （2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论； 问题拓展： （3）如图3，点E在边CD上，且MN⊥AE，垂足为H，当H在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△AHN沿着AN翻折，点H落在点H′处． ①四边形AHNH′是正方形吗？请说明理由； ②若AB＝6，点P在BD上，BD＝3BP，直接写出PH′+AN的最小值为 　2　． 【解答】解：（1）∵AE⊥BF， ∴∠EMB＝90°， ∴∠FBC+∠BEM＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°， ∴∠FBC+∠BFC＝90°， ∴∠BEM＝∠BFC， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴AE＝BF． 故答案为：＝； （2）GE＝BF，理由如下： 如图2，过点A作AN∥GE，交BF于点H，交BC于点N， ∴∠EMB＝∠NHB＝90°， ∴∠FBC+∠BNH＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AB＝BC，∠BAD＝∠ABC＝∠C＝90°， ∵AD∥BC，AN∥GE， ∴四边形ANEG是平行四边形， ∴AN＝EG， ∵∠C＝90°， ∴∠FBC+∠BFC＝90°， ∴∠BNH＝∠BFC， ∴△ABN≌△BCF（AAS）， ∴AN＝BF， ∵AN＝EG， ∴GE＝BF． （3）①如图3，连接CH， 由（2）的结论可知，AE＝MN， ∵四边形ABCD是正方形，BD是正方形的对角线， ∴∠ABD＝∠CBD＝45°，AB＝BC， ∵BH＝BH， ∴△ABH≌△CBH（SAS）， ∴∠BAH＝∠BCH，AH＝CH， 由折叠可知，AH＝AH′，NH＝NH′， ∵∠ABN+∠AHN＝180°， ∴∠BAH+∠BNH＝180°， ∵∠BNH+∠HNC＝180°， ∴∠BAH＝∠HNC， ∴∠HNC＝∠NCH， ∴NH＝CH， ∴NH＝CH＝AH＝AH′＝NH′， ∴四边形AHNH′是菱形， ∵∠AHN＝90°， ∴菱形AHNH′是正方形； ②如图4，作H′Q⊥BC交CB的延长线于点Q，作HF⊥BC于点M， ∴∠H′QN＝∠HFB＝90°， 由上知四边形AHNH′是正方形， ∴H′N＝HN，∠H′NH＝90°，AH′＝AN， ∴∠H′NQ+∠HNF＝∠HNF+∠NHF＝90°， ∴∠H′NQ＝∠NHF， ∴△H′QN≌△NFH′（AAS）， ∴H′Q＝NF，QN＝HF； ∵∠HBF＝45°，∠HFB＝90°， ∴△BHF是等腰直角三角形， ∴HF＝BF＝NF+BN， ∵QN＝QB+BN， ∴NF＝QB＝QH′， ∴∠H′BQ＝∠ABH′＝45°， ∴∠H′BD＝90°； 如图4，作P关于BH′的对称点P′，则PH′＝P′H′，过点P′作PK⊥AB交AB延长线于点K， 则△PBK是等腰直角三角形， ∴PH′+AN＝PH′+AH′＝P′H′+AH′≥AP′，即当A，H′，P′三点共线时，PH′+AN最小，最小值为AP′的长． ∵AB＝6， ∴BD＝6， ∵BD＝3BP， ∴BP＝BP′＝2， ∴PK＝BK＝2， ∴AK＝8， ∴AP′＝＝2，即PH′+AN的最小值为2． 故答案为：2． 8．如图，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上，仓库P和Q分别位于AD和DC上，且PD＝QC．问题：此时BP与AQ有怎样的关系？请说明理由． 【解答】解：如图所示： BP与AQ互相垂直且相等，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝CD，∠BAP＝∠ADQ＝90°， ∵PD＝QC， ∴AD﹣PD＝CD﹣QC，即AP＝DQ， 在△ABP和△DAQ中， ， ∴△ABP≌△DAQ（SAS）， ∴BP＝AQ，∠ABP＝∠DAQ， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，∠ABC＝90°， ∴∠APB＝∠PBC， ∵∠ABP+∠PBC＝∠ABC＝90°， ∴∠DAQ+∠APB＝90°， ∵∴∠DAQ+∠APB+∠AOP＝180°， ∴∠AOP＝180°﹣（∠DAQ+∠APB）＝90°， ∴BP⊥AQ， ∴BP与AQ互相垂直且相等． 9．如图1，在正方形ABCD中，，点E在边BC上，连接AE，且∠BAE＝30°，点F是AE的中点． （1）求AE的长； （2）过点F作直线GH，分别交AB，CD于点G，H，且GH＝AE，求AG的长； （3）如图2，过点F作AE的垂线，分别交AB，BD，CD于点M，O，N，连接OE，求∠AEO的度数． 【解答】解：（1）∵∠BAE＝30°， ∴AE＝2BE， 设BE＝x，则AE＝2x， 在Rt△ABE中，x2+＝（2x）2， 解得x＝2或﹣2（舍去）， ∴AE＝4； （2）如图，过点B作BR∥GH，交CD于R， ∵GH∥BR，AB∥CD， ∴四边形BRHG是平行四边形， ∴GH＝BR，∠BGH＝∠BRH， ∵GH＝AE， ∴BR＝GH＝AE． 又∵AB＝BC， ∴Rt△ABE≌Rt△BCR（HL）， ∴∠BAE＝∠CBR＝30°， ∴∠BRC＝60°＝∠AEB， ∴∠BRH＝120°＝∠BGH， ∴∠AGH＝60°， ∴∠AFG＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∵∠BAE＝30°， ∴AG＝2GF， ∴AG2＝GF2﹣AF2， ∴3GF2＝4． ∴GF＝， ∴AG＝； 如图，过点A作AR∥GH，交CD于R，过点G作GO⊥AE于点O， 同理可证：△ABE≌△ADR， ∴∠DAR＝∠BAE＝30°， ∴∠EAR＝30°， ∵AR∥GH， ∴∠RAF＝∠AFG＝30°， ∴∠BAE＝∠AFG， ∴AG＝GF， ∵GO⊥AF， ∴AO＝FO＝1， ∵∠BAE＝30°， ∴AG＝2GO， ∴AG2﹣GO2＝AO2， ∴3GO2＝1， ∴GO＝， ∴AG＝， ∴AG的长为或； （3）如图，连接AO，过点O作OQ⊥AB于点Q，OP⊥BC于点P， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABD＝∠CBD＝45°， ∵OQ⊥AB，OP⊥BC， ∴OQ＝OP， ∵MN⊥AE，AE＝EF， ∴AO＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， ∵OA＝OE，OQ＝OP， ∴Rt△AOQ≌Rt△EOP（HL）， ∴∠OAQ＝∠OEP， ∵∠BEA+∠AEO+∠OEP＝180°， ∴60°+∠AEO+∠OAE+30°＝180°， ∴∠AEO＝45°． 10．如图，点E、F是正方形ABCD中CD、AD边上的点，BE＝CF，求证：DF＝CE． 【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠D＝∠BCD＝90°，BC＝CD， 在Rt△BCE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BCE≌Rt△CDF（HL）， ∴DF＝CE． 11．如图1，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP＝CQ，连接AP、BQ交于点E． （1）求证：AP⊥BQ； （2）当P运动到BC中点处时（如图2），连接DE，请你判断线段DE与AD之间的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，过A点作AM⊥DE于点H，交BQ、CD于点N、M，若AB＝2，求QM的长度． 【解答】解：（1）在正方形ABCD中有：AB＝BC，∠ABP＝∠BCQ＝90°， ∵BP＝CQ， ∴△ABP≌△BCQ（SAS）， ∴∠PAB＝∠QBC， ∵∠QBC+∠ABQ＝90°， ∴∠PAB+∠ABQ＝90°， ∴∠AEB＝90°， ∴AP⊥BQ； （2）AD＝DE，理由如下： 如图，延长BQ、AD交于一点F， 当点P为BC中点时，Q为CD中点，即CQ＝DQ， ∵∠FQD＝∠BQC，∠FDQ＝∠C， ∴△FDQ≌△BCQ（ASA）， ∴FD＝BC， ∴FD＝AD， 由（1）得：∠FEA＝90°， ∴DE＝FA＝AD； （3）由（1）得：AP⊥BQ， ∴∠ANE+∠NAE＝90°， ∵∠NAE+∠AEH＝90°， ∴∠ANE＝∠AEH， 设∠ANE＝∠AEH＝α， ∵DE＝DA， ∴∠DAE＝∠AEH＝α， ∵AD∥BC， ∴∠APB＝∠DAE＝α， ∵△PAB≌△QBC， ∴∠CQB＝∠APB＝α， ∵∠QNM＝∠ANE＝α， ∴∠CQB＝∠QNM， ∴QM＝MN， ∵CD∥AB， ∴∠ABQ＝∠CQB＝α， ∴∠ABQ＝∠ANE， ∴AN＝AB＝2， 设QM＝MN＝x，则DM＝DQ+QM＝1+x，AM＝AN+MN＝2+x， ∵AD2+DM2＝AM2， ∴22+（x+1）2＝（x+2）2， 解得：x＝， ∴QM＝． 12．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，G为AB的中点，过点G作DG⊥AB交AC于点D． （1）如图1，连接CG，若CG＝，BC＝3，求DG的长； （2）如图2，过点D作DE⊥BD，连接AE，以点E为直角顶点，AE为直角边向外作等腰直角三角形AEF，使得点F刚好落在BD的延长线上，求证：BC＝DE+DF． 【解答】（1）解：∵∠BCA＝90°，G是AB的中点， ∴CG＝BG＝AG＝， ∴AB＝5， ∵BC＝3， 由勾股定理得：AC＝4， ∵DG⊥AB， ∴tanA＝， ∴， ∴DG＝； （2）证明：过点A作AH⊥BF于H，过E作EK⊥AH于K， ∵G是AB的中点，DG⊥AB， ∴BD＝AD， ∵∠BCD＝∠AHD＝90°，∠BDC＝∠ADH， ∴△BCD≌△AHD（AAS）， ∴BC＝AH， ∵DE⊥BD，AH⊥BF，EK⊥AH， ∴∠EDH＝∠DHK＝∠HKE＝90°， ∴四边形DEKH是矩形， ∴∠AKE＝∠FDE＝90°，DE＝KH， ∵∠AEF＝90°，AE＝FE， ∴∠FED+∠FEK＝∠AEK+∠FEK＝90°， ∴∠AEK＝∠FED， ∴△AKE≌△FDE（AAS）， ∴AK＝DF， ∵AH＝KH+AK， ∴BC＝DE+DF． 13．已知，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC． （1）如图1，若AB＝6，点D是AC边上的中点，求△BCD的面积； （2）如图2，若BD是∠ABC的角平分线，求证：BC＝AD+AB； （3）如图3，若D、E是AC边上两点，且AD＝CE，AF⊥BD，交BD、BC于F、G，连接BE、GE，猜想∠ADB与∠CEG的大小关系，并说明理由． 【解答】（1）解：如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝6， ∵D是AC的中点， ∴AD＝CD＝AC＝3， ∴S△BCD＝S△ABD＝AD•AB＝×6×3＝9； （2）证明：如图2，过D作DE⊥BC于E， 又∵∠BAC＝90°， ∴∠BED＝∠BAC＝90°， ∵BD是∠ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠EBD， 又∵BD＝BD， ∴△ABD≌△EBD（AAS）， ∴AB＝EB，AD＝DE， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝45°， 又∵∠CED＝90°， ∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝45°＝∠C， ∴CE＝DE， 又∵AB＝EB，AD＝DE， ∴BC＝BE+CE＝AB+DE＝AB+AD； （3）解：猜想：∠ADB＝∠CEG． 理由：如图3，过点C作CH⊥AC，交AG的延长线于点H， 又∵∠BAC＝90°， ∴∠HCA＝∠DAB＝90°， ∵∠BAC＝90°，AF⊥BD， ∴∠DAF+∠ADF＝90°，∠ABD+∠ADF＝90°， ∴∠ABD＝∠DAF， 又∵AB＝AC，∠HCA＝∠DAB， ∴△ABD≌△CAH（ASA）， ∴AD＝CH，∠ADB＝∠H． 又∵AD＝CE， ∴CH＝CE． ∵∠ACB＝45°，∠ACH＝90°， ∴∠BCH＝∠ACB＝45°， 又∵GC＝GC，CH＝CE， ∴△ECG≌△HCG（SAS）， ∴∠CEG＝∠H， 又∵∠ADB＝∠H， ∴∠ADB＝∠CEG． 14．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为CB上一点，且满足CD＝CA，连接AD．过点C作CE⊥AB于点E． （1）若AB＝10，BD＝2，求CE的长； （2）如图2，若点F是线段CE延长线上一点，连接FD，若∠F＝30°，求证：CF＝AE+DF； （3）如图3，设D为BC延长线上一点，其它条件不变，直线CE与直线AD交于点F，若∠F＝30°，请直接写出线段CF，AE，DF之间的关系，不需要说明理由． 【解答】（1）解：如图1中，设AC＝CD＝x． 在Rt△ACB中，AB＝10，AC＝x，BC＝CD+BD＝x+2， ∵AB2＝AC2+BC2， ∴102＝x2+（x+2）2， 解得x＝6或﹣8（舍弃）， ∴AC＝6． ∵•AC•BC＝•AB•CE， ∴CE＝＝． （2）证明：如图2中，作DH⊥CF于H． ∵∠ACD＝∠AEC＝∠DHC＝90°， ∴∠ACE+∠CAE＝90°，∵∠ACE+∠BCE＝90°， ∴∠CAE＝∠DCH， 在△ACE和∠CDH中， ， ∴△ACE≌△CDH， ∴AE＝CH， 在Rt△DHF中，∵∠DHF＝90°，∠F＝30°， ∴HF＝DF•cos30°＝DF， ∴CF＝CH+FH＝AE+DF． （3）解：结论：CF＝DF﹣AE． 理由：如图3中，作DH⊥FC于H． 同法可证△DCH≌△CAE， ∴AE＝CH， 在Rt△DHF中，∵∠DHF＝90°，∠F＝30°， ∴HF＝DF•cos30°＝DF， ∴CF＝FH﹣CH＝DF﹣AE． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，AD＝BD，且AD⊥BD，连接CD．过点C作CE⊥BC交AD的延长线于点E，连接BE．过点D作DF⊥CD交BC于点F． （1）若BD＝DE＝，CE＝，求BC的长； （2）若BD＝DE，求证：BF＝CF． 【解答】解：（1）∵BD⊥AD，点E在AD的延长线上， ∴∠BDE＝90°， ∵BD＝DE＝， ∴BE＝＝， ∵BC⊥CE， ∴∠BCE＝90°， ∴BC＝＝＝2； （2）连接AF， ∵AD⊥BD，DF⊥CD， ∴∠BDE＝∠CDF＝90°， ∴∠BDF＝∠CDE， ∵CE⊥BC， ∴∠BCE＝90°， ∴∠DBC＝∠CED， 在△BDF和△EDC中， ∵， ∴△BDF≌△EDC（ASA）， ∴DF＝CD， ∴∠CFD＝∠DCF＝45°， ∵∠ADB＝∠CDF， ∴∠ADB+∠BDF＝∠CDF+∠BDF， ∴∠ADF＝∠BDC， 在△ADF和△BDC中， ∵， ∴△ADF≌△BDC（SAS）， ∴∠AFD＝∠BCD， ∴∠AFD＝45°， ∴∠AFC＝∠AFD+∠CFD＝90°， ∴AF⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BF＝CF． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/9 16:38:47；用户：罗义；邮箱：nzjy05@xyh.com；学号：19115639 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$