陕西师范大学附属中学2026-2027学年度第一学期高二年级开学收心考试数学试题

**基本信息** 陕西师大附中高二开学收心数学试卷，通过基础与能力梯度设计衔接高一知识，检测暑假学习效果，以数学眼光、思维与语言考查助力新学期过渡。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|基础概念与技能|聚焦数学眼光，巩固核心知识| |多选题|3/18|综合知识应用|体现思维层次性，考查推理能力| |填空题|3/15|细节知识点|检测数学抽象与空间观念| |解答题|3/47|综合问题解决|突出数学思维与语言表达，衔接高一与高二内容|

陕西师大附中2026-2027学年度第一学期 高二开学收心考试数学试题 总分：120分：考试时间：9月4日19：15-20：45 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个 1已知腹数：=则=0 选项中，只有一项是符合题目要求的。 A号 2 c.2 D.1 2.已知向量ā=(0,2)，6=(3，x),a与的夹角为60°，则6=(0) A.1 B.V2 C.2 D.2V3 3.底面半径为4的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所得圆台的体积为() A.42T B1G8 3 .42π D.168元 4在△ABC中，A-)C,P是BN上靠i近N的-个三等分点，若A=mA店+nAC,则实数m+n的值为0 B.1 c 文化，增强文化自信，幸福社区组织元青节猜灯谜活动.甲，乙两人各清个过 2 ,乙猜对的概率为行·甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙至少有1人猜对的概率为0 ci 6,用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形0ABC的直观图为如图所示的直角梯形0B'C,其中B'C'=】04, A'B⊥OA',若原平面图形OABC的面积为3V2,则OA的长为(0 A2B.2CV30. B A 7.下列说法正确的是() A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.01 B.已知一组数据1,2，m,6,7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C.数据27,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23 D.若样本数据c1,c2,,c10的标准差为8，则数据2x1一1,2c2-1,,2x10一1的标准差为32 8.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若都sinB=a(sin A+sinC,A上专则=0 A..vc.2D.1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项 中，有多个符合题目 9.已知m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则下列说法正确的是() 要求的.全部选对的 A.若ma,nCa,则mn 得6分，部分选对的 B.若m⊥a,na,则m⊥n 得部分分，有选错的 C.若mCa,nCa,且m‖B,n‖B,则a‖B 得0分。 D.若a⊥B,m⊥a,n⊥B,则m⊥n 10,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是() A.存在点D,使得直线D1P与AC所成角为写 B.不存在点P,使得平面APD1平面C1BD 、1 C.三棱锥D1~CDP的体积为后 D.存在点P,使得直线A1B垂直于平面PDC 11.下列关于平面向量的说法中，正确的有 A.若平面向量d,i,c满足d.6=d·c,则6=c B.若向量d,满足d=而=1，a+可=V3,则(a-6,可=2 3 C.若四边形ABCD为圆O的内接四边形，且AB=AD=2,BD=2V3,DC=入DA+μDB,则入+3的最大 值为3 D.已知向量d,满足6=(4,2)，d·i=-10,则在b上的投影向量的坐标为(-2，一1) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知a,均为单位向量，若a+26=1,a与b的夹角为。 13.在正方体ABCD.A1B1CD1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C所成角的余弦值为一。 14.已知三棱锥P.ABC中，PA=PC=PB=BA=BC=2,AC=2V2,D为PB的中点，过点D作三棱锥 P.ABC外接球的截面，则截面面积的最小值为一。 四、解答题：本题共3小题，共47分.解答应写出文字说明、证明过程或演 15.(15分)某校园文创社团对高一进行文创手作体验的学生进行时长调查（单位：分钟），随机抽取了100名学生并将其时 长分成五组：第一组20,30)，第二组30,40)，第三组[40,50)，第四组[50,60)，第五组[60,701，绘制成如图所示的频率 分布直方图。 (1)求第一组20,30)的频率，并求这100名学生进行文创手作体验时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表)： (2)从第四、第五两组学生中采用分层随机抽样的方法选出6名学生，再从这6名学生中随机选出2名学生，求这2名学生来 自不同组的概率； (3)若第四组的时长的平均数为54，方差为4，第五组的时长的平均数为66，方差为7，求这两组时长的总平均数和总方差s2 十频串 算步骤。 组距 0.030 a 0.016 0.008-- 0八203040506070時长（分钟） 16.(15分)如图所际，在四棱锥ABCD中，底面ABCD为梯形，BC‖AD,BC=2AD,面PBCn面 PAD=I,E是PD的中点 (1)求证：1川平面ABCD (2)若M是线段CE上一动点，点N是线段AD的中点，是否有MN|平面PAB?证明你的结论 M. B 17,(17分)如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形 BC AD,EF AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=7,FB=3. (1)证明：直线BF平面CDE: (2)求平面ABF与平面CDE所成角的正弦值； (3)求点D到平面ABF的距离.陕西师大附中2026-2027学年度第一学期 高二开学收心考试数学试题参考答案 总分：120分：考试时间：9月4日19：15-20：45 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.B 2.D 3.A 4.D 5.D 6.D 7.C 8.B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项 中，有多个符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选 错的得0分。 9.BD 10.ACD 11.BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.π 9 14.π 四、解答题：本题共3小题，共47分.解答应写出文字说明、证明过程或演 1而 算步骤。 由频率分布直方图性质，组距为10 10(2a+0.030+0.016+0.008)=1 解得a=0.023。 第-组20,30)频率：10×0.023=0.23. 各组中点：25,35,45,55,65，对应频率：0.23,0.23,0.30,0.16,0.08 E=25×0.23+35×0.23+45×0.30+55×0.16+65×0.08 =41.3 (2) 第四组人数：100×0.16=16，第五组人数：100×0.08=8，人数比2：1. 分层抽样抽取6人：第四组4人，第五组2人。 总选法：C%=15,不同组选法：C4C2=8 P=i (3) n1=16,E1=54,s=4:n2=8,2=66,s=7 g2=好+(@1-]+2[号+(2-}] n1+n2 16×[4+(54-58)2]+8×[7+(66-58)2 z=1684x0=58 24 =16×20+8×71 24 =37 答： (1)第一组频率为0.23，平均数为41.3： 回所求短车率为8 (3)总平均数z=58,总方差82=37。 16.解：(1)证明：因为在梯形ABCD中，BC‖AD, 又BC面PAD,ADC面PAD 所以BCI面PAD,因为BCC面PBC,面PBCn面PAD=L, M 所以BC‖L, 因为BCC平面ABCD,I丈平面ABCD, 所以U平面ABCD: (2)N为中点时，MNI平面PAB. 证明：连接CN,EN, 因为E,N分别为PD,AD的中点 所以ENI‖PA,因为EN4平面PAB,PAC平面PAB 所以ENI平面PAB, 取PA的中点F,连接EF,BF, 则EF‖AD,则EF‖BC,且EF=BC, 所以四边形BCEF为平行四边形，则CE‖BF 因为BFC平面PAB,CE平面PAB 所以CE平面PAB,CE∩EN=E,CE、ENC平面CEN, 所以平面CEN|平面PAB, 因为M是CE上的动点，MNc平面CEN,所以MN‖平面PAB, 所以当N为中点时，MN‖平面PAB. 17.解：(1)证明：因为AD=4,且M为AD的中点， 所以MD=2.所以BC=MD 又因为BC‖MD 所以四边形BCDM是平行四边形 所以BM‖CD 因为BM平面CDE,CDC平面CDE, 所以BM平面CDE 同理可得MF平面CDE 又因为BM∩MF=M,BM,MFC平面BMF, 所以平面BMFI‖平面CDE. (2)由(1)知平面ABF与平面CDE所成角即为平面ABF与平面BMF所成角，过点A作AG⊥BF交BF于点G,连接MG, 如图1所示 F 0 C 图1 易知△ABF兰△MBF, 所以MG⊥BF 则∠AGM或其补角即为平面ABF与平面BMF所成角的平面角 在△ABF中，由余弦定理的推论得eOS∠BAF=AB+AF2-BF2_V7 2AB·AF 141 则sin∠BAP=V1-cosZBAF=3V2 14 因为S△ABF= 2×2v7x3v211 14=2×3AC, 所以AG=V3. 在△AGM中，由余弦定理的推论得co8∠AGM=AC+CM2-AMP_3+3-4_1 2AG.GM 2×3 31 2 所以平面ABF与平面CDE所成角的正弦值为 2W2 3 3 取AM的中点为H,连接BH,FH, D 因为△AFM为等腰三角形，△ABM为等边三角形，所以FH⊥AM,BH⊥AM,· 所以BH=VBM2-MH2=V5,FH=VFM2-HM2=6, 因为BH产+FH2=BF2,所以∠FHB=FHLBH,· 因为FH⊥BH,FH⊥AM,BH∩AM=H,BH,AMC平面ABM,所以FH⊥平面ABM, 设点D到平面ABF的距离为h,“ 则Suw→h=5m- 4×5xV64N6 2*3V3 3, 所以点D到平面ABF的距离为4N6。 3