精品解析：陕西省柞水中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

陕西省柞水中学2025-2026学年度第一学期高二入学考试 数学试题 共计150分用时：120分钟 一、单选题（共8个小题，每个小题5分） 1. 设集合，则=（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用并集的定义求解. 【详解】因为，解得， 所以， 所以. 故选：A. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. i C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则运算即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：A 3. 已知函数则的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】数形结合，画出函数的图象即可求解. 【详解】根据题意，画出函数的图象如下： 由图可知，的最小值是. 故选：C 4. 总体由编号01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第7列和第8列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A. 01 B. 02 C. 04 D. 07 【答案】A 【解析】 【分析】由随机数表的读法依次读取数据即可. 【详解】从第一行的第7列和第8列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08，02，14，07，01，所以第5个个体是01. 故选：A． 5. 设D为所在平面内一点，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，以此可解决此题． 【详解】根据题意可知. 故选：B. 6. 已知，，，则、、的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出的值，利用对数函数的单调性即可比较大小． 【详解】因为对数函数在上为增函数，对数函数在上为减函数， ，，， 故. 故选：A. 7. 已知角的终边上有一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数定义计算即可. 【详解】由题意，角的终边上有一点，可得， 根据三角函数的定义，可得，， 所以. 故选：C 8. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面面积为（ ） A. B. C. 9 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据，分别是，的中点，得到，利用正方体的结构特征，有，从而有，由平面的基本性质得到在同一平面内，截面是等腰梯形，再利用梯形面积公式求解. 【详解】由题知连接，，，如图所示 因为分别是的中点，所以， 在正方体中，所以， 所以在同一平面内， 所以平面截该正方体所得的截面为平面，因为正方体的棱长为， 所以，，， 则到的距离为等腰梯形的高为， 所以截面面积为，故B正确. 故选：B. 二、多选题（共3个小题，每小题6分，选不全得3分，选错0分） 9. 如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中正确的是（ ） A. 在点运动过程中，直线与始终为异面直线 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与直线所成的角为定值 D. 在点运动过程中，不存在某个位置，使得面平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合异面直线的定义，可判定A准确；根据三棱锥的体积，可判定B正确；根据线面垂直的性质，可判定C正确；根据线面平行的性质，可判定D不正确，即可得到答案. 【详解】对于A：由题意，在正方体中， 点在线段上运动，，平面，平面， 所以在点运动过程中，直线与始终不能在同一平面内， 所以直线与始终为异面直线，故A正确； 对于B：由三棱锥的体积，其中的面积为定值， 因为，平面，平面，所以直线平面， 所以当点在线段上运动时，点到平面的距离也为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C：在正方体中，平面，因为平面， 所以，又由，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 所以异面直线与直线所成的角为，故C正确； 对于D：根据正方体的结构特征，可得， 又平面，平面，所以平面， 又由选项B的解析过程知平面，，平面， 所以平面平面， 所以当点与点重合时，平面平面， 即存在点，使得平面平面，故D错误. 故选：ABC 10. 设A，B为两个随机事件，以下命题正确的有（ ） A. 若A，B是对立事件，则 B. 若A，B是对立事件，则 C. 若A，B是互斥事件，，，则 D. 若A，B是互斥事件，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由对立事件的性质及概率的性质判断A、B；根据互斥事件的加法公式求判断C、D. 【详解】对于A，若A，B是对立事件，则， 则，， 于是，故A错，B对； 对于C，若A，B是互斥事件，，，则，C错； 对于D，若A，B是互斥事件，，，则，D对. 故选：BD 11. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 的图像关于点对称 B. 在区间上单调递减 C. 在区间内有两个极值点 D. 将的图象向下平移1个单位长度即可得到的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦函数的对称性求出函数，再逐项分析判断. 【详解】由的图象关于直线对称，得， 而，则，函数， 对于A，由，得的图象关于点对称，A正确； 对于B，由，得，而函数在上单调递减， 因此函数在区间上单调递减，B正确； 对于C，由，得，而函数在内只有一个极值点， 因此函数在区间内只有一个极值点，C错误； 对于D，， 将该函数图象向下平移1个单位长度即可得的图象，D正确． 故选：ABD 三、填空题（共4个小题，每小题5分） 12. 三角形中，，，，____________ 【答案】或 【解析】 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理， 可得，解得或，经检验符合题意. 故答案为：或 13. 函数的最小正周期为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正切函数周期性定义计算可得结果. 【详解】依题意可知， 故函数的最小正周期. 故答案为： 14. 已知向量满足，，且，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】由，平方后结合，可得，解方程即可. 【详解】由，得，即， 整理得，解得，或（舍去）． 故答案为：2. 15. 某次期中考试随机抽取了12名同学的数学成绩作为样本，分别是53，59，61，62，67，75，77，80，82，86，90，93.则这组数据的第75百分位数为___________. 【答案】84 【解析】 【分析】根据给定条件，利用第百分位数的定义求解. 【详解】由， 所以这组数据的第75百分位数为第9和第10的平均数， 即. 故答案为：84 四、解答题（共5个小题） 16. 求值： （1）. （2）. （3）. 【答案】（1）19 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算性质可得结果. （2）根据对数运算性质可得结果. （3）根据对数运算性质可得结果. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 17. 如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）要证平面，根据线面平行的判定定理在平面内找到一条直线与之平行即可； （2）将线线垂直转化为与所在的某个平面垂直即可. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 则直三棱柱中，四边形为平行四边形， 则为的中点，又为的中点，故， 平面，平面，故平面. 【小问2详解】 取中点为，连接，，为的中点， 故，而底面， 故底面，底面，故； 又为的中点，则，而，即， 故， 而，平面，平面， 故平面， 又平面，故，即. 18. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）求的单调递增区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简函数的表达式，利用最小正周期即可求出的值； （2）写出的表达式，即可求出的单调递增区间. 【小问1详解】 由题意， 在中， ， ∵的最小正周期为， ∴，解得. 【小问2详解】 由题意及（1）得， 在中，， ∴， 当单调递增时，，， 解得，， ∴的单调递增区间为． 19. 记的内角所对的边分别为，且. （1）求角的值； （2）若，求外接圆的面积； （3）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3）2. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，得到，进而可求解； （2）由正弦定理求得外接圆半径即可求解； （3）由余弦定理结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由已知得， 由正弦定理得， 即， 因为，所以， 即， 又因为，所以. 【小问2详解】 由正弦定理可知：当时， 外接圆的半径， 故此时外接圆的面积为. 【小问3详解】 由余弦定理可得， 即， 当且仅当时取等号， 故的最小值为2. 20. 高一年级有男生600人，女生400人，一次数学测验后，随机抽取了部分男生的成绩，统计得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，请估计所有男生的平均成绩与方差； （2）已知所有女生的平均成绩为65，请估计高一年级所有学生的平均成绩； （3）为进一步了解学情，用分层抽样的方法从高一所有学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机找两名学生谈话，求这两名学生恰为一名男生和一名女生的概率. 【答案】（1）75，180 （2）71 （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图结合平均数和方差的计算公式即可依次计算求解； （2）由样本总平均成绩即可估计所有学生的平均成绩； （3）一一列举样本点，再由古典概型计算即可. 【小问1详解】 由题估计所有男生的平均成绩为， 估计所有男生的方差为 所以估计全体男生的平均成绩为75，方差为180； 【小问2详解】 全体学生的平均数； 【小问3详解】 抽到的5名学生中有3名男生，设为名女生，设为， 事件A：两名学生恰为一名男生和一名女生， 则样本空间， ， 所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省柞水中学2025-2026学年度第一学期高二入学考试 数学试题 共计150分用时：120分钟 一、单选题（共8个小题，每个小题5分） 1. 设集合，则=（　　） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. i C. D. 1 3. 已知函数则的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 4. 总体由编号01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第7列和第8列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A. 01 B. 02 C. 04 D. 07 5. 设D为所在平面内一点，，则（    ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则、、的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知角的终边上有一点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面面积为（ ） A. B. C. 9 D. 18 二、多选题（共3个小题，每小题6分，选不全得3分，选错0分） 9. 如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中正确的是（ ） A. 在点运动过程中，直线与始终为异面直线 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与直线所成的角为定值 D. 在点运动过程中，不存在某个位置，使得面平面 10. 设A，B为两个随机事件，以下命题正确的有（ ） A. 若A，B是对立事件，则 B. 若A，B是对立事件，则 C. 若A，B是互斥事件，，，则 D. 若A，B是互斥事件，，，则 11. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 的图像关于点对称 B. 在区间上单调递减 C. 在区间内有两个极值点 D. 将的图象向下平移1个单位长度即可得到的图象 三、填空题（共4个小题，每小题5分） 12. 三角形中，，，，____________ 13. 函数的最小正周期为__________. 14. 已知向量满足，，且，则________． 15. 某次期中考试随机抽取了12名同学的数学成绩作为样本，分别是53，59，61，62，67，75，77，80，82，86，90，93.则这组数据的第75百分位数为___________. 四、解答题（共5个小题） 16. 求值： （1）. （2）. （3）. 17. 如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：. 18. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）求的单调递增区间． 19. 记的内角所对的边分别为，且. （1）求角的值； （2）若，求外接圆的面积； （3）若，求的最小值. 20. 高一年级有男生600人，女生400人，一次数学测验后，随机抽取了部分男生的成绩，统计得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，请估计所有男生的平均成绩与方差； （2）已知所有女生的平均成绩为65，请估计高一年级所有学生的平均成绩； （3）为进一步了解学情，用分层抽样的方法从高一所有学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机找两名学生谈话，求这两名学生恰为一名男生和一名女生的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $