精品解析：陕西省西安高新唐南中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷

2025~2026学年度第一学期收心考高二年级数学试卷 命题人：杜伟 审题人：孙选敏 （本试卷共5页，在答题卷规定区域作答，写在范围外的答案无效，满分150分） 一、单选题（本题共8个小题，共计40分） 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 4. 已知向量 ， 若与垂直，则 （ ） A. B. C. D. 5. 已知随机事件中，与互斥，与对立，且，，则（ ） A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 6. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，共计18分） 9. 已知的内角的对边分别为，已知，锐角满足，则（ ） A. 的周长为12 B. C. D. 10. 某影院连续天的观影人数（单位：百人）依次为，，，，，，，，，，则下列关于这天观影人数的结论正确的是（ ） A. 众数为 B. 平均数为 C. 中位数为 D. 第百分位数为 11. 如图，正方体的棱长为2，点E在线段上运动，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 若E为线段的中点，则点E到直线的距离为 D. 存在某个点E，使直线与平面所成角为 三、填空题（本题共3个小题，共计15分） 12. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则_______. 13. 已知锐角满足，则_____. 14. 如图，在边长为的正方形中，点，分别是，的中点．将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点．若三棱锥的顶点均在球的球面上，则球的表面积为__________． 四、解答题（本题共5个小题，共计77分） 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，，求及的面积． 16. 某教育局组织一地区的小学、初中、高中三个学段的学生参加“防溺水”网络知识问答，并按学段人数比例分层随机抽样，从中抽取220名学生，对其分数进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该地区所有学生知识问答分数的众数； （2）分数位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的最低分数； （3）教育局的工作人员在此次问答分数中抽取了10名同学的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，方差，若剔除其中的最高分98和最低分86，求剩余8个分数的平均数与方差． 参考数据：，，． 17. 函数的部分图象如下图所示． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3）将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最值． 18. 某校举行数学竞赛，初赛时，每位参赛选手从4道题中随机抽取2道作答，若2道题全部答对，则直接进入决赛；若2道题都答错，则直接淘汰；若恰好答对1道题，则进入复赛.复赛时，每位参赛选手回答2道题（与初赛时的题目不同），若2道题都答对，则进入决赛，否则淘汰.该校学生甲参加了这次数学竞赛，已知甲初赛时只会其中2道题，复赛时答对每道题的概率均为，初、复赛结果互不影响，且复赛时各题答对与否也互不影响. （1）求甲进入决赛的概率； （2）求甲至少答对2道题的概率. 19. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期收心考高二年级数学试卷 命题人：杜伟 审题人：孙选敏 （本试卷共5页，在答题卷规定区域作答，写在范围外的答案无效，满分150分） 一、单选题（本题共8个小题，共计40分） 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解. 【详解】解方程得或， 所以集合，集合， 因此. 故选：C. 2. 设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B． 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项. 3. 已知，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，再利用复数的模的定义计算. 【详解】，故. 故选：A 4. 已知向量 ， 若与垂直，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵ 与垂直， ∴ . ∵ ，，∴ ，解得. ∴ ，∴ . 5. 已知随机事件中，与互斥，与对立，且，，则（ ） A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件对立事件的概率公式进行求解. 【详解】由于与对立，，则， 又与互斥，，则. 故选：B 6. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由结合不等式性质判断ABD，由指数函数单调性判断C选项. 【详解】因为，由基本不等式可得，A正确； 当时，B显然错误， 因为在上单调递减，故，C错误； 由可得，D错误． 故选：A． 7. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据向量平行求得，再根据二倍角公式求. 【详解】由，可得，即 ，解得：或（舍）， . 故选：C 8. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据是定义域为的奇函数，可得时，分和两种情况分别求解不等式，即可求解. 【详解】当时，则，所以， 因为函数是定义域为的奇函数，所以， 所以，则， 所以， 当时，即，， 所以，即， 因为二次函数的判别式为， 所以恒成立，所以， 当时，即，，所以， 解得，所以， 综上. 故选：. 二、多选题（本题共3个小题，共计18分） 9. 已知的内角的对边分别为，已知，锐角满足，则（ ） A. 的周长为12 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用同角公式及余弦定理求解判定即可. 【详解】对于B，由为锐角，且，得，B正确； 对于AC，由余弦定理得， 得，则，A错误，C正确； 对于D，由余弦定理得，D错误. 故选：BC 10. 某影院连续天的观影人数（单位：百人）依次为，，，，，，，，，，则下列关于这天观影人数的结论正确的是（ ） A. 众数为 B. 平均数为 C. 中位数为 D. 第百分位数为 【答案】BC 【解析】 【分析】求出众数，平均数，中位数，第百分位数后判断. 【详解】这10个数从小到大排列为：80，90，120，120，130，160，160，160，180，200， 众数为160， 平均数为， 中位数为， ，因此第百分位数为第8个数160， 故选：BC. 11. 如图，正方体的棱长为2，点E在线段上运动，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 若E为线段的中点，则点E到直线的距离为 D. 存在某个点E，使直线与平面所成角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正方体的性质，结合三棱锥体积公式、线线垂直判定、点到直线距离公式，线面角的定义来逐一分析选项. 【详解】对于A,,所以A正确. 对于B,连接，如图： 在正方体中，， 所以平面，又因为平面， 所以，所以B正确. 对于C,当E为线段的中点，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 即 所以点E到直线的距离， 所以C正确. 对于D,由上面空间直角坐标系可知，， 所以平面的法向量，设， 则，设直线与平面所成角为，则 ， 若直线与平面所成角为， 则， 又，所以方程无解，D错误. 故选：ABC. 三、填空题（本题共3个小题，共计15分） 12. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数性质可得，由此可得答案. 【详解】因为时，， 所以， 因为为定义在上的奇函数， 所以. 故答案为：. 13. 已知锐角满足，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由结合诱导公式即可计算求解. 【详解】因为锐角满足， 所以. 故答案为： 14. 如图，在边长为的正方形中，点，分别是，的中点．将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点．若三棱锥的顶点均在球的球面上，则球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，把三棱锥可补成一个长方体，利用长方体的对角线长求得外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解. 【详解】根据题意可得且两两垂直， 所以三棱锥可补成一个长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，如图所示，    设长方体的外接球的半径为，可得，所以， 所以外接球的表面积为， 故答案为：. 四、解答题（本题共5个小题，共计77分） 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，，求及的面积． 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理及同角公式化简求得角. （2）由正弦定理求出即得，再利用两角和的正弦公式及三角形的面积公式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， 则，而，所以. 【小问2详解】 由（1）知，而，由正弦定理得， 由，得，则， ， 所以的面积. 16. 某教育局组织一地区的小学、初中、高中三个学段的学生参加“防溺水”网络知识问答，并按学段人数比例分层随机抽样，从中抽取220名学生，对其分数进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该地区所有学生知识问答分数的众数； （2）分数位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的最低分数； （3）教育局的工作人员在此次问答分数中抽取了10名同学的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，方差，若剔除其中的最高分98和最低分86，求剩余8个分数的平均数与方差． 参考数据：，，． 【答案】（1），众数约为75分 （2）88分． （3）89.5，21． 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为1列方程求解；根据最高矩形横坐标的中点可确定众数； （2）利用频率分布直方图求90百分位数即可； （3）根据平均数及方差的计算公式计算即可得解. 【小问1详解】 由， 解得． 由题图可知，众数为75， 用样本估计总体，知该地区所有学生知识问答分数的众数约为75分． 【小问2详解】 前4组的频率之和为， 前5组的频率之和为， 故90%分位数落在第5组，设为x，则，解得， 即“防溺水达人”的最低分数为88分． 【小问3详解】 由题意，剩余8个分数的平均数为． 因为这10个分数的方差， 所以， 所以剩余8个分数的方差 . 即剩余8个分数的平均数与方差分别为89.5，21． 17. 函数的部分图象如下图所示． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3）将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最值． 【答案】（1）； （2）； （3）最大值为3，最小值为0. 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数图象，结合五点法作图方法求出解析式. （2）利用正弦函数的性质求出单调递增区间. （3）利用三角函数图象变换求出，再利用正弦函数性质求出指定区间上的最值. 【小问1详解】 观察函数的图象，得，最小正周期，解得， 由，得，而，则， 所以函数的解析式是. 【小问2详解】 由（1）知，， 由，得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问3详解】 依题意，， 当时，，则当，即时，； 当或，即或时，. 所以在区间上的最大值为3，最小值为0. 18. 某校举行数学竞赛，初赛时，每位参赛选手从4道题中随机抽取2道作答，若2道题全部答对，则直接进入决赛；若2道题都答错，则直接淘汰；若恰好答对1道题，则进入复赛.复赛时，每位参赛选手回答2道题（与初赛时的题目不同），若2道题都答对，则进入决赛，否则淘汰.该校学生甲参加了这次数学竞赛，已知甲初赛时只会其中2道题，复赛时答对每道题的概率均为，初、复赛结果互不影响，且复赛时各题答对与否也互不影响. （1）求甲进入决赛的概率； （2）求甲至少答对2道题的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用古典概率计算公式求得，根据独立事件的乘法公式求得，再由与互斥，根据互斥事件的概率加法公式求解即可； （2）由两两互斥，根据互斥事件的概率加法结合独立事件的乘法公式求解即可. 【小问1详解】 设事件“甲初赛答对道题”（），“甲复赛答对道题”（， “甲进入决赛”， 将初赛的4道题编号为1，2，a，b，其中甲会的题为a，b， 从4道中选2道，样本空间为：，每个样本点都是等可能的. 因为，所以 根据独立性假定，得 因为与互斥，根据互斥事件的概率加法公式，可得 因此，甲进入决赛的概率为. 【小问2详解】 设事件“甲至少答对两道题”，则 两两互斥，根据互斥事件的概率加法公式，可得 因此，甲至少答对两道题的概率为. 19. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 连接，因为底面为平行四边形， 为中点，故与相交于， 因为为的中点，则， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 因为，， 由余弦定理得， 即，解得， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，且交于， 所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明出线面平行； （2）由余弦定理求出，从而由勾股定理逆定理得到，由线面垂直得到，从而证明出结论； （3）作出辅助线，得到直线与平面所成角，求出各边长，求出余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 取的中点，连接，则， 因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成角， 其中，故， 因为，， 由勾股定理得，故， 由勾股定理得，所以， 即直线与平面所成角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $