第二章 随机事件的概率 全章高频重点题型突破（六大高频+二大重难题型，专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 该专项按基础高频与核心提升分层，系统覆盖随机事件概率全章题型，以题载知，逻辑递进，培养数学思维与数据意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|6类高频题型（含事件判断、概率计算等）|聚焦概念辨析与基础方法，覆盖列表法、树状图法等核心技能|从事件类型概念到概率计算方法，构建“概念-计算-应用”基础链条| |核心提升|2类重难题型（多步试验、实际应用）|综合多知识点，结合生活情境与数学建模|深化概率计算在复杂情境中的迁移，培养数据意识与推理能力|

第二章 随机事件的概率 全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 事件类型的判断与概率范围 题型2 事件可能性大小的比较 题型3 简单随机事件的概率计算 题型4 列表法与树状图法求概率 题型5 有放回与不放回试验中的概率问题 题型6 用频率估计概率 核心提升：重难题型归纳 题型1 多步随机试验中的概率综合问题 题型2 概率与实际问题的综合应用 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 事件类型的判断与概率范围 1．B 2．P(A)>P(B)>P(C) 3． 【详解】（1）解：盒中装有红球2个、黄球8个，则“摸到三个球都是红球”是不可能事件； （2）解：盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到红球”是必然事件； （3）解：盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到两个黄球”是随机事件． ◆题型2 事件可能性大小的比较 4．C 5．B 6． 【详解】（1）解：球台共划分个面积相等的小方格，乒乓球落在每个方格的可能性相同，其中刁钻落点区有个小方格， 所以（刁钻落点区）， 答：一次发球落在刁钻落点区的概率是． (2)不是（不一定）．理由是：仅根据前次极少的发球试验结果，无法反映事件发生的概率，因此第个球落在刁钻落点区的可能性不一定比常规落点区大 ◆题型3 简单随机事件的概率计算 7．C 8． 9． 【详解】（1）解：共有4个场馆，小丽任选一个，每个场馆被选中的可能性相等，选择场馆A的结果有1种， 小丽选择场馆A的概率为； （2）列表如下： 小丽    小明 A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中小丽和小明选择不同场馆的结果有12种， 所以小丽和小明选择不同场馆的概率为． ◆题型4 列表法与树状图法求概率 10．二 11．B 12． 【详解】（1）解：嘉淇走到十字道口A，可能直行（向西），也可能向左转（向南）或向右转（向北），共3种等可能性结果， ∴向北走的概率为； (2)补全树状图如图所示： （3）解：由树状图可知共有9种等可能结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种， （向西参观），（向南参观）（向北参观）（向东参观）， ， ∴向西参观的概率较大． ◆题型5 有放回与不放回试验中的概率问题 13． 【详解】（1）解：观察表格得，通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.25左右， 估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； 设袋子中白球的个数为x， 根据题意得，， 解得， 经检验，是分式方程的解， 估计袋中白球的个数为3； 故答案为：0.25，； （2）列表如下： 颜色 黑球 白球 白球 白球 黑球 （黑，黑） （黑，白） （黑，白） （黑，白） 白球 （黑，白） （白，白） （白，白） （白，白） 白球 （黑，白） （白，白） （白，白） （白，白） 白球 （黑，白） （白，白） （白，白） （白，白） 共有16种等可能的结果，其中恰好两个都是白球的结果有9种， ∴P（恰好两个都是白球的概率）＝． 14． 【详解】（1）解：由题意可得：试验的次数越多，试验的频率就越接近概率； ∵摸球次摸到黄色乒乓球的频率为0.250， ∴根据表格数据从袋中摸出一个球是黄色乒乓球的概率是， 故答案为：； （2）解：总数， 白色乒乓球个数， 故答案为：； (3)公平，理由： 由题意可列出表格为：   第一次第二次 黄 白 白 白 黄 黄白 黄白 黄白 白 白黄 白白 白白 白 白黄 白白 白白 白 白黄 白白 白白 ∴一共有种可能性，其中两次都摸到白色乒乓球共有种情况， ∴， ∴这个约定对双方是公平的． 15． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有种可能的结果，其中两次都摸到红球的有2种可能的结果， ． （2）解：设小聪摸到红球有x次，摸到黄球有y次，则摸到蓝球有次． 由题意得： ， 即． ． ∵x，y，均为自然数， ∴当时，， ； 当时， ， ； 当时， ，不符合题意． 小聪共有两种摸法：红球摸0次，黄球摸3次，蓝球摸3次或 红球摸1次，黄球摸1次，蓝球摸4次． ◆题型6 用频率估计概率 16．10 17． 【详解】（1）解：根据实验，估计取出红色球的频率约为， 故取出红色球的概率约为， 故口袋中有（个）红球； （2）解：根据题意，得有2个红球，4个蓝球，设红球分别表示为，；4个蓝球分别表示为，，，，画树状图如下： 一共有30种等可能性，两个球的颜色能配成紫色的有16种等可能性， 故两个球的颜色能配成紫色的概率是． 18．C ◆题型1 多步随机试验中的概率综合问题 1． 【详解】（1）解：从小到大排列为：1，2，3 ∴中位数为：3． （2）解：抽牌一次，一共有三种等可能结果，其中抽到3后，能从A跑到D， 因此（从跑到）． （3）解：列表如下： 1 2 3 1 / 3 4 2 3 / 5 3 4 5 / 一共有六种等可能结果，其中和为4时能回到A点，一共有两种等可能结果 因此（两次跑圈后回到点）． 2． 【详解】(1) 列表如下： 红桃3 红桃4 黑桃5 红桃3 红桃3，红桃3 红桃4，红桃3 黑桃5，红桃3 红桃4 红桃3，红桃4 红桃4，红桃4 黑桃5，红桃4 黑桃5 红桃3，黑桃5 红桃4，黑桃5 黑桃5，黑桃5 （2）由（1）可得： 方案：甲获胜概率为，乙获胜概率为， 方案：甲获胜概率为，乙获胜概率为， C方案画树状图如下（C方案不再看花色，因此列表时不再列举花色）： 方案：甲获胜概率为，乙获胜概率为， 故甲选择A方案获胜概率更高；乙选择C方案获胜概率更高． ◆题型2 概率与实际问题的综合应用 3． 【详解】（1）画树状图如下： 故有6种等可能性． (2) 根据（1）得知，共有6个等可能的结果，其中两个数字的积为正数有3种，为负数的结果有3种， ∴（积为正数），（积为负数）， ∴（积为正数）（积为负数）， ∴这个规则对双方公平，不需要重新设计． 4． 【详解】（1）解：由题意可知，每转动一次转盘，共有10种等可能的结果，其中红色的有2种，黑色的有1种， 指针指向红色的概率为，指针指向黑色的概率为， 答：他获得20元和80元奖券的概率分别为，； （2）解：设需要将个黄色区域改为红色， 则由题意得，， 解得， 答：需要将3个黄色区域改为红色； (3) 解：将转盘2个扇形涂成红色、2个扇形涂成绿色、1个扇形涂成黄色，转动转盘停止后，若指针指向红色区域，则小明胜；若指针指向绿色区域，则小刚胜；若指向分界线或黄色扇形时重转，直到指向红色或绿色扇形为止． 一、单选题 1．B 2．C 3．D 4．D 5．C 二、填空题 6．16 7． 8． 9．甲 10． 三、解答题 11． 【详解】（1）列表： 第一次 可回收物 有害垃圾 厨余垃圾 其他垃圾 可回收物 同 不同 不同 不同 有害垃圾 不同 同 不同 不同 厨余垃圾 不同 不同 同 不同 其他垃圾 不同 不同 不同 同 共16种等可能结果，相同4种，． （2）理论获奖：（人），，不相符；原因：理论概率是在大量重复试验中得到的频率稳定值，120次试验次数相对较少，其结果具有偶然性等． 12． 【详解】(1)用列表法表示所有等可能的乘车结果如下： 所以小聪从家到博物馆乘车的所有可能结果有16种． （2）解：由（1）问可知，因为，是空调车，是空调车， 所以两路车都是空调车的结果有，，共2种． 所以小聪从家到博物馆乘坐的两路车都是空调车的概率为． 13． 【详解】（1）解：∵ 第1次传递从甲出发，有乙、丙2种等可能结果，传到乙手中的结果有1种， ∴ 经过1次传递后，花环传到乙手中的概率为． （2）解：画树状图可得所有等可能结果： 第1次传递：甲→乙，甲→丙； 第2次传递：乙→甲，乙→丙；丙→甲，丙→乙， 共有4种等可能的结果，其中经过2次传递后花环传到乙手中的结果有1种， ∴（传到乙手中）； （3）解：列举前几次传递的结果规律： 传递1次（奇数）：乙、丙可能性相同且最大； 传递2次（偶数）：甲可能性最大； 传递3次（奇数）：乙、丙可能性相同且最大； 传递4次（偶数）：甲可能性最大. 由此可猜想：当传递次数为偶数时，花环在甲手中的可能性最大； 当传递次数为奇数时，花环在乙、丙手中的可能性相同且最大． ∵ 2022是偶数， ∴经过2022次传递后，传到甲同学手中的可能性最大． 14． 【详解】（1）解：小华转动一次转盘，转到数字的概率为， 故答案为：； （2）解：两人获胜概率相等，因此规则为：若指针两次指向的数字之和小于，小华去观赛；若两次数字之和大于，哥哥去观赛， 列表如下， 一共有种等可能的结果，指针两次指向的数字之和大于的结果有种，指针两次指向的数字之和小于的结果有种， ∴指针两次指向的数字之和大于的概率，指针两次指向的数字之和小于的概率为， ∴游戏公平． 15． 【详解】（1）解：设每枚国风书签的价格为x元，每个校徽钥匙扣的价格为y元． 根据题意列方程组：， 解得， 答：每枚国风书签的价格为2元，每个校徽钥匙扣的价格为3元； （2）解：①由（1）可知，国风书签单价2元，校徽钥匙扣单价3元，总费用33元， 可得：， ∴， 因为m，n都是正整数， 所以必须是正偶数， ∴时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，（舍去，因为每种奖品至少买一件）． 所以符合条件的方案有5个； ②校徽钥匙扣数量多于国风书签数量，即， ∴，和，， ∵满足条件的方案有2个，总方案数为5个， ∴概率为：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 随机事件的概率 全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 事件类型的判断与概率范围 题型2 事件可能性大小的比较 题型3 简单随机事件的概率计算 题型4 列表法与树状图法求概率 题型5 有放回与不放回试验中的概率问题 题型6 用频率估计概率 核心提升：重难题型归纳 题型1 多步随机试验中的概率综合问题 题型2 概率与实际问题的综合应用 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 事件类型的判断与概率范围 1．下列说法正确的是（     ） A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B．“汽车累计行驶10000 km，从未出现故障”是随机事件 C．“200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品”是不可能事件 D．明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨 2．从标有1到20号的卡片中任意抽取一张，记事件“抽到2的倍数”发生的可能性为P (A)，事件“抽到5的倍数”发生的可能性为P(B) ，事件“ 抽到13的倍数" 发生的可能性为P(C)，请用“＞”连接P(A)，P(B)，P(C)为_______. 3．盒中装有红球、黄球共10个，每个球除颜色外其余都相同，每次从盒中摸出一个球，摸三次，不放回，请你按要求设计出装球方案： (1)“摸到三个球都是红球”是不可能事件； (2)“摸到红球”是必然事件； (3)“摸到两个黄球”是随机事件． ◆题型2 事件可能性大小的比较 4．下列说法正确的是（    ） A．不太可能发生的事，可以看作不可能事件 B．投掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为质数的概率是 C．买一张彩票的中奖概率为，说明买一张彩票中奖的可能性很小 D．如果摸到红球的概率是，那么摸球5次，一定有2次会摸到红球 5．下列事件： ①购买一张福利彩票，中大奖． ②甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏，甲出“石头”获胜． ③在标准大气压下，温度低于0时，冰融化． ④从13个不同的“苏嘟嘟”（分别对应苏超的13支球队）盲盒中任意抽取1个，抽中徐州队吉祥物“虎嘟嘟”． 按照事件发生的概率从小到大排列，对应事件的顺序是（     ） A．②④①③ B．③①④② C．①②④③ D．③①②④ 6．某乒乓球机器人训练系统将标准球台虚拟划分为个面积相等的小方格，其中：刁钻落点区占个小方格，常规落点区占个小方格，易接落点区占个小方格．机器人发球时可选择不同模式． (1)教练为新手小明设置“全台不定点”模式：每次发球的落点随机分布在球台上，且落在每个小方格的可能性相同．求一次发球落在刁钻落点区的概率． (2)教练为高手小强设置“个性化训练”模式：发球落点非均匀分布．小强在训练中前个球落在刁钻落点区，第个球落在常规落点区，问第个球落在刁钻落点区的可能性是否一定比落在常规落点区大？请说明理由． ◆题型3 简单随机事件的概率计算 7．不透明袋子中有若干个白球（）和灰球（），这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，灰球出现的频率如图所示，则该不透明袋子不可能是（   ）． A． B． C． D． 8．如图，激光打靶游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人用激光枪向打靶游戏板发射激光一次（光点落在游戏板上），则光点落在涂色部分的概率是______． 9．某校八年级组织以“厚植家国情怀”为主题的研学活动，策划了四个场馆：A宿迁市博物馆，B沭阳县博物馆，C中国杨树博物馆，D洪泽湖湿地博物馆．每名学生只能任意选择一个场馆参观，小丽和小明是该校八年级学生． (1)小丽选择场馆A的概率为 ； (2)请用画树状图或列表的方法，求小丽和小明选择不同场馆的概率． ◆题型4 列表法与树状图法求概率 10．如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作．根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是方案________？（选填“一”或“二”）． 11．经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，恰好有一人直行，另一人右拐的概率是（     ） A． B． C． D． 12．某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同． (1)嘉淇走到十字道口A向北走的概率是______________． (2)补全图2的树状图． (3)借助图2的树状图分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大． ◆题型5 有放回与不放回试验中的概率问题 13．数学课上郑老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.230 0.207 0.300 0.260 0.254 0.251 (1)根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ，估计袋中白球的个数为 个； (2)在（1）的条件下，若小明有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 14．王老师将1个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球记下颜色后放回，下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黄色乒乓球的频率 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 0.250 (1)根据表格数据估计从袋中摸出一个球是黄色乒乓球的概率是_____（保留2位小数）； (2)估计袋中白色乒乓球有_____个； (3)甲乙二人相约打乒乓球，并约定：由甲从袋中连续两次摸球（每次摸出后均不放回），若两次都摸到白色乒乓球则甲先发球，否则乙先发球．请用画树状图或列表的方法说明这个约定对双方是否公平． 15．在一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个． (1)第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个小球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率； (2)若规定摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得1分，小聪共摸6次小球（每次摸1个球，摸后放回）得分，问小聪有哪几种摸法，并写出作答过程．（所得结论的格式为；红球摸*次，黄球摸*次，蓝球摸*次） ◆题型6 用频率估计概率 16．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中5个黑球．每次从袋中随机摸出一球，记下其颜色后放回袋中，搅匀，称为一次摸球试验．以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表： 摸球试验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 摸出黑球次数 46 487 2506 5008 24996 50007 根据列表，可以估计出n的值是______________． 17．一个不透明的口袋内装有蓝球和红球共6个，它们除颜色外完全相同，小明想通过试验的方法探求红球的个数，他从中任取一个球，记下颜色后放回，记为一次试验．重复这个试验． (1)下表是进行试验时，记录的一些数据： 试验次数（m） 100 200 400 500 600 1500 取出红色球的次数（n） 32 68 134 166 200 499 取出红色球的频率（） 由表格中的信息可得：口袋中有_______个红球； (2)从口袋中随机取出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球，求两个球的颜色能配成紫色的概率． 18．如图1，在边长为且有内角为的菱形内部有一圆（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，利用计算机进行模拟实验，通过计算机在菱形区域随机投放一个点，并计算该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．由此估计阴影部分面积（各图形的边界均忽略不计）约为（     ） A． B． C． D． ◆题型1 多步随机试验中的概率综合问题 1．有三张扑克牌，如图-1所示，将它们洗匀后背面朝上放在桌上，是圆的四等分点，如图-2，现通过抽取扑克牌的办法玩跑圈游戏，规则如下：若抽取扑克牌牌面上的数字是几，就从图-2中点的位置沿圆弧逆时针方向连续跑过几个圆，第二次跑圈从第一次跑圈结束后的位置上开始，按照规则继续进行． (1)求牌面数字的中位数； (2)若抽牌一次，求从跑到的概率； (3)若无放回连续抽取两次，求两次跑圈后回到点的概率． 2．有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张． (1)用列表法或者画树状图法表示所有取牌的可能性； (2)现在甲、乙两人做游戏，目前有三种游戏方案． A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜； B方案：若两次抽得数字之和为奇数则甲胜，否则乙胜； C方案：再拿一张红桃3，改变题目中的规则，现在一次性抽取两张牌，若这两张牌的数字分别是3和4，则甲胜，否则乙胜． 请问甲选择哪种方案获胜概率更高？乙选择哪种方案获胜概率更高？ ◆题型2 概率与实际问题的综合应用 3．甲、乙两位同学在“云南美食推荐官”活动中通过层层选拔脱颖而出，但名额有限，只能从两人中选取一人担任，二人通过转盘游戏决定谁来担任．游戏规则如下：两个转盘转出的数字之积为正数则甲来担任，数字之积为负数则乙来担任． (1)用列表法或画树状图法，求所有可能出现的结果总数． (2)转盘应保证游戏的公平性，请问这个游戏中的转盘是否需要重新设计？并说明理由． 4．春季假期间，刘叔叔领着小明和小刚兄弟俩去商场购物，发现该商场正在进行转盘抽奖活动．规则是：如图1是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成10个扇形），一次购物满500元的顾客可获得一次转转盘抽奖的机会．转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）． 规则表 颜色 红 蓝 黑 奖券金额（元） 20 50 80 (1)转动一次转盘，若指针落在扇形区域，分别求出获得20元和80元奖券的概率； (2)为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？ (3)刘叔叔购买了520元的商品获得了一次转转盘的机会，俩兄弟都想抽奖，于是刘叔叔制作了如图2所示一个可自由转动的转盘，被平均分成5等份，分别涂上红、黄、绿三种颜色，请你帮刘叔叔设计一个公平的游戏规则，使俩兄弟获胜一方参与抽奖． 一、单选题 1．口袋里有除颜色外其余都相同的2个红球、4个白球和6个黑球，从口袋里摸出2个球，若两个都是红球，则甲胜；若两个都是黑球，则乙胜．谁获胜的概率大（     ） A．甲 B．乙 C．甲乙一样大 D．不能确定 2．现有五张质地均匀，大小完全相同的卡片，在其正面分别标有数字，，0，2，3，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后，不放回，再从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字之和为正数的概率为（　　） A． B． C． D． 3．关于概率的认识：①事件发生的概率与试验次数有关：②掷10次硬币，结果正面向上出现4次，反面向上出现6次，由此可得正面向上的概率是：③如果事件A发生的概率为，说明做100次这种试验，事件A不可能发生6次．其中正确的个数为（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．在一个不透明的袋子中装有1个红球与3个黄球，四个球除颜色外，其它均相同．规则是：小丁同学摸一个球，不放回；小王同学再摸一个球，不放回；小林同学再摸一个球，不放回；小陈同学最后摸走剩余的球．摸到红球的人，可获得电影票一张． 小陈说：我最后一个摸球，获得电影票的概率最小，应该4人同时摸球才公平． 小林说：如果前面3人都没摸到红球，小陈肯定获得电影票，因此小陈获得电影票的概率最大． 小王说：不论同时摸球还是按顺序摸球，每人获得电影票的概率都是． 小丁说：先摸与后摸，获得红球的概率都是，因此这个规则是公平的． 以上4位同学的说法，正确的是（   ） A．小陈与小林 B．小林与小丁 C．小林与小王 D．小王与小丁 5．一枚质地均匀的硬币连续抛4次，其中没有两次连续正面向上的概率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．在一个不透明的袋子中，有除颜色外完全相同的个白球和若干个红球．通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在，由此可估计袋中红球的个数为________． 7．如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球从F出口落出的概率是______________． 8．从1，2，3，4这四个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被6整除的概率是______． 9．有盲盒甲和盲盒乙，甲每次抽中的概率恒为，乙第一次抽中的概率为，随着次数的增加每次增加，则抽五次后恰好抽中一次概率更大的是___________．（选填“甲”或“乙”或“概率相同”）． 10．如图，将的边分别延长至点，连接，使得分别为的中点．现随机向内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是_______． 三、解答题 11．泰州高港区某社区举办了“垃圾分类，从我做起”主题宣传活动．活动设置了一个转盘游戏：转盘被分成4个面积相等的扇形，上面分别标注“可回收物”“有害垃圾”“厨余垃圾”“其他垃圾”．每位居民转动转盘两次，若两次指针所指垃圾类型相同，即可获得一份奖品． (1)用列表法或画树状图法求某位居民获得奖品的概率； (2)活动当天共有120位居民参与游戏，其中实际有36人获得奖品．请你判断这个结果是否与理论概率相符，并结合概率知识简要分析可能的原因． 12．小聪计划周末去天水市博物馆参观，从小聪家到博物馆需要中途转车一次，从家到中转站台有，，，四路车（乘坐此四路车的可能性相同），其中是空调车，到了中转站台后有，，，四路车（乘坐此四路车的可能性相同），其中是空调车． (1)请用树状图或列表的方法表示小聪乘车的所有可能结果； (2)求小聪乘坐的两趟车都是空调车的概率． 13．盐城市鹿鸣路初级中学初一年级学生于五月初正式进入西校区，开始了新的学习与生活．为庆祝这一美好的日子，初一（1）班同学在操场上举行了击鼓传花的游戏．甲、乙、丙三位同学在操场上互相传递手中的花环，假设他们相互间传递是等可能的，并且由甲首先开始传递． (1)经过1次传递后，花环传到乙手中的概率是_________； (2)请画树状图或列表求经过2次传递后，花环传到乙手中的概率； (3)猜想并直接写出：经过2022次传递后，传到_________同学手中（填甲、乙、丙）的可能性最大． 14．年全国青少年游泳系列总决赛将于月在西安举行，现有张门票，小华和哥哥准备通过转动转盘的游戏来决定由谁去观赛．如图，可以自由转动的转盘被均匀地分成等份，每份分别标上、、、、五个数字．游戏规则如下：转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的分界线，则重新转动转盘，直到指针指向一个扇形内部为止）． (1)小华转动一次转盘，转到数字的概率为______； (2)小华和哥哥各转动转盘一次，哥哥说：“若指针两次指向的数字之和大于，我去观赛”；小华提出疑问：“我想公平竞争，那么指针两次指向的数字之和要小于多少时，我去观赛？”请帮小华确定游戏规则使得游戏公平，并用列表或画树状图的方法说明理由． 15．某班准备购买“国风书签”和“校徽钥匙扣”作为校园文化节奖品．已知购买1枚国风书签和2个校徽钥匙扣需要8元，购买2枚国风书签和3个校徽钥匙扣需要13元． (1)求每枚国风书签和每个校徽钥匙扣的价格； (2)班委准备用33元全部购买这两种奖品，每种奖品至少买一件． ①写出枚国风书签和个校徽钥匙扣的数量满足的等量关系，并直接写出可能购买方案的个数； ②若从所有可能的购买方案中随机选取一种，直接写出买到的校徽钥匙扣数量多于国风书签数量的概率． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 随机事件的概率 全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 事件类型的判断与概率范围 题型2 事件可能性大小的比较 题型3 简单随机事件的概率计算 题型4 列表法与树状图法求概率 题型5 有放回与不放回试验中的概率问题 题型6 用频率估计概率 核心提升：重难题型归纳 题型1 多步随机试验中的概率综合问题 题型2 概率与实际问题的综合应用 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 事件类型的判断与概率范围 1．下列说法正确的是（     ） A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B．“汽车累计行驶10000 km，从未出现故障”是随机事件 C．“200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品”是不可能事件 D．明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨 【答案】B 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义，结合概率的概念逐一判断选项即可． 【详解】解：A，中奖率为的奖券10张，仍有可能不中奖，“中奖”是随机事件，不是必然事件，故A错误，不符合题意； B，汽车累计行驶，可能从未出现故障，也可能出现故障，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，故B正确，符合题意； C，200件产品中只有5件次品，任意抽取6件，最多有5件次品，因此至少1件正品一定发生，是必然事件，不是不可能事件，故C错误，不符合题意； D，明天降水概率为，指明天降水的可能性为，不是的时间下雨，故D错误，不符合题意． 2．从标有1到20号的卡片中任意抽取一张，记事件“抽到2的倍数”发生的可能性为P (A)，事件“抽到5的倍数”发生的可能性为P(B) ，事件“ 抽到13的倍数" 发生的可能性为P(C)，请用“＞”连接P(A)，P(B)，P(C)为_______. 【答案】P(A)>P(B)>P(C) 【分析】事件共发生20次，分别找到“2的倍数，5的倍数，13的倍数”发生的次数，即可得到P(A)，P(B)，P(C)的值，再进行比较即可. 【详解】事件共发生20次，其中“抽到2的倍数”的有10次，∴P(A)= , ∵“抽到5的倍数”的有5、10、15、20共4次，∴P(B)= , ∵“ 抽到13的倍数"的有13、26共2次，∴P(C)= , ∴P(A)>P(B)>P(C)， 故填：P(A)>P(B)>P(C). 3．盒中装有红球、黄球共10个，每个球除颜色外其余都相同，每次从盒中摸出一个球，摸三次，不放回，请你按要求设计出装球方案： (1)“摸到三个球都是红球”是不可能事件； (2)“摸到红球”是必然事件； (3)“摸到两个黄球”是随机事件． 【答案】(1)盒中装有红球2个、黄球8个（答案不唯一）； (2)盒中装有红球8个、黄球2个（答案不唯一）； (3)盒中装有红球8个、黄球2个（答案不唯一）． 【分析】（1）要使“摸到的3个球都是红球”是不可能事件，只要盒子中的红球数不足3个即可； （2）要使“摸到红球”是必然事件，只要盒子中的黄球数最多为2个，则摸三次，必然会摸到红球； （3）要使“摸到2个黄球”是随机事件，即可能摸到2个黄球，也可能摸不到2个黄球，则黄球最少有2个，才能保证摸到2个黄球，但是最多有8个，否则一定可以摸到2个黄球． 【详解】（1）解：盒中装有红球2个、黄球8个，则“摸到三个球都是红球”是不可能事件； （2）解：盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到红球”是必然事件； （3）解：盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到两个黄球”是随机事件． ◆题型2 事件可能性大小的比较 4．下列说法正确的是（    ） A．不太可能发生的事，可以看作不可能事件 B．投掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为质数的概率是 C．买一张彩票的中奖概率为，说明买一张彩票中奖的可能性很小 D．如果摸到红球的概率是，那么摸球5次，一定有2次会摸到红球 【答案】C 【详解】解：对于选项A，∵不太可能发生的事是概率很小的随机事件，不可能事件是一定不发生的事件，二者概念不同，∴A错误． 对于选项B，∵投掷质地均匀的骰子共6种等可能结果，点数中质数为2，3，5共3种，∴掷出点数为质数的概率为，∴B错误． 对于选项C，∵中奖概率为，概率值很小，说明中奖的可能性很小，符合概率的意义，∴C正确． 对于选项D，∵概率表示事件发生的可能性大小，不代表多次试验中一定会发生对应次数，∴摸5次不一定有2次摸到红球，∴D错误． 5．下列事件： ①购买一张福利彩票，中大奖． ②甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏，甲出“石头”获胜． ③在标准大气压下，温度低于0时，冰融化． ④从13个不同的“苏嘟嘟”（分别对应苏超的13支球队）盲盒中任意抽取1个，抽中徐州队吉祥物“虎嘟嘟”． 按照事件发生的概率从小到大排列，对应事件的顺序是（     ） A．②④①③ B．③①④② C．①②④③ D．③①②④ 【答案】B 【分析】先计算每个事件发生的概率，再将概率从小到大排序即可得到结果． 【详解】分别计算各事件的概率： ③在标准大气压下，温度低于0时，冰融化，是不可能事件，概率为； ④从13个等可能的盲盒中抽取1个指定盲盒，抽中徐州队吉祥物“虎嘟嘟”的概率为； ②甲出“石头”时，乙共有3种等可能出法，仅乙出剪刀时甲获胜，此时概率为； ①购买福利彩票中大奖是小概率事件，概率远小于； 因此按照事件发生的概率从小到大排列，对应事件的顺序是③①④②， 故选：B． 6．某乒乓球机器人训练系统将标准球台虚拟划分为个面积相等的小方格，其中：刁钻落点区占个小方格，常规落点区占个小方格，易接落点区占个小方格．机器人发球时可选择不同模式． (1)教练为新手小明设置“全台不定点”模式：每次发球的落点随机分布在球台上，且落在每个小方格的可能性相同．求一次发球落在刁钻落点区的概率． (2)教练为高手小强设置“个性化训练”模式：发球落点非均匀分布．小强在训练中前个球落在刁钻落点区，第个球落在常规落点区，问第个球落在刁钻落点区的可能性是否一定比落在常规落点区大？请说明理由． 【答案】(1) 【分析】（1）根据等可能条件下概率公式，用刁钻落点小方格数量除以总方格数量，直接计算对应概率； （2）明确单次、少量试验得到的落点结果属于频率，频率不能代表事件发生的理论概率，据此判断可能性大小关系并说明理由． 【详解】（1）解：球台共划分个面积相等的小方格，乒乓球落在每个方格的可能性相同，其中刁钻落点区有个小方格， 所以（刁钻落点区）， 答：一次发球落在刁钻落点区的概率是． (2)不是（不一定）．理由是：仅根据前次极少的发球试验结果，无法反映事件发生的概率，因此第个球落在刁钻落点区的可能性不一定比常规落点区大 ◆题型3 简单随机事件的概率计算 7．不透明袋子中有若干个白球（）和灰球（），这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，灰球出现的频率如图所示，则该不透明袋子不可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估算概率，概率的计算公式，熟练掌握频率与概率的关系是关键． 当试验次数足够多时，频率会趋近于概率，由此判断选项． 【详解】解：由图可知，试验次数足够多时，频率在附近波动， ∴抽取一个球是灰球的概率为， ∴袋中白球与灰球的数量相等，只有选项C不符合． 故选：C． 8．如图，激光打靶游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人用激光枪向打靶游戏板发射激光一次（光点落在游戏板上），则光点落在涂色部分的概率是______． 【答案】 【分析】根据图形平移的性质可得出涂色部分为八个正方形，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：如图，将中间涂色部分向右平移即可发现涂色部分共为八个正方形，游戏板总共有十六个正方形， ∴光点落在涂色部分的概率是． 9．某校八年级组织以“厚植家国情怀”为主题的研学活动，策划了四个场馆：A宿迁市博物馆，B沭阳县博物馆，C中国杨树博物馆，D洪泽湖湿地博物馆．每名学生只能任意选择一个场馆参观，小丽和小明是该校八年级学生． (1)小丽选择场馆A的概率为 ； (2)请用画树状图或列表的方法，求小丽和小明选择不同场馆的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定总等可能结果数与选择场馆A的结果数，利用概率公式计算； （2）用列表法列举所有等可能的结果，统计符合条件的结果数，代入概率公式求解． 【详解】（1）解：共有4个场馆，小丽任选一个，每个场馆被选中的可能性相等，选择场馆A的结果有1种， 小丽选择场馆A的概率为； （2）列表如下： 小丽    小明 A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中小丽和小明选择不同场馆的结果有12种， 所以小丽和小明选择不同场馆的概率为． ◆题型4 列表法与树状图法求概率 10．如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作．根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是方案________？（选填“一”或“二”）． 【答案】二 【分析】先列举得到方案一和方案二的所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算概率，再比较两个概率的大小即可． 【详解】解：设不能正常工作时表示为，， 方案一，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有1种，所以方案一中电路系统正常工作的概率为， 方案二，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有3种，所以方案二中电路系统正常工作的概率为， 方案二更稳定可靠．故答案为：二． 11．经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，恰好有一人直行，另一人右拐的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用树状图法或列表法求概率，画出树状图，然后即可求解． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果数，其中恰有一人直行，另一人右拐的结果数为2， 所以恰好有一人直行，另一人右拐的概率为： ． 12．某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同． (1)嘉淇走到十字道口A向北走的概率是______________． (2)补全图2的树状图． (3)借助图2的树状图分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大． 【答案】(1) (3)向西参观的概率较大 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）补全树状图即可； （3）由（2）知，共有9种等可能的结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种，由概率公式求解即可； 【详解】（1）解：嘉淇走到十字道口A，可能直行（向西），也可能向左转（向南）或向右转（向北），共3种等可能性结果， ∴向北走的概率为； (2)补全树状图如图所示： （3）解：由树状图可知共有9种等可能结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种， （向西参观），（向南参观）（向北参观）（向东参观）， ， ∴向西参观的概率较大． ◆题型5 有放回与不放回试验中的概率问题 13．数学课上郑老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.230 0.207 0.300 0.260 0.254 0.251 (1)根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ，估计袋中白球的个数为 个； (2)在（1）的条件下，若小明有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 【答案】(1)0.25，； (2) 【分析】本题考查了利用频率估计概率以及树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在0.25左右，即为摸出黑球的概率；设袋子中白球的个数为x，根据摸出黑球的概率列出方程，进一步求解即可得出答案； （2）先列出所有等可能结果，从中找到他两次都摸出白球的结果数，根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：观察表格得，通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.25左右， 估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； 设袋子中白球的个数为x， 根据题意得，， 解得， 经检验，是分式方程的解， 估计袋中白球的个数为3； 故答案为：0.25，； （2）列表如下： 颜色 黑球 白球 白球 白球 黑球 （黑，黑） （黑，白） （黑，白） （黑，白） 白球 （黑，白） （白，白） （白，白） （白，白） 白球 （黑，白） （白，白） （白，白） （白，白） 白球 （黑，白） （白，白） （白，白） （白，白） 共有16种等可能的结果，其中恰好两个都是白球的结果有9种， ∴P（恰好两个都是白球的概率）＝． 14．王老师将1个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球记下颜色后放回，下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黄色乒乓球的频率 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 0.250 (1)根据表格数据估计从袋中摸出一个球是黄色乒乓球的概率是_____（保留2位小数）； (2)估计袋中白色乒乓球有_____个； (3)甲乙二人相约打乒乓球，并约定：由甲从袋中连续两次摸球（每次摸出后均不放回），若两次都摸到白色乒乓球则甲先发球，否则乙先发球．请用画树状图或列表的方法说明这个约定对双方是否公平． 【答案】(1)0.25 (2)3 【分析】本题考查了频率估算概率，概率的运算，用画树状图或列表法求概率，熟练掌握画树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）根据试验的次数越多，试验的频率就越接近概率寻找即可； （2）利用黄球的概率求出球的总数即可解答； （3）利用列表法求出概率即可． 【详解】（1）解：由题意可得：试验的次数越多，试验的频率就越接近概率； ∵摸球次摸到黄色乒乓球的频率为0.250， ∴根据表格数据从袋中摸出一个球是黄色乒乓球的概率是， 故答案为：； （2）解：总数， 白色乒乓球个数， 故答案为：； (3)公平，理由： 由题意可列出表格为：   第一次第二次 黄 白 白 白 黄 黄白 黄白 黄白 白 白黄 白白 白白 白 白黄 白白 白白 白 白黄 白白 白白 ∴一共有种可能性，其中两次都摸到白色乒乓球共有种情况， ∴， ∴这个约定对双方是公平的． 15．在一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个． (1)第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个小球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率； (2)若规定摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得1分，小聪共摸6次小球（每次摸1个球，摸后放回）得分，问小聪有哪几种摸法，并写出作答过程．（所得结论的格式为；红球摸*次，黄球摸*次，蓝球摸*次） 【答案】(1) (2)小聪共有两种摸法：红球摸0次，黄球摸3次，蓝球摸3次或 红球摸1次，黄球摸1次，蓝球摸4次． 【分析】（1）画出树状图，根据概率公式求解； （2）根据题意列出二元一次方程组，找到符合题意的解即可． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有种可能的结果，其中两次都摸到红球的有2种可能的结果， ． （2）解：设小聪摸到红球有x次，摸到黄球有y次，则摸到蓝球有次． 由题意得： ， 即． ． ∵x，y，均为自然数， ∴当时，， ； 当时， ， ； 当时， ，不符合题意． 小聪共有两种摸法：红球摸0次，黄球摸3次，蓝球摸3次或 红球摸1次，黄球摸1次，蓝球摸4次． ◆题型6 用频率估计概率 16．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中5个黑球．每次从袋中随机摸出一球，记下其颜色后放回袋中，搅匀，称为一次摸球试验．以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表： 摸球试验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 摸出黑球次数 46 487 2506 5008 24996 50007 根据列表，可以估计出n的值是______________． 【答案】10 【分析】大量重复试验中，频率会稳定在概率附近，可利用频率估计概率，再结合概率公式列方程求解n． 【详解】解：∵试验次数足够多时，摸到黑球的频率稳定在摸到黑球的概率附近，观察表格数据可得，摸到黑球的频率稳定于， ∴估计从袋中摸出一个黑球的概率是， ∴可得， 解得． 17．一个不透明的口袋内装有蓝球和红球共6个，它们除颜色外完全相同，小明想通过试验的方法探求红球的个数，他从中任取一个球，记下颜色后放回，记为一次试验．重复这个试验． (1)下表是进行试验时，记录的一些数据： 试验次数（m） 100 200 400 500 600 1500 取出红色球的次数（n） 32 68 134 166 200 499 取出红色球的频率（） 由表格中的信息可得：口袋中有_______个红球； (2)从口袋中随机取出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球，求两个球的颜色能配成紫色的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据试验，估计取出红色球的频率约为，利用频率估计概率，求解即可； （2）根据画树状图法，求概率解答即可． 【详解】（1）解：根据实验，估计取出红色球的频率约为， 故取出红色球的概率约为， 故口袋中有（个）红球； （2）解：根据题意，得有2个红球，4个蓝球，设红球分别表示为，；4个蓝球分别表示为，，，，画树状图如下： 一共有30种等可能性，两个球的颜色能配成紫色的有16种等可能性， 故两个球的颜色能配成紫色的概率是． 18．如图1，在边长为且有内角为的菱形内部有一圆（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，利用计算机进行模拟实验，通过计算机在菱形区域随机投放一个点，并计算该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．由此估计阴影部分面积（各图形的边界均忽略不计）约为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用菱形性质及角求出菱形面积，再根据图2得出点落在圆内的频率，最后利用几何概率公式估算阴影部分面积． 【详解】解：如图， 过点B作于点E， ∴， ∵菱形边长为，且有一个内角为， ∴，， ∴， ∴菱形的面积， 由图2可知，随着实验次数增加，点落在圆中的频率稳定在左右， ∴阴影部分面积约为． ◆题型1 多步随机试验中的概率综合问题 1．有三张扑克牌，如图-1所示，将它们洗匀后背面朝上放在桌上，是圆的四等分点，如图-2，现通过抽取扑克牌的办法玩跑圈游戏，规则如下：若抽取扑克牌牌面上的数字是几，就从图-2中点的位置沿圆弧逆时针方向连续跑过几个圆，第二次跑圈从第一次跑圈结束后的位置上开始，按照规则继续进行． (1)求牌面数字的中位数； (2)若抽牌一次，求从跑到的概率； (3)若无放回连续抽取两次，求两次跑圈后回到点的概率． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，用列表法和画树状图求概率． （1）根据中位数的定义求解即可． （2）先得出抽牌一次，一共有三种等可能结果，其中抽到3后，能从A跑到D，然后根据概率公式计算即可． （3）列出表格，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：从小到大排列为：1，2，3 ∴中位数为：3． （2）解：抽牌一次，一共有三种等可能结果，其中抽到3后，能从A跑到D， 因此（从跑到）． （3）解：列表如下： 1 2 3 1 / 3 4 2 3 / 5 3 4 5 / 一共有六种等可能结果，其中和为4时能回到A点，一共有两种等可能结果 因此（两次跑圈后回到点）． 2．有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张． (1)用列表法或者画树状图法表示所有取牌的可能性； (2)现在甲、乙两人做游戏，目前有三种游戏方案． A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜； B方案：若两次抽得数字之和为奇数则甲胜，否则乙胜； C方案：再拿一张红桃3，改变题目中的规则，现在一次性抽取两张牌，若这两张牌的数字分别是3和4，则甲胜，否则乙胜． 请问甲选择哪种方案获胜概率更高？乙选择哪种方案获胜概率更高？ 【答案】(1) 列表如下： 红桃3 红桃4 黑桃5 红桃3 红桃3，红桃3 红桃4，红桃3 黑桃5，红桃3 红桃4 红桃3，红桃4 红桃4，红桃4 黑桃5，红桃4 黑桃5 红桃3，黑桃5 红桃4，黑桃5 黑桃5，黑桃5 (2)甲选择A方案获胜概率更高；乙选择C方案获胜概率更高 【分析】本题考查用列表法或者画树状图法求概率，游戏公平性； （1）列表找出所有的可能性及符合条件的数量，再求概率即可； （2）分别求出三种方案甲乙的获胜概率，再判断即可． 【详解】（1）略． （2）由（1）可得： 方案：甲获胜概率为，乙获胜概率为， 方案：甲获胜概率为，乙获胜概率为， C方案画树状图如下（C方案不再看花色，因此列表时不再列举花色）： 方案：甲获胜概率为，乙获胜概率为， 故甲选择A方案获胜概率更高；乙选择C方案获胜概率更高． ◆题型2 概率与实际问题的综合应用 3．甲、乙两位同学在“云南美食推荐官”活动中通过层层选拔脱颖而出，但名额有限，只能从两人中选取一人担任，二人通过转盘游戏决定谁来担任．游戏规则如下：两个转盘转出的数字之积为正数则甲来担任，数字之积为负数则乙来担任． (1)用列表法或画树状图法，求所有可能出现的结果总数． (2)转盘应保证游戏的公平性，请问这个游戏中的转盘是否需要重新设计？并说明理由． 【答案】(1)利用画树状图法，可以看出共有6种结果 【分析】（1）利用画树状图法求解即可． （2）利用画树状图法计算概率，比较概率的大小，判断游戏的公平性． 【详解】（1）画树状图如下： 故有6种等可能性． (2) 根据（1）得知，共有6个等可能的结果，其中两个数字的积为正数有3种，为负数的结果有3种， ∴（积为正数），（积为负数）， ∴（积为正数）（积为负数）， ∴这个规则对双方公平，不需要重新设计． 4．春季假期间，刘叔叔领着小明和小刚兄弟俩去商场购物，发现该商场正在进行转盘抽奖活动．规则是：如图1是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成10个扇形），一次购物满500元的顾客可获得一次转转盘抽奖的机会．转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）． 规则表 颜色 红 蓝 黑 奖券金额（元） 20 50 80 (1)转动一次转盘，若指针落在扇形区域，分别求出获得20元和80元奖券的概率； (2)为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？ (3)刘叔叔购买了520元的商品获得了一次转转盘的机会，俩兄弟都想抽奖，于是刘叔叔制作了如图2所示一个可自由转动的转盘，被平均分成5等份，分别涂上红、黄、绿三种颜色，请你帮刘叔叔设计一个公平的游戏规则，使俩兄弟获胜一方参与抽奖． 【答案】(1)他获得20元和80元奖券的概率分别为， (2)需要将3个黄色区域改为红色 【分析】（1）分别确定转动转盘所有的情况数，及转到红色和黑色的次数，根据概率公式计算即可； （2）设需要将个黄色区域改为红色，根据题意列方程解答； （3）将转盘2个扇形涂成红色、2个扇形涂成绿色、1个扇形涂成黄色，转动转盘停止后，若指针指向红色区域，则小明胜；若指针指向绿色区域，则小刚胜；若指向分界线或黄色扇形时重转，直到指向红色或绿色扇形为止． 【详解】（1）解：由题意可知，每转动一次转盘，共有10种等可能的结果，其中红色的有2种，黑色的有1种， 指针指向红色的概率为，指针指向黑色的概率为， 答：他获得20元和80元奖券的概率分别为，； （2）解：设需要将个黄色区域改为红色， 则由题意得，， 解得， 答：需要将3个黄色区域改为红色； (3) 解：将转盘2个扇形涂成红色、2个扇形涂成绿色、1个扇形涂成黄色，转动转盘停止后，若指针指向红色区域，则小明胜；若指针指向绿色区域，则小刚胜；若指向分界线或黄色扇形时重转，直到指向红色或绿色扇形为止． 一、单选题 1．口袋里有除颜色外其余都相同的2个红球、4个白球和6个黑球，从口袋里摸出2个球，若两个都是红球，则甲胜；若两个都是黑球，则乙胜．谁获胜的概率大（     ） A．甲 B．乙 C．甲乙一样大 D．不能确定 【答案】B 【分析】先求总摸球等可能结果数，再求甲、乙各自获胜的结果数并计算概率，最后比较大小即可． 【详解】解：口袋中球的总数为个，从12个球中摸出2个球，所有等可能的结果总数为种， 甲获胜对应摸出2个红球，结果数为种，概率为， 乙获胜对应摸出2个黑球，结果数为种，概率为， ∵， ∴乙获胜的概率更大． 2．现有五张质地均匀，大小完全相同的卡片，在其正面分别标有数字，，0，2，3，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后，不放回，再从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字之和为正数的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画树状图法或列表法，根据题意利用概率计算公式，进行计算即可． 【详解】解：画树状图如下：    由树状图可知，共有20种等可能结果，其中和为正数的有12种结果， 所以和为正数的概率为． 3．关于概率的认识：①事件发生的概率与试验次数有关：②掷10次硬币，结果正面向上出现4次，反面向上出现6次，由此可得正面向上的概率是：③如果事件A发生的概率为，说明做100次这种试验，事件A不可能发生6次．其中正确的个数为（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查概率的基本概念，需区分概率与频率，概率是事件本身固有的属性，是稳定值，与试验次数无关，仅反映事件发生的可能性大小； 【详解】解：∵ 概率不随试验次数改变， ∴ ①错误； ∵ 是本次10次试验中正面向上的频率，不是概率，掷硬币正面向上的概率为， ∴ ②错误； ∵ 概率仅表示事件A发生的可能性大小，做100次试验时，事件A可能发生6次， ∴ ③错误； 4．在一个不透明的袋子中装有1个红球与3个黄球，四个球除颜色外，其它均相同．规则是：小丁同学摸一个球，不放回；小王同学再摸一个球，不放回；小林同学再摸一个球，不放回；小陈同学最后摸走剩余的球．摸到红球的人，可获得电影票一张． 小陈说：我最后一个摸球，获得电影票的概率最小，应该4人同时摸球才公平． 小林说：如果前面3人都没摸到红球，小陈肯定获得电影票，因此小陈获得电影票的概率最大． 小王说：不论同时摸球还是按顺序摸球，每人获得电影票的概率都是． 小丁说：先摸与后摸，获得红球的概率都是，因此这个规则是公平的． 以上4位同学的说法，正确的是（   ） A．小陈与小林 B．小林与小丁 C．小林与小王 D．小王与小丁 【答案】D 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键． 计算四人依次不放回摸球时每人摸到红球的概率，据此解答即可． 【详解】解：总球数4个，红球1个， 则小丁摸到红球的概率为， 小王摸到红球的概率为， 小林摸到红球的概率为 小陈摸到红球的概率为 因此，每人摸到红球概率均为，小王与小丁的说法正确，故选：D． 5．一枚质地均匀的硬币连续抛4次，其中没有两次连续正面向上的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列举法求解概率，当第一次抛的结果是正面向上时，那么第二次抛的结果一定是反面向上，据此讨论第三次抛的结果，进而确定第四次抛的结果；当第一次抛的结果是反面向上时，那么第二次抛的结果可以是反面向上，也可以是正面向上，据此讨论第二次抛的结果，进而确定第三次，第四次抛的结果；最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵一枚质地均匀的硬币连续抛4次，每次抛的结果都有两种， ∴抛4次一共有种结果， 当第一次抛的结果是正面向上时，那么第二次抛的结果一定是反面向上， 若第三次抛的结果为正面向上时，则第四次抛的结果一定是反面向上， 若第三次抛的结果为反面向上时，则第四次抛的结果可以是反面向上，也可以是正面向上， ∴当第一次抛的结果是正面向上，一共有3种结果； 当第一次抛的结果是反面向上时， 若第二次抛的结果是反面向上时，则同理可知此时有3种结果； 若第二次抛的结果为正面向上时，则第三次抛的结果一定是反面向上， 那么第四次抛的结果可以是反面向上，也可以是正面向上，即此时一共有2种结果； 综上所述，没有两次连续正面向上的结果数有种， ∴没有两次连续正面向上的概率为， 故选：C． 二、填空题 6．在一个不透明的袋子中，有除颜色外完全相同的个白球和若干个红球．通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在，由此可估计袋中红球的个数为________． 【答案】16 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复试验后，频率的稳定值可以作为事件发生概率的估计值，根据题意得到等量关系，设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设袋中红球的个数为，则袋中总球数为， 摸到红球的频率稳定在， 摸到红球的概率估计值为， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 可估计袋中红球的个数为． 7．如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球从F出口落出的概率是______________． 【答案】 【分析】画出树状图，根据树状图可知，共有4种等可能的结果，其中小球从F点落出有1种，即可求解． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有4种等可能的结果，其中小球从点落出有1种， ∴小球从点落出的概率是． 8．从1，2，3，4这四个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被6整除的概率是______． 【答案】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果数与这个两位数能被整除的结果数，再代入概率公式计算即可． 【详解】解：由题意画树状图得： 由图可知，共有种等可能的结果，这个两位数能被整除的有种情况， ∴这个两位数能被整除的概率是：． 9．有盲盒甲和盲盒乙，甲每次抽中的概率恒为，乙第一次抽中的概率为，随着次数的增加每次增加，则抽五次后恰好抽中一次概率更大的是___________．（选填“甲”或“乙”或“概率相同”）． 【答案】甲 【分析】分别计算甲五次内恰好抽中一次的概率与乙五次内恰好抽中一次的概率，比较两者大小即可得到结果． 【详解】解∶甲每次抽中概率为，每次抽不中概率为，根据独立重复试验概率公式得， 甲五次内恰好抽中一次的概率为； 乙五次抽中概率依次为，恰好抽中一次的概率为仅一次抽中其余四次不中的概率和， 乙五次内恰好抽中一次的概率为 ， ∴， 抽五次后抽中一次概率更大的是甲． 10．如图，将的边分别延长至点，连接，使得分别为的中点．现随机向内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是_______． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 分别为的中点， ，，，，，， ， ． 三、解答题 11．泰州高港区某社区举办了“垃圾分类，从我做起”主题宣传活动．活动设置了一个转盘游戏：转盘被分成4个面积相等的扇形，上面分别标注“可回收物”“有害垃圾”“厨余垃圾”“其他垃圾”．每位居民转动转盘两次，若两次指针所指垃圾类型相同，即可获得一份奖品． (1)用列表法或画树状图法求某位居民获得奖品的概率； (2)活动当天共有120位居民参与游戏，其中实际有36人获得奖品．请你判断这个结果是否与理论概率相符，并结合概率知识简要分析可能的原因． 【答案】(1) (2)不相符，见解析 【详解】（1）列表： 第一次 可回收物 有害垃圾 厨余垃圾 其他垃圾 可回收物 同 不同 不同 不同 有害垃圾 不同 同 不同 不同 厨余垃圾 不同 不同 同 不同 其他垃圾 不同 不同 不同 同 共16种等可能结果，相同4种，． （2）理论获奖：（人），，不相符；原因：理论概率是在大量重复试验中得到的频率稳定值，120次试验次数相对较少，其结果具有偶然性等． 12．小聪计划周末去天水市博物馆参观，从小聪家到博物馆需要中途转车一次，从家到中转站台有，，，四路车（乘坐此四路车的可能性相同），其中是空调车，到了中转站台后有，，，四路车（乘坐此四路车的可能性相同），其中是空调车． (1)请用树状图或列表的方法表示小聪乘车的所有可能结果； (2)求小聪乘坐的两趟车都是空调车的概率． 【答案】 (2)小聪乘坐的两趟车都是空调车的概率为． 【分析】（１）通过树状图或列表法，将从家到中转站的乘车选择与从中转站到博物馆的乘车选择组合起来，直观展示所有可能的乘车结果即可． （2）在（1）中得到的所有可能结果中，找出两路车都是空调车的结果，再根据概率公式计算其概率即可． 【详解】(1)用列表法表示所有等可能的乘车结果如下： 所以小聪从家到博物馆乘车的所有可能结果有16种． （2）解：由（1）问可知，因为，是空调车，是空调车， 所以两路车都是空调车的结果有，，共2种． 所以小聪从家到博物馆乘坐的两路车都是空调车的概率为． 13．盐城市鹿鸣路初级中学初一年级学生于五月初正式进入西校区，开始了新的学习与生活．为庆祝这一美好的日子，初一（1）班同学在操场上举行了击鼓传花的游戏．甲、乙、丙三位同学在操场上互相传递手中的花环，假设他们相互间传递是等可能的，并且由甲首先开始传递． (1)经过1次传递后，花环传到乙手中的概率是_________； (2)请画树状图或列表求经过2次传递后，花环传到乙手中的概率； (3)猜想并直接写出：经过2022次传递后，传到_________同学手中（填甲、乙、丙）的可能性最大． 【答案】(1) (2) (3)甲 【分析】（1）列举1次传递的所有等可能结果，直接计算概率； （2）通过树状图列出2次传递的所有等可能结果，统计传到乙手中的结果数，计算概率； （3）通过列举前几次传递的结果找规律，判断2022次传递后可能性最大的对象． 【详解】（1）解：∵ 第1次传递从甲出发，有乙、丙2种等可能结果，传到乙手中的结果有1种， ∴ 经过1次传递后，花环传到乙手中的概率为． （2）解：画树状图可得所有等可能结果： 第1次传递：甲→乙，甲→丙； 第2次传递：乙→甲，乙→丙；丙→甲，丙→乙， 共有4种等可能的结果，其中经过2次传递后花环传到乙手中的结果有1种， ∴（传到乙手中）； （3）解：列举前几次传递的结果规律： 传递1次（奇数）：乙、丙可能性相同且最大； 传递2次（偶数）：甲可能性最大； 传递3次（奇数）：乙、丙可能性相同且最大； 传递4次（偶数）：甲可能性最大. 由此可猜想：当传递次数为偶数时，花环在甲手中的可能性最大； 当传递次数为奇数时，花环在乙、丙手中的可能性相同且最大． ∵ 2022是偶数， ∴经过2022次传递后，传到甲同学手中的可能性最大． 14．年全国青少年游泳系列总决赛将于月在西安举行，现有张门票，小华和哥哥准备通过转动转盘的游戏来决定由谁去观赛．如图，可以自由转动的转盘被均匀地分成等份，每份分别标上、、、、五个数字．游戏规则如下：转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的分界线，则重新转动转盘，直到指针指向一个扇形内部为止）． (1)小华转动一次转盘，转到数字的概率为______； (2)小华和哥哥各转动转盘一次，哥哥说：“若指针两次指向的数字之和大于，我去观赛”；小华提出疑问：“我想公平竞争，那么指针两次指向的数字之和要小于多少时，我去观赛？”请帮小华确定游戏规则使得游戏公平，并用列表或画树状图的方法说明理由． 【答案】(1)； (2)若指针两次指向的数字之和小于，小华去观赛；若两次数字之和大于，哥哥去观赛． 【分析】（）直接根据概率计算公式求解即可； （）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，一共有种等可能的结果，指针两次指向的数字之和大于的结果有种，指针两次指向的数字之和小于的结果有种，然后通过概率公式即可求解． 【详解】（1）解：小华转动一次转盘，转到数字的概率为， 故答案为：； （2）解：两人获胜概率相等，因此规则为：若指针两次指向的数字之和小于，小华去观赛；若两次数字之和大于，哥哥去观赛， 列表如下， 一共有种等可能的结果，指针两次指向的数字之和大于的结果有种，指针两次指向的数字之和小于的结果有种， ∴指针两次指向的数字之和大于的概率，指针两次指向的数字之和小于的概率为， ∴游戏公平． 15．某班准备购买“国风书签”和“校徽钥匙扣”作为校园文化节奖品．已知购买1枚国风书签和2个校徽钥匙扣需要8元，购买2枚国风书签和3个校徽钥匙扣需要13元． (1)求每枚国风书签和每个校徽钥匙扣的价格； (2)班委准备用33元全部购买这两种奖品，每种奖品至少买一件． ①写出枚国风书签和个校徽钥匙扣的数量满足的等量关系，并直接写出可能购买方案的个数； ②若从所有可能的购买方案中随机选取一种，直接写出买到的校徽钥匙扣数量多于国风书签数量的概率． 【答案】(1)每枚国风书签的价格为2元，每个校徽钥匙扣的价格为3元； (2)①，符合条件的方案有5个；②买到的校徽钥匙扣数量多于国风书签数量的概率为． 【分析】（1）设每枚国风书签的价格为x元，每个校徽钥匙扣的价格为y元，根据“购买1枚国风书签和2个校徽钥匙扣需要8元，购买2枚国风书签和3个校徽钥匙扣需要13元”列出方程组，解方程组即可； （2）①根据购买m枚国风书签和n个校徽钥匙扣的总费用列出m，n的数量关系，再根据m，n为正整数写出方案； ②根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：设每枚国风书签的价格为x元，每个校徽钥匙扣的价格为y元． 根据题意列方程组：， 解得， 答：每枚国风书签的价格为2元，每个校徽钥匙扣的价格为3元； （2）解：①由（1）可知，国风书签单价2元，校徽钥匙扣单价3元，总费用33元， 可得：， ∴， 因为m，n都是正整数， 所以必须是正偶数， ∴时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，（舍去，因为每种奖品至少买一件）． 所以符合条件的方案有5个； ②校徽钥匙扣数量多于国风书签数量，即， ∴，和，， ∵满足条件的方案有2个，总方案数为5个， ∴概率为：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $