第2章 简单事件的概率全章7大重点题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建概率专项训练体系，系统提炼7类核心方法，形成从基础概念到综合应用的逻辑链条，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心总结|定义公式+列举/树状图/列表法+跨知识转化|从概率定义出发，构建“方法工具→综合应用”推理链条| |题型归纳|7题型（每题型含典例+3变式）|各题型特征+操作步骤（如列举法“列结果-定事件-算概率”）|按“简单列举→图表工具→代数/几何/统计综合”递进| |压轴挑战|12道综合题|分类讨论+数形结合+逻辑推理|融合复杂情境与跨学科知识，提升模型意识与数据观念|

第二章 简单事件的概率 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、列举法求概率 题型2、用树状图和列表法求概率 题型3、代数知识与概率的综合 题型4、游戏公平性问题 题型5、几何概率 题型6、概率公式的应用 题型7、统计与概率的综合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 简单事件的概率问题，要准确把握概率的定义与计算公式，理解等可能事件、随机事件、必然事件与不可能事件的区别；列举法、画树状图和列表法是求概率的常用工具，使用时要做到不重不漏；与代数、几何、统计知识结合时，要善于把问题转化为基本概率模型；游戏公平性问题要通过计算双方获胜概率进行比较与调整；几何概率需借助长度、面积、体积等几何度量之比求解；压轴综合题要注意分类讨论、数形结合以及逻辑推理的严密性． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、列举法求概率 典例1 如图，某城市的道路都是横平竖直的，小明同学家住在A点处，学校在B点处．小明每天上学会随机选择一条最近的道路从A点步行至B点．某一天C点施工无法经过，小明同学并不知情，那么小明能够不绕路的概率是_________． 题型模版 1.特征：利用直接列举、分类列举等方法求简单事件的概率． 2.方法：列出所有等可能结果；确定所求事件包含的结果数；用概率公式 P(A)=m/n 计算． 变式1-1 某市端午赛龙舟，“飞云”与“乘风”两队进行三局两胜的友谊赛．双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，“飞云”队皆占优；但“乘风”队的快速舟可胜“飞云”队的中速舟，中速舟可胜“飞云”队的慢速舟．若“飞云”队按快、中、慢顺序固定出场，“乘风”队随机安排顺序．则“乘风”队获胜的概率为_________． 变式1-2 （25-26九年级上·北京·阶段检测）一个袋中装有偶数个球，其中黑球、白球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，先随机将其中一个球放入甲盒．如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是__________． （2）若乙盒中最终有6个黑球，则袋中原来最少有__________个球． 变式1-3 计数问题是我们经常遇到的一类问题，学会解决计数问题的方法，可以使我们方便快捷，准确无误的得到所要求的结果，下面让我们借助两个问题，了解计数问题中的两个基本原理---加法原理、乘法原理. 问题1.从青岛到大连可以乘坐飞机、火车、汽车、轮船直接到达.如果某一天中从青岛直接到达大连的飞机有3班，火车有4班，汽车有8班，轮船有5班，那么这一天中乘坐某种交通工具从青岛直接到达大连共有 种不同的走法： 问题2.从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有4条路，那么从甲地经过乙地到丙地，共有 种不同的走法： 方法探究 加法原理：一般的，完成一件事有两类不同的方案,在第一类方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法,这是分类加法计数原理;完成一件事需要两个步骤,做第一步有m种不同的方法,做第二步有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法,这就是分步乘法计数原理. 实践应用1 问题3.如图1，图中线段代表横向、纵向的街道，小明爸爸打算从A点出发开车到B点办事(规定必须向北走,或向东走，不走回头路)，问他共有多少种不同的走法？其中从A点出发到某些交叉点的走法数已在图2填出. (1)根据以上原理和图2的提示，算出从A出发到达其余交叉点的走法数，如果将走法数填入图2的空圆中，便可以借助所填数字回答：从A点出发到B点的走法共有 种： (2)根据上面的原理和图3的提示，请算出从A点出发到达B点，并禁止通过交叉点C的走法有 种. (3)现由于交叉点C道路施工,禁止通行．小明爸爸如果任选一种走法,从A点出发能顺利开车到达B点(无返回)概率是 实践应用2 问题4.小明打算用 5种颜色给如下图的5个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色，问共有 种不同的染色方法. 题型2、用树状图和列表法求概率 典例2 （25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，将一枚棋子依次沿正方形的四个顶点，，，，，，，…移动．开始时，棋子位于点处，然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到点处，掷得3点就移动3步到点处……）；接着，以移动后棋子所在的位置为新的起点，再进行同样的操作．在第二次掷子后，棋子回到点处的概率是（   ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：借助树状图或列表法求两步及多步试验的概率． 2.方法：画树状图或列表展示所有等可能结果；标记符合条件的结果；代入概率公式求解并作答． 变式2-1 经过某十字路口的汽车，可能直行，可能向左转，可能向右转，如果这三种可能性大小相同，则三辆汽车经过这个十字路口时，至少有2辆车向左转的概率为______________． 变式2-2 （25-26九年级下·江苏南京·期中）甲、乙、丙3人间相互传球．假设他们相互间传球是等可能的，并且由甲开始传球． (1)经过3次传球后，球在乙手中的概率是多少？请画树状图解决问题． (2)猜想：经过次传球后，球传到甲、乙、丙3人手中的概率之间的大小关系（直接写出结果）． 变式2-3 （25-26九年级上·河北石家庄·期末）一个不透明的袋中装有4个球，分别标有1、2、3、4四个号码，这些球除号码外都相同．甲同学每次从袋中搅匀后任意摸出一个球后再放回，并计划摸取球10次，现已摸取了8次，取出的结果如表所列： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 号码 2 2 4 4 2 1 4 1 若每次取球时，且取出的号码即为得分，请回答下列问题： (1)乙同学说：“甲同学前8次摸球都没有得3分，因此第9次摸球一定得3分．”请分析乙的说法是否正确，说明理由． (2)请求出第1次至第8次得分的平均数． (3)甲同学依计划继续从袋中再取球2次，这两次取球得分之和为a，若发生“这10次得分的平均数不小于，且不大于”的情况， ①a的取值范围是：________； ②请通过列表法或树状图计算发生这种情况的概率． 题型3、代数知识与概率的综合 典例3 有五张正面分别写有数字-4，-3，0，2，3的卡片，五张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则抽取的既能使关于的方程有实数根，又能使以为自变量的二次函数，当时，随的增大而减小的概率为_______． 题型模版 1.特征：概率与方程、不等式、函数等代数知识的综合应用． 2.方法：根据题意建立代数关系；求出满足条件的参数或数值范围；再转化为概率问题计算． 变式3-1 某文具店举行抽奖活动，盒子中装有5支完全相同的中性笔，笔杆上分别刻有数字：．顾客随机抽取一支，记笔上的数字为a，求使得：以x为自变量的正比例函数经过第一、三象限，且关于x的一元二次方程有实数解的概率是_______． 变式3-2 （24-25九年级上·安徽淮南·阶段检测）六个面上分别标有1，1，2，3，3，5六个数字的均匀立方体表面如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标，按照这样的规定，每掷一次该立方体，就能得到平面内一个点的坐标．已知小明前两次得到的两个点能确定一条直线，且这条直线经过点，那么他第三次掷得的点也在这条直线上的概率是_______． 变式3-3 在抛物线中，规定：（1）符号称为该抛物线的“抛物线系数”；（2）如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． 完成下列问题： （1）若一条抛物线的系数是，则此抛物线的函数表达式为 ，当满足 时，此抛物线没有“抛物线三角形”； （2）若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求出抛物线系数为的“抛物线三角形”的面积； （3）在抛物线中，系数均为绝对值不大于的整数，求该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率． 题型4、游戏公平性问题 典例4 （25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，为喜迎五一劳动节，大润发超市特别推出感恩回馈活动．活动期间，顾客累计购物满200元，即可获得一次免费转动幸运转盘的机会，指针指向对应奖项区域，即可赢取相应好礼，多买多转，惊喜不停．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券（转盘被等分成20个扇形）．某顾客购物210元． (1)则他获得购物券的概率是________； (2)他获得哪种购物券的概率最大？并说明理由？ 题型模版 1.特征：通过计算双方获胜概率判断或设计公平游戏规则． 2.方法：分别计算各方获胜概率；比较概率大小判断公平性；通过增减球数、调整区域等方式使概率相等． 变式4-1 （25-26七年级下·山东烟台·期中）春季假期间，刘叔叔领着小明和小刚兄弟俩去商场购物，发现该商场正在进行转盘抽奖活动．规则是：如图1是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成10个扇形），一次购物满500元的顾客可获得一次转转盘抽奖的机会．转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）． 规则表 颜色 红 蓝 黑 奖券金额（元） 20 50 80 (1)转动一次转盘，若指针落在扇形区域，分别求出获得20元和80元奖券的概率； (2)为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？ (3)刘叔叔购买了520元的商品获得了一次转转盘的机会，俩兄弟都想抽奖，于是刘叔叔制作了如图2所示一个可自由转动的转盘，被平均分成5等份，分别涂上红、黄、绿三种颜色，请你帮刘叔叔设计一个公平的游戏规则，使俩兄弟获胜一方参与抽奖． 变式4-2 （25-26七年级下·山东济南·期中）一个不透明的盒子中装有个形状和大小完全一样的乒乓球，分别标有到九个数字，小颖和小明同学进行摸球游戏． (1)从盒子中任意摸出个乒乓球，标有的数字是奇数的概率是多少？ (2)游戏规则：小明从盒子中任意摸出个乒乓球，若乒乓球上标有的数字是的倍数则小明获胜，否则小颖获胜．这个游戏公平吗？请说明理由； (3)现将个乒乓球分别放入甲、乙两个不透明的盒子中，甲中放入标有到数字的乒乓球，乙中放入标有到数字的乒乓球．游戏开始后，小颖从甲或乙盒子中任意摸出一个乒乓球，再将乒乓球上的数字输入下列程序中，若输出数字大于可获得奖励，请帮她计算选择哪个盒子获得奖励的概率更大． 变式4-3 （25-26七年级下·河北保定·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同。小红做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)填空：_____，_____，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为_____．（精确到） (2)某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是_____． A．掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数分别为），落地时面朝上的点数小于； B．某东西向的路口信号灯按绿灯秒、黄灯秒、红灯秒的规律循环，不考虑其他因素，一辆汽车随机行驶到该路口时，遇到红灯或黄灯； C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”． (3)若盒子中一共有个球，小红和小亮用这个盒子来玩游戏，根据试验结果，盒子中有个白球，约定游戏规则：拿出个白球，搅匀后再从盒子里随机摸出一只球，摸到白球小红胜，摸到黑球则小亮胜，这个游戏公平吗？请说明理由． 题型5、几何概率 典例5 （25-26九年级上·浙江宁波·期中）从长度为3、5、7、8的四条线段中任意选三条组成三角形，其中能组成含有角的三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：以几何图形为背景，利用长度、面积、体积比求概率． 2.方法：确定总区域与目标区域的几何度量；计算两者之比；注意边界与等可能性的判断． 变式5-1 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结交、于点、．若平分，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为________． 变式5-2 （25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，A，B是边长为1的小正方形组成的网格上的2个格点，其余的格点中任意放置点C（不包含点A，点B所在的格点），恰好能使构成等腰三角形的概率是______． 变式5-3 如图，给定任意四边形．进行以下操作：第一次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第二次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第三次操作：连接四边形各边中点，得到四边形．现向四边形内部随机投掷一枚飞镖（忽略边界情况），则飞镖命中阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率为_____． 题型6、概率公式的应用 典例6 （25-26七年级下·山东威海·期中）一个口袋里有除颜色外其他都相同的个红球和个白球，先从袋子里取出个白球，再放入个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，则，可能的组合种类数为(   ) A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 题型模版 1.特征：灵活运用概率公式解决摸球、转盘、抽卡片等实际问题． 2.方法：明确试验类型与所有等可能结果；找准目标事件；代入公式并注意放回与不放回的区别． 变式6-1 按小王、小李、小马三位同学的顺序从一个不透明的盒子中随机抽取一张标注“主持人”和两张空白的纸条，确定一位同学主持班级“交通安全教育”主题班会．下列说法中正确的是（    ） A．小王的可能性最大 B．小李的可能性最大 C．小马的可能性最大 D．三人的可能性一样大 变式6-2 （2025九年级下·四川绵阳·学业考试）如图所示两个矩形和，若矩形的周长是矩形的周长的倍，矩形的面积也是矩形的面积的倍，则称为矩形相对于矩形的“共比系数”．若，（，均为正整数），则矩形相对于矩形的“共比系数”为的概率为（    ）． A． B． C． D． 变式6-3 （2025·四川德阳·模拟预测）若自然数使得三个数的加法运算“”产生进位现象，则称为“连加进位数”例如：不是“连加进位数”，因为不产生进位现象；是“连加进位数”，因为产生进位现象；是“连加进位数”，因为产生进位现象．如果从，，，，这个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是（    ） A． B． C． D． 题型7、统计与概率的综合 典例7 某校开展研学前调查，对乌江寨国际旅游度假区（记为A）、洪关太阳坪景区（记为B）、苟坝会议会址（记为C）三个景点进行调研．现从10名同学对三个景点游玩的评分（满分10分），整理并绘制成如下折线统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)下列说法正确的是 （填序号）；①B平均数比C平均数大；②B的中位数为6分；③A的众数为9；④C更稳定； (2)你认为文旅局会从A，B，C三个景点中选择哪家向外来游客推荐？请说明理由（至少一条理由）； (3)本次调研中，有2名来自A景点，2名来自B景点的研学学员获得“优秀文旅宣传员”称号．从4名中随机抽取2名进行研学成果分享，用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名来自同一景点的概率． 题型模版 1.特征：将统计图表、样本估计总体与概率计算相结合的综合问题． 2.方法：从统计图中获取所需数据；用样本特征估计总体；结合列表或树状图计算相关事件概率． 变式7-1 近两年徐州凭借深厚的汉文化底蕴和优质的文旅服务吸引了全国游客．为了解游客对徐州文旅服务的满意度，相关部门在某热门景区随机抽取了部分游客进行问卷调查．调查结果分为四个等级：A类（非常满意）；B类（满意）：C类（基本满意）：D类（不满意）．将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： (1)本次调查共随机抽取了 名游客； (2)请补全条形统计图，并求出扇形统计图中B类所对应的圆心角的度数； (3)若该景区当天接待游客约人，请估计该景区当天对文旅服务评价为“满意”及以上（即A类和B类）的人数； (4)在D类游客中，有2名女游客和2名男游客，现准备从这4人中随机抽取2人进行深度访谈以改进服务，请用列表或画树状图的方法，求抽取的2人恰好是“一女一男”的概率． 变式7-2 年，以“湘超”为主题的文创产品已形成官方统一引领、各赛区特色产品百花齐放、文旅产业深度联动的格局．某文创店内以吉祥物“湘湘”和“超超”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷． 调查问卷 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是（     ）（单选） ．玩偶    ．冰箱贴    ．创意摆件    ．手机挂件 【数据的收集与整理】 数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题： 最喜爱的文创产品的人数条形图 最喜爱的文创产品的人数扇形图 (1)本次抽样调查的样本容量是________，补全条形图； (2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________； 【做出合理估计】 (3)若全校共有名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？ 【解决概率问题】 (4)文创店负责人为了宣传以吉祥物“湘湘”和“超超”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动：在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有，，，（玩偶、冰箱贴、创意摆件、手机挂件），摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率． 变式7-3 为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果按从高到低分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： (1)本次抽样测试的学生人数是______人； (2)图1中的度数是______，并把图2条形统计图补充完整； (3)该县九年级有学生3000名，如果全部参加这次中考体育科目测试，估计B级及以上的人数为______人； (4)测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（24-25九年级上·北京·期末）某疾病由病毒引起，在人群中的发病率（患病人数与总人数的比）为十万分之一，某检测病毒的仪器的准确率为（即如果一个人患病，若使用该仪器诊断此人，则该仪器概率输出阳性，概率输出阴性；反之，如果他没患病，则该仪器概率输出阴性，概率输出阳性），若用该仪器对甲进行诊断，结果显示为阳性，甲确实患这种疾病的概率大约为（    ） A．十万分之一 B．万分之一 C．十分之一 D． 2．向上抛掷质地均匀的骰子，落地时向上的面点数为a （a的可能取值为1，2，3，4，5和6），则关于x的不等式 有大于 5的整数解的概率为（     ） A． B． C． D． 3．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数．若将智慧数从小到大排列，在不超过20的智慧数中，是奇数的概率是（  ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）小李向如图所示的圆形区域内投掷飞镖．已知是等边三角形，D点是弧的中点，则飞镖落在空白部分的概率为_____． 5．去游泳馆游泳，要换拖鞋，如果鞋柜里只剩下尺码相同的4双红色的鞋和3双蓝色的鞋混合放在一起，闭上眼睛随意拿出2只，它们正好是一双的概率为_________． 6．从，，，，，这个数中任意选一个数作为的值，则使关于的方程的解是负数，且关于的一次函数的图象不经过第一象限的概率为_______． 7．已知一个口袋中装有四个除所标数字外其余均完全相同的小球，小球上分别标有，0，1，2四个数，搅匀后一次从中摸出两个小球，将小球上的数分别用a，b表示，将a、b代入方程组，则方程组有解的概率是___________． 8．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例． 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题： （1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率； （2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率． 9．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）一个袋子中装有2个红球、3个白球和2个黄球，每个球除颜色外都相同． (1)小明说“摸出的球要么是红球，要么是白球，要么是黄球，所以摸到红球、白球和黄球的可能性相同，也就是说，P（摸到红球）．” 小华说：“袋中共有7个小球，将2个红球分别编上号码1号和2号，3个白球分别编上号码3号、4号和5号，2个黄球分别编上号码6号和7号，摸出每一个球的可能性相同，共有7种等可能结果．摸到红球可能出现的结果为1号球或2号球，共有2种等可能结果．所以，P（摸到红球）．” 你认为小明和小华的说法谁说得有道理？________． (2)小明和小华一起做游戏，规定：从袋子中随机摸出一个球，摸到白球小明获胜；摸到红球或黄球小华获胜．请你利用概率判断这个游戏是否公平？若这个游戏不公平，指出谁获胜的概率较大；并给出一种调整方案使游戏公平（在袋子中添加或拿出某种颜色球的个数）． 10．（25-26九年级下·福建福州·开学考试）小雅和妈妈参加学校组织的“爱心义卖”活动．妈妈看中了一款标价为30元/件的学习用品．摊主提供两种购买方式： 方式A：直接打七折； 方式B：参与一次抽奖决定折扣．规则如下： 在一个不透明袋子里装有4个除颜色外完全相同的小球，其中红球2个、蓝球2个． 顾客从中随机摸出一个球，不放回，再摸出第二个球．如果两次摸出的球颜色相同，则按标价打六折；如果颜色不同，则按标价打九折． 妈妈觉得“六折很便宜”，于是想选方式B． 请解答下列问题： (1)求妈妈以六折价格买到该学习用品的概率； (2)小雅说：“如果我们要买很多件，其实方式A可能更省钱．”你同意小雅的说法吗？请通过计算说明理由． 11．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）某研究团队进行实验，实验者须从装有1个白球和3个红球的盒子中连续放回地取出2个小球（每个小球除颜色外完全相同），若这2个小球均为白色，则实验成功，反之则向盒子中再放入一个黄色小球，然后继续进行实验直到实验轮数大于n（n为正整数）时实验失败，第i轮实验实验成功的概率记为 (1)求，； (2)直接写出与i的关系（以最简形式）； (3)求证：． 12．（25-26九年级上·河北沧州·期末）图1是一个可以自由转动的均匀转盘，转盘被平均分成了份，每份分别标上，，，．游戏规则如下：自由转动转盘，转盘停止后，指针指向一个数字（如果指针恰好指在分界线上，那么重转一次，直到指针指向某一个数字为止），数字代表边数，数字是几，甲同学就从图2的处开始按顺时针方向跑几个边，第二次跑圈从第一次跑圈结束时的位置开始，按照规则继续进行． (1)若转一次转盘，求从顶点跑到顶点的概率； (2)若转两次转盘，用列表法或画树状图的方法求两次跑完恰好回到处的概率． 13．（2025九年级·全国·专题练习）数学课上，师生进行了摸球试验，袋子中装有编号分别为1，2，3，…，m的小球（除编号外完全相同）． (1)活动一：当时，从中随机摸出1个小球记录编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作．若事件“记录的编号中出现2个相同的编号”是必然事件，则至少需要摸______次． (2)活动二：当时，从中随机摸出1个小球记录编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作． ①若事件“记录的编号中出现2个相同的编号”是必然事件，则至少需要摸______次； ②若事件“记录的编号中出现3个相同的编号”是必然事件，则至少需要摸______次． (3)活动三：从中随机摸出1个小球记录编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作．若事件“记录的编号中出现4个相同的编号”是必然事件，且至少需要摸100次，则袋中有多少个小球？ 14．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）某市教育局对某九年一贯制学校做课堂教学满意度情况督导调研．从该校初中部和小学部各随机抽取20名学生对课堂教学满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．初中部20名学生所评分数的频数分布直方图如图： （数据分成4组：，，，） b．初中部20名学生所评分数在这一组的是： 15．0   8.1   8.2   8.2   8.4   8.5   8.6   8.7   8.8 c．初中部、小学部各20名学生所评分数的平均数、中位数如表： 平均数 中位数 小学部 8.3 8.5 初中部 8.3 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是_________，表中的m值为_________； (2)根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”． ①若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数； ②该学校从被调查的学生中随机抽取三人作为满意度调查访谈对象，所抽取学生的满意度评分情况如下：小明评分9.5分，小强评分8.6分，小琪评分8.2分．实地督导过程中从这3人中随机抽取了2人进行访谈，请求出调查结果一致为“非常满意”的概率． 16．（24-25九年级上·福建厦门·期末）在特定的情境下，某实验指标会从0开始逐渐增大到峰值（最大值），再逐渐减小到16，称该变化过程为过程，0和16分别称为过程的左、右端值． 已知过程的峰值为，小桐对过程设计了“分法”，操作方法如下： ①设置：令； ②分段：借助将过程分三段，且各段均满足：将该段变化过程中的最大值分别减去该段左、右端值，再对所得的差求和，结果等于，举例如下： 若要将过程分三段，依次记为：，，，其中，分别为第一、第二个分点． 对于第一段，假设：，即右端值为段的最大值． （ⅰ）若，峰值不在段内（“段内”指不含端点值），则假设成立，从而过程的第一个分点的值为； （ⅱ）若，峰值在段，则假设不成立，根据②的要求，此时右端值的计算方法为，从而过程的第一个分点的值为． 对于第二段，假设：，即右端值为段的最大值．可依上述推理过程求出第二个分点的值． 这样，按“分法”将过程分三段的同时，也将峰值所在的范围按规则缩小为这三段中的某一段．若对该段按上述方式进行第二次操作（此时，上述操作中的0和16分别调整为该段的左、右端值），则峰值所在的范围可进一步缩小．重复此操作，峰值所在的范围会越来越小． 若小桐用“分法”对过程进行了两次操作后，峰值在包含过程右端值16的这一段，且该段的左端值大于16．根据小桐操作的过程与结果， (1)分别求出第一次操作中两个分点的值；（用含的式子表示） (2)求第二次操作中所设置的；（用含的式子表示） (3)请你用一个整数合理估计峰值，并说明理由； (4)请你判断事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值16的这一段”是否为必然事件，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 简单事件的概率 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、列举法求概率 题型2、用树状图和列表法求概率 题型3、代数知识与概率的综合 题型4、游戏公平性问题 题型5、几何概率 题型6、概率公式的应用 题型7、统计与概率的综合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 简单事件的概率问题，要准确把握概率的定义与计算公式，理解等可能事件、随机事件、必然事件与不可能事件的区别；列举法、画树状图和列表法是求概率的常用工具，使用时要做到不重不漏；与代数、几何、统计知识结合时，要善于把问题转化为基本概率模型；游戏公平性问题要通过计算双方获胜概率进行比较与调整；几何概率需借助长度、面积、体积等几何度量之比求解；压轴综合题要注意分类讨论、数形结合以及逻辑推理的严密性． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、列举法求概率 典例1 如图，某城市的道路都是横平竖直的，小明同学家住在A点处，学校在B点处．小明每天上学会随机选择一条最近的道路从A点步行至B点．某一天C点施工无法经过，小明同学并不知情，那么小明能够不绕路的概率是_________． 【答案】 【分析】先计算出A到B共有多少种走法，然后再计算出从A到C,再由C到B有多少种走法，然后代入概率公式计算即可得出结果. 【详解】解： 先计算出A到B共有多少种走法要向上走两个单位，分成两种情况： 当一次向上走两个单位时，即从4列中选一列，一次向上走2个单位，共有种走法， 当分两次向上走一个单位时，即从4列中选2列，共有种， 所以从从A点到B点共有4+6=10种； 再计算由A到C再到B情况 步骤一从A点到C点，共有3种； 步骤二从C点到B点，共有2种； 所以从A点经过B点再到C点一共种， 所以小明能够不绕路的概率是：. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查的是概率的计算，解决本题的关键是如何分步骤完成这项任务. 题型模版 1.特征：利用直接列举、分类列举等方法求简单事件的概率． 2.方法：列出所有等可能结果；确定所求事件包含的结果数；用概率公式 P(A)=m/n 计算． 变式1-1 某市端午赛龙舟，“飞云”与“乘风”两队进行三局两胜的友谊赛．双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，“飞云”队皆占优；但“乘风”队的快速舟可胜“飞云”队的中速舟，中速舟可胜“飞云”队的慢速舟．若“飞云”队按快、中、慢顺序固定出场，“乘风”队随机安排顺序．则“乘风”队获胜的概率为_________． 【答案】 【分析】先列出“乘风”队所有等可能的出场顺序，再找出“乘风”队获胜的情况，根据概率公式计算结果即可。 【详解】解：“飞云”队出场顺序固定为快、中、慢，设“乘风”队的三种龙舟为快、中、慢，对“乘风”队出场顺序进行排列，共有快中慢、快慢中、慢快中、慢中快、中快慢、中慢快，所有等可能的结果共种， 根据规则，“乘风”队要获得三局两胜，必须满足：“乘风”队慢速舟对“飞云”队快速舟（输一局），“乘风”队快速舟对“飞云”队中速舟（赢一局），“乘风”队中速舟对“飞云”队慢速舟（赢一局），仅有一种排列顺序满足获胜条件，故“乘风”队获胜的概率为． 变式1-2 （25-26九年级上·北京·阶段检测）一个袋中装有偶数个球，其中黑球、白球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，先随机将其中一个球放入甲盒．如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是__________． （2）若乙盒中最终有6个黑球，则袋中原来最少有__________个球． 【答案】 黑 【分析】本题主要考查了推理与论证，训练了学生的逻辑思维能力，有一定难度．根据题意得出取两个球共有四种情况，进而分析得到结论是解题的关键． （1）由题意可知若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的是黑球，由此可得答案； （2）根据题意列出所有取两个球往盒子中放入的情况，然后对每种情况分析即可． 【详解】解：（1）依题意得，若先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．但取出的球都没有放入丙盒，因此先放入甲盒的球不能是白球，只能是黑球． 故答案为黑． （2）由题意得，可知取两个球共有四种情况： ①黑+黑，则乙盒中黑球数加1， ②白+白，则丙盒中白球数加1， ③黑+白（黑球放入甲盒），则乙盒中白球数加1， ④白+黑（白球放入甲盒），则丙盒中黑球数加1． 分析可知，只有当从袋中取出的两个球都是黑球时，乙盒中才会增加一个黑球． 因此，乙盒中最终有6个黑球，说明取出两个黑球的操作发生了6次． 该操作共用去黑球(个)． 因为袋中黑球、白球各占一半， 所以袋中原来最少有个黑球和个白球． 故袋中原来最少有(个)球． 故答案为：． 变式1-3 计数问题是我们经常遇到的一类问题，学会解决计数问题的方法，可以使我们方便快捷，准确无误的得到所要求的结果，下面让我们借助两个问题，了解计数问题中的两个基本原理---加法原理、乘法原理. 问题1.从青岛到大连可以乘坐飞机、火车、汽车、轮船直接到达.如果某一天中从青岛直接到达大连的飞机有3班，火车有4班，汽车有8班，轮船有5班，那么这一天中乘坐某种交通工具从青岛直接到达大连共有 种不同的走法： 问题2.从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有4条路，那么从甲地经过乙地到丙地，共有 种不同的走法： 方法探究 加法原理：一般的，完成一件事有两类不同的方案,在第一类方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法,这是分类加法计数原理;完成一件事需要两个步骤,做第一步有m种不同的方法,做第二步有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法,这就是分步乘法计数原理. 实践应用1 问题3.如图1，图中线段代表横向、纵向的街道，小明爸爸打算从A点出发开车到B点办事(规定必须向北走,或向东走，不走回头路)，问他共有多少种不同的走法？其中从A点出发到某些交叉点的走法数已在图2填出. (1)根据以上原理和图2的提示，算出从A出发到达其余交叉点的走法数，如果将走法数填入图2的空圆中，便可以借助所填数字回答：从A点出发到B点的走法共有 种： (2)根据上面的原理和图3的提示，请算出从A点出发到达B点，并禁止通过交叉点C的走法有 种. (3)现由于交叉点C道路施工,禁止通行．小明爸爸如果任选一种走法,从A点出发能顺利开车到达B点(无返回)概率是 实践应用2 问题4.小明打算用 5种颜色给如下图的5个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色，问共有 种不同的染色方法. 【答案】问题1：20；问题2：12；问题3：（1）35；（2）17；（3）；问题4：240种. 【分析】问题1. 根据一天中乘飞机有3种走法，乘火车有4种走法，乘汽车有8种走法，轮船有5种走法，再由加法原理求解即可， 问题2. 根据乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，再由乘法原理求解即可， 问题3. （1）根据完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法，则到达A点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和．从而计算出从A点到达其余各交叉点的走法数； （2）此题有两种计算方法：方法一是先求从A点到B点，并经过交叉点C的走法数，再用从A点到B点总走法数减去它；方法二是删除与C点紧相连的线段，运用分类加法计数原理，算出从A点到B点并禁止通过交叉点C的走法； （3）结合（1）和（2）的结论，即可求得概率． 问题4. 因为A与其它4个区域都相邻，所以先填A区域，有5种选择；那么B区域，有4种选择；由于C区域与A和B都相邻，所以有3种选择；同理，E区域与A、B、C都相邻，所以有2种选择；而D区域只与A、C、E相邻，不与B相邻，因此可以和B区域同色，所以D区域有2种选择；根据乘法原理可得共有：5×4×3×2×2=240（种）染色方法． 【详解】问题1. 一天中乘飞机有3种走法，乘火车有4种走法，乘汽车有8种走法，轮船有5种走法，每一种走法都可以从青岛直接到达大连，按加法原理，所以共有3+4+8+5=20种不同的走法． 问题2. 因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，按乘法原理，共有 3×2=6种不同的走法． 问题3. （1）∵完成从A点到B点必须向北走，或向东走， ∴到达A点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和，故使用分类加法计数原理，由此算出从A点到达其余各交叉点的走法数，填表如图1． 答：从A点到B点的走法共有35种． （2）方法一：可先求从A点到B点，并经过交叉点C的走法数，再用从A点到B点总走法数减去它，即得从A点到B点，但不经过交叉点C的走法数． 完成从A点出发经C点到B点这件事可分两步，先从A点到C点，再从C点到B点， 使用分类加法计数原理，算出从A点到C点的走法是3种，见图2；算出从C点到B点的走法为6种，见图3，再运用分步乘法计数原理，得到从A点经C点到B点的走法有3×6=18种． ∴从A点到B点但不经过C点的走法数为35-18=17种． 方法二：由于交叉点C道路施工，禁止通行，故视为相邻道路不通，可删除与C点紧相连的线段，运用分类加法计数原理，算出从A点到B点并禁止通过交叉点C的走法有17种．从A点到各交叉点的走法数见图4， ∴从A点到B点并禁止经过C点的走法数为35-18=17种． （3）P（顺利开车到达B点）=． 答：任选一种走法，顺利开车到达B点的概率是． 问题4. 解：乘法原理可得： 5×4×3×2×2=240（种）． 答：共有240种染色方法． 【点睛】此题考查了加法原理与乘法原理．此题难度较大，理解题意，能利用题意中的方法进行计算是解此题的关键，注意利用画图的方法求解比较简单． 题型2、用树状图和列表法求概率 典例2 （25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，将一枚棋子依次沿正方形的四个顶点，，，，，，，…移动．开始时，棋子位于点处，然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到点处，掷得3点就移动3步到点处……）；接着，以移动后棋子所在的位置为新的起点，再进行同样的操作．在第二次掷子后，棋子回到点处的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了树状图或者列表法求概率．要使棋子回到点A处，前两次掷得的点数之和必须为4，8或12．因此，所求事件中可能出现的结果数应该等于两次掷得的点数之和为4的结果数+两次掷得的点数之和为8的结果数+两次掷得的点数之和为12的结果数． 【详解】解：随机地掷一枚质地均匀的骰子两次，所有可能出现的结果如下：       第二次 第一次 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 总共有36种可能的结果，每种结果出现的可能性相同． 要使棋子回到点A处，两次掷得的点数之和必须为4，8或12． 两次掷得的点数之和4的结果有3种：，，； 两次掷得的点数之和为8的结果有5种：，，，，； 两次掷得的点数之和为12的结果有1种：， 所以，使棋子回到点A处的可能结果总共有（种）． 因此，棋子回到点A处的概率为． 故选：C． 题型模版 1.特征：借助树状图或列表法求两步及多步试验的概率． 2.方法：画树状图或列表展示所有等可能结果；标记符合条件的结果；代入概率公式求解并作答． 变式2-1 经过某十字路口的汽车，可能直行，可能向左转，可能向右转，如果这三种可能性大小相同，则三辆汽车经过这个十字路口时，至少有2辆车向左转的概率为______________． 【答案】 【分析】运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数，然后用概率公式解答即可．. 【详解】解：如图：三辆车经过十字路口的情况有27种，至少有两辆车向左转的情况数为7种，    所以概率为：． 故答案为． 【点睛】本题考查的是运用树状图求概率的公式，运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数是解答本题的关键． 变式2-2 （25-26九年级下·江苏南京·期中）甲、乙、丙3人间相互传球．假设他们相互间传球是等可能的，并且由甲开始传球． (1)经过3次传球后，球在乙手中的概率是多少？请画树状图解决问题． (2)猜想：经过次传球后，球传到甲、乙、丙3人手中的概率之间的大小关系（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)当为奇数时，；当为偶数时， 【详解】（1）解：画树状图得： ， 经过3次传球后，球在乙手中的概率是； 故答案为：； （2）解：经过2次传球后，画树状图为： 经过2次传球后，球在甲手中的概率是；球在乙手中的概率是；球在丙手中的概率是； 由（1）可得经过3次传球后，球在甲手中的概率是；球在乙手中的概率是；球在丙手中的概率是； 经过4次传球后，画树状图为： 经过4次传球后，球在甲手中的概率是；球在乙手中的概率是；球在丙手中的概率是； 根据上面的规律发现，由于从甲开始传球，奇数次时乙丙的可能性一样，且比甲多；偶数次时，乙丙的可能性一样，且比甲少； ∴当为奇数时，；当为偶数时，． 变式2-3 （25-26九年级上·河北石家庄·期末）一个不透明的袋中装有4个球，分别标有1、2、3、4四个号码，这些球除号码外都相同．甲同学每次从袋中搅匀后任意摸出一个球后再放回，并计划摸取球10次，现已摸取了8次，取出的结果如表所列： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 号码 2 2 4 4 2 1 4 1 若每次取球时，且取出的号码即为得分，请回答下列问题： (1)乙同学说：“甲同学前8次摸球都没有得3分，因此第9次摸球一定得3分．”请分析乙的说法是否正确，说明理由． (2)请求出第1次至第8次得分的平均数． (3)甲同学依计划继续从袋中再取球2次，这两次取球得分之和为a，若发生“这10次得分的平均数不小于，且不大于”的情况， ①a的取值范围是：________； ②请通过列表法或树状图计算发生这种情况的概率． 【答案】(1)乙同学的说法错误．理由：摸球共有四种可能，每种可能性相同，摸到3为其中一种可能，故得3分的概率为，故乙同学的说法错误． (2) (3)①；②． 【分析】本题主要考查了列表法求概率、算术平均数的计算、一元一次不等式组的应用等知识点，根据题意正确列出表格是解题的关键． （1）由于有四种球，因此每次摸到3为其中一种可能，虽然前8次都没有摸到3，但是第9次也不可能一定摸到3，据此即可解答； （2）根据算术平均数的计算公式求解即可； （3）①根据题意列出关于a的不等式组，再解不等式组即可；②先根据题意列出表格，然后根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：第1次至第8次得分的平均数为． （3）解：①根据题意得：， 解得：． 故答案为：． ②列表得 第10次     第9次 1 2 3 4 1 2 3 4 ∵最后两次摸球得分共有16种情况，每种情况可能性相同，符合要求的共有6种情况， ∴发生这种情况的概率． 题型3、代数知识与概率的综合 典例3 有五张正面分别写有数字-4，-3，0，2，3的卡片，五张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则抽取的既能使关于的方程有实数根，又能使以为自变量的二次函数，当时，随的增大而减小的概率为_______． 【答案】 【分析】根据方程有实数根列出关于n的不等式，再根据二次函数的图象列出关于n的不等式，从而求出n的取值范围，找出符合条件的整数解，最后根据概率公式进行计算即可． 【详解】有实数根， ， ∴， ， 又， 对称轴为：， 时，随增大而减小， ， 综上， 可取0，2， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查二次函数的性质及概率公式，得到满足条件的n的情况数是解决本题的关键． 题型模版 1.特征：概率与方程、不等式、函数等代数知识的综合应用． 2.方法：根据题意建立代数关系；求出满足条件的参数或数值范围；再转化为概率问题计算． 变式3-1 某文具店举行抽奖活动，盒子中装有5支完全相同的中性笔，笔杆上分别刻有数字：．顾客随机抽取一支，记笔上的数字为a，求使得：以x为自变量的正比例函数经过第一、三象限，且关于x的一元二次方程有实数解的概率是_______． 【答案】 【分析】先根据正比例函数经过第一、三象限求出a的取值范围，再根据一元二次方程有实数解求出a的取值范围，找出同时满足两个条件的a值，最后利用概率公式求解． 【详解】解： 正比例函数经过第一、三象限， ， ， 一元二次方程有实数解， 且， ， ， 且， 笔上的数字为， 符合条件的a值只有， 所求概率为． 变式3-2 （24-25九年级上·安徽淮南·阶段检测）六个面上分别标有1，1，2，3，3，5六个数字的均匀立方体表面如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标，按照这样的规定，每掷一次该立方体，就能得到平面内一个点的坐标．已知小明前两次得到的两个点能确定一条直线，且这条直线经过点，那么他第三次掷得的点也在这条直线上的概率是_______． 【答案】 【分析】本题考查概率的求法与运用，正方体的相对面，一次函数，掌握相关知识是解决问题．如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率（A）．首先得出总共有多少个点，然后通过计算找出满足条件的点，再根据概率公式求解． 【详解】解：由题意知：每掷一次可能得到6个点的坐标是（其中有两个点是重合的） ，，，，，， 通过描点，可以发现，过，，三点在同一直线上， 验证：设经过，的直线为，代入两点坐标得： 解得， 则解析式为， 当时，， 即直线经过， 同理可求经过，和，的直线都是， 即过，，三点中的任意两点所确定的直线都经过点， ∴小明第三次掷得的点也在直线上的概率是． 故答案为：． 变式3-3 在抛物线中，规定：（1）符号称为该抛物线的“抛物线系数”；（2）如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． 完成下列问题： （1）若一条抛物线的系数是，则此抛物线的函数表达式为 ，当满足 时，此抛物线没有“抛物线三角形”； （2）若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求出抛物线系数为的“抛物线三角形”的面积； （3）在抛物线中，系数均为绝对值不大于的整数，求该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率． 【答案】（1）y=-x2+m;m≤0；（2）抛物线系数为的“抛物线三角形”的面积=，抛物线系数为的“抛物线三角形”的面积=；（3）该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率=． 【分析】（1）由一条抛物线的系数是，可得，-10抛物线开口向下，当抛物线的顶点在原点（0，0）或x轴下方时即可求出； （2）设抛物线与x的另一交点为A，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与x轴交于E，由等腰直角三角形性质OE=AE=DE,即OA=2ED，抛物线顶点D，A(-b,0)，则，可求，分两种情况分别求出抛物线，再求抛物线三角形面积即可 （3）系数均为绝对值不大于的整数，，，，一共有18种可能情况， 或抛物线为或，EH=2，GF=1，EH=2GF，△EFH为等腰直角三角形，能构成等腰直角三角形的只有两种情况，利用概率公式可求． 【详解】解：（1）∵一条抛物线的系数是， ， -10抛物线开口向下，当抛物线的顶点在原点（0，0）或x轴下方时，此抛物线没有“抛物线三角形”， 当满足 m≤0  时，此抛物线没有“抛物线三角形”， 故答案为：y=-x2+m;m≤0； （2）抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，设抛物线与x的另一交点为A，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与x轴交于E， 由等腰直角三角形性质有：OE=AE=DE,即OA=2ED， ， 抛物线顶点D，A(-b,0)， ∴OA=，DE=， 则=2×， ∴， ， ，不存在三角形，舍去， ∴， ， 当， 抛物线系数为，抛物线为， 当y=0，， 顶点坐标，与x轴的交点为（2，0），（3，0）， 抛物线系数为的“抛物线三角形”的面积=， 当， 抛物线系数为，抛物线为， 顶点坐标，与x轴的交点为（6，0），（-1，0）， 抛物线系数为的“抛物线三角形”的面积=， （3）系数均为绝对值不大于的整数，，，， 一共有18种可能情况，其中抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形分类考虑， ①一次项系数为0，或， 抛物线为，或EH=2，GF=1，EH=2GF， ∴三角形EFH为等腰直角三角形， ，，，没有抛物线三角形 ②系数都不为0，，，，，，，，， ，△=5，x=,EH=,GF=，EH≠2GF，不是， ③常数项为0，，，都不能构成， 其它也没有抛物线三角形 为此能构成等腰直角三角形的只有两种， 该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率=． 【点睛】 本题考查抛物线的性质，抛物线的顶点式与两轴的交点，等腰直角三角形的性质，抛物线三角形面积，概率，掌握抛物线的性质，抛物线的顶点式与两轴的交点，等腰直角三角形的性质，抛物线三角形面积，会利用树状图求概率是解题关键． 题型4、游戏公平性问题 典例4 （25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，为喜迎五一劳动节，大润发超市特别推出感恩回馈活动．活动期间，顾客累计购物满200元，即可获得一次免费转动幸运转盘的机会，指针指向对应奖项区域，即可赢取相应好礼，多买多转，惊喜不停．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券（转盘被等分成20个扇形）．某顾客购物210元． (1)则他获得购物券的概率是________； (2)他获得哪种购物券的概率最大？并说明理由？ 【答案】(1) (2)他获得20元购物券的概率最大 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）由概率公式求出分别获得50元、30元、20元的购物券的概率，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，他获得购物券的概率是； （2）解：他获得20元购物券的概率最大，理由如下： ∵指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券， ∴获得50元的概率，获得30元的概率，获得20元的概率， ∵， ∴他获得20元购物券的概率最大． 题型模版 1.特征：通过计算双方获胜概率判断或设计公平游戏规则． 2.方法：分别计算各方获胜概率；比较概率大小判断公平性；通过增减球数、调整区域等方式使概率相等． 变式4-1 （25-26七年级下·山东烟台·期中）春季假期间，刘叔叔领着小明和小刚兄弟俩去商场购物，发现该商场正在进行转盘抽奖活动．规则是：如图1是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成10个扇形），一次购物满500元的顾客可获得一次转转盘抽奖的机会．转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）． 规则表 颜色 红 蓝 黑 奖券金额（元） 20 50 80 (1)转动一次转盘，若指针落在扇形区域，分别求出获得20元和80元奖券的概率； (2)为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？ (3)刘叔叔购买了520元的商品获得了一次转转盘的机会，俩兄弟都想抽奖，于是刘叔叔制作了如图2所示一个可自由转动的转盘，被平均分成5等份，分别涂上红、黄、绿三种颜色，请你帮刘叔叔设计一个公平的游戏规则，使俩兄弟获胜一方参与抽奖． 【答案】(1)他获得20元和80元奖券的概率分别为， (2)需要将3个黄色区域改为红色 (3) 解：将转盘2个扇形涂成红色、2个扇形涂成绿色、1个扇形涂成黄色，转动转盘停止后，若指针指向红色区域，则小明胜；若指针指向绿色区域，则小刚胜；若指向分界线或黄色扇形时重转，直到指向红色或绿色扇形为止． 【分析】（1）分别确定转动转盘所有的情况数，及转到红色和黑色的次数，根据概率公式计算即可； （2）设需要将个黄色区域改为红色，根据题意列方程解答； （3）将转盘2个扇形涂成红色、2个扇形涂成绿色、1个扇形涂成黄色，转动转盘停止后，若指针指向红色区域，则小明胜；若指针指向绿色区域，则小刚胜；若指向分界线或黄色扇形时重转，直到指向红色或绿色扇形为止． 【详解】（1）解：由题意可知，每转动一次转盘，共有10种等可能的结果，其中红色的有2种，黑色的有1种， 指针指向红色的概率为，指针指向黑色的概率为， 答：他获得20元和80元奖券的概率分别为，； （2）解：设需要将个黄色区域改为红色， 则由题意得，， 解得， 答：需要将3个黄色区域改为红色； （3）略 变式4-2 （25-26七年级下·山东济南·期中）一个不透明的盒子中装有个形状和大小完全一样的乒乓球，分别标有到九个数字，小颖和小明同学进行摸球游戏． (1)从盒子中任意摸出个乒乓球，标有的数字是奇数的概率是多少？ (2)游戏规则：小明从盒子中任意摸出个乒乓球，若乒乓球上标有的数字是的倍数则小明获胜，否则小颖获胜．这个游戏公平吗？请说明理由； (3)现将个乒乓球分别放入甲、乙两个不透明的盒子中，甲中放入标有到数字的乒乓球，乙中放入标有到数字的乒乓球．游戏开始后，小颖从甲或乙盒子中任意摸出一个乒乓球，再将乒乓球上的数字输入下列程序中，若输出数字大于可获得奖励，请帮她计算选择哪个盒子获得奖励的概率更大． 【答案】(1) (2) 解：游戏不公平，理由如下： 由（）可知，标有的数字是奇数的概率是，所以标有的数字是偶数的概率是，即小明获胜的概率是，小颖获胜的概率是，故小颖获胜的概率大于小明获胜的概率，所以游戏不公平； (3)乙盒子获得奖励的概率更大 【分析】（）根据概率公式解答即可求解； （）分别求出两人获胜的概率即可判断求解； （）分别求出甲、乙两个盒子获得奖励的概率即可判断求解； 本题考查了概率，游戏的公平性，掌握概率计算公式是解题的关键． 【详解】（1）解：从盒子中任意摸出个乒乓球，共有种结果，其中数字是奇数的结果有种， ∴标有的数字是奇数的概率是； （2）略 （3）解：由程序可知，当输入数字，，，，时，甲盒子输出的结果为：，，，，； 当输入数字，，，时，乙盒子输出的结果为：，，，； 甲盒子输出的结果共有种，其中输出数字大于的结果有种，获得奖励的概率为；乙盒子输出的结果共有种，其中输出数字大于的结果有种，获得奖励的概率为， ∵， ∴乙盒子获得奖励的概率更大． 变式4-3 （25-26七年级下·河北保定·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同。小红做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)填空：_____，_____，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为_____．（精确到） (2)某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是_____． A．掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数分别为），落地时面朝上的点数小于； B．某东西向的路口信号灯按绿灯秒、黄灯秒、红灯秒的规律循环，不考虑其他因素，一辆汽车随机行驶到该路口时，遇到红灯或黄灯； C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”． (3)若盒子中一共有个球，小红和小亮用这个盒子来玩游戏，根据试验结果，盒子中有个白球，约定游戏规则：拿出个白球，搅匀后再从盒子里随机摸出一只球，摸到白球小红胜，摸到黑球则小亮胜，这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)A (3)不公平，理由如下： ∵拿出个白球，那盒子中现在一共有球（个），现有白球（个），黑球（个）， ∴搅匀后再从盒子里随机摸出一只球，小红胜的概率为，小亮胜的概率为， ∵， ∴游戏不公平． 【分析】（1）运用频率频数总数可得的值，再根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值求解即可； （2）求出A、B、C三个选项中事件发生的概率即可求解； （3）根据题意求出现有球的个数、白球和黑球的个数，分别求出小红、小亮胜的概率，对比后即可求解． 【详解】（1）由题意得，，， 由表格可知，随着试验次数的增加，摸到白球频率逐步稳定在附近， 故从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为； （2）A.掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数分别为），落地时面朝上的点数小于的概率为，，故符合题意； B.某东西向的路口信号灯按绿灯秒、黄灯秒、红灯秒的规律循环，不考虑其他因素，一辆汽车随机行驶到该路口时，遇到红灯或黄灯的概率为，，故不符合题意； C.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，，故不符合题意； （3）略 题型5、几何概率 典例5 （25-26九年级上·浙江宁波·期中）从长度为3、5、7、8的四条线段中任意选三条组成三角形，其中能组成含有角的三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从4条线段中任选3条，共4种组合，但只有3种能组成三角形，对于每种三角形，利用三角函数和勾股定理验证是否可能含有角，最后用能组成含有角的三角形的情况数量除以4即可； 【详解】解：∵从4条线段中任选3条，有4种组合：；；；， 其中中，不能组成三角形， ∴能组成三角形的有3种：、、， 对于，过点作的垂线交于点， ∵， ∴只有，则， ∴， ∴， 与矛盾， ∴不能组成含有角的三角形； 对于，过点作的垂线交于点， ∵， ∴只有，则， ∴， ∴， ∴能组成含有角的三角形； 对于，过点作的垂线交于点， ∵， ∴只有，则， ∴， ∴， ∴能组成含有角的三角形； ∴能组成含有角的三角形有2种， ∴所求概率为； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、三角函数、勾股定理、概率等知识，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 题型模版 1.特征：以几何图形为背景，利用长度、面积、体积比求概率． 2.方法：确定总区域与目标区域的几何度量；计算两者之比；注意边界与等可能性的判断． 变式5-1 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结交、于点、．若平分，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为________． 【答案】//0.25 【分析】求出阴影部分的面积与正方形面积的比值，即可得到针尖落在阴影区域的概率． 【详解】解：如图，连接EG交BD于点P， ∵平分， ∴ ∠ADE＝∠MDE ∵四边形EFGH是正方形 ∴∠MED＝90°， ∴∠AED＝180°－∠MED＝90° ∴∠MED＝∠AED ∵DE＝DE ∴△ADE≌△MDE（ASA） ∴AE＝ME 同理可证△BGC≌△BGN（ASA）， ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ADM＝45° ∴∠ADE＝∠MDE＝22.5° ∴∠EMD＝90°－∠ADE＝67.5° ∵∠MEG＝45° ∴∠MPE＝180°－∠EMD－∠MEG＝67.5° ∴∠EMD＝∠MPE ∴EM＝EP 设EM＝EP＝x，则EG＝2EP＝2x 在Rt△EFG中，∠EFG＝45°， ∴FG＝EG×sin45°＝ ∵△BFA≌△AED≌△CGB ∴BF＝AE＝CG＝x,BG＝BF＋FG＝，△BFA≌△AED≌△CGB≌△NBG≌△MED， 在Rt△BCG中， ∴＝ ∴ ∴针尖落在阴影区域的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的面积、直角三角形的面积等知识点，求出阴影面积与正方形的面积的比是解答此题的关键． 变式5-2 （25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，A，B是边长为1的小正方形组成的网格上的2个格点，其余的格点中任意放置点C（不包含点A，点B所在的格点），恰好能使构成等腰三角形的概率是______． 【答案】 【分析】在图中找出顶点C使其能构成等腰三角形，由概率的定义可求出答案． 【详解】解：如图所示，一共有23个符合条件的点，其中能与点A，点B构成等腰三角形的顶点C有9个， 所以恰好能使构成等腰三角形的概率为． 变式5-3 如图，给定任意四边形．进行以下操作：第一次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第二次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第三次操作：连接四边形各边中点，得到四边形．现向四边形内部随机投掷一枚飞镖（忽略边界情况），则飞镖命中阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率为_____． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，三角形中位线定理以及中点四边形的性质．根据中点四边形的性质以及三角形中位线定理得出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的中位线， ∴，， ∴， 同理， ∴， 同理， ∴， ∴， 同理，， ∴飞镖命中阴影区域的概率为． 故答案为：． 题型6、概率公式的应用 典例6 （25-26七年级下·山东威海·期中）一个口袋里有除颜色外其他都相同的个红球和个白球，先从袋子里取出个白球，再放入个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，则，可能的组合种类数为(   ) A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】C 【分析】先根据概率公式列出等式，整理得到关于的不定方程，根据为非负整数、不超过原有白球数，找出所有符合条件的组合，计算组合数即可． 【详解】解：∵ 原有红球个，白球个，取出个白球，放入个红球后， 红球数量为 ，总球数量为 ， 由题意得 ， 整理得 ， ∵ ，，且(原有白球仅个)，均为整数， ∴ ，得 ，且 为偶数，故必为偶数， ∴ 的可取值为 ，对应均为非负整数，共种组合． 题型模版 1.特征：灵活运用概率公式解决摸球、转盘、抽卡片等实际问题． 2.方法：明确试验类型与所有等可能结果；找准目标事件；代入公式并注意放回与不放回的区别． 变式6-1 按小王、小李、小马三位同学的顺序从一个不透明的盒子中随机抽取一张标注“主持人”和两张空白的纸条，确定一位同学主持班级“交通安全教育”主题班会．下列说法中正确的是（    ） A．小王的可能性最大 B．小李的可能性最大 C．小马的可能性最大 D．三人的可能性一样大 【答案】D 【分析】先分析小王抽到空白纸条和“主持人”纸条的可能性，再在小王抽到空白纸条的基础上分析小李抽到“主持人”纸条的可能性，注意小李如果没有抽到主持人，则小马必然抽到“主持人”，由此可以求出三人抽到“主持人”的可能性． 【详解】解：小王先抽，小王可能抽到“主持人”，也可能抽到空白纸条，则分为两种情况： 小王抽到“主持人”可能性为， 小王抽到空白纸条的可能性为：，在此基础上，小李抽取情况分为抽到“主持人”或抽到空白纸条， 抽取“主持人”可能性为：， 抽取空白纸条可能性为：（当此种情况出现时，则小李必抽到“主持人”）， 故小李抽到“主持人”的可能性为：， 小马抽到“主持人”的可能性为：， 故选：D． 【点睛】本题考查概率计算，能够根据事件分析出某个事件发生的概率是解决本题的关键． 变式6-2 （2025九年级下·四川绵阳·学业考试）如图所示两个矩形和，若矩形的周长是矩形的周长的倍，矩形的面积也是矩形的面积的倍，则称为矩形相对于矩形的“共比系数”．若，（，均为正整数），则矩形相对于矩形的“共比系数”为的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率公式、一元二次方程等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据题意建立关于、的式子，消去，得到关于和的式子，进而可以看成关于的一元二次方程有两个正根问题，再将代入验证即可． 【详解】解：根据题意可得，， 可以把和看成一元二次方程的两个正根， ， 整理得， ，（，均为正整数）， 、2、3、4、5，、9、10， 当，时，，符合题意； 当，时，，符合题意； 当，时，，符合题意； 当，时，，符合题意； 当，时，，符合题意； 当，时，，符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 共有15组，符合题意的有7组， 矩形相对于矩形的“共比系数”为的概率为， 故选：C． 变式6-3 （2025·四川德阳·模拟预测）若自然数使得三个数的加法运算“”产生进位现象，则称为“连加进位数”例如：不是“连加进位数”，因为不产生进位现象；是“连加进位数”，因为产生进位现象；是“连加进位数”，因为产生进位现象．如果从，，，，这个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查概率，根据题意筛选出符合条件的情况数目是解题的关键．设的个位数字为，十位数字为，根据“连加进位数”的定义得到n不是进位数当且仅当且，从而得到非进位数有12个，则从0到99中进位数有个，即可求出概率． 【详解】解：设的个位数字为，十位数字为， 个位无进位需（此时个位和分别为）， ∵个位无进位时十位数字均为b， ∴个位无进位时十位数字的和为， ∴十位无进位需，即， ∴ n不是进位数当且仅当且， ∴非进位数有：时，；时，；时，；时，，共12个， ∴从0到99中进位数有个， ∴概率为， 故选：A． 题型7、统计与概率的综合 典例7 某校开展研学前调查，对乌江寨国际旅游度假区（记为A）、洪关太阳坪景区（记为B）、苟坝会议会址（记为C）三个景点进行调研．现从10名同学对三个景点游玩的评分（满分10分），整理并绘制成如下折线统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)下列说法正确的是 （填序号）；①B平均数比C平均数大；②B的中位数为6分；③A的众数为9；④C更稳定； (2)你认为文旅局会从A，B，C三个景点中选择哪家向外来游客推荐？请说明理由（至少一条理由）； (3)本次调研中，有2名来自A景点，2名来自B景点的研学学员获得“优秀文旅宣传员”称号．从4名中随机抽取2名进行研学成果分享，用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名来自同一景点的概率． 【答案】(1)③ (2)解：推荐A景点（乌江寨国际旅游度假区）；理由如下： A景点的平均分最高，游客满意度最高，方差最小，评价最稳定； (3) 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数和方差的意义进行判断即可； （2）根据平均数相同，方差小的进行推荐即可； （3）根据题意画出表格得出所有等情况数，找出选出的2名来自同一景点的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：A景点的众数是9；平均数为， 方差为 ； B景点：中位数：； 平均数： 方差： ， C景点：平均分： ， 方差： 所以，①B平均数比C平均数小，故①错误； ②B的中位数为6.5分，故②错误； ③A的众数为9分，故③正确； ④A比C更稳定，故④错误； 所以，正确的序号是③； （2）略 （3）解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有12种等可能结果，其中恰好抽到2名来自同一景点有4种情况，设恰好抽到2名来自同一景点记为事件A；则：． 答：恰好抽到2名来自同一景点的概率为． 题型模版 1.特征：将统计图表、样本估计总体与概率计算相结合的综合问题． 2.方法：从统计图中获取所需数据；用样本特征估计总体；结合列表或树状图计算相关事件概率． 变式7-1 近两年徐州凭借深厚的汉文化底蕴和优质的文旅服务吸引了全国游客．为了解游客对徐州文旅服务的满意度，相关部门在某热门景区随机抽取了部分游客进行问卷调查．调查结果分为四个等级：A类（非常满意）；B类（满意）：C类（基本满意）：D类（不满意）．将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： (1)本次调查共随机抽取了 名游客； (2)请补全条形统计图，并求出扇形统计图中B类所对应的圆心角的度数； (3)若该景区当天接待游客约人，请估计该景区当天对文旅服务评价为“满意”及以上（即A类和B类）的人数； (4)在D类游客中，有2名女游客和2名男游客，现准备从这4人中随机抽取2人进行深度访谈以改进服务，请用列表或画树状图的方法，求抽取的2人恰好是“一女一男”的概率． 【答案】(1) (2)， (3)人 (4) 【分析】（1）利用A类所占人数除以其所占百分比，即可得到抽取总人数； （2）利用总人数算出B类人数，补全条形统计图即可；再利用乘以B类所占比，即可得到圆心角； （3）利用乘以该景区当天对文旅服务评价为“满意”及以上（即A类和B类）的人数的占比，即可解题； （4）画树状图得出共有种等可能的结果数，其中抽取的2人恰好是“一女一男”的结果有种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：，即本次调查共随机抽取了名游客； （2）B类的人数为（名）， B类所对应的圆心角的度数为； （3）解：（人） 即估计该景区当天对文旅服务评价为“满意”及以上（即A类和B类）的人数为人； （4）解：画树状图如下： 由图可知，共有种等可能的结果，抽取的2人恰好“一女一男”的结果有种， ∴抽取的2人恰好是“一女一男”的概率为． 变式7-2 年，以“湘超”为主题的文创产品已形成官方统一引领、各赛区特色产品百花齐放、文旅产业深度联动的格局．某文创店内以吉祥物“湘湘”和“超超”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷． 调查问卷 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是（     ）（单选） ．玩偶    ．冰箱贴    ．创意摆件    ．手机挂件 【数据的收集与整理】 数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题： 最喜爱的文创产品的人数条形图 最喜爱的文创产品的人数扇形图 (1)本次抽样调查的样本容量是________，补全条形图； (2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________； 【做出合理估计】 (3)若全校共有名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？ 【解决概率问题】 (4)文创店负责人为了宣传以吉祥物“湘湘”和“超超”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动：在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有，，，（玩偶、冰箱贴、创意摆件、手机挂件），摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率． 【答案】(1)； ； (2)； (3)名； (4)． 【分析】（1）用喜爱冰箱贴的人数除以它所占的比例即可，再求出喜爱玩偶的人数，然后补全条形统计图； （2）用度乘以喜爱“玩偶”的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （4）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）， 喜欢玩偶的人数：（名），即可补全条形图，条形图略； （2）“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是：； （3）（名）； （4）树状图如下： 共有种等可能的结果，其中甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的结果数为， 所以甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率． 变式7-3 为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果按从高到低分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： (1)本次抽样测试的学生人数是______人； (2)图1中的度数是______，并把图2条形统计图补充完整； (3)该县九年级有学生3000名，如果全部参加这次中考体育科目测试，估计B级及以上的人数为______人； (4)测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率． 【答案】(1)40 (2)， 补全条形统计图如下： (3)1350 (4) 【分析】（1）用B级的人数除以B级的占比可得出本次抽样测试的学生人数； （2）求出级的占比，可得级的占比，再乘以可得的度数；用总人数乘以级占比得到级人数，再补全条形统计图即可； （3）用样本估计总体即可； （4）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：（人）， 所以，本次抽样测试的学生人数是40人； （2）解：级的占比为， 级的占比为：， ∴； 级人数为：（人）， （3）解：（人）， 所以，B级及以上的人数为1350人； （4）解：根据题意列表如下： E F G H E E，F E，G E，H F F，E F，G F，H G G，E G，F G，H H H，E H，F H，G 由图表可知：共12种等可能的结果，其中选中小明的结果有6种， ∴选中小明的概率． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（24-25九年级上·北京·期末）某疾病由病毒引起，在人群中的发病率（患病人数与总人数的比）为十万分之一，某检测病毒的仪器的准确率为（即如果一个人患病，若使用该仪器诊断此人，则该仪器概率输出阳性，概率输出阴性；反之，如果他没患病，则该仪器概率输出阴性，概率输出阳性），若用该仪器对甲进行诊断，结果显示为阳性，甲确实患这种疾病的概率大约为（    ） A．十万分之一 B．万分之一 C．十分之一 D． 【答案】B 【分析】本题考查条件概率的实际应用，根据患病人群和健康人群中出现阳性的情况，求出实际发病率，再结合发病率与仪器准确率以及概率公式求解即可． 【详解】解： ， ∴甲确实患这种疾病的概率大约为万分之一， 故选：B． 2．向上抛掷质地均匀的骰子，落地时向上的面点数为a （a的可能取值为1，2，3，4，5和6），则关于x的不等式 有大于 5的整数解的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先整理原不等式，再逐个代入a的所有可能取值，求解后判断是否存在大于5的整数解，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：整理原不等式，移项通分得：， 化简得，变形为， ∵a的可能取值为1,2,3,4,5,6，逐个判断： 当时，不等式变为，解得，没有大于5的整数解，不符合要求； 当时，不等式变为，解得，存在大于5的整数解，符合要求； 当时，不等式变为，解得或，存在大于5的整数解，符合要求； 当时，不等式变为，解得或，存在大于5的整数解，符合要求； 当时，不等式变为，解得或，存在大于5的整数解，符合要求； 当时，不等式变为，解得或，存在大于5的整数解，符合要求； 综上，符合要求的a共5种，总共有6种等可能结果， ∴概率． 3．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数．若将智慧数从小到大排列，在不超过20的智慧数中，是奇数的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，概率公式，解一元一次不等式，难度较大，正确运用分类讨论的思想是解题的关键． 由题意可知，则．①当时，；②当时， ，；③当时，，分别求解计算即可． 【详解】解：由题意可知． ∵，m，n均为正整数， ∴． ①当时，， ∴， ∴， ∴n的值可以是1，2，3，4，对应的m的值分别为3，4，5，6， 此时的值可以是8，12，16，20． ②当时， ，， ∴， ， ∴， ∴， ∴． ③当时，， ∴， ∴，不符合题意． 综上可知，不超过20的智慧数有5个，分别为8，12，15，16，20，其中是奇数的有1个，故所求概率为． 故选：D． 4．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）小李向如图所示的圆形区域内投掷飞镖．已知是等边三角形，D点是弧的中点，则飞镖落在空白部分的概率为_____． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率及弓形面积的计算，解题的关键是理解阴影部分面积等于弓形的面积减去弓形的面积．由是等边三角形得，是弧中点得，分别计算两个弓形面积，相减得阴影面积，再用圆面积减去阴影面积得空白面积，最后求概率． 【详解】解：设圆的半径为R则圆的面积为， 是等边三角形， ， 是弧的中点， ， ， ， 令与交于点E，则， 在中，， ， ， ， 弓形的面积-扇形的面积的面积， ，， ， ， ， ， 弓形的面积-扇形的面积的面积， ， ， ， 故答案为：． 5．去游泳馆游泳，要换拖鞋，如果鞋柜里只剩下尺码相同的4双红色的鞋和3双蓝色的鞋混合放在一起，闭上眼睛随意拿出2只，它们正好是一双的概率为_________． 【答案】 【分析】由鞋柜里只剩下尺码相同的4双红色的鞋和3双蓝色的鞋混合放在一起，闭上眼睛随意拿出2只，等可能的结果有182种，其中正好是一双的有50种情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：∵鞋柜里有尺码相同的4双红色的鞋和3双蓝色的鞋， ∴随意拿出2只，等可能的结果有：14×13=182（种），其中正好是一双有：红色成双4×4×2=32种，蓝色成双3×3×2=18种情况，共计50种成双情况. ∴随意拿出2只正好是一双概率为：． 故答案为． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 6．从，，，，，这个数中任意选一个数作为的值，则使关于的方程的解是负数，且关于的一次函数的图象不经过第一象限的概率为_______． 【答案】． 【分析】先求出分式方程的解，再根据解为负数求出此时m的取值范围，再根据一次函数图像不经过第一象限求出m的取值范围，最终确定m可以选取的数值，最后计算概率． 【详解】解分式方程得： 方程的解为负数， 且， 解得：且， 一次函数图象不经过第一象限， ， 且， 在，，，，，这个数中符合且的有，这个数， 使分式方程的解为负数且一次函数图象不经过第一象限的概率为 故答案为：． 【点睛】本题考查概率公式，分式方程的解，一次函数图象与系数的关系等知识点，综合性较强。注意求分式方程的解时分母不能为零． 7．已知一个口袋中装有四个除所标数字外其余均完全相同的小球，小球上分别标有，0，1，2四个数，搅匀后一次从中摸出两个小球，将小球上的数分别用a，b表示，将a、b代入方程组，则方程组有解的概率是___________． 【答案】 【分析】先确定所有等可能的结果，再根据二元一次方程组有解的条件筛选出符合条件的结果，最后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：解方程组， 由第一个方程得， 将整理后的式子，代入第二个方程得， 整理得， 当即时，方程左边为， 此时由，可知， ∴右边，即方程右边与方程左边不相等，方程组无解， ∴方程组有解的概率，即抽取的两个小球上的数字之积不为的概率， 由题意，列表如下： a b 0 1 2 / 0 0 0 / 0 0 1 0 / 2 2 0 2 / 由表可知，共有12种等可能的情况，其中满足的情况共种，因此方程组有解的情况有种， ∴方程组有解的概率为． 8．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例． 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题： （1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率； （2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率． 【答案】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜，；（2）不是，田忌获胜的所有对阵是，，，，，， 【分析】（1）通过理解题意分析得出结论，通过列举法求出获胜的概率； （2）通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率． 【详解】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜． 此时，比赛的所有可能对阵为： ，， ，，共四种． 其中田忌获胜的对阵有 ，，共两种， 故此时田忌获胜的概率为． （2）不是． 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是． 综上所述，田忌获胜的所有对阵是 ，，， ，，． 齐王的出马顺序为时，比赛的所有可能对阵是 ，，， ，，， 共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵， 所以，此时田忌获胜的概率． 【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查推理能力、应用意识，考查统计与概率思想；通过列举所有对阵情况，求得概率是解题的关键． 9．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）一个袋子中装有2个红球、3个白球和2个黄球，每个球除颜色外都相同． (1)小明说“摸出的球要么是红球，要么是白球，要么是黄球，所以摸到红球、白球和黄球的可能性相同，也就是说，P（摸到红球）．” 小华说：“袋中共有7个小球，将2个红球分别编上号码1号和2号，3个白球分别编上号码3号、4号和5号，2个黄球分别编上号码6号和7号，摸出每一个球的可能性相同，共有7种等可能结果．摸到红球可能出现的结果为1号球或2号球，共有2种等可能结果．所以，P（摸到红球）．” 你认为小明和小华的说法谁说得有道理？________． (2)小明和小华一起做游戏，规定：从袋子中随机摸出一个球，摸到白球小明获胜；摸到红球或黄球小华获胜．请你利用概率判断这个游戏是否公平？若这个游戏不公平，指出谁获胜的概率较大；并给出一种调整方案使游戏公平（在袋子中添加或拿出某种颜色球的个数）． 【答案】(1)小华 (2)这个游戏不公平．小华获胜的概率较大；调整方案：在袋子中添加1个白球 【分析】（1）根据等可能事件的概率结合题意即可求解； （2）根据题意求出摸到白球的概率为；摸到红球或黄球的概率为，进而即可判断游戏的公平性． 【详解】（1）解：我认为小华的说法有道理，因为如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率； （2）解：这个游戏不公平；理由如下： ∵袋子中共有7个小球，从中摸到白球有3种等可能结果， ∴（摸到白球），即（小明胜）； 从中摸到红球或黄球有4种等可能结果，（摸到红球或黄球），即（小华胜）， ∵，即（小华胜）（小明胜）， ∴游戏不公平，且小华获胜的概率较大． 调整方案：在袋子中添加1个白球． 10．（25-26九年级下·福建福州·开学考试）小雅和妈妈参加学校组织的“爱心义卖”活动．妈妈看中了一款标价为30元/件的学习用品．摊主提供两种购买方式： 方式A：直接打七折； 方式B：参与一次抽奖决定折扣．规则如下： 在一个不透明袋子里装有4个除颜色外完全相同的小球，其中红球2个、蓝球2个． 顾客从中随机摸出一个球，不放回，再摸出第二个球．如果两次摸出的球颜色相同，则按标价打六折；如果颜色不同，则按标价打九折． 妈妈觉得“六折很便宜”，于是想选方式B． 请解答下列问题： (1)求妈妈以六折价格买到该学习用品的概率； (2)小雅说：“如果我们要买很多件，其实方式A可能更省钱．”你同意小雅的说法吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)同意小雅的说法，理由见解析 【分析】（1）列出表格，利用概率公式进行计算即可； （2）分别求出两种方式所需费用，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，列表如下： 红1 红2 蓝1 蓝2 红1 红1，红2 红1，蓝1 红1，蓝2 红2 红2，红1 红2，蓝1 红2，蓝2 蓝1 蓝1，红1 蓝1，红2 蓝1，蓝2 蓝2 蓝2，红1 蓝2，红2 蓝2，蓝1 共12种等可能的结果，其中两次摸出的球颜色相同的结果有4种， 故妈妈以六折价格买到该学习用品的概率； （2）解：同意小雅的说法，理由如下： 由（1）可知，按照方式，以六折价格买到该学习用品的概率为，则以九折价格买到该学习用品的概率为， 设共买件学习用品， 则利用方式所花费用为（元）； 利用方式所花费用为（元）； ∵， ∴方式A更省钱． 11．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）某研究团队进行实验，实验者须从装有1个白球和3个红球的盒子中连续放回地取出2个小球（每个小球除颜色外完全相同），若这2个小球均为白色，则实验成功，反之则向盒子中再放入一个黄色小球，然后继续进行实验直到实验轮数大于n（n为正整数）时实验失败，第i轮实验实验成功的概率记为 (1)求，； (2)直接写出与i的关系（以最简形式）； (3)求证：． 【答案】(1)； (2) (3)见详解 【分析】本题考查了条件概率、递推归纳与裂项求和在复杂概率模型中的综合应用．掌握实验规则下条件概率的链式乘法计算、从特例归纳通项公式的能力，以及利用裂项技巧处理数列求和与不等式证明是解题的关键． （1）直接计算第一轮成功概率​；计算​时，需考虑第二轮实验进行的前提（第一轮失败）以及放入黄球后概率的变化，正确运用概率的乘法公式． （2）解题关键在于通过观察，，…的构成规律，归纳出一般表达式，并利用连乘积的技巧进行化简，最终得到最简分式形式． （3）本问基于第二问的通项公式进行证明，核心步骤是将​的表达式​裂项为，然后利用裂项相消法求和，化简后通过与​比较完成证明． 【详解】（1）解：第一轮开始时，盒中有1白3红，共4个球． ∵每次抽取是独立的，且每次抽到白球的概率为． ∴两次都抽到白球的概率为：． 故． 第二轮实验进行的前提是第一轮失败，第一轮失败的概率为 ​． ∵第一轮失败后，会放入一个黄球，此时盒中有1白、3红、1黄，共5个球． ∴在第二轮中，每次抽到白球的概率变为． ∴第二轮成功的概率为第一轮失败且第二轮两次抽中白球的概率： ． 故答案为：；． （2）解：∵， ， ， ， 故答案为：． （3）证明： ， ∵n为正整数， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26九年级上·河北沧州·期末）图1是一个可以自由转动的均匀转盘，转盘被平均分成了份，每份分别标上，，，．游戏规则如下：自由转动转盘，转盘停止后，指针指向一个数字（如果指针恰好指在分界线上，那么重转一次，直到指针指向某一个数字为止），数字代表边数，数字是几，甲同学就从图2的处开始按顺时针方向跑几个边，第二次跑圈从第一次跑圈结束时的位置开始，按照规则继续进行． (1)若转一次转盘，求从顶点跑到顶点的概率； (2)若转两次转盘，用列表法或画树状图的方法求两次跑完恰好回到处的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率及简单事件的概率，关键是熟练应用知识点解题； （1）根据简单事件的概率计算公式求解即可； （2）根据题意列表求概率即可． 【详解】（1）解：∵， ∴从顶点跑到顶点的概率为：； （2）解：列表如下： 和 由上表可知，所有等可能情况共种，其中和为的有种， ∴两次跑完恰好回到处的概率：． 13．（2025九年级·全国·专题练习）数学课上，师生进行了摸球试验，袋子中装有编号分别为1，2，3，…，m的小球（除编号外完全相同）． (1)活动一：当时，从中随机摸出1个小球记录编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作．若事件“记录的编号中出现2个相同的编号”是必然事件，则至少需要摸______次． (2)活动二：当时，从中随机摸出1个小球记录编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作． ①若事件“记录的编号中出现2个相同的编号”是必然事件，则至少需要摸______次； ②若事件“记录的编号中出现3个相同的编号”是必然事件，则至少需要摸______次． (3)活动三：从中随机摸出1个小球记录编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作．若事件“记录的编号中出现4个相同的编号”是必然事件，且至少需要摸100次，则袋中有多少个小球？ 【答案】(1)3 (2)①4②7 (3)袋中有33个小球． 【分析】本题考查随机事件的含义，必然事件的含义，探索规律的方法，通过例举，寻找规律是解题的关键． （1）活动一：通过列举得出答案； （2）活动二：通过列举得出答案； （3）活动三：总结规律，列出方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：仅摸一次，不可能出现两相同编号， 摸两次，有可能出现不同的编号，如，或，，不符合必然事件， 摸三次，才能保证出现两个相同的编号为必然事件， 故答案为：； （2）解：①摸两次时，不符合题意，如摸到，， 摸三次时，不符合题意，如摸到，，， 摸四次时，一定会出现两个相同的编号，为必然事件， 故答案为：； ②摸六次时，不符合题意，如，，，，，， 摸七次时，符合题意，一定会摸到三个相同的编号为必然事件， 故答案为：； （3）解：根据题意得：， 解得：， ∴袋中有个小球． 14．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）某市教育局对某九年一贯制学校做课堂教学满意度情况督导调研．从该校初中部和小学部各随机抽取20名学生对课堂教学满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．初中部20名学生所评分数的频数分布直方图如图： （数据分成4组：，，，） b．初中部20名学生所评分数在这一组的是： 15．0   8.1   8.2   8.2   8.4   8.5   8.6   8.7   8.8 c．初中部、小学部各20名学生所评分数的平均数、中位数如表： 平均数 中位数 小学部 8.3 8.5 初中部 8.3 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是_________，表中的m值为_________； (2)根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”． ①若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数； ②该学校从被调查的学生中随机抽取三人作为满意度调查访谈对象，所抽取学生的满意度评分情况如下：小明评分9.5分，小强评分8.6分，小琪评分8.2分．实地督导过程中从这3人中随机抽取了2人进行访谈，请求出调查结果一致为“非常满意”的概率． 【答案】(1)， (2)    【分析】（1）根据平均数、中位数的定义和计算方法进行计算即可； （2）①利用样本估计总体即可；②先画出树状图，展示从人中任选人所有等可能的结果，再找出调查结果一致为“非常满意”的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是： （分）， 将抽取的初中部的20名学生的评分从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（分）， 表中的m值为， 故答案为：，； （2）解：①（人）， 若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数约为人； ②从小明、小强、小琪人中任意选择人，所有等可能出现的结果如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中调查结果一致为“非常满意”的结果有种， 调查结果一致为“非常满意”的概率． 【点睛】本题主要考查了求平均数，求中位数，频数分布直方图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握平均数、中位数、频数分布直方图的概念及列表法或树状图法求概率是解题的关键． 16．（24-25九年级上·福建厦门·期末）在特定的情境下，某实验指标会从0开始逐渐增大到峰值（最大值），再逐渐减小到16，称该变化过程为过程，0和16分别称为过程的左、右端值． 已知过程的峰值为，小桐对过程设计了“分法”，操作方法如下： ①设置：令； ②分段：借助将过程分三段，且各段均满足：将该段变化过程中的最大值分别减去该段左、右端值，再对所得的差求和，结果等于，举例如下： 若要将过程分三段，依次记为：，，，其中，分别为第一、第二个分点． 对于第一段，假设：，即右端值为段的最大值． （ⅰ）若，峰值不在段内（“段内”指不含端点值），则假设成立，从而过程的第一个分点的值为； （ⅱ）若，峰值在段，则假设不成立，根据②的要求，此时右端值的计算方法为，从而过程的第一个分点的值为． 对于第二段，假设：，即右端值为段的最大值．可依上述推理过程求出第二个分点的值． 这样，按“分法”将过程分三段的同时，也将峰值所在的范围按规则缩小为这三段中的某一段．若对该段按上述方式进行第二次操作（此时，上述操作中的0和16分别调整为该段的左、右端值），则峰值所在的范围可进一步缩小．重复此操作，峰值所在的范围会越来越小． 若小桐用“分法”对过程进行了两次操作后，峰值在包含过程右端值16的这一段，且该段的左端值大于16．根据小桐操作的过程与结果， (1)分别求出第一次操作中两个分点的值；（用含的式子表示） (2)求第二次操作中所设置的；（用含的式子表示） (3)请你用一个整数合理估计峰值，并说明理由； (4)请你判断事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值16的这一段”是否为必然事件，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)可以用整数18作为峰值的估计值， 解法一： 因为第二次操作后，峰值在第三段，不妨设该段为，其中为该段的左端值， 所以，解得 因为峰值为该段的最大值， 所以，解得． 因为第二次操作后，该段的左端值大于16， 所以，解得． 所以． 所以可以用整数18作为峰值的估计值， 解法二： 因为第二次操作后，峰值在该次操作的第三段，又因为第二次操作后，该段的左端值大于16， 所以 解这个不等式组得． 所以可以用整数18作为峰值m的估计值． (4)不是， 解法一： 事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值的这一段”不是必然事件． 理由如下： 由题意得，第三次操作中所设置的 假设：用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值这一段． 那么，解得，与矛盾． 所以假设不成立： 所以事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值的这一段”不是必然事件． 解法二： 事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值的这一段”不是必然事件． 理由如下： 由题意得，第三次操作中所设置的． 因为， 当时，，即， 所以第三次操作后，峰值不在第三段． 所以事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值的这一段”不是必然事件． 【分析】本题考查了阅读理解题型、推理与论证等内容； （1）根据材料易知第一次操作后，峰值m在第三段，且，即峰值m不在第一段内，也不在第二段内，从而求出第一个分点，因为实验指标从0开始逐渐增大到峰值（最大值），再逐渐减小到16，所以第二段内数值逐渐增大，进而求出第二个分点； （2）因为第一次操作后，峰值m在第三段，且，所以第二次操作中所设置的； （3）因为第二次操作后，峰值m在该次操作的第三段，又因为第二次操作后，该段的左端值大于16，所以，解不等式组即可； （4）由题意得，第三次操作中所设置的，继而推出即，与题意不符，进而得解． 【详解】（1）解： 解法一： 因为小桐用“分法”对过程进行了两次操作后，峰值在包含过程右端值的这一段，且该段的左端值大于16， 所以第一次操作后，峰值在第三段，且，即峰值不在第一段内，也不在第二段内． 所以第一个分点． 因为实验指标从0开始逐渐增大到峰值（最大值），再逐渐减小到16， 所以第二段内数值逐渐增大． 所以第二段的最小值是，最大值是． 所以根据“分法”操作当中的步骤“②分段：将该段变化过程中的最大值分别减去该段左、右端值，再对所得的差求和，结果等于”可得． 解得第二个分点． 解法二： 因为小桐用“分法”对过程进行了两次操作后，峰值在包含过程右端值的这一段，且该段的左端值大于16， 所以第一次操作后，峰值在第三段且． 所以峰值不在第一段内． 所以第一个分点． 因为峰值在第三段， 所以根据“分法”操作当中的步骤“②分段：将该段变化过程中的最大值分别减去该段左、右端值，再对所得的差求和，结果等于”可得． 解得第二个分点． （2）解：因为第一次操作后，峰值在第三段，且， 所以第二次操作中所设置的 （3）略 （4）略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $