山东省实验中学2026-2027学年第一学期高三开学调研测验数学试题

绝密★启用并使用完毕前 山东省实验中学2026~2027学年第一学期 高三开学调研测验 数学试题 2026.08 （本试卷共4页，19题；全卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题纸上． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题的作答：用0.5 mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设一组样本数据，，…，的方差为0.01，则数据，，…，的方差为（ ） A．0.01 B．0.1 C．1 D．10 2．已知平面向量，满足，且，则（ ） A． B． C． D． 3．已知某棱台的上、下底面均是有一个内角等于的菱形，上、下底面边长分别为2和3，体积为，则该棱台的高为（ ） A． B．2 C． D．1 4．把包括甲、乙、丙、丁等在内的8位员工分成1组、2组两个技术攻关组（每组4人），其中甲、乙不同组，丙、丁同组，则分组方案共有（ ） A．24种 B．16种 C．12种 D．10种 5．抛物线的焦点为，过抛物线上的一点作准线的垂线，垂足为，若直线的方程为，则（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．设函数，若将的图象沿轴的负方向平移个单位长度，所得图象与的图象关于轴对称，则满足条件的的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．设为空间中64个点构成的集合．点，记样本空间．从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为（ ） A． B． C．0 D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为虚数单位，复数，则下列说法不正确的是（ ） A．的共轭复数 B．的虚部为 C． D． 10．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A． B．的零点个数为3 C．的极值点个数为2 D．若方程有三个实数根，则的取值范围是 11．如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，是棱上的一个动点，为侧面上的动点，则下列说法正确的是（ ） A．点到平面的距离为定值 B．若，则的最小值为2 C．若，且，则点到直线的距离为 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中的系数为__________（用数字作答）． 13．设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交于，两点，若，，则的离心率为__________． 14．已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知在中，，，． （1）求； （2）设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 16．如图，在四棱锥中，底面，，． （1）证明：平面平面； （2）设，，，且点，，，均在球的球面上． （ⅰ）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 17．已知椭圆的离心率为，下顶点为，右顶点为，． （1）求的方程； （2）已知动点不在轴上，点在射线上，且满足． （ⅰ）设，求的坐标（用，表示）； （ⅱ）设为坐标原点，是上的动点，直线的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和，某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立． （1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． （2）假设， （ⅰ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ⅱ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 19．已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求，； （2）当时，，求的取值范围； （3）当时，，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $数学试题答案 2026.08 1-5 CACBD 6-8 ABB 9.ABD 10.BC 11.ACD 12.-2813.2 14.27 15)在△46Cp,AB=,5C-25,co8-5 3 AC+BC-2.AB.BC09+12-2xxx 9 由余弦定理可知 3 故AC=3 …2分 os4=AB+4C2-BC_9+9-1261 再由余弦定理得 2·AB·AC 2×3×3183 ，…4分 (2)以A为坐标原点，AB为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示： B 则1(00).860)，由4c=3.cos1=号 得c422) D在BA延长线上，设AD=1>0,则D(4,0) Bc-(-222).由DE/BC.设DE=-2,22),则E1-21,222列 白4E14C.得亚，元=0，点-2x1+25225=03-+62=0→2-后.7分 于 DE=4-Bd=x2v5=5, 3 5=64=2=5 已知DE=V6,则 则 …………10分 代入相E(4W2,2C22)】 女CE=+42+(22-2-V63+82列+2-8w万=压=35 …13分 16.(1)证明：由题意证明如下， 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,ADC平面ABCD, ,AP⊥AB,AP⊥AD, APC平面PAD,ADc平面PAD,AP∩AD=A, AB⊥平面PAD, …3分 :ABC平面PAB .平面PAB⊥平面PAD. …4分 (2)(i)证明：在四棱锥P-ABCD中， AP⊥AB,AP⊥AD,AB⊥AD,BC∥AD,PA=AB=V2,AD=1+V5 建立空间直角坐标系如下图所示， A0,00).B(V2,0,0)C(V2,20）.D(0,1+V5,0).P0,0v2) 若P,B,C,D在同一个球面上， 则lOP=lOB=loC=oD, 在平面x中，A0,0）,B(5,0）,C(5,2）.D0.1+5) E D A B F25+3 ∴线段CD中点坐标 22, 飞=1+5-25-1 直线CD的斜率： 0-√2√2 √2√6+V2 直线CD的垂直平分线EF斜率 k3-12 ∴直线EF的方程： 2 当y=1时， 在立体几何中， 0(0,1,0) oPl=V02+1P+0-2j oP=V0-2+12+02 oC=V0-2)+1-2y+0 0D=02+-1-5+02 ,解得：OP=O=OC=loDl=V5 B KX 点O在平面ABCD上 …10分 ()法一： AC-(2,20.P0-(0,1-V2),设直线AC与直线P0所成角为8， AC·PO 0+2×1+0 ∴.cos0 2 AC PO 2j+22+0x70+1P+(2) 3 …14分 2 ∴直线AC与直线PO所成角的余弦值为3 …15分 法二：由几何知识得，PO=V5,AB⊥AD,BC∥AD,AB⊥BC, 在Rt△ABC中，AB=V2,BC=2, 由勾股定理得， 4C-+BC-2 过点O作AC的平行线，交BC的延长线为C,连接AC,PC, B C 则OC=AC=6,直线AC与直线PO所成角即为△POG中∠POC或其补角.…12分 :PA⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,PA∩AC=A,PA⊥AC, 在Rt△ABC1中，AB=V2,BC=BC+CC=2+1=3,由勾股定理得， 4G=VB+BC=2+3=m, 在Rt△MPC中，PA=V2,由勾股定理得， PG=PP+AC=2+(=3, 在△POC中，由余弦定理得，PC=P02+0C-2P0.0Ccos∠P0C, ()-(+(V)-2x6cosPOC cos∠POC= 解得： 3，… …14分 ∴直线AC与直线PO所成角的余弦值为： sos<POc-2 3…15分 √a2+b2=10 e-c-3 W2 a 3 17.(1)由题可知， A(0,b).B(a,0),所以 c2=a2-b2 解得4=9,6=1c=8。故话题C的标准方程为9+广= ;…4分 (2)(i)设R(xo,%),易知m≠0， kp=n+1」 +1_n+l 法一： m，故6m,且m>0 因为A0,-),4A=3,所以VG+(,+1°×Vm+(n+=3 3m x0= 为=n+2-m㎡2-n2 ,解得 m2+(n+1)2 所以 m2+n+1, 3m n+2-m2-n2 所以点R的坐标为N m2+(n+12’m2+(n+1 …9分 法=：设=元P,>0,则4R川=3→[m+(加+]=3 3 =P=(mn+1) 3m 3(n+1) 所以m2+(n+1 m2+(n+12’m2+(n+1)2 B 3m n+2-m2-n2 故点R的坐标为m+(+’m2+(n+1) …9分 n+2-m2-n2 m2+(n+1-n+2-m2-2 3m 3m n (ii)因为 m2+(n+1) m,由Ko=3ko, 3n_n+2-m2-n2 可得m 3m ,化简得m2+n2+8n-2=0, 即m2+(n+4}2=18(m≠0) 。。。。。。。。。。。。。 …12分 所以点P在以V(0,-4)为圆心，32为半径的圆上（除去两个点）， Ps为2到圆心N的距离加上半径， …13分 法-：设2(3cos8,sin8)）,所以lN=(3cos0)+(sin0+4}=9cos20+sin20+8sin0+16 =8os01+8sm0+16=80-sn0)+8sn0+17=-ni0+8m0+25=-8sm0-2+27≤27 sin= 1 当且仅当 2时取等号，所以lPOl=V27+32=35+) …15分 法=：设(ae), +6=112Nf=6+o+4=9-6+%+8g+16=-8哈+8a+25 则9 1 当且仅当'%2时取等号， 故lP0.=27+32=35+V) …15分 18.(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率P=(1-0.6)1-0.5)=0.686 …3分 (2)(i)若甲先参加第一阶段比赛， 则甲、乙所在队的比赛成线为15分的度李为P--0-P门9 若乙先参加第一阶段比赛， 则甲、乙所在队的比装成绩为15分的幸为B=[1-(1-9)门p …5分 0<p<9, P甲-=q3-(g-p9)-p3+(p-pg) =(g-P(92+pg+p)+(p-9)[(p-pg}+(g-p9'+(p-p9)g-p9) =(p-q)3pg2-3p2q-3p92) =3p9(p-q)(p9-p-q)=3p9(p-q)[(1-p)1-q)-1]>0, “P甲>B,应该由甲参加第一阶段比赛。 …9分 (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15， P(X=0)=(-p+[1--p]--9°， P(x=)=[l-1-p]cg--g, P(x=10)=[1-(-p]C921-9), P(X=15)=[1-(1-p]g, .E(X)=151-(1-p)°]9=15(p3-3p2+3p）g …13分 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所有可能取值为0,5,10,15， 同理E(Y)=15(9-3g2+39)p. 。。。。。。。 …15分 ∴.E(X)-E(Y)=15[pg(p+q)(p-q)-3p9(p-q] =15(p-q)pg(p+g-3), 因为0<p<9,则p-9<0p+q-3<1+1-3<0」 则(p-9)p9(p+q-3)>0 ·应该由甲参加第一阶段比赛。 1。。。。。。。。 …17分 19.C1)f()=e+a+b,xeR,知f(o)=-2x0+1=l且f(0)=0-e+a-0+b=b,可得 b=1: 由f()=(x+)e+a,则切线的斜率为f'(0)=1+a=-2 解得a=-3;故a=-3,b=1 …3分 (2)由(1)知，f()=xe-3x+1 则f(x+m）小-f(x)-m=(x+m)e-xe-3(x+m）+3x-m=(c+m)em-xe-4m 赦思意可转化为c+m)小em-e-4m>0对任意xeR恒皮立，…4分 法一：令8()=(（c+m)e-xe-4m,x>0 则8'()=(c+m+e-(+1)e*=e[x+m+1)e-(x+]】 当m>0时，由x+m+1>x+1>0且e">1>0, 则(x+m+)e-(x+l)>0,即g()>0, 则8(x)在(0，+w）上单调递增，又8(0)=me"-4m, 要使8()>0对任意x∈R恒成立， 则me"-4m≥0，解得m≥2ln2: 当m=0时，f(x+m)-f()=0>0不成立 当m<0时，0<e"<1,x+m+1<x+l,且x+1>0, 则(x+m+e-(x+)<(c+)e"-(c+)=(x+(e-)<0 即8(x)<0,则8(x)在(0，+0)上单调递减， 又当x→+0时，8()→-0，不满足题意； 综上所述，m的取值范围为[2n2,+o)】 。。。。。。。。。。 …9分 法二： 不等式x+m)e-e-4m>0可转化为 c+m）e"-e=4m>0 即 +me-X-E之0对任意x∈R恒成立， 当m=0时，f(x+m)f()=0>0不成立： 当m<0时， h()=(x+m)e-x- e,x>0, 当x→+oo时，由m<0,可知e"-1<0, h()=(e”-1)x+me”-4m e+ →-00 这与h()>0对任意x∈R*恒成立矛盾， 当0<m<21h2时，h(0)=me-4m=m(e"-4)<0 h(2n2)=h(n4)=(m+ln4)e"-ln4-m>(m+ln4)1-ln4-m=0 间=g-+智20，a9a0+E9a 由 故h()在(0，+∞)上存在唯一零点，设为七， 且当0<x<时，h)<h()=0,即 x+m）e-e-4m<0 此时不等式(x+m)-f()>m不成立： N(x)=e"-1+4n>0 当m≥2n2时， er 则h()在(0，+o)上单调递增， 由x>0,故h(x)>h(0)=me”-4m≥0 (+m)e-x-4n>0 故不等 e>0,即f(x+m)f()>m恒成立， 综上所述，m的取值范围为2血2，+o0), … …9分 (3)法一：设F()=f(x+k)+fk-)-2f(k),x>0 则F'()=f(x+k)-f'(k-x)=(x+k+1)e-(k-x+1)ex =(x+k+1)e+*+(x-k-1)e-, (x)=(x+k+1)e*+(x-k-1)e!- 则'()=(x+k+2)e+(2+k-x)e 其中F(O)=0,F'(0)=0,t'(0)=2(k+2)e 当k=-2时，()=e*2+(x)e2=xe2(e-e)>0 则F'(在(0，+o)上单调递增，故F'()>F'(O)=0 放F(x)在(0，+o)上单调递增，故F()>F(O)=0, 即当x>0时，f(+)+f(k-列>2f()恒成立，满足题意：…12分 当k>-2时，设p(k)=(x+k+2)e+(2+k-x)e =[e(k+x+2)+e*(k-x+2)]e =[(e+e）k+2)+x(e-e]e 由x>0,k>-2,可知e*+e*>0且k+2>0, 则(e+ek+2)+(e-e）>0,可知p(k)在(-2，w)上单调递增。 数()>p(-2)=e2+(e2=e(e-e）>0,即r(>0. 故F'()在(0，+o)上单调递增，故F'()>F'(0)=0, 故F(四在(O,+o)上单调递增，放F(四>F(O)=0, 即当x>0时，f(+)+f(很-)>2f()恒皮立，满是题意：…14分 当k<-2时，此时r'(0)=2(k+2)e<0,又F(0)=0, 则存在正实数，使得x∈(0，)，F'(x)<0」 则F田)在(0，)上单调递减，则F()<F(O)=0 即当0<x<,f(+)+f(k-)<2f(),不满足题高，…16分 综上所述，k之-2，即k的最小值为-2…17分 法二：由(x+)+f(k-)>2f()可得 (k+x)e+-3(k+x)+1+(k-x)e--3(k-x)+1>2(ke-3k+1), 则(&+xe+(k-x)e>2e,即(k+xe*+k-xe*>2k, 则k(e+e-2>x(e-e）. 由x>0,可知e+e>2,则e*+e-2>0, x(e*-e*) k> 故原不等式可转化为 e+ex-2. …11分 xe 2+e2 x(e*+1) e*+ex-2 e*-1 e2-e2 由 gG(x)=_x(e+1) e-1,x>0, G)=【x+e+1e--o（e+.e-2e- 则 (e-1 (e-1 设M()=e2-2e-l,x>0,令t=e, 则H(0=t-2l-1,t>1, 由H'()=2t-20+n)=2t-1-lm). 再令P(0=t-1-lt,t>1, re-10.我P02年装 故P()>P(0=0,则H'()>0,故H()在，+o)上单调递增， 所以H(0>H()=0,即M(x)>0,G(x)<0 故G()在(0，+0)上单调递减， …15分 又能必达达则可C()=一回+e+1。-之 x->0 故要使当x>0时，k>G()恒成立，则k≥-2， 即k的最小值为-2.…17分